（光学工程专业论文）用计算全息制作二维光子晶体的研究.pdf

南京邮电学院硕士学位论文 摘要 摘要 本文对应用计算全息技术制作二维光子晶体进行了深入研究。文中提出一种 制作二维光子晶体的新方法计算全息法。根据所需制作的二维光子晶体结构 确定傅立叶变换全息图的物波函数，对该物波函数进行抽样、计算离散傅立叶变 换( d f t ) 、应用迂回相位编码、计算机绘图及打印制作多种结构的二维光子晶 体傅立叶变换全息样品。为预知所制作的二维光子晶体全息样品质量，利用计算 机编制程序对全息图进行模拟再现，其过程是：对物波的离散傅立叶变换数据按 照矩形孔夫琅和费衍射公式计算其再现像数据矩阵，用m a t l a b 编程对数据进行 处理，得到模拟再现像。与其它制作二维光子晶体的方法相比，浚方法不仅制作 简单、经济，而且还能制作任意结构和具有任意缺陷的近红外至可见光的二维光 子晶体。 本文还对所制作的二维光子晶体结构特性进行分析，讨论了它们在光通信中 的应用。 关键词：二维光子晶体，计算全息，迂回相位编码，计算机模拟再现 第1 页 南京邮电学院硕士学位论文a b s t r a c t a b s t r a c t i n 血i s p a p e r w ec a r r yo u td e e p l ys t u d y o nt h em e t h o df o r f a b r i c a t i n g 1 w o d i m e n s i o np h o t o n cc r y s t a lb yc o m p u t e r - g e n e r a t e dh o l o g m m ( c g h ) an e w m e m o df o rt 、v 0 - d i m e n s i o np h o t o n i cc r y s t a l sf a b r i c a t i o n 、v i mc o m p u t e r - g e n e r a t e d h o l o g r 锄i sp r e s e n t e d a c c o r d i n gm es t m c t u r eo f1 w o - d i m e n s i o np h o t o n i cc r y s t a l w en e e dt h ei n p u t p l a i l ef h n c t i o ni sa c h i e v e d a f c e rs a m p l i n gm ei n p u t - p l a n ef h c t i o n c o m p u t 沁d i s c r e t ef o u r i e rt r a m s f o r n l ( d f t ) ，c o d i n g w i t ht h e d e t o - p h a s e m e t h o d ，p r i n t i n g a r i dm i n i 刨n g ，s 锄p l e so fs e v e m lt w o d i n l e n s i o np h o t 0 i l i c c r y s t a l s f o u r i e rc g ha r ep r o d u c e d f o rf b r e k n o w i n gt h eq u a l i t yo ft h es a m p l e s t h e s ec g hs a m p l e sa r er e c o n s t m c t e db yp r o g r a m m i n gt os i m u l a t eo p t i c a ip r o c e s so n t h ec o m p u t e ll nc o m p 撕s o n 谢也o t l l e rf a b r i c a t i o nm e t l l o d s ，t h j si ss i m p l ea 1 1 d e c o n o m i c a l ，a n dr e a l i z ea n ys t r i 托t u r a lt 、v o d i m e i l s i o np h o t o n i cc r y s t a l i nm i sp 印e rw ea l s oa 1 1 a l y z et h es m l c t u r e so ft w o - d i m e n s i o np h o t o n i cc r y s t a l p r o d u c e db yc g h ，a n dd i s c u s s t h e i r a p p l i c a t i o n s i nt h ef i l e do f o p t i c a i c o m m u n i c a t i o n k e yw o r d s ：1 w o d i m e n s i o np h o t o n i cc r y s t a l c o d i n gw i t h t h ed e t o u r - p h a s e ， c o m p u t e r - g e n c r a t c dh o l o 掣锄， r e c o n s t m c t i o nw i t h c o m p u t e r s i m u l a c i o n 第页 南京邮电学院学位论文独创性声明 p7 6 s 2 9 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得南京邮电学院或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：j 蠲 日期：盏噬：生：! 