（交通信息工程及控制专业论文）航海雷达图像中分维特征目标处理问题的研究.pdf

摘要 随着计算机技术的发展，数字图像处理技术在处理雷达图像方面的应用越来 越广泛。一方面是由于雷达回波图像中存在着诸多不稳定因素，容易受环境因素 的干扰，特别是对于航海雷达，海面环境瞬息万变，通过对雷达图像的处理可以 提高雷达检测目标的能力；另一方面，随着仿真技术的发展，航海雷达a r p a 模拟 器的研制技术不断发展成熟，应用现代图像处理技术来逼真地模拟雷达回波一直 是雷达仿真领域的目标。 分形( f r a c t a l ) 理论是目前非线性数学领域中非常活跃的一个分支，它的研究 对象是自然界和非线性系统中不光滑和不规则的几何形体。图像的纹理分析、自 然景物的模拟、时序分析等方面都有大量应用分形理论进行研究和分析的相关文 献。本文将分形理论应用于雷达信号处理中，针对航海雷达回波图像中具有分维 特征的岸线和海杂波等进行了深入分析和研究，取得了一定的研究成果。本文的 主要工作如下： 第一，对分形理论的相关知识进行了系统的分析研究，设计了基于b o x 维数 的图像维数计算程序。重点分析了随机分形中的分数布朗运动( f b m ) 理论，设计 了分数布朗运动曲线的算法及模拟程序。 第二，分析了雷达海岸线的分维特征，研究了分数布朗运动插值方法，并将 其应用于雷达岸线的模拟。 第三，进行了海杂波的分形特性分析。选取了实际的海杂波数据与分数布朗 运动模型进行对比研究，结果表明，海杂波与分数布朗运动之间能够较好地匹配。 提出了基于分形理论的海杂波模拟方法。 芙键词：雷达图像；分形；分数布朗运动；1 1 1 达岸线i 海杂波 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fc o m p u t e rt e c h n o l o g y , d i 西t a li m a g ep r o c e s s i n gt e c h n i q u e h a sb e e nm o r ea n dm o r eu s e dt op r o c e s sr a d a ri m a g e s f i r s t l y , t h e r ea r em a n yu n s t a b l e f a c t o mi nr a d a re c h oi m a g e s ，w h i c hc a l lb ee a s i l yd i s t u r b e db yt h ee n v i r o n m e n t ， e s p e c i a l l yf o rn a v i g a t i n gr a d a r t h ec a p a b i l i t yo fo b j e c t sr a d a r s t od e t e c tc a nb e i m p r o v e dt h r o u g hp r o c e s s i n gr a d a ri m a g e s e c o n d l y , w i t ht h ed e v e l o p m e n t o f s i m u l a t i o nt e c h n i q u e ，t h er e s e a r c ho nm a r i n er a d a r a r p ai sd e v e l o p i n gr a p i d l y ；i nt h e m e a n t i m e ，i ti st h ea i mo fr a d a rs i m u l a t i o nt ou s em o d e r ni m a g ep r o c e s s i n gt e c h n i q u e t os i m u l a t et h er a d a re c h or e a l i s t i c a l l y f r a e t a lt h e o r yi sa na c t i v eb r a n c ho fn o n l i n e a rm a t h e m a t i c s ；i tm a i n l yr e s e a r c h e s t h ei r r e g u l a ro b j e c t si nt h en a t u r ea n dn o n l i n e a rs y s t e m s l o t so fl i t e r a t u r e sh a v e f o r w a r d e do u tt h ea p p l i c a t i o n so ff r a c t a lt h e o r yi nt h ef i e l d s0 fi m a g et e x t u r ea n a l y s i s n a t u r a ls c e n es i m u l a t i o na