（固体力学专业论文）基于小波分析数值求解几类非线性动力学问题.pdf

硕士学位论文 摘要 求解动力学偏微方程特别是非线性动力学偏微分方程对力学的发展起到了 非常重要的作用。目前直接求解非线性偏微分方程的方法还比较少，主要是进行 数值求解，再就是用g a l e r k i n 截断将偏微分方程转化为在时域上的常微分方程， 然后进行求解。小波分析已成为当前应用数学中迅速发展的新领域，它可以解决 f o u r i e r 分析不能解决的许多困难问题，是近年来在研究工具及方法上的创新，己 成为众多学科共同关注的热点。小波方法能够很好的分析函数的局域变化特性， 因此它非常适用于非线性偏微分方程的数值求解。拟小波数值算法是一种结合全 局方法的高精度和局域方法的稳定性的计算方法。本文主要是引入拟小波数值算 法，对几类典型的非线性动力学问题的数值求解进行了研究。 全文共分为六章。第一章为绪论，综述了小波分析和非线性动力学研究的历 史和现状，扼要的介绍了本文的研究目的和主要研究成果。第二章阐述了小波分 析的基本理论，为拟小波数值离散算法奠定了理论基础。第三章研究了拟小波算 法和离散奇异内积的算法，殊途同归得到相同的数值离散格式，统一了拟小波和 离散奇异内积的理论，说明离散奇异内积事实上是一种拟小波算法。第四章针对 拟小波数值离散算法提出一种新的边界处理方法，并对扩散动力学问题的拟小波 数值求解进行了研究。第五章研究了两个典型的非线性动力学偏微分方程，m k d v 方程和k l e i n g o r d o n 方程的拟小波解法，验证了拟小波数值算法求解此类非线性 动力学偏微分方程的有效性和精确性。第六章研究了弹性结构中物理非线性柱和 板条周期性强迫激励的动力学响应问题。本文利用拟小波数值方法进行了动力响 应计算，并分别与摄动解和g a l e r k i n 方法的求解结果进行了数值比较，结果显示 了良好的吻合程度。物理非线性板条的动力学响应问题中，结合p o i n c a r e 映射， 相平面轨迹及时程曲线判定物理非线性板条中存在着混沌的可能，说明拟小波数 值方法能够很好的分析混沌现象。反过来，也说明了g a r l e r k i n 截断的合理性。最 后总结了全文，并对小波分析在力学中的应用前景进行了展望。 关键词：非线性方程；数值解法；小波分析；拟小波；物理非线性：混沌 基于小波分析数值求解几类非线性动力学问题 a b s t r a c t t h es t u d yo f s o l v i n gp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s h a sp l a y e da ni m p o r t a n tr o l ei nt h e d e v e l o p m e n to f m e c h a n i c s a tp r e s e n t ，t h e r ea r ef e wm e t h o d st os o l v ep a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s o n eo f t h ep r i m a r ym e t h o d st os o l v et h e mi sn u m e r i c a lm e t h o d ，a n dt h eo t h e r i sg a l e r k i nm e t h o d ，w h i c hc h a n g ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si n t on o r m a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a n dt l l e ns o l v et h e mw i t ht h et r a d i t i o n a lm e t h o d w a v e l e t sa n a l y s i sc a ns o l v e m a n yd i 伍c u l tp r o b l e m st h a tf o u r i e ra n a l y s i sc a nn o ts o l v e ，w h i c hh a sb e c o m ean e w b e n c hd e v e l o p i n gr a p i d l yi nm a t h e m a t i c a lf i e l di ti sa ni n n o v a t i o no ft h et o o l sa n d m e 曲o d sf o rr e s e a r c hr e c e n t l y , a n db e c o m e st h ef o c u so fm a n ys u b j e c t s j 鼢p