（光学工程专业论文）有机聚合物光波导的研究.pdf

摘要 有机聚合物是制作集成光波导器件很有前景的材料，有机聚合物光波导器件在光通信领 域是一个极具潜力的研究课题。其本身所具有易于集成、响应快速、成本低廉一系列优点， 使得有机聚合物光波导成为近年来研究的热点在光通信方面有广泛的和极具吸引力的应用 前景。本论文围绕无源有机聚合物光波导开展 ! 作，主要在光波导的数值模拟、聚合物材料 的性能、器件工艺的制备和聚合物光波导的应用等方面进行了较为深入的基础性研究。 有效的，灵活的精确的模拟和分析1 二具去模拟、设计、优化光波导器件是非常必要的。 光束传播法( b p m ) 是一种实用性非常强的波导模拟算法工具，它的最重要特征是能够对 导波模和辐射模作统一处理。本文针对波导的结构及折射率分布，运用基于道格拉斯算予的 宽角多步有限差分光束传播法模拟波导的传输特性，数值计算出波导中的光场的分布。与标 准格式的有限差分光束传播法相比，该算法在儿乎不增加计算时问和计算机内存资源的情况 下，结合了道格拉斯格式的有限差分光束传播法截断误差小平口宽角多步法所具有较高精度的 优点，是光波导器件理想的数值模拟工具。在此基础上重点计算分析了大角度交义波导的输 出分支波导的能量与交义角度的关系，以及交叉角度对波导间能量耦台的影响。这为实际的 设计制作光器件的工作提供了极好的基础。 实验中，研究了有机聚台物光波导的制各工艺过程，分析了聚合物光波导光曝光法的 理论和实验装置，制备出了脊型聚合物光波导样品，测量并分析了有机聚合物光波导样品的 吸收谱、折射率、厚度等物理特性。归纳了有机聚合物光波导的些应用。最后设计了有机 聚合物光波导薄膜光能量测量的装置结构，为以后进一步研究有机聚台物光波导创造了条 件。 关键词：导波光学，聚合物光波导，光束传播算法( b p m ) ，光漂白 i i a b s t r a c t p o l y m e rm a t e r i a li sv e r yp r o m i s i n gi nf a b r i c a t i n gi n t e g r a t i o no p t i c a lw a v e g u i d ed e v i c e s p o l y m e rw a v e g u i d ed e v i c e sa r ep o t e n t i a lp r o j e c ti nt h ef i e l do fo p t i c a lc o m m u n i c a t i o na n d i n t e r c o n n e c t i o n o p t i c a lp o l y m e r sw a v e g u i d ea r ear e s e a r c hh o tt o p i ca n d p a r t i c u l a r l ya t t r a c t i v ei n i n t e g r a t e do p t i c a lw a v e g u i d ed e v i c e sb e c a u s et h e yo f f e re a s yi n t e g r a t i o n ，r a p i dp r o c e s s i b i b t ya n d l o wc o s t t h i sd i s s e r t a t i o ni sc o n c e n t r a t e do nl u c u b r a t et h ep a s s i v ep o l y m e r w a v e g u i d ed e v i c e s ， i n c l u d i n gn u m e r i c a ls i m u l a t i o n ，m a t e r i a lc h a r a c t e r i s t i c ，f a b r i c a t i o n ，a p p l i c a t i o n i ti s n e c e s s a r yt h a ts i m u l a t i o na n da n a l y s i st o o l ss i m u l a t e ，d e s i g n ，a n do p t i m i z eo p t i c a l d e v i c e se f f e c t i v e l ya n df l e x i b l y b e a mp r o p a g a t i o nm e t h o d ( b p m ) i sp r a c t i c a b l e w a v e g u i d e s i m u l a t i o nm e t h o dt o o l s t h e yc a nc a l c u l a t e g u i d e w a v em o d ea n dr a d i a t i o nm o d et o g e t h e r a i m i n ga tt h es t r u c t u r ea n dr e f r a c t i v e i n d e xp r o f