南京邮电学院学位论文使用授权声明 南京邮电学院、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留 本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其 他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布 ( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权 南京邮电学院研究生部办理。 研究生签名： 氇；豳 导师签名：日期： 南京邮电学院硕十学位论文 绪论 第一章绪论 在2 0 世纪中，集成电路已经在很多方面发挥了巨大的作用。然而当信息产 业提出更加微细化和高速化的集成电路时，电子由于自身的局限已经不能达到要 求。现实的要求和技术的发展，使人们开始把目光投向拥有极高信息容量和效率、 极快响应能力、极强的互连能力和并行能力以及极大的存储能力的光子上来。要 利用光子作为信息传导的载体，实现集成光路的关键是必须制造出像适合集成电 路的半导体材料那样适合集成光路的材料光子晶体。近几年来，各种光子晶 体，特别是二维光子晶体研究及其应用取得了飞速的发展并迅速成为研究热点， 光子晶体制作实用化是其中的关键。 1 1 二维光子晶体的简介及其导光特性 众所周知，很多的研究都是起源于对自然领域存在类似现象的假设开始的。 光子晶体的产生亦是如此，它是由s j o h n 【1 1 和e y a b l o n o v i t c h 等人在1 9 8 7 年提 出的，在假设光子也可以具有类似于电子在普通晶体中传播的规律的基础上发展 起来的。 晶体内部的原子是周期性有序排列，正是这种周期势场的存在，使得运动的 电子受到周期势场特殊的约束作用。在这样的空间周期势场中的电子运动是出如 下的薛定谔方程决定的 ( 一昙三一vz + 矿( 尹) ) 妒( f ，f ) ：e ( f ，f ) ( 1 1 ) z ，丌 其中y ( i ) 是电子势能函数，它具有空间周期性。求解以上方程可以发现，电子 能量e 只能取某些特殊值，在某些能量区间内该方程无解，也就是说电子的能量 不可能落在这样的区间，通常称之为能量禁带。研究发现，电子在这种周期结构 中的德布罗意波长与晶格常数具有大致相同的数量级。 从电磁场理论知道，在介电常数呈空间周期性分布的介质中，电磁场所服从 的规律如下所示的m a x w e l l 方程 第1 页 南京邮电学院硕士学位论文 绪论 ( 俨+ 等彤f ) f ) - _ v ( 聊) 号筹) ( 1 2 ) 可以看出，式( 1 2 ) 和( 1 1 ) 具有定的相似性。通过对式( 1 2 ) 求解可以发 现。该方程只有在某些特定的频率处才有解，而在某些频率取值区间该方程 无解。也就是说，在介电常数呈周期性分布的介质结构中的电磁波的某些频率是 被禁止的，通常称这些被禁止的频率区间为光子频率禁带( p b g ) ，而将具有光子 频率禁带的材料称为光子晶体。 在周期性的晶体中存在能带结构，带与带之问可能存在带隙。电子波的能量 如果落在带隙中，就无法继续传播。不论是电子波，还是其它的波( 如光波) 等， 只要受到周期性调制，都有能带结构，也都可能出现带隙，而能量落在带隙中的 波则不能传播。半导体中离子的周期性排列产生了能带结构，而能带又控制着载 流子( 半导体中的电子或空穴) 在半导体中的运动。相似的，在光子晶体中是由光 的折射率指数的周期性变化产生了光带隙结构，从而由光带隙结构控制着光在光 子晶体中的运动，这是光予晶体的最主要特点。研究表明光子禁带的形状与位置 取决于构成光子晶体的两种材料折射率比、每种材料的占空比和具体形成的“晶 格”结构。一般地，光子晶体中地材料折射率比越大，光子禁带效应就越明显。 光子晶体还有另一重要特性“光予局域态”( p h o t o nl o c a l i z a t i o n ) ，即在 光子晶体中，如果原有的周期性或对称性受到破坏，在其光子禁带中就有可能出 现极窄的缺陷态，与缺陷态频率吻合的光子会被局域在出现缺陷的位置，一旦偏 离缺陷位置光就将迅速衰减【3 ，叭。这样就可以控制光波在缺陷中进彳亍传输，并且 由于光子禁带的存在，即使让光波经过很大角度的弯曲处时，也几乎没有能量的 损失。光子晶体这种性质引起人们对缺陷态光子晶体特性研究的极大热情【5 1 6 j ， 并使得光子晶体的应用更为广泛。 