（固体力学专业论文）热塑性复合材料层间细观变形与损伤的力学行为研究.pdf

中文摘要 热塑性复合材料a s 4 p e e k 层合板在航空、航天和民用先进产品等领域应用 广泛。与热固性复合材料不同，热塑性p e e k 基体韧性明显增加，使a s 4 p e e k 层 合板塑性变形非常显著，在复杂应力状态下的力学和损伤行为更加复杂。精确分 析a s 4 p e e k 非弹性变形和亚临界损伤是这类材料设计和应用的基础。 本文运用细观力学含微结构代表性单元方法，采用有限元子模型方法，建立 了热塑性a s 4 p e e k 复合材料层合板的宏细观弹塑性有限元模型，在受宏观拉伸 载荷下，用母模型在宏观尺度上分析了层合板的层间应力；特别是，在细观的纤 维尺度上，建立了含纤维和基体两相的代表性单元的细观弹塑性有限元子模型， 假设纤维是弹性体，并考虑纤维的实际尺寸( 7 1 a m ) 和体积含量6 3 ，热塑性基 体p e e k 为弹塑性体，其计算所用的应力应变曲线是材料生产厂家实测的曲线。 首先，用含纤维和基体两相的代表性单元的细观有限元模型，计算了材料在 拉伸、压缩、剪切时的等效应力应变曲线，并与a s 4 p e e k 单层板的实验曲线进 行了比较，表明该代表性单元宏观力学行为与实际是等效的。其次，代表性单元 子模型的边界条件，由宏观各向异性弹性母模型计算的位移场插值给出，这比目 前国外学者所用的细观周期性边界条件更接近材料的实际受力状态。另外，采用 多重子模型方法，提高在宏、细观模型间位移插值精度，保证子模型的计算精度。 在上述方法和计算的基础上，用弹塑性细观子模型，在纤维尺度上，得到了 a s 4 p e e k 复合材料不同铺层层合板 o 9 0 2 。、【0 4 5 9 0 2 。和【2 5 s 4 等受拉伸载荷 时，层间附近纤维与基体界面的弹塑性应力应变场，进而在细观尺度上考虑p e e k 基体塑性和纤维基体界面强度，对层合板的层间应力、纤维与基体界面脱粘、基 体裂纹和分层等层合板皿临界损伤行为的影响；并对a s 4 p e e k 层合板受力时由 实验得到的诸多细观损伤现象进行了较好的分析，例如，f 0 4 5 9 0 2 。层合板基 体裂纹和分层裂纹都萌生于纤维基体脱粘处的界面裂纹，斜交f 2 5 1 。层合板的 分层破坏起源于层间附近纤维头裂纹。因此，本方法对这类热塑性层合板的优化 设计，特别是对纤维基体界面的设计具有重要的参考价值和指导意义。 本文采用多重子模型方法研究了不同基体裂纹扩展尺寸对多层a s 4 p e e k 层合板层间应力的影响。 关键词：热塑性复合材料层合板；层间应力；损伤：细观力学；弹塑性；多重 子模型 a b s t r a c t i nt h ea e r o s p a c ei n d u s t r y ，t h e r m o p l a s t i ca s 4 p e e kc o m p o s i t em a t e r i a li sn o w w i d e l yu s e d c o m p a r e dw i t ht h e r m o s e tc o m p o s i t em a t e r i a l s ，m o r ep m n o u n c e d p l a s t i c i t yi nt h ea s 4 p e e kc o m p o s i t ei sd u et ot h ei n c r e a s e dd u c t i l i t yo ft h ep e e k r e s i n t h e r e f o r e ，i ti sn o to n l yd i f f i c u l tb u ta l s on e c e s s a r y f o rt h ed e s i g na n d a p p l i c a t i o no ft h i sm a t e r i a lt oa n a l y z ea c c u r a t e l yi t sb e h a v i o r so fm e c h a n i c a la n d d a m a g eu n d e rc o m p l e xs t r e s ss t a t e i n p r e s e n tw o r k ，u s i n gm e s o m e c h a n i c a la n a l y s i si n c l u d i n gt h er e p r e s e n t a t i v e v o l u m ee l e m e n t ( r v e ) ，t h em a c r oa n dm c s o f em o d e l so ft h et h e r m o p l a s t i c c o m p o s i t el a m i n a t e s u n d e ru n i a x i a lt e n s i l el o a d i n ga r e d e v e l o p e db ym e a n so f s u b m o d e