i l eo fw a v e g u i d e ，t h ew a v e g u i d eo p t i c a lf i e l d d i s t r i b u t i o nh a sb e e nc a l c u l a t e d b yt h eg e n e r a l i z e dd o u g l a s ( g d ) s c h e m e c o m p a r e dw i t h s t a n d a r dc r a n k - n i c h o t s o n ( c n ) s c h e m ei nt h es a m e c o m p u t a t i o n a lt i m ea n dr e s o u r c e t h em e t h o d h a st w oc h a r a c t e r i s t i c s ：s m a l lt r u n c a t i o ne r r o ro f i nt h et r a n s v e r s ed i r e c t i o na n dh i g h a c c u r a c y i t i sau s e f u lt o o lf o r d e s i g n i n go p t i c a lw a v e g u i d ed e v i c e s c r o s s i n gw a v e g n i d e n o r m a l i z e do u t p u to p t i c a lp o w e rv e r s l i si n t e r s e c t i o n a n g l ei nt h em a i nw a v e g u i d ea n dp o w e r c o u p l i n gv e r s u si n t e r s e c t i o na n g l eo r ea n a l y z e db yt h em e t h o d n u m e r i c a lr e s u l tw o u l dl a ya n f o u n d a t i o nf o ro u r e x p e r i m e n t t h ef a b r i c a t i o no ft h e p o l y m e rw a v e g u i d e i ss t u d i e d e x p e r i m e n t a l l y t h et h e o r y o f u l t r a v i o l e t ( u v ) r a d i a t i o na n dt h ee x p e r i m e n t a ls e t u pa r ea n a l y z e d t h ep h y s i c a lp r o p e r t i e so fa r i d g ew a v e g u i d es a m p l e ，s u c ha sa b s o r b a n c es p e c t r a , r e f r a c t i v ei n d e x ，a n dt h i c k n e s s ，a r em e a s u r e d a n d a n a l y z e d s o m ea p p l i c a t i o no ft h ep o l y m e r w a v e g u i d e a r e i n v e s t i g a t e d f i n a l l y , t h e e x p e r i m e n ts e t u po fo p t i c a lp o w e rm e a s u r e m e n tf o rp o l y m e r i cw a v e g u i d ef i l mi s d e s i g n t h e m e a s u r es e t u ps h o wo f f e rc o n v e n i e n c ef o rf u t u r e d e v e l o p m e n to f p o l y m e rw a v e g u i d e k e y w o r d ：g u i d i n gw a v eo p t i c s ；p o l y m e ro p t i c a lw a v e g u i d e ；f i n i t ed i 髋r e n c eb e a m p r o p a g a t i o nm e t h o d ( f d - b p m ) ；u vr a d i a t i o n ； i 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：出 日 期：坦丝生：2 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位 论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人 电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论 文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包 括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 研究生签名：崮墨。 