（光学工程专业论文）多层衍射光学元件应用的研究.pdf

摘要 本文介绍了国内外对多层衍射光学元件的研究现状，阐述了多层衍射光学元件的 理论基础，讨论了多层衍射光学元件的特性，给出了多层衍射光学元件最大光栅厚度 的优化设计方法，分析了构成多层结构的每块单层衍射元件的衍射效率对整体衍射效 率的贡献作用。利用p s 和p m , t a 两种材料优化设计了一个多层衍射光学元件，在 4 3 6 - - 6 5 6 n m 的可见光波段，该元件最低衍射效率可达到9 8 以上，克服了单层衍射元件 偏离设计波长后衍射效率显著下降的缺点，改善了宽波段衍射效率。并且用这个多层 衍射光学元件设计了一个长焦距物镜，该系统焦距1 0 0 0 r a m ，入瞳口径为1 2 5 r a m ，视场 角为3 5 。，设计波长为5 8 9 3 r i m ，工作波段从5 1 0 n m 到6 5 6 3 r i m ，在1 0 0 对线的m t f 值可达到0 3 5 以上。 将多层衍射光学元件应用在折、衍射混合光学系统中，能够明显提高系统的成像 质量，同时使得光学系统体积减小，重量减轻，并且在某些系统中可以避免使用昂贵 的特殊材料，从而可以降低光学系统的成本价格，在应用上具有重要意义。 关键词：衍射光学多层衍射光学元件衍射效率光学设计 a b s t r a c t t h i sp a p e rp r o v i d e sa no v e r v i e wo fd e v e l o p m e n to fm u l i t i - l a y e rd i f f r a c t i v eo p t i c a le l e m e n t sa n dt h e b a s i ct h e o r yo fm u l i t i l a y e rd i f f r a c t i v eo p t i c a le l e m e n t s c h a r a c t e r i s t i c so fm u l t i l a y e rd i f f r a c t i v eo p t i c a l e l e m e n t s ( d o e s ) a l ed i s c u s s e d o p t i m i z a t i o nd e s i g no ft h em a x i m u mg r a t i n gd e p t ho fm u l t i - l a y e rd o e s i s p r e s e n t e d a n dd i f f r a c t i v ee f f i c i e n c yc o n t r i b u t i o no ft h et w os i n g l e - l a y e rd o e sw h i c hc o m p o s e m u l t i l a y e rd o e st ot h ee f f i c i e n c yo ft h ew h o l ee l e m e n ti sa n a l y z e d # n c i p a n y t h r o u g ht h ew a yo f o p t i m i z a t i o nd e s i g no ft h ei n i n l o mg r a t i n gd e p t h , a l le x a m p l e o fam u l t i l a y e rd i f f r a c t i v eo p t i c a le l e m e n t w h i c he m p l o y sm a t e r i a lo fp sa n dp m m ai sg i v e n t h em i n i m u md i f f r a c t i v ee f f i c i e n c yo ft h i sm u l t i - l a y e r d o ei sg r e a t e rt h a n9 8 i n0 4 3 6 - 0 6 5 6 m av i s i b l ew a v e b a n d s om u l t i - l a y e rd o e s i m p r o v e b r o a d b a n de f f i c i e n c yw h i l ef o rs i n g l e 4 a y e rd o e s ，t h eb r o a d b a n de f f i c i e n c yf a l l sd o w no b v i o u s l yw h e n t h ew a v e l e n g t hi so f ft h ed e s i g nw a v e l e n g t h t h e n , al o n gf o c a ll e n g t ho b j e c t i v el e a sw i t ht h a te l e m e ti s d e s i g n e d i nt h es y s t e m , t h ef o c a ll e n g t hi s1 0 0 0 m m , t h ee n t r a n c ep u 呻d i a m e t e ri s1 2 5r a m , t h ef i e l d a n g l ei s3 5 。