l i n gt e c h n i q u ei nt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，a n dt h ei n t e r l a m i n a rs t r e s s e so f l a m i n a t e sa r ea n a l y z e du s i n gg l o b a lm o d e li nl a m i n a rs c a l e ；e s p e c i a l l yi nf i b e rs c a l e ， t h em e s o m e c h a n i c a le l a s t i c - p l a s t i cs u b m o d e li sd e v e l o p e du s i n gr v ew i t ht w op h a s e s m i c r o s t r u c t u r eo ff i b e ra n dm a t r i x i nt h ec a l c u l a t i o no ft h i ss u b m o d e l i n g ，t h ef i b e ri s e l a s t i cw i t ha c t u a ld i a m e t e ra b o u t7 9 ma n dv o l u m ec o n t e n t6 3 ：a n dp e e km a t r i xh a s e l a s t i c - p l a s t i cb e h a v i o rw h i c hc a nb ec h a r a c t e r i z e du s i n gt h es t r e s s - s t r a i nc u r v et h a t t e s t e db yi t sp r o d u c e r f i r s t l y ，t h e s t r e s s s t r a i nc h i v e so ft h ea s 4 p e e kl a m i n au n d e rt e n s i o n ， c o m p r e s s i o na n ds h e a ra r er e s p e c t i v e l yp r e d i c t e db yt h em e s o f em o d e l sw i t hr v e ， c o m p a r i n gt h e s ec u r v e sw i t he x p e r i m e n t a lo n e s ，i ti ss h o w nt h a tt h em e s o m e c h a n i c a l b e h a v i o r sf r o mm e s o m o d e lm a t c ht h ee x p e r i m e n t a lf a c t s s e c o n d l y , t h eb o u n d a r y c o n d i t i o n s ( b c ) o ft h em e s o s u b m o d e lw i t ht w op h a s em a t e r i a l sa r eg i v e nb yt h e r e s u l t so fi t sg l o b a lm o d e l t h i s “n do fb o u n d a r yc o n d i t i o n si sm o r ea c t u a lt h a nt h e c o m m o n l yp e r i o d i cb c l a s t l y ，t h ei n t e r p o l a t i o np r e c i s i o no fd i s p l a c e m e n t sb e t w e e n t h eg l o b a lm o d e la n di t sm e s o - s u b m o d e lh a sb e e ni m p r o v e db ym e a n so fm u l t i - - p l y s u b m o d e l i n g ，i no r d e rt oe n s u r et h en u m e r i c a lp r e c i s i o no ft h em e s o s u b m o d e l b a s e do nt h e s em e t h o d s a b o v e ，u s i n ge l a s t i c p l a s t i c m e s o m e c h a n i c a l s u b m o d e l i n gi nt h ef i b e rs c a l e ，t h ee l a s t i c p l a s t i cs t r e s sa n ds t r a i nf i e l d sn e a rt h ea r e