（控制理论与控制工程专业论文）非线性鲁棒控制的lyapunov、h∞与μ方法研究.pdf

摘要 本文研究了非线性鲁棒控制的l y a p u n o v 、乒k 与方法，时论了不确定性 非线性系统的鲁棒性分析与综合问题，得到了非线性鲁棒控制问题可解的充分 条件及鲁棒控制器的设计形式。 基于l y a p u n o v 稳定性理论，本文首先给出了一种通过构造l y a p u n o v 函数 设计鲁棒控制器的方法。i 通过适当的选择评价输出，使控制对象的控制目标实 现与否能够以评价信号的范数是否足够小作为判定依据。在此基础上考虑了控 制系统存在外部干扰和模型不确定性的情形下的鲁棒控制问题，获得了系统的 一类鲁棒控制器的形式。然后针对非线性系统的鲁棒镇定稳定问题提出了鲁棒 镇定控制器的两步设计方法，将鲁棒控制器分成两部分，首先从标称系统出发 设计出使标称系统渐近稳定的控制器，然后基于l y a p u n o v 稳定性理论设计辅助 的控制器保证所设计的镇定控制器的鲁棒性。利用这种方法，进一步讨论了非 线性系统的鲁棒跟踪问题，获得了鲁棒跟踪问题可解的充分条件和鲁棒跟踪控 制器的设计方法。这种方法的主要优点在于可以把目前的非线性系统控制的成 果直接应用到第一步的控制器设计中，然后再在第二步中从稳定性理论出发考 虑控制系统的鲁棒性问题。，一 ， 本文对一类不确定仿射非线性系统的鲁棒正k 控制问题进行了研究针对系 统的自由系统、控制输入矩阵和外部输入矩阵都具有模型不确定性的。l 曹彤，通 过把鲁棒比控制问题转化成一组h a m i l t o n j o c o b i 不等式的求解问题，获得了鲁 棒控制问题可解的充分条件和鲁棒控制器的形式。与已有的结果相比较，本文 进一步考虑了外部输入矩吒主斟型不确定性的情形，结论覆盖了已有的结果， 是前人工作的进一步推广， 本文总结了基于反馈线性化的u 方法研究的成果。通过状态同胚变换和反 馈，将不确定性非线性系统表示成具有刁i 确定性的广义控制对象的线性因式变 换。在此基础上，利用线性鲁棒控制的方法对广义对象进行系统的鲁棒性分 析与设计，可以获得线性鲁棒控制器的形式，进而得到相应的非线性系统的鲁 棒控制器。这种方法为线性鲁棒控制的方法在非线性控制领域的推广提供了 一条简单可行的途径。 运用m a t l a b 软件进行的仿真验证了本文结论的正确性。 v、v 关键词：非线性系统，鲁棒攫制，l y a p u n o v 稳定性，风控制，成 a b s t r a c t t h et h e s i sd e a l sw i t ht h el y a p u n o v 。h 。a n d “m e t h o d sf o rn o n l i n e a rr o b u s t c o n t r o lr o b u s t n e s s a n a l y s i s a n d s y n t h e s i sp r o b l e m s i sd i s c u s s e df o ru n c e r t m n n o n l i n e a rs y s t e m s a n ds u 彤c i e n tc o n d i t i o n sa n dc o r r e s p o n d i n gc o n t r o l l e r si so b t a i n e d t os o l v et h en o n l i n e a rr o b u s tc o n t r o lp r o b l e m s b a s e d o nl y a p u n o v s t a b i l i t yt h e o r y ，t h i st h e s i sf i r s tp r e s e n t sa m e t h o dt od e s i g n r o b u s tc o n t r o l l e r sb yc o n s t r u c t i n gl y a p u n o vf u n c t i o n c h o o s i n gas u i t a b t ep e n a l i z e o u t p u t ，t h er e a l i z a t i o no f as p e c i f i e dc o n t r 0 1o b j e c t i v ec a nb ei u s t i f i e db yt h a tw h e t h e r t h en o r mo fp e n a l i z e do u t p u ti ss m a l le n o u g ho rn o to nt h eb a s i so ft h i s ，r o b u s t c o n t r o lp r o b l e mi sc o n s i d e r e df o rc o n t r o lp l a n tw i t he x t e r n a ld i s t u r b a n c ea n dm o d e l u n c e r t a i n t i e s ，a