（应用数学专业论文）离散的lesliehollingⅡ及Ⅲ型捕食与被捕食系统的稳定性与分岔分析.pdf

原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共 同工作的同志对本研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说明。 作者繇啦嗍珥年坳上日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文，允 许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 名：啦翮签名年翠期：哗年脚三日 摘要 摘要 本学位论文主要对两类离散的l e s l i e h o l l i n g 型捕食与被捕食 系统的动力学行为进行分析。全文共分为三章。 第一章简单介绍了非线性动力学概述，预备知识及其本文工作的 主要内容。 第二章研究了一类离散的l e s l i e h o l l i n g i i 型捕食与被捕食 系统的动力学行为，运用正规型理论和中心流形定理讨论了系统发生 f li p 分岔及n ei m a r k s a c k e r 分岔的条件。数值模拟不但验证了理论 分析的正确性，并通过最大李雅普诺夫指数显示出该系统复杂的动力 学行为，包括3 , 6 ，1 2 ，1 5 ，2 4 ，3 0 周期轨、不变环线、准周期轨、混沌集。 第三章讨论了一类离散的l e s l i e h o l l i n g i i i 型捕食与被捕食 系统的稳定性及发生f l i p 分岔及n e i m a r k s a c k e r 分岔的条件，运用 数值模拟验证了所得结果的正确性。 关键词l e s l i e - h o l l i n g 型，捕食与被捕食系统，离散动力系统， 中心流形，正规型，f l i p 分岔，n e i m a r k s a c k e r 分岔，周期轨，混 沌 c h a p t e ro n ei n t r o d u c e so v e r v i e wo fn o n l i n e a rd y n a m i c sa n dt h e p r e l i m i n a r i e sa n dt h em a i nc o n t e n to f t h i sa r t i c l e c h a p t e rt w o ，t h ed y n a m i c a lb e h a v i o r so fad i s c r e t ep r e d a t o r - p r e y m o d e lo fl e s l i e h o l l i n g i it y p ei si n v e s t i g a t ei nt h ef i r s tq u a d r a n t i ti s s h o w nt h a tt h es y s t e mu n d e r g o e sf l i pb i f u r c a t i o na n dn e i m a r k s a c k e r b i f u r c a t i o nb yu s i n gc e n t e rm a n i f o l dt h e o r e ma n db i f u r c a t i o nt h e o r y n u m e r i c a ls i m u l a t i o na r ep r e s e n t e dn o to n l yt oi l l u s t r a t eo u rr e s u l tw i t h a n a l y s i s ，b u ta l s ot oe x h i b i tt h ec o m p l e xd y n a m i c a lb e h a v i o r sa c c o r d i n g t ot h em a x i m u m l y a p u n o ve x p o n e n tp h r a s e ，i n c l u d i n g3 ，6 ，12 ，15 ，2 4 ， 3 0 一p e r i o d i co r b i t s ，i n v a r i a n tc i r c l e ，q u a s i p e r