a s o ff i b e r m a t r i xi n t e r f a c ea n di n t e r l a m i n a t i o na r eo b t a i n e df o rs e v e r a lk i n d so f a s 4 p e e kl a m i n a t e s ，s u c ha s 【0 9 0 1 2 s ，【0 4 5 9 0 1 2 sa n d 【士2 5 1 s 4a n ds oo n ，u n d e r u n i a x i a lt e n s i l el o a d i n g a n dt h ei n f l u e n c e so ft h ep e e km a t r i xd u c t i l i t ya n ds t r e n g t h o ft h ef i b e r - m a t r i xi n t e r f a c eo ns u b c r i t i c a ld a m a g eb e h a v i o u r sa r es t u d i e d ，i n c l u d i n g i n t e r l a m i n a rs t r e s s e s ，f i b e r - m a t r i xd e b o n d i n g ，m a t r i xc r a c ka n dd e l a m i n a t i o n a b o v e e x p e r i m e n t a ld a m a g eb e h a v i o u r sc a nb ee x p l a i n e db yp r e s e n tn u m e r i c a lr e s u l t sf o r a s 4 p e e kl a r n i n a t e s f o ri n s t a n c e b o t hm a t r i xc r a c ka n dd e l a m i n a t i o ni n 【0 + 4 5 9 0 1 2 sl a m i n a t e sc o m ef r o mf i b e r - m a t r i xd e b o n d i n g ，a n dt h ef i b e r e n dc r a c k n e a rt h ea r e ao fi n t e r l a m i n a t i o ni st h ec a u s eo fd e l a m i n a t i o nf o rf 2 5 s 4l a m i n a t e s o t h em e t h o di nt h i sp a p e ri si m p o r t a n tf o ro p t i m i z ed e s i g no ft h e r m o p l a s t i cc o m p o s i t e l a m i n a t e s ，e s p e c i a l l yf o rt h ed e s i g no f f i b r e m a t r i xi n t e r f a c e u s i n gm u l t i - p l ys u b m o d e l i n go ff e m ，t h ei n f l u e n c e so ft h es i z eo fg r o w i n g m a t r i xc r a c ko ni n t e f l a m i n a rs t r e s s e si n 【o 4 5 9 0 1 2 sl a m i n a t eu n d e ru n i a x i a lt e n s i o n l o a d i n ga r ea l s od i s c u s s e d k e yw o r d s ：t h e r m o p l a s t i cc o m p o s i t el a m i n a t e s ；i n t e r l a m i n a rs t r e s s e s ； d a m a g e ；m e s o m e c h a n i c s ；e l a s t i c - p l a s t i c ；m u l t i p l ys u b m o d e t i n g 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得叁壅盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：尹写t 冠 签字日期：埘年2 月，p 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解叁壅盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权叁注盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：尹撕、径 导师签名： 之丸玩 签字日期： r 年乙月，牛日签字! e l 期：之一，年。