n dt i m i n ga n a l y s i se t c t h i sp a p e ru s e sf r a c t a lt h e o r yt o p r o c e s sr a d a rs i g n a l s ，e s p e c i a l l yt h ec o a s t l i n ea n d s e ac l u t t e r sw i t hf r a c t a lf e a t u r e s ，a n d o b t a i n ss o m em e a n i n g f u lr e s u l t s ，i n c l u d i n g ： f i r s t l y , g i v e sas y s t e m i ca n a l y s i so fr e l a t e d f r a c t a lt h e o r y , e s p e c i a l l yt h ef r a c t i o n a l b r o w n i a nm o t i o n m ) i nr a n d o mf r a c t a lt h e o r y af r a c t a td i m e n s i o nc o m p u t i n g p r o g r a ma n da na l g o r i t h mo ff r a c t i o n a lb m w n i a nm o t i o nc u r v e ss l m u l a t i n gm e t h o di s d e s i g n e d s e c o n d l y ，a n a l y z e st h ef r a e t a lf e a t u r e so fr a d a rc o a s t l i n ea n d s e t sf o r t ha r ! a p p l i c a t i o no ff b mi n t e r p o l a t i o nm e t h o do f r a d a rc o a s t f i n es i m u l a t i o n t h i r d l y , a n a l y z e st h ef r a c t a lf e a t u r e so fs e ac l u t t e r t h er e a l s e ac l u t t e rd a t ai s c o m p a r e dw i t hf b mm o d e l ，t h er e s u l ti n d i c a t e st h a tb o t ho ft h e mm a t c hp r o p e r l y a m e t h o do fs c ac l u t t e rs i m u l a t i o nb a s e do nf r a c t a lt h e o r yi sg i v e n k e yw o r d s ：r a d a ri m a g e ；f r a c t a i ；f r a e 触s db r o w n i a nm o t i o n ；l 王盛d a rc o a s t l i n e ； s e ac l u r e r 大连海事大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：本论文是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果， 撰写成硕士学位论文：煞攫鬟盗国堡虫娃缝挂延旦拯丝堡回题签研究：。除论文 中已经注明引用的内容外，对论文的研究做出熏要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明。本论文中不包含任何未加明确注明的其他个人或集体已经公 开发表或未公开发表的成果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：笔霉磁月硝日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连海事大学研究生学位论文提交、 版权使用管理办法”，同意大连海事大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论 文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连海事大学可以将本 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于：保密口 不保密口( 请在以上方框内打“”) 论文作者签名：袅= 晕导师签名：弘撰 日期：州年三月爿日 第1 章绪论 1 1 研究背景 雷达( r a d a r ) 系英文“r a d i od e t e c t i o na n dr a n g i n g ”的缩写，是利用无 线电波进行测距和定位的装置。