n dae l a s so fr o b u s tc o n t r o l l e r sa r eo b t a i n e d t h e nat w o s t e pd e s i g n m e t h o di sp u tf o r w a r df o rt h er o b u s ts t a b i l i z ep r o b l e mo fac l a s so fn o n l i n e a rs y s t e m s t h er o b u s tc o n t r o l l e r sc o n s i s to ft w op a r t s ：o n ei sd e s i g n e df o rt h en o m i n a lc o n t r o l s v s t e mt o g u a r a n t e et h e c o n t r o l o b j e c t i v e t ob e r e a l i z e d ；t h e o t h e ri sa s s i s t a n t c o n t r o l l e r st og u a r a n t e et h er o b u s t n e s s d e s i g n e db a s e d o nl y a p u n o vs t 曲i l i t yt h e o r y t h i sm e t h o di sa l s oe x t e n d e dt ot h er o b u s tt r a c k i n gp r o b l e m t h em a i na d v a n t a g eo f t h em e t h o di st h a t ，i tc a l lu t i l i z et h en e wr e s u l t so fn o n l i n e a rc o n t r o l i nt h ef i r s t s t e p ， a n ds t a b i l i t yt h e o r yi nt h es e c o n ds t e p t h et h e s i sd i s c u s s e sr o b u s t 凰c o n t r o lf o rac l a s so fn o n l i n e a rs y s t e m sw i t h u n c e r t a i n t i e se x i s t i n gi nt h ef r e es y s t e m ，e x t e m a ld i s t u r b a n c ei n p u tm a t r i xa n dc o n t r o l i n p u tm a t r i x s u m c i e n tc o n d i t i o n s f o rs o l v i n gt h er o b u s t 月。c o n t r 0 1p r o b l e ma r e r e d u c e dt ot h es o l v a b i l “vp r o b l e mo ft h eh a m i l t o n j a c o b ii n e q u a l i t i e s a n dn o n l i n e a r r o b u s tc o n t r o l l e ra r ed e s i g n e dt og u a r a n t e et h en o n l i n e a rc o n t r o ls y s t e mt oa c h i e v e t h er o b u s tp e r f o r m a n c e c o m p a r e dw i t ht h er e s u l t sp r e s e n t e db e f o r e m o r em o d e l u n c e r t a i n t i e sa r ec o n s i d e r e di nt h i st h e s i s s ot h ec o n c l u s i o n sa r em o r e g e n e r a l t h et h e s i ss u m m a r i z e st h er e s e a r c ho n “m e t h o df o rn o n l i n e a rs y s t e m sb a s e do n f e e d b a c kl i n e a r i z a t i o n b ym e a n so f t h en o n l i n e a rs t a t ef e e d b a c ka n ds t a t ec o o r d i n a t e s t r a n s f o r m a t i o n , m a n yu n c e r t a i n n o n i n e a rs y s t e m sc a nb et r a n s f o