（光学工程专业论文）半导体激光器与光子晶体光纤的耦合研究.pdf

南京邮电太学硕士研究生学位论文摘要 摘要 光子晶体光纤作为一种新型光纤，由于其具有很多传统光纤所无法比拟的特点，已经 受n - r 极大的关注，它很有可能成为未来光纤通信以及许多光器件的核心部分。然而，要 使光子晶体光纤能够广泛应用于光纤通信系统中，除了需要解决光子晶体光纤与常规光纤 的耦合问题外，还必须解决它与光源之间的耦合问题，如何改进耦合技术、提高耦合效率 是至关重要的。目前，半导体激光器广泛应用于光通信领域中，因此很有必要深入研究光 子晶体光纤与半导体激光器之间的耦合问题。 由于半导体激光器的光束发散角较大，且在水平方向和垂直方向上存在着较为明显的 差异，所以若用半导体激光器作为泵浦源，就需合理地设计耦合系统。光学耦合系统不仅 要有很高的耦合效率，而且还应具有较大的耦合容差，以便降低耦合难度，提高成品率。 本论文将半导体激光器与传统单模光纤的耦合模型进行改进，分析了半导体激光器与 光子晶体光纤的耦合问题。另外，本文还设计了利用椭圆芯梯度折射率光纤实现半导体激 光器与光子晶体光纤的耦合模型。运用全矢量光束传播理论仿真验证了椭圆芯梯度折射率 光纤能够实现模场转换。数值计算表明，该模型可以大大提高两耦合模场的相关系数，并 且可以延长工作距离到5 0 , u r n 左右，横向以及轴向l d b 耦合容差都在合理的范围内，耦合 损耗最低可以降到l d b 以下。不仅降低了耦合损耗，同时还降低了耦合难度，满足光学耦 合系统的要求。 关键词：半导体激光器，光子晶体光纤，耦合，l d b 耦合容差，全矢量光束传播理论，模场 转换，椭圆芯梯度折射率光纤。 南京邮电大学硕士研究生学位论文 摘要 a b s t r a c t p c f sa st h en e wt y p ef i b e r s ，h a v eb e c o m eaf o c u so fa t t e n t i o na n dw i l lp r o b a b l yb et h e m o s ti m p o r t a n tp a r t si nt h ef i e l do fo p t i c a lc o m m u n i c a t i o n s ，b e c a u s eo ft h e i re x c e l l e n t p e r f o r m a n c ea n dp o t e n t i a lp r o s p e c to f a p p l i c a t i o n h o w e v e r , i f p e o p l ew a n tm a k et h ep c f su s e d i nt h es y s t e mo fo p t i c a lc o m m u n i c a t i o n sw i d e l y ，t h e ym u s ts o l v et h ep r o b l e mo fc o u p l i n g b e t w e e nn o to n l yp c ft os m fb u ta l s ol i g h t s o u r c et op c eh o wt oi m p r o v et h ec o u p l i n g t e c h n o l o g yi st h em o s ti m p o r t a n tt h i n g a tp r e s e n t ，t h el a s e rd i o d e sh a v ea p p l i e di nt h ef i e l do f o p t i c a lc o m m u n i c a t i o n s ，s ow en e e dd e e p l yr e s e a r c hi nt h ec o u p l i n gb e t w e e nl d s t op c f s f o rt h el d sh a v eah i 曲d i v e r g e n c ea n g l ea n dt h eo b v i o u s l yd i f f e r e n tb e t w e e nt h e x - d i r e c t i o n a la n dt h ey - d i r e c t i o n a l ，i fw ew a n tt h e mb et h ep u m p s o u r c e s ，w es h o u l dd e s i g na c o u p l i n gs y s t e mf o rp r a c t i c a la c t i v ea l i g n m e n t ，w h i c hh a st h el o wc o u p l i n gl o s sa n da c c e p t a b l e t o l e r a n c ec h a r a c t e r i nt h i sp a p e r , w ed i s c u s st h ec o u p l i n gp r o b l e mb e t w e e nl d st op c f sb a s e