t h es p e c t r u mj sf r o m5 1 0m t o6 5 6 3n mw h i l et h ed e s i g nw a v e l e n g t hi s5 8 9 3 n m , m t fj s h i g h e rt h a n0 3 5i n1 0 0 1 p s n m l m u l t i - l a y e rd o e su s e di nh y b f i dd i f f r a c t i v e - r e f r a c t l v eo p t i c a ls y s t e m sn o to n l yh a v eb e n e f i t st o i m a g i n gq u a l i t yb u ta l s ot or e d u e i n gw e i g h ta n dc o m p l e x i t yo fo p t i c u ls y s t e m s i n s t e a do fe m p l o y i n g s p e c i a le x p e n s i v em a t e r i a li n8 m u es y s t e m s c o s to fo p t i c a ls y s t e m si sr e d u c e d a l la b o v ei n d i c a t e st h a t m u f i h a y e rd o e s 姗s i g n i f i c a n tt oa p p l i c a t i o no fo p t i c a ls y s t e m s k e yw o r d s ：d i f f r a c t i v eo p t i c sm u l t i l a y e rd i f f r a c t i v eo p t i c a le l e m e n t s d i f f r a c t i v e e f f i c i e n c yo p t i c a ld e s i g n 长春理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的硕士学位论文，多层衍射光学元件应用的研究 是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明 引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品成 果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：耋望2 盟年三月丕日 长春理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“长春理工大学硕士、博士学位论文版 权使用规定”，同意长春理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权长春理工大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等 复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名；垂蜇 丝年盖月丛日 指导导师签名： 年三月笪月 1 1 衍射光学的理论基础 第一章绪论 在很长的一段时间内，人们一直以一种最简单最直观的方式一光线来描述光的行 为，在各向同性均匀介质中光以直线传播，并在介质的光学特性发生改变时产生光的 反射，折射与吸收。这种方法即使在今天仍然发挥着重要的作用，特别是在设计各种 成像或照明光学系统时，光线追迹依然是最主要的光路计算方法。但在分析干涉与衍 射现象时，光线理论遇到了根本性的困难。这时我们通常会采用光的波动理论，根据 惠更斯菲涅尔原理，光被描述为存在于空间中任一位置的具有一定振幅与相位的标量 波。标量理论在很大的范围内可以满足广泛的应用要求，但也存在着不足，如不适于 描述电磁场的偏振特性，虽然可以应用标量理论分别表述各个偏振分量，但各分量之 间的相干关系却无法得到体现。到了1 9 世纪下半叶，m a x w e l l 电磁场理论的建立揭示 了光是一种电磁矢量场，全面表述了光波的主要性质。 基于以上的光线理论，标量理论与电磁矢量理论，绝大部分光传播领域的问题都 可以得到解决，并且这三种理论之间存在着内在的联系：从严格电磁场理论出发，不考 虑电磁场的矢量本质可以推导出标量光学理论，甚至是几何光学理论，比如反射与折 射定律等，与通过其它理论假设推导得出的标量理论或几何光学理论在数学表达式在 形式上保持一致。