3 。航海雷达是指装在船上用于航行避让、船舶定位、 狭水道引航的雷达，亦称船用雷达。航海雷达在能见度不良时为航海人员提供了 必需的观察手段，是确保船舶安全航行的重要仪器。雷达的出现是航海技术发展 的重大里程碑。 然而，由于雷达自身的因素和外界环境的影响，使得雷达回波中不仅包含着 有用的信息，还存在着大量的冗余信息( 即杂波) 。因而，雷达回波的视频图像存 在着不稳定、不清晰和含有众多噪声等特点。如何克服这些不利因素，从众多干 扰中高性能地检测出目标，一直都是雷达图像处理领域中的研究目标。 在早期的雷达图像处理中，以模拟技术为主，其优点是速度快，一般为实时 处理。缺点是精度较差，灵活性差，很难有识别能力和非线性处理能力。 随着计算机技术的发展，数字图像处理技术在处理雷达图像方面的应用越来 越广泛。其优点是处理精度高，处理内容丰富，可进行复杂的非线性处理，应用 灵活”1 。其缺点是处理速度比较慢，特别是进行复杂处理时更是如此，很难满足实 时性要求。由于航海雷达所面临环境的复杂性和不规则性，致使其回波图像也同 样的复杂和不规则，因而用传统的方法对雷达图像的模拟和处理存在着一定的局 限性。本文将应用非线性学科中分形凡何学的相关知识对雷达圈像中的部分回波 目标进行处理和研究。 分形( f r a c t a l ) 理论是目前非线性数学领域中非常活跃的一个分支它的研究 对象是自然界和非线性系统中出现的不光滑和不规则的几何形体。分形几何学作 为大自然的几何学。1 ，为研究自然界中的不救则的复杂对象提供了一种极好的数学 模型。 从八十年代开始，分形理论逐渐被引入到雷达信号处理中”3 ，它在其中的应用 一方面来源于分形学方法的瞽遍性，另一方面是因为雷达系统中的许多环节包含 着分形的产生过程和现象。由于雷达所面临的环境，如地表、海面、森林、山河 等都具有分形特征，并且电磁被与具有分形特征的表面相互作用后的酗波信号也 将具有反射面的部分分形特性，因此在雷达信号处瑾中运用分形方法是可行的。 1 2 分形理论背景介绍 1 2 1 欧氏几何的局限性 自公元前3 世纪欧氏几何基本形成至今已有2 0 0 0 多年，尽管，此间从数学的 内在发展过程中产生了射影几何、微分几何等多种几何学，但与其他几何学相比， 人们在生产、实践及科学研究中更多涉及到的还是欧氏几何。欧氏凡何的重要性 可以从人类的文明史中得到证明。欧氏几何主要是基于中小尺度上点、线、面之 间的关系，这种蕊念与特定时期人类的实践、认识永平是相适应的。数学的发展 历史告诉我们，有什么样的认识水平就有什么样的几何学。当人们全神贯注于机 械运动时，头脑中的图像多是一些曲线、线段的组合，受认识主、客体的限制， 欧氏几何具有很强的“人为”特征。这样说并非要否定欧氏几何的辉煌历史，只 是我们应当认识到欧氏几何是人们认识、把握客观世界豹一种工具、但不是唯 的工具。 进入2 0 世纪以后，科技的发展极为迅速。特别是= 战以后，大量的新理论、 新技术以及新的研究领域不断涌现，同以往相比，人们对物质世界以及人类社会 的看法有了很大的不同。其结果是，有些研究对象已经根难用欧氏几何来描述了， 如对植物形态的描述，对晶体裂痕的研究。此外。在湍流的研究、自然画面的描 述等方面，人们发现传统几何学依然是无能为力的。人类认识领域豹开拓呼唤产 生一种新的能够更好地描述自然界图形的几何学。 1 2 2 分形理论的产生 从1 9 世纪7 0 年代开始，一些数学家在深入研究实、复分析过程中讨论了一 类很特殊的集合( 图形) ，如c a n t o r 集、p e a n o 曲线、k o c h 曲线等，这些在连续 观念下的“病态”集合往往是以反例的形式出现在不同的场合。当时它们多被 用于讨论定理条件的强弱性，其更深一层意义并没有被大多数人所认识。 随后，一些数学家对分形集的性质进行了深入系统的研究，特别是针对曲线 维数的研究，取得了丰富的研究成果。数学家列雏( l t v y ) 对分形集的自相似性和 维数的研究，取得了丰富的研究成果。数学家列维( l 6 v y ) 对分形集的自相似性和 分数布朝运动等也进行了深入研究，取得了一定的成果。但他们的研究绝大部分 还都局限于纯数学理论的研究，未与其它学科发生联系。 1 9 7 5 年，m a n d e l b r o t 将前人的研究成果进行了全面总结，发表了他的划时代 专著：分形对象：形、机遇和维数，首次提出了分形这一概念。1 9 8 2 年，随 着m a n d e l b r o t 的自然界中的分形几何一书的出版，分形这个概念开始广为人 知。随后，m a n d e l b r o t 将分形定义为：一种由许多个与整体有某种相似性的局部 所构成的集合。从此，分形这朵数学奇葩为自然界中很多现象和形态或物体组织 结构的描述提供了一种极为简洁的方法。 