（应用数学专业论文）基于vasicek随机利率下具有幂型支付的期权保险精算定价方法.pdf

哈尔滨r 稃人学硕十学位论文 摘要 金融数学经历了近百年的发展，主要研究风险资产的定价、利率衍生证 券定价和最优投资消费策略，其中风险资产定价是金融数学研究的核心问题。 由于衍生证券一般都是长期的，所以利率变化对金融衍生证券定价影响也比 较大。1 9 7 7 年，v a s i c e k 提出了个受市场不确定因素影响而呈现随机波动 现象的短期利率模型，使得利率衍生证券定价成为投资者关注的又一个焦点， 因此对随机利率下的衍生证券定价研究是具有重要的理论意义和实际应用价 值的。 本文主要以随机分析、鞅理论和随机过程为核心来构造金融市场的数学 模型，研究了在随机利率下，尤其是函数v a s i c e k 模型下欧式期权定价公式， 并且给出了几何平均亚式期权的定价公式；同时还用保险精算法给出了随机 利率v a s i c e k 模型下具有幂型支付的欧式期权定价公式。本文的主要成果及 创新如下： ( 1 ) 运用i t o 积分和随机微分方程的方法，讨论了奇异期权中具有代表 性的几何平均亚式期权在函数v a s i c e k 模型下的定价问题，并且得到了函数 v a s i c e k 模型下推广了的b l a c k s c h o l e s 期权定价模型。 ( 2 ) 运用m o g e n sb l a d t 和t i n ah v i i dr y d b e r g ( 1 9 9 8 ) 提出的期权保险 精算法，得了函数v a s i c e k 模型下具有幂型支付的欧式看涨( 看跌) 期权定 价公式，并予以改进和推广。 关键词：b l a c k s c h o l e s ；v a s i c e k 模型；几何平均亚式期权；幂型期权；保险 精算 哈尔滨下程大学硕十学位论文 a bs t r a c t f i n a n c ec a l c u l u sw h i c hh a se x p e r i e n c e dn e a r l yo n eh u n d r e dy e a r sm a i n l y r e s e a r c h e do nt h ep r i c i n go fr i s k ya s s e t s ，t h ep r i c i n go fi n t e r e s tr a t ed e r i v a t i v e s e c u r i t i e sa n do p t i m a li n v e s t m e n ta n dc o n s u m p t i o ns t r a t e g y ，m o r e v e rt h ep r i c i n g o fi n t e r e s tr a t ed e r i v a t i v es e c u r i t i e si so n eo ft h ek e r n e lp r o b l e m s d u et ot h el o n g d u r a t i o no ft h ed e r i v a t i v es e c u r i t i e s ，t h em o m e n to fi m e r e s tr a t e sb e c o m e sm o r e i m p o r t a n ti np r i c i n gs u c hl o n g d a t e dd e r i v a t i v eo p t i o n s i n 19 7 7 ，v a s i c e k p r o p o s e da m o d e lo fs h o r t - t e r mi n t e r e s tr a t e ，w h i c hm a d em o r ei n v e s t o r sf o c u so n t h ep r i c i n go fi n t e r e s tr a t ed e r i v a t i v es e c u r i t i e s t h u st h es t u d yo ft h ep r i c i n go f d e r i v a t i v es e c u r i t i e sw i t hs t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t en o to n l yh a si m p o r t a n tt h e o r e t i c s i g n i f i c a n c eb u ta l s ot h ep r a c t i c a lv a l u e t h i sp a p e rm a i n l ya p p l i e ss t o c h a s t i ca n a l y s i s ，m a r t i n g a l et h e o r ya n d s t o c h a s t i cp r o c e s s e st os i m u l a t et h em a t h