（声学专业论文）超声振动系统的设计与性能参数的计算.pdf

超声振动系统的设计及性能参数的计算 汪彦军 摘要：超声振动系统一般由换能器、变幅杆和工具头等部分组成，是功率超 声设备的核心。经典的设计方法是在同一工作频率下，按一维振动理论分别推导 出换能器和变幅杆的频率方程，确定各组件的尺寸，再求解它的应力、位移分布 及前后振速比( 放大系数) 等性能参数。系统的结构或形状变化较为复杂时，推导 频率方程和性能参数表达式的过程非常繁琐，计算工作量很大；改变某一组件的 材料或几何尺寸时，计算它对系统整体性能参数影响的过程也很麻烦。 其它的设计方法，如有限元法、等效电路法、替代法、表观弹性法等，都有 各自的优点和不足。例如有限元法设计和分析超声振动系统不需要任何简化假设， 但要按照某种原则对系统进行建模，比较麻烦；等效电路法处理的对象是集中参 数系统，只能得出振动系统处于谐振状态时的部分性能参数，并且是以解析表达 式的形式给出，无法确切知道系统内部的应力及位移分布。 四端网络法的优点就在于能够将每种形状超声振动组件的网络传输系数编制 成子程序，按照组成系统的顺序调用，最终形成一个通用的计算程序。只要输入 各级组件的材料参数和几何参数，就能计算出任意多级组件组成的振动系统的放 大系数、位移节点、形状因数、绘出应力及位移分布。对于有源振动系统还能计 算其输入导纳响应、电压及电流传输函数、绘出导纳圆。某种组件的材料或几何 尺寸改变时，通过比较两种情况下的计算结果，就能定量的反映这种改变对性能 参数的影响。 论文主要有以下几个方面的内容： 1 推导常用超声振动组件的机电等效网络( 包括实心组件和空心组件) 及对应 的网络传输系数。 2 在分析计算变幅杆性能参数的共性的基础上研究了一种算法，能够快速计 算任意多级组件组成的复合变幅杆的放大系数、形状因数、位移节点、输入阻抗 等性能参数，绘出应力及位移分布。 3 研究变幅杆的负载特性，主要分析了负载对谐振频率、放大系数、位移节 点及形状因数的影响。 4 研究任意多级组件组成的超声振动系统性能参数的计算方法。结合变幅杆 性能参数的计算方法设计了一种算法，不但能够计算振动系统的机械性能参数， 绘出应力及位移分布，而且能够计算系统的输入导纳响应、电压及电流传输函数、 品质因数、频带宽度等，绘出振动系统谐振频率附近的导纳圆。 5 利用g u i ( 图形用户界面) 实现变幅杆、换能器及其任意多级组件构成的超声 振动系统性能参数的算法，使相关参数的输入及计算结果输出均以6 u i 显示，为 超声振动系统的设计及优化提供了方便。 关键字：变幅杆换能器振动系统算法性能参数四端网络 d e s i g no fu l t r a s o n i cv i b r a t i o ns y s t e ma n dc a l c u l a t i o n o fp e r f o r m a n c ep a r a m e t e r s w a n gy a n - j u n a b s t r a c t ：1 h eu l t r a s o n i cv i b r a t i o ns y s t e mi sac o r eo ft h ep o w e ru l t r a s o n i c e q u i p m e n t ，w h i c hi sg e n e r a l l yc o m p o s e do ft r a n s d u c e r , a m p l i t u d et r a n s f o r m e ra n d i m p l e m e n t t h em e t h o di sc l a s s i c a l ，w h i c ht h ef r e q u e n c ye q u a t i o n so ft h et r a n s d u c e r a n dh o r na r ed e d u c e ds e p a r a t e l ya n dt h es i z e so ft h ev a r i o u sm o d u l e sa r ed e t e r m i n e d u n d e rt h ei d e n t i c a lr e s o n a n c ef r e q u e n c ya c c o r d i n gt ot h eo n ed i m e n s i o n a lv i b r a t i o n t h e o r y , w h e r ea f t e ri t sp e r f o r m a n c ep a r a m e t e r ss u c ha ss t r e s sa n dd i s p l a c e m e n ta n d a m p l i f i c a t i o nc o e f f i c i e n t ，a r ec a l c u l a t e d w h e nt h es t r u c t u r eo rt h es h a p eo fv i b r a t i o n s