光子晶体按其周期性维数的不同，可分为一维光子晶体，二维光子晶体，三 维光子晶体，结构如图卜1 所示。 第2 页 南京邮电学院硕十学位论文 绪论 土d2 d3 d i 刳卜l 维、二维、二维光于晶体结构不意削 其中二维光子晶体( 2 dp h o t o n i cc r y s t a l ) 是介电常数在两维周期调制而 在第三维均匀的介电材料，则它在二维方向上对光子具有类似于电子带隙的光子 带隙( p g b ) 能带结构，实验上通常是利用介电常数为“l ”的空气与其它介电常 数较大的材料形成周期性的变化。= 维光子晶体结构通常有两种形式，如图卜2 ， 一种是由介质棒形成的周期结构，介质棒之间的中心间距为a ，介质棒的半径为 r ( r x 2 ，l _ y | r ，2 时 ，( “，v ) = o ， 当l “1 u 2 ，l v l y 2 时 即物函数厂( x ，一) 在空间大小是有限的。同时从物理意义上来说，它在空间频率 域中也是近似有限的。 对物面的抽样应依据抽样定理，抽样定理可简单的描述为：若一个函数s ( ，) 不包含，赫以上的频率，则该函数可以由一系列问隔小于l 2 秒处的样点值 完全( 唯一地) 确定。抽样时，在x 方向，选取抽样间距蠡l u ，则抽样单 元数j = x 蠡：在y 方向，选取问距为咖l v ，则共有抽样单元数k = y 旁。物函数可写成以下离散形式： f ，产f u 缸，k 姆、- 其中j ，k 分别为x ，y 方向抽样点的次序数 ( 一j 2 ) j ( j 2 - 1 ) ；( 一l 2 ) k ( k ，2 1 ) 物面总抽样数单元，足。一般，为便于f f t 运算，易取j ，k 为偶数。 全息面的抽样：和对物面的抽样相似。在傅立叶变换全息图的情形，全息 图物函数的空间频谱面上，抽样间距面和函满足抽样定理：沿u 方向，选取样 第2 2 页 南京邮电学院硕士学位论文 迁同相位型计算全息图的制作原理 点间隔为巍l x ，共有抽样点数m ：u 赢；沿v 方向，选取样点数间距 为函l y ，共有抽样点数n = v 西。这样，在全息面上共有抽样点数m n 个。由于空间带宽积的不变性，故有m n = j k ，一般取j = m ，k = n 。全息 图平面上的波函数f ( “，v ) 的样点值： 只。= f ( 川面，竹西) m ；n 分别为u ，v 方向的取样点的次序数 ( 一m 2 ) m ( m 2 1 ) ，( - n 2 ) n ( n 2 一1 ) 在计算全息中，空间信号( 二维图像) 的信息容量也是用空问带宽积柬描 述的。空间带宽积( s w ) 是空间信号厂( x ，y ) 在空间域和频率域中所占据空间 的量度，可表示为： s w = l 弘d y i l 赫 如果图像在空间域和频率域中的面积是矩形，其边长各为x ，y 和u ，v 则有 s 矽= 您兆，y( 3 2 3 ) 空间带宽积具有传递不变的特性，当图像发生空间位移、伸缩或受到调制等操 作时，空间带宽积保持不变。空间带宽积还确定了图像上可分辨的像元数，因 此，应用空间带宽积的概念，可以很方便地确定制作计算全息图时所需的抽样 点数。 2 、离散傅立叶变换 离散傅立叶变换是在计算机编程控制下计算抽样点的复振幅。出于制作的 是傅立叶变换全息图，故要算出全息图面上谱的复振幅分布f ( “，v ) ，必须进行 离散付立叶变换。离散付立叶变换可写成下式： ，= 篙i 兰c x p h z 万c 等+ 警， = 厶c x p 【一2 万( 等+ 等) 】 一，2 = 一，2 dj 、 直接对上式作= 维离散傅立叶变换，涉及极大地计算量，在此计算时采用快速 傅立叶变换( f f t ) 程序。经f f t 算出的k 为复数， 第2 3 页 南京邮电学院硕士学位论文 迂回相位型计算全息图的制作原理 f 。f c 。+ j d m c 。，d 。分别为实部和虚部，上式可改写为 e 。= 爿。- e x p 【，m 。】 爿。，o 。，为其幅值和相位值： 爿。，= c ：。+ d 二，；o 。，= t a i l _ 1 ( d 。c 。)( 3 2 5 ) 由于光学模板的振幅透过率最大为1 ，所以在编码前，还应对a 。的值进 行规一化，使其最大值为l 。 3 、编码 完成物面和全息面的抽样、离散傅立叶变换后，接下来就是把全息平面上 光波的复振幅分布编码成全息图的透过率变化，即编码。 “编码”是从通讯中借用来的，在通讯中的意义是指把输入信息变换为信 道上传送的信号。相应的在计算全息技术中，输入信息是待记录的光波复振幅， 而在最后阶段的再现要用光学形式来综合这一复数空间波面，中间的传递或存 储介质是全息图。因此，可以模仿通讯系统，把光波复振幅变换为计算全息图 的透过率变化函数的这个过程叫做编码过程。全息图的透过率函数为实值非负 函数，而离散傅立叶变化后得到为复数值，因此编码问题归结为将二维离散的 复值函数变换为二维离散的实值函数的问题，而且这种转换能够在再现阶段完 成其逆转换，从二维离散的实值函数恢复二维复值函数。 