e m a t i cm o d e lo ff i n a n c i a lm a r k e t ，s t u d i e s t h ep r i c i n go fe u r o p e a no p t i o n 、i ms t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e ，a n dg e t st h ep r i c i n go f g e o m e t r i c a v e r a g ea s i a no p t i o n s m e a n w h i l e ，t h i sp a p e rg i v et h ep r i c i n go f e u r o p e a no p t i o ni nt h ec a s eo fp o w e r - o p t i o np r i c i n gf o r m u l au n d e rt h em o d e lo f v a s i c e ks t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t ew i t ht h ea c t u a r i a la p p r o a c h t h ef o l l o w i n ga r et h i s p a p e r sm a i nr e s u l t sa n di n n o v a t i o n s ： ( 1 ) u s i n gt h em e t h o do fi t oi n t e g r a la n ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，t h e p r o b l e m so f e x o t i co p t i o n s p r i c i n ga r et a k e ni n t oc o n s i d e r a t i o n ，o f w h i c ht h em o s t r e p r e s e n t a t i v eg e o m e t r i ca v e r a g ea s i a no p t i o n sw i t ht h ef u n c t i o no fv a s i c e k s t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e s f o r t h e r m o r e v e r ，g e t t i n gt h ep r o m o t e do p t i o np r i c i n g m o d e lo fb l a c k s c h o l e sw i t ht h ef u n c t i o no fv a s i c e ks t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e s ( 2 ) u s i n gt h em e t h o do ft h ea c t u a r i a la p p r o a c hp r o p o s e db ym o g e n sb l a d t a n dt i n ah v i i dr y d b e r gi n19 9 8 t h ec a l l ( p u t ) e u r o p e a no p t i o n sw i t hp o w e r p a y o f f sp r i c i n gf o r m u l aa r eg a i n e dw i t ht h ef u n c t i o no fv a s i c e km o d e l ，a n dt h e n 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 i m p r o v e da n dp r o m o t e d k e y w o r d s ：b l a c k - s e h o l e s ；v a s i c e ks t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t em o d e l ；g e o m e t r i c - a v e r a g ea s i a no p t i o n s ；p o w e r - o p t i o n ：t h ea c t u a r i a la p p r o a c h 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下，由 作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献的引用已在 文中指出，并与参考文献相对应。除文中已注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表的作品成果。