y s t e mi sc o m p l e x ，t h ep r o c e s s t h a ti st od e d u c ef r e q u e n c ye q u a t i o na n dt h ee x p r e s s i o n s o fi t sp e r f o r m a n c ep a r a m e t e r si se x t r e m e l yt e d i o u s a n dt h ew o r kl o a do fc o m p u t a t i o ni s v e r yb i g ；w h e nc h a n g e sm a t e r i a lo rt h eg e o m e t r ys i z eo fac e r t a i nv i b r a t i o nm o d u l e ，t h e p r o c e s st h a tt h ee f f e c to np e r f o r m a n c ep a r a m e t e r so fv i b r a t i o ns y s t e mi sc o m p u t e di s t r o u b l e s o m e t h eo t h e rm e t h o d ss u c ha sf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，e q u i v a l e n tc i r c u i tm e t h o d ， s u b s t i t u t i o nm e t h o da n da p p a r e n te l a s t i cm e t h o d ，w h i c ha r eu s e dt od e s i g nu l t r a s o n i c v i b r a t i o ns y s t e m ，h a v et h e i rr e s p e c t i v em e r i t sa n dd i s a d v a n t a g e s f o re x a m p l e ，a n y s i m p l i f i e da s s u m p t i o nd o e s n tb em a d ew h e nt h e u l t r a s o n i cv i b r a t i o ns y s t e mi sa n a l y z e d o rd e s i g n e dw i t ht h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，b u tt h em o d e lm u s tb ec a r d e do na c c o r d i n g t os o m ek i n do fp r i n c i p l e t h a ti sa l s oq u i t et r o u b l e s o m e s o m ep e r f o r m a n c ep a r a m e t e r s a r eg i v e no u tw h e nt h el u m p e dp a r a m e t e rs y s t e mt h a ti sa tr e s o n a n c ec o n d i t i o ni s h a n d l e dw i t hb yh ee q u i v a l e n tc i r c u i tm e t h o d ，a n dt h ep a r a m e t e r sa t ee x p r e s s e db yt h e a n a l y t l ce x p r e s s i o n s w ea r eu n a b l ee x a c t l yt ok n o ws t r e s sa n dd i s p l a c e m e n to ft h e v i b r a t i n gs y s t e m t h ea d v a n t a g eo ft h ef o u r - t e r m i n a ln e t w o r km e t h o di st h a tt h es u b r o u t i n ea b o u tt h e f o u r - t e r m i n a ln e t w o r kc h a i n s o ft h eu l t r a s o n i cm o d u l eo ft h er a n d o ms h a p ei s p r o g r a m m e d t 1 l eg e n e r a lc o m p u t a t i o np r o c e d u r ei sf o r m e dc a l l i n gt h es u b r o u t i n e a c c o r d i n gt ot h