（控制理论与控制工程专业论文）基于Lltpgt增益的非线性系统鲁棒控制方法研究.pdf

摘要 本文基于结构厶增益奇异值方法，研究了结构不确定非线性系统的鲁棒性分析与综合 问题，井以一些新的观点重新看待非线性。问题，讨论了其它增益问题与非线性日。问题的 内在联系。 基于结构岛增益奇异值进行的鲁棒分析与鲁棒综合，其基本依据是奇异值的边界特性， 本文针对奇异值的上界特性给予了证明。本文重点研究了鲁棒稳定问题，得到了鲁棒稳定的 充分条件，并讨论了保守性的影响。研究表明鲁棒分析中存在的保守性不仅和不确定性的结 构有关，还和标称系统的输入有关。鲁棒性能问题、。鲁棒综合问题都转化为鲁棒稳定问题， 使得分析与综合问题统一起来。对于一类结构不确定非线性仿射系统，直接利用了鲁棒稳定 定理与鲁棒性能定理，并把结论都表述成非线性矩阵不等式( n l m i ) 的形式。 本文以各种新的观点重新看待非线性m 控制问题。研究表明系统的无源性问题可以化 为一个与之对应系统的幻增益问题，本文利用b a c k s t e p p i n g 递推方法对一类具有特殊结构 的非线性系统进行无源化设计；对下更为一般的厶增益问题，证明了在某种条件下。增益 问题间是等价的；讨论了以i s s 观点看待稳定性的思想，并把系统i s s 问题转化为相应系统 的厶增益问题；介绍了逆最优豫。问题，它与结构不确定系统的鲁棒稳定问题存在某种内在 联系。 关键词：结构不确定性，非线性，厶增益，鲁棒，n l m i t i s s a b s t r a c t b a s e do nt h es t r u c t u r e d g a i ns i n g u l a rv a l u em e m o d ，t h i sp a p e ri n v e s t i g a t e st h er o b u s t r o b u s t n e s sa n a i y s i sa n ds y n t h e s i sp r o b i e mo fn o n i i n e a rs y s t e mw 沛s t r u c l u f e du n c e r t a i n yt h e p a p e r a l s ov i e w st h en o n l i n e a rh c o n t r o lp r o b i e mw i t l lk i n d so fn e ws t a n d p o i n t s ，a n dd i s c u s s e s t h ei n t e ma 1r e l a t i o n sb e t w e e n0 t h e rg a i np r o b l e m sa n dn o n l i n e a rh * p r o b l e m t h er o b u s t n e s sa n a l y s i sa n ds y n t h e s i si sb a s e do nt h es t r u c t t l r e d 岛g a i ns i n g u l a rv a l u e a c c o f d i n g t ot h eb o u n d a r yp r o p e r 哼o ft h es i n g u l a rv a l u e ，i ti se a s yt oo b t a i nt h er o b u s ts t 曲i l i t y t h e o r e m t h i st h e s i sh a sp r o v e nt h eu p p e rb o u n dp r o p e n yo fs i n g u l a rv a l u ea n dr o b u s ts t a b i l i t y t h e o r e m ，a n da n a l y z e st h ec o n s e a t i s mi n n u e n c e s t h eo b 诅i n e dr e s u l t ss h o w t h ec o n s e r v a t i s mi s n o to n l yi nr e i a t i o nt ot h es t r u c t u r e dt r a 沁o fu n c e r t a i n 吼b u ta i s od e p e n d 酣o nt h ei n p u to ft h e s y s t e mt h ep r o b l e m so f r o b u s t n e s sp e r f o n n a n c e a n dr o b u s m e s ss y n t h e s i sc a nb et r a n s f o r m e di n t o t h er o b u s ts t a b i i i t yp r o b l e m i nt h i sw a mt h er o b u s 恤e s sa n a l y s i sa n ds y n t h