对 本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ：葫l 风波 日期：枷尹年6 月信日 哈尔滨工程大学 学位论文授权使用声明 本人完全了解学校保护知识产权的有关规定，即研究生在校 攻读学位期间论文工作的知识产权属于哈尔滨工程大学。哈尔滨 工程大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件。 本人允许哈尔滨工程大学将论文的部分或全部内容编入有关数据 库进行检索，可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本 学位论文，可以公布论文的全部内容。同时本人保证毕业后结合 学位论文研究课题再撰写的论文一律注明作者第一署名单位为哈 尔滨工程大学。涉密学位论文待解密后适用本声明。 本论文( 口在授予学位后即可口在授予学位1 2 个月后口 解密后) 由哈尔滨工程大学送交有关部门进行保存、汇编等。 作者( 签字) ：西】i 观缓 日期： 2 叩尹年6 月r e e l 导师( 签字) ：每曲凳a a 、q o9 年其f 暑 哈尔滨下程大学硕十学位论文 第1 章绪论 本章主要介绍金融数学的基本知识，首先回顾了金融数学的发展历史； 其次，阐述了金融数学的国内、外研究现状；最后给出本文的主要内容、创 新之处及结构安排。 1 1 金融数学的发展历史 金融数学是以概率统计和泛函分析为基础，以随机分析和鞅理论为核心 来构造金融市场的数学模型，然后利用该模型来研究风险资产的定价，利率 衍生证券定价和最优投资消费策略的选择i l l 。金融数学是近1 0 多年来蓬勃发 展的新兴交叉学科，已经成为国际金融领域的一枝奇葩，受到国际金融界和 应用数学界的高度重视。金融数学【：】的最显著的成就是有效地运用数学理论 和方法发现和论证金融经济运行的一些规律。金融数学的重要性可用美国花 旗银行副主席保尔柯斯林于1 9 9 5 年3 月6 日在英国剑桥大学牛顿数学科学 研究所的讲演中所作的著名论断来解释，他说：“一个从事银行业务而不懂数 学的人，实际上只能做些无关紧要的小事。” 金融数学有着漫长的历史，可以追溯到1 9 0 0 年法国数学家b a c h e l i e r 博 士论文投机理论【，】，这宣告了金融数学的诞生。在文中他首次用b r o w n 运动来描述股票价格的变化，他认为在资本市场中有买有卖，买者看涨、卖 者看跌，其价格的波动是b r o w n 运动，其统计分布是正态分布，假设股票价 格是绝对的b r o w n 运动，单位时间方差为盯2 ，且没有漂移项，到期日的价值 为 缈矽( 掣) 一x ( 咩) + 仃痂( 掣) ( 1 - 1 ) t r v tt r q t o q f 其中s 为股票的价格，x 为执行价格，为距到期日的时间，圪为买方价格， 矽( ) 为标准f 态分布的分稚函数，伊( ) 是标准正态分布的密度函数，这要比 哈尔滨+ i j 程大学硕十学位论文 爱因斯坦1 9 0 5 年研究b r o w n 运动早5 年。可惜的是，他在建立模型时犯了 3 个原则性错误。第一，假设标的股票价格服从正态分布，这使得股价出现 负值的概率大于0 ，从而与现实不符。第二，认为在离到期日足够远的时候， 买权的价值可能大于标的股票的价值，这是不可能的。第三，假设股票的期 望报酬( 即股价变化的平均值) 为0 ，这也违背了股票市场的实际情况。尽管如 此，b a c h e l i e r 的研究结果，特别是他所提出的有效性市场的概念，为后人的 研究指明了方向。 现代金融数学随后经历了两次主要的华尔街革命，第一次是2 0 世纪5 0 年代初，m 2 u r k o w i t zh 发表的博士论文【4 】，提出的投资组合理论是金融定理分 析的开始，可以看成是金融数学的发端，在这之前的金融学通常以定性研究 为主，很少有精确的定量分析。“证券组合选择的均值、方差问题”，是资产 组合理论的基本问题，可描述为有约束的线性规划问题 一=m2min n ( 国7 缈)啡2n 【国。乙刎 s t ：篙叫科 1 - 2 ) m( i e ( 耳) = e ( x ) 。国= 其中仃；为组合方差，x = ( 一，而) r ，毛= l ，v 为刀刀实对称矩阵， ，= l j = ( 1 ，1 ) ，解上述问题可得最优资产组合w 的表达式，且最优资产组合的 方差为 丝半业 其中口= ，7 1 1 ，6 = ，r 一e ( x ) ，c = e ( x ) 7 - 1 e ( x ) ，a = a c - b 2 ，可证： 任一最小方差资产组合w e 都可唯一地表示为 w e = 彳k + ( 1 一彳) 屹 其中 哈尔滨l ：程大学硕十学仲论文 么：a c - t a b w s = 曷为全删雌资产舱 资产组合。 = 襁为全局可分散化 这就是著名的两基金分离定理。他第一次从风险资产的收益率和风险之 间的关系出发，讨论不确定经济环境中最优资产组合的选择问题。 1 9 5 9 年，m a r k o w i t z 建立的证券组合选择理论，是一种以单个投资者选 择资产组合行为为主要研究对象的规范经济学理论。