因此，根据这个观点，衍射光学不仅仅是微小结构的光学，宏观领 域的光传播问题也可以用衍射理论得到合理的解释。在光波衍射理论发展过程中，存 在几种不同深度的认识和表述。最初人们认为，当光在传播过程中遇到障碍物时，将 发生偏离直线传播或偏离几何光学的传播行为，这种现象被称为衍射。在把惠更斯菲 涅尔原理应用于圆孔、圆屏、单缝、多缝、矩孔等衍射问题时，人们又意识到，衍射 的发生是由于光波在传播的过程中其波面受到某种限制，即自由完整的波面发生了破 缺。在引入复振幅透过率函数以后，现在我们可以这样表述，在光的传播过程中，由 于某种原因改变了波前的复振幅分布，包括振幅分布或相位分布，则后场不再是自由 传播时的光波场这就是衍射。这种表述是对衍射现象因果关系的一种普遍和本质的概 括。 衍射光学理论模型用于描述光场经过衍射光学元件前后的传播情况，它是对衍射 光学元件和混合光学系统进行分析与设计的基础。采用哪种有效的理论模型构建满足 给定应用要求的微结构衍射光学元件，取决于与之相关的入射光波长和元件最小特征 尺寸的比值，通常按照比值的大小可以划分为三种情形： ( 一) 、当入射光波长远远小于衍射光学元件的最小特征尺寸时，可以把衍射光学元 件看作是复振幅调制薄板，标量衍射模型( 也称作复振幅透过率模型) 可以有效的分析衍 射光学元件。该模型认为衍射光学元件是无限薄的曲面( 含平面) ，曲面前的光场分布 乘上衍射光学元件的复振幅透过率函数就可以得到曲面后的光场分布，再由标量衍射 传播方程计算空间任一点的光场。该模型可以很容易的分折任何相位分布的衍射光学 元件，且能有效的进行相位优化设计，当波长比局部光栅周期小得多时，它有较高的 精度，但用它进行混合光学系统设计较为困难，需要使用几何光学模型，它以光线描 述光场传播，并以衍射光学元件上任一点对光线的偏折作用描述衍射光学元件，一次 只考虑衍射光学元件的单一衍射级，不考虑衍射光学元件的衍射效率。 ( 二) 、如果入射光波长和元件最小特征尺寸的比值二者相当，标量衍射模型的精度 降低，不再有效，分析衍射光学元件需要采用基于电磁理论的更为严格的模型，如严 格耦合波方法( r c w ) 、模方法( m a ) 、边界元方法( b e m ) 、瞬态方法( m o m ) 或时域有限 差分方法( f d 弧”等，通过求解带边界值的m a x w d l 方程组得到光场经过衍射光学元件 后的反射场、透射场与衍射场的分布。 ( 三) 、当入射波长远远大于最小特征尺寸时，替代严格电磁分析的方法是等效介质 理论( e m t ) ，可以更精确的表述衍射光学元件的行为。e m t 理论的基本前提是只存在 0 级衍射光传播，其他级次均为倏逝波。应用e m t 理论最关注的几个参数为衍射光学 元件的光栅厚度，占空比，入射角，形态双折射。当应用e m t 理论时，假设衍射介质 类似于单轴晶体，t e 模与t m 模在其中以不同的速度传播。因此，通过计算折射形貌 的有效折射率，用来决定衍射光学元件的有效相位形貌。如果衍射光学元件的特征尺 寸非常小，e m t 理论可以用来替代严格矢量衍射理论，并且它可以被扩展用来设计形 态双折射衍射光学光栅。因本课题涉及此类微光学元件的内容很少，这里只对e m t 方 法作简单的介绍。 1 2 衍射光学技术的发展过程 世界上第一个衍射成像光学元件是l o r dr a y l e i g h 在1 8 7 1 年所使用的振幅型菲涅耳 波带板，它由交替的透光和不透光环带组成，每个环的边缘到焦点的距离是半波长的 整数倍。它可对单色光聚焦成像，但是焦点却有无限多个，每个焦点都占有入射能量 的一部分。因此。入射能量的分匆很分散。主焦点上的能量，衍射效率只有百分之十， 其衬度是可想而知的，以至于这种波带板难以在实际系统中得到应用。 1 8 9 8 年r w w o o d 制造了位相菲涅耳波带板。它是全透光的，在对应振幅型波带 板不透光的部分是具有一定厚度的透光材料。透光材料的厚度在相邻半周期结构之间 引入了位相差。这种位相差使得位相菲涅耳波带板的衍射效率提高到百分之四十。虽 然与振幅型波带板相比衍射效率得到了大幅度提高，但背景光仍然很强而难以应用。 1 9 4 8 年d g a b o r 提出了波前重现的全息原理。后来r o g e r s 研究了全息图和波带板 之间的相似性。 在五十年代和六十年代初期，蝈外一些研究人员曾考虑使用闪耀波带板来增加特 定衍射级上的能量。在标量近似范围内使用闪耀位相菲涅耳波带板在理想情况下可使 衍射效率达到百分之百。但是这种衍射光学元件当时在制造技术上存在很大的困难。 六十年代末期，l e s e m 等人提出了相息图的的方法。相息图将光波的位相信息以 表面浮雕的形式记录在胶片上它像菲涅耳透镜那样，通过改变自身的光学厚度去改 变照射光波的位相或波前分布。相息图的突出特点是衍射效率可以达到百分之百。时 隔不久出现了相息透镜。从那时起，人们对表面浮雕型衍射成像元件的兴趣大增。开 展了各种表面浮雕结构来构造制造技术的尝试。特别是1 9 7 2 年出现了一种方法，采用 二元光刻掩模版来制造所要求的表面形状。 