em o d u l et y p e t h ep e r f o r m a n c ep a r a m e t e r so ft h ev i b r a t i n gs y s t e mc a n b ec a l c u l a t e d ，s u c ha sa m p l i f i c a t i o nc o e f f i c i e n t ，d i s p l a c e m e n tn o d e ，c o n f i g u r a t i o nf a c t o r , s t r e s sa n dd i s p l a c e m e n ta n ds oo nw h e nt h ec h a r a c t e r i s t i cp a r a m e t e r so fm a t e r i a la n dt h e g e o m e t r yp a r a m e t e r so ft h ev a r i o u sm o d u l e sa r ei n p u t t e d ，a n da l s ot h ea d m i t t a n c e i i i r e s p o n s e ，t h ev o l t a g et r a n s f e rf u n c t i o n ，t h ee l e c t r i cc u r r e n tt r a n s f e rf u n c t i o na n dt h e c o n d u c t a n c ec i r c l ef o rt h ea c t i v ev i b r a t i n gs y s t e ma r ec a l c u l a t e d t h em o v e m e n t so ft h e p e r f o r m a n c ep a r a m e t e r sa r ec o m p u t e dw h e nt h em o d u l em a t e r i a lo rg e o m e t r ys i z e sa r e c h a n g e dc o m p a r i n gt h et w oc o m p u t e dr e s u l t s t h ep a p e rc o n t e n tm a i n l yh a sf o l l o w i n gs e v e r a la s p e c t s ： 1 t h ee q u i v a l e n tn e t w o r ko ft h ev i b r a t i o ns y s t e mm o d u l e si n c l u d i n gt h es o l i da n d h o l l o w , a n dt h e i r st h ef o u r - t e r r a i n a ln e t w o r kc h a i n sa l ed e d u c e d 2 a n a l g o r i t h mb a s i n go na n a l y z i n gt h eg e n e r a lc h a r a c t e ro fc o m p u t i n gt h e p e r f o r m a n c ep a r a m e t e r s o f a m p l i t u d et r a n s f o r m e r i ss t u d i e d t h ep e r f o r m a n c e p a r a m e t e r so ft h em u l t i s t a g eh o r nc a l lh ec o m p u t e d ，a n dt h ed i s t r i b u t i o ne u l - v eo fs t r e s s a n dd i s p l a c e m e n tc a nb ed r a w nu p 3 t h el o a dc h a r a c t e r i s t i c so ft h eh o ma r es t u d i e d t h ec h a n g eo fr e s o n a n c e f r e q u e n c y , a m p l i f i c a t i o nc o e f f i c i e n t d i s p l a c e m e n tn o d e sa n dc o n f i g u r a t i o nf a c t o ra r c a n a l y z e dw h e n t h el o a di sa l t e r e d 4 a na l g o r i t h ma b o u tc o m p u t i n gt h ep e r f o r m a n c ep a r a m e t e r so ft h ev i b r a t i o n