我们把传统几何的代表欧氏几何与以分形为研究对象的分形几何作一比较， 可以得到这样的结论：欧氏几何是建立在公理之上的逻辑体系，其研究的是在旋 转、平移、对称变换下各种不变的量，如角度、长度、面积、体积等，其适用范 围主要是人造的物体。而分形几何从提出至今只有3 0 余年，它由递归、迭代生成， 主要适用于自然界中形态复杂的物体。分形几何不再以分离的眼光看待分形中的 点、线、面，而是把它们看成一个整体。 1 2 3 分形几何的特性 大自然中的所有形状和人们考虑的一切图形，可以分为两大类。一类是具有 特征尺度的，例如人的身高，球的半径，建筑物的长、宽、高等。具有特征尺度 的几何体有一个重要性质，即构成几何体的线或面都是光滑的。另一类是没有特 征尺度的，即必须同时考虑从小到大的许许多多尺度，例如夏季天空中翻滚的积 雨云，北方冬季玻璃窗上的冰霜，以及极为普通的湍漉现象“1 。这些所谓“无标 度”的几何体，其实就是分形，它们也有一个共同特征，即骞捆似性。 m a n d e l b r o t 曾经指出，分形具有三个要素：形状( f o r m ) 、机遇( c h a n c e ) 和维数( d i m e n s i o n ) “l 。首先，分形的形状是支离破碎、参差不齐和凹凸不平的 不规则形状；其次，我们发现大自然的海岸线与用以描述它的k o c h 分形曲线之间 仍有很大不同，而这种差异是由于海岸线受到自然界随机因素的作用而产生的， 同时，m f b a r n s l e y 发现m ，可以用一组给定的规则通过随机迭代而得到分形， 而对象本身并不依赖于随机性，我们总是几乎以概率1 得到同一个分形，因此随 机性或者机遇仅仅是工具，雨结果却是确定性的；第三，分形的维数可以是分数， 这是一种新的维数，称为分维。维数是几何对象的一个重要特征量，通常所说的 维数，指的是为了确定几何对象中一个点的位置所需要的独立坐标的数目，在这 种意义上，它是个整数。分维的观点，突破了传统欧氏几何的限制，将维数扩 展到了分数领域，是分形几何的一个重要特征。 1 3 本课题的提出及研究现状 1 3 1 本课题的提出 雷达图像的显示效果直接影响着船舶的安全航行，如何从杂波中离性能地检 测出目标，一直都是雷达图像处理领域的研究热点。航海雷达所面临的环境中， 存在着众多具有分形特征的目标，如海面、山河、岸线等等。由于这些目标的复 杂性，很难用传统的方法来描述，而分形几何作为大自然的几何学，芷好为研究 自然界中这些不规则的复杂对象提供了一种极好的数学模型。本文将分形理论应 用于雷达回波图像的分析中，以期充分利用信号的各种行为特征，进行目标的处 理。 在航海雷达图像的众多具有分形特征的目标之中，海杂波和岸线回波是影响 回波图像分析处理的重要因素，它们也是雷达信号处理的主要目标，因此本文重 点针对它们进行研究。 目前，航海雷达图像存在着诸多不稳定因素，容易受环境因素的干扰，如在 大风浪天气，海面起伏严重，容易丢失小物标；另一方面，随着仿真技术的提商 与仿真手段的完普，航海霄达a r p a 模拟器的研制技术不断发展成熟例，但在进行 复杂对象的模拟时，往往存在着遥真度不高的问越，与真实情况有一定差距。对 海杂波和岸线回波分维特性的分析，即有助予在雷达模拟器中对它们进行逼真地 模拟，又有助于对真实的雷达回波信号进行处理，检测目标。 海杂波是电磁波照射到海面时的回波信号，它是影响甓达对海上目标检测性 能的一个主要因素。分析海杂波的传统方法是把它当作随机过程，通常的检测方 法是建立在统计理论基础上的。僵是，由于海杂波对环境具有较强的依赖性，现 有的统计方法难以准确和全面地描述其特性。由m a n d e l b r o t 和v a n n e s s 提出的分 数布朗运动( f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n ) 叫可以说是描述在自然界中存在的随机 分形( 如海岸线、山脉、云彩等) 最好的数学模型。在计算机图形学中，几乎所有 自然界中的分形模型都是基于分数布朗运动的高维拓展“”。分形既提供了一种杂 波建模的方法，又为研究杂波和信号检测提供了一种概念上的工具。 岸线模拟是雷达模拟中的重要组成部分，传统的基于欧氏几何的模拟方法往 往存在麓数据量和模拟精度之间的矛盾。分形几何作为自然界的几何学，其对海 岸线、岛屿等不规则几何结构的模拟有其独到之处，可以很好地解决上述矛盾。 1 。3 2 研究现状 由m a n d e l b r o t 提出的分形凡何在描述自然界中的不规则性和自相似惟方面有 很大的适用性，它已经被成功地应用于图像处理、自然景物模拟等领域。”3 。在用 分形理论分析雷达回波方面，国内外学者已傲了许多基础性的研究工作。 1 9 6 7 年，m a n d e t b r o t 发表了一篇趣为英国的海岸线究竟有多长? 的论文， 这篇论文对海岸线的本质进行了独特的分析，由此奠定了用分形思想构造海岸线 的理论基础。r a s t o g i “3 1 等人研究了电磁波在分形介质中的传播，分析了气象雷达 的回波功率与距离的关系。