八十年代美国麻省理工学院林肯实验室开始将大规模集成电路制造技术应用于表 面浮雕位相结构的制造，用一系列的台阶形状来近似所要求的表面轮廓，制造出了表 面质量很高，成像性能良好的衍射成像光学元件，称之为二元光学元件。这样，二元 光学这个术语受到了光学领域及相关领域的研究人员和工程技术人员的广泛的、高度 的重视。二元位相光栅对应于它的凸凹部分只有0 和两级位相，衍射效率仍然较低。 多级位相光栅具有多级衍射结构，随着衍射结构级数的增加，衍射效率从理论上来说 可以达到理想程度，当位相级数趋于无穷时，衍射结构的子结构消失，每个周期都变 成连续的表面。 九十年代年代中后期，随着加工技术的进步出现了较低成本的周期性连续表面浮 雕结构的衍射光学元件衍射光学技术开始进入商业应用时代衍射光学这个词也逐渐取 代了二元光学。具有连续面型的衍射光学元件，在红外和可见光波段的光学系统中都 有广泛的应用。其优点主要表现在它的特殊色散性质和任意位相分布性质，在成像系 统中可用于校正色差、二级光谱，产生任意位相分布。传统的连续面型的衍射光学元 件是单层的表面浮雕结构，其衍射效率受到设计波长的限制，即在设计波长处衍射效 率能达到1 0 0 。随着波长相对设计波长的偏离，衍射效率逐渐下降。影响了光学系统 的成像质量。多层衍射光学元件可以在保留单层衍射光学元件其它良好成像特性的基 础上，提高宽波段的衍射效率，这是衍射光学元件在成像特性方面的进步。 2 0 0 0 年，多层衍射光学元件成功应用于照相机镜头并投入商品化生产。含有多层 衍射元件的相机镜头的成像质量、体积、重量等指标是其它常规镜头无法实现的。有 关多层衍射光学元件的技术还在不断的发展，它将会有更多的应用，比如可交换的s l r 镜头、数码相机镜头、h m d ( 头盔显示器) 、双l c d 投影仪镜头以及其它摄影设备。 由多层衍射光学元件构成的折衍射混合光学系统的像质甚至要比全折射系统好。随着 衍射光学元件复制技术的逐步成熟，制造成本的降低也会变成现实，多层衍射光学元 件在紫外、红外和可见光等光学系统中的普遍应用将是一个必然发展趋势。 1 3 多层衍射光学元件的研究现状 多层衍射光学技术的研究在国外开展的比较早。2 0 0 0 年9 月4 日，c a n o n 宣布研 制成功世界上第一片用于照相机摄影镜头中的多层衍射光学元件，在2 0 0 1 年上半年推 出了采用图1 1 所示的双层衍射元件的商用e f 4 0 0 m m f 4 长焦镜头【“，系统如图1 2 所 示。采用这种结构的镜头不但克服了单个衍射面存在其他级次的衍射光的问题，而且 设计的镜头较常规方法设计的镜头长度缩小2 6 ，重量减轻3 6 ，同时不再使用昂贵 的特殊材料( 如萤石) ，如图1 3 、1 4 所示。 图1 1 多层衍射光学元件图1 2 佳能e f 4 0 0 m n f f 4 镜头 目前在变焦照相机镜头上已经使用了三层衍射光学元件，其成像质量优于大部分 其它同类焦段的镜头，且体积重量大大减小，具有极佳的便携性。 国内对于衍射光学系统研究目前还停留在基于单个衍射面的混合光学系统设计方 法上，很难解决单个衍射面的混合光学系统存在衍射效率比较低下的问题。 图1 3 含有多层衍射元件的 e f 4 0 0 m m f 4 镜头及全折射镜头 图1 4 含有多层衍射元件的 e f 4 0 0 m m f 4 系统及全折射系统的结构图 4 第二章多层衍射光学元件理论基础 2 1 标量衍射理论 标量理论不考虑电磁场的矢量本质，存在许多不足，如不能表述电磁场的偏振态 等，但在实际应用中标量理论在很大范围内可以满足设计要求，因此从应用角度看， 标量理论应该被认为是一种解决光场问题的不同的方法，而不只是电磁理论的近似。 作为一种准确描述电磁场及其传播特性的数学方法，m a x w e l l 方程建立了衍射光学 理论的基础。根据m a x w e l l 方程所表述的电磁场理论，自由空问一点任意时刻的单色 光由一对电场强度矢量e ( x ，y , z ，0 和磁场强度矢量n ( x ，y , z ，t ) 所定义。m a x w e l l 方程描述了 这两种矢量之间随时问变化、随空间分布的规律。 f v e 一0 i 盼讹警 旺。， i v h - 0 v x h - * * o - 警t 其中e 与1 1 分别是介质的相对介电常数与相对磁导率。 伴随波的传播，电场和磁场共同传递电磁波的能量，即电磁辐射电磁波能流密 度坡印廷矢量为s e x h ，其方向与波法线方向一致，随时间空间变化高速振荡，在 理论或实际应用中，人们更关心时间平均电磁能流密度，其值表述光强。按照矢量场 论运算规则推演方程组( 2 1 ) 可以得到波动方程的标准形式： j v 2 e 吖脚夏a x e - o 旺：， 卜一。m 争- o 值得注意的是，电场的波动方程与磁场的波动方程在形式上完全一致，说明电场 于磁场波动方程的解在二维空间内形式也是相同的。空间中存在某种确定关系的交变 电磁场的运动变化形成电磁波，体现光的波动性。按照波动方程所表述，光波的传播 速度v 为： 嘉岷吼2 孺1 蔗 他， 公式( 2 2 ) 的解有多种形式。其最简单解为平面简谐波。平面简谐电磁波是自由空问电 磁波的、。