导师签名： 研究生签名：翻量导师签名： 缮日 坳e t 期：诌丝幺争7 期：缝! 生塑、7 第一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 近二十年来，电子学在计算和通信领域得到迅猛的发展，三大技术为此创造好的平台： 半导体材料，集成电路的自动化微_ t 艺和集成电路设计。冈此大规模，低成本制造集成电路 成为可能。然而，在很多应用中需要带宽特性的急剧增跃。电路中信号传播和开关速度是有 限同定的。随着通信中对带宽的需求，电路表现出了局限性，因而光路带来一场计算和通信 的革命，光路在许多领域中大大优予电路。光路应用相比于电路具有非常大的信息容量( 宽 带宽) 、低的传输损耗、低的发热量、串扰和电磁干扰小、重量轻和尺寸小的优点。光在光 介质复用波长传播时不是线性的，因此就能并行的处理不同的波长。此外，光子在许多电子 学的应用领域起到至关重要和补充作用。成功应用光子的例子如：宽带通信，高容最信息存 储，大屏幕和便携信息显示技术】 宽带通信( 电信和数据通信) 能通过导波光学和自由空间通讯( f s o ) 实现；自由空间 通信就是指通过大气传输调制的可见光或红外光束来获得宽带通信。事实上，自由空间通信 系统可以传输几千米的距离。然而，自由空间通信受到天气的影响，例如雨，灰尘，雪，雾 或烟，这些能够阻碍信号传输。导波光学基于光的全反射( t i r ) ，能够限制光在波导中传 播，芯层的折射率高于包层的折射率。图1 - 1 光波导分两种：集成光学中的薄膜沉积和光纤 光学中的圆形截面的介质。对于不同可能的传播模式或电磁场分布分单模和多模波导。每 种模式区别于其频率、有效折射率，偏振，能量分布，电磁场强度1 4 】 1 2 有机聚合物波导的特点、历史和现状 东南大学硕士学位论文 1 2 1 光波导的概述 1 8 8 0 年，光波导开始被w h e e l e r 称作“光管道”，我们今天之所以称之为光纤因为光束 传播是通过圆柱状的介质。然而随着激光的发明和干涉光学的发展，用来组成光器件和连接 光路的妖距离传输介质( 光纤) 和导波结构的需求迅速增加起来。光波导能够制作光通信平 面器件并且能够集成到平面光波回路中。可以证明这种波导结构在微波以上频段相对于电路 显示出许多的优点。平面波导的制作和集成主要结构是薄膜和带状。1 9 6 4 年s c h l o s s e r 最先 从理论上研究了矩形介质波导，1 9 6 5 年a n d e r s o n 提出了薄膜波导器件和线路结构，这种结 构应用于红外区域。1 9 6 9 年m i l l e r 研究了这些早期的的成就的优点和可行性并且提出了“集 成光学”，使平面光波导和光波回路获得了极大的支持和促进。之后，在光波传播、激发和 光学薄膜的理论被用来分析和设计波导结构，并且精确和可靠性高的技术用来制作平面光波 导和光集成器件。 高折射率介质光学界面 图1 1 光波传输 高折射率介质层 衬底 图1 - 2 平面波导 2 第一章绪论 图1 - 3 条形波导 由于薄膜比衬底具有高的折射率，光束能够限制在薄膜中就形成了波导。折射率的改变 是阶跃变化的波导称为阶跃型( s i ) 光波导，而折射率的改变是连续变化的波导成为梯度型 ( g i ) 波导。图1 - 2 显示典型的三层结构的阶跃型平面波导，其沉积高折射率的薄膜材料在 低折射率的衬底上。第三层通常是空气或者另外的低折射率覆盖层。这种波导是基本的波导 结构，实际上可以适当的结合不同类型的光波导结合起来来得到期望的特性。二维的光波导 能够使光在薄膜厚度方向( y 方向) 受到限制：现在，在x 方向和y 方向都受限制光束的三 维光波导如条状波导( 图l 一3 ) 的制备工艺趋于完善，使得光集成器件容易实现了。 虽然看起来光波导传播距离很短，但是集成光学器件在光通信系统中起重要作用。早期 的光纤通信系统是简单的长距离传输管道。点对点传输信号。光网络的目的是组织和处理光 信号并且传输，最终目标是全光网络，信号通过光网络以光的形式传播，特别是全球的服务 器，包括电话、有线电视，数字视频，数据和因特网容量的迅速扩展加速了光通信网络的增 & 。随着近几年来的光密集波分复用( d w d m ) 的发展，通信网络发生了戏剧性的改变。 据市场人士预估，未来每三年为网络的一个世代，网络传输速率的需求会增长1 0 倍。 若以2 0 0 1 年的1 0 0 m b i t s 为主推算，在2 0 0 3 年会进入g i g a b i t 世代。以往的光纤通信传输 方式仅限于少数几个传输波长如8 5 0 n m 、1 3 1 0 n m 及1 5 5 0 n m 的光信号。然而国际网络的通 信量正爆炸性的增长，虽然光纤网络拥有大容量数据交换及传输的特性，但光纤网络的布建 速度仍远小于需求的增加量。