e l e t s a n a l y s i sh a sw e l ll o c a lp r o p e r t y , s o i ti sv e r yg o o df o rt h en u m e r i c a ls o l u t i o no fn o n l i n e a r p a r t i a le q u a t i o n s t h en u m e r i c a lm e t h o db a s e do nq u a s iw a v e l e t s i san e wn u m e r i c a l m e t h o dt h a th a sn o to r d yt h eh i g ha c c u r a c yo f g l o b a lm e t h o d s b u ta l s ot h ef l e x i b i l i t yo f 1 0 c a lm e t h o d s t h en u l i l e r i c a lm e t h o db a s e do nq u a s iw a v e l e t si si n t r o d u c e dt os t u d yt h e n u m e r i c a ls o l u t i o no fs o m e t y p i c a lp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h ew h o l ep a p e rc o n s i s t so fs i x c h a p t e r s i nt h e f i r s t c h a p t e r , t h ea c t u a l i t y o f w a v e l e ta l l a l y s i s n o n l i n e a rd y n a m i c sa n dt h e i rf o r e g r o u n dh a v eb e e ni n t r o d u c e da sw e l l a st h em a i nt a s ka n dt h em a i nw o r ko ft h et h e s i s i nt h es e c o n dc h a p t e r , t h e 也e o r yo f w a v e l e t sa n a l y s i si si n t r o d u c e da st h eb a s eo ft h en h t l e r i c a lm e t h o db a s e do nq u a s i w a v e l e t s i nt h et h i r dc h a p t e r t h en u m e r i c a lm e t h o d sb a s e do nq u a s iw a v e l e t sa n d d i s c r e t es i n g u l a rc o n v o l u t i o nh a v eb e e ns t u d i e d i tp r o v i d e st h a tt h ed i s c r e t es i n g u l a r c o n v o l u t i o ni san u m e r i c a lm e t h o db a s e do nq u a s iw a v e l e t si nt h ef a c t b e c a u s et h es a m e d i s c r e t ea l g o r i t h mc a nb eg o t t e nf r o mt h et h e o r yo f q u a s iw a v e l e t sa n d d i s c r e t es i n g u l a r c o n v o l u t i o nr e s p e c t i v e l y i nt h ef o u r t hc h a p t e r , an e wm e t h o do fb o u n d a r yt r e a t m e n tf o r t h em e t h o do f q u a s iw a v e l e t si sc o n s t r u c t e d ，a n dt h en u m e r i c a ls o l u t i o nb a s e do nq u a s i w a v e l e t so fd i f l u s i o np r o b l e m sh a sb e e ns t u d i e d i nf i f t hc h a p t e r , t w ot y p i c a ln o n l i n e a