i o d i co r b i t sa n dc h a o t i cs e t s c h a p t e rt h r e e ，w ed i s c u s s e dt h ef l i pa n dn e i m a r k s a c k e rb i f u r c a t i o n o fad i s c r e t ep r e d a t o r - p r e ym o d e lo fl e s l i e - h o l l i n g - i i it y p e t h es t a b i l i t y o ft h ef i x e dp o i n t sa r ea l s od i s c u s s e d n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r e p r e s e n t e dr e s u l t st oc o n f i r mo u rr e s u l t sw i t ht h et h e o r e t i c a la n a l y s i s k e yw o r d s l e s l i e h o l l i n gt y p e ，p r e d a t o r - p r e ys y s t e m ，d i s c r e t e d y n a m i c a ls y s t e m ，c e n t e rm a n i f o l d ，n o r m a lf o r m ，f l i pb i f u r c a t i o n ， n e i m a r k s a c k e r b i f u r c a t i o n ，p e r i o d i co r b i t ，c h a o s i i 硕上学位论文 目录 目录 摘要i a b s t r a c t 】：i 目录i 第一章绪论1 1 1 非线性动力学概述1 1 1 1 分岔的基本理论1 1 1 2 混沌的基本理论2 1 2 预备知识3 1 2 1l y a p u n o v 指数的定义3 1 2 2 中心流形定理4 1 2 3 分岔的基本知识4 1 3 本文工作的主要内容5 第二章一类离散的l e s l i e h o l l i n g i i 型捕食与被捕食系统的稳定性与分岔分 析6 2 1 引言6 2 2 不动点的存在性与稳定性7 2 3f 1 i p 分岔与n e i m a r k s a c k e r 分岔1 1 2 4 数值模拟1 8 2 5 本章小结2 3 第三章一类离散的l e s l i e h o l l i n g i i i 型捕食与被捕食系统的稳定性与分岔 分析2 5 3 1 前言2 5 3 2 不动点的存在性与稳定性2 5 3 3 数值模拟2 9 3 4 本章小结4 0 参考文献4 1 致谢4 5 攻读硕士期间主要成果4 6 硕上学位论文 第一章绪论 第一章绪论 现实中的动力系统总是含有各种各样的非线性因素。通常在某些情况下，线 性系统模型可提供真实系统动力学行为的很好逼近。然而，这种线性逼近在许多 情况下并非可靠的，被忽略的非线性因素有时会在分析和计算中引起无法接受的 误差，使理论结果与实际情况差之甚远。特别对于系统的长时间历程动力学问题 即使略去很微弱的非线性因素，也常常会在分析和计算中出现本质性的错误。 1 1 非线性动力学概述 非线性动力学理论 卜1 2 的研究和发展经历了一个多世纪，主要可以总结为 三个阶段：第一阶段是从1 8 8 1 年到1 9 2 0 年前后，主要是定性理论的发展，主要的 原动力来自于对天体动力学的研究 4 0 ，4 6 。第二阶段从2 0 世纪2 0 年代n 7 0 年代， 主要是研究非线性振动问题的定量方法的发展 1 7 。从2 0 世纪六七十年代开始， 原来独立发展的分岔理论汇入非线性动力学研究的主流当中，混沌现象的发现更 为非线性动力学的研究注入了新的活力，分岔、混沌现象的研究成为非线性动力 学理论新的研究热点。第三阶段从2 0 世纪7 0 年代至今，美国科学家l i 和y o r k e 4 1 提出了周期3 意味着混沌的判定准则，美国应用科学家h o l m e s 、g u c k e n h e i m e r 、 m a r s d e n 和w i g g i n s 等人则将分翁和混沌理论与经典的非线性振动理论相结合，发 展成为现代非线性动力学理论。