e l g a r “”等人的研究表明，海面的起伏是分数维的，数 值介于2 和3 之间。从分形几何学的角度来看，波浪起伏的海面是一种分形袭面。 s s a v a i d i s “”等人对分维散射的研究表明，散射表露的分维特性将携带到散射信 号中去。因此，海面的分维结构导致了其救射信号的分维特性。当雷达波柬入射 到这样的表面时，海杂波的前向和后向散射时间信号也具有分形的特征。s i m o n h a y k i n “”1 等人利用混沌理论对海杂波的研究表明，海杂波存在混沌的吸引予，其 维数是分数的，进而表明用非线性科学中的混沌与分形方法研究杂波模型比随机 方法更为合适。 国内也有许多学者进行雷达杂波分形特性及分形杂波建模的研究。谢文录“8 1 等人通过研究实测外场霄达地杂波数据，对杂波的统计特性、自相似性、维数、 无标度性和混沌性等方面进行了研究。用实验表明了杂波具有分形特性，是近似 的分形函数。陈彦辉“”等人采用基尔霍夫解定性地分析了敝射场的时域分形特性， 导出并分析了地海杂波的分形模型。王永诚脚3 等人提出了一种利用海杂波的分数 维估计检测海上目标的方法。杜千啡等人通过提取海杂波与目标回波的多种参数， 进行了基于分形模型的海上雷达目标检澳研究。 本文将在前人研究的基础上，方面进行理论的分析，开发可具体应用的快 速算法；另一方面，在具体的实践应用中分析算法的可靠性。 1 4 论文内容的组织和安排 本论文主要依据随机分形的相关理论，针对航海雷达图像中分维特征目标的 处理问题进行研究。论文各章的安排如下： 第1 章为绪论，主要介绍了分形理论及课遂的提出和研究现状。 第2 章介绍了分形的重要特征之一分形维数，并给出了几种典型的分形 结构。在重点分析b o x 维数的基础上，设计了基于b o x 维数的分形维数计算程序。 第3 章介绍随机分形理论，并重点讲述随机分形中的一个重要模型分数 布朗运动模型。 第4 章应用随机分形理论进行雷达岸线的分析，着重讲述在航海雷达a r p a 模 拟器中应用分数布朗运动插值模型进行岸线的遥真模拟。 第5 章应用分形理论进行海杂波的分析和应用研究。 第6 章为结论与展望，对本论文的工作进行总结，并展望下一步的研究工作。 6 第2 章分形及分形维数 分形理论揭示非线性系统中有序与无序、确定性与随机性的统一。从字面上 讲，分形是指一类极其零碎复杂，但有其自相似性或自仿射性的集合，它们在自 然界中普遍存在。自然赛中的事物大部分不是有序的、稳定的、平衡的和确定性 的，而是处于无序的、不平稳的、非平衡的和随机的状态之中，存在着无数的非 线性过程。分形理论使人们能以新的观念、新的手段来处理这些难题，透过扑朔 迷离的无序的混乱现象和不规则的形态，揭示隐藏在复杂现象背后的规律、局部 与整体之间的本质联系。分形理论在2 0 世纪7 0 年代才被首次提出，但经过几十 年的发展，已成为一门重要的新兴学科，被广泛应用到自然科学和社会科学的几 乎所有领域“”1 ，成为当今国际上许多学科的前沿研究课题之一。 下面首先介绍一下分形的定义及几种典型的分形结构，然后具体讲述分形维 数的相关知识。 2 1 分形的定义 关于分形目前还没有严格的数学定义。1 9 8 2 年，m a n d e l b r o t 曾提出：一个集 合，如果其h a u s d o r f f 维数( 一种分形维数) 严格大于其拓扑维数，则称该集合 为分形集。这是关于分形的最初定义，它把一些明显是分形的集合排除了，因而 在1 9 8 6 年m a n d e l b r o t 又将分形的定义修改为：一种由许多个与整体有某种相似 性的局部所构成的集合。随后其它一些数学家也试图给出过分形的定义，但所有 这些定义都不够全面、不够精确。 1 9 8 9 年，法国数学家f a l c o n e r 嘲在其所著的分形几何：数学基础及其应用 一书中认为，分形的定义应该以生物学家给出“生命”定义的类似方法提出，即 不寻求分形的确切简明的定义，而是寻求分形的特性，并提出如下观点：称f 是 分形集，它具有下列典型性质： 1 ) f 具有精细结构，即有任意小比例的缨节。 2 )f 是如此的不规则，以至于它的局部和整体都不能用传统的几何语言来描 述。 3 ) f 通常有某种自相似形式，可能是近似的或统计的。 4 ) 一般地，f 的“分形维数”( 以某种方式定义) 大于它的拓扑维数。 5 ) 在大多数令人感兴趣的情形下，f 以非常简单的方法定义，可能由迭代产 生。 正如没有真正的圆和直线一样，自然界中也没有数学中描述的那种真正的分 形。自然界和各门应用学科中涉及的分形绝大部分都是近似的“。因此，对于分 形，最好也是将它看成具有一些性质的集合，而不必刻意追求难以精确的定义。 2 2 分形维数 分形维数是分形理论及应用中最重要的概念之一，它是描述分形集合复杂性 的一种量度。要理解分形维数这一概念离不开数学中的测度理论。所谓测度就是 测定集合大小的一种量度，芷如长度用于度量线段，面积用于度量正方形域以及 体积用于度量立方体等等一样，测度是内容更广泛、形式更一般的特殊集合函数。 