目前为了实现此目标，只有在光纤通信系统中，进一步加强使 用波分复用( w d m ) 技术叫吏用一条光纤传输不同频率( 波长) 的光信号，以增加光信号传输 的容域，而这些波长又必须尽量落在光纤最低损耗和现有的光纤放大器增益的波段内，例如 1 5 2 5 n m 1 5 6 0 n m 附近。 根据各路波长之间的间隔把波长间隔为2 0 0 g h z ( i ，6 n m ) 以上的复用称为粗波分复用 东南大学硕士学位论文 ( c w d m ) ：把波长间隔为2 0 0 g h z ( i 6 m ) 以下的称为密集o w d m ) ，目前在长途系 统和城域网中广泛使用的是d w d m 系统；在用户接入系统( 尤其是光纤到户) 中使用的是 c w d m 系统。要达到大数量的传输波长，必须使用目前广受瞩目的d w d m 技术。 d w d m 的巨大成功鼓励了电信设备商盘提高网络容最甚至探索更多的d w d m 通信信 道。d w d m 使全光网络成为可能。光纤网络的持续发展最终需要依靠便宜和可靠的光集成 器件作为路由器，光开光和光探测器p j 。 近几年来，许多公司正积极研究、开发并推出d w d m 系统的新产品，竞争相当激烈。 日本富士通7 - 2 0 0 0 年6 月份在北美地区推出了全球最人规模的1 7 t b i t d w d m 系统。s p r i n t 从1 9 9 5 年开始陆续布建d w d m 系统；在2 0 0 0 年底，它的长途干线d w d m 布建率为1 0 0 ， 主要使 ； j1 6 波长系统，并逐渐使用4 0 波长系统，甚至是9 6 波长系统，使骨干网络容量扩 充至2 4 0 g b i t s ( 9 6 2 5 g b i t s ) 。n t t 从1 9 9 6 年开始建设d w d m 试用网络，但没有更进一步 计划：由丁日本国内使用的光纤大部分是g 6 3 3 色散位移光纤，而这种光纤不适合8 波长以 上的d w d m 系统的光传输，因此n t t 目前的网络策略是着重于s d hs t m - 6 4 系统技术的 发展。b t 已建设1 6 波kd w d m 系统，现止计划建设泛欧式光网络系统，其传输容量为 3 2 0 g b i t ( 3 2 1 0 g b i t ) 。w o r l d c o m 初期建设容最4 0 g b i t ，使用1 6 波长2 5 g b i t s 的d w d m 系 统，同时也在世界各地建设d w d m 海缆系统。 集成光学器件2 0 0 1 年( 美元)2 0 0 5 年( 美元) 材料 s i0 44 2 9 s i c h ，s i l 52 8 2 4 g a a s2 74 4 3 7 i n p3 01 0 9 3 5 l i n b o ， 4 03 5 6 8 聚合物0 62 0 7 0 其他 1 11 9 9 ，0 总计1 3 42 6 2 5 3 表l - l 不同材料的集成光学市场情况 另外，宽带通信也被用于短距离，计算机内部网络。当代的计算机速度上的限制在于信 息只能在电子处理器和储存芯片中传输。这种情况下，微处理器计算能力的增长要求总线传 4 第一章绪论 输的增长，因此限制总线带宽在主要瓶颈在于电路板于电路板数据接口之间的通信。光互联 的发展代替传统的主板，可以获得高的数据传输速度。【6 】 1 2 2 有机聚合物光波导材料的特点 随着光网络中的宽带通信的进一步成功，数据通信和计算将依赖于基丁光波导器件的光 器件，例如光分离器，光合波器，复用器( m u x ) ，解复用器，光开关调制器，可调滤波 器。可调光衰减器( v o a ) ，光放大器和其他集成光学器件，基本的设计和制作集成光波导器 件已初具规模，在材料领域没有完全的胜者( 表1 1 ) 。今天光纤已经应用于高速数据传输， 虽然光纤提供了便利的方式长距离的传输光信息，但是对于传输复杂高密度的线路是不容易 实现的。除光纤易碎和震动敏感性之外，光纤设各的制作比较困难，特别是端口数量多时导 致的结果是成本很高，而光波导材料弥补了这种不足。i n p 材料四族f 导体材料厂泛的应用 于波导制作，这种材料在主动器件上具有很大的潜力，如1 5 5 0 n m 附近的激光器和光探测器 的集成。然而，对于最近的销售光器件的情况来看，、i 毫导体的处理很复杂和昂贵。通过应用 较为接近的s i 集成电路的制造技术，已经实现了基于s j 的平面光波器件( p l c ) 。1 9 8 0 年 n t t 首先提出s i 基的平面光波器件；然而，制作出第一批商业产品花费了将近1 5 年的时间。 近来，光开关和阵列波导光栅( a w g ) 的复用器和解复用器在d w d m 系统中占据s i 基平 面光波器件技术的主要应用【7 1 出于成本考虑，高的开关功率需要s i 基开关器件，然而， 低波长调节范围和中心波长温度依赖的是s i 基a w g 主要的问题。在可选材料体系中，聚 合物是高集成光器件和光路值得期待的材料选择 s - t 1 。聚合物材料是制作集成光器件很有前 景的材料，因为聚合物材料提供了快速响应，低正本的优点。