r m e da sal i n e a r f r a c t i o n a lt r a n s f o r m a t i o n ( l f t ) o nt h eg e n e r a l i z e dp l a n ta n dt h eu n c e r t a i n t yb a s e do n l f t ，f i n e a rr o b u s tc o n t r o l l e r sc a nb eo b t a i n e db yt h e 肛m e t h o df o r1 i n e a rs y s t e m s ， t h e nt h ec o r r e s p o n d i n gn o n l i n e a tr o b u s tc o n t r o l l e rc a nb ec o n s t r u c t e d t h i sm e t h o d p r o v i d e sw i t had i r e c tw a y f o rt h e “m e t h o df o rl i n e a rs y s t e m st oe x t e n di nt h ea r e ao f n o n l i n e a rc o n t r 0 1 u s i n gt h es o f t w a r em a t l a b t h ev a l i d i t yo ft h ec o n c l u s i o n si sv e r i f i e db yt h e s i m u l a t i o n k e y w o r d ：n o n l i n e a rs y s t e m ，r o b u s tc o n t r o l ，l y a p u n o vs t a b i l i t y ，风c o n t r o l ， 中南工业大学硕士学位论文 第1 章绪论 本文研究工作是在国家自然科学基金项目“非线性鲁棒控制的“方法研究” 和国家教育部基金项强“菲线性玩控制的理论及算法研究”支持下进行韵，重 点讨论了不确定非线性系统的鲁棒控制问题，寻找非线性鲁棒控制新的分析与 设计方法。本章详细阐述了非线性鲁棒控制研究的科学意义及目前国内外的进 展情况，说明了本文研究的主要内容及论文构成。 1 1非线性鲁棒控制研究的意义 科学技术的发展，对系统控制提出了新的要求。不仅要求更加精确，而且 要求更加符合实际需要。在这种需求的促进下，控制理论和控制技术取得了长 足的进步。 线性系统和非线性系统都是实际工程中的客观存在。近几十年，线性系统 的发展是非常引人注目的，经历了由经典控制理论到现代控制理论的转变，基 于状态空阃描述的线性控制理论已经形成了一个完整的理论体系。与线性系统 的研究相比，非线性系统虽然在过去和现在都一直受到人们的重视，但它的研 究是严重滞后的。这方面的主要原因是由于非线性系统的复杂性，以及具有线 性系统中不可能出现的现象，线性系统的一些良好特性，如可叠加性，在非线 性系统中除个别特例外是不成立的。 以线性系统模型近似地表示非线性系统是工程实践中普遍采用的一种方 法，然而这种方法导致了系统中一些信息的丢失，因此有时设计的系统在实际 应用中难以达到理想的效果。同时大量复杂的非线性系统的出现，如机器人、 空间飞行器，以及控制精度要求的提高，使非线性系统的控制成为一个迫切需 要解决的问题。 控制理论所面临的另一个重要问题是基于状态空间模型描述的现代控制理 论严重依赖于控制对象的精确数学模型。而在实际中，要获得系统的精确数学 模型几乎是不可能的事情。因为如此，线f 生系统控制理论中涌现的大量优秀成 果，在工程实践中无法得到很好的应用。解决这一难题的一个有效方法是在控 制系统的设计中考虑到系统的不确定性因素。从这一条思路出发，形成了控制 理论的一个重要分支噜棒控制理论。由于许多学者的共同努力，近二十年 构奇异值方法的形成可以说是它的重要标志。 控制器的鲁棒性问题是非线性系统控制必须研究的问题之一。非线性鲁棒 中南工业大学硕士学位论文 控制是非线性控制理论和鲁棒控制理论的一个交叉领域，它的基本思想是直接 从非线性系统出发研究非线性系统的鲁棒控制问题，设计非线性鲁棒控制器， 这是符合非线性系统的特点的。研究表明，在鲁棒控制中使用非线性控制器较 线性控制器具有明显的优越性m 】。因此，无论从非线性控制的角度，还是从鲁 棒控制角度看，非线性鲁棒控制的研究都具有重要的科学意义。 1 2 非线性鲁棒控制的发展 进入九十年代以来，非线性控制理论取得了飞速的发展，非线性鲁棒控制 获得了广泛的重视，下面将从非线性系统控制和鲁棒控制的研究出发，回顾非 线性鲁棒控制的发展情况。 1 2 1 非线性系统控制 非线性是自然界的一种普遍现象。从历史的观点看，不仅在控制领域，而 且在众多的科学领域，非线性现象都受到了前所未有的高度重视。 非线性系统可以理解为由非线性微分方程描述的系统，对非线性系统的研 究几乎是与线性系统同时开始的。在2 0 世纪4 0 年代，就已经取得了明显的进 展，主要有相平面方法，l y a p u n o v 方法，谐波线性化方法。