月f = 1 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 研究背景 第一章绪论 复合材料是一种新型材料，它可以满足单一材料无法达到的性能要求，这种 材料不但给人们在选择和设计材料时提供了更多的可能性，而且为满足科技进步 对材料所不断提出各种新的要求方面提供了广阔的途径。因此，近年来在各个部 门中，例如，航空、航天、汽车、船舶、建筑、桥梁、化工、运动器材及生活用 品等方面复合材料的应用愈来愈广泛，在现代科技发展中，复合材料显得更重要 了。复合材料是由两种或两种以上力学、物理或化学性能各异的单一材料，经过 物理或者化学的方法组合而成的一种新型材料。拥有某些单一材料无法具备的显 著特点。纤维增强复台材料有许多优良特点”。，主要有： 1 ) 比强度( 强度除以比重) 高及比刚度( 刚度除以比重) 大。 2 ) 节省能源。用这种材料制造各种结构的工艺过程中耗能低于金属材料。 3 ) 材料的可设计性。这是复合材料和金属材料的不同之处。对于金属材料 各种性能指标已基本上规格化，设计人员无法随意改动，而复合材料的性能，除 了取决于纤维和基体的性能外，在很大程度上还决定于纤维的含量及铺设方式。 因此，设计人员根据需要可自行设计材料，最有效地发挥材料的作用。 4 ) 抗疲劳性能好。金属材料是各向同性的，裂纹的传播无阻碍，它的断裂 破坏事前没有任何预兆，一旦发生，甚为严重。而复合材料在发生断裂破坏之前 有一个发展过程而不是突然破坏的，它有明显的预兆，能及时加以补救。 5 ) 高温性能好。通常铝合金在接近4 0 0 摄氏度时，弹性模量及拉伸强度大幅 度下降，而有些复合材料在4 0 0 度的高温下可以长期工作，力学性能稳定。 6 ) 制造工艺简单。复合材料适合于整体成型，从而减少了零部件，紧固件 接头数目。 7 ) 热稳定性好。热膨胀系数小，因此残余热应力小。 1 2 研究进展 与其它领域的研究一样，对层合板复合材料的研究，同样有实验与计算两种 分析方法，计算又分为解析法和数值法。 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 早期纤维增强热塑性复合材料f r t p ( f i b e r r e i n f o r c e d t h e r m o p l a s t i c s ) 被定 位成非主流派的复合材料，甚至不列入各先进国家的强化塑胶统计数字中，经过 长期的技术发展及性能研究，近年来有了新的突破与改变，尤其在欧洲，热塑复 合材料的部分优势与市场应用甚至直逼传统热固性复材，其未来动向也备受重 视。 1 2 1 关于部分复合材料基体裂纹与分层破坏的实验研究 事实上，随着现代工业的飞速发展，对复合材料的需求不断增加，要求也进 一步提高，尤其是对高性能先进复合材料的研究和开发就变得更为迫切。国内外 不少专家学者做了大量的工作，包括各种实验，同时也提出了各种不同的实验方 法。 天津大学力学系沈珉等人做了 热塑性a s 4 p e e k 层台板基体损伤的 实验研究”。将长距离显微云纹干 涉方法与显微放大技术相结合，在 轴向拉伸载荷下，对a s 4 p e e k 0 + 4 5 9 0 1 2 。层合板层间变形，纤维 一基体脱粘和基体裂纹进行了从小 图1 - 1 9 0 u 9 0 气层基体裂纹云纹干涉u 场条纹 变形到大变形直至分层损伤的全过程实时、定量的细观变形测量分析。初步探讨 了热塑性复合材料a s 4 p e e k 【0 + 4 5 9 0 1 2 。层合板基体的非弹性变形和损伤过程的 一些基本特征。如图卜l 所示。 日本学者s a t o s h ik o b a y a s h i 和 n o b u ot a k e d a b 对碳纤维增强塑料 c a r b o nf i b e rr e i n f o r c e dp l a s t i c s ( c f r p ) 在拉伸载荷下进行了细观 损伤的实验研究1 7 1 。图1 2 所示为用 光学方法拍摄的自由表面细观损伤 的图片。在图中可以清楚地看到基 体裂纹和分层破坏。同时他们还借 图1 f 2c 9 r 9 + 4 5 9 0 】s 细观损伤 助于x 光线对其进行了研究。 实验方面其他人也做了大量工作8 2 5 上8 3 “。但是不管用什么实验方法，类似 这类实验只能观察到材料自由表面的细观损伤，或对已经形成的较大裂纹进行探 测，而无法得到整个内部的细观损伤信息，也不能对材料性能进行有效地预测。 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 1 2 2 数值方法 由十我们所要解决问题的复杂性，解析法的使用受到了很大限制。当所要分 析的结构变得不再简单，当边界条件与载荷非常复杂时，人们更多是采用数值方 法来求解。我们所用的有限元法就属于数值法。有限元计算细观力学的发展是近 几年来细观计算，；f _ 学发展的主要特征和推动力。伴随着电子计算机的飞速发展， 有限元计算细观力学也得到了前所未有的发展，所能计算的自由度不断增大，能 够模拟更加复杂的结构以及边界条件和载荷条件。