受不规则光栅衍射的启发，罗曼等人利用迂回相位效应，用下述精巧的方 法分别对振幅和相位进行编码，解决了编码问题，这种编码方法称为迂回相位 编码。它的思想是：在全息图的每个抽样单元中，放置一个通光孔径，改变 此通光孔径的面积来调制波面的幅值，改变通光孔径中心距抽样单元中心的位 置来编码波面的相位。通光孔径的形状可以是多种多样的，这主要依据绘图仪 的作图能力和数学描述的方便来取定。罗曼等人选择了矩孔孔径，矩形孔的参 数可以有好几个，但由于只需要幅值和相位，故孔径的变参数仅取两个。罗曼 等人提出三种不同形式的迂回相位编码，我们通常称为罗曼i 型，i l 型，i i i 型。 下面就最常用的罗曼i i i 型为例，说明如何把幅值、相位与矩孔的的可变参数建 第2 4 页 南京邮电学院硕士学位论文 迁同相位烈计算全息图的制作原理 立联系。 n6 6u 图3 3 罗曼l l l 型的抽样单元 罗曼i i i 型的编码方式如图3 3 所示，在每一个抽样单元中，矩形孔径的宽 度w 取为定值，一般取w = i 2 ，而矩孔高度，卅。与不同的样点( m ，n ) 的幅值而变 化；p 。表示矩形孔中心偏离单元中心的距离，它要与抽样点的相位成正比， 即 ! 。= a 。， p ：卫生 。” 2 ，蠼 这样，依据迂回相位方法编码得到的全息图面是由一系列位置各异的矩形 孔阵列组成，而每个抽样单元的透过率可写为： m f 竺蔫乎仲叫赤】 i i f 其中：r 已c 改功= 0姜老 而整个全息图面的透过率函数可写成如下形式： 脚，v ) = 莓莓删【型兹进m 专芳】 上述提到编码问题归结为将二维离散的复值函数变换为二维离散的实值函 第2 5 页 南京邮电学院硕士学位论文 迂回相位型计算全息凹的制作原理 数的问题，而且这种转换能够在再现阶段完成其逆转换。对于计算全息图来说， 再现过程即为“解码”过程，恢复全息图原来记录下来的信息。再现过程为透 过全息图后，光场的衍射过程，下面我们从二元傅立叶变换全息图的衍射理论 出发，可以根据式( 3 2 6 ) 编码的全息图能够在全息图的再现过程中，得到原来 的复光场分布，以证明这种编码方法的可行性。把根据式( 3 2 6 ) 编码制作的傅 立叶变换全息图放入图( 3 2 3 ) 所示的再现装置中，可以在沿x 方向的某个特定 衍射级次m ( 即为式( 3 一卜7 ) 中的m 值) 上再现我们所期望的波前。下面我们 来证明按照上面所介绍的方法编码的全息图可以再现我们所需的波前。 y 。 l v jl u 鑫、 ，n 0 。l i 7 i 江l 2 1 图3 4 _ 二元傅立叶全息图再现装置 再现系统为4 1 尔玑，吲j q 肘i 小。位上因l 小h 再现装置中，由x o 处 发出的光线经透镜l 1 之后变为倾斜的平面波e x p 【，2 瓜。“】，照射到全息图 h ( “，v ) 上透过全息图后的复振幅分布为日( “，v ) e 冲口2 m “】。这样在透镜l 2 的 后焦面上将出现其逆傅立叶变换 ( x ，y ) 。 ( x ，y ) = 肛( “，v ) e x p l ，2 瓜。】e x p ，2 玎( x “+ ) 出西】 = ，。却函s i n c z 。j ，函js i n c ( 工+ ) 却】 e x p 【，2 册却】e x p 【，2 万( x + x o ) ( ，打+ p m ) i 免】 再把物波函数写成离散形式。因为物波函数是空间限带的，应用频域抽样 定理，可把物波的傅立叶变换f ( “，v ) 写成内插公式 f ( “，v ) = f 沏，缸，开如) - s i n c 阻缸一m 】s i n c 【v 缈一川 第2 6 页 南京邮电学院硕七学位论文 迂同相位型计算全息幽的制作原理 再进行傅立叶逆变换，就得离散形式的物函数表达式 ，( x ，y ) = j p ( “，v ) e x p 【2 万( 驸+ 哕) 】也咖 = 勘_ 新鲥( 寿旭甜( 古) f ( m x ，n y ) e x p 【，2 万( 腓z + 砂，l ，) 】 = 西l 多盯p c f ( x ) ，已c ，( y y ) j f 沏撕，月西) e x p 【2 厅( 疗国+ 函) 】 1 为研究3 2 8 和3 2 一l o 之间的联系，在此预先取定三项近似： s i n c 国0 + x o ) 】“常数 s i n c 【y l 。，a ， = 1 e x p 【，2 印。翻l l ， h s 腊2 ， l y i l ，2 h 腊2 ( 3 2 一1 1 ) 将上述近似代入3 2 8 式，则可得到： ( x ，y ) = ，。玎愧西e x p 【，2 戚。面+ p 。) 】 e x p 【，2 丌( m r 缸+ 驯西) 】 ( 3 2 1 2 ) 由于f ( 珊面，n 断) 可写为f j j 。= 爿。e x p ( o 。) ，如果把式( 3 2 6 ) 代入式( 3 2 1 2 ) 中，且耿豌r = m 1 = 1 ，可以看出 ( 工，y ) 与，( x ，y ) 相等，即可以再现原来的物 函数的光场。下面我们来看一下踟= m = l 的含义及为什么这样取值。 在此，m t 的大小是和照明光波的倾角有关，它决定了全息图载频的大小。 