s h a r p el i n t e r 的资本资 产定价模型【s 1 ( c a p m ) 是在理想的资本市场中，根据两基金分离定理建立的。 研究投资者总体行为和市场对资产定价的内在机理，s h a r p ewf 于1 9 6 4 年、 l i n t e rj 于1 9 6 5 年、m o s s i nj 于1 9 6 6 年，分别独立地提出了著名的资本资产 定价模型f 6 - 7 j ( c a p i t a la s s e tp r i c i n gm o d e l 简称c a p m ) ，它进一步拓展了m a r k o w i t z 工作，它的基本结论是假设市场上可以获得无风险资产，当市场达到均 衡时，任意资产的超额收益率与风险资产的市场资产组合超额收益率成正比， 即有关系式 e ( x ) 一，= 励( e ( ) 一，) ( 1 - 3 ) 其中几= 锗称为资产x 的市场b e t a 系数，表示资产x 所面临的风 险系数。 1 9 9 0 年诺贝尔经济学奖授予m a r k o w i t z 、s h a r p e 和m i l l e r ，以奖励他们 在金融领域中的先驱工作。 1 9 6 5 年，s a m u e l s o n 得出了一个买方期权的表达公式，即股票价格漂移 方程【3 l 。在此基础上，1 9 7 3 年，b l a c k 与s c h o l e s 提出了期权定价公式，发表 的论文“t h ep r i c i n go fo p t i o n sa n dc o r p o r a t el i a b i l i t i e s ( 期权定价与公司债 务) ”引起了国际经济理论界和实务界的极大关注，开辟了理论指导金融实 践的先河，其中著名的b l a c k s c h o l e s 模型【9 】为： 3 哈尔滨。i j 群人学硕十学位论文 一个简单的证券市场，仅有一种债券和一种股票。设债券在f 时刻的价 格p 。( f ) ，股票在t 时刻的价格p ( t ) ，满足方程： fd p o ( t ) = r e o ( t ) d t t 【o ，t 】 d p ( t ) = b p ( t ) d t + t r p ( t ) d b ( t ) r 【o ，t 】 i 昂( o ) = 1 o ，p ( o ) = p 考虑丁时刻到期的欧式期权，假定到期时，期权的内在价值为y ( 丁) 一g ( 尸( 丁) ) ， 投期权在0 时刻价格为v ( o ) ，考虑0 时刻初始值为x ( o ) = v ( o ) 的投资，设在 t 时刻购买股票的股数为( ，) ，则 d x ( t ) = a ( t ) d p ( t ) + “x ( f ) 一a ( t ) p ( t ) d t = 【r x ( t ) + ( f ) ( 6 - r ) p ( t ) d t + c r p ( t ) a ( t ) d b ( t ) 设v ( t ，x ) 表示在t 时刻股票价格为x 时，期权的价值，则 1 d v ( t ，x ) = k 斫+ 圪出+ 二lv 材( 卯o ) ) 2 二 = i v , + b p v x + 去仃2 p 2 v , 。 d t + a p v f l b 二 v ( t ，p ( ，) ) = x ( t ) ，g ( 尸( r ) ) = x ( t ) 。令西，招系数相等，则得 a ，= 圪( ，尸( ，) ) v t ( t , x ) + r x v x ( t ，工) + 去盯2 x 2 圪( ，x ) = r v ( t ，x ) 二 终端条件为v ( t ，x ) = g ( x ) ，以上便是b l a c k s c h o l e s 方程。期权定价理论实质 上是风险定价理论在金融数学中的应用。这便引起了第二次华尔街革命于 1 9 7 3 年，b l a c kf 和s c h o l e sm 为解决期权定价这一长期困扰金融界的难题发 表了一项重要成果，提出了一个完整的期权定价模型，即b l a c k s c h o l e s 公式， 给出了欧式期权定价的显示表达式。不久，m e r t o n 利用无套利原理证明了此 公式，并且加以推广。1 9 9 7 年诺贝尔经济学奖授予了m e r t o n 和s c h o l e s ，来 奖励他们和b l a c k 在金融衍生证券价格定价方面的贡献。 1 9 7 7 年v a s i c e k 提出了一个具有均值回归现象，并且受市场不确定因素 4 哈尔滨工程人学硕士学位论文 影响而呈现随机波动现象的短期利率模型f - o l ，后来c o x i n g e r s o l l r o s s ， h u l l m i t e ，b l a c k k a r a s i n s k i ，h e a l t h j a r r o w - m o r t o n ，b r a c e g a t a r e k - m u s i e l a 也相继提出了各种随机利率模型i 。 1 9 7 7 年c o xjc ，r o s ssa 和r u b i n s t e i nm 提出了二叉树模型【1 5 l ，这也是 风险中性和无套利条件下，利用一对冲技巧给出定价公式的。