维数是基于测度上的一个数学概念，用于表示集合占有空间的大小。 2 2 1 测度基本理论 测度理论伴随着实变函数与泛函分析理论的成熟而诞生，二十世纪三十年代 由柯尔莫哥洛夫汹1 提出了概率( 测度) 的公理化结构，标志着测度理论的真正成 熟与完善。 定义2 1 。”：设空间q ，集类z 上的集函数口满足： ( 1 ) ( ) - 0 ； ( 2 ) 对于任何a f f g ，0 肛似) + * ： ( 3 ) 集类是q 上的一个集代数； ( 4 ) 弘具有可数可加性。 则称p 为上的测度。 特别地，如果z 是空间q 上的仃代数，那么则称( q ，肛) 为测度空间，中 的元素称为关于测度弘的可测集。如果g ：j v a e f ，恒有u ( a ) t + o o ，那么称为有 限测度。 8 盯代数上的测度其有以下性质： ( 1 ) 单调性：若a ，b p ，a c b ，则u ( a ) s p p ) ( 2 ) 半可加性：设一。p ，则卢( u 4 ) 罗弘) n = l 矧 ( 3 ) 若似。 是中的单调序列，n u 0 。i m 。a 。) 一牌u ( a 。) 。 2 2 2h a u s d o r f f 测度和维数 c a r a t h e o d o r y 在t 9 1 4 年提出了用集的覆盖来定义测度的思想。h a u s d o r f f 于 1 9 1 9 年用这种方法定义了以他名字命名的测度和维数。2 12 ”。以此为基础，至今， 数学家们已提出了十多种不同的分形维数。h a u s d o r f f 维数具有对任何集合都有定 义的优点，由于它是建立在相对比较容易处理的测度的基础上，因此，在数学上 也是较方便的。 2 2 2 1h a u s d o r f f 测度 定义2 2 设f 为欧氏空间r 中的一个子集，s 为一个非负数，对任何6 ，0 定义 哦陋) 岫善阱 ( 2 1 ) 其中：u ，为r “中的集合，并有f c u u ，l u ；i 为u ，的直径，即 f 1 i u ，i - s u p 如- y l ；x ，y u ，t 胃o t v ；i s 6 ，称 e 为f 的一个6 一覆盖。 式( 2 1 ) 表示在f 的所有6 一覆盖中，求满足和式7 p 的下确界。令6 0 w 式( 2 1 ) 的极限值h ( f ) 称为集合f 的s 维h a u s d o r f f 测度。可以证明，日是一 个测度，特别地，日似) 一0 。 9 2 2 2 2h a u s d o r f f 维数 定义2 3 对于集合f 存在唯一的非负实数，记为p 。旷) ，它满足下列性质 若0 j 。 ( 4 ) l i p s c h i t z 不变量：设，：一一r 4 为一个l i p s c h i t z 函数，则巩( ，) ) 一d 口q ) 。 ( 5 ) 若f 为f 的闭包，则d 。( 而一d s ( f ) ，碌昂- 瓦妒) 。 2 2 4 其它一些维数的定义 一、相似维数 定义2 5 。“：令f c r - 为一个有界集合，由m 个与它相似的子集组成且相似 比为r ，则f 的相似维数为： d s 面l o g 丽m ( 2 - 4 ) 例2 1 ：以k o c h 曲线为例，可以把k o c h 曲线分成四个报簿的部分，每一部分 是原图形大小的1 3 即m - - - - 4 ，= 1 3 ，故其相似维数为 d , ( t c o c h ) - 器“棚s 相似维数能够很好地刻画分形集，实际应用中，它也经常被用来描述海岸线 的复杂程度。从对集合细分的角度来讲，楣似维数似乎要比欧氏维数和拓扑维数 都好。但是，相似维数只对严格自相似的这- - + 类集有意义。 设僻，d ) 为一距离空间，a 为工中的非空紧子集，对每一个s ，0 ，n ( a ，s ) 表 驴l ，i 。m 酱铲 汜s ， 存在，d ，则称为a 的k o l m o g o r o v 容量维。 b a r n s l e y “”从容量维的角度出发，得出了一些关于i f s 吸引子的维数的一些结 若 r ”；q ，：，) 为一个双曲i f s ，设一为吸引子，其中峨为自相似的，且 收缩因子分别为s 。( f - 1 ，2 ，n ) 。这时： 善h i d w ) - 1 ，似) ( o ，m 】 ( 2 6 ) 驴阳，d m ) ( 2 7 ) 吸引子的分形维数d 。o ) d 。 即。沥竖璧 汜。， 研娥苜 妲8 式中：p 。表示一个点落在第f 个球中的概率，可以看到，当鼽一百1 ，f 一1 ，2 ，j v 时，d ，- d ，信息维是容量维的一个推广。但是由于概率的引入将会产生许多计 五、关联维数 关联维数是凭借系统的一个解序列就可以得到关于吸引子维数的信息： d c l 。