随着非线性控制系 统研究的深入，不断出现了一些新的方法，如频域方法，输入输出线性化方法， 多非线性系统，继电系统理论，大系统方法等 1 1 。 线性系统理论的发展与完善为控制系统的分析与设汁提供了一个有效的工 具，因而在实际工程中，以线性系统近似地描述非线性系统的方法被普遍采用， 最简单的是一次近似线性化方法。然而，这种方法的缺陷是明显的。因此，非 线性系统的精确线性化受到了重视1 3 , 4 , 1 0 , 1 1 , 3 3 - , d i 。在7 0 年代产生了非线性系统的 微分几何方法，其基本思想是把状态空间按要求分解成一些低维子流形，并通 过低维子流形来了解系统的性质，实际上把问题转化为对与这些低维子流形相 应的向量场及分布的性质进行研究，其中李导数和李括号是主要工具。微分几 何方法自提出以来受到了广泛的关注，发展极为迅速。目前包括能控性、能观 性、稳定性等基本的控制问题都在微分几何方法中得到了相应的研究，初步形 成了一个基本的理论框架。微分几何法中的精确线性化成功地将非线性系统的 控制与线性系统的控制联系起来，为利用线性控制理论的成果处理非线性系统 的控制问题提供了一条新途径。在国内，北京航空航天大学、东北大学、上海 交通大学等在这一方面做了许多的工作【l l ” 4 ”。这一理沦正在发展之中。 中南工业大学硕士学位论文 总的来说，非线性系统的控制问题仍然是一个有待解决的开放问题，需要 付出更多的努力去发展和完善，这也是客观实践的需要。 1 2 2 鲁棒控制 经典的控制理论并不要求被控对象的精确模型，主要的设计方法是基于现 场测得的被控对象的频率特性曲线来设计串并联补偿器的参数，然后通过现场 反复调试使系统满足设计指标。但6 0 年代以来发展起来的建立在状态空间精确 描述基础上的现代控制理论完全依赖于系统的数学模型。而由于客观实际中的 诸多因素，要获得精确的数学模型几乎是不可能的事情。事实上，现代控制理 论一直未能在实际工程中得到广泛应用也正是由于这个原因。 为解决这一困难，一方面是继续提高已有的技术手段，以获得更精确的数 学模型；另一有效的途径是在系统的设计阶段考虑被控对象存在的各种不确定 性因素，正是从这一条思路出发，形成了鲁棒控制理沦。由于不确定性是控制 系统中存在的普遍现象，因此，鲁棒性的概念很早就已经提出来。近二十年来， 鲁棒控制发展迅速【”】，是目前控制理论研究的主要方向之一。 在鲁棒控制理论中，最引人注目的是风控制和口方法，此外，还有基于多 项式的方法，例如k h a r i t o n o v 区间理论等。这些理论与方法正在吸引着众多的 学者进行深入的研究【1 “o ，2 ”7 ，”“】。 6 0 年代基于状态空间方法的现代控制理论的发展，出现了以k a l m a n b u c y 滤波器和二次调节理论为基础的线性二次型高斯( l q g ) 反馈设计方法，即 h ：控制。在l q g 设计中需要将干扰信号假定为白噪声，或假设干扰信号的统 计特性已知，同时在系统模型具有不确定性时，l q g 设计不能保证系统具有鲁 棒性。因此，l q g 设计方法虽然在理论上很完美，但难以在实际中得到应用。 针对l q g 设计中对干扰信号所需限制的不合理性，z a m e s 在1 9 8 1 年提出了著 名的风控制思想【6 j 。z a m e s 考虑一个单输入单输出系统的设计问题：对于属于 一个有限能量的信号集的干扰信号，设计一个控制器使得闭环系统稳定且干扰 对系统期望输出影响最小，这种方法使控制系统的设计问题可以归结为风控制 问题。由于传递函数的鼠。范数可描述有限输入能量到输出能量的最大增益，所 以用表示上述影响的传递函数的乒乙范数作为目标函数对系统进行优化设计，就 可使具有有限功率谱的干扰对系统期望输出的影响最小。以上范数作性能指标 可以处理在具有变功率的干扰下系统的控制问题，并且由于上乙范数具有乘法特 性，使得研究对象具有不确定性情形的鲁棒稳定性问题很容易解决。研究表明 标准风控制问题可以通过解两个代数r i c c a t i 方程来求解【6 “。最近几年，线性 中南工业大学硕士学位论文 矩阵不等式( l m i ) 在鲁棒控制理论中的应用受到了普遍的重视。由于l m i 的求解是一个凸可行问题，它在线性系统中显示出计算上的明显优越性【5 1 。从 s c h u r 补定理出发，代数r i c c a t i 不等式和l m i 的相互转换是非常直接的，因而 l m i 为鲁棒控制理论提供了较理想的数学工具。标准心控制的输出反馈问题可 以表示成三个l m i 的求解问题，考虑系统模型具有不确定性情形的鲁棒磁控 制问题是目前研究工作的一个热点，2 7 ，4 “9 】。 风控制对于非结构不确定性的情形是精确而全面的，但在实际的控制问题 中，系统的不确定性往往具有一定的结构，在这种情形下。，应用也控制方法可 能具有严重保守性。为了克服这种缺陷，1 9 8 2 年，d o y l e 提出了结构奇异值的 概念。结构奇异值方法自提出以来受到了控制理论界的广泛关注，已成为鲁棒 控制理论的一个重要分支p 。5 “。除了能减少鲁棒控制设计在针对结构不确定性 情形下的保守性外，结构奇异值方法的还可以同时兼顾系统的鲁棒稳定性和鲁 棒性能。