他们的杰出贡献使非线性动力学从2 0 世纪7 0 年代 起成为一门重要的前沿学科 1 4 ，1 5 ，2 6 ，2 9 ，4 7 ，4 8 ，5 2 ，5 4 。 特别是近几年，非线性动力学在研究深度和广度上都取得了重要进展，呈现 一派欣欣向荣的景象。借鉴数学、物理学等基础学科，与计算机、测控技术、航 天、航空、机械、车辆、船舶、土木等工程学科相结合，非线性动力学在研究方 向和研究内容上发生了重大变化，新的研究领域不断涌现。 1 1 1 分岔的基本理论 对于含参数的系统，当参数变动并经过某些临界值时，系统的定性性态( 例 如平衡状态或周期运动的数目和稳定性等) 会发生突然变化。这种变化称为分岔 ( b i f u r c a t i o n ) ，也叫分叉、分支、分歧 5 2 。动力系统的分岔指的是系统的动 力特性随着某些参数的变化而发生质的改变，特别是系统的平衡状态发生稳定性 改变或出现方程解的轨道分支。动力系统的分岔现象不但在数学领域如动力系统 理论、微分方程、拓扑、几何，而且在工程科学如神经网络、电网、电路、流体 动力学、化学反应等方面都受到高度的重视。 硕：l 学位论文 第一章绪论 分岔问题的研究具有较长的历史，它起源于十八世纪对于力学失稳现象的研 究。分岔的概念首先由雅可比于1 8 3 4 年在研究天体的平衡时提出，经过一百多年 微分方程理论的发展，特别是近_ 二- - - 十年来，在微分动力系统和数值计算技术的推 动下，分岔理论的研究与应用已超越数学学科的乔限，广泛应用于力学、物理学、 化学、生物学、生态学等学科和自动控制、系统工程、机械振动等工程技术部门， 并涉及到经济学和社会科学等领域 5 9 ，2 1 ，3 5 。 分岔问题研究的内容广泛而丰富，归纳起来，其大致可分为如下几个方面 4 3 】： 1 分岔集的确定，即确定系统产生分岔的必要条件和充分条件，这是分岔 问题研究的基本内容。 2 分岔定性性态的研究，即分岔出现时，系统拓扑结构随参数变化的情况， 这是分岔研究的重要内容。 3 分岔解的计算，即对系统平衡点和极限环的计算。由于非线性系统分岔 的直接求解往往较为困难，甚至不可能，这就需要寻求实用而有效的求解方法。 4 研究各种不同分岔的相互作用，以及分翁与动力系统中其它现象( 如混 沌) 的联系。 目前，研究分岔的主要方法有：奇异性理论方法 5 ，9 ，4 9 、庞卡莱一伯克霍 夫范式方法 5 2 、摄动法 5 ，9 ，2 9 、后继函数法 7 ，8 和什尔尼科夫法、次谐 m e l n i k o v 函数法、符号动力学方法 8 ，4 7 ，5 2 、胞映射法 1 2 ，3 4 及隐函数法 6 等，都是非线性动力系统分岔研究的重要方法。在上述理论分析方法中，除摄动 法可得定量结果，符号动力学方法和胞映射法可得数值结果之外，其他方法皆属 于定性研究。 分岔不仅与系统中不同运动状态之间的联系和转化有关，还与混沌运动密切 相关，并且分岔是研究混沌产生机理的重要途径。 1 1 2 混沌的基本理论 混沌一词由t y “和j a y o r k e 于1 9 7 5 年首先提出 4 1 。他们在“周期3 意味着混沌 的文献中给出了混沌的一种数学定义。 l i y o r k e 定义【4 1 】：区间上的连续自映射r ( x 1 如果满足下面条件便可确定它有混 沌现象： ( 1 ) 存在一切周期的周期点； ( 2 ) 闭区间i 上存在不可数子集s ，满足 ( i ) 对任意x ，ye s ，x y 时，艘s u p l f “( x ) 一厂”( j ，) i o ； ( i i ) 对任意x ，) ，s ，! i m 。i n f i 厂”( z ) 一f ”( y ) i = o ； 2 硕士学位论文 第一章绪论 ( i i i ) 对任意x s 和f 的任意周期点y ，有1 i m s u p l f ”( x ) - f 4 ( y ) l 0 l i - y o r k e 定删4 1 1 ：设( x ) 在【口，6 】专 口，6 】上的连续映射，若厂( x ) 有3 周期点， 则对任何正整数，z ，f ( x 1 有n 周期点。 