e s i sa r eu n i n e d f o ra c l a s so fa 饿n en o n l i n e a rs y s t e mw n hs t r u c l u r e du n c e r t a i n 吼t h er e s e a r c h e sa r eb a s e do nt h e r o b u s t n e s ss t a b i l l t va n dr o b u s t n e s sp e r f o m l a n c et h e o r e m ，鲫dt h er e s u l t s sc h a r a c t e r i z e da st h e n o n i i n e a rm a t r i xi n e q u a l i q ( n l m l ) t h et h e s i sv i e w st h en o n l i n e a rh ，c o n t r o lp m b l e mw i t hk i n d so fn e we y e s t h eo b t a i n e d r e s u i t si n d l c a t et h ep a s s i v i t yp r o b i e mt oas y s t e mc a nb et r a n s f o n n e di n t oal 2g a i np r o b l e mt o a n o t h e rc o r r e s p o n d i n gs y s t e m ，a n dt h eb a c k s t e p p i n gr e c u r s i v ed e s i g nm e t h o di su s e dt od e s i g n s u c ht h a tan o n l j n e a rs y s t e mw i t he s p e c i a ls t m c t u r ei sp a s s i v e i ti s o b v i o u st h a tt h el 2g a i n p r o b l e mi s t h es p e c i a lc a s eo fl pg a i np r o b l e m ，a n d 也j st h e s j sh a sp r o v e dt h a te v e r yl pg a i n p r o b l e mi se q u i v a l e n t w i t ho t h e r s t h ei n p u t - s t a t es t a b i l i t y ( 1 s s ) i sam o r eg e n e r a lc o n c e p t ，i t c o n s i d e r st h ec a s eo fn o n l i n 自rg a i n s t h et h i n k j n gv i e w i n gs t a b i l i t y f r o mi s sv i e w p o i n ti s i n t r o d u c e d t h el a s t s e c t i o nc o n s i d e r st h ei n v e r s eo p t i m a lh * p r o b i e m 1 t ss o l v a b i l i t yi s t h e c o n d i t i o no fs t a b i l i z a t i o n ，a n di ti sn o td i m 吼i l tt ok n o w ，t h e r ea r es o m ei n t e m a ir e i a t i o n sb e t w e e n i n v e r s eo p t i m a lh 。p r o b l e ma n dt h er o b u s ts t a b i l n yp r o b l e mf o r t h en o n l l n e a rs y s t e mw i t h s t r u c l u r e du n c e n a i n t v i “y w o r d s ：s t r u c t u r e du n c e r t a i n t y ，n o n l i n e a rs y s t e m ，岛g a i n ，r o b u s t ，n l m i ，i s s 中南大学硕士学位论文 第1 章绪论 本论文研究工作是在困家博士点基金项目( 2 0 0 0 0 5 3 3 0 3 ) “结构不确定非线性系统控制的 鲁棒性度量及综合算法”支持下进行的，重点讨论了结构不确定性的非线性系统鲁棒控制问题， 此外还以新的观点看待非线性| 控制问题与无源性、增益和逆最优问题之闻的联系。本章阐述 了结构不确定非线性系统鲁棒控制研究的科学意义以及目前国内外的研究进展概括了本论文的 主要内容与论文构成。 