相对于s i 具有低光损耗和小 的双折射，由于聚合物比s i 火的热光系数，所以其受热能量转换效率高，高的折射率比值 使得其器件尺寸小。此外，聚合物提供了一个理想的平台，通过选择掺杂或反应来结合其他 复杂的材料。 聚合物波导具有如下优点： 1 制作高质量的聚合物波导材料相对容易，同时波导材料的折射率也易于调整。 2 器件制作工艺简单，并与传统的半导体工艺相容，有利于大规模的生产，成本低。 3 材料可旋涂在许多类型的基底上，有利于与其它的光电子器件集成。 4 材料种类多，因而可选择损耗低且偏振无关的材料来制作器件。双折射小，制成 波导器件性能受偏振影响较小 5 东南大学硕上学位论文 1 3 光束传播算法的意义 随时冈特网的迅速发展，对通信网的带宽、传输速率的需求的增大。为了克服电子瓶颈 的约束，从而对光传输系统以及集成光学、纤维光学器什( 如光纤，激光器，探测器，调制 器，开关，波分复用器件等) 的发展提出了越来越紧迫的要求。这些器件的发展一部分是随 着制作技术的进步而等到发展，但用于对光电器件器件建模的数值技术以及商业化的计算机 辅助设计软件包( c a d ) 也起米了1 f 常重要的作用。由于制作：t = 艺和设施不断改善和创新， 即使结构相当复杂的集成光路也能转化成实际器件，达到理论与实际相结合，并反过来推动 了建模技术的发展，两者是相辅相成的。具体体现在对现有器件的优化、对新产品缩短设计 周期、以及对新器件的性能评估等。总之精确的分析和模拟光波导器件的功能对于发展集 成光电子学是十分重要的。找出有效的，灵活的分析工具去模拟、设计、优化器件是非常必 要的。 按照折射率的分布，光波导可以分为弱导光波导和非弱导光波导。在弱导近似下，矢量 亥姆霍兹方程之间没有耦合，可以转化成标量的形式，模场的求解相对要简单；对于非弱导， 由于矢量亥姆霍兹方程之间相互耦合，严格求解相当幽难f 1 ”，多采用近似的方法来处理； 另外对于折射率为周期或准周期的情况，如光纤光栅或波导光栅，可以用耦合模方程来处理 1 1 3 1 。在本文以下的论述中，一般都是针对弱导近似的光波导。 按照波导结构，光波导可以分为平板波导( p l a n a rw a v e g u i d e ) 、条形波导、t a p e r 波导、 脊型波导以及弯曲波导这些基本结构，还有由它们组合成的复合波导结构，如定向耦台器、 光分支器、晕形耦合器和阵列波导光栅复用器等。 平板波导结构是最简单的，也是最典型的波导，它的导波模场和传播常数有解析解。 条形波导的模场和有效折射率有很多求解方法，如有效折射率方法，变分法【“i ，以及 各种形式的数值解法，模场匹配方法、线形方法( m e t h o do fl i n e s ) 等等 1 5 - z 7 j 。在理论上般 希望能够精确求解波导的有效折射率，对条形波导来说，变分法和数值方法比较可取。脊型 波导和条形波导有点相似，也可以通过有效折射率方法以及与条形波导相同的数值解法得到 它的有效折射率和导波模场。 t a p e r 波导实现不同截面尺寸波导的连接，它的横截面是变化的。较早处理t a p e r 结构 采用的是局部模方法”，已有研究表明利用t a p e r 结构实现不同截面波导的连接如果采用 抛物线结构可以获得最小的传输损耗【1 9 1 。 弯曲波导在改变光的传播方向，控制相位方面有重要应用，如a w g 。较早对于弯曲波 6 第一章绪论 导的研究主要是求解弯曲损耗，但由于采用了近似方法，计算得到的传播常数精度不够 2 0 , 2 1 。 当前有利用模场匹配的方法和线形方法对弯曲波导进行研究【2 2 1 ，计算弯曲波导的传播常数、 导波模场和传输损耗，这两种方法有些相似，不过线型方法实现起来相对要简单。 上面陈述了光波导的一些理论和计算方法，这些理论和方法主要集中于模场和传播常数 的求解，而对光脉冲在波导中的动态传输则需采用光传播算法( b p m ) ，这是目前优化设计平 面光波导器件最流行的方法。b p m 是二十世纪7 0 年代mj a f l e c k ，j r m o r r i s 和h d f e l t 为了处理大气中的激光传输而提出来的【2 3 】，不久他们将b p m 应f | = f j 于研究波导中的光传输 2 4 “】，后来经过不少人的研究和改进，b p m 已经成为一种实用性非常强的波导模拟算法工 具，它的最重要特征是能够对导波模和辐射模作统一处理。最初的b p m 都是采用快速傅立 叶变换( f f t ) 算法【2 4 - 2 7 ，其结果是耗时长且不稳定，只能处理近轴近似情况，适用范围窄。 近年来发展起来的级数算法和有限差分算法对此有重大改进 2 8 , 2 9 1 ，如果将b p m 和线型方法 相结台还可以直接模拟计算弯曲波导的光传输【”1 。 一般的半导体器件总涉及强导特性，需要采用三维矢量b p m 进行分析。但在许多应用 中为了保证单模特性、低的耦台损耗和研制中容易控制，往往采用大截面单模波导，在这种 情况下，波导往往显示出弱导特性，因此可以采用标量b p m 来分析处理，而且单模波导意 味着有效折射率方法也是有效的。对于平面光波导器件，一般都是单模的，因此在用b p m 进行优化设计时，一般将三维波导通过有效折射率方法转化为二维等效波导“9 j ”，这样可以 大人减少计算时间，对于比较复杂的器件如a w g ，如果不采用这种变换，几乎不可能进行 模拟计算。 