do nt h e i m p r o v e dc o u p l i n gm o d e lb e t w e e nl d s t os m f s i na d d i t i o n ，w ed e s i g nt h ec o u p l i n gm o d e l 稍t h al e n s e dg r a d e d i n d e xo v a l - c o r e ( o l o ) f i b e r w ea l s ou s ef u l l - v e c t o rb e a mp r o p a g a t i o nm e t h o d ( f v - b p m ) t oi n v e s t i g a t et h ep r o p e r t i e so fg i o - f i b e rn u m e r i c a lc a l c u l a t er e s u l ti n d i c a t e st h a t t h ec o u p l i n gl o s si sa sl o wa sl d bw i 廿it h el o n gw o r k i n gd i s t a n c ea b o u t5 0 j m a n dt h e t o l e r a n c ec h a r a c t e r i s t i c sa g a i n s tl a t e r a ld i s p l a c e m e n ta n dt i l ta r ea c c e p t a b l ef o rp r a e t i c a la c t i v e a l i g n m e n t k e y w o r d s ：l a s e rd i o d e s ，p h o t o n i cc r y s t a lf i b e r , c o u p l e ，f u l l v e c t o rb e a m p r o p a g a t i o nm e t h o d ，f i e l d - p r o f i l e t r a n s f o r m e r ，g r a d e d i n d e xo v a l - c o r ef i b e r 南京邮电大学 硕士学位论文摘要 学科、专业：工学光学工程 研究方向： 光纤通信与光波技术 作者：2 0 0 3 级研究生林丽娜指导教师陈鹤鸣 题目：半导体激光器与光子晶体光纤的耦合研究 英文题目：c o u p l i n gb e t w e e nl a s e rd i o d e sa n dp c f 主题词：半导体激光器光子晶体光纤耦合 椭圆芯梯度折射率光纤 k e y w o r d s ：l a s e rd i o d e s p h o t o n i cc r y s t a lf i b e r c o u p l e g r a d e d - - i n d e xo v a l c o r ef i b e r 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1 光子晶体光纤 随着d w d m 技术、掺铒光纤放大器( e d f a ) 技术和光时分复用( o t d m ) 技术的发展 和成熟，光纤通信正向超高速、大容量通信系统方向发展，并且逐步向全光网络演进。采 用光时分复用( 0 t d m ) 和波分复用( w d m ) 相结合的实验系统，容量可达几个t b s 或 更高；时分复用( t d m ) 的l o g b s 系统和w d m 相结合的4 l o g b s 系统现在已经商品化“1 。 对于如此高速率的传输系统，开发敷设新代光纤已成为构筑下一代通信网的重要基础， 它要求新一代光纤具有低色散和低色散斜率、大有效面积、低偏振模色散，以克服光纤的 色散限制和非线性效应问题，并且还要求光纤具有很宽的工作波长范围。 光子晶体光纤( p h o t o n i cc r y s t a lf i b e r ，p c f ) 是一种带有线缺陷的二维光子晶体，即 光纤包层为空气和石英的周期结构，周期常数( 或叫做晶格常数) 为波长量级。这种结构 实际上是在石英基体中沿光纤辅向有规律地分布着许多空气孔( 确切地说是气线) ，通过 适当设计空气孔的位置、大小、间距和占空比，可对某一波段形成带隙。光纤纤芯是破坏 了这种周期结构的缺陷，这种缺陷可以是空气，也可以是石英。 纤芯为空气( 气芯) 的p c f 如图卜1 ( a ) 所示。其包层折射率是s i o ，和周期排列的 气孔共同形成的平均折射率：而纤芯的折射率为l ( 空气) ，比包层低，可以实现空气导 光。这种光子晶体光纤的导光机理与传统光纤完全不同。传统光纤的纤芯折射率高于包层， 光束通过在芯包界面的全内反射( t o t a li m e m a lr e f l e c t i o n ) 传播；而光子晶体光纤的包层 对一定波长的光形成带隙，光波只能在气芯形成的缺陷中存在和传播，这种光纤叫做光子 带隙( p h o t o n i cb a n d g a pg u i d a n c e p b g ) 光子晶体光纤，即p b g p c f ”。 