应该说，结构奇异值方法从理论上说是目前最有效的鲁棒控制方法， 它的缺陷在于结构奇异值的精确计算非常困难”“。关于结构奇异值的综合算法 正在进一步深入研究之中 2 5 , 5 2 , 5 3j ，现在普遍采用的是近似算法，例如d 一足迭 代法和“一k 迭代法d “”j 。 1 2 3 非线性鲁棒控制 非线性鲁棒控制是非线性控制与鲁棒控制的交叉结合，作为近十年来控制 理论研究工作的热点之一，吸引着众多的学者从事这一方面的研究，己产生了 多个分支n q 强2 ”“”。总的来说，非线性鲁棒控制研究主要集中在l y a p u n o v 、 乒，町和“方法三个方面。 基于l y a p u n o v 函数研究非线性不确定系统的鲁棒稳定性是非常自然的，作 为非线性鲁棒控制的一个分支，其优点在于l y a p u n o v 稳定性理论是较为成熟的 理论，为系统的设计提供了良好的基础，但由于非线性系统本身的特点，非线 性系统的l y a p u n o v 函数的构造还没有有效的统一方法，而l y a p u n o v 函数是这 种方法所必需的，这是这种方法的缺陷所在。在微分几何方法的基础上，通过 输入输出线性化将系统线性化后，再构造l y a p u n o v 函数的研究为克服这种方法 的困难提供了新的途径【2 4 ，5 5 “。 目前非线性鲁棒控制研究的主流是非线性风控制口”t 2 0 , 5 6 。6 1 。它的发展 始于9 0 年代初，v a nd es c h a f 在这方面做了重要的奠基性的工作( $ 6 , 5 7 1 。在他的 工作的基础上，非线性巩控制在近十年取得了长足的发展。在非线性乩控制 理论中，系统的鲁棒性能是以2 增益作为判定指标，因此2 增益分析起着核 中南工业大学硕士学位论文 心作用。基于耗散性理论和微分对策理论，非线性系统的三：增益分析被转换成 h a m i l t o n j a c o b i 等式和不等式的解的存在性问题。从这一结果出发，非线性风控 制的状态反馈和输出反馈控制问题都获得了较理想的结果口“”。令人遗憾的 是，不同于线性系统的风控制，在非线性系统中，系统具有模型不确定情形的 稳定性问题不能与干扰抑制问题统一起来。在非线性风控制的研究基础上，系 统具有模型不确定性的情形下的鲁棒控制问题受到了一些学者的重视，获得了 一些结论 2 9 , 3 0 , 7 4 , 7 5 1 。在所有这些结论中，h a m i l t o n - j a c o b i 不等式的求解是关键， 但至今仍没有h a m i l t o n j a c o b i 不等式的统一有效解法。这也正是现在非线性 巩控制所面临的一个主要问题。为解决这一问题，有两条途径：一是继续寻找 可行的h a m i l t o n - j a c o b i 不等式的有效近似解法，最近提出了系统状态的范围已 知的情形下的迭代g a l e r k i n 近似算法【6 ”，对于更一般的情形有待于进一步的研 究：另一条途径是针对特殊的非线性系统，充分利用系统的特点，使 h a m i l t o n j a c o b i 不等式的计算简化 6 9 , 7 0 1 ，从而获得其一般解，或者利用新的数 学工具，如l m i 、l y a p u n o v 函数等，避免h a m i l t o n j a c o b i 不等式的求解【6 6 4 】。 目前“方法正在被扩展到非线性系统的鲁棒控制中。非线性几何方法的发 展为线性系统的方法在非线性领域的扩展提供了有利的工具。基于反馈线性 化方法的非线性方法获得了发展。从国际上研究的情况来看，日本的杉江俊 治基于反馈线性化理论进行了非线性鲁棒控制的方法探讨，中野道雄针对定 速转动机机械系统是一个角位移系统，通过反馈线性化方法进行了非线性控制 系统的分析与综合方法研究。我国中南工业大学吴敏教授则提出了应用结 构奇异值理论研究非线性系统的鲁棒稳定性和鲁棒性能的基本思想，基于反馈 线性化理论对一类仿射非线性系统状态空间控制系统的鲁棒性进行了分析与设 汁，初步显示了方法的有效性p 1 3 ”8 1 7 ”。目前这一方面的研究工作正在继续进 行。 1 3 本文的主要内容 本文针对不确定仿射非线性系统，分别运用l y a p u n o v 方法、 k 控制方法、 “方法讨论了不确定非线性系统的鲁棒性分析与综合问题。 本文的内容安排如下： ( 1 ) 第二章提出了一种基于l y a p u n o v 稳定性理论的非线性鲁棒控制方 法，将不确定非线性系统的鲁棒控制器的设计分成两步，首先根据控制目标， 如稳定性要求、信号跟踪要求等，设计出合理的控制器，然后设计辅助的控制 器保证系统的鲁棒性，从而获得了动态的状态反馈控制器。 中南工业大学硕士学位论文 ( 2 ) 第三章介绍了非线性鼠。控制方法，并在此基础上考虑了非线性系统 的自由系统、外部干扰输入矩阵函数、控制输入矩阵函数均存在模型不确定性 的情形下的鲁棒风控制问题，扩展了已有的结论。 ( 3 ) 第四章总结了基于反馈线性化理论的非线性鲁棒控制“方法研究所 取得的一些成果，从反馈线性化的角度，进行非线性鲁棒控制的分析与p 综 合方法研究，针对一类仿射非线性系统，讨论了标称系统具有不同相关度的两 种情形。 ( 4 ) 在第五章对非线性鲁棒控制的l y a p u n o v 方法、矾控制方法、“方法 的研究进行了归纳总结，指出了目前存在的一些问题和今后研究的方向。 6 中南工业大学硕士学位论文 第2 章非线性鲁棒镇定与跟踪的 l y a p u n o v 方法 稳定性问题作为控制理论的基本问题，长期以来一直受到人们的高度重视， 其中l y a p u n o v 稳定性理论是目前较完善的理论，为控制系统的分析与设计提供 了有效的工具。从稳定性理论出发研究不确定性非线性系统的鲁棒稳定性问题 是非常自然的。至今，非线性鲁棒控制的l y a p u n o v 方法已经形成一个独立的分 支，首先针对满足匹配性条件的情形进行了研究，然后进步推广到了非匹配 的情形。这种方法目前所面临的主要困难是l y a p u n o v 函数的构造至今还没有有 效的统一方法。而对于非线性鲁棒控制中的l y a p u n o v 方法，l y a p u n o v 函数是 鲁棒控制器的设计所必须的。非线性系统几何理论的反馈线性化方法为解决这 一困难提供了一条新途径。基于反馈线性化，研究不确定非线性的鲁棒镇定和 鲁棒跟踪问题在近年来受到了关注【2 4 ，5 ”。 本章首先介绍了l y a p u n o v 稳定性理论的定义和两个基本定理，然后详细叙 述了一种直接从非线性系统出发构造l y a p u n o v 函数，设计鲁棒控制器的方法， 并进一步提出了一种新的基于l y a p u n o v 函数的非线性鲁棒镇定方法。与已有的 l y a p u n o v 方法的主要区别在于：已有的方法是在设计镇定控制器的同时考虑系 统的不确定性因素，而本文的方法是首先针对不含不确定性的情形设计镇定控 制器使标称系统稳定，然后设计辅助控制器保证控制器在不确定性因素的影响 下具有鲁棒性，因此不确定非线性系统的鲁棒控制器由分两步分别设计的控制 器组成，每一步的物理意义明确。在镇定问题的基础上，对非线性系统的鲁棒 跟踪问题进行讨论，得到了一种鲁棒跟踪控制器的设计方法。 2 1 非线- 陛系统的l y a p u n o v 稳定性理论【1 1 对于非线性定常系统 文= f ( x ) ，f ( o ) = 0 ， l y a p u n o v 于1 8 9 2 年提出了以下关于稳定性的数学定义。 定义2 1 ( 1 ) 在原点的日邻域：h ( i = 1 , 2 ，z ) 内，h 为某正数，如任给一个 正数s c 仃，可以找到一个正数d ( 与s 有关) ，使得当系统在f 。时刻的任意初 始状态= ( x 。，z ：0 ，一，x 。) 7 满足h f 万( ，= 1 , 2 ，刀) 时，由x 0 决定的系统的解 中南工业大学硕士学位论文 x ( t ) = x ( t ，x 。，t 。) 满足k ( f i s ( ，= 1 , 2 ，n ) ，则称原点x = 0 稳定。 ( 2 ) 若系统的原点x = 0 稳定，且l i m x ( 0 = 0 ，则称原点r = 0 渐近稳定。 ( 3 ) 若系统的原点x = 0 不是稳定的，即对任给的s ，找不到使( 1 ) 成立的占， 则称原点x = 0 是不稳定的。 定理2 1 若在原点的邻域里，存在正定( 负定) 函数矿( x ) ，它沿系统 的解的导数吹r ) 是负定( 正定) 的，原点是渐近稳定。 对于非定常非线性系统 量= ，( x ，f ) ，x r ”，( 0 ，f ) = 0 关于原点x = 0 的稳定性定义如下。 定义2 2 在原点的日域：m h ( f - 1 , 2 ，h ) 中，日为某正数，如果 ( 1 ) 任给一个正数sc h ，可以找到一个正数占( s ，t 。) ，使得当 k f 墨j ( f - 1 , 2 ，月) 时，对任意的t f 。，有k ( f ) f 占( 仁1 ，2 ，栉) ，则称原点 x = 0 稳定。 ( 2 ) 若系统是原点x = 0 稳定的，且存在8 ( t 。) ，使得当h i 巧( f 。) 时，有 1 i m “f ) ：0 ，则称原点x = 0 渐近稳定。 ( 3 ) 若系统的原点x = 0 不是稳定的，即对任给的s ，找不到使( 1 ) 成立的j ， 则称原点x = 0 是不稳定的。 定理2 2 若在原点的某邻域内，存在正定( 负定) 函数v ( x ) ，它沿系统 的解的导数矿( x ) 是负定( 正定) 的，则系统的原点是渐近稳定。 从以上定义和结论出发，本章讨论了基于l y a p u n o v 稳定性理论的非线性鲁 棒控制方法。 2 2 非线性鲁棒控制的l y a p u n o v 方法 根据定理21 ，对于一个非线性系统，如果在原点的某一邻域内可以找到 满足定理21 中的条件的正定函数v ( x ) ，则这个系统是在原点渐近稳定的。这 时，就自然提出一个问题：如果不确定非线性系统的标称系统是渐近稳定的， 那么在什么条件下，不确定非线性系统本身仍是渐近稳定的? 更进一步，如果 此时不确定非线性系统不是渐近稳定的，如何设计镇定控制器使系统具有渐近 稳定性。