根据l i y o r k e 定义，1 9 8 3 年m a y 认为一个混沌系统应具有如下三种性质： 第一，存在所有阶的周期轨道；第二，存在一个不可数集合，该集合只含有混沌 轨道，且任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接近，而是两种状态交替出现，同 时任一轨道不趋向于任一周期轨道，即该集合不存在渐近周期轨道；第三，混沌 轨道具有高度的不稳定性。 目前来说，混沌仍然没有一个统一的数学定义，数学上常用的混沌定义包括： l i y o r k e 意义下混沌 4 l 】，d e v a n e y 意义下混沌 2 6 1 及w i g g i n s 意义下混沌 5 2 1 。 混沌的研究方向来看，混沌的研究大体上可分为四个方面：混沌判定、混沌控制、 混沌反控制和混沌同步。对于混沌判定，通过模型的解来证明是否存在混沌现象， 是十分困难的。因为在一般情况下，模型的解析解无法求出。此时用实验来进行 测试、识别混沌则是一种有效的方法。实验常用的方法有：波形图与相轨图、庞 加莱映射图、李雅谱诺夫指数、功率谱分析法等 1 0 ，1 5 ，4 8 。 1 2 预备知识 1 2 1l y a p u n o v 指数的定义 定义1 2 1 【1 5 3 设f 是尺”_ r ”的可微映射，p 是吸引域中一点，d ；0 ) 是，的 向前有界轨道，v r ”，则f 在p 点沿v 方向的极限 ，( ；，) = l i m l 尼l n 慨，九y l i 称为f 在p 点沿v 方向的l y a p u n o v 指数。 设f 是n 维空间的微分同胚映射，p 是向前有界轨道的点，则所有的方向1 ， 所对应的l y a p u n o v 指数都存在，而且随着方向v 的变化，0 ，v ；，) 最多有刀个不 同的值。设，。( p , r ) - - t ( p ，1 ，。；，) ，1 2 0 ；f ) = t ( p ，v ：；，) ，。0 ；f ) = t ( p ，。；，) ， 对这刀个数排序，总能得到( p ；f ) 乞( p ；f ) 厶( p ；f ) l y a p u n o v 指数是 3 硕l 二学位论文 第一章绪论 刻划轨道分离的速度，正的l y a p u n o v 指数是产生混沌的标志。 1 2 2 中心流形定理 考虑映射 石y ：等：八g ( x 耋嚣 ( 毛y ) r r 。 c ， h 缈+，y ) ， 州 一 或 吒+ 。= 瓴+ 厂( _ ，以) ， y 。l = b y ，+ g l 、x ，y n 、) ， 其中 s ( o ，0 ) = o ，o i ( o ，0 ) = l ， g ( o ，0 ) = o ，玩( o ，0 ) = 1 ， f ，g 在原点的某邻域内是c 7 的。a 是一个特征值的模等于1 的c x c 矩阵，b 是 一个特征值的模小于1 的j s 矩阵。显然( x ，j ，) = ( o ，o ) 是映射( 1 1 ) 的一个不动 点。 定理1 2 0 , 5 2 1 映射( 1 1 ) 存在一个c 7 中心流形，且可以被局部的表示为如下的形 式 w 。( o ) = ( z ，j ，) r c r 5l y = h ( x ) ，i x l 1 ，使得 i 一u n i 上”，l 儿- h ( u 。) i 三”，刀z + 1 2 3 分岔的基本知识 定理1 1 2 9 , 4 7 , 5 2 f l i p 分岔 假设一个一维离散时间动力系统 4 ( i ) 三( 厶( o ，o ) ) z + l f 。( o ，o ) o ； z ， ( i i ) 厶( o ，0 ) 0 则存在光滑的可逆的坐标与参数变换将系统( 1 3 ) 变成下面的形式 r i - - - ) - ( 1 + p ) u + u 3 + o ( r 1 4 ) 定理2 【2 9 , 4 7 , 5 2 1 ( n e i m a r k s a c k e r 分岔) 对任意包含一个参数的二维系统 x hf ( x ，口) ， ( 1 4 ) 当口= 0 时有不动点= o ，且有复乘子“。：= e 士编，则存在的个邻域，使得在 此邻域内当口经过零时系统( 1 4 ) 有一条闭的不变曲线从而处开始分岔。 