另一种光子晶体光纤的结构是：包层与上述的周期结构相同，但形成周期结构缺陷的 纤芯不是空气而是s i o ：或掺杂的s i o ，如图卜l ( b ) 所示。光子晶体光纤的纤芯折射率 高于包层，导波机理仍然是全内反射。由于包层含有气线，与传统光纤的“实心”s i o ，包 层不同，因而叫做改进的全内反射( m o d i f i e dt o t a li n t e r n a lr e f l e c t i o n m t i r ) 光子晶体光 纤，即t i r p c f “。 南京邮电大学硕士研究生学位论文第一章绪论 图1 一l 光子晶体光纤截面图 光子晶体光纤其光特性( 如色散、非线性、偏振特性等) 具有很大的设计自由度，可 以根据不同系统应用需求在很大的范围内作调整，所以将广泛应用于未来光通信系统中的 许多基本组件，目前研究主要集中在色散补偿、拉曼放大、全光交换以及光再生等方面。 最近，随着p c f 研究的深入，p c f 的损耗大大降低，制作技术的也得到很大的提高，从而可 以在更长的p c f 中实现稳定的光纤结构以及光参量的传输，为p c f 作为传输媒质奠定了坚 实的基础。 与传统光纤相比，p c f 不但可以实现介质导光，而且还可以实现空气导光h 啪，并具 有许多“奇异”的特性，有效地扩展和增加了光纤的应用领域。p c f 具有奇特的色散及非 线性特性n 7 。3 、全波段单模运转特性、大有效面积2 “、极低的损耗特性m 1 等等。目前研 究表明。t i r p c f 在五= 1 5 5 0 n m 处的损耗值已经与传统阶跃单模光纤具有相同的数量级( 低 于l d b k m ) ，并且其拉纤长度可以达到5 6 k m l 此外，由于空气孔的排列和大小具有很大 的控制余地，可以根据不同的需求设计p c f 的传输特性，因而p c f 在光通信领域具有广泛 的应用前景。p c f 的导光机制和传统的内反射机制存在很大的区别，使得它在各方面表现 出来的特性和传统光纤有很大的不同，具有传统光纤无法比拟的优良特性。 基于不同的应用，目前的p c f 主要有如下几种：全波段单模光纤、空心带隙光纤、强 非线性光纤、保偏光纤以及多芯光纤。研究表明，p c f 除了具有前面提到的应用特性外， 还在以下几方面具有重要的意义：第一，p c f 允许出现大于直角的光路弯曲，光甚至可以在 弯曲曲率半径小于波长的条件下传播，因而在光耦合系统中极大地提高了耦合效率以及弯 曲状态下的传光效率；第二，与其它光纤相比，p c f 另一个明显的优势是。其工作过程很 少受到光波与纤芯中固态材料之间的相互作用( 吸收或非线性) 的限制，可以大大地克服 这些不利因素带来的影响：第三，对于p b 6 一p c f ，如果在空气纤芯中充入特定的气体或具 有一定折射率的液体，它们与传导模式中的光可能发生非常强的相互作用，这在气体传感 塑塞堂皇查兰堡主堕壅生堂竺堕兰星二童塑堡 及检测、利用非线性过程产生多种光波长以及进行材料的非线性光学性质研究方面有极为 广泛的用途。 p c f 的潜在应用还包括超宽色散补偿、超连续谱的产生1 1 , 1 9 超短脉冲激光器放大 器啪、波长转换器”、高功率光传输、高功率p c f 激光器、极短拍长的偏振保持光纤汹1 、 光纤传感器以及光开关8 t1 蚰等。 但是要想使p c f 能够广泛应用于光纤通信系统中，除了需要解决p c f 与常规光纤以及 p c f 之间的耦合问题外，还必须解决p c f 与光源之间的耦合问题，如何改进耦合技术、提 高p c f 与光源之间的耦合效率是至关重要的。半导体激光器以其转换效率高、体积小、重 量轻、可靠性高、能直接调制以及与其他半导体器件集成的能力强等特点而成为信息技术 的关键器件“。因此很有必要深入研究p c f 与半导体激光器之间的耦合问题。 1 2 半导体激光器与光纤耦合现状 一般端面发射的半导体激光器输出的是椭圆对称的高斯光束，其发散角大并且在各个 方向上不相同。因此将它与光纤的圆对称波导直接耦合时效率不高，要想提高耦合效率， 需要设计一个耦合系统，对半导体激光器输出的椭圆形高斯光束进行整形，压缩光束发散 角或光束束腰半径，改善远场对称性和光斑形状。 掺铒光纤放大器( e d f a ) 是密集波分复用( d w d m ) 技术实用的关键，在掺铒光纤中注 入足够强的9 8 0 r i m 泵浦光，就可以将大部分处于基态的d h 离子抽运到激发态上，形成粒 子数反转，当信号光子通过掺铒光纤与毋“离子相互作用发生受激辐射，产生大量与自身 完全相同的光予，通过掺铒光纤传输的信号光子迅速增多，实现信号放大作用。因此，9 8 0 r i m 半导体激光器成为e d f a 的理想泵浦源。 9 8 0 n m 半导体激光器的其模场分布特点如下【1 4 l ：典型的半导体激光器在9 8 0 n m 时的近 场分布近似为椭圆高斯光束，长短轴之比范围3 6 。同时半导体激光器的光束发散角在x 和y 方向有很大的差异。在x 方向( 平行于p - n 结方向) 的光束较为集中，发散角约为5 。1 2 。 ( 定义在基模高斯光束强度1 e 2 点处的远场发散角) ；在y 方向( 垂直于p - n 结方向) 发散角 约为3 0 。