1 1 结构不确定非线性系统鲁棒控制的研究意义 实际系统中，控制对象总是非线性的，而且近代控制对象的运动是大范围的，例如卫星 的定位与姿态控制，机器人控制，精密数控机床的运动控制等。这类非线性控制问题，如果 通过传统的泰勒展开进行线性化处理，则会导致系统中大量信息的丢失，难以满足控制精度 的要求。复杂控制剥象的出现，控制精度的提高，都迫切需要解决非线性控制这一难题。 控制理论面临的另一个重要问题基于状态空间模型描速的现代控制理论严重依赖于控 制对象的精确数学模型。面实际中系统精确数学模型的获取几乎是不可能的事情，这使得控 制理论中大量优秀成果无法在实际工程中得到很好运用。解决这一难题的一个有效办法是在 控制系统的设计中考虑系统的不确定因素。基于这一思想因而形成了控制理论的一个重要分 支鲁棒控制理论。近1 二十年来鲁棒控制取得迅速发展，别是作为其突出标志的m 控制 和结构奇异值p 方法日趋完善“q 。其中结构奇异值口方法特g 针对具有结构不确定性的线 性系统，由于考虑了结构特性，克服了m 控制无法解决的保守性问题。 控制器的鲁棒性问题是非线性系统控制必须解决的问题之一。非系统鲁棒控制是非线 性控制理沦和鲁棒控制理论的一个交叉领域，它的基本思想是直接从非线性系统h 发，研究 系统的鲁棒控制问题，设计非线性鲁棒控制器，这是符台非线性系统特点的。研究表明，在 鲁棒控制中用非线性控制器较线性控制器有明显的优势”。而考虑到非线性系统中不确定 性的结构特性，引入类似于线性系统的结构奇异值f 方法，将更有利于克服保守性，放宽对 控制器的要求，从而更容易找到符合控制对象的控制器，并有可能更耍的满足控制要求。因 此，无论从非线性控制的角度，还是从鲁棒控制的角度来看，结构不确定非线性鲁棒控制都 有重要的科学意义。 1 2 非线性鲁棒控制的发展 近十余年来，非线性鲁棒控制得到了广泛重视，也取得了不少让人欣慰的成果“2 ”。 下面将从非线性系统控制和鲁棒控制两个方面的研究成果出发，回顾非线性系统鲁棒控制的 发展。 中南大学硕士学位论文 1 2 1 非线性系统控制 非线性是自然界的一种普遍现象。当今科学界。不仅在控制领域，而且其他众多科学 领域，例如力学、数学领域，都针对非线性的不同发面进行了各自卓有成效研究，非线性现 象都受到了前所未有的高度重视。 非线性系统可理解为有非线性微分方程描速的系统。对非线性的研究几乎是与线性系 统同时开始的。在2 0 世纪4 0 年代，就取得了明显的进展，主要有相平面方法，l y a p u n o v 方法，谐波线性化方法。特别需要指出的是，1 8 9 2 年l y a p u n o v 提出的以其名字命名的稳定 性判别方法以及逆l y a p u n o v 方法，仍是当今非线性系统理论研究最有效最重要的方法之一， 也是非线性鲁棒控制中用到的最主要的方法，很多控制问题都可以转化为稳定性问题m o ”。 本论文的研究也主要依赖于l y a p i l i l o v 理论。 随着非线性控制系统研究的深入，不断涌现了新方法新理论，如频域方法，微分几何 方法，微分代数方法，多非线性系统，逆系统理论，变结构方法，耗散系统理论，输入- 状 态稳定性理论，馄饨控制方法等2 2 2 ”。在2 0 世纪7 0 年代产生的微分几何方法实现了对非线 性系统的线性精确化，因此迅速得到广泛关注，成为二十年来的研究热点之一。但精确线性 化对原系统的要求过高，在实际中即使最基本的光滑流形的条件都很难满足，这大大限制了 精确线性化的应用。到了9 0 年代以来对微分几何方法的研究逐步减少，其中最根本的原因 也许是微分几何方法自身的缺陷，通过把状态空闭转化为低维流形后丧失了原来系统的度量 特性2 ”，尤其是系统具有不确定性时，坐标变换以后不确定性难以描速。 幸运的是，进入9 0 年代以后，其他各种理论、方法仍然得到迅速的发展。其中直接从 非线性系统出发进行性能分析与控制器设计仍旧得到相当的关注，不过此时利用了一些新理 论新方法，如耗散系统理论，输入一状态稳定性理论，b a c k s t e p p i n g 方法等等。对于具有特 殊结构的非线性系统，通过递推构造控制器的b a c l 【s t e p p i n g 方法利用已经得到控制理论界的 广泛重视”2 ”：耗散系统理论可以看作l y a p u n o v 理论的扩展，考虑的是比稳定性更为j “泛 的耗散性问题，国内清华大学、东南大学已有相当的研究”】：输入状态稳定性( i s s ) 以 增益的角度考虑稳定性问题，国际上经过了十年的发展已经逐步把传统的l y a p u n o v 稳定性、 输入输出稳定性的研究转入i s s 上来，而国内才刚刚起步。这些理论都还待进一步发展与完 善。 1 2 2 鲁棒控制 经典的控制理论并不要求被控对象的精确数学模型，主要方法是现场测得频率曲线来设 计补偿器，然后又回到现场反复调试来满足设计目标。 建立在状态空间精确描述基础上的现代控制理论对推动控制理论的发展起了重大的作 用，然而在广泛应用中发现它存在重大缺陷，其主要原因是许多被控对象很难被精确描速， 2 中南大学硕士学位论文 其数学模型不可避免的存在不同形式的不确定性。