近年来，随着细观力学的迅速 发展，对复合材料材料性能研究起到了很大的推动作用。 法国有学者研究了受轴向拉伸荷载作用时的正交层合板的横向裂纹”】。在准 静态测试中，发生在9 0 度层大部分裂纹会瞬即跨过整个试件宽度从一边扩艘到 另一边。在这种情况下，横向裂纹的研究降为二维问题。作者对此进行了有限j b 分析，并将由有限元方法与解析模型方法得到的结果进行了比较。 而更多的学者将他们的精力投入到了数值计算模拟中来，美国学者 s y h s u l 9 1 和加拿大学者f e m a n de l l y i n l l1 2 2 1 等不少人在从事这方面的研究，而 且从宏观到细观都有。其中西班牙学者jse g u r a d o 。3 “和cg o n z a l e z 。在颗粒 增强复合材料方面做了大量的工作，其中有些方法对其它复合材料的分析也很 有益处。其它人的具体工作参看参考文献0 1 4 ，1 52 72 9 ”，3 4 ，4 05 15 25 9 1 等。 以f e m a n de l l y i n 为代 表的很多学者在对细观模 型施加边界条件和载荷 时，都是选取周期性模型， 建立代表性体积单元。如 图1 3 所示，f e m a n de 1 l y i n 将每个铺层都看作是只有 一层纤维的结构。在取出 代表性体积单元后，所施 加的边界条件为：除了自 由表面之外，假设其它各 面在变形后仍然保持为平 面，也就是在实际有限元 k 女* 日i 圈1 - 3 正交层板 o 9 0 。及其代表性体积单元细观模型 计算操作中，将其它各面上的节点进行自由度约束。而我们所知的实际情况是， 在变形后，由丁各层在性质上的不同，其代表性体积单兀的各面( 包括自由表 面) 完全可能不再保持为一个平面了。 面) 完全可能不再保持为一个平面了。 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 类似这种方法虽然很好地解决了边界条件的周期性问题，但是他们将每个 铺层用一层纤维来模拟，而且对细观模型的选取和边界条件的施加都进行了太 多的简化，使得由宏观模型向细观模型过渡时没有明显的连续性，对细观模型 边界条件和载荷的施加具有明显的不合理性。 1 3 本文工作的主要内容 本文不但计算了宏观尺度上复合材料层合板的力学行为，而且运用细观力学 方法，从微结构复合材料中抽象出具有代表性的细观结构，采用有限元方法，对 其进行细观力学分析。在细观模型的建立过程中，使用子模型的方法，将由宏观 模型所得的边界条件施加于细观模型，以确保细观模型中边界条件与实际吻合。 为了尽可能的使两者之间的联系更加合理，边界条件更准确，我们使用了多重子 模型的方法。在宏观模型中，可将复合材料当作宏观均匀连续体，采用有效弹性 模量概念，用连续介质力学理论研究复合材料的力学行为；而在细观模型中，复 合材料是具有纤维和基体两相的非匀质材料，纤维采用有一个对称轴的弹性本 构，而基体则为弹塑性。本方法对这类热塑性层合板的优化设计，特别是对纤维 基体界面的设计具有重要的参考价值和指导意义 本文中所做的主要工作有下面几个方面： 1 )宏观尺度上的力学分析，包括基体裂纹与层间裂纹的数值模拟，并用 予模型方法计算基体裂纹附近区域的应力应变场。 2 ) 基于弹性和弹塑性基体本构的多层板f 0 4 5 9 0 1 2 。和正交 0 9 0 2 ；层合 板细观模型的应力应变分析。 3 )用细观模型预测单层板宏观均匀各向异性性能。 4 )多层a s 4 p e e k 层合板层间变形与损伤分析。 天津大学硕士学位论文第二章细观子模型有限元分析 第二章细观子模型有限元分析 有限元计算细观力学的发展是近几年来细观计算力学发展的主要特征和推 动力。模拟三维结构，尤其是对破坏损伤的模拟是一个重点，也是一个难点。在 本章中研究了热塑性基复合材料宏、细观特征之间的联系，将宏观复合材料体中 的一点赋予了细观结构特征。同时也建立了复合材料宏、细观力学之间的联系。 在分析复合材料宏、细观场量之间联系的基础上，基于含纤维和基体微结构的复 合材料，选取适当的代表性体积元，建立细观力学模型，运用子模型的方法，施 加由宏观模型所得边界条件于细观模型。能用于复合材料宏观有效性能的预测及 细观应力、应变场的分析，实现对复合材料结构的宏、细观分析。并得到了一些 有应用价值的结果。 2 1 有限元法简介 有限元法是根据变分原理求解数学物理问题的数值计算方法，可以解决用解 析法无法求解的问题。对于结构形状不规则的复杂结构，有限元法是一种行之有 效的现代分析手段。 有限元法的起源可追溯到4 0 年代 。1 9 4 3 年，r ，c o u r a n t 从数学角度提 出了有限元法的基本观点。1 9 6 0 年，r w c l o u g h 在分析弹性力学的平面问题中 提出了有限元法的概念。随着计算机应用的日益成熟，有限元法已得到很大的发 展。如今，有限元法已广泛地应用于机械、航空、水利、建筑及其它工程结构的 设计计算中。 在结构设计中，结构分析是其重要环节，目的在于确定结构在某种载荷和约 束作用下的应力和位移分布。