一5 0 。，因此在远场光束形成一个细长的椭圆，这也是解决半导体激光器与光纤的 3 曼塞塑皇查兰堡主塑壅竺兰垡堡塞 兰二兰堕望 耦合问题的困难所在。因此，半导体激光器( l d ) 与单模光纤的耦合实质上是模场的匹配问 题f 1 2 , 1 4 , 1 5 。当相耦合的两模场的相位以及它们的模场分布严重不匹配时。耦合效率很低。 迄今为止，对于l d 与传统单模光纤的耦合，已有许多种用不同形状的透镜进行模式匹 配的方法，如组合透镜耦合、非球面透镜耦合和自聚焦透镜耦合。组合透镜耦合方式的耦 合系统比较复杂，光学器件多，调整难度大，各透镜的损耗及像差造成整个系统的耦合效 率不高；非球面透镜的加工精度要求高，因而成本较高，加工时微小的偏差都会造成耦合 系统效率下降；自聚焦透镜由于具有器件加工简单、成本低、调整方便、聚焦光斑尺寸小 等特点被广泛应用”“”1 ：也可以用一些特种加工技术，如通过拉伸被加热的光纤端头使其 形成尖锥状或在研磨后熔融光纤的末梢以及用光刻技术直接在光纤的端头处加工出各种 形状的微透镜。目前光子晶体光纤的研究已经逐步成熟，由于光子晶体光纤的许多特性使 得它被广泛应用于设计激光器、拉曼放大器等”1 。但是对于l d 与光子晶体光纤的耦合研究 不多。由于光子晶体光纤的基模模场分布为准高斯分布，所以我们同样可以利用l d 与普通 单模光纤的耦合模型来研究l d 与光子晶体光纤的耦合问题。 一个优良的半导体激光器与光纤的耦合系统应该满足以下要求：一、高耦合效率( 低 耦合损耗) ，即一定的输出光功率下，耦合效率越高，半导体激光器输出光的利用率就越 高。这样就可以得到更长的通信系统无中继距离和更高的光纤传感系统探测灵敏度。二、 弱的光反馈，由于光学耦合系统中至少存在两个光学界面，因而进入耦合系统的光束就会 在光学界面上产生反射，反射光进入半导体激光器的有源区形成附加的外腔反馈。尽管这 种光反馈很弱，但对于内增益很高的半导体激光器而言，足以引起输出光功率抖动和激光 器波长漂移等现象，严重影响激光器正常工作。三、大的l d b 耦合容差。光学耦合系统的 l d b 耦合容差定义为当耦合系统与半导体激光器之间出现轴向、横向、侧向和角向偏移， 从而使其耦合效率从最大值下降了l d b 时的位置偏移量。l d b 耦合容差对于实用化的光学耦 合系统来说是一个重要衡量指标，大的l d b 耦合容差意味着该系统在封装时允许出现较大 的位置失调，因而可以采用结构简单、定位精度不太高的低成本封装技术。四、简单可靠 的制作工艺。从生产角度考虑，耦合系统必须具有良好的工艺特性，如工艺过程简单、成 本低廉、稳定性好等。 1 3 本文的研究重点和内容安排 尽管光子晶体光纤具有很多传统光纤所无法比拟的优点，但要想使它实用化，还存在 4 妻塞塑皇查堂望主竺窭兰兰堡堡苎塑= 童堕丝 许多实际问题。随着光子晶体光纤加工工艺和制造技术的日益提高，实用的p b g 型光子晶 体光纤在光纤通讯中的传输损耗已经降低到了1 7 2 d b k m 的程度，而实用的t i r 型光子晶 体光纤的传输损耗已经降低到了0 3 d b k m 的程度。这就使得光源与光子晶体光纤的耦合损 耗问题越来越显得突出。我们知道，耦合光学系统不仅要有很高的耦合效率，而且还应具 有较大的耦合容差，以便降低耦合难度，提高成品率。本论文根据l d 与传统单模光纤的 耦合模型分析了l d 与光子晶体光纤的耦合问题，从模场大小，形状以及相位匹配等方面 提高耦合效率，减少由于模场不匹配引起的耦合损耗。另外，本文还设计了利用椭圆芯梯 度折射率光纤实现l d 与光子晶体光纤的耦合模型。该模型可以大大提高两耦合模场的相 关系数，并且可以延长工作距离到5 0 u m 左右，横向以及轴向l d b 耦合容差都在合理的范 围内，耦合损耗最低可以降到l d b 以下。 本文的研究内容安排如下： 第一章首先介绍了光子晶体光纤的重要特性，在光纤通信系统中的应用以及存在的 潜在应用。其次介绍了光源特别是半导体激光器与传统单模光纤的耦合问题，进而提出本 论文的研究重点：半导体激光器与光子晶体光纤的耦合问题。最后对本文的研究重点和内 容安排作简单的介绍。 第二章对全矢量光束传播理论( f v - b p m ) 作了比较详细的介绍，这是本文分析和计 算模场转换的理论基础，其中各种参数的合理设置非常重要，否则会给后续的程序调试和 仿真结果带来很大的影响。 第三章针对l d 与传统单模光纤的耦合模型，讨论了通过锥形透镜实现激光器与光子 晶体光纤的耦合问题。首先分析了半导体激光器与光子晶体光纤的模场分布，其次建立耦 合模型，通过锥形透镜实现模场匹配，分析模场相关性。最后得出该模型只能在工作距离 很小的条件下才能降低耦合损耗。 第四章在保证降低耦合损耗的前提下，为了增加工作距离降低耦合难度，提出利用 椭圆芯梯度折射率光纤( g i o f i b e r ) 实现激光器与光子晶体光纤的耦合模型。首先分析了 g i o f i b e r 实现模场转换的原理，并用光线传输理论分析以及b p m 仿真验证了模场转换的 结果。最后建立耦合模型，分析结果表明：该模型不仅降低了由于模场不匹配引起的耦合 损耗，而且大大延长了工作距离。 