1 9 8 1 年 h a r r i s o n 和p l i s k a 提出了等价鞅测度i i 一, - t g ，其基本思想是：无风险资产( 确定的) 按无风险利率折现，风险资产( 随机的) 按期望收益率折现，欧式期权的价值 等于在期权被执行时股票期末价值按期望收益率折现的现值与执行价格按无 风险利率折现的现值之差在股票价格实际概率测度下的数学期望。1 9 9 8 年 m o g e n sb l a d t 和t i n ah v i i dr y d b e r g 提出了期权定价的保险精算法1 2 0 1 ，其基本 思想是：买入一份期权，对方在期权有效期内就会承担一定的潜在风险，若 要为这一风险加上保险，其保费就是这一期权的价格，也就是用对方所承受 风险的大小来衡量期权价值的大小。 自2 0 0 8 年9 月，美国的次信贷危机而引发全球的金融危机，金融投资者 的投资失利，使人们越来越认清了金融衍生产品最主要、最基本的功能在于 实现风险的转移，从而为投资者提供套期保值的有效工具或途径，成为风险 管理的核心工具。金融学研究的主要对象之一是衍生工具，它的价格依赖于 其“原生资产”的价格。b l a c k s c h o l e s 模型提出后，随着国际金融市场的需求， 金融市场涌现了大量的新型期权，例如：回望期权( 1 0 0 k b a c ko p t i o n s ) ，亚式 期权( a s i a no p t i o n s ) ，障碍期权( b a r r i e ro p t i o n s ) ，彩虹期权( r a i n b o wo p t i o n s ) ， 重置期权沁s e to p t i o n s ) 等新型期权，这些期权的出现繁荣了金融市场，满足 不同投资者的需求。期权定价理论的产生与发展推动了金融衍生产品的设计 与开发，这些新的衍生工具扩展了风险共担的机会，促进了市场的完备性， 降低了交易成本，促进了市场的流动性，提高了风险管理的有效性，彻底地 变革了全球的金融市场。 5 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 1 2 金融衍生产品的国内外研究现状 金融数学发展到了七十年代得到了大量的实证结果，国内、外的金融工 作者及数学研究人员，做出了相当的贡献。从计算方法上来说，自从1 9 8 1 年h a r r i s o n 和p l i s k a 提出了等价鞅测度，许多人研究金融衍生产品定价便是 应用此方法，例如：f o l l m e r ，a n s e ljp ，s c h w e i z e rm ，p i n gl i ，j i a n - m i n gx i a ， j e a np a u ll a u r e n t ，h u y e np h a n ，t a k u j ia r a i ，m i y a h a r a ，t s u k a s af u j i w a r a ， v i c k yh e n d e r s o n 等，这些人分别研究了极小等价鞅测度( 2 1 2 6 1 、方差最优等价 鞅测度9 1 、最小相对熵等价鞅测度1 3 0 - 3 2 1 _ 一个方面。另外，1 9 9 8 年m o g e n sb l a d t 和t i n ah v i i dr y d b e r g 提出了期权定价的保险精算法，闫海峰和刘三阳用公平 保费原则和价格过程的实际概率测度推广了b l a c k s c h o l e s 定价公式1 3 3 1 ，得出 股票价格过程服从非齐p o s s i o n 跳跃的扩散过程时的价格定价公式：刘倩和 刘新平对外汇期权用保险精算法给出了定价公式【，l ，并得到了欧式看涨与看 跌期权的价格表达式；叶小青、蹇明和吴永红将保险精算定价方法出标准欧 式期权定价模型推广到亚式期权定价模型( 3 5 1 ，并给出了亚式期权定价的近似 的解析式，最后得出一个实例，计算结果表明了亚式期权定价模型的合理性； 张敏、王莺和何穗运用保险精算定价方法给出股票价格遵循非齐p o i s s o n 跳 跃的亚式期权定价方法嗍；毕学慧、杜雪樵和张炳明利用公平保费原则和价 格过程的实际概率( 保险精算) 给出了后定选择权、交换期权和复合期权的定 价公式。】；郑红、郭亚军、李勇和刘芳华指出精算定价与b l a c k s c h o l e s 期 权定价方法之间的差异 4 0 j ，最后给出了实例探讨保险精算方法在期权定价理 论中的应用，为实践中合理确定期权价格提供理论和实践参考价值；朱冬梅 和董晓娜在股票价格服从带p o i s s o n 跳模型的情况下，分别利用保险精算方 法与无套利定价方法计算欧式期权价格，并对两种结果进行比较，得出只有 满足一定的条件，两种定价方法得出的定价才一样f 4 l 】。 