从l y a p u n o v 稳定性理论出发研究不确定非线性系统的鲁棒稳定性问 题，作为一个研究方向，已经取得了许多进展，井被推广到鲁棒跟踪问题。在 文献【6 中，l y a p u n o v 稳定性理论在非线性比控制设计中的应用也受到了关 注。 中南工业大学硕士学位论文 针对一类不确定仿射非线性系统的鲁棒控制问题，本节给出了种通过构 造l y a p u n o v 函数的鲁棒控制器设计方法。 2 2 1 非线性鲁棒控制问题 考虑一类仿射非线性系统 童= f ( x ) + g l ( x ) w + g ，( x ) “( 2 ，l a ) ：= )( 2 1 b ) 其中x r “，w r ，“r 。，z r ”分别是系统的状态，外部干扰输入，控制输入 和评价输出，f ( x ) ，g ( x ) ，g ： ) 和矗 ) 分别是具有相应维数的光滑函数。 对非线性系统( 2 1 ) 假设： ( a 2 1 ) 外部干扰输入w 是有界的，满足m f sc ，c 为正的常数： ( a 2 2 ) 妒( x ) = h ( x ) 玉( x ) ，当h ( x ) 0 时，努( x ) 0 且o ( x ) g ：( 芏) 0 ，其中 h 。( x ) 表示矗( x ) 关于x 的导数。 在本文中，系统的控制目标是使系统的评价输出z 趋近于0 或限制在某一 足够小的范围内，这是具有普遍代表性的。实际上，对于具体的控制对象，我 们可以通过适当的选择评价输出，将具体的控制问题转化成使评价输出满足本 小节中的控制目标的问题。 下面给出鲁棒控制问题的定义。 定义2 3 对于非线性系统( 21 ) 设计控制器”，使得在有界外部干扰输入w 的作用下，闭环系统的评价输出z 趋近于0 ，则称非线性系统( 21 ) 具有鲁棒干 扰抑制性能。 显然，由于外部扰动的存在，要使系统的评价输出为0 将是非常困难的， 实际中往往只需要其限制在一定的范围内，因此定义以下的鲁棒控制问题。 定义2 4 非线性系统( 2 1 ) 的弱鲁棒控制问题是：对于给定的正数y ，设计 控制器“使闭环系统在存在有界外部干扰输入w 的情形下，系统的评价输出z 收敛于一个原点的邻域u ：扛忙批z r “1 。 在本文中，向量z r ”和矩阵a 月”“的范数分别表示为= ( z 7 z ) i 和 i l h l l = s u p 锊。 2 2 2 非线性鲁棒控制器的设计 对于非线性系统( 2 1 ) ，可以得到以下结论。 定理2 3 如果非线性系统( 2 1 ) 满足假设条件( a 21 ) 和( a 22 ) ，则当h ( x ) 0 时，使系统( 21 ) 的鲁棒控制问题可解的一类控制器为 9 中南工业大学硕士学位论文 一r 揣 ( 2 z ) 其中尺= 里壁丛皇生气警妻未雾掣，8 圳 - ，s 是任给的正数。 为证明上述定理，首先引入几何理论中关于向量内积的知识。 引理2 1 对于向量x 尺”，y r ”，用p 表示向量x 和y 的夹角，则 一l k 0 i l y l i x r y = i k 0 l l y 0 c o s ( 9 _ i l x l l - i l y l i 。 ( 2 3 ) 当日= 0 时，x r y = 1 k 0 - i l y l l ：当口= z 时，x r y = 一1 1 x 1 1 ll y l l 。 定理2 1 的证明取矿( x ) = h 7 ( x ) h ( x ) ，由定义2 3 可知，要证明系统具有 鲁棒干扰抑制性能，只需证明函数v ( x ) 随时间而减少且趋进于0 ，即当 矗( x ) 0 时关于时间的导数 d v j ( ；x ) ：2 h ，( x ) 肘( x ) 盯( x ) + g 。( x ) w + g ：( x ) “】 o ( 2 4 ) 考虑外部干扰w 有界的假设条件( a 2 1 ) ，由引理2 1 得 _ a r e i ( x ) ：2 h r 0 冲( z ) ，( z ) + 晶( x 渺+ g ：( x ) “ 2 【妒( 工x 厂( x ) + c | 1 9 ( x ) g 。( x j i + 妒( r ) g ：( z ) 掰( 25 ) 将控制器( 2 2 ) 代入( 24 ) 得 i a v = 2 t p ( x ) f ( x ) + c i q ，( x ) g ( x ) 卜伊( x ) g ：( x ) 卅 = z 【妒( x ) ，( x ) + c | | 妒( x ) 晶( z 一只里蔓兰j 霉：；：；： ；二尘 _ - g h r ( x ) 厅( x ) ( z e ) 因此当f - - + 时，矿 ) 斗0 ，即z 趋近于0 。 口 推论2 1 对于给定的正数t ，如果非线性系统( 21 ) 满足假设条件( a 2 1 ) 和 ( a 2 2 ) ，则使非线性系统( 21 ) 的弱鲁棒控制问题可解的一类控制器形式为当 1 i z l l y 时， 砌高羯川到孤 偿， 0 ， 批 其中尺= 型型丛生铿轰詈笋产，= 侧，s 是任给的正数。 推论2 1 的证明类似于定理2 3 的证明，此处略。 考虑自由系统具有不确定性的非线性系统 量= ，( t ) + ，( x ) + g 。