1 3 本文工作的主要内容 本文主要研究了两类离散l e s l i e h o l l i n g 型捕食与被捕食系统的稳定性和分 岔：通过对离散的l e s l i e h o l l i n g i i 型及l e s l i e h o l l i n g i i i 型捕食与被捕食系统的 不动点的稳定性分析，得到发生f l i p 分岔与n e i m a r k s a c k e r 分俞的条件，并利 用中心流形定理和正规型理论讨论了f l i p 分岔和n e i m a r k s a c k e r 分俞的稳定性 与分俞的方向，数值模拟包括分岔图、最大l y a p u n o v 指数图、相图，其结果表 明离散的l e s l i e h o l l i n g i i 、i i i 型捕食与被捕食系统比相应的连续系统具有丰富 的动力学行为，包括周期轨道、不变闭曲线、倍周期分俞和混沌集等。 5 硕士学位论文 第二章一类离散的l c s l i e - h o l l i n g 1 1 型捕食与被捕食系统的稳定性与分岔分析 第二章一类离散的l e sl ie - h oi iin g - i i 型捕食与被捕食系 统的稳定性与分岔分析 2 1 引言 自从上世纪l o t k a ( 1 9 2 4 ) 4 4 、v o l t e r r a ( 1 9 2 6 ) 5 1 、h o l l i n g 3 3 提出捕食与被捕 食系统以来，不同物种间的相互作用的捕食与被捕食种群的研究吸引了国内外许 多学者的关注 4 4 ，4 5 ，5 5 ，但大多数的动力学性质研究主要是关于其平衡点或极 限环的稳性 1 9 ，2 2 2 4 ，2 7 ，3 1 ，3 2 ，3 5 ，3 8 ，5 0 ，5 3 】。最近的一些研究工作表明离散的捕食 与被捕食系统比连续的捕食与被捕食系统具有更加丰富的动力学性质 1 6 ，1 8 ， 3 0 ，3 7 ，3 8 ，4 2 ，4 3 考虑h o l l i n g - t a n n e r 型捕食与被捕食系统 5 0 其中五少分别表示捕食者与被捕食者的种群密度厂，口，j ，h ，k 均为正常数。模型 ( 2 1 ) 由t a n n e r 5 0 研究提出，由于模型( 2 1 ) 的功能函数矽( 石) = ! 之是h o l l i n g - i i x 十1 ) 卜，- o ，x h y n i ， 二 卜降) u 6 乙 嚣 一 卜 、卜，= 、三k，砂一石 一 所 砂 = = 出一出咖一出 硕士学位论文 第_ 二章一类离散的l e s l i e - h o i l i n g - i i 型捕食与被捕食系统的稳定性与分岔分析 2 2 不动点的存在性与稳定性 显然，系统( 2 2 ) 的非负不动点满足下面的方程： 通过对上述代数系统的简单计算，系统( 2 2 ) 有两个非负不动点： c t ，若， t ，系统c 2 固存在不动点巨( k ( - 一吾) ，。) ； ( i i ) 若， l 且s 1 ，系统( 2 2 ) 存在唯一的正不动点易( ，y ) ，其中，y + 满足： 下面我们研究不动点的稳定性。注意到不动点的局部稳定性是由其对应的 j a c o b i a n 矩阵的特征方程的特征根的模所决定。 对于任意点( x ，少) ，系统( 2 2 ) 在点( 工，y ) 的j a c o b i a n 矩阵为 因此 j ( x ，y ) = 2 r xa p y ， k ( x + ) 2 h s y 2 x 2 f ，、i2 一， ( 巨) = i l 0 j ( x ，y 1 = 仅x x 七g 2 h s y j 一 石 c z x z + + ( 川) 2 一j 为了讨论系统( 2 2 ) 的不动点的稳定性，我们需要下面的引理，它可以通过二 7 嚣 一 一 r= 、兰髟砂一x 一 一 ，：、 m 砂 = = 。南争 一 幻一工一乓x 八生纠，卜、， o ，丑，五是f ( 名) = o 的两根，则 ( i ) i 五l 1 ，j 五l 0r q 1 ，i 如i 1 当且仅当，( 一1 ) 0 且q l ； ( i v ) a = - 1 ，1 4j 1 当且仅当，( 一1 ) = 0 且尸o ，2 ； ( v ) a ，五是复数，且 a = 1 4 l = 1 ，当且仅当p 2 - 4 q o j tq = i 令a ，以是系统( 2 2 ) 在不动点( x ，y ) 处的j a c o b i a n 矩阵所对应的特征方程的 特征根，简称为不动点( 石，j ，) 的特征根。当i a l 1 时，不动点( x ，j ，) 称为散点。所 以散点是局部不稳定的。当l a l l ( 或l a l l 且i 如l 1 ) 时，不动点( x ，y ) 称 为鞍点。