为了保证结构能正常工作，必须满足强度、刚度和 稳定性等方面的要求。因此，应力分析是结构分析的基本内容。 有限元的基础是结构离散和分片插值，在进行工程结构分析时，将一个连续 的弹性体划分为有限个单元，即将一个具有无限多自由度的结构离散为有限个自 由度的系统。不论其结构形状、边界条件等如何复杂，总是可以将离教后的每个 单元的形状变得比较简单，且满足连续条件的位移模式，而位移模式是用简单的 形函数来描述的，使单元内的位移场分布可以用单元结点的特定位移来表示。这 样便可以用有限多个单元以一定方式连接而成的整体模型来模拟任一复杂结构， 天津大学硕士学位论文第二章细观子模型有限元分析 同时模拟受力条件和边界条件，然后从能量原理出发建立和求解整体结构的代数 方程组，就可以得到结构的位移场和应力场。由此求出的数值解，完全可以逼近 真实解，从而为结构设计提供了可靠的参数。 由于有限元法能灵活地考虑许多复杂的工况和边界条件，几乎适用于求解所 有连续介质问题。并且该方法采用矩阵形式表达，易于计算机编程。因此，有限 元法在工程中得到了广泛的应用。 2 1 1 有限元分析的基本原理 在有限元分析中，为了能模拟形状复杂的结构，常需采用等参单元1 1 9 , 2 0 。这 种单元的实质是通过坐标变换将规则形状的单元变换为结构中的实际单元，从而 可以模拟复杂边界的结构。由于在坐标变换式和位移模式中均采用了相同的形函 数，故称等参单元。例如，空间实体单元常用8 结点等参单元，其位移模式及坐 标变换式取为 = 鸬， 8 = ，x ， ，= l 8 v = e n ，v ， i = l 8 y = n y f 2 l n 。w n ，z ， ( 2 1 、 ( 2 - 2 ) 其中，形函数取为 f = 吉( 1 + 参颞1 圮枞1 + f ) ( 2 _ 3 ) 式中，o x y z 是整体坐标系，o 勃缇自然坐标系。 下面通过对n 个结点的空间等参单元进行力学分析，来建立这种单元的载荷 列阵、应力矩阵和刚度矩阵。 1 载荷矩阵 对单元所受的载荷，包括体积力、面积力等，在进行结构分析时，为简化每 个单元的受力情况，将这些力遵循等效原则转换到结点上成为结点荷载。 当单元任意一点受集中力 p = 【只只只】时，荷载列阵采取如下形式 r 8 = 7 p )( 2 4 ) 其中， r 8 = 【x i ，z l ，x 2 ，匕，z 3 ，一，x 。，匕，z 。】7( 2 5 ) 而形函数矩阵 n 用三阶单位矩阵，及各个形函数表示为 n 】- 【i n 】，2 ，3 ，m 】( 2 6 ) 。川 = | i w z 天津大学硕士学位论文 第二章细观子模型有限元分析 当单元受分布体力 p ) = yz 】7 时，可利用积分求得载荷列阵为 = 7 p d v = r ，r f ，i n 7 p l j l d 喜d r l d ( ( 2 - 7 ) 上式积分时，须先将体力分量x 、y 、z 表示成为局部坐标f 、r 、f 的函 数后，再进行积分。式中，l j l 是雅可比矩阵，即 l 鱼鱼鱼l l a 亭a 叩a f l l ，l = 陲考毒l 。： 巨鱼鱼i l a 善a 吁a f l 2 应力矩阵 将位移模式的表达式代入几何方程，可得单元内变形的表达式 s 】= 占 j 。= b 。，b 2 ，b 3 ，e 万) 。( 2 9 ) 其中， b 】称为应变矩阵， 艿) 2 是单元上的结点位移列阵，即 占 。= “l ，v 1 ，w l ，“2 ，v 2 ，h 勺，“。，v 。，0 7( 2 1 0 ) 故单元内的应力可以表示成为 盯) = j 9 】 s = d 】【b 万 8 = s 】 万 。( 2 1 1 ) 其中， d 】称为弹性矩阵； s _ 【d 】【别，称为应力矩阵。 3 刚度矩阵 结构承受载荷达到静止的变形位置时，各单元也在单元结点载荷 r 。的作 用下，引起内部应力，而处于平衡状态。根据虚功原理，在任意给出的结点虚位 移下，单元结点力 r ) 8 及内力 盯 所做的虚功之和应等于零，即 甜月+ 耐，= 0( 2 1 2 ) 设单元结点以任意虚位移数值的列阵表示形式为 j + ) _ z f l v l w ? ，“：，v 2 4 ， w 2 + ，“：，v ：， w n + ( 2 13 ) 按( 2 9 1 式同样可得 占 - b 】侈+ )( 2 1 4 1 故单元结点力的虚功为 6 a 。= 万) 7 r 2 而内力的虚功为 ( 2 - 1 5 ) 天津大学硕士学位论文 第二章细观子模型有限元分析 6 a 。= 一眦占+ 】7 c r d v = 一f ，。( 【b 】 万+ ) ) 7 【d 】 b 万) 。d v = 一 艿+ 7l ， 8 1 7 【d 】【8 】 万 。d v ( 2 1 6 ) 其中，y 8 是单元的体积。渺。 和 万 2 分别是单元结点虚位移和单元结点位移 对于单元体积积分时，它们均是常数，可移到积分号之外。即 吼= 一 7 剀7 d i b d v 6 8 ( 2 - 1 7 ) 将( 2 15 ) 式- q ( 2 一l7 ) 式代入虚功方程式( 2 1 2 ) 式，可得 艿+ ) 7 j r 。= 占+ 7i ， b 】7 【d 】【b d y 占) 。