个基元成分，任何复杂变化的场都可以通过傅立叶变换分解为基元简谐场的 线性叠加其表达函数为： j e ( 7 ，) ；e 0 8 ( k r - a g + ( 2 4 ) 其中k 为波矢量，竺堡，表示波的传播方向，i t ) 为光波的角频率。矢量e ，h 与 波矢方向空间周期为x ，时间周期为丁- 弓一形。 j v o 房列) + k ：，e ( x ，y ，砧) 。0 ( 2 5 ) i v 。日o ，y ，z ，f ) + _ i 2 ，y ，z ，f ) - 0 e ( x ，y , z ，o 来描述。再考虑到e 有三个分量( e i ，马，助各分量遵从的是同一形式的波动方程 ( 2 2 ) 比如e i ( x y ，z ，t ) 的波动方程形式为： 等+ 等+ 等一七毽- o 旺s ， v 钐 ，弘z ，t ) + k 2 u ( x ，_ ) | ，磊f ) - 0 ( 2 7 ) 端) 嘶朋印憾争石r ， 情况下，比如论述光波叠加的相干条件、偏振光学等问题时，我们自然要注意到光波 我们选择简谐波为定态光波的基元成为，其杯量波函数的复数形式为 u ( r ，t ) 一u oe x p i ( k r - a t ) 】 ( 2 9 ) 6 它体现了定态波振幅稳定、频率单一的特点。振幅a ( r ) 虽然不随时间改变，却可能是 场点r ( x ，y ，z ) 位置的函数。在运算中忽略时间相位因子的影响，只考虑振幅与相位的 空间分布，引入复振幅的概念来统一概括波场的振幅分布与空间相位分布，本文中标 量衍射理论中涉及到的定态波场分析就是分析复振幅的分布。 复振幅定义为： u ( r ) - a ( r ) e x p l 印( r ) l ，( 2 1 0 ) 则光强的空间分布 ，( p ) 一u ( p ) u ( p ) 一a 2 ( 2 1 1 ) 需要注意的是，虽然时谐平面波被广泛应用，但它并不代表任何物理上可实现的 波，另外，纯单色波的假设也是没有物理意义的，所有物理光源都有有限的谱宽。 采用标量衍射理论分析衍射光学元件时，电磁场的特性由一个单独的标量方程 u ( x ，y , z ，t ) 来描述。在各项同性均匀介质中，用标量理论的公式表示光场传播，可以得到 和电磁理论一样的结果，因此可以用标量理论来表示电场矢量的x , y 分量，只需用一个 m a x w e l l 方程表示电场矢量的z 分量就可以描述光场分布，可以降低计算的复杂度。但 在某些特定情况下，如平面波的波矢量k 在x y 平面上，波矢的z 方向分量为零，这种 方法就不可行了，在分析的时候要特别注意。对于各向异性非均匀介质，如衍射光学 元件，人们利用衍射光栅对标量理论与电磁场理论之问的差异进行了广泛的研究p - 7 1 ， 但是并没有被得出标量理论有效性的普遍规律，只是对于不同类型的微结构标量理论 的适用范围积累了一些经验，例如，标量理论很好的描述了周期分布的二元表面微结 构的衍射问题，甚至周期短到4 个波长，然而对于闪耀表面形貌，当周期小于1 0 个波 长时，标量理论就不够准确了吼 2 1 1 标量衍射系统模型与复振幅透过率方法 如图2 1 所示一个典型的标量衍射系统由三部分组成，以衍射光学元件为界，前场 l 为光波入射空间，入射光波通常为平面或球面简谐波，等幅面与等相面重合，属于均 匀波；衍射光学元件内部l i 为光透射空问，入射光波振幅或相位受到衍射微结构调制 使得光波波前发生改变；后场i 为衍射空间，透射光波在该空间传播形成光强起伏的 衍射图样，衍射光波等幅面与等相面一般不重合，为非均匀波。 7 靠： 图2 1 标量衍射系统空间模型 在衍射系统分析中，人们关注三个场分布：入射场是照明光波到达衍射光学元件 的波前函数；透射出射场0 ，( 在分析反射型衍射光学元件时为反射出射场) 是衍射空间 初端的波前函数，它决定了整个衍射空问的光场分布；而衍射场疗。是纵向特定位置的 波前函数。整个衍射系统贯穿着波前变换，可以归类为两种情形：一是光在自由空间 的传播，二是光波前受衍射光学元件调制透射。 采用标量衍射模型时，衍射光学元件可用基底曲面方程和其本身的复振幅透过率 函数来描述，曲面前的光场分布乘上衍射光学元件的复振幅透过率就德到曲面后的光 场分布。由一个波前导出前方任意处的另一个波前，这是衍射问题的基本提法，亦即 波传播问题的基本提法。或者反过来说，衍射光学元件的复振幅透过率函数定义为透 射波前函数与入射波前函数的比，即 酏小瓷器嘶c x p y ) 】 ( 2 1 2 ) 通常衍射光学元件有相位型、振幅型和相幅型三种类型，本文讨论的衍射光学元件均 为相位型，即t 为常数，仅有相位函数妒似y ) 这种衍射光学元件无吸收，衍射效率高， 也易于加工。这样相位型衍射光学元件的复振幅透过率函数可以简化为： 亏0 ，y ) = c x p h p ( x ，_ ) ，) ( 2 1 3 ) 因此如何描述衍射光学元件的复振幅相位分布是标量理论的关键。我们定义衍射 矗o ，y ，z ) 一n o ，y ，2 ) + i k 0 ， ，z )( 2 1 4 ) 其中n ( x ，y ，z ) 是折射率，k ( x ，y z ) 是介质的吸收系数，则衍射光学元件的复振幅透过率函 7x，y：-e。