当l i = l 或i 五i = 1 时，不动点( 石，j ，) 称为非双曲的。 引理2 2 不动点巨( k ( ，一吾) ，。) 的特征根为五= 2 - r , 五= s 则 ( i ) 当1 ， 3 且0 1 时，e 为散点； ( i i i ) 当， 3 或o s 1 ( 或1 o 当参数在c 的一个极小的邻域内扰动时，不动点巨会发生f l i p 分俞。 因此当限 制参数在c 中时，对于不动点e ，系统( 2 2 ) 的中心流形为y = o ，并且将系统( 2 2 ) 限制在此中心流形上时，系统( 2 2 ) 变为l o g i s t i c 模型，即 硕十学位论文第二章一类离散的l e s l i e - h o l l i n g i i 型捕食与被捕食系统的稳定性与分岔分析 确= ( 一量) 因此在这种情况下，捕食种群灭绝，通过选择一定的参数r ，被捕食种群经历倍 周期分岔从而走向l i y o r k e 意义下的混沌 2 5 ，2 6 ，4 1 ，4 8 。 系统( 2 2 ) 在不动点( 工，y ) 处的j a c o b i a i l 矩阵对应的特征方驾可以写成下面 的形式 名2 + p ( x ，y ) + g ( 工，y + ) - - o ， ( 2 4 ) 其中 小卜卜善+ 南 ， 令 则 小) = ( 1 _ 丢+ 南卜，+ 等 f ( 兄) = 名2 + p ( z ，y t + q ( x + ，y ) ， 巾h 川，巨南 。， 卟胪卜巾箸+ 南 + 等 引理2 3 设( x , y ) 为系统( 2 2 ) 的正不动点，则 ( i ) ( x , y ) 为收点，若下列条件成立： 且 卜巾善+ 南 + 等 。 9 1 1 ，r x i 卜i + i ( i i ) ( x ，少) 为散点，若下列条件成立： 且 p 十善+ f 1 膀 l1 一+ lk ( 2 - s ) +a ( s - - 1 ) 一y o 2 - - s ) + 粤警儿 x 珏 ( i i i ) ( x , y ) 为鞍点，若下列条件成立： 卜巾鲁+ ( i v ) ( z ，少) 为非双曲的，若下列条件之一成立： 且 其中 ( i v 1 ) ( i v 2 ) ，= 多( 2 + 尚 ，笋卜 ，2 氧 多卜 q = k x 。【- ( x o t x + * y * 户 1 0 o ( a 2 0 ) 则会从不动点( x ，y + ) 分俞出稳 定( 不稳定) 的2 周期轨。 在第四节中我们将会给定一组参数值使得0 ，则随着，的变化系统( 2 2 ) 将产生f l i p 分岔( 如图4 1 ) 。 最后我们讨论系统( 2 2 ) 在不动点( 石+ ，y ) 处的n e i m a r k - s a c k e r 分岔。 特征方程( 2 4 ) 的特征值是 a ：- p ( r ) + 4 p z - ( r ) 一- 4 q ( r ) ， 其中 肿卜卜鲁+ 南 ， 一 m ) = 1 _ 丢+ 尚卜，+ 等 如果p 2 ( r ) 一4 q ( r ) 0 ，即c i ， e 2 ( 其中由c 1c 2 ( 2 5 ) ，( 2 6 ) 给出) ，此时特征值五。2 乞= 笋 + 丽a x * y * + 而c r ( s - 而1 ) y * 一两1 则g ( 眨) = 1 令u = x 一，= y y ，则我们可将系统( 2 2 ) 的不动点( x ，y ) 平移至原点， 1 5 硕上学位论文 第二章一类离敬的l e s l i e - h o l l i n g i i 型捕食与被捕食系统的稳定性与分岔分析 其中a l la 1 2 ，a 1 3 ，a 1 4 ，a 1 5 ，a 1 6 ，a 2 l ，a 2 2 ，a 2 3 ，a 2 4 ，a 2 5 ，口2 6 ，4 ，攻由( 2 8 ) 式给出，且，。吒 当p = r 2 时，系统( 2 1 1 ) 毛e 、动点( 0 ，0 ) 处对应的线性部分的矩阵的特，证万程的 特征根为 名，万= 一掣2 、4 q ( r 2 ) - p 2 ( r 2 ) ， 其中 比卜卜譬+ 赫 ， 且 鹏) = 1 譬+ 尚卜，+ 等， h = 厢小斟彳一等蝙 另外，要求当，= 匕时，1 , m 石”l ，( 聊= 1 ，2 ，3 ，4 ) ，它等价于p ( r 2 ) 一2 ，0 ，1 ，2 注意到 p ( 吃) - 2 ，2 因此只需要p ( r z ) o ，1 ，办即 警3 - s + 丽c t xy ，4 - s + 丽c t x y k + ) ”p + ) 2 ( 2 1 2 ) 因此，当，= r 2 且条件( 2 。