( 2 1 8 ) 由于虚位移 占+ 是任意给定得，因此上式中可以 万 消去，即 尺 8 = i ，。j r 7 d b 】d 矿 石) 8 ( 2 1 9 ) 若记 【k 】8 = 明7 d b d v ( 2 2 0 ) 即为单元刚度矩阵，此时( 2 1 9 ) 式改写为 r 。= k 】8 万) 。 ( 2 2 1 ) 在自然坐标系口乎印f 下，单元刚度矩阵为 时= f ，。讲【d 】蚓歹咿彬f ( 2 - 2 2 ) 其分块形式为 k i 。 k 2 。 ： k 。 f 2 2 3 ) 其中子矩阵为 k ，】= ii 旦 7 d 】 哆 l j b 嘲彬f ( i ，产1 ，2 ，n ) ( 2 - 2 4 ) 有了单元的载荷列阵和刚度矩阵，建立求解结点位移时所需的结点平衡方程，在 求出结点位移之后，在利用( 2 1 1 ) 式求单元内的应力。 2 2 2墨如；k 训 k 彤；k = p -_l k 天津大学硕士学位论文第二章细观子模型有限元分析 2 1 2 有限元的发展与特点 1 9 6 5 年“有限元”这个名词第一次出现，到今天有限元在工程上得到广泛 应用，经历了四十年的发展历史，理论和算法都已经日趋完善。有限元的核心思 想是结构的离散化，就是将实际结构假想地离散为有限数目的规则单元组合体， 实际结构的物理性能可以通过对离散体进行分析，得出满足工程精度的近似结果 来替代对实际结构的分析，这样可以解决很多实际工程需要解决而理论分析又无 法解决的复杂问题。 应用从来就是技术发展的根本动力，对应用领域的不断探索也为计算机工程 技术人员提供了广阔的发展空间。有限元分析本来是一种经典的工程数学方法， 但巨大的运算量长期制约着这种方法在工程实践中的深层次应用。近年来随着计 算机技术的普及和计算速度的不断提高，有限元分析在工程设计和分析中得到了 越来越广泛的重视，已经成为解决复杂的工程分析计算问题的有效途径，现在从 汽车到航天飞机几乎所有的设计制造都已离不开有限元分析计算，其在机械制 造、材料加工、航空航天、汽车、土木建筑、电子电器，国防军工，船舶，铁道， 石化，能源，科学研究等各个领域的广泛使用已使设计水平发生了质的飞跃，主 要表现在以下几个方面： 1 ) 增加产品和工程的可靠性： 2 ) 在产品的设计阶段发现潜在的问题； 3 ) 经过分析计算，采用优化设计方案，降低原材料成本； 4 ) 缩短产品投向市场的时间； 5 ) 模拟试验方案，减少试验次数，从而减少试验经费。 2 1 3 有限元及其软件的发展趋势 国际上早2 0 世纪在5 0 年代末、6 0 年代初就投入大量的人力和物力开发具 有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是由美国国家宇航局( n a s a ) 在 1 9 6 5 年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的n a s t r a n 有限元分 析系统。该系统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最强的 有限元分析系统。从那时到现在，世界各地的研究机构和大学也发展了一批规模 较小但使用灵活、价格较低的专用或通用有限元分析软件，主要有德国的a s k a 、 英国的p a f e c 、法国的s y s t u s 、美国的a b a q u s 、a d i n a 、a n s y s 、b e r s a f e 、 b o s o r 、c o s m o s 、e l a s 、m a r c 和s t a r d y n e 等公司的产品。纵观当今国 际上c a e 软件的发展情况，可以看出有限元分析方法的一些发展趋势： 1 ) 与c a d 软件的无缝集成 天津大学硕士学位论文第二章细观子模型有限元分析 2 ) 更为强大的网格处理能力 3 ) 由求解线性问题发展到求解非线性问题 4 ) 由单一结构场求解发展到耦合场问题的求解 5 ) 程序面向用户的开放性 2 2 子模型方法 2 2 1 基本原理 子模型是得到模型部分区域中更加精确解的有限单元技术。在有限元分析中 往往出现这种情况，即对于用户关心的区域，如应力集中区域，网格太疏不能得 到满意的结果，而对于这些区域之外的部分，网格密度已经足够了。要得到这些 区域的较精确的解，可以采取两种办法：一是用较细的网格重新划分并分析整个 模型，二是只在关心的区域细化网格并对其分析。显而易见，前一种方法太耗费 机时，后一种方法即为子模型技术1 2 。 子模型技术的优点是可以用与整体模型相同的运算规模，对结构的局部在较 小的尺度下进行更为精细、准确的分析，这是本文对a s 4 p e e k 层合板进行不同 尺度数值分析得以用子模型实现的关键，也是本文在计算技术和方法上要探索和 追求的。 子模型方法又称为切割边界位移法或特定边界位移法。切割边界就是子模型 从整个较粗糙的模型分割开的边界。整体模型切割边界的计算位移值即为子模型 的边界条件。即就是用子模型的边界在较粗糙模型的结果中进行位移插值，从而 得到子模型所要施加的边界条件的方法。 