i r al n l n ( c ( e ) ) ( 2 9 ) 其中： ) 砉善嘶一 x i - x d 2 _ 1 0 i x ；，i - l 2 ， 为系统的个解序列，也可以把它看成吸引予上各个点的位簧， 而 8 ( s 一 t x ，1 ) 一 j ，, 。e 。爿i 工x i i 一- - 工x 1 ，l 其实，容量维数、信息维数和关联维数都是下面一种定义的特例： 卟磐鞭志攀 汜 当q 一0 , 1 ，2 时，可以证明d 。分别为d ，d ，d 。 六、l y a p u n o v 维数 在得到了系统的l y a p u n o v 指数后，可以很方便地计算l y a p u n o v 维数： d l r 嘻南 其中，t 为满足 + a 2 + + 丸0 的最大整数， ( f - 毛2 ，忌) 就是l y a p u n o v 指 数。 需要说明的是，在许多实际应用之中，并不存在严格的规则来确定某个景是 否能合理地被当成一个分数维。分形维数有如此之多的定义，在应用时还都存在 一个简化的过程i 很多时候并不能判断出已经求出的分数维到底与哪个理论上的 定义是相一致的，这时候决定一个维数可否被接受将更多地由经验和直觉所确定。 但是仍有几点是肯定的，为确定一个量能否被作为分数维，我们应当寻找它的某 种类型的比例性质：它要有着易于理解的自然的表达：同时也要满足上面讨论的 几个分数维的性质“。 2 3 几种典型的分形结构 2 3 1 三分c a n t o r 集 g e o r gc a n t o r 在1 8 8 3 年构造了如下的一类集合。选取单位直线段，将该线段 三等分，去掉中间一段，剩下两端。将剩下的两端再分别三等分，各去掉中间一 段，剩下四段。继续这样的操作，直至无穷，则可得到一个离散的点集，点数趋 于无穷多，而欧氏长度趋于零。经无限次操作，达到极限对所得到的离散点集称 为c a n t o r 集，如图2 1 所示。 o1 3 2 3 第0 步 第1 步 第2 步 第3 步一一 圈2 1 三分c a n t o r 集 f i g 2 1t r i s e c t i o nc a n t o rs e t c a n t o r 集是一种人们最了解，同时也最窑易构造的分形，它显示出了许多典 型的分形特性。设f 是一个三分c a n t o r 集，下面列出它的一些性质： ( 1 ) f 是自相似的。报明显在区间 o ，1 3 和 2 3 ，l 】内的f 的部分与f 是几何 相似的，相似比为1 3 。在第二步的四个区间内，f 的部分也与f 相似， 相似比为1 9 。依此类推，这个集包含许多不同比例的与自身相似的样本。 ( 2 ) f 具有“精细结构”。它包含有任意小比例的细节，越放大三分c a n t o r 集 的图，闯隙就越清晰地呈现出来。 f 3 ) 尽管f 具有错综复杂的细节结构，但f 的实际定义却非常简单明了。 ( 4 ) f 是由一个迭代过程产生的，持续的步骤得到的结果燕对f 越来越好的逼 近。 ( 5 ) f 的几何性质难以用传统的术语来描述，它既不满足某些简单条件的点的 轨迹，也不是任何简单方程的解集。 ( 6 ) f 的局部集合性质也是难于描述的，在它的每点附近都有大量被各种不同 间隔分开的其它点。 ( 7 ) 虽然，在某种意义上是相当大的集，然而它的大小不适用于用通常的测度 和长度来度量。用任何合理定义的长度来度量，f 的长度总为零。 按照相似维数的计算公式，可得三分c a n t o r 集的维数： d 一。墼。0 6 3 0 9 。 l n 3 显然，三分c a n t o r 集的相似维数为分数，不同予通常意义下的欧氏维数。 2 3 2k o c h 曲线 k o c h 曲线是瑞典数学家h e l g ev o nk o c h 在1 9 0 4 年首次提出的。设层。是单位 长直线段，e 。是由e 。除去中间1 ，3 的线段、丽代之以底边在被除去的线段上的等 边三角形的另外两条边后所得到的图形，它包含4 个线段。对曩的每个线段都进 行同一过程来构造e ：，依此类推。于是得到一个曲线序列忙。 ，其中既是把乓一。 的每一个直线段中间1 3 用其等边三角形的另外两边取代而得到的：当k 足够大 时，蟪线e k 。只在精细的结构上不同，而当七一m 时，曲线序列仁。 趋于一 个极限曲线f ，称f 为v o nk o c h 曲线。图2 2 显示了k o c h 曲线豹四次迭代过程。 纂l 步 黼 秽 繁1 步 蚴 气。能气。 j 、n 人 八a 、 、 圈2 2k o c h 曲线的构造过程 f i g 2 2t h ec o n s t r u c t i o np r o c e s so fk o c hc u r v e 1 6 k o c h 曲线的相似维数前面已经计算，为1 2 6 1 8 ，介于一维与二维之间，表明 k o c h 曲线具有无限的长度且面积为零。 k o c h 曲线在许多方面的性质与三分c a n t o r 集列出的那些性质类似，它由四个 与整体相似的“四分之一”部分组成，但比例系数是1 3 。