1 2 ) 成立时，系统( 2 1z ) 的不动点( o ，o ) 的特征根不 是单位圆与坐标轴的交点。 下面研究当r = r 2 时，系统( 2 1 1 ) 的规范型 令一胪一掣舻圭厢丽， 则对( 2 1 1 ) 运用变换 丁：f l 一q i 1 6 城嚣茹懈哳 引 寸 硕士学位论文 第二章一类离散的l e s l i e - h o l l i n g - i i 型捕食与被捕食系统的稳定性与分岔分析 可将( 2 1 1 ) 化成如下形式 其中 厂( 孟，歹) = 季( 舅，夕) = 匕 睁丁 - w 盼舅( 黧) ， 嚣“2 + 等圳+ 篆“3 + 盟a t 2 + d ( ( h + 伽4 ) ，口1 2口1 2q 2 口1 3 ( 一a l i ) 一a 1 2 a 2 3 口1 2 w “z + ! ! ! 丝二! ! ! ! 二鱼2 1 丝删一生v 2 一生 a 1 2 w ww + ! 璺! ! 丝二! ! ! ! 二! 1 2 1 踅! “3 + 口1 2 w 口1 6 ( 一a i i ) 一口1 2 口2 6 】 “2 = a i 2 2 i - 2 ，u v = a 1 2 ( t - a l i ) i 2 一口1 2 厦多， 伊= ( p - a 1 1 ) 2 叠2 2 w ( 一口i i ) 黟+ 矿歹2 ， u 2 v a 1 2 2 ( , t t - a l1 ) 膏3 一口1 2 2 w y c 2 夕， 口1 2 w u e v + o ( ( 量l + l y l ) 4 ) ， u 3 = a 1 2 3 叠3 ，u v 2 = q 2 ( 2 - a i i ) 2 一口1 2 ( , u - a 1 1 ) 晒+ 口1 2 黟2 ， = 2 a 1 2 a 1 3 + 2 ( 一a s ) 口1 4 ，岛= 一w a l 4 ，易= 0 ， 屈= 6 a 1 2 口1 6 ( 一a 1 1 ) + 口1 5 a 1 2 】，岛= - 2 a 1 2 a 1 6 m 岛=岛= 0 ， 季西= 三 口1 2a , 3 ( - a 1 1 ) 一a 1 2 a 2 3 + ( 一a t i ) a 1 4 ( 一口i i ) 一a 1 2 a 2 4 - d i ( , u - a 1 1 ) 2 ， w 季黟= 口1 2 a 2 4 + ( 2 d l a 1 4 ) ( 一a i i ) ，季万2 - 2 d l c o ， ( 2 1 3 ) 蚕蔽= 皇竺堕 q ： 口i ，( - a 1 1 ) - - a t 2 a 2 ，】+ ( - a r t ) a t 6 ( 一q 。) - - a 1 2 a 2 6 】一畋( - a 1 1 ) 2 ， w 蜃赶= 2 a 。： 口。：d ：。+ ( 2 d 2 一口。) ( 一口。) ，季谚= 一2 d 2 a 。：缈，季研= o 为了使系统( 2 1 3 ) 发生n e i m a r k s a c k e r 分岔，还要求下面的a 0 【1 2 ，2 5 】： 其中 毗) = r c ( 等圳书1 2 _ 蚶憾c 碥 1 7 ，5 吒 r且。厶 堡主堂垡堡支一 第二章一类离散的l e s l i e - h o i l i n g i i 型捕食与被捕食系统的稳定性与分岔分析 受。= * ( 磊一磊+ 2 岛) + f ( 如一岛一2 磊) ， 螽，= 扎( 磊+ 磊) + r ( 酷+ 易) ， 缸= 言 ( 磊一磊一2 岛) + ，( 蕻一易+ 2 磊) ， 彘- = 去 ( 磊+ 磊+ 岛) + z ( 珏+ 岛一2 磊) 通过上面的分析以及 2 9 ，4 7 ，5 2 q b 的分岔定理，我们可以得到下面的结果： 定理2 2 如果条件( 2 1 2 ) 成立且口0 ，当参数厂在的一个充分小的邻域内扰动 时，则系统( 2 2 ) 在不动点( z ，y ) 处发生n e i m a r k s a c k e r 分岔。而且当口 o ) 时，从不动点( 石1 ，1 处分岔出吸引f 排斥1 的不变闭曲线。 在第四节中，我们将选取一些参数值对系统( 2 2 ) 的n o m a r k s a c k e r 分岔进行 数值模拟。 