s y s t e mo fm u l t i s t a g em o d u l e s i ss t u d i e d i ti su s e dt oc o m p u t et h em e c h a n i c a l p e r f o r m a n c ep a r a m e t e r s ，t h ea d m i t t a n c er e s p o n s e ，t h ev o l t a g et r a n s f e rf u n c t i o n ，t h e e l e c t r i cc u r r e n tt r a n s f e rf u n c t i o n ，q u a l i t yf a c t o r , b a n d w i d t ha n ds oo n 5 t h e a l g o r i t h m sa b o u tc o m p u t i n gt h ep e r f o r m a n c ep a r a m e t e r so ft h eb o m ， t r a n s d u c e ra n dv i b r a t i o ns y s t e ma r er e a l i z e dw i t hg u i ( g r a p h i c a lu s e ri n t e r f a c e s ) t h e i n p u to ft h ec o r r e l a t i o np a r a m e t e ra n dt h eo u t p u to ft h ec o m p u t e dr e s u l ta r ed i s p l a y e d ， w h i c hp r o v i d e sc o n v e n i e n c ef o rd e s i g n i n go ro p t i m i z i n gt h eh o r n ，t r a n s d u c e ra n d v i b r a t i o ns y s t e m k e y w o r d ：a m p l i t u d et r a n s f o r m e rt r a n s d u c e rv i b r a t i o ns y s t e ma na l g o r i t h m p e r f o r m a n c ep a r a m e t e r sf o u r - t e r m i n a ln e t w o r k 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：罄聋整 日期：鲨z 盟 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为| 啖西 师范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文 的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：雌日期：翟掣 第一章绪论 1 1 选题背景 功率超声是利用超声振动能量来改变物质组织的结构、状态、功能或加速这些 改变的过程。由于功率超声技术具有许多特点，与其它处理技术相比，常能大幅度 提高处理速度和效率，提高处理质量和完成一般技术不能完成的处理工作，因而在 工业、农业、国防、医药卫生、环境保护等部门得到了越来越广泛的应用，并且不 断开辟新的应用领域，需要提供各种各样性能优良的功率超声设备以满足需求。而 超声振动系统( 包括换能器、变幅杆、工具头等) 是功率超声设备的核心，如何设计 和制造性能良好、经济可靠的超声振动系统是功率超声技术应用的关键和迫切需要 解决的问题”“。 换能器是进行能量转换的器件，将一种形式的能量转化为另一种形式的能量。 在声学研究领域，主要是指电声换能器，实现电能和声能之间的相互转换。按照物 理效应换能器可分为两大类：一类是电一力效应形成换能的器件，称为电场性换能器， 如电容式、压电式、压电陶瓷式等；另一类是磁一力效应形成换能的器件，称为磁场 性换能器，如电动式、电磁式、磁致伸缩式等。 变幅杆在功率超声技术中很重要。1 ，它的主要作用就是把机械振动的质点位 移或速度放大，或将能量集中在较小的面积上。高声强超声应用中，如超声加工、 超声焊接等，辐射面的振动幅度一般需要几十到几百微米，而换能器辐射面的振动 幅度在2 0 k h z 范围内中有几微米，必须在输出端连接变幅杆，将振动幅度放大才能 满足需要。 超声振动系统的传统设计方法是在同一工作频率下，按一维振动理论分别推导 出换能器和变幅杆的频率方程，确定各组件的尺寸，再求解它的应力、位移分布及 前后振速比( 放大系数) 等性能参数。当系统的结构或形状变化较为复杂时，推导 频率方程和性能参数表达式的过程非常繁琐，计算工作量很大；调整系统的某一性 能参数时，也很难确定改变那一振动组件比较有效。 本文认为每种形状的振动组件都有其特定的等效四端网络，将各自的四端网络 系数编制成子程序，按照组成系统的顺序调用，最终形成一个通用的计算程序。