它在任何尺度下的不规 则性反映了它的精细结构，但这样错综复杂的构造却出自于一个简单的构造。虽 然称f 为曲线是合理的，但它是如此不规则，以至于在传统的意义下，它没有任 何切线。 2 3 3s i e r p i n s k i 集 w a c l a ws i e r p i n s k i 在1 8 8 2 年给出了以其名字命名的一大类图形，其中有： 二维中面积为o 的s i e r p i n s k i 三角形( “垫”) ( 如图2 3 ( a ) ) ，即将一个等边三角 形四等分，得到四个小等边三角形，去掉中间的一个，保留它的三条边，将剩下 的三个小等边三角形再分别蹬等分，并去掉中间的一个，保留它们的边，重复操 作直至无穷：s i e r p i n s k i 地毯( 如图2 3 ( b ) ) ，即将一个正方形九等分，去掉中 间的一个，保留它的四条边，剩下八个小正方形，将这八个小正方形再分别进行 九等分，各自去掉中问的一个，保留它们的边，重复上述操作直至无穷：还有三 维中体积为0 而面积无穷大的s i e r p i n s k i 四面体等，如图2 3 ( c ) 所示。 - 匿口口圈膏t 匿曩 撼圈毫 口蹬曩睦豳簟疆圈日 ( a ) s i e r p i n s k i 三角形( b ) s i e r p i n s k i 地毯( c ) s i e r p i n s k i 四面体 圈2 3s i e r p i n s k l 集 2 3s i e r p i n s k is e t s i e r p i n s k i 集的共同特征是：( 1 ) 它们都是经典几何无法描述的图形。在 s i e r p i n s k i 三角形中，它的面积趋于零，而其周长趋于无穷大；s i e r p i n s k i 四诚 体的体积趋于零，而其表面积却趋于无穷大。因此，它们常被称为病态的几何图 形。( 2 ) 它们具有无穷多个自相似的内部结构。任何一个分割后的图形经适当放 大后都是原来图形的翻版。 2 3 4j u l i a 和m a n d e i b r o t 集 j u l i a 集是由法国数学家g a s t o nj u l i a 和p i e r r ef a t o n 在发展了复变函数迭 代的基础理论后获得的“。在复平面c 上，像，( z ) 一z 2 + c 这样个带有常数c 的 简单函数，由很简单的迭代过程，就能生成非常复杂的集合。改变常数c ，可得至 不同的j u l i a 集，如图2 4 ( a ) 、( b ) 、( c ) 所示。 ( a ) 尘埃结构( b ) 树枝结构 ( c ) 稳定的固定态 图2 4 不同结构的j u l i a 集 f i g 2 4d i f f e r e n tc o r f f i g u r a t i o no f j u l i as e t 在复平面上，在使j u l i a 集连通的c 值处写点，而对非连通的j u l i a 集在c 值 处不写，即得到了m a n d e l b r o t 集( 如图2 5 所示) 。 m a n d e l b r o t 集是m a a d e l b r o t 于1 9 8 0 年发现并以他的名字命名的集台，集合 1 8 图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。把该集边缘上c 点周围的m 集放大， 揭示的性态恰是与该点c 值有关的j u l i a 集的组成部分，图2 6 为对应m a n d e l b r 。t 集中各点c 的3 u l i a 集。m a n d e l b r o t 集被称为“数学恐龙”，是当今数学上最复杂 而又有序的对象之一。 圈2 5m a n d e l b r o t 集图 f i g 2 5m a n d e l b r o ts e t 图2 6j u li a 集与m a n d e l b r o t 集的联系 f i g 2 6t h er e l a t i o n s h l pb e t w e e nj u l i as e ta n dm a n d d b r o ts e t 2 4 分形维数的基本测量方法 实甩的测定分形维数的方法，大致可以分为如下五类o “： ( 1 ) 改变观察尺度求维数； ( 2 ) 根据测度关系求维数； ( 3 ) 根据相关函数求维数； ( 4 ) 根据分布函数求维数； l ( 5 ) 根据频谱求维数。 在讨论这些方法之前，需要说明一下分形维数的上限和下限问题。分形维数 的定义范围是客观存在的，也就是说存在一个上限和下限。以云的形状为例，虽 然云是没有特征长度的分形构造，但若要使它具有定的分形数值，就必须有尺 度的上限和下限。如以地球的大小为基准，一个积雨云只不过是一个点，显示不 出自相似性来；如果以放大镜级的大小为基准，云也只不过是小水滴的聚集体， 没有显示出自相似性。所以，对于现实中存在的物体，