r d y n a m i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，m k d ve q u a t i o na n dk l e i n g o r d o ne q u a t i o n ，h a v e b e e ns t u d i e dt ot e s tt h er e l i a b i l i t ya n d e 街c i e n c yo f t h en u m e r i c a lm e t h o db a s e do n q u a s i w a v e l e t sf o rs o l v i n gt h en o n l i n e a rd y n a m i c p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n so f t h i sk i n d i n t h es i x t hc h a p t e r t h ed y n a m i cr e s p o n s e so ft h en o n l i n e a re l a s t i cp o l ea n dp a n e lu n d e r p e r i o d i cl o a dh a v eb e e ns t u d i e d t h en u m e r i c a lm e t h o d b a s e do n q u a s iw a v e l e t sh a sb e e n u s e di nt h ec o m p u t a t i o no fd y n a m i cr e s p o n s e s ，t h ec o m p u t a t i o ng o t t e nb yw h i c ha g r e e w e l lw i t ht h er e s u l t sg o a e nb yp e r t u r b a t i o nm e t h o da n dg a l e r k i nm e t h o d i nt h el a t t e r p r o b l e m i tp r o v i d e st h en u m e r i c a lm e t h o d b a s e do n q u a s iw a v e l e t sc a na n a l y z ec h a o sf o r t h a ti t g i v e st h ep o s s i b i l i t yi nt h en o n l i n e a re l a s t i cp a n e lt h r o u g ht h ep o i c a r em a p p i n g ， p h a s ep l a n ea n dt i m eh i s t o r y o nt h ec o n t r a r y ，i tp r o v i d e st h er a t i o n a l i t yo fg a l e r k i n t r u n c a t i o n i nt h el a s t ，t h es u m m a r yo ft h i sp a p e ra n dt h ep r o s p e c to ft h ea p p l i c a t i o no f w a v e l e t sa n a l y s i si nm e c h a n i c sa r eg i v e n k e yw o r d s ：n o n l i n e a re q u a t i o n ；n u m e r i c a ls o l u t i o n ；w a v e l e t sa n a l y s i s ；q u a s i w a v e l e t s ；p h y s i e a i l yn o n l i n e a r ：c h a o s 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担。 作者签名：主4 锯牙 日期：z 。每年月p 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名： 导师签名： 每j 镑永 栅 日期：2 口。争年月f 口日 日期：2 。弘年月口日 硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 小波分析发展简介及研究现状 长期以来，人们一直寻找具有各种优点的特殊函数来分解任意函数在这方 面，f o u r i e r 分析占有不可替代的垄断地位。法国数学家f o u r i e r 早在18 0 7 年曾断 言：任何一个2 石周期的函数都是它的“f o u r i e r 级数和”。