同时由于迂回相位编码的要求，必须在某一衍射级上才能观察到确定的迂回相 位值，故m 的大小也就决定了应取第m 级的再现象。 由3 2 8 式可知再现象的强度正比s i n c 吵o + ) 函的平方，且 s i n c 【缈 + 工。) 取为常数，既不随x 的变化而变化。在x = o 处，这个因子变为 矽s i n c 【阡 。巍】：s m ( 对门f ) 删。当i m | _ 1 2 。3 2 时，得到最佳亮度因子 ( 1 础，) 2 ，可见此时应取m 为l 。w 表示抽样单元内矩孔的宽度，应小于抽 样单元，所以取w = 1 2 。当m = l 时，全息图的载频为l 泓，再现时一级衍 第2 7 页 南京邮电学院硕士学位论文迁同相位玳计算全息幽的制作原理 射像在像面上位于 f 面处，f 为透镜l 2 的焦距， 为再现时光波的波长。 另外，从上面的编码中我们可以看出，在相位编码时，如果中砌 万，2 ， 则m 单元的矩孔将跨入邻近的( m + 1 ) 单元。如果邻近的单元的中m + 1 ，n 。石2 ， 则二矩孔将发生重叠，此时重叠部分的振幅本应叠加，但实际的绘图就不可能 做到，致使全息图再现时失真，如图3 5 所示。解决的办法就是所谓的“模式 溢出校征法”，将溢出部分移至本单元的加一侧。即将p 。用p 。来代替，而将 w 分为两块w + w ”，并使得w = w + w ，如图3 6 所示。 膜式溢出校正法依据的原理是光栅的衍射理论，由于计算全息图可看作是 光栅，故各抽样单元中相应的位置具有同样相位值( 只差2 石的整数倍) ，但由 于中m n 在计算傅立叶变换时就是对模数2 万取的余数，因此2 石的倍数的作用在 此自然可以忽略。所以把溢出至邻近单元的矩孔移至本单元的另一侧，对相位 编码无任何影响，但却解决了编码中m n 石2 相位的问题。同时因为w = w + w ”， 故对幅值也无影响的。 广 羁 ： i l w p m “ 图3 5 相邻单元矩孔的互相叠加图3 6 模式溢出校正法 4 、绘制全息图 计算机完成振幅和相位编码的计算后，就是制作计算全息原图。由于成图 设备的分辨率有限( 例如常规绘图仪、打印机) ，而原图又是按放大的尺寸绘制 的，故需经过光学缩版到合适的尺寸，才可以得到实际可用的计算全息片。当 然，如果采用特殊的输出( 如电子束) 直接把全息图记录在胶片上，就可以省 去制作原图和缩版的步骤，这样全息图的制作再现精度会更高些。 第2 8 页 量竖型坠坚型塞! 堂堡笙壅 堑回塑堡型盐簦全璺塑塑型笪垦堡 参考文献 1 】b r b r o w n 孤da - w l o l l i l l a i l l l c o m p k xs p a t i a lf i l t e r i n gw i mb i n a r ym a s k s ，a p p l o p t ，1 9 6 6 ，5 ( 6 ) ：9 6 7 9 6 9 【2 】a wl o h m a r u la n dd pp a r i s ，b i n a r y 行a u n h o f c r h o l o g r 锄s ，g e n e r a t e db y c o m p u t e r a p p i o p t ，1 9 6 7 ，6 ( 1 0 ) ：1 7 3 9 一1 7 4 8 【3 】陈鹤呜，杜建昌等，“计算全息的误差综合修正”，南京邮电学院学报，1 9 9 l 2 ( 1 1 ) ：7 9 8 3 4 】苏显渝李继陶编著，信息光学，北京：科学出版社，1 9 9 9 5 虞祖良金国蕃编著，计算机制全息图，北京：清华大学出版社，1 9 8 4 6 宋菲君近代光学信息处理北京：北京大学出版社，1 9 9 8 【7 】w f f r e u d e ，h e - m i n g c h e n c 0 m p u t e r - g e n e r a t e dh o l o 邸m s w i c he f r o r c o m p e n s a t i o nf o rr e c o r d i n gp h r a s e s h i r e dd f bl a s e r c o m 埋a t i o n s a p p l e d o p t i c s ，1 9 8 8 ：5 1 0 3 5 l l o 【8 】w jd a l l a s c o m p u t e rg e n e r a t e dh o l o g r 锄s 0 p t i c a ls c i e n c e s6 2 7 ，a u g u s t2 3 ， 2 0 0 4 第2 9 页 南京邮电学院硕士学位论文计算全息技术制作二维光子晶体 第四章计算全息技术制作二维光子晶体 本章着重讨论应用第三章所介绍的迂回相位型计算全息技术理论来制作二维 光子晶体的具体方法和实际实现过程。 4 1 应用计算全息技术制作规则结构二维光子晶体 计算全息技术制作二维光子晶体的原理如图1 3 所示。用平行紫外光照射所 制作的二维光子晶体全息图，利用全息图的1 衍射光强直接照射用于制作光子 晶体基片上的光刻胶上，曝光一定时间，由于光刻胶的光敏性，显影后图形就转 移到光刻胶上形成二维光子晶体微雕。