在随机利率下对期权定价，国内、外的研究成果显著，比如：薛红讨论 了在随机利率情形下有红利支付的股票未定权益定价1 4 2 ) ，首先利用鞅方法给 6 哈尔滨i ：程大学硕十学位论文 出欧式未定权益一般定价公式，并得到欧式买权、卖权价格的解析表达式及 平价关系，推广了一般的b l a c k s c h o l e s 及m e r t o n 模型的结果；其次利用i t o 公式给出欧式未定权益价格应满足的偏微分方程和套期保值策略；最后给出 了欧式期权价格的灵敏度分析；王莉君，张曙光研究了v a s i c e k 短期利率模 型下重詈期权的定价和风险管理问题【4 3 舶】，借助多元j 下态分布函数，得到了一 组显示公式和近似计算方法，通过对所涉及的退化的抛物型方程的c a u c h y 问题进行变量代换，解决了随机利率下带有浮动的敲定价格的欧式看涨亚式 期权的定价问题；薛红利用随机微分方程和鞅方法1 4 5 1 ，讨论了随机利率情形 下的多维b l a c k s c h o l e s 定价模型，并得到随机利率情形下的欧式期权以及交 换期权定价公式；周俊，杨向群利用等价鞅方法和无套利定价理论 4 6 1 ，研究 了n 种资产的极值期权的定价问题，并给出其定价解析式；徐根新利用随机 微方议程理论中的鞅表示性质1 4 7 1 ，建立了欧式看涨外汇期权本国货币下价格 函数所满足的偏微分方程，通过测度变换思想的远期变量变换，降低了偏微 分方程状态空间的维数，得到了期权的定价公式，此外，定性分析了短期利 率、汇率及波动率变化对期权价格的影响；傅毅，张寄洲假设市场利率服从 v a s i c e k 模型1 4 8 1 ，在此基础上利用对冲原理和i t o 公式建立了数学模型，并利 用偏微分方程，得到了多维利差期权的解析表达式；王亚伟，黎锁平，江洪 利用i t o 引理和b l a c k s c h o l e s 风险中性定价原则研究了标准欧式买权和卖权 的定价问题1 4 9 】；m e r t o nrc ，j a m s h i d i a nf ，h u l lsa ，d u f f l ed ，l o n g s t a f ffa 对利率期限结构做了大量的研究 5 0 - 5 2 1 。 亚式期权有离散和连续两种不同的情形，对于离散的情况研究的很少， 金春红，隋振对离散时间几何平均价格亚式期权的定价问题进行了研究m 】， 得到在极限的作用下，离散时间与连续时间几何平均价格的亚式期权定价是 一致的；按平均值可分为：几何平均和算术平均，一般对算术平均的亚式期 权进行研究的较少，而钱晓松对一类跳扩散模型中亚式期权的定价问题进行 了研究1 s 4 4 5 1 ，得到了关于算术平均亚式期权的一个简单而统一的算法，并用偏 微分方程的技巧将其定价总是归结为一个与路径依赖无关的一维积分、微分 7 哈尔滨：l ：程大学硕十学位论文 方程的求解问题；章珂，周文彪，沈荣芳以连续时间的情形为例【蜘，采用几 何平均法计算资产价格的平均值，得到了亚式期权的解析定价公式；肖文宁， 王杨，张寄洲从随机偏微分方程途径和概率论途径两个方法出发，得到了几 何平均亚式期权的解析定价公式【明；杜雪樵，唐玲利用测度变换和鞅方法导 出几何平均亚式期权定价的解析表达式1 5 s 】。 已经有一些作者对幂型期权定价问题进行相应的讨论。吴奕东，杨向群 利用套期保值的方法求出了幂型支付的欧式期权价格所满足的带终值条件的 随机微分方程【5 9 删；刘敬伟研究了v a s i c e k 随机利率模型中一维标准b r o w n 运 动与资产价格服从指数o m s t e i n u h l e n b e c k 过程中一维标准b r o w n 运动的相 关系数p ( 一1 p 1 ) 的情形下的幂型期权鞅定价问题1 6 1 ，推广了基于v a s i c e k 随机利率模型下基于b l a c k s c h o l e s 公式的两种幂型期权定价问题，并利用 g i r s a n o v 定理和等价鞅测度，给出了基于v a s i c e k 随机利率模型下服从指数 o m s t e i n u h l e n b e c k 过程的两种欧式幂型期权鞅定价公式；王亚军研究了利率 为常数的基于b l a c k s c h o l e s 公式的欧式幂期权定价问题1 6 2 1 ；田存志，周香英 也只研究了利率与波动率均为常数的欧式幂型期权定价问题1 6 3 删。 1 3 本文的主要研究内容、创新之处及结构安排 本文主要针对金融数学中的利率衍生证券定价展开的，考虑函数v a s i c e k 随机利率模型下未定权益的定价问题，主要利用鞅理论、随机分析、随机过 程等工具构建数学模型。本文的主要创新之处有： ( 1 ) 运用i t o 积分和随机微分方程的方法，讨论了奇异期权中具有代表性 的几何平均亚式期权在函数v a s i c e k 模型下的定价问题，并且得到了函数 v a s i c e k 模型下推广了的b l a c k s c h o l e s 期权定价模型。 ( 2 ) i g 用m o g e n sb l a d t 和t i n ah v i i dr y d b e r g ( 1 9 9 8 ) 提出的期权保险精算 法，得了函数v a s i c e k 模型下具有幂型支付的欧式看涨( 看跌) 期权定价公式， 并予以改进和推广。 