从此f o u r i e r 分析无论 在纯粹数学还是应用数学领域，甚至在工程技术发展史上长期占有及其重要的地 位。f o u r i e r 分析之所以能发挥巨大作用是由于它具有一些很优异的特性。首先， f o u r i e r 分析的基函数是组正交函数，易于分解，即易于计算各分量的大小。其 次，f o u r i e r 变换的物理意义非常明显，有很重大的实用价值。再次，f o u r i e r 变换 可以进行卷积运算，这给频域中描述振动特性带来很大的运算上的方便。并且， 离散f o u r i e r 变换已经发展了快速算法f f t ，可以在很短的时间内进行谱分析，实 测时候有可能做到实时分析。 但是，f o u r i e r 分析也有它的不足之处和局限性。它分辨率不高，它只适用于 稳态信号的分析，不能适用于非稳态信号的分析。三角基在时域上没有局部化， 因此不宜做局域分析，全域基给计算带来了不便。f o u r i e r 分析只在2 ( r ) 有效。 对于胪( r ) ( p 2 ) ，f o u r i e r 系数只是形式展开，而不能刻划函数的大小和性态。 针对这些矛盾，多年来人们试图找一种理想的正交函数系，用它们来做变换时既 保留f o u r i e r 变换的优点又能弥补f o u r i e r 变换的不足。这在理论和应用中都有非 常重大的意义。而小波分析恰好突破了f o u r i e r 分析的这些局限性，克服了f o u r i e r 分析不能解决的许多困难。 小波分析是一种新的变换分析方法，它的主要特点是通过变换能够充分突出 问题的某些方面的特征 2 - 15 】。自1 9 8 0 年法国地球物理学家j m o r l e t 首次提出了“小 波”的概念以来，由于y m e y e r ，s ，m a l l a t 已及i d a u b e c h i e s 等的奠基工作，小波 分析迅速发展成为一门新兴学科耻 4 。”。2 ”。从小波变换的数学理论上来说，它是 继f o u r i e r 变换之后纯粹数学和应用数学完美结合的又一光辉典范，被誉为“数学 显微镜”【6 7 。9 】。从纯粹数学的角度来说，小波分析是调和分析( 包括函数空间， 广义函数，f o u r i e r 和抽象调和分析等) 这一重要学科大半个世纪以来的工作结晶， 是调和分析发展史上的又一里程碑式的进展；从应用科学和技术科学的角度说， 小波变换又是计算机应用、信号处理、图象分析、非线性科学和工程技术近几年 来在方法上的重大突破。实际上，由于小波分析在它的产生、发展、完善和应用 的整个过程都受惠于计算机科学、信号和图象处理科学、应用数学和纯粹数学、 基于小波分析数值求解几类非线性动力学问题 物理科学和地球科学的众多科学研究领域的专家，学者和工程师的共同努力，所 以，现在它已经成为科学研究和工程技术应用中涉及面极广的一个热门话题 【2 8 一s 1 1 。 从小波分析的发展过程来说，大致可以分为四个阶段。 ( 1 ) 萌芽时期。1 8 7 3 年，e d u b o i s r e y m o n d 构造了一个实变量x 的2 万周期的 连续函数，它的f o u r i e r 级数在给定点是发散的。如果f o u r i e r 的断言是正确的， 它也不是f o u r i e r 自己预想的那种意义。避免d u b o i s r e y m a n d 提出的困难问题的 途径之一就是：求得另外的正交族，使得对于在三角族情形发生的d u b o i s r e y m a n d 发散现象在此时不会发生。而这一路线打开了通向小波之门。小波 的发展历史可以追溯到1 9 0 9 年a h a a r 的工作。从现代小波分析的观点来看，在 1 9 3 0 年前后有许多与小波有关的新方向出现，其中有l e v y ，l i t t l e w o o d ，p a l e y ， f r a n k l i n 以及l u s i n 的工作h ”。 ( 2 ) 孤立应用时期。主要特征是一些特殊构造的小波在某些专业领域的零散 应用。8 0 年代中期有一批数学家等领导的“f r e n c hs c h o o l ”环绕基本小波概念为 这一课题奠定了坚实的数学基础。这个时期最具代表性的工作是法国地球物理学 家j m o r l e r t 和法国理论物理学家a g r o s s m a n n 第一次把“小波”用于分析处理地 质数据，引进了以他们名字命名的时间一尺度小波，即g r o s s m a n n m o r l e t 小波 16 , 1 9 , 2 0 1 。j m o r l e t 与a g r o s s m a n 共同提出连续小波变换的几何体系，其基础是平 移和伸缩( 即放射群) 下的不变性，这使得能将个信号分解成对空间和尺度( 即时 间与频率) 的独立贡献，同时又不丢失原有信号的信息小波作为函数，它的平移 伸缩系用于在平方可积空间l z ( r ) 展开的概念是由g r o s s m a n 和m o r l e t 首先引入 的。