为研究存在不确定性时系统的行为，产生 了一些新的方法，如灵敏度分析，摄动分析，扰动补偿等等，这就开始了鲁棒控制的研究。 近二十年来，鲁棒控制理论发展迅速，是目前控制理论主要的研究方向之一。 在鲁棒控制理论中，最引人注目的是肌控制和结构奇异值方法此外，还有许多其 他的方法，例如k h a r i t o n o v 的h h n i t z 多项式四顶点定理及其发展，v mp o p o v 稳定性判 据的应用等等。这些理论与方法正吸引着众多的学者的关注与研究【。”。 2 0 世纪6 0 年代，基于状态空间方法的现代控制理论的发展，出现了以k a l m a n b u c y 滤 波和二次调节原理为基础的线性二次型高斯( l q g ) 反馈设计方法，即胁控制。然而l q g 设计要求干扰信号要不己知，要不为白噪声，这大大限制了它的实际应用。针对此不合理的 限制，z a m e s 于1 9 8 1 年提出了著名的h 。控制思想。他考虑个能量有限的干扰信号，设计 一个控制器使得闭环系统稳定且干扰对系统输出的影响最小。由于传递函数的m 范数町以 描述有限输入能量到输出能量的晟大增义因此以m 范数为性能指标对系统进行优化设计 就可以使得具有有限功率谱的干扰对系统期望输出影响最小。研究表明，标准的凰控制问 题可以归结为两个r j c c “方程的求解。九十年代以来，线性矩阵不等式( l m i ) 在鲁棒控 制理论中的应用得到普遍重视。由于从s c b u r 补定理出发，代数黎卡提不等式和线性矩阵不 等式( l m i ) 之间的相互转换是非常直接的，而l m i 的求解又是凸可行的，因此l m i 方法 作为一种数学丁具，可咀方便地解决麒艘制问题，而且由三个l m i 的解可以获得肌控制 器n 更进一步，l m i 方法还用于解决奇异的( s i n g u l a r ) 或标定的( s c a l i n g ) ，l 控制问题，以及 时变时滞系统的m 控制p 】。利用l m i 方法进行鲁棒滤波以及时滞系统的鲁棒控制都是目前 的研究热点1 2 “。 。控制对1 ：处理具有非结构不确定性的系统是精确的和全面的然而在系统存在结构 不确定性时具有严重的保守性0 3 0j 。口方法采用结构奇异值口作为系统鲁棒性的度嚣，能很 好地降低这种保守性，它通过对系统中输入、输出、传递函数、不确定性等进行回路成形 把控制问题转化成块对角有界摄动问题，并基于f 进行分析和设计。方法与肌控制是相 通的，基于m 控制进行系统的“综合，不仅包含了m 控制问题，而且克服了h 。控制不能 解决的问题，更具有一般性。目前，这些方法正在全面地扩展到非线性系统的鲁棒控制中。 1 2 3 具有结构不确定性的非线性鲁棒控制 非线性鲁棒控制是非线性控制与鲁棒控制的一个交叉学科，自九十年代以来吸引了总多 学者从事这一方面的研究，已经产生多个分支”。总的来说，非线性鲁棒控制主要利用 l y a p u n o v 理论、耗散系统理论，以及由此发展起来的m 控制方法、芦方法，直接从非线洼 系统出发进行性能分析与控制器的设计。 基j 二l y a p u n o v 理论研究非线性不确定系统的鲁棒稳定性是非常自然的，其优点是该理 论经过百年的发展已经相当成熟，但由于非线性系统的l y 8 p u n o v 函数的构造还没有统一有 中南大学硕士学位论文 效的方法，而l y a p l l t l o v 函数是该方法所必须的，这是缺陷所在。同时7 0 年代开始、i l i e m s 等人把热力学中的耗散系统理论运用到控制理论中来，近三十年来得到了相当的关注。耗散 系统理论同咖p u n o v 理沦本质上是一致的都是从能量耗散的角度研究系统的性质，在很 多情况下耗散系统理论的库函数就是l y a p u n o v 函数，可以把l y a p i l n o v 理论看作耗散系统理 论的一个特例。 九十年代初期、中期，非线性系统理论研究最多的应该是非线性m 控制”1 6 ”】。、，姐d e s c h a n 在这方面做了重要的奠基性工作”。在非线性m 控制理论中，2 增益作为性能指标。 而以输入状态稳定性理论的观点，有限增益和稳定是等价的，增益的不同是稳定性程度的 不同，因此个人认为，m 控制理论有着不同寻常的意义，它把研究了一百多年的稳定性定 性的分析上升到了定量分析的高度，其中上2 增益是一种衡量标准。从耗散性和微分对策出 发，非线性h 。控制问题可以转化为哈密顿一雅可比( h a 僦l t o n j a c o b i ) 不等式解的存在性问 题。但是面l 临的一个主要问题是没有一个求解哈密顿一雅可比不等式的有效解法，目前只是 提出了一些特殊情况下的近似算法和简化方法口“”j 。 针对系统不确定性的结构特性，线性系统中提出的f 方法很好的克服了肌方法带来的 保守性问题，对于非线性系统，许多学者也想建立其相应的非线性结构奇异值方法。非线性 鲁棒控制的_ 方法研究起步较晚主要是基于反馈线性化理论来进行的。吴敏教授基于反馈 线性化理论，对一类仿射非线性状态空间控制系统的鲁棒稳定性和鲁棒性能进行了研究，提 山了基于状态反馈线性化和输入输出反馈线性化的非线性鲁棒控制方法p 。”