x。piko：fr。(“x，,yy，,。z)d出z】piko。；p 【七i 产( 。，y ，。) 比】 z ，s ) 吣x p “y ，z 炫卜x p i - 七( w ，z 】 8 对于不透明区域k m ，对于无吸收完全透明区域k = 0 ，即 弛y ) 一p 陋p 叭微】 ( 2 1 6 ) 妒 ，y ) 一七0 。n 0 ，y ，z ) 出 称为衍射光学元件的相位分布函数。对于介于0 与h 之间单层衍射光学元件，其复折 射率分布可以表示为： 撕加默嵩竺曼 乃 其中h ( x ，y ) 是衍射光学元件微结构表面高度分布函数，则相位分布函数为： 妒 ，) ，) _ 七。，l i “) ，) + 。一： h - h g ，) ，) l ( 2 1 8 1 一七一2 h + ( 一胛2 ) ( b y ) 、。 在多数情况下只有波前相位相对改变量起作用，因此常数项k o n z h 可以忽略。同样，对 于多层衍射光学元件，需要通过构成它的多层界面高度函数h a x ，y ) 来描述， 五0 ，y ，z ) * 一，0 s zs l o ，y ) n ：，啊g ，y ) 2 ，y ) ( 2 1 9 ) ，丸4 0 ，y ) z h 则相位分布函数为 毗力2 幻哦y ) + 焉鸬如似y ) 一 州+ 啮矾 h 一咆“以y ) 】 ( 2 2 0 ) = k o n , h + k o “一他地以力+ 瓴1 一以溉d 阮力 面对于曲面基底的衍射光学元件，可以通过相位叠加来描述，基底上制作衍射光学元 件，其相位分布函数为 妒o ，y ) 。吼+ 。t 。专p + ) ，2 ) + 咖。 ( 2 2 1 ) + 魄一玎：) 啊0 ，y ) + 一- k o o 。一，l 溉。0 ，) ，) 按照标量理论，相位分布函数妒o ，y ) 中相位2 的整数倍可以被增加或减去，而不改变 对光波的调制作用，这使得相位函数可以压缩在0 到2 m 之间则公式( 2 1 6 ) 表述的 任意相位分布函数可以通过制作表面微结构的方式实现相位压缩： 删十痂t c 寺卜 汜z 2 ， 其中i n t ( x ) 是取整函数，q 为深度比例闳子当q ，1 时。表示因加工误差或设计波长与 使用波长的偏差，m 为大于i 的整数。采用n 台阶二元量化方法得到二元光学元件的 相位分布函数： 瓦( 侧孥等g ( 2 2 3 ) 图2 2 表示的是上述两种相位压缩方法的示意图。 图2 22 p 连续相位压缩与2 台阶，8 台阶相位量化方法 2 1 2 波的传播与基尔霍夫衍射积分式 衍射光学中一个重要的问题就是波的传播问题：光波传播一段距离之后，光场分布 将如何改变。当衍射光学元件的衍射特征尺寸远大于光波波长时，采用标量衍射理论 分析衍射光场分布具有足够的精度。常见的标量衍射分析方法有：基尔霍夫衍射理论、 平面波角谱理论和瑞利一索末菲衍射理论。 对于这一问题，菲涅尔在惠更斯次波概念的基础上，提出了次波相干叠加原理， 认为波前上的每一个面元可以看作向四周发射次波的次波源，波场空间中任一位置的 波场分布是所有次波源的相干叠加，如图2 。3 所示，p 点的场分布为： u ( p ) 邪d o ( f ) k f f ：( e o , o ) o 。( q ) e x p ( i k r ) 豳 2 2 4 z r 其中d o ( p ) “d s 表示波前上作为次波源的微分面元，o o ( q ) 为次波源自身的复振幅， 竺丝生表示次波源发射球面达场点。1 ( o o ，疗) 为倾斜因子，表明次波元的发射并非各 向同性。 1 0 s p 图2 3 惠更斯一菲涅尔衍射积分 基尔霍夫从定态波场的h e l m h o l t z 方程出发，利用矢量场论中的g r e e n 公式，在 打1 即r a 条件下，导出了无源空间边界定解的表达式， d ( p ) 一云汀玩( q ) c o 嘲，r ) 一鲫咖，) 】! ! 警盟豳 ( 2 2 5 ) 与菲涅尔衍射积分式相比较，二者主体结构相同，基尔霍夫衍射积分式明确了倾斜因 子，给出了比例系数k ，_ - i ；竺堕：型指出波前面z 并不一定是等相面，凡是隔离点 a 光源与场点韵任意闭合面都可以作为衍射积分式中的积分面，这对于求解实际的衍射 场分布具有重要的意义。 从理论上来看，基尔霍夫衍射积分式相对于菲涅尔衍射积分式更能准确的表述衍 射场的传播。基尔霍夫边界条件假设的主要内容是合理和正确的。但根据严格的电磁 场理论来看则存在不自洽和不严格之处，比如：衍射结构通光孔径外的光场为零，但一 旦过边缘进入光孔就有了光场，这种场的突变不满足电磁场的边值关系：不论屏障材料 是金属还是介质，都会影响光孔面上的光场分布，因此此时的光场不再是无屏障时的 自由光场：无穷远处的波翦函数趋予零，但其积分蔼是无穷大，不能肯定积分结果对场 点的贡献为零。严格的光波衍射理论应当是高频电磁场的矢量波衍射理论。严格理论 下的边界情况与基尔霍夫边界条件给出的场分布的显著差别，仅局限于光孔边缘临近 区域，波长量级的范围内。