只 要输入各组件材料的特性参数和几何参数，就能得到任意多级组件组成的振动系统 的放大系数、位移节点、形状因数、绘出应力及位移分布。对于有源振动系统还能 计算其输入导纳响应、电压及电流传输函数、绘出导纳圆。某种组件的材料或几何 尺寸改变时，通过比较两种情况下的计算结果，就能定量的反映这种改变对性能参 数的影响。 1 2 常用设计方法 1 传统解析法 按照各级形状函数求解相应的振动方程，再利用边界条件及各级组件接触界面 处力和位移的连续条件，推导系统的频率方程与各项性能参数的表达式“1 。以阶梯 形变幅杆为例，如图1 1 振动方程为 图1 1 阶梯形变幅杆 豢亭- 。 ( 1 _ 1 ) 解之得 亭。一0 1c o s 舡+ b 1s i n h ) 亭6 - 乜2c o s k x + b 2s i n h ) 由边界条件警i 一。粤l 。；0 和连续性条件s 1 e 譬i 。- s 2 e 粤i ，。及 d x o x o xo x 邑i 。t 鼠i ；1 0 可得阶梯形变幅杆的频率方程为： s lt g k a + s 2t g k b 一0 ( 卜3 ) 2 替代法 对于由多级组件复合的振动系统，可以认为各级组件的界面连接处机械阻抗相 等鼬1 ，因此又叫机械阻抗相等法。这种方法比传统设计法要简便，物理意义也明显。 以阶梯形变幅杆为例，如图1 1 ，x ；0 、z 时宽端的输出阻抗与窄端的输入阻抗分 别为 。一s , e 孥- 一 如争。可否 b 0 4 ) 。一s e 堕 z ：。蚤i 矿乒l z o ( h 各级组件的界面连接处机械阻抗相等，即z ，一z ：，根据( 卜2 ) 式和自由边界条 件e f 2 0 推导出的频率方程与传统解析法一样 s l t g k a + s 2 t g k b 一0 3 等效电路法 2 幻 一 l ，k 、j o ) 6 r 墨 z 口 卜如 将振动组件两端的力、振速、力阻抗类比于电压、 振动系统的机电等效电路“1 ，如图1 2 z 1z 2 电流、电阻抗，就可以得到 z 1 图1 2 丁型或玎型等效电路 对于多级复合的超声振动系统，因各级组件接触面处振速连续，可将单个组件 的机电等效电路( t 型或z 型) 连接起来，得到系统完整的等效电路。令电路的抗部 为零，就可以得到振动系统的频率方程。以阶梯形变幅杆为例，如图1 1 ，其r 型 等效电路为 z 4 1z 耵z 6 1z 6 1 图1 3 阶梯形变幅杆的机电等效电路 图中z 1 = - j p c s a t g 了k a ，乞：一一j 蕊p c s l ，z 。一一j o t s ：昭譬，乙：，蠹急，由基 尔霍夫定理知 一( z 。1 + z 。2 塌一z 。2 亭 ( z 。l + z 。2 + z + z 6 ：垮一z 。：亭，一z 6 2t 0 ( 1 6 ) f 2 。一【z 6 l + z 2 居j + z 6 2 宇 根据自由边界条件只一f 2z 0 可得频率方程为 s 1 t g k a + s 2 t g k b ；0 4 四端网络法 每种形状函数的单级振动组件都有其特定的等效四端网络“”，如图1 4 ，将不 同形状函数单级组件的四端网络系数编制成子程序，设计时按照类型顺序调用，非 常方便。 对应的传输方程为 图1 4 一般的四端网络 e - a l l f 2 + 口1 2 矿1 一a 2 1 ，2 + 口2 2 ( 卜7 ) 即 盼仨糍h 纠 o - s ， 对于一个，l 级组件构成的超声振动系统，第f 级可表示为一个四端网络 盼凇h 嚣) 。， 其中d ，为第，级杆的四端网络系数。按照组合顺序将各系数矩阵相乘，将其简化为 一个总的四端网络 盼一一一巨划纠 埘 根据自由边界条件f ot et 0 ，可得到系统的频率方程 雒一0 ( 卜1 1 ) 以阶梯形变幅杆为例，如图i 1 ，根据四端网络法有 ( 州，蠹荡z 。警忙荔，辔 由e ；e ；0 可得其频率方程为 s l t g k a + s 2 t g k b z 0 5 有限元法 前面几种方法设计或分析超声振动系统有很大的局限性：要将对象简化并建立 成一定的数学模型。如等效电路法处理的对象是集中参数系统，只能得出振动系统 处于谐振状态时的部分性能参数，并且参数是以解析表达式的形式给出，要确切知 道系统内部的应力及位移分布等参量，要经过很复杂的计算才能得到。而有限元法 分析和设计超声振动系统时不需要作任何简化假设“”1 ，将所考虑的结构空间划分 为有限个单元，按照某种原则确定物理量在单元上的分布，最终得到以数值形式表 示的物理量在所考虑空间上的分布，它很自然地考虑了各个方向上、各单元之间的 耦合，并将结果以图形的方式显示出来，由此观察振动系统的各个振动模态、及应 力及位移分布。单元划分得越细小，分析得越精确。 6 表观弹性法 大尺寸超声振动体都存在横向耦合振动，理论上应该采用三维振动理论进行分 析。由于弹性体耦合振动很复杂，一般情况下很难得到解析解。有人提出了表观弹 性法“。