这个时期的另一个代表性工作是1 9 8 1 年j ，s r o m b e r g 对a h a a r 在1 9 1 0 所给 出的h a a r 系标准正交小波产生的正交基的改进。同时，著名的计算机视觉专家 d m a r r 在他的“零交叉”理论中使用的可按“尺度大小”变化的滤波算子，现在 被成为“墨西哥帽”的小波也是这个时期有名的工作之一。这部分工作与后来成 为sm a l l a t 的小波分析构造理论支柱之一的“多尺度分析”或者“多分辨分析” 有密切关系1 2 1 - 2 2 ，。这个时期一个有趣的现象是各个领域的专家，学者和工程师在 完全不了解别人的研究工作的状态下巧妙的独立的构造自己需要的“小波”。虽然 如此，通过全局可以发现，这些专家、学者和工程师所从事研究的领域广泛分布 于科学和技术研究的许多方面，因此，这个现象从另一个侧面预示了小波分析热 潮的到来，说明了小波理论产生的必然性。 ( 3 ) 小波研究的热潮。真正的小波热潮开始于1 9 8 6 年，当时法国数学家 y m e y e r 成功的造出了具有一定衰减性质的光滑函数矿，这个函数的二进尺度伸 缩和二迸整倍数平移产生的函数系构成了著名的函数空间2 ) 的标准f 交基。 这项成果标志着“小波分析”新时期的到来。在此之前，学术界普遍认为不会存 硕士学位论文 在性质如此好的函数。实际上，不仅数学家这样，其他领域的学者也有这种倾向， 比如前述提到的那些科学家或者放弃进一步研究，或者放弃对小波性质的特殊要 求。m e y e r 在连续小波理论的容许性及重构公式之后承认了c a l d e r o n 恒等式，之后 又与比利时数学家d a u b e c h i e s 以及g r o s s m a n 通过构成r ( r ) 的一个准正交完全集 的方式。选取连续小波空间的一个离散子集，称之为框架，并证明了一维小波函数 v 的存在性【4 】，l e m a r i e 将这一理论推广至n 维情形，同时m e y e r 和b a t t l e 又分 别给出了具有指数衰减特性的小波函数。它的平移伸缩系l 2 ( r ) 的规范正交基， 从尺度函数出发构造出了小波正交基。新理论对相关学科的发展有着重要的影响， 1 9 8 8 年m a l l a t 将计算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入到小波分析中，提出 多分辩分析( 或逼近) 概念，用多分辨分析来定义小波，成功的统一了此前j s r o m b e r g 、y m e r y e r 、p l e m a r i e 和g b a t t l e 的各自的构造方法，给出了构造正交 小波基的一般方法【z “。同时，s m a l l a t 还简洁地得到了离散小波的数值算法即 m a l l a t 分解和合成算法，并将这一理论用于图像分析和完全重构。m “l a t 将小波 理论与信号处理联系起来，开创了小波理论在信号处理中的应用。值得一提的是 d a u b e c h i e s 基于离散滤波器迭代方法构造了紧支集规范正交小波基，证明了具有 有限支集正交小波基的存在性，把在此之前的所有正交小波的构造统一起来，并为 以后的构造设定了框架。随后她又发表了长篇综述，对小波理论的发展和推广 起到了促进作用。c k c h u i 和中国籍学者王建忠基于样条函数构造出单正交小波 函数，并讨论了具有最好局部化的尺度函数的一般构造方法 3 3 1 。 ( 4 ) 全面应用时期。从1 9 9 2 年开始，小波分析方法进入全面应用阶段。在前 一段研究工作的基础上，特别是数字信号和数字图象的m a l l a t 分解和重构算法的 确定，使小波分析的应用迅速波及科学研究和工程技术应用研究的许多领域。时 至今日，小波分析的应用范围还在不断的扩大，许多期刊都刊载与小波有关的文 章，许多学科领域的地区性和国际性学术会议都有设计小波分析的各种类型的论 文、报告，同时，在国际互联网和其他有较大影响的网络上，与小波有关的书籍、 论文、报告，软件随时随地都可以找到并可以免费下载。这样的局面使得任何人都 不可能完全了解小波分析全面的研究和应用情况，而只能择其中相关的内容进行 跟踪、消化和展开深入研究。 总之，小波分析的应用十分广泛，包括：数学领域的许多学科；信号分析、图像 处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别：音 乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等 方面。