第五章由于非线性光予晶体光纤的强非线性效应在器件的小型化和集成化有许多潜 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第一章绪论 在应用，我们重点讨论了非线性光子晶体光纤特性，模场表达式，分析了它与光源的耦合 问题，非线性光子晶体光纤的应用。 本文在研究光子晶体光纤与光源的耦合技术时，在以下方面做了比较有价值的研究工 作： 第一，运用光束传播理论编写程序，模拟g i o f i b e r 中椭圆高斯模场到高斯模场的转 换。 第二。根据p c f 模场近圆特性以及传导模式为准高斯模的结论，建立半导体激光器与 光子晶体光纤的耦合模型，分析耦合损耗与模场形状，工作距离的关系。 第三，分析了耦合容差对p c f 耦合特性的影响。 第四，介绍了高非线性光子晶体光纤的特性，并讨论了光源与高非线性光子晶体光纤 的耦合问题。 6 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章有限差分光束传播理论 第二章有限差分光束传播理论 光束传播法是目前光波导器件研究与设计领域虽常用的方法之一，其基本思想是在给 定初始场的前提下，把波导沿着传播方向剖成若干个截面，根据前一个或几个截面上的已 知场分布得到下一个截面上的场分布。 光束传播法最早是由m d f e i t 等人于1 9 7 8 年研究光场及大气激光束传播时提出 的。最早的b p m 是以快速傅里叶变换( f a s t - f o u r i e r t r a n s f o r m ，称f f t ) 为数学手段实现的， 称为f f t - b p m 叫。f f t - b p m 源于标量波方程，只能得到标量场( 即只能处理一个偏振分 量) ，不能分辨出场的不同偏振( t e 模或t m 模) 以及场之间的耦合。同时它所采用的网格 是均匀网格，在处理楔形、弯曲波导时不是很适合。由于上述缺点，d y e v i e k 等人于1 9 8 9 年提出了一种新方法一有限差分光束传播法f d b p m ，它将波导截面分成很多方格，在每 一个格内的场用差分方程来表示，然后加入边界条件，就可得到整个横截面的场分布，沿 纵向重复前面的步骤，就可得到整个波导的场分布。 光束传播理论( b p m ) 是模拟和仿真电磁波在光波导及光纤设备中传播的最常用的方 法1 2 7 , 2 ”。传统的光束传播理论的很大的缺点就是他们只是解离散波公式，而电磁波的矢量 特性却被忽略了尽管在实际光波导中折射率在纵向的变化很小，在不是很在意偏振的情 况下，偏振相关和耦台可以被忽略，但是在考虑偏振的情况下，矢量特性是很关键的，必 须加以考虑。例如在一些半导体材料制作的光波导中折射率的变化就必须考虑。另外，即 使折射率变化不是很大，但是由于传播距离很长( 相对波长来说) 所以偏振特性也必须考 虑。因此，必须模拟和仿真矢量电磁波在光波导中的传播。基于有限差分法的全矢量光束 传播法( f u l l v e c t o rb e a mp r o p a g a t i o nm e t h o d ( f v - b p m ) ) 是对纵向电磁场的两组耦合公式 分别用有限差分法求解。波导中的电磁波就可以作为初值问题来解。下面分析这种方法。 分别用有限差分法求解。波导中的电磁波就可以作为初值问题来解。下面分析这种方法。 南京邮电大学弼士研究生学位论文 第二章有限差分光柬传播理论 2 1 1 基本方程 2 1 基本原理 光是电磁波，在传播过程中遵守m a x w e l l 方程组： v x 鼢+ 掣：0 ( 2 1 a ) o t v x 疗( f ) ：j ( r ) + _ o d ( t ) ( 2 i b ) o t v d ( f ) = 户( f ) ( 2 一i c ) 阢豆( r ) = 0 ( 2 1 d ) 式中，e ( r ) 西( f ) ，豆( f ) ，疗( r ) ，y ( o ，p o ) 分别代表电场强度电位移，磁感应强度，磁场强度。 电流密度和电荷密度。对于各向同性、非磁性、电中性介质有物质方程 了( ，) = a e ( t ) ，p ( ，) = o ，豆( f ) = t o h ( t ) ，西( r ) = 占雷( f )其中盯为电导率，u o 为真空磁化率常数， p 为介电常数。 b p m 理论来源于波动方程，波动方程是建立在m a x w e l l 方程基础上的，在频域中电磁 波传播的m a x w e l l 方程的一般形式为： v x 豆= - j c o k t o 亨 ( 2 2 a ) 并且 v x 疗= 一j c o s o n 2 豆 v ( n 2 目= 0 v ( ) = 0 ( 2 2 b ) ( 2 2 c ) ( 2 2 d ) n = n ( x ，y ，z ) 是折射率分布，它是一个关于频率的函数，材料色散，吸收，或者增益可以通 过的n = n ( x ，y ，z ) 实部和虚部来描述。假设一个与时间有关的因子e 删被省略。为了模拟电 磁场在介质玎中的传播，必须同时求解方程( 2 - 2 a ) 和( 2 - 2 b ) 。 2 1 2 包络函数 电场e 磁场h 的横向分量巨，q 可以写成t ，e y 和以，q 。