子模型方法基于圣维南原理，即如果实际分布载荷被等效载荷代替以后，应 力和应变只在载荷施加的位置附近有改变。这说明只有在载荷集中位置才有应力 集中效应，如果子模型的位置远离应力集中位置，则子模型内就可以得到较精确 的结果。 a n s y s 程序并不限制子模型分析必须为结构( 应力) 分析。子模型也可以有 效地应用于其他分析中。如在电磁分析中，可以用子模型计算感兴趣区域的电磁 力。 除了能求得模型某部分的精确解以外，子模型技术还有几个优点： 1 ) 它减少甚至取消了有限元实体模型中所需的复杂的传递区域。 2 ) 它使得用户可以在感兴趣的区域就不同的设计( 如不同的圆角半径) 进行 天津大学硕士学位论文第二章细观子模型有限元分析 分析。 3 ) 它帮助用户证明网格划分是否足够细。 使用子模型也有一些限制，如只对体单元和壳单元有效；子模型的原理要求 切割边界应远离应力集中区域。用户必须验证是否满足这个要求。 2 2 2 实现步骤 子模型方法在本研究中是一个比较常用的方法，它分析的主要过程主要包括 以下几个步骤： 1 ) 建立并分析较粗糙的模型。 2 ) 建立子模型。 3 ) 提供切割边界插值。 4 ) 给子模型施加边界条件并分析。 5 ) 验证切割边界和应力集中区域的距离足够远。 2 3 0 + 4 5 9 0 ，。层合板基体裂纹的应力应变场分析 本节针对受单向拉伸的 0 4 5 9 0 。层合板复合材料基体裂纹扩展尺寸对 层合板所产生的影响进行了分析。模拟了基体裂纹由小到大和由浅到深两方面几 种不同的情况，从而定性地验证了实验结果”1 ，得到了a s 4 p e e k o 4 5 9 0 1 7 、 层合板在单向受拉时的变形和基体损伤的一些基本特征。 2 3 1 材料本构及其子模型 岛 一0 图2 - 11 4 代表性整体模型及其子模型位置( 阴影) 图2 - 2 子模型示意图 a s 4 p e e k 层合板复合材料在一定的拉伸荷载下将出现基体裂纹，并在某些 丁强ll上 天津大学硕士学位论文 第二章细观子模型有限元分析 荷载条件下，出现裂纹饱和现象。从而就有了裂纹密度之说，也就是说裂纹之间 的间距大体上是一样的，所以我们在模拟中就可以取只包括其中一个裂纹的代表 性模型进行研究”1 。由于对称性，我们只取代表性模型的l 4 ( 图2 1 ) ：也就是取 8 层，在宽度方向上取一半1 7 5 m m 进行计算，而且基体裂纹也包括在其中。它 的机械性能与材料参数见表2 1 。层合板每层厚度都是h = 0 1 2 7 5 m m ，宽度为 3 5 m m ，模型长度( 拉伸方向) 为2 7 5 m m ，裂纹位于x = 0 处，x 方向的平均应 变晶= 1 1 4 4 0 b t ( 实验中所用的数据1 5 1 ) ，根据实验情况，所施加的边界条件如下： u ( - 1 3 7 5 ，y ，：) = 0 u 0 3 7 5 ，y ，z ) = 2 7 5 e o = o 0 3 1 4 6 m m y = o 以及z = 0 处，施加对称位移约束： v ( x ，0 ，z ) = 0 w ( x ，y ，- 1 7 5 ) = 0 表2 - 1a s 4 p e e k 层合板的宏观机械性能 e 1 ( g p a ) e ，( g v a ) e 3 ( g p a )g 1 2 l g p a )g l3 ( g p a )g 2 3 ( g p a )，i2，1 3y 2 3 1 3 4j o1 05 65 63 - 3 80 3o 30 4 7 为了进一步得到裂纹附近的详细信息，我们使用了子模型方法，见图2 2 为所取子模型。子模型为两层( 4 5 度层和9 0 度层1 ，长度( 图中x 方向) 为o 2 m m ， 宽度方向取o 4 r a m ，其边界条件为子模型边界相应节点在整体1 4 模型中得到的 位移解，然后再施加y = o 处的对称位移约束。由于卜4 5 9 0 层间( a ，b ，c ，d 所在平 面) 距裂纹较近，相对来说，卜4 5 9 0 层间所受裂纹的影响要大一些，所以在该层 间定义线段a b 以及线段c d 为结果输出路径，这也是我们将要重点研究的地方。 另外由于裂纹自由表面( z = o ) 处的部分位移和应变是我们能够直接测到的，我们 也将对其进行分析。 2 3 2 基体裂纹扩展尺寸对层间应力影响 2 3 2 1 基体裂纹沿厚度扩展的惰况 初始裂纹高度h ( 沿层板厚度方向) 为a o = 0 0 3 4 5 ( m m ) ，纵深l 也为a o ，并在 裂纹扩展中保持不变。当h 分别为2a o 、3a o 、3 5a o ，也就是在基体裂纹沿层 合板厚度( 在图中为y 方向) 扩展的情况下，比较在这几种情况下层间应力以及 裂纹附近自由表面的位移场，以及应力应变场的变化情况。同时也计算了该模型 天津大学硕士学位论文第二章细观子模型有限元分析 无裂纹的情况。 2 3 2 1 1 层合板自由表面处的位移、应力和应变分析 1 ) x 向位移u ， 随着裂纹在厚度方向上的扩展，自由表面处( z = o ) 的位移也随着变化，裂 纹对附近区域位移的影响也不断加强。而且其影响区域也在不断地扩大。如图 2 3 所示。 y