本文结构安排如下： 8 哈尔滨下程大学硕+ 学何论文 第一章，绪论主要回顾了金融数学的发展历史；介绍了国内、外的研究 现状；以及本文的主要研究内容、创新之处及结构安排等。 第二章，主要为下一步研究做准备，给了出一些相关的数学基础知识， 有条件数学期望、收敛性的判断、随机过程、随机分析的基础知识。其中介 绍了几个常用的随机过程，由定义可知，布朗运动就是一个w i e n e r 过程，而 w i e n e r 过程又涉及到了独立增量过程的相关知识。 第三章，首先介绍了期权的基本概念，分类以及几种新型期权；其次， 说明了无套利原理；最后在经典b l a c k s c h o l e s 期权定价公式的基础上，给出 了模型的修正，并且分析修正的模型与原模型的优、缺点。 第四章，首先给出了三种随机的利率模型v a s i c e k 模型、c i r 模型和 b l a c k k a r a s i n s k i 模型，通过讨论得到了三种模型的基本性质；其次是给出了 v a s i c e k 利率模型下的欧式期权定价公式；最后，研究了一种奇异期权( 连续 情形下的几何平均亚式期权) 定价。 第五章，首先给出幂型期权的基础知识，主要包括定义和性质，并且得 到了一般情况下的无红利支付的欧式看涨期权和看跌期权的幂型支付定价以 及有红利支付欧式看涨和看跌期权的幂型支付定价；其次，给出了保险精算 法的定义，并且得到了v a s i c e k 模型下的幂型支付欧式看涨( 看跌) 期权的保险 精算定价，最终推导出了广义的b l a c k s c h o l e s 模型。 结论，对本文进行概括总结，指出本文的创新及不足，指出下一步的研 究方向。 9 哈尔滨下稗大学硕十学f 7 ：论文 第2 章数学基本原理 2 1 条件数学期望 设( q ，厂，尸) 为一完备的概率空间，夕为厂的一子仃代数。设x 为数学 别望存在的随机变量，一个矿, - j 测随机变量】，如果满足： v 彳夕，l 脚= l y d p 则称y 为x 关于夕的条件期望【6 s l ，当x = l ( 国) ，彳f 则称e ( xi 矿) 为彳关 于矿的条件概率，并记为p ( 彳i 矿) 。 定理2 1 1 ( r a n d o n n i k o d y m 定理) 设q p ，那么存在一个随机变量人， 使得人0 ，e p 人= 1 ，对任意的可测集彳，并且 q ( 4 ) = e p ( ( 彳) ) = i a d p 人是关于尸几乎处处唯一的，记为筹；反之也成立惭1 。 r a n d o n - n i k o d y m 定理保证了上述条件期望的存在。事实上，v 彳夕， ，( 彳) 全l 拖护是夕上的测度，且p 且绝对连续。由r a n d o n - n i k 。d y m 定理， 存在r a n d o n n i k o d y m 导数】，：孚，于是v 彳夕， a p l 聊= 1 ，( 彳) = l x d p e ( xj 夕) 有下列基本性质侧： ( 1 ) 若e ( x ) 存在，则e ( e ( xi 矿) ) 存在，且e ( e ( xi 矿) ) = 尉x 1 ： 1 0 哈力：浜r 祥大学硕十学何论文 ( 2 ) 若夕= 厂，或石是夕一可测的，则e ( z i 彳) = x ，匕。： ( 3 ) 若x = 口，易。一则e ( xi 彳) = 口，。； ( 4 ) 若口e ( x ) + e ( 】，) 存在，则e ( a x + f i r1 0 ) - - - u e ( xi 0 ) + f i e ( yi 矿) ， 易。； ( 5 ) 若x y ，易。，则e ( xi 夕) e ( 】，i 矿) ，易。特别地，若x o ， 易一一，则e ( x l 彳) 0 ，e ( xi 彳) = x ； ( 6 ) i e ( xj 夕) l e ( i x l1 0 3 ； ( 7 ) 在矿的每一个原子( 除矽和之外不包含任何夕可测子集) 上， 耻i 彳) 为常数。若即) 。，贝| j 对一切国，有志；x d p 皇e ( x le ) ； ( 8 ) 若夕c 矿，则e ( e ( xl 矿) i 矿) = e ( xi 夕) = e ( e ( x i 夕) 矿) ，匕。； ( 9 ) 设o 以个x ，e ( i x i ) + o o ，贝0e ( 叉乙l 夕) 个e ( xi 矿) ； ( 1 0 ) 设以一x ，l 以i y ，e ( 】，) 佃，则e ( 以i ) 寸e ( xl 夕) ，刀呻佃； ( 1 1 ) 设】，是夕- 可测的，e ( i x y i ) = 0 ( 2 - 2 ) 则称依概率收敛于孝，记作 p 磊专孝( 尸) 或磊一孝 定义2 2 3 如果对， 0 ，e ( i 己一孝i r ) 佃0 = 1 ，2 ，) ，有 l i m e ( i 彘一善1 7 ) = 0 ( 2 - 3 ) 则称六依，阶矩收敛于孝，记作 磊寸孝( ，) 或磊专孝 定义2 2 4 设己和善的分布函数分别为f c x ) 和f c x ) ，如果对f ( x ) 的一 切连续点x 有 l i me ( x ) = f ( x ) ( 2 4 ) 打_ 则称幺依分布收敛于善，记作 六一孝( 缈) 2 3 随机过程 在概率论 6 0 l 中，常常用一个或几个随机变量来描述某些随机现象，从而 研究它们的概率规律。