巨，b 和以，h y 是空间坐 标x ，y ，z 的函数， e x ，b 和q ，q 随= 轴快速周期变化的部分分离h 0 1 ，即： r 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章有限差分光束传播理论 巨= e ( x ，y ，z ) e x p ( 一i p z ) ( a ) e y = e y ( x ，y ，z ) e x p ( 一_ f f l z ) ( b ) 以= 以( z ，y ，z ) e x p ( 一i f l z ) ( c ) 爿j = 爿j ( x ，y ，z ) e x p ( 一i f l z ) ( d ) 其中，卢= 型。为参考折射率( 选择时应尽量接近导模的有效折射率) 。 宣，或，盘，也是e ，b ，以，q 的包络函数，如图2 - 1 所示： 2 1 3 缓变包络近似 图2 - 1 包络函数示意图 若包络函数随z 轴的变化足够缓慢，即所谓的缓变包络近似1 3 2 ，3 3 1 ( s l o w l yv a r y i n g e n v e l o p ea p p r o x i m a t i o n ，简称s v e a ) ，有 一馨+ 2 谬型。2 移型 o z 2出 。a z 其中妒表示上面给出的各包络函数或，鸟，或，也。 2 2 缓变包络近似条件下的电磁场全矢量方程 下面将给出缓变包络近似下波动方程的全矢量形式。 9 ( 2 。3 ) 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章有限差分光束传播理论 2 2 1 电场方程( e - f o r m u l a t i o n ) ： v v 五一n 2 k 2 豆= 0 其中k = i 石是自由空间的波数 运用v x v x = v ( v ) 一v 2 式( 2 4 ) 中的横向电场可以写成： v 2 9 t + n 2 嘲- v f ( v t e + 式( 2 2 c ) 可以写成 v ，心2 e f ) + 誓跏2 鲁= 。 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 - 7 ) 如果折射率聆沿z 轴缓慢变化，秀o n 2 ) e 就可以被忽略，式( 2 - 7 ) 就可以近似写成 鲁“一专v ，如2 e ) ( 2 8 ) 式( 2 8 ) 代入到( 2 - 6 ) 得： v 2 局+ n 2 k 2 e = 一v ，( v ，i n n 2 互) 或者写成x , y 方向的分量式： v 2 脚2 旭= 一去掣驴夏0 百a l n n 2 b ) v 2 e y + r t 2 k 2 髟= 一万t 3 a l n n 2 驴导( 等b ) 假设e ，= 重，b 出 其中n o 是参考折射率。 代入式( 2 9 ) 或者( 2 1 0 ) 并且利用慢变化包络近似( 2 - 1 2 ) 矧oz22nokoz lo z 得到近轴矢量波方程 j - z e t - ：a 。怠；+ a ，琶y v _ j 妥：a ，毛y a 。琶l j 茜刮”2 y 枷l 其中 ( 2 9 ) ( 2 1 0 a ) ( 2 1 0 b ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 a ) ( 2 1 3 b ) 曼墨些里奎兰竺主型茎兰兰堡笙茎 蔓三量查里茎坌垄壅堡塑里堡 如宣= 上2 州, f z 孙f l ：z 2 或) 芬“ 枷2 或 ( 2 - 1 4 a ) 如匆= 琢11 丽0 2b + 导陪讣f 帕叫( 2 - 1 4 b ) 向每= 赤怯 讣茜引( 2 - 1 4 e ) 厶摩= 赤 旦鼹驴讣杀忘 ( 2 - 1 4 d ) 从式( 2 1 3 ) 可以看到由于电磁波的矢量特性，横向电场元之间偏振相关并且相互耦合。 4 ( i ，j = x ，y ) 表明当横向截面折射率变化很大或者不连续时场量的矢量特性就显得很重 要；此时，就包含一个边界条件的问题，因为偏振相关项( i e ，如厶) 和耦合项 ( i e ，南，厶o ) i e 是由于e 和乓在沿x , y 方向通过折射率界面时的不连续性产生的。 2 2 2 磁场方程( h f o r m u l a t i o n ) 与电场矢量波相类似，磁场方程式 v x v x 詹一行2 尼2 曰一丁1v 行2 ( v 曰) = 0 ( 2 1 5 ) 玎 写成横向分量形式近似为： v 2 帅2 帆一吉芳( 等一- 粗- i f - ) = 。( 2 - 1 6 a ) v 2 h y + n 2 k 2 以 等c 警一挚= 。 渤， 假设： e ：矗p 一眠2( 2 1 7 ) 并且假设慢变化包络近似 z 慨刮剖 沼 由式( 2 - 1 6 ) 推出 i 等= b 。鱼舯，鑫y 。 她n h l 她y j 要呜ay 屿a x j 否亨26 w h y + b ”hx ( 2 1 9 a ) ( 2 1 9 b ) 翌墨墅曼查量塑兰竺茎兰兰堡堡三 至三兰宣堡茎坌垄塞鲎茎里堡 其中： 吃或= 击 等崭【旦专誓卅瑚啊 亿z 岛= 击 等村去专釉m 2 制岛 池2 岛2 k , , oj 盟0 y 函彳【烈n w - 峨夏- - ) 】 亿z 反= 击 茜彳c 昙c 吉告，】 ( 2 - 2 0 d ) 为参考折射率。