2 “：在只考虑伸缩变形而不计剪切变形的条件下，均匀弹性体的振动可以看 作是由相互垂直的纵向振动耦合而成，不同方向的振动有不同的表观弹性常数，弹 4 性体的耦合振动可以由各个方向上的一维纵向振动来表示，从整体上看，各个方向 上的等效纵向振动通过相互耦合构成弹性体的耦合振动。 实际设计超声振动系统时还有传输线法、分段趋近法等其它方法。针对不同的 研究对象，可以几种方法结合起来使用以便简化，当然也可使用不同的方法相互验 证。例如对于存在大横向尺寸段的复合杆，先用表观弹性法计算由于径长耦合振动 呈现的表观声速，再结合其它方法作最后设计；对一端接有圆柱杆的复合变幅杆， 可以将传输线法和替代法联合起来进行设计。 1 3 本文研究内容 传统方法设计超声振动系统时，如果系统结构或形状变化较为复杂，则推导频 率方程和性能参数表达式的过程非常繁琐，工作量很大。改变某一级的材料或几何 尺寸时，计算它对系统整体性能参数影响的过程也很麻烦：如果要调整系统的某一 性能参数，也很难确定改变那一振动组件比较有效。四端网络法的优点就在于能够 将每种形状超声振动组件的网络传输系数编制成子程序，按照组成系统的顺序调 用，最终形成个通用的计算程序。只要输入各组件材料的特性参数和几何参数， 就能得到任意多级组件组成的振动系统的放大系数、位移节点、形状因数、绘出应 力及位移分布。对于有源振动系统还能计算其输入导纳响应、电压及电流传输函数、 绘出导纳圆。某种组件的材料或几何尺寸改变时，通过比较两种情况下的计算结果， 就能定量的反映这种改变对性能参数的影响。 本文以此为基础，主要就以下几个问题进行了研究： 1 推导常用超声振动组件的机电等效网络( 包括实心组件和空心组件) 及对应 的网络传输系数。 2 在分析计算变幅杆性能参数的共性的基础上研究一种算法，能够快速计算任 意多级组件组成的复合变幅杆的放大系数、形状因数、位移节点等性能参数，绘出 应力及位移分布。 3 研究1 4 波长变幅杆性能参数的计算方法，能够快速计算任意多级组件组成 的复合1 4 波长变幅杆的谐振频率或共振长度、有负载时的放大系数，输入阻抗等 参数。 4 研究变幅杆负载特性，主要分析谐振频率、放大系数、位移节点及形状因数 随负载的变化规律。 5 研究任意多级组件组成的超声振动系统性能参数的计算方法。结合变幅杆性 能参数的计算方法设计了一种算法，不但能够计算振动系统的机械性能参数，绘出 应力及位移分布，而且能够计算系统的输入导纳响应、电压及电流传输函数、品质 因数、频带宽度等，绘出振动系统谐振频率附近的导纳圆。 5 6 利用g u i ( 图形用户界面) 实现变幅杆、换能器及其任意多级构件组成的超声 振动系统性能参数的算法，使相关参数的输入及计算结果输出均以g u i 显示，为超 声振动系统的设计及优化提供了方便。 6 第二章超声振动组件的机电等效网络 2 1 圆截面杆的四端网络 考虑一个由均匀、各向同性材料组成的变截面杆，e 、k 、s 。及e 、屹、s ： 分别为两端受到的力、振速和横截面积，f 是变截面杆的长度，如图2 1 。不计材 料的机械损耗并假定一维平面波沿轴向传播，横截面上应力均匀分布，各质点等 幅同相振动，则任意横截面上的位移宇g ) 可用轴线上的坐标表示。简谐振动的情 况下，变截面杆的波动方程”3 1 为 l 一 沁! ：j o i l 主： i 一j 2 1 变截面杆的一维纵振动不意图 堡+ 三堕堕+ 后z 毒。0 o x 。so xo x 又亭一亭g k7 “，v 一，宇，贝0 尝咖芸，罟咖警缸 。 缸缸2 a x 。 代入( 2 - 1 ) 式得 一02 v + 三堕堂+ 七2 v ，0 f 。s e 堕。一，一s e o v a x缸 令矿2 ) ，_ 一去警，代入( 2 _ 2 ) 式得 1 0 2 y + k 2 y ，0 k 2 0 时( 2 - 4 ) 式存在简谐解 y b ) 4 去c o s 戤+ b s i n k r ) 将j - 0 、z 代入( 2 - 5 ) 式得 k 。击4 7 ( 2 - 1 ) ( 2 - 2 ) ( 2 - 3 ) ( 2 - 4 ) ( 2 5 ) 砭。击。c o s 幻+ 肌i n 厨) 解之得 a = 觋 b ，巫! 堡：亚! 蔓竺! 望 s i n k 根据( 2 - 5 ) 式有 尝一嘉( 一心n 戤+ b c o s k x ) 一西1 。一1 i8s,cos觳+bsinkx)4s a x 0 s j 璐弧 把4 、b 及( 2 - 6 ) 式代入( 2 - 3 ) 式得 只t ，- p 2 七c ( o 缸s 几。v 。+ ， 七p t c a n s i 百k k 一，p c f k 五i f 2 - ，- p 2 七cl ( s 缸s 、，。v 。， 七p t c a n s 2 百k + ，p c 瓦k 五矿h 由( 2 7 ) 式可得到变截面杆一维振动的机电等效网络如图2 2 ( a ) t 型四端网络( b ) 一般四端网络 图2 。