接着可采用与一般光刻法相同处理得到二 维光予晶体。依据第三章计算全息制作理论，二维光子晶体全息图具体制作过程 如下： 1二维光子晶体结构设计及物波函数选取 首先根据全息图的原理和以及三角点阵的二维光子晶体结构确定物波函数 的数学形式。在此要制作的是三角形排列的空气圆柱二维光子晶体，其结构如图 4 1 ，相邻空气孔中心间距为晶格常数口，空气孔的半径为，。出图可以看出，空 气孔处既是要曝光的部分，且孔内曝光度是一致的，有光照用“l ”表示，无光 照用“o ”表示，这样可用圆函数c f r c 0 表示物波函数的表达式。希望能够得到光 通信波段的二维光予晶体，其对应的晶格常数为亚微米至深亚微米，据此晶格常 数日取为7 0 0 n m ，芯径比为，口= 1 3 ，光子晶体大小x = y = 2 0 ，m 。 图4 1 三角形二维光子晶体 第3 0 页 南京邮电学院硕士学位论文计算全息技术制作二维光子晶体 有限空l 、白1 的物波函数可以表示为： h 2 一i k 2 一l 一 c f ，c ( 一口( 矗+ l 2 ) ) r ，( y 一口( t + 3 2 ) ) ，) ，1x l 硝2 ，i y l 墨y 2 一，2 一k ，2 x ，y 取其它值时，( x ，y ) = o ( 4 - l 一1 ) 其中， 州，= 2 _ 囔乱， 上式中h 是x 方向空气孔的个数，k 表示y 方向空气孔的层数。物波函数 中的参数取值问题将在后文中讨论。 物波函数( t y ) 的傅立叶变换为： f ( ) = ，( 训) e x p 【，2 万陋+ w ) 妫 ( 4 1 2 ) 式中，j = 二i ，u ，v 分别表示x 方向和y 方向的空间频率。f ( “，v ) 也称为 物波函数，( x ，y ) 的空问频谱。 2 物面抽样 抽样包含物面和全息面的抽样，在此我们只对物斌进行抽样。物波函数确定 后，接下来讨论如何对物面进行抽样，及抽样点数的选取。空间有限的物波函数 ( x ，y ) 以问距在x 方向等间隔地抽样m 次，其中鲥= m & ；以间距旁在y 轴方向上等间隔地抽样n 次，其中y = n 咖。由于空问带宽的不变性，一般 物波函数和其傅立叶变换在空间和频谱域内的相应方向的抽样点数相同。这样一 来，对物波函数的抽样也就导致其傅立叶变换，( 虬v ) 在频域内”轴方向上等间隔 的被抽样m 次，根据抽样定理，其间距巍= 1 ，( m ) ，在v 轴方向上等间隔地被 抽样n 次，同理，其间距西= 1 ( m 咖) 。此外，由于从= l ，我们取m _ n 。 对物波函数进行分析，每个周期内至少应有4 个抽样点，物波才能基本再现。一 般选取抽样点还需考虑计算机的处理能力和成图设备的分辨率高低。我们所用的 第3 1 页 +一 ”函 一 ， y 砌一石 “ 妇c mm i i 力 z 八 南京邮电学院硕士学位论文计算全息技术制作二维光子品体 计算机内存为2 5 6 m ，程序运行环境为s u a lf o 舳n6 o ，计算机的处理能力对 抽样点数没有限制。而采用的成图设备为激光打印机，最高分辨率为6 0 0 p d i ， 此要求抽样点数不超过2 0 0 ，在编程时，也对此做出抽样点不超过2 0 0 的限制。 考虑以上一些因素，在此对物波取抽样点数为1 2 8 1 2 8 经绘图物波形状能够 基本恢复。按1 2 8 1 2 8 对物面进行抽样，抽样后所得的数据以特定的格式先存 放在一个磁盘文件当中，以便下面的编程模块调用。抽样数据的程序框图如图 4 1 1 所示。 输入抽样点数m ，n 、抽样间隔d x 、d y i i 按式4 1 - 1 计算抽样各点的复值 0 i 保存各抽样点的复值到磁 ；t 文什日d i n l d a l 图4 2抽样数据的程序框图 3 、绘编码及绘图 这一步是制作全息图的关键，也是程序主体。编码的主要目的就是根据上一 步中抽样的各点的复值经过离散傅立叶变换得到全息面上各点的复值( 即全息图 中各抽样单元中心处的复值) ，然后利用第三章中所论述的罗曼i i i 型迂回相位编 码来确定全息图上各点像素的透过率是1 或o 。编码的过程也是在计算机内完成 的，然后将编码后的信息输给打印机成图，产生三角形二维光予晶体计算全息图。 编码程序框图如图4 3 。 第3 2 页 南京邮电学院硕士学位论文 计算全息技术制作二维光子品体 图4 3 制作二维光子晶体计算全息图程序框图 在所采用的光学系统中，假定z 方向为波长为丑的光信号传输方向，在旁轴 近似的条件下，空间频率可用下式表示： 第3 3 页 南京邮电学院硕士学位论文 计算全息技术制作二维光子晶体 ；，v 姜 ( 4 1 3 ) 七允 经过物平面或频谱面的抽样，编码函数由空间频谱复函数f ( “，v ) 在m 个 大小均为盘印的矩形单元的中心取值构成。根据每一点取值的振幅和相位来确 定在对应单元上的开孔大小和位置。这样，当平面波前垂直照射该单元时，该单 元中心位置后的衍射场就等于，( 小舐，n 咖) 。 