j 。该方法需要 解决的一个关键问题是系统的模型不确定性经过微分同胚变换后的描述。h i i t o 和w e l 一m i n l u 都尝试直接从非线性系统出发，建立起和线性系统中对应方法。w n m i l ll u 引入2 增 益结构奇异值的概念，主要针对一类特殊的仿射系统进行分析与综台，把分析问题和综合问 题部转化为非线性矩阵不等式( n l m i ) 解的存在性问题与求解问题，并讨论了n l m i 的数 值近似解法【”4 ”：hi t o 考虑的是更一般的非线性系统，并针对动态不确定性和无静态两种 不确定性进行了讨论4 2 删。然而对j 。非线性系统而言，并没有像线性系统那样有一个比较系 统的理论框架，很多研究工作也需要进一步完善。 1 3 本文的主要内容 本文主要针对具有结构不确定性的非线性系统，利用非线性系统的“方法进行鲁棒控分 析与鲁棒综合。同时讨论了一些新的看待非线性鲁棒控制问题的观点。 本文的内容安排如下： ( 1 ) 第2 章引入了结构厶增益奇异值的概念。证明了奇异值的上界特性，这是后文进行 结构非线性系统鲁棒分析与设计的理论基础。 ( 2 ) 第3 章重点讨论了鲁棒稳定性问题，给出了了两个新的小增义定理，并探讨了保守 性的影响。基于鲁棒稳定定理对非线性系统进行鲁棒性能分析b 综合，并且考虑了一类仿射 d 中南大学硕士学位论文 系统，把结构不确定系统的鲁棒控制问题转化为标度系统的m 问题- 并把结论描述成n u i 的形式。 ( 3 ) 笫4 章用一些较新的观点讨论了非线性月- 问题与其无源性问题、0 增益问题、l s s 问题与逆最优控制问题的联系。 ( 4 ) 第5 章对结构不确定非线性系统鲁棒控制的三2 增益结构奇异值方法作出了归纳总 结，指出了目前存在的一些问题和今后的研究方向。 中南大学碳士学位论文 第2 章结构乙增益奇异值及其上界特性 肌控制处理具有非结构不确定性的系统是精确的和全面的，然而在系统存在结构不确 定性时具有严重的保守性“。”。为了克服这一缺陷，1 9 8 2 年d o y l e 针对线性系统提出了结 构奇异值“方法。结构奇异值反映了使得反馈系统不稳定的最小不确定性的倒数，作为系 统鲁棒性的度量，能很好地降低这种保守性。它通过对系统中输入、输山、传递函数、不确 定性等进行回路成形，把控制问题转化成块对角系统有界摄动问题，并基j 二p 进行分析和设 计”3 3 ，3 8 。”。然面直接求取结构奇异值p 是相当困难的，通常的做法是利用“的界限特性， 对其上下限进行估算。在实际处理中主要用到的是奇异值的上界特性，引入标度矩阵对原系 统标度化，这样就把问题转化为标度扩展系统的n 。控制问题。因此，标度化是处理结构不 确定系统中一个关键的步骤，鲁棒分析与鲁棒综合都基于标度化而展开。 对于结构不确定性非线性系统，结构奇异值理论主要有两种处理方法。一是吴敏教授 提出的基于反馈线性化的非线性结构奇异值理论，其思想是先通过反馈线性化把原系统转化 为线性系统的形式，然后应用已有的线性结构奇异值理论进行分析与设计9 。”】，这种方法遇 到的困难是结构不确定性在系统经微分同胚变换后如何描速还没有统一的规范。另一方面， h i t o 和w 辞m i nl u 都尝试直接从非线性系统出发，建立起和线性系统中剥应口方法。 w “m i nl u 引入结构上：增益奇异值的概念，主要针对一类仿射系统进行分析与综台m 。4 ”。 对于更一般的结构不确定的非线性时不变系统他直接引用类似于线性系统中的结论，但并 没有给出严格的证明等理论依据。hi f o 考虑了更为一般的情彤，为了严谨起见并没有引入 结构奇异值的概念，但实际t 一用十分类似的方法处理了非线性结构不确定性问题”2 4 ”。 本章将引入比结构如增益奇异值更为一般化的结构l 。增益奇异值的概念，则可以通过 对系统的标度化把鲁棒稳定性问题转化为标度标称系统的。增益问题，这种转换的依据是 小增益定理与结构上，增益奇异值的上界特性。针对结构厶增益奇异值文 1 2 】给出了相同的 奇异值上界特性，但本人查阅的所有文献中并没有见到此特性的严格证明。为证明此特性， 本章将重新定义鲁棒l o 稳定性与结构l 增益奇异值，这里鲁棒i o 稳定的条件比传统的婪 略强一些。 2 1预备知识 在这部分将介绍线性系统中结构奇异值的概念及其特性结构不确定非线性系统的处理 沿用了相同的思想，都是利用使得反馈系统临界不稳定时的不确定性作为鲁棒度最而克服保 守性。此外还将介绍上2 增益、鲁棒i ，o 稳定的概念与小增益定理，这是结构2 增益奇异值 方法的基础，事实上结构2 增靛奇异值本身的定义也是根据小增蘸定理1 狐给山的。 6 中南大学硕士学位论文 2 1 1 线性系统中的结构奇异值及其特性 图2 l 普捧性分析框架 对于含多个不确定性的系统，总可以对原系统进行整理后把系统模型中的不确定性抽 离出来，表示成块对角的形式。因此一般的，系统的结构不确定性c 的集合可以用 垒= 威e g ( 点，t 点，一f ) ：4 c ，l ：_ “ ( 2 1 ) 来描述，如图21 所示。其中s 和f 分别表示重复标量块矩阵和满块矩阵的个数，。