1 4 本论文所做的工作： 设计和研制有机聚合物平面光波导器件，需要波导理论的指导。研究光波导理论并紧跟 当前光波导设计方法也是研制性能优良的平面光波导器件所不可缺少的。 本文第二、三章对不同的有限差分光束传播算法作了一个详尽的归纳，并对几种算法的 特点给出了自己的见解。与传统格式的有限差分光束传播法相比，本文提出的算法在几乎 不增加计算时间和计算机内存资源的情况下，结合了道格拉斯格式的有限差分光束传播法截 断误差小( 只有0 r x j 4 ) 和宽角多步法所具有较高精度的优点，是光波导器件理想的数值 模拟工具a 在此基础上计算分析了大角度交叉波导的输出分支波导的能量与交叉角度的关 系，以及交叉角度对波导间能量耦合的影响。并且对y 型波导和阵列波导光栅进行了数值 东南大学硕士学位论文 模拟并给出了能量的分布。这为实际的设计制作光波导器件的工作提供了极好的基础。 本文第四章介绍了有机聚合物波导的特点，研究了有机聚合物光波导的制备工艺过程， 并且制备出了脊型聚合物波导样品。研究分析了聚合物光波导光曝光法的理论和实验装置， 分析了有机聚合物波导样品的吸收谱、折射率、厚度等物理特性。归纳了有机聚合物光波导 的一些应用，有机聚合物阵列波导光栅和有机聚合物可调光衰减器。最后设计了有机聚合物 光波导薄膜光能量测量的装置结构，为以后进一步研究有机聚合物光波导创造了条件。 最后是本文的结束语。 第= 章光束传播算法 第二章光束传播算法 2 1 有限差分光束传播法 有限著分的光束传播法f i n i t e d i f f e r e n c eb p m ( f d b p m ) 非常广泛的用于光波导的设计， 可以使用f d b p m 计算弯曲波导，锥形波导和交叉波导。最初的f d b p m 采用标量傍轴近 似，光波限制丁一个小角度内传播。其优点在于沿传播方向可取相对于波长较大的步艮；慢 变幅度近似把二阶问题转化为一阶值的问题，从而提高了计算效率，使得计算更精确，更有 效率，更稳定【ij 。而这点对于数值算法来说比较重要；其缺点在于其傍轴性，限制了折射率 的变化不能较大；对于大角度的器件，傍轴算法不能准确的模拟。为了克服这些困难，建立 在f d b p m 基础上的各种p a d 6 近似算子的宽角计算方法2 帔展起来，这些都极大的推进了 f d - b p m 的发展，甚至能够使用f d - b p m 设计高折射率差的材料，如半导体波导的设计。 此外本章讨论了透明边界条件t r a n s p a r e n tb o u n d a r yc o n d i t i o n ( t b c ) 】，这是一种简单 而不需特殊条件的边界条件。 我们提山了一种基于道格拉斯格式的p a d 6 近似宽角计算方法，。与标准格式的有限差分 光束传播法相比，该算法在几乎不增加计算时间和计算机内存资源的情况下，结合了道格拉 斯格式的有限差分光束传播法截断误差小和宽角多步法所具有较高精度的优点，是光波导器 件理想的数值模拟上具。 2 1 1 波函数 f d b p m 是由基本的波函数推导而来的。假设波导在y 方向是一致的。可以用m a x w e l l 方程组表示： v e = 一j o m o h( 2 1 ) v h = _ ，0 ) o ，e( 2 2 ) 既然假设波导结构在y 方向是是一致的，那么对y 方向的偏微分可以设为零，方程组简 化为： 越 一i = 一，“o 月： ( 23 ) 位 孕一孕：一问h 。h 。 (24)0 l 一一= 一，u 。 r 2 4 、 2t t x 9 东南大学硕 ? 学位论文 拿：一如。： 僦 o h ， 。 i 2 ，妣0 8 r e z a t e 模式 图2 - l 所示的是t e 模的主要场结构。e v 和h 。是主要场 t e 模中，x ，z 方向的电场和y 方向的磁场为零： e 。| = e ：= h 。= 0 图2 - 1t e 模中的主要场e 。和h 。 把方程( 2 。9 ) 带入方程( 2 3 ) 一( 2 8 ) ，能够得到t e 模方程 一要：一如懈， 院 誓：一问峭： 戚 1 0 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 需要用波函数表示。在 ( 2 9 ) ( 2 1o ) ( 2 1 i ) 1 l ，0 地 地 幢 啦 肚 肛 = f f y 一 ：一 粥一钯 甜一苏丝出 蔓三至堂塞堕塑簦鲨 警一睾：鲰晦 8 z硫 “ 、r y 1 e 。表达式 第一步，从波函数中得到y 方向电场e v ，取代x ，z 方向的磁场 h 。：土孥 ，“o 出 h 一：上堡 。 j 。m l a o 苏 ( 2 1 2 ) f 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 把方挥( 2 - 1 0 ) 和( 2 1 1 ) 带入到方程( 2 1 2 ) ，可以得到e v 的波函数： 等+ 等喇e ：。 皿 这里簖= ( 02 o p o 2 h x 表达式 第二步，从波函数中得到h 。