理想薄透镜的前焦面和后焦面上的场分布是通过( 4 1 2 ) 所示的傅立叶变换 变换联系起来的，也就是说对于前焦面和后焦面上的场分靠，薄透镜起傅立叶变 换的作用，不考虑常数因子，具体的转换关系如下式所示： ，( y ) j 旁e x p ( 一风2 厂) f ( 旁，旁 ( 4 - l - 4 ) 其中七。= 2 丌五为真空传输常数，为理想薄透镜的焦距。 因此，如果我们在这种透镜的后焦面上观察上述傅立叶全息图的衍射场，将 会看到物波函数厂( x ，_ y ) 的重建。 4 光学缩版 我们采用打印机作为成图设备，在a 4 纸张上打印全息图，因而必须进行光 学缩板爿能得到可用的全息样品。编码工作完成后，需考虑全息图尺寸大小问题。 设物波函数的重建波长为五。，重建透镜的焦距为六，则全息图在x 方向和y 方 向上的大小都和y ，分别由下式确定： x f = m 九二f ：| x ，yf ：n 九t f 。 础 0 4 一、一s 1 实际打印机输出的全息图是式( 4 1 5 ) 所确定的原图的放大，故需经过光学 缩板到合适的尺寸，才能得到实际可用的全息图。要注意的是因为缩板时x 和y 方向上缩小的倍数是相同的，所以在选取相关参数时，也必须保证下式成立。 丛：些 ( 4 1 6 ) x ”舣 根据实际条件，所制作的三角光子晶体是个对称的结构，x 与l ，相等， 且x = y = 2 0 哪。x 方向和y 方向抽样点数相同，在此取为m = n = 1 2 8 ，那 第3 4 页 南京邮电学院硕士学位论文计算全息技术制作二维光子晶体 么由4 - l 一5 式计算得到x ，和_ y ，是相等的。实际打印得到的全息样品图的大小为 x f y f ，应缩小的倍数为x f ，x ，? = y f _ y 胪 所制作的三角形二维光子晶体全息样品参数如表一。 1 a b l e l p a m m e t e r so fc g h e x o i a n a t i o n q u a n t i t y u s e dv a i u e d i e i e c t r i cc o n s t a n tc o n t r a s t s ， 2 1 c r y s t a l l a t t i c ec o n s t a n t d7 0 0 n m a i r h o l er a d i u s ，d 3 s i z eo f2 一dp h o t o n i cc r y s t a l sx = r2 0 删 c g h t y p e l o h m a n ni i iop t l m i z e dp l o t s a m d l ei nxd i r e c t f o nm1 2 8 s a m p i ei nyd i r e c t i o n n1 2 8 x l ? = m x ：f ：i 。( 3 9 9 3 9 7 m m a c t u a ie x t e n s i o n 扎= n x ： ：| 龇 3 9 9 3 9 7 晰埘 m a x h n u ma n w o r k x l ? x y f 2 l c m 2 l c 肌 e n c o d m gw a v e i e n 毋h 也 0 2 5 7 8 姗 f o c a j j e n g t l 】 工 3 0 m m 全息图的抽样点数、编码波长等参数确定后，将这些参数通过特定的输入文 件进入程序，就可以通过打印机得到三角点阵的二维光子晶体计算全息图，样品 图如4 4 。全息图样品经光学缩版后得到实际可用的计算全息片，缩小的倍数可 通过理论计算得到，即为_ 么? - 第3 5 页 南京邮电学院硕士学位论文 计算全息技术制作二维光子品体 幽4 4 应崩计算全息技术制作的三角形二维光子品体全息幽 4 2 计算全息制作多种缺陷结构及六边形二维光子晶体 由上面章节计算全息制备三角点阵的二维光子晶体过程可知，利用全息图制 作二维光子今晶体，该方法对二维光子晶体的周期、结构没有限制，并且周期及 结构的改变在该方法中易实现，考虑用计算全息方法制作各种缺陷结构的二维光 子晶体( 2 d p c ) 。 采用与上节中制作三角点阵二维光子晶体同样的过程制作了四种不同结构 的二维光子晶体，它们是三个点缺陷的三角点阵2 d p c ，五个点缺陷的四边形和 第3 6 页 南京邮屯学院硕十学位论文 计算全息技术制作_ 二维光子品体 三角形2 d - p c ，六边形结构的2 d - p c ，以及具有线缺陷和点缺陷的四边形2 d p c ， 其中三种多点缺陷结构的光子晶体全息图参数相同，如表2 ，六边形的2 d p c 全 息图参数如表3 ，具有线缺陷和一个点缺陷的2 d p c 参数如表4 。 