表示 f ，：维实单位矩阵，而且 i + m ，= h ( 2 2 ) j = im ：l 其中”是系统状态的维数。 定义21 【2 1 复数矩阵吖c 关于复数结构不确定性的结构奇异值以( m ) 定义为 以卜霹i 两壶丙丽 ( 23 ) 如果没有使d e t ( ，一吖) = 0 的垒存在，则心( 肘) = o 。 从上述定义n ，知结构奇异值心( ) 的倒数反映了引起闭环系统不稳定的最小不确定 性。由于它考虑的是一种临界状态，从理论上讲如果能精确地求得心( m ) ，则可以完全 克服保守性，也就是说用它来作稳定性判断的话，条件既是充分的又是必要的。但是实际中 “的求取是十分困难的，只能利用它的边界条件的性质近似求得。 定义c 的两个子集 世= u ：己厂u = l ( 24 ) q = 忙i g t 现，d a j q ，d h f 岫j 。! 。f ) ：d i c 印i ，d 、= 融 0 1 d 。碟1 嗥s ) 定理2 1 2 1 ? 野p ( m u ) 3 心( m ) 定理2 2 【2 1 当2 s 十f 蔓3 时，有 7 中南大学硕士学位论文 以( m ) 2 璐。( d 肋。) ( 2 - 6 ) 上述两个性质表明了结构奇异值的上下界常被用来计算f 。值得注意的是定理2 1 中的这个下界并不是凸优化问题，虽然实际中效果很好。定理2 2 当不满足2 s + f 3 条件 时以( 肘) 小于这个上界，这个性质被用来求解综合问题，即著名的d k 迭代。 2 1 2 易增益 下面介绍厶增益的概念，当p 取2 时即相应的如增益的概念a 定义2 2 函数，的k 范数定义为 l 佻= ( m ，( f ) 1 9 m ) i ( 2 7 ) 其中，= 1 ，2 。当p = 时 帅) 卜誓罂，i 所谓厶空间是指0 范数有界的函数集合。在控制理论中通常假设函数，在勒贝格零测 集咀外相等的函数，关于b 范数详细的介绍请参看测度论的书籍。 定义2 3 h 5 1 给定函数，对于v r 五+ ，函数矗定义为 肿，= 。；， ( 2 ， 并称之为_ 厂在 ot 上的截断函数。 对于一切可测的，当 时对于v r 尺+ 成立时，称，r 属于0 。空间。耳。空问称为 l 。空间的扩展或扩展的，空间。一般地，0 c b 。 考虑映射g ：“叫，其中输入信号“输出信号y 都属于有限维空间。 定义24 h ”称映射g ：“叫为因果的( 或不可预测的) ，如果 ( g ( “) h = ( ( g ( “一) r ，v ，彤，v i 0 。 ( 21 0 ) g 为冈果的一个充要条件是“，= 可以推得( g m ) ) r = ( g ( ) n 由此可见因果性实际上是 指系统一个输入对应一个输出。 定义25 如果对于因粜的映射g ，存在有限的正常数y 和6 ，使得 rr y ( r ) 1 9 加广i “( f ) 1 9 出+ 6 ，v 丁群，v “k ( 21 1 ) 0 0 则称g 具有小于或等于y 的偏差为6 的增益。当6 = o 时称g 其有小于或等于y 的零 偏差0 增茄，其岛增益记为1 。 注2 2 0 增益的原始定义要求1 1 蜥8 ，y0 叶忆+ 6 t 这与上述定义是等价的，在本论文第 8 中南大学硕士学位论文 4 章中讲对此证明，文【4 5 】证明了上口增盎的特殊情形。显然定义2 2 更便于实际中运用。 在实际中通常研究的是零偏差的“增益。为方便起见，后文中在没有特殊说明的情况 下0 增益即指零偏差的增益a 2 1 3 鲁棒i ，o 稳定与小增益定理 下面介绍反馈系统良定与鲁棒i ，0 稳定的概念，并对物理意义略加说明。 w 2 图22 反馈系统分材r 框图 定义2 6 【4 5 3 对于如图22 所示的非线性反馈系统g i g 2 ，如果映射( 凸，) 叶( w “w 2 ) 是 是固粜的，且逆映射( w ，w z ) 一( 凸，岛) 也是因果的，则称反馈系统g 是良定的。 定义27 ”5 1 对于如图2 2 所示的非线性反馈系统g lg 2 ，如果该反馈系统是良定的，且 映射( a ，岛) 一( w ，w z ) 的增益是有界的，则称该反馈系统是鲁棒i ，o 稳定的。 注2 3 通俗的讲，反馈系统良定是指任意一对( 晶，岛) 有且只对应一对( w ，w z ) ，相反任 意一对( w 。m ) 有且只有对应的一对( a ，e ) ；进一步鲁棒稳定是指存在正常数c ，对于 任意的7 0 有 ，r 且h r + k f 9 ) 曲s c 且f w l f 9 + f w 2 1 9 ) 砷 ( 21 2 ) 00 注2 4 容易看山，对于反馈系统g lg 2 ，如果其子系统g l ，g 2 都是因果的，则原反馈 系统是良定的。然而在本论文的后续部分针对一类特殊的仿射系统鲁棒分析与鲁棒综台当 中发现不确定性不是冈果时，反馈系统仍能保存良定特性。是否只要一个子系统因果而不 需要其他任何附加条件仍能保持反馈系统良定，这仍有待进一步研究。 定理2 3 3 9 1 图22 所示的反馈系统g ig 2 是鲁棒u o 稳定的，如果 o k ( 1 ( 2 1 3 ) 上述定理即著名的小增益定理，它是不确定反馈系统研究的重要理论依据。