( x ) w + g ：( x ) ”( 28 a ) ! 堕三些查兰堕主兰垡笙塞： z = h ( x ) ( 2 8 b ) 其中v ) 为系统的不确定性，并且满足假设条件 ( a 2 3 ) a y ( x ) = 8 ( x ) 联z ) ，e o ) 已知，8 ( x ) 是未知函数，而且满足 l i d ( x 州捌i ，矩阵甜为与占 ) 同维的已知矩阵。 可以得到下述定理。 定理2 4 如果非线性系统( 2 8 ) 满足假设条件( a 21 ) 、( a 2 2 ) 和( a 23 ) ，则当 ( x ) 0 时，使其鲁棒控制问题可解的一类控制器为， 一r 端 ( 2 9 ) 其中r 数。 s 是任给的正 为让明定理2 4 ，引八关于矩阵范数的结论。 引理2 2 对于矩阵爿尺，向量x 尺“，其谱范数为恻l ：s u p 桨挚。则 有1 1 4 1 1 2 = m a x 2 ( a 7 彳) ，因而，彳7 a x i i a i l 2 i x l l2 。其中k ( 彳) 表示矩阵a r a 的 最大特征值。 定理2 4 的证明取v ( x ) = h t ( x ) 1 l ( x ) ，运用引理2 2 可得 掣【m ) + a f ( 小啪) w + 眯) 卅 掣【m 州帆舭皿h i 掣啦坝x 蔓掣陟吲咖+ 9 2 扣4 掣啦 ( 2 l o ) 以下证明过程与定理2 3 的证明过程一致。口 定理2 , 4 的结论推广到使系统弱鲁棒控制问题，有以下结论。 推论2 2 对于给定的正数t ，如果非线性系统( 2 8 ) 满足假设条件( a 21 ) 、 ( a 22 ) 和( a 23 ) ，则当l i z l i y 时，使其弱鲁棒控制问题可解的一类控和i 器形式为 一r 端gl i ：( x 即( x 川 其中r = 数。 伊( x v ( x ) + c l l 妒( x ) 蜀( x + c 1 i 妒( x p ( z + 卉7 ( x ) 矗( x ) ( 2 1 1 ) s 是任给的正 坠盟生剑墨i 慨可裂烈崎 型 卜一 型蜓 中南工业大学硕士学位论文 2 3 非线性鲁棒镇定的l y a p u n o v 方法 通常的非线性鲁棒控制l y a p u n o v 方法和在2 2 节中介绍的结果都是在设计 过程中同时考虑控制目标和系统的不确定性，在本节中将介绍一种将控制目标 与系统的不确定性分开考虑，即首先针对控制目标设计出控制器，然后设计辅 助控制器保证所设计控制器的鲁棒性的两步设计方法，获得了动态的状态反馈 控制器的形式。 2 3 1 鲁棒镇定问题 考虑不确定非线性系统 童= ，( x ) + 4 f ( x ) + ( x ) z ， = = h ( x ) ( 2 1 2 ) 其中状态向量x x r “，评价输出z r ，。设系统( 21 2 ) 的初始状态为x 。 f ( x ) ，岛( x ) 和h ( x ) 分别是充分光滑的已知函数，且f ( o ) = 0 ，h ( o ) = 0 。模型 不确定性 ) 满足范数有界条件l i v ) l l l ( x ) ，l ( x ) 是非负的标量函数。在 系统( 21 2 ) 酏j 稳定性问题中，评价输出可以直接设为系统的状态x 。 非线性系统鲁棒镇定问题可以定义如下。 定义2 5 对于不确定非线性系统( 2 1 2 ) ，如果是渐近稳定的，则称系统在 原点具有鲁棒渐近稳定性的。 定义2 6 不确定非线性系统( 21 2 ) 的鲁棒镇定问题是设计控制器使得闭环 系统具有鲁棒渐近稳定性。 2 3 2 非线性鲁棒镇定控制器的设计 为区别起见，将上述系统的标称系统表示为 女。2 ，( x 。) + 9 2 ( x 。m 。，、 z 。= ( x 。) 3 其中z 。表示标称系统的状态向量。 对于上述非线性系统稳定控制器的设计，目前非线性控制理论的发展为其 提供了一些有效的设计方法。即使可以找到一个合适的状态反馈控制器 “。= k ( x ) 使系统渐近稳定，在控制器“。= k ( x ) 的作用下，具有不确定性的非 线性系统不一定具有鲁棒稳定性。如何保证不确定系统的鲁棒稳定性是本文所 要解决的问题。 中南工业大学硕士学位论文 系统的渐近稳定性可以通过评价信号寸0 ( t 寸0 0 ) 表示，对不确定非 线性系统，有 l i e u = i i z - 毛托。l l - l l z 一。1 1 + 1 1 z 。1 i ( 21 4 ) 令p = z o 。显然如果满足p 斗0 ，恢4 斗0 ( f j ) ，则1 i z t i _ 0 ( f 呻0 0 ) 成立，即系统具有渐近稳定性。 根据不确定非线性系统和标称系统，可以得到 ：2 黑之h 。n ) + 坝砷( 2 15)h(z 。= 矗( x ) 一x 。) = e 7 其中f ( x ) = f ( x ) + g ：( z ) 世 ) ，f ( x 。) = f ( x 。) + g ：( x 。) k ( x 。) 。 可得到如下结论。 定理2 5 在基于标称系统( 2 1 3 ) 雕j 镇定控制器虬= k ( x ) 的作用下，系统具 有鲁棒渐近稳定性的充分条件是系统( 2 1 5 ) 渐