由方程( 2 1 2 ) 5 对z 做一次偏微，得到 a 2 圩，h ： # e y 百r 一面蔷2 7 眦。8 r i 在方程( 2 1 6 ) e p ，假设s ，沿着传播方向z 变化很小，可以忽略。就有 可以这样近似 拿。o 0 譬 静q ) = 鲁b 螺鲁鲁 这里需要注意的是式( 2 1 7 ) 的近似一直运用在b p m 中。 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 通过计算式【a 式( 2 1 0 ) 3 x + 3 式( 2 1 0 ) o z 和磁场的散度 v h = 0 r 2 1 9 ) 得孙墼+ 墼：0 o x以 也就是旦生：一旦坠 如缸 把式( 2 - l o ) 带入式( 2 1 6 ) ，可以约去式( 2 1 6 ) 中的h ：。就可以得到磁场h x 的波函数 东南大学硕士学位论文 警十孕十瑶。 ：o 恕2 苏2 ”。 b t m 模式 图2 - 2 所示t m 模式主要场结构。e 。和h ，是主要场，需要用波函数表示。在t m 模式中， x ，z 方向的磁场和y 方向的电场为零： h ，= h ：= e 。= 0 ( 2 2 1 ) 圜2 - 2 t m 模甲朐主蛰场k 干u h v 把方程( 2 2 1 ) 带入方程( 2 3 ) - ( 2 8 ) ，能够得到t e 模方程 拿t y z 一孕o x = 一问p 。以 一孕：加钳，e 8 h _ = 细o ，e ： 1 e s 表达式 第一步，从波函数中得到x 方向电场e 。，由方程( 2 2 2 ) 对z 做一次偏微，得到 a 2 e ，e o h - - - 2 ， 玄一面石2 一j o o l x o i 把式( 2 2 3 ) 带入( 2 2 5 ) ，去除h v 项，得到 r 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 第二章光束传播算法 因此 等一慧叫( - 船肚嗡2 e 点 通过计算 a 式( 2 。2 3 ) a x + a 式( 2 2 4 ) az l 和电通量密度的散度 v ( ，e ) = 0 得到去( 8 ，e x ) + 昙( ，e ) = 。，也就是警= 一去昙( ，e ) 把这个方程带入式( 2 2 6 ) ，可以约去式( 2 1 6 ) q b 的h ：。就可以得到磁场e 。的波函数； 等埘0 ( 啦! o ( 跳) 卜啦。= 。 2 h 。表达式 第二步，从波函数中得到y 方向磁场e v ，取代x 。z 方向的电场 e 。：一l 堡 j o o g o g 。出 e ：l 堡 j c o e0 8 ，：x 把方程( 2 2 3 ) 和( 2 2 4 ) 带入到方程( 2 2 2 ) ，可以得到h ，的波函数： * 志j m s 纠一去( 志割叫髟瑟lo ，瑟j 缸扣o ，融j 。7 ” -吖lu-云-=)采割=-fd2s0aohy=-k2az 耳 盘l ，苏 利用近似旦f 土堡1 ：一 坠堡+ 土堡肇。土塑二 一l 一一i 一十一一一a z l ，a zj；出如，出2 。，瑟2 由式( 2 1 7 ) 得到磁场h y 的波函数： 等螺去怯警y 卜一= 。彳托r 否l i 百j “i 8 r 月，划 r 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) f 2 3 2 ) 2 1 ，2 f d b p m 公式表示 f 面讨论基于隐式的f d b p m 的公式表示吐因为这里讨论的仅局限为2 d 问题，所以 对内存需求不是很大。因而使用等距离散化来保证二阶精度。也可以不等距离离散化，进一 步的精度提高”。 1 3 东南大学硕士学位论文 a t e 模式 y 方向电场e v ( x ，y z ) 的波函数 等+ 警喇e 弦。 使用慢变包络近似，把z 传播方向电场e y ( x ，y ，z ) 分解为两部分：慢变包络函数庐( x ，y ，z ) 和快振荡相位项e x p ( - j f l z l ： e yx ，y ，z ) = 十g ，y ，z ) e x p ( - j p z ) 这里 b = n 。s y k 1 ( o 自由空问波数，n c f 有效折射率 由式 可0 2 e y = 窘e x p ( - j 5 z ) 叫p 鲁唧( _ 肚) 一d ：十唧( _ 他) 由上式，把式( 2 3 4 ) 带入式( 2 3 3 ) ，除去相同的指数项e x p ( 一胆) ，得到 也就是 窘叫p 鲁+ 窘+ 帮：。 z 邝鲁一窘= 窘+ 瑶( ，一n 如也出 上式中使用了关系式g ，= 胛2 。 方程( 2 3 8 ) 是宽角公式。当假设 式( 2 3 8 ) 简化为f r e s n e l ( 菲涅尔) 波函数 塑：o a z 2 z 邝老= 鲁o x + t ：( ，一胛刍 首先，讨论f r e s n e l 近似的f d 表达式。宽角公式将在后面讨论。 