2016年南昌市高中数学竞赛试题及答案.docx

2016年南昌市高中数学竞赛试题及答案（注意：题号后凡标有“高一”的，为高一学生解答题；凡标有“高二”的，为高二学生解答题；凡未作以上标志的，则为高一、高二学生共同解答题）一、填空题（每题10分，共80分）1.（高一）化简的结果是 答案：解：，故原式（高二） 设，若函数与具有相同的最小值，函数与具有相同的最大值，则 答案：解：故由，得故由，得由得，所以，或者若，由，即，矛盾！故只有，此时，2.（高一）若个连续正整数之和为，则的最大值是 答案：解：设，则，注意，且，为使值最大，当选取使得的较小因子尽可能去取得最大，由于，可令（此时对应于）（高二） 是椭圆上位于第一象限的一点，若与两焦点的连线互相垂直，则点的坐标为 答案：解：椭圆两焦点为，若点坐标为，则，以及，解得3.（高一） 三角形的边长为正整数，周长为24，这种三角形共有 个答案：12个解：设三角形的三条边长为，且，则，再由，得，所以即，于是在时，于是；在时，有；在时，有；在时，有；共计12种情形（高二）锐角三角形中，的最小值是 答案：解：记，则两边立方，得，当且仅当，4.（高一）若为锐角，使得，则 答案：24.解：据，得，解得及，若，则，不合题意，故只有（高二）单位正方体（各棱长皆为1的正方体）中，将每一对相邻的中心连接，得到一个具有六个顶点的多面体，其体积是 答案：解：如图，分别是及的中点，则自作平行于的平面，将多面体分成两个全等的四棱锥，其底面面积为，高为5.如果一个单调递增数列的每一项皆是由排成的没有重复数字的五位数，则 答案：解：总共可排出120个数，其中5开头的有24个，它们中最小的数是倒数第24个数，即全体这种五位数的自小到大第97个数，5开头的数后四位均由排成，这四个数码排成的数自小到大顺次是，所以6.从中取出个不同的数，使得取出的数中，任两个数的差，既不等于5，也不等于8，则的最大值是 答案：6解：将排列于一个圆上，使得每相邻两数之差，或者为5，或者为8，然后选取一组互不相邻的数，至多能取到六个数，例如取（若取7个数，则必有两数在圆周上相邻），因此7.满足的正整数解的组数为 答案：165.解：由条件得，由于有个正因子，对于每个正因子，由可以得到一个的值，而当的值确定后，的值便随之确定，于是共有165组解8.集合是集合的子集，且中至少含有一个平方数或者立方数，则这种子集的个数是 答案：解：集合中的平方数或立方数构成集合，其中有12个元素，从中挖去集合后剩下的元素构成集合，则中含有个元素，由于的子集有个，的非空子集有个，集可表示为形式，其中是的任一非空子集，是的任一子集，因此的个数为二、解答题9.（20分）集合与分别由满足如下条件的所有五位数组成：对于集合的每个元素，其各位数码之和加1或减1之后是5的倍数；对于集合的每个元素，其各位数码之和或者是5的倍数，或者减2之后是5的倍数证明：（即这两个集合的元素个数相等）证：对于任一五位数，其中，的各位数码之和记为；对于集合中的任意一数，令与五为数相对应，其中每个满足等式：则，且据此可知，若，则，若，则，于是当时，必有，并且不同的对应于不同的反过来也是如此，即这种对应是一一对应，从而这两个集合的元素个数相等10.（25分）四边形内接于以为直径的圆，分别是边上的点，且证明：三线共点证：设分别交于，对角线交于，只要证三点共线 连，由，得又由，得相乘得将相乘得，因此直角三角形，所以，故三点共线，从而三线共点11.如果实数集合的全体元素可以排成一个等比数列，就称是一个几何集，例如无穷集合就是一个几何集试确定，是否存在7个几何集，使得它们的并集元素中，包含有前50个正整数，即，其中证明你的结论解：不存在首先证明，任一个几何集之中至多含有两个质数反证法，假若某个几何集的元素中含有三个质数，