此时同样也包含一个边界条件的问题，因为a 幺砂以及a 吼o x 在沼rx , y 方向通过折射率界面时的不连续使得偏振相关项( i _ e ，如厶) 和耦合项( i e ，如，厶o ) 产生。关于边界条件的处理问题我们会在下面详细介绍。 在折射率沿波传播方向变化缓慢的条件下，式( 2 1 3 ) 和( 2 1 9 ) 表示了矢量波在介 质中的传播。一旦确定了横向重和疗就可以得到功率 尸( z ) = i 1 ( 茸囊+ 丘x 廖) 砌 ( 2 2 1 ) 2 3 数值处理方法 上一节给出的波方程的各种形式，还无法使用计算机来求解。下面将这些波方程离散 化，给出适合于计算机求解的数值计算方法。数值离散化包括两个方面，一个是垂直传播 方向的横截面上的数值处理，另一个是在传播方向上的数值处理。以下数值处理方法都基 于缓变包络近似。由于磁场与电场的处理方法非常相似，本文只导出电场的数值表达式， 磁场的表达式可以类似地导出。 2 3 1 电场的纵向处理 纵向处理主要是解决传播方向上相邻两个截面上场的关系问题，也就是如何处理对z 的一阶偏微分问题。为不失一般性，考虑如下一阶偏微分方程 a o z = ，( 声) ( 2 - 2 2 ) 式中，( 庐) 为一个函数。这里相邻两个截面分别用，和，+ l 表示，第，个截面上的场为已知， 第，+ 1 个截面上的场待求，两截面的间距为止，如图2 - 2 ： 2 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章有限差分光束传播理论 a 庐f a z = ，( ) ( 2 2 2 ) 式中，( 妒) 为个函数。这里相邻两个截面分别用，和f + 1 表示，第，个截面上的场为己知， 第，+ 1 个截面上的场待求，两截面的间距为止，如图2 2 ： 差分项可以表示为： 图2 - 2z 方向的差分示意图 型：绁 ( 2 2 3 ) 出位 如何选取式( 2 - 2 2 ) 中( 庐) 将直接影响数值精度和数值稳定性。下面给出几种选取方法【3 7 1 。 前向欧拉法：选取式( 2 - 2 2 ) 右端项为第，个截面上的值，有 庐“1 = + ，( 矿) i ，a z ( 2 2 4 ) 显然，这是一种显式方法，只要知道前一个截面的场，即可直接求得下一个截面的场值。 其优点是算法简单，计算速度快，不需要迭代。 后向欧拉法：选取( 2 - 2 2 ) 式右端项为第，+ 1 个截面上的值，有 妒= + ，( 砒。s t , ( 2 - 2 5 ) 这是一种隐式方法，算法较复杂，如果以) 为非线性函数，不能直接由前一个截面场值 得到下一个截面的场值。 梯形法：选取( 2 2 2 ) 式右端项为第f 个截面和第，+ 1 个截面场的平均值 妒“1 = 妒7 + o 5 ，( 庐) i ，+ ，( 庐) j ，+ ，】z ( 2 - 2 6 ) 这也是一种隐式方法，较常用。 v o nn e u m a n n 法：该方法是前三种的综合，形式为 声1 = + ，( 庐) i ，+ ，+ ( 1 + 叩) ，( 妒) l ，】z ( 2 - 2 7 ) 1 3 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章有限差分光束传播理论 式中玎为控制因子，用来控制差分格式。r = 0 时即为前向欧拉法，r = 1 时即为后向欧拉法， 玎= 0 5 时即为梯形法。野的取值范围在0 到1 之间，在实际应用中，也不是随便取的， 因为其取值直接影响到数值精度和数值稳定性。 收敛性f 3 5 l 是指当步长趋近于零时，差分格式的解是否收敛到微分方程的真实解。经过 验证，上述差分格式的收敛性是没有问题的。稳定性是指计算过程中累积误差是无限增加 还是可以控制。对于沿z 方向折射率缓变的情况，r = 0 5 时，上述差分格式是稳定的。 数值损耗是指由数值计算引起的沿传播方向上的能量损失，是非物理性损耗。研究表明， r = o 5 时数值损耗最小，r = 1 时数值损耗最大。 因此，综合考虑数值稳定性和数值损耗两个因数，在计算中应仔细选择合适的玎值， 使得稳定性和数值损耗都可以接受。一般情况下，玎值应选取比o 5 稍大而接近o 5 的数 【3 6 】。 数值色散是指由于将连续物理量离散化，不可避免地会造成一定程度的相位误差。要 减小数值色散需要足够小的截面剖分网格，而与刁值的选取无关。并且在z 向折射率缓变 的前提下，传播步长z 对数值色散的影响是可以忽略的【3 卯。 2 3 2 电场的横向处理 在横向上采用中心差分法对导数进行数值离散，如图2 - 3 所示。 1m m - l ，f i + i j1f ( m ，n 十1 )，( 仃l + 1 ，n + 1 ) ji 1 - l n 1 ) 1 r m ，n ) 研1 ，n ) ( m - 1 ，n - 1 ) ( m ，n 1 )d m + 1 ，r l 一1 ) r1 r1 图2 3 横向均匀有限差分网格结构 1 4 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章有限差分光柬传播理论 对于变量庐( x ，) ，) ，在点( i n ，n ) l - ，庐的一阶和二阶导数可差分为： 丝l：生虫! ：型= 生塑= ! ! 