由于光波长往往远小于光孔限度，故采用基尔霍夫边界条 件计算远处r a 区域的衍射场，与实际情况的偏差不大。 2 1 3 平面波角谱表示法 波场的角谱表示法就是对光传播空间中任一平面上的光场分布通过傅立时变换进 行平面波分解，各个傅立叶分量看作沿不同方向传播的平面波，在任一其他点上的复 振幅是经过相移后的平面波之和。 沿z 轴正向传播的波在x y 平面上的光场分向出u ( x ，y ，z ) 表示。其傅立时变换定 义为 l l 【， ，y ，z ) 。乏j = ，二，o ，y ，z ) e x p - i 2 ( u y + w ) 抚方 ( 2 2 6 ) 逆变换为： v ( x ，) ，z ) 一f l u ( u ，y ，z ) e x p i 2 口( u ，杪) 枷咖 ( 2 2 7 ) 其中u ( u ，v ，z ) 称为光场分布u ( x ，y ，z ) ) 的角谱。在x y 平面内h c l m h o f l z 方程的傅立叶 变换为： 箬u “，y ，z ) + ( 2 卵) 2 u o ，y ，z ) 一o ( 2 - 2 8 ) 其中b 为传播因子： ei 盯( 2 2 9 ) 为了简单起见，忽硌定态波解中与时间相关的相位e x p ( - i a r t ) ，二次方程( 2 2 8 ) 的通 解为： u o ，v ，z ) - t q ，d e x p ( i 2 x f l z ) + r ( u ，v ) e x p ( - i 幻p z ) ( 2 3 0 ) 由此，h e l m h o l t z 方程( 2 7 ) 的解可以通过傅立叶逆变换求得： 疗似y ，z 卜成丁。，y ) c x p 【f 纫似+ v y + 纠枷咖 ( 2 3 1 ) 蛆r ( u , v ) e x p i 2 ( u x + v y 一声z ) p 础 公式( 2 3 1 ) 称为光波的平面波分解公式，其中含有t ( u ，v ) 的项表示沿着z 轴正方 向传播的波，含有r ( u ，v ) 的项表示沿着z 轴负方向传播的波。随着u 2 + v 2 数值变化，传 播因子1 3 既可以是实数也可以是虚数，实数传播因子表示光波的各角谱分量传播只发 生相位改变，虚数传播因子表示波动分量随传播按指数衰减，称为倏逝波。 假设所有光源只存在于z 0 的半空间，只考虑z 0 的半空间中光波传播问题，因 为按指数衰减并向后传播的波没有物理意义，即令r ( u ，v ) ：0 。如果把r - - 0 作为参考 平面，该平面上的复振幅分布为0 ( x ，y ，o ) 其角谱表示为： 丁 ，y ) 曩玄孤u ，y , 0 ) e x p 一i 2 s r ( u y + 秒) 6 回 ( 2 3 2 ) 传播空问中坐标为( x ，y ，z ) 的任一点p 处的光场分布可以由公式表示为： o ( x ，y ，z ) 一j 正t ( u , v ) e x p i 2 , , r ( v , x ，v y ，声z ) m 咖 ( 2 3 3 ) 公式( 2 3 2 ) 与公式( 2 3 3 ) f ，i ：描述的就是场传播问题的角谱表示法，t ( u ，v ) 称作z = 0 平面场的复角谱。因为没有采用任何近似。角谱表示法能够完全体现标量理论的思想， 并且通过f f t 及其逆变换，利用数值计算方法可以对公式( 2 3 2 6 1 ( 2 3 3 ) 有效的进行求 解。即使角谱表示法被用来用公式表示标量场，它也可以推广到电磁矢量场。如首先 分别应用公式( 2 3 2 ) - e j ( 2 3 3 ) 表示电场分量e x 与马，然后e z 与磁场h 可以通过m a x w e l l 方程求解。 2 1 4 瑞利一索末菲衍射 u o ，y ，z ) 。f f t ( v ，留) e x p i k ( p x + 倒+ m z ) c p d q ( 2 3 4 ) 地q ) _ ( 去) 成州，y ，o ) e x p - a ( p 茗吲) k 砂7 ( 2 3 5 ) 隧扔 亿s 回 将公式( 2 3 5 ) 代入公式( 2 3 4 ) 可以得到： u ( x ，_ y ，z ) 。，厶u ( x ，y ) g o 一工，y y , z ) a x a y ( 2 3 7 ) 一_ ) ，一y ，力。隹) z j = i 二唧似一力+ 如一力+ 膻】 蚴 ( 2 3 8 ) 公式( 2 3 8 ) 是用于解决光波传播问题的g r e e n 方程。如果用r 表示( x ，y ) ，rr 表示o ，) ，) ， 使用球面波w e y l 表示法可以得到： 耸铲- 尝正去唧m p m 伽】 蛐 ( 2 3 。) g 吖扩y 力一磊1 以0 【1 - e x l 艘) 】 ( 2 4 0 ) 詹- 拓i 再石丽 ( 2 4 1 ) gx t t 力一去( 砖一言) 素e x 艄， 他a z ， u o 彤z ) j ：i 亡u o 0 ) ( 膻一言) 嘉e x p ( 强厌) 出矽 c z 钙， 这就是瑞利一索末菲衍射公式。这种传播方法同样是标量领域的一个精确方法， 但是当传播距离z - - - o 时，它存在一个奇点。