t l b l e 2 p a r a m e t e r so f c g h e x p l a n a t i o nq u a l l t i t y u s e dv a i u e i e i e c t “cc o n s t a n tc o n t r a s t s ， 1 1 5 6 c r y s t a l l a t t i c ec o n s t a n t d7 0 0 帆 a l m o l er a d i u sr口5 s i z eo f 2 一dp h o t o n i cc r y s t a i sa = y2 5 姗 c g h t y p e l o h m a n nl i i o p t j m i z e dp i o t s a m d l ei nxd i r e c t i o nm l5 0 s a m p l ei nyd i r e c t i o n n1 5 0 xf = m x ：f ： 越 4 6 4 0 4 m 州 a c t u a le x t e n s o n f = n 九e ：j 战 4 6 4 0 4 州棚 m a x i m u ma n w o r k 。 x ? x y | ? 2 l c 卅2 l c 卅 e n c o d j n gw a v e l e n 垂h丸 o 2 5 7 8 姗 f o c a i l e n 昏h ： 3 0 m m 第3 7 页 南京邮电学院硕十学位论文 计算全息技术制作_ 二维光f 晶体 1 a b l e 3 p a 船m e t e r so f c g h e x p l a n a t i o nq u a n t i t y u s e dv a l u e d i e l e c t cc o n s t a n tc o n t r a s t 占， 1 1 5 6 c r y s t a i l a t 亡i c ec o n s t a n t 口26z 册 a i r h o i er a d j u sr“3 s i z eo f 2 - dp h o t o n i cc r y s t a l sr = y5 0 删 c g h f y p e l o h m a m lj f l o p f i m j z e dp i o l s a m p l ei nxd i r e c t i o n m 1 2 8 s a m p i ei nyd i r e c t i o n n1 2 8 x l ：= m ：f ：| x 1 9 7 9 9 0 朋肌 a c t u a ie x t e n s i o n y = = n x ! ： 战 19 7 9 9 0 所卅 m a “m u ma r c w o r k x i ? x y | ? 2 1 c 卅2 l c 研 e n c o d i n g w a v e j e n g t h 五。 02 5 7 8 姗 f o c a l l e n g t h t 3 0 r n m 第3 8 页 南京邮电学院硕士学位论文 计算全息技术制作_ 二维光子品体 t h b l e 4 p a r a m e t e r so f c g h e x d f a n a t i o n q u a n t i t y u s e dv a i u e d j e l e c t cc o n s t a mc o m 娜t 占， 4 5 5 c r y s t a l l a 仕l c ec o n s t a n t 口6 6 0 i l t t l a i r h o l er a d i u s，0 2 5 a s i z eo f2 - dp h o t o n i cc r y s t a l sa = y2 5 i c g h 哆p e l o h m a n ni l i o p t i m i z e dp i o t s a m d l ei nxd i r e c t i o nm1 5 0 s a m p i ei nyd i r e c t i o n n1 5 0 x i = m x 。| ! | 酸 4 6 4 0 4 朋删 a c t u a le x t e n s i o n 弘= n x ：f1 1 盛 4 6 4 0 4 聊小 m a x i m u ma r t w o r k x i 。x y i ： 2 1 c m 2 1 c 州 e n c o d l n gw a v e i e n 百h五。 02 5 7 8 i 埘 f o c a i i e n g t hfc 3 0 m m 第3 9 页 南京邮电学院硕士学位论文计算全息技术制作二维光子晶体 由上述参数所得到的全息图样品如下： 图4 5 三个点缺陷三角形二维光子晶体 第4 0 页 南京邮电学院硕士学位论文 计算全息技术制作二维光子品体 图4 - 6 五个点缺陷的三角形二维光子晶体 第4 1 页 南京邮电学院硕十学位论文计算全息技术制作二维光子品体 图4 7 五个点缺陷四边形二维光子品体 第4 2 页 南京邮电学院硕士学位论文 计算全息技术制作- 二维光子品体 图4 - 8 六边形二维光子品体 第4 3 页 南京邮电学院硕士学位论文 计算全息技术制作二维光子晶体 豳4 9 具有点缺赂和线缺陷的四边形二维光子品体 第4 4 页 南京邮电学院硕十学位论文 计算全息技术制作_ 二维光子品体 4 3 二维光子晶体全息图计算机模拟再现 计算机制全息图般用光学方法来再现，而光学方