型( 2 2 8 a ) 苏h 。) 2 缸 翌l：壁! 竺! 坚坠二生! 竺：竺二! !( 2 2 8 b ) 砂b ) 2 a y ! 塑|：生! 竺! ! 竺! 生( 竺二! ：型二兰生f 竺! ! !( 2 2 8 。) 缸2 k 。) ( 缸) 2 1 塑l：生! 竺：竺1 2 生! 竺! 兰= 1 2 二! 生! 竺：竺2 ( 2 2 8 d ) 矿乙，。弋开一 “。 等l 2 志湫卅“卜撕“川一1 ) - o ( m - l , n + 1 ) + 烈一功1 ) ( 2 _ 2 9 ) 器l ，2 志湫斛功“卜( m - l , n + 1 ) - 烈卅_ 1 ) + 烈肛功_ 1 ) ( 2 - 3 0 ) 对全矢量波方程( 2 1 3 ) 和( 2 1 9 ) ，纵向采用v o n n e u m a n n 法，横向采用( 2 - 2 8 ) 式所示的中 心差分法，可以得到有限差分形式。 2 3 3f v - b p m 的有限差分形式 下面讨论利用有限差分的方法解式( 2 1 3 ) 和( 2 1 9 ) 。有限差分方法中将连续的空间 用计算区域的离散的格点来表示。即：x = m a x ，y = h 缈，z = l n z 。电场以及磁场的离散式如 下： e f o r m u l a t i o n ： 如或= 赤 型丝盟丝遒盟幽+ ( 2 _ ，1 ) 塑业坐型娑婴盟唑业+ 。z ( 刚，沪椰：忘( 珊，一) ) ( 缈) 2 。 其中 r e ：型! 翌圭! ! 冬l ( 2 3 2 。) 1 m + l , n n 2 ( m 1 ，n ，) + 船2 ( m ，l ，f ) 。 r 基= 磕一1 ( 2 - 3 2 b ) 分别是通过m 缸和( 埘+ 1 ) 缸之间的折射率界面的传播和反射系数。 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章有限差分光束传播理论 冉赤 堂业竖粤茅缒幽+ ， ! ! ! ! ! ：! ! ：三! ；! ：；竺! ：! ! ：! ! ! 二塑一【n 2 ( 聊，n ，d 一碡】t 2 或( 册，一) 其中： 。：了j 丛掣型k ( 2 - 3 4 a ， “1 ”2 ( 卅，托1 ，) + n 2 ( m ，r t ，) 7 r 。e n i = t 。f 月“一1 分别是通过n 缈和+ 1 ) 缈之间的折射率界面的传播和反射系数。 同样地，a 。，和a 。可以表示为： 彳。童，= 志 【旦i 揣一1 】童，( m + l , n + 1 ) 2 ( 埘+ 1 ，r 一1 ，) h 2 ( 册+ 1 ，”，) 2 ( 删一1 ，”+ 1 ，) 对2 ( 卅一l ，疗，) 一1 】童。( ，”+ l ，刀一1 ) 一1 】- 屯( ，”一l ，+ 1 ) + 【鬻嵩者叫峨c m - l , n - i ， 爿，官，= i 瓦i 基瓦i 旦：搿一1 】窟，( m + l , n + 1 ) 一 t 等杀岩刈正c m - l , n + l ，一 c 鬻岩等叫也c m + l , n - 1 ，+ r 蔫等等叫峨c m - l , n - i ， h - f o r m u l a t i o n 疋丘= 赤 业坐等等幽+ z kl j 7 ：。或( m ，n + 1 ) 一【z 品+ + 7 ：0 。】西：( 研， ) + 7 善+ 。盘( ，n - 1 ) 一( 缈) 2 一【玎2 ( 肘，月，) 一瑶】t 2 z l ( 脚，疗) ) 句= 赤 坐业气产业业+ 碟玩沏+ l ，n ) 一【碟 + 碟。成( 埘，”) + 碟抽或( m - 1 ，n ) 一 ( 缸) 2 一i n 2 伽，”，) 一瑶】t 2 詹。( 埘，h ) 1 6 ( 2 3 5 b ) ( 2 3 6 a ) ( 2 3 7 a ) ( 2 3 7 b ) 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章有限差分光束传播理论 其中： ，2 n 2 ( m 1 ，n ，) “扎一2 万两五五万i 丽历历 。= 而寰者 同样地，b 。和b ，表示为： 也= 丽1 面( 1 一端埘，( m + l , n + 1 ) 一 【l - 端”，( m + l , n - i ) 一 【1 - 端卅，( m - l , n + 1 ) + 【1 - 蔫揣埘，( m - l , n - i ) ) 耻面面1 【l 一端闽m + l , n + 1 ) 一 【l - 端”，( m - l , n + 1 ) 一 【l _ 耥】前，( m + l , n - i ) + 【l - 耥”，( m - l , n - 1 ) ) 有限差分表达式： 横向电场： 【l + j a z a a 。】雪：“= i 1 一j a z ( 1 一a ) a 。】宣：一j a z a 。营j 1 + j a z a a ，】雪，1 = 【l j a z ( 1 一a ) a 。】言；一j a z a ，童： 横向磁场： i t + j a z a b , , 1 h ：“= 【1 一j a z ( i 一口) b 。】疗：一j a z b 。疗； 【l + j a z a b 蚪】疗，=