因此应用瑞利一索末菲衍射方程分析非常 短的传播距离的衍射可能导致数值的不稳定。角谱表示法并不是唯一的一种方式来推 导出瑞利索末菲衍射方程，从惠更斯原理推导可以得到相同的结果【9 】。 2 1 5 传播方法的比较 大量实验结果表明，当光波波长相对衍射特征尺寸小得多时，基尔霍夫理论与实 验结果符合的很好，完全适用于处理实际应用中所遇到的大多数问题。但基尔霍夫理 论本身存在着一些内在的不自恰性，如基尔霍夫理论的基础即基尔霍夫边界条件同时 对场强及场强的法向导数施加边界限制：在衍射孔内 2 q a ua 阢 ( 2 4 4 ) l 一- o ia ha 打 而在衍射孔外， p 一0 a 【， ( 2 4 5 ) k 刈 根据势论中的一个熟知定理：如果一个二维势函数及其法向导数沿任一有限曲线段 同时为零，则该势函数必定在整个平面上为零；如果三维波动方程的一个解在任一有限 面元上为零，则必定在全空间为零。因此基尔霍夫边界条件在衍射边界发生突变。不 满足电磁场理论的边值关系，与已知的物理事实矛盾。并且当场点趋近衍射孔时，基 尔霍夫衍射公式不能重新给出所设定的边界条件。另外运用基尔霍夫衍射公式时需要 己知a _ e u 的值，增加应用的难度，而瑞利一索末菲理论中未对旦旦施加边界条件，在应 犯d z 用中不需要知道! 竺的值，消除了边值关系的不自恰性，使用更加方便。有关文献对 d z 孔径衍射的基尔霍夫理论和瑞利索末菲理论进行了比较【1 0 】，表明当入射波为平面波或 球面波时，两者的差别为一边界波( 以孔径边界各点为源的波) ；当孑l 径尺寸比波长大得 多时，边界波的值在边界上高速振荡。平均周期为波长，对远场分布的净影响很小， 因而在中等衍射角范围内，两种理论分析得到的远场分布基本相同。 角谱表示法与瑞利索末菲衍射方法在数值精度内能够给出相同的结果。平面波角 谱法是将波场按平商波展开，丽瑞利索末菲理论是将波场按球面波展歼。两种理论对 边界条件有同样的要求，但在数学运算上，角谱法是指数因子，瑞利索未菲理论是格 1 4 林函数，相对角谱法要复杂些。f f t 算法可以应用在这两种方法中来加速计算时问。 应用角谱表示法，需要计算一次h 可与一次逆f f t ，瑞利一索末菲衍射方法则需要计算 二次f f r 与一次逆f f t ，表面上看来要比角谱表示法稍微增加一些计算时间，瑞利 索末菲衍射方法相对于角谱表示法在运算速度上没有任何优点。但事实并非如此，采 用哪种方法计算更快取决于这种算法的数值计算执行过程，因为衍射空间的光强分布 与采样点的数量密切相关具体情况比较复杂，在应用中存在各种各样的可能性。这 两种方法的比较是非常繁杂的。有时我们所关心的场并不定要位于z = c o n s t a n t 的平 面，位于倾斜平面，或更复杂表面，或沿着：轴的场都可能需要考虑，这时采用瑞利 索末菲衍射方法会比角谱表示法更方便进行数值计算分析光场的分布。 2 1 6 基于标量理论的衍射光学设计方法 图2 4 表示的是衍射光学元件的设计原理示意图，其中a 表示衍射光学元件孔径。 t 表示目标平面上的输出光场分布衍射光学设计的基本问题是在孔径a 内找到适当 的衍射光学元件结构，使得目标平面上的输出光场分布满足所需要求，将衍射光学元 件设计看作是一个优化问题，根据给定的入射光场和所需要的目标光场等已知条件， 如对于聚焦问题，t 是单个聚焦点，在光束整形应用中，t 是一个具有一定衍射光场强 度分布的有界区域，来构造设计目标函数，利用一种或多种优化算法，求解衍射光学 元件的相位结构，保证孔径a 内的大部分能量汇聚在目标面上，具有足够的衍射效率。 基于这一思想的优化设计方法主要有：模拟退火算法i n - 1 s ( s i m u l a t e da n n e a l i n g a l g o r i t h m ，s a ) ，遗传算法( g e n e t i c a l g o r i t h m ，o a ) ，盖师贝格一撤克斯通算法( g e r e h b e s a x t o na l g o r i t h m ，g s ) 和杨一顾算法( y a n g - g ua l g o r i t h m ，y g ) 等。 y r 陵! 玲 i z = o 产五 z 幽2 4 衍射光学兀件设计的原理示意圈 模拟退火法是模拟热力学中经典粒子系统的降温过程，采用统计方法作为判据求解规 划问题的极值。使计算跳出局部极小值区域，是一种适合解决大规模组合优化问题的 方法。它不受初始条件限制避免优化停滞在误差函数局部极小值，能够寻找到误差 函数的全局极小值点，描述简单、使用灵活、应用广泛、运行效率较高。模拟退火法 的判据原则为：当误差函数减小，相位改变；当误差函数增大，以一定概率改变相位。经 过多次迭代运算，直到退火温度满足设计要求。 遗传算法是种借鉴生物界自然选择和自然遗传机制的高度并行、随机、自适应 搜索算法。结合适者生存原理与基因交换机制，形成一种具有独特优化机制的搜索算 法，适用于并行运算，可以得到大规模组合优化问题的全局最优解。具体实施过程包 含初殖，繁殖，交换基因，突变和评价五个部分。 g s 算法是g