2 变截面杆的等效网络 图中z ，、z ：，z 3 是变截面杆r 型等效网络中的串并联阻抗 即，象( 飘+ ，患一，譬 如一，篆( 乱+ ，篇一，案 ，i p c k 4 s 1 s 2 ，叫1 磊五r 式( 2 - 7 ) 可化为下面的形式 f la a h f 24 - a 1 2 kl 口2 1 f 2 + 4 2 2 则变截面杆一般四端网络的传输系数为 8 ( 2 6 ) ( 2 - 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 。等一+ 恭乱 5 ( ，勰。+ ，慧卜警 埘 k s i n 船 a ，1 - = = = 一j 俨k 4 s , s 2 一等如一刮s i n 踽k ( a s s d x 。 “s ，水5 。：，。 超声振动系统一般由多级不同截面形状的振动组件组合而成。常用的形状有 圆锥形、等截面形、指数形、悬链线形、余弦形等。表2 1 列出了有关形状的几 何参数。表中s 为面积函数，n = 撕巧i 为面积系数，k 、女分别为变截面杆的 波数和等效波数。 表2 1 几种常见变截面杆形状参数 将表2 1 中的有关参数代入( 2 1 0 ) 式，即可得到常用圆截面超声振动组件的 四端网络系数如下 等截面形 口1 1 = c o s k la 1 2 一j z ls i n k la 2 l - j s i n k l z 2a 2 2 - c o s k 其中z ，一p c s 。，z ：一p c s ：，为振动组件两端的特性力阻抗( 下同) 。 圆椎形 。旦c o s 肼+ 生生一s i n k l 嘞 【( 等矧豳埘_ ( 等削 4 ，。f 三一d ls i n 肼 4 ，。生c o s 肼一旦! 二皇! s i n k l 9 ( 2 - 1 1 ) ( 2 1 2 ) 指数形： 悬链线形： 余弦形： 口- t 。( c 。s 玉。一昙s i n 圈) e 口t ：2 豇- k s i k n k l p 一 。一。， e ，警妒( c o s 肌铷圈) e 胡 口l l c h a c o s k l 一上k s h a l s i n k l 口1 2 一j 孕( 脚一c o s k l + k c h d s i n k ) k 1ks i n k 7 c o s k 7 i i 可 4 22 i 丁 c o s 4 ，- 。面函 口t 2 a 2 1 ( 2 - t 4 ) ( 2 - 1 5 ) 4 一s 耐c o s k + 竺k s i n 耐s i n k 设计换能器时一般忽略螺杆的影响，将前、后盖板和压电陶瓷晶堆作为均匀 的实心杆件，这种方法有一定的近似性删。如果考虑螺杆，某些振动组件或其中 的一部分就变成了空心杆件( 螺杆一般为等截面形) ，如图2 3 ，相应的几何参数也 发生了变化。如果能将这些空心组件等效为实心杆件，就可以利用原来的方法计 算空心组件的四端网络系数( 螺杆的作用要另外计及) 。 五 惑蕊汰熏兰 瓯 0 izx 梦渺一、 “ 图2 3 空心变截面杆示意图 以指数形空心杆件为例来说明将其等效为实心杆件时等效形状参数的计算方 法，如图2 3 ，e 、k 、s 1 和，2 、k 、s ：分别为两端面的力、振速和横截面积， s 。为空心截面积，则空心杆的面积函数s 及面积系数变为 s i s 台一2 肛一s o ( 2 1 6 ) 1 0 、l， 目s 甜n s口 + 日 蓦 口 s s 耐 耐 s s 七一k 毛一七一乞 ， 一 掌 = 灏f 瓦界乒葡 ( 2 一1 7 ) 其中声= l n n f l ，n 一s ，s ：。令s ；s ：e 一4 。，工= 0 ，z 时有 s 1 一s 1 一s o s 1 e 一2 卢= s e 一2 一 解之得 p 一i n n ( 2 - 1 8 ) 同样也可以推导出其它形状函数的空心变截面杆等效几何参数。表2 2 列出 了几种常见圆截面空心杆的相关参数。表中n = ( i = 瓦- ) 7 西习为等效面积系 数，s 。为面积函数， 口、卢。、r 为等效的形状参数。 表2 2 几种常见变截面杆等效形状参数 类型 面积函数s 1 等效波数备注 等截向形sk 圆锥形 s ；o 一饿) 2 七 口一( 一1 ) ， 指数形 s ；e 邮。以2 一卢。p 一i n n 1 悬链线形 s 2 c h 2y 唯一x )以2 一y “r 一c h 4 n 金堇墅g ! 箜：立= 兰!止：= z ：= ! 箜：g ! 盟：边 将其代入对应组件四端网络的传输系数，即可得到对应空心变截面件的网络 传输系数。 2 2 四端网络的一般知识 酬z 4 一股阴必骊网篓备 图2 4 为一般的四端网络，其网络传输方程可以写成如下形式 z ：遗：兰： ( z ) ；( ：a 2 2 、1 2 ) = - ( z ) c z 一9 ， ，l 一4 2 1 + 口2 2 ，2 i ，l ji 口2 l。弋，2j 。 矬笨兰阶眨群：) - z z 。， 一z 2 1 ，1 + _ ) ，2i ji z 2 lz 2 2 八，2j 。弋，2j 。 拨参：黪i2 ( y y ：y y 撒) 。 y i 毳) z ， ，2 - y 2 l + y 2 2 l 2j i 2 l 2 2 八j 。_ 、哆j 其中分别陋】、 z 、 y 称为一般矩阵、阻抗矩阵和导纳矩阵， y 】矩阵可以看 作是z 1 矩阵的逆矩阵，记为z 1 - 1 。