小增益定理 本身是一个鲁棒i ，o 稳定的一个充分条件，因此在处理结构不确定系统的时候直接把它作 为稳定判定依据存在一定保守性。另一方面小增盏定理只给出了i ，o 稳定的条件，然而通常 要求控制系统是内部稳定的，跃久以来这个缺陷限制了小增益定理的应用。值得庆幸的是， 9 0 年代以后，耗散系统理论和输入状态稳定性( i s s ) 的研究成果都表明，如果在可检测条件 下外部稳定确能保证系统的内部稳定哪5 ”，因此本文只需考虑鲁棒i ，o 稳定即可，这样仍 可以利用小增益定理。 9 中南大学硕士学位论文 2 2 结构k 增益奇异值与奇异值上界特性 针对结构不确定非线性系统文【1 2 】提出了结构如增益奇异值的概念，这部分将把概 念更一般化，即考虑结构厶增益奇异值，并对奇异值的上界特性做出证明。该特性保证了 系统标度化的可行性，而标度化正是克服保守性的鲁棒控制的思想。 2 2 1 结构厶增益奇异值 与线性系统的情形不同，非线性系统没有传递函数的概念，因此本节完全基1 。状态空间 来讨论。类似的，引入结构奇异值的概念以及标度矩阵作为研究的主要工具，不过此处以系 统输入到输出的岛增益作为度量标准。 图23 反馈不确定系统分析框图 图2 _ 3 中的g 为非线性时不变算子，结构不确定性a ，其中 人：= 6 f d i 皿一托g 【1 ，2 ，a i i ：厶。_ + 岛，是非线性时不变的，因果的) ( 21 4 ) 且“具有小于或等于y m ( y o ) 的0 增益，即 b a ：= a 川州。y 。) ( 21 5 ) 假设剥于任意的b a ，反馈系统g 是良定的。借用算子工g 表述反馈系统，给 出结构如增益奇异值的定义。 定义2 7 m 1 考虑如图23 所示的不确定反馈系统g ，对于与任意的a a ，非线性算 子g 的结构。增益奇异值p a ( g ) 由 以( g ) = s u p ：1l ，一g 不是稳定可逆的) ( 21 6 ) 来定义。如果对于任意的a ，厶g 总是稳定可逆的。则定义儿( g ) ：= 0 。 与线性系统类似，期望利用结构奇异值的边界特性来作为计算依据。类似地引入标度矩 阵d ，这里d 是状态x 的正定函数。标度扩展系统d 。d d 。如图2 4 所示 y u 翻24 标度系统框图 1 0 中南大学硕士学位论文 其中d n 定义为 n ( 圳w 量一嘲雹，吐，矗】：z 足4 o ) ，( 2 1 7 ) 下面研究原反馈系统标度后的性质。由于不确定性是结构的，即每个不确定分量内部 互不关联，直接利用厶增益的概念即有， 引理2 4 图2 4 所示的非线性反馈系统对于v 从，d n 有 | | | i = i i d a d 。忆 ( 2 1 8 ) 因此，v b a ，d n ，当且仅当d a d 。n 。且文【3 9 】利用标度化给出来幻增益结 构奇异值的上界特性，而利用该特性很容易得到另外几个更便于应用的i ，o 稳定性条件。 0 g k 翌到d g d 。k ，( g ) ( 2 1 9 ) 在线性系统中该特性可以通过传递函数g 的奇异值分解得到，并且不确定性对角块的 个数满足一定条件时( 2 ，1 9 ) 式的右边可以取等号。然而对于非线性情况由于不存在传递函数 的概念，g 只是个抽象的非线性算子，因而不可能对之进行分解。 2 2 2 结构厶增益奇异值上界特性的证明 21 3 节所述，小增益定理是鲁棒i ，o 的充分条件。然而在研究中发现，如果小增益定 理也是鲁棒i ，o 稳定的必要条件的话。根容易通过简单的代数变换证明结构奇异值的上界特 性。就此重新给出强鲁棒l ，o 稳定定义。 定义2 ，8 对于如图2 _ 3 所示的反馈系统g ，如果对于每个子系统满足 0 1 k 1 ( f _ 1 ，2 ，一，) ( 2 2 0 ) 则称该反馈系统是强鲁棒“o 稳定。 显然上述定义比传统的i ，o 稳定定义要越强一些，它实际上直接以小增益定理的条件为 定义，这样小增益定理条件即使充分的，也是必要的。 相应的重新给出结构。增益奇异值的定义 定义2 9 考虑如图23 所示的不确定反馈系统g ，对于与任意的a e a ，非线性算子 g 的结构厶增益奇异值加( g ) 由 以( g ) ：= s u 叫1 创zi g 不是强鲁棒i o 稳定的 ( 2 2 1 ) 来定义。如果对于任意的a ，g 总是强鲁棒稳定的，则定义儿( g ) ：= o 。 下面证明结构奇异值的上界特性。 定理2 5 考虑如图23 所示的不确定反馈系统g ，对于与任意的a ，有 。2 删p g d 。k 凡( g ) ( 2 2 2 ) 证明：取d = ，时显然有l = 0 d g d 。k ，故( 2 2 2 ) 式左边得证。标度扩展反馈系统 中南大学硕士学位论文 d g d “d d 。强鲁棒i ，o 稳定的充要条件如f 忪g d 。1 d a d 。l c 1 ( 2 ) 又由引理2 4 有渊l = 忪d 。忆，则标度扩展系统强鲁棒i ，o 不稳定只需满足 蚓d g d 。1 ”| | | 1 1 ( 22 4 ) 由于已经证明( 2 2 2 ) 式的左半部分，即恻k2 坦刘d g d “k ，带入上式即得 | i g | i k i i | | 。