2 4 数值模拟 在本节中，通过选取定的参数，将分别作出系统( 2 2 ) 对应的分岔图，相图 及最大李雅普诺夫指数图以验证上面分析的i f 确性，并从图中我们了解系统的复 杂的动力学行为。考虑下面两种情形： ( 1 ) 选定口：等，_ 7 ，k ：要加昙舻要，r 3 7 r 4 2 ， ( 2 ) 选定口= 2 ，= 2 ，k = ；，j i l = 乏，s = 詈，且2 8 ， 0 ，口= 一0 7 2 2 6 从而验证了定理2 2 的j 下确性。 2 0 硕+ 学位论文第二章一类离散的l c s l i c - h o l l i n g - i i 型捕食与被捕食系统的稳定性与分岔分析 ( a ) ( b ) ( c ) ( d ) 图4 3 ( a ) 为系统( 2 2 ) 在( ，x ) 平面一卜的分岔图，初值为( 。7 ，o 5 5 ) ，参数值为办= 云， s ：等，k ：等，口：2 ，：2 ( b ) 为( a ) 的局部放大图，厂e 3 2 5 ，3 4 5 ) ( c ) 为系统( 2 2 ) 在( ，y ) 5 平面i ：的分岔图( d ) 为( c ) 的局部放人图，其中， 3 2 5 ，3 4 5 ) ：。| | | | n ： ( a ) ( b ) 图4 州妙与图4 烈a 埘应的最大李雅普诺夫指数图，其中 = 云，s = 詈，k = ，口= 2 ，= 2 ，初始 值足( o 7 ，0 5 5 ) ，( b ) 局部放大图，其中， 3 2 5 ，3 4 5 ) 2 1 硕十学位论文 第二章一类离散的l e s l i c - h o l l i n g - l l 型捕食与被捕食系统的稳定性与分岔分析 从图4 3 ( a ) 我们观察到当， 3 0 5 5 6 时出现一闭的不变曲线，从图4 3 ，我们还可 以看到倍周期分岔及倒倍周期分岔现象，4 3 ( b ) 给出了其局部放大图，其中 ，【3 2 5 ，3 4 5 ) 。 图4 4 为系统( 2 2 ) 的最大李雅普诺夫指数图，从中我们可以观察到当 ， 2 8 ，3 3 】时，最大李雅普诺夫指数为负的，此即表明，非混沌区域大于混沌区 域。而对于，【3 3 ，3 4 5 ) ，一些李雅普诺夫指数大于零，另一些小于零，说明在混 沌区域中存在稳定的不动点或稳定的周期窗口。一般情况下，正的李雅普诺夫指 数可作为混沌出现的一个典型特征。 r - = 3 0 3 r = 3 3 3 r = 3 0 5 5 6 r = 3 2 5 r = 3 0 5 7 f 3 3 l r = 3 3 4 2 5r = 3 3 4 4 5 图4 5 为图4 3 ( a ) 随参数r 变化的相图 硕士学位论文 第二章一类离散的l e s l i e - h o l l i n g - i i 型捕食与被捕食系统的稳定性与分岔分析 r = 3 3 4 7 r = 3 3 5 4 r = 3 3 “ r = 3 3 4 8 r = 3 3 4 9 3 r = 3 3 5 7r = 3 3 6 3 r = 3 4r = 3 4 3 图4 5 为图4 3 ( a ) 随参数r 变化的相图( 接卜) 对应于图4 3 ( a ) 的相图由图4 5 给出，它清楚地描述了一光滑的不变曲线是 如何从一稳定的不动点( 1 ，1 ) 分岔出来，当， 3 0 3 时，存在一不变的闭环包围了 不动点( 1 ，1 ) ，并且随着参数r 值的不断增加，闭坏的半径在不断增大。当，增 大到某一个值时，如在，= 3 3 1 时，不变环消失，出现3 周期轨道，接着出现倍 周期分岔及倒倍周期分翁现象，最后导致混沌的产生。从图4 5 中我们即可看出 3 ，6 ，1 2 ，1 5 ，2 4 ，3 0 周期轨道，拟周期轨以及吸引的混沌集。 2 5 本章小结 在本章中我们研究了一类离散的l e s l i e h o l l i n g i i 型捕食与被捕食模型的在 其唯一的正不动点处的f l i p 和n e i m a r k s a c k e r 分岔。而且系统( 2 2 ) 显示出极有趣 的动力学行为，包括3 , 6 ，1 2 ，1 5 ，2 4 ，3 0 周期轨道，不变环线，倍周期分俞和混沌集， 这些结果表明离散的捕食与被捕食模型比相应的连续生态模型显示出更丰富的 动力学行为。 硕十学位论文 第三章一类离散的l e s l i e - h o l l i n g i i i 型捕食与被捕食系统的稳定性