对于常用的t 型或石型四端网络如图2 5 ，其网 1 1 络传输系数推导如下 z 1 z 2 堕匦亚 对飞z ，c 】飞f 矿：矿4 0 中历z ，中飞仁 图2 5t 型与石型四端网络 丁型四端网络的传输方程为 k = 0 0 + z ，k z ，： 哆= z ，l 一( z ：+ z ，) ，： ( 2 - 2 2 a ) 式也可以变形为 k 一警k + 丝警丝 ，1 。堡+ z 2 + z 3 1 z 3z 3 ，一一兰立l k 一兰l k 1 z l z 2 + z 2 2 3 + z 3 2 1 1 z 1 2 2 + z 2 2 3 + z 3 2 1 j ，。三一k 一j 生l 吒 。 z 1 2 2 + z 2 2 3 + z 3 2 1 1 z 1 2 2 + z2 2 3 + z 3 z l 由( 2 - 2 2 b ) 及( 2 - 2 2 c ) 式可以归纳出t 型四端网络对应的网络系数矩阵为 阻】= z l + z 3z l z 2 + z 2 2 3 + z 3 z l z 3 1 z 3 z 3 z 2 + z ， z 3 【z = 瞄3 一矗3 ) ) 阱西去面心乙一矗，) ) 同理疗型四端网络对应的网络系数矩阵为 阻】； 【z 】一 z 1 + z 3 z ， z 1 + z 2 + z 3 z 2 2 3 z ：( z 。+ z ，) z 1 + z 2 + z 3 z 2 2 3 z 14 - z 24 - z 3 z 1 l z l + z 2l t j z 24 - z 3 ( 2 - 2 2 a ) ( 2 2 2 b ) ( 2 - 2 2 c ) ( 2 - 2 3 a ) ( 2 - 2 3 b ) ( 2 - 2 3 c ) ( 2 - 2 4 a ) ( 2 2 4 b ) 圯刍 2 + 一 2 圯亿忑 么乙一互 y 】一 z l + z 2 z 1 2 2 1 z l l z 1 z 1 + z 3 z 。z 3 对于r 型网络由( 2 - 1 9 ) 和( 2 - 2 3 a ) 式有 一警= 盈学 a 2 1 。上 。，；生堕 。i2 之_ 解之得 z ，；型 “2 1 对于万型网络，同理可得 z 。型z ，。鱼兰 a l z ( 2 - 2 4 c ) z 3 ：一1 ( 2 2 5 a ) 口2 l z 3 。一1 ( 2 2 5 b ) 口1 2 四端网络的链式连接如图2 6 ，可通过两个网络的系数矩阵相乘得到一个新的 矩阵来等效。两个矩阵乘积要求第一个矩阵的列数一定等于第二个矩阵的行数， 既 d l 。一曲l + ，陋l 。 图2 6 两个四端网络链式连接的等效网络 ( ：) ；( ：) ( ：) 一、( n a ：n 。吼b , 。, + + 。a 1 。2 6 。2 ：1 ，。a ：n 。6 b , 。2 + + 口a n ：b 6 ：。2 ) c z z e ， 假定各级振动组件作弹性振动，不计损耗，则根据振动方程求得的四端网络 由纯抗元件组成，其网络系数矩阵主对角线上的元素4 ，、彳：为实数，非主对角 线上的元素4 ，、彳。为正负虚数，则系数矩阵的乘积为 阮a l l 刎谓b l l 。乏) i ( _ 珧a , , b , , + 川a 1 2 b 娼z , ，) 7 编( a , , b , 2 坞+ a i ：b 2 2 ) 可以看出，二者的乘积仍然是主对角线上为实数，非主对角线上为正负虚数 的2 x 2 矩阵。这样各级振动组件的四端网络进行化简时所有的矩阵均可以作为实 数矩阵，只是在最后的结果上将非主对角线的网络系数分别加上正负虚数的符号 即可。 1 3 + 图2 7 两个双口网络的串联 两个四端网络的串联，如图2 7 ，可由其阻抗矩阵z 相加进行化简 ( z z 。l l ；：) ；( ；：a 4 2 1 2 2 21 ) f i z z b 6 2 i l , ：z 。b ：l ：2j i = z a l l i z b l l 【：z 。a 。1 2 + - t - z z b 。l 。2 ) c z z ， 首先要将一般四端网络的传输系数矩阵转化为阻抗矩阵，由( 2 - 1 9 ) 式可得 k 。堕，+ 口2 1 ；上，。一 与( 2 - 2 0 ) 对比可得 z 】= a 2 1 a l l a 2 1 1 a 2 1 a 1 2 a 2 1 一a l i a 2 2 d 2 1 ( 2 2 8 ) 堕1 1 口2 l a 1 2 a 2 l a l l a z z a 2 1 a 2 2 a 2 1 ( 2 2 9 ) 通过( 2 3 9 ) 式将其合并为一个阻抗矩阵后，再将阻抗矩阵变换成一般网络系 数矩阵，由( 2 3 1 ) 及( 2 - 3 2 ) 很容易得 - 】= z l lz 1 2 2 2 1 一z 1 1 2 2 2 z 2 1z 2 1 1 z 2 2 z 2 1z 2 1 ( 2 - 3 0 ) 抗z 。，由t 型四端网络可知 乙薜乞蜒萎 乙c 】对飞审z 0f 耽乞四：2 匡 il 6 l 二一 ( a ) t 型四端网络( b ) 一般的四端网络 z