1 ( 2 - 2 5 ) 因此此时原系统g 也是强鲁棒i ，o 不稳定的，由此 1 1 | l ：! 心( g ) ( 22 6 ) 上式取等号带入( 2 2 4 ) 即得 激归。1 忆以( g ) ( 2 ) 上式即( 2 2 2 ) 式的右半部分，证毕。 口 注2 5 当反馈系统是单输入单输出的情形时，显然( 2 2 2 ) 式恒取等号。 2 2 小结 本章针对结构不确定反馈非线性系统，引入结构b 增益奇异值的概念，证明了结构奇 异值的上界特性，该特性保证了系统标度化处理的可行性。基于该特性，下章将介绍如何把 反馈系统的鲁棒稳定性问题转化为标度化后标称系统的岛增益问题。 中南大学硕士学位论文 第3 章结构不确定非线性系统的鲁棒性分析与综合 对于结构不确定反馈系统，基于小增益定理很容易得到反馈系统鲁棒m 稳定的条件 而结构奇异值的上界特性表明了系统标度化处理后得到的稳定判定条件能更好的克服保守 性。本章重点研究鲁棒稳定问题，得到了两个改进的小增益定理，讨论标度化对克服保守性 的影响并且尝试用非结构不确定性代替结构不确定性，同时用标度化克服保守性。研究表 明，鲁棒分析中的保守性不单与系统不确定性的结构有关，也与标称系统的输入有关。 对于鲁棒性能问题的研究，可以通过把指定的增益要求放置到附加的不确定性中”， 这样鲁棒性能问题就转化为鲁棒稳定性问题。鲁棒综合问题实质上是附加控制参数的鲁棒性 能问题，然而实际中求解更加困难，至今仍没有一个有效的方法，一个考虑是采用类似于线 性系统中的d k 迭代的方法，但此方法的收敛性有待进一步研究。 本章针对一类仿射系统，并考虑岛增益的情形，这样就可以把结构不确定系统的鲁棒 控制问题转化为标度扩展系统的月。问题b ”j ，利用已有的h 。问题中的结论，并且把结论 描述成具有良好计算特性的非线性矩阵不等式( n l m i ) 的形式。 3 1 预备知识 考虑岛增益的情形时，结构不确定系统的鲁棒控制问题转化为标度扩展系统的m 问题， 因此这部分首先介绍非线性m 控制中的结论作为研究的基础。 考虑如下形式的一类非线性仿射系统 g ：扣删+ 删” ( 3 1 ) iz = ( z ) + 七( x ) w 。 其中x 膏c 尺1 是状态矢量，是状态z 的一个邻域，w 只9 ，z r 9 分别输入和输 出欠量。假殴- 厂，g ， ，c o 是适当维数的矢量或矩阵，且满足，( o ) = 0 和 ( o ) = oa ( r ，w ) 称为系统的状态转移函数如果系统g 在输入矿的作用下从初始状态经过时间7 后到达 的状态x 。 定义3 1 对于系统( 3 1 ) ，如果w = o 时，对于帆，有 z ( ，) ( = ( ( r ，x ，o ) ) ) = 0 = 1 i m ( r ，x ，0 ) = 0( 32 ) 则称该系统是零状态可检测的。 非线性的可检测一直是个发展的概念。与线性系统类似，可检测性表明从外部输入信 号与系统输出是否判定系统内部状态信息的能力，在控制理论的研究中通常作为一个稳定化 问题的前提条件。其中应用最广的是8 0 年代i s i d o r i 在研究最小相位系统时提出的零状态可 检测性的概念，即定义3 1 。到了9 0 年代中期，从输入一状态稳定性( i s s ) 的角度出发，一 中南大学硕士学位论文 些年轻学者从新定义了可检测性的概念，并且研究了非线性系统内部稳定、外部稳定与可检 测性的关系”4 “，在本论文第4 章将作简单介绍。2 0 0 0 年，根据耗散系统理论，该概念被 进一步扩展，条件被进一步弱化”。这样，对于非线性系统稳定性的判断条件越来越宽松， 设计的控制器越来越容易能满足其他的性能指标要求。 控制系统设计中一个最基本的要求是要系统稳定。对于非线性系统，以往研究最多的 是自由系统的渐进稳定性，通常把它与其他性能指标一起作为我们的设计目标。 定义3 2 对于非线性系统g 当w = 0 时如果对于讥。工有 l i m x ( f ，) = 0( 33 ) 则称g 的自由系统是渐进稳定的。 对于系统( 3 1 ) 当输入为零时，传统的l y a p l l n o v 定理要求找到l y a p u n o v 函数矿 o ，如果条件( i ) 或条件( i 1 ) 满足， 则该系统具有小于或等于y 的上增益。 ( i ) 系统是零状态可检测的，且存在一个c 1 类的径向无穷大的半正定函数y ( ) 使得对 于v x x ( 4 9 ) 式满足，且y ( 0 ) = o 。 等舯肌， ，1 f ，一， o f 39 ) ( i i ) 存在一个c 。类的径向无穷大的半正定函数r ( j ) 使得对于饥x ( 3 1 0 ) 式满足，且 y ( o ) = 0 。 ；豢舯。埘如 y 一1 正7 七y 一， o ) 的上2 增益，即 e 鸥； 喜，= 姬g ( ，- 一，) 川，l l ，么) ( 3 2 6 ) 对于结构不确定性的具体实现可以作如下假设。 假设3 4 对于v 口垂的每一个子系统，有如下实现 乒 黔m ? ( 3 2 7 ) 【“= 吒( 毒，f ，h