从几何上看，就是把某些随机现象作为直线上的随机 点或者有限维空间上的随机点来研究。对于实际问题中的更复杂的随机现象、 1 2 哈尔滨t 程大学硕十学何论文 一个不断随机变化的过程，用这样的研究方法就显得不够了，往往需要用一 族( 无穷多个) 随机变量来刻画这样一些随机现象，或者把它们作为无穷维空 间上的随机点( 随机函数) 来研究。对这样一类随机现象的研究便引出了随机 过程的概念。 综上所述，我们知道随机过程是对一连串随机事件之间动态关系的定量 描述，这是自然科学、社会科学和工程技术各领域研究随机现象的有力工具， 其应用非常广泛：气象预报、天文观测、通讯工程、原子物理、宇宙遥控、 生物医学、管理科学、运筹决策、计算机科学、经济分析、人口理论、可靠 性与质量控制等诸多领域都己离不开用随机过程的理论建立各种数学模型。 2 3 1 随机过程的定义 定义2 3 1 设( q ，厂，p ) 为一概率空间，丁为一参数集，tcr 。如果对 任一t t ，有一定义在( q ，厂，p ) 上的随机变量善( 国，t ) 与之对应，则称 孝( 缈，f ) ，t 为一随机过程，简记为 孝( 缈，f ) ，t t 。 一般称t 为参数，在实际问题中，常代表时间。孝( 缈，f ) ( t t ) 的取值范 围记为e ( 通常ecr 1 ) ，称为孝( 国，t ) 的状态空间；有时也称( e ，) 为孝( 缈，) 的 状态空间，其中是e 上的仃一代数；当孝( 缈，f ) = x e 时，称过程在时刻f 处 于状态x 。 如果把孝( 国，) 看成二元函数，则当f t 取定时它是( q ，厂，尸) 上的一个随 机变量；当缈q 中取定时它是自变量为f 、定义域为丁的实值函数，称为该 随机过程的一个样本函数，就是对该过程一次观察的结果，故有时也称样本 函数为过程的轨道或现实。 有时要同时研究两个随机过程，这就引出了二维随机过程的概念。例如， 对于一个线性系统，如果输入是随机信号( 随机过程) ，则输出也是随机的， 1 3 哈尔滨下稃人学硕十学位论文 这就需要研究输入输出两个随机过程及它们的相互关系。 定义2 3 2 设( q ，厂，p ) 为一概率空间，r 为一参数集，若 ( 孝( f ) ，巧( ，) ) ，f t 为定义在( q ，厂，p ) 上的二维随机过程。 对于一维和多维随机变量，它们的分布函数完全刻画了它们的统计特征， 要研究随机过程的统计特征，自然要关心它的分布。 设 孝( ，) f t ) 是一随机过程，由随机过程的定义可知，对每一固定的 t t ，孝( f ) 都是定义在同一概率空间( q ，尸，p ) 上的随机变量，因此对任意 x r n ，可得它的分布函数在x 处的函数值为尸 善( f ) x ) 。由于此分布函数 的值不但与x 有关而且与f 有关，故记成f ( x ；t ) ，即 f ( x ；t ) 叁尸 孝( f ) x ) ，( 2 - 5 ) 称f ( x ；吐，t ) 是随机过程孝( ，) 的一维分布函数族。由于随机过程的一维分布 函数族仅反映了随机过程在各个时刻的统计特征，而随机过程可视为一随机 变量族，因此，一随机过程除去各个时刻的统计特性外，还存在着随机变量 族中各随机变量之间的相互关系( 如是否独立、是否线性相关等) 的统计特性。 这种统计特性必须通过任两时刻、任三时刻r 中任意有限个时刻所确定 的两维、三维任意有限维随机变量的分布去描述，这样，对任一随机过 程产生了有限维分布函数族的概念。 定义2 3 3 设 孝( r ) ，f t ) 是一随机过程，对任意正整数刀及任意t ， 置尺( f _ l ，2 ，n ) ，记分布函数 f ( x l ，吒；f l ，f 。) = p f ( ，1 ) 而，孝( 乙) 矗) 的全体为 f ( x l ，x ；t i ，乙) ：，i r t l ) , f = 1 ，2 ， ，刀1 ) 1 4 哈尔滨：一r 稗大学硕十学位论文 称为随机过程孝( ，) 的有限维分布函数族。 有限维分布函数族有下列特性： ( 1 ) 对称性：即对l ，2 ，玎的任一排列五，五，五均有 f ( 五，x ；t l ，乙) = f ( x j , ，x j ；t j , ，0 ) 事实上 f ( x l ，矗；，l ，乙) = p g ( t 。) 五，善( 乙) 矗) = p n ( 孝( ) ) ) i = l = 尸 n 孝( 0 ) b ) = 尸 善( 0 ) _ 。，孝( 0 ) i = i = f ( x j i ，x j ；t j l ，t i n ) ( 2 ) 相容性：对于m 刀，有 f ( x l ，叫习，+ ； ，乙，乙+ l ，乙) = f ( 而，x m ；t , ，乙) 定理2 3 1 ( k o l m o g o r o v 存在定理) 设己给参数丁及满足对称性及相容性的 有限维分和函数族 f = f ( 而，；，t n ) ：”l ，t ，尺 ，f = l ，2 ，以 ( 2 - 6 ) 则必存在概率空间( q ，厂，p ) 及定义在其上的随机过程( f ( 珊，) ，r t ，使