把x ，z 方向离散化x = p a x 2 7 = l a z ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 9 ) ( 2 4 0 ) ( 2 4 1 ) f 2 4 2 ) 第二章光束传播算法 这里p ，q 都是齄数，下面的符号表示波函数 m b ，z ) 斗十： e ，x ，z ) 斗e ：0 ) f 2 4 3 ) f 2 4 4 ) 下一步，离散化f r e s n e l 波函数( 2 4 0 ) 。先在x 方向离散化，离散系数为1 ，与z 方向式 对应的，这点将在后面进行讨论。式( 2 4 0 ) 的等式右边的两项可以这样表示 和 t ：( ，一拧易= 爵【，0 ) 一n 且， 菊五_ 把式( 2 4 5 ) 和式( 2 4 6 ) 带入式( 2 4 0 ) ，得到 2 邝芸= 警a x 僦 li + 留 ，0 ) 一”b ， = 。十，一。+ ，十，+ a 。十，+ + 尼；【，c o ) 一 h ， 这样离散的波函数( 2 4 0 ) 表示为 使用以下定义 2 邝警= a 。巾川+ 扛，+ 爵b ，( p ) 一咯孙，+ 仪。巾，+ a 。= 1 ( 】c ) 2 。= l ( 心) 2 。= 一2 ( 缸) 2 下一步在z 方向离散式( 2 4 7 ) ，在z 方向离散等式( 2 4 7 ) 的左边，得到 2 j 3 盟 a z f 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) ( 2 4 7 ) f 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) ( 2 5 0 ) ( 2 5 1 ) 这里需要注意的是等式( 2 5 0 ，等式( 2 4 7 ) 左边的差分中心是，+ 1 2 ，处在，与，+ 1 之间。 等式( 2 4 7 ) 的右边的差分中心对z 离散化也应该在，+ l 2 ，这样，修改式( 2 4 7 ) 2 邝主! i ：羔：l 2 b ：十：一+ 缸：+ 七； ：。) 一。刍胁：+ a 。i ，。 攀 一 凳凳 科 东南大学硕士学位论文 + 1 2 k + z + 扛? 1 + 瑶 ，0 ) 一”酊2 胁，i + 1 + a ，十搿，j ( 25 2 ) 重新排列等式，使得等式的左边只包含l + 1 ，右边只包含，方程两边都乘以2 ，得到t e 模式的f d 表达式 一吐? p ：- + - ，+ 警一留叭p ) 一略壮一1 m 嚣。 巾：一h 警坛0 一n 刍耻州巾：+ 。 亿s ， b t m 模式 由式( 2 3 2 ) ，y 方向磁场h y ( x ，y ，z ) 的波函数 等坞研0 ( 1 ，0 苏h y 侬一= 。 1 尹+ 8 ，瓦l ，苏j + k 8 r 爿，2 o ( 2 5 4 ) 使用慢变包络近似，把z 传播方向电场h ，( x ，y ，z ) 分解为两部分：慢变包络函数 ( x ，y ，z ) 和快振荡相位项e x p ( 他) ： h ，x ，y ，z ) = 十b ，”z ) e x p ( - j f s z )( 2 5 5 ) 对式( 2 ，5 5 ) 进行二阶微分带入式( 2 5 4 ) ，除去相同的指数项e x p ( 一胆) ，得到t m 模式的 宽角波函数 z 邝鲁一窘= e ，去b 卦瑶e ，啊 协s 当假设塑：0 瑟2 得到f r e s n e l ( 菲涅尔) 波函数 z 邝妻= e ，昙( 毒芸 + 碍( ，一n 把x ，z 方向离散化，波函数( x ，y ，z ) 和占，( x ，z ) 如下： x = p a x z = l a z m g ，z ) = 巾： r 2 5 7 ) 2 5 8 ) f 2 5 9 ) r 2 6 0 ) ( 2 ，6 1 ) 第二章光束传播算法 e ，g ，z ) = e l ，) 首先对x 方向离散f r e s n e l 波幽数( 2 5 8 ) 等式( 2 5 8 ) 的右边第一项离散为 e ，昙( 古誊) - d f 其中 这里 冈而得到 1 十川一十9 e ：r 0 十1 2 ) a x 1 菊巧j 万一 1 巾。一十。一 ，0 1 2 ) 缸 丽范五万一 r 2 6 2 ) 陀6 3 ) e ，( p 十分掣 僻s 。， e ，( p 一吉) “掣 2 十川一巾9 ，0 + 1 ) + ，0 ) 缸 1 甄嚣磊万一 2 审，一十川 e ，0 ) + e ，0 1 ) a x 函；品了一 = 揣等一揣 = 旺。中p l + ，中p + 。巾，+ 1 2 - - - r i v n j l 2 研瓦万硐 = 研1 砜再2 e 厕, ( p )( ) f ) 2e ，0 ) + e ，+ 1 ) 由，一由，一 阻) 2 r 2 6 6 ) r 2 6 7 ) r 2 6 8 ) 盱一击揣一击蒜一。飞亿s ， 也可以得到 瑶g ，一挥如= 瑶( ，幻) 一”b ， 芬五f 一 把式( 2 6 6 ) 肃1 式( 2 7 0 ) 带入式( 2 5 8 ) ，得到 + 瑶【，( p ) ( 2 7 0 ) 搬胁，+ 。牵川 ( 2 _ 7 1 ) 、， ， 上缸 、jpq = 、， 卸一础 ，一0 ，。l a 一缸 q r 7 ，p 0 + r - 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