例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、 微分方程求解、控制论等；在信号分析方面的滤波、去噪音、压缩、传递等：在图 像处理方面的图像压缩、分类、识别与诊断、去污等；医学成像方面的减少b 超、 c t 核磁共振成像的时间，提高分辨率等。 基于小波分析数值求解几类非线性动力学问题 ：= ：=。= = = = ! ! ! ! ! ! ! = = = = ! ! ! ! = ! = = = = = = ! = = = ! ! ! ! ! ! = 在力学领域，小波分析在振动分析和故障识别中得到了较多的应用1 4 4 , 4 7 - 5 1 a 它在数值求解方面的优势在力学研究中有着极为广阔的前景 5 5 - 7 9 】。段继伟，李启 光对有限区间内四界样条小波进行了构造m 】。蒋建国，周绪红，邹银生等对小波 分析在单自由度动力系统分析中的应用进行了研究瑚) 。贾沛璋研究了正交小波变 换的向量空间算法m ，。彭瑞仁，陈基明，彭康构造了一种具有消失矩的小波基m 】a 田立新，许伯强，刘曾荣研究了b u r g e r s 方程的小波近似惯性流形及数值分析 s 7 1 ，以及周期小波基下b u r g e r s 方程的数值解m 】。 o o m e ss o i n am 和c o r t i n a e l s a 对小波g a l e r k i n 方法的收敛估计进行了研究【6 0 】。mqc h e n ，ch w a n g ，yp s h i h 研究了边界区域小波o a l e r k i n 方法的数值逼近算法【6 2 1 。戈新生，张奇志和刘 延柱基于小波分析对空间机械臂运动规划的最优控制进行了研究【。】。沈远彤，羿 旭明用小波数值方法处理了断裂分析中的奇异性问题m 】。骆少明，张湘伟研究了 一类基于小波基函数插值的有限单元方法t 6 s ，。周又和，王记增研究了基于小波理 论的悬臂板压电控制模式 i s 6 。王杰，周又和研究了压电智能梁振动控制的样条小 波分解法m ，。刘海峰，代正华和陈峰等研究了混沌动力系统小波变换模数的关联 维数啡】。w e igw 基于小波分析理论在微分方程数值求解方面做了大量的研究 1 2 非线性动力学发展简介及研究现状 1 6 8 7 年，人类历史上最伟大的科学家n e w t o n 出版了划时代的巨著自然 哲学之数学原理，奠定了经典力学的大厦。在这部书中，n e w t o n 从力学的基本 概念( 质量、动量、惯性、力) 和基本定律( 运动三定律) 出发，运用他所发明的微积 分这一锐利的数学工具，不但从数学上论证了万有引力定律，而且把经典力学确 立为完整而严密的体系，把天体力学和地面上的物体力学统一起来，实现了物理 学史上第一次大的综合。 动力系统是力学中的传统命题，凡是基于牛顿力学所建立的运动控制微分方 程组目口为动力系统。动力系统存在着非线性因素，它们有来自系统的物理方面、几 何方面、结构方面、运动方面、耗散方面等。正是由于动力系统中不可避免的存 在着广泛的非线性因素，使得动力系统的动力行为变得十分丰富和复杂，们对它 的不断探讨和认识，逐渐形成了区别与经典牛顿力学的一门新学科一非线性动力 学i s 吼“】。二次世界大战以后，由于科学技术的迅速进步，国际贸易和商业竞争的 加剧，实际工程结构向高、大、精、尖方向有了极大的发展，很多动力机械都设 在动力学的失稳边界附近，因而为研究振动问题需要更精确的数学模型。线性模 型在很多晴况下不能满足、且无法反映物理系统在所有条件下的动力学行为。线 性理论和客观世界的动态行为之间的差异既不能用增加系统的自由度数目、逛无 硕士学位论文 = ：! ! = = =- - - = = = = = = = ! = = = = = = = = = = = = = ! = = = = = = = ! = = = = = = = = = = 法用现代数值计算来弥补。理论和实验结果一致性的要求只有用非线性的模型才 可以达到。 事实上，一切力学问题从本质上说都是非线性的，它们一般由非线性方程来 描述m - s g l 。对于非线性的动力学方程，人们除了直接寻求它们封闭形式的解析解 之外，还经常用线性化的方法化为线性方程去求解。然而，理论和实践分析都发 现，非线性方程在一般情况下都不存在封闭形式的解析解。线性化方法更是有很 大的局限性，我们是因为线性模型不能满足需要才选择的非线性模型，线性化在 很大程度上相当于又回到了线性模型。因此这些方法都不能满足非线性动力学问 题的研究的需要。 非线性动力系统的数学模型为非线性微分方程。求解非线性偏微分方程对于 力学的发展，包括固体力学和流体力学的发展都起了很重要的作用。同许多别的 物理分支不同，支配力学的方程基本上是非线性的。对于固体力学中的连续系统 的菲线性振动，诸如粱、弦、板、薄膜、圆盘和壳体，其动力方程是非线性的。 就性质上分，非线性的来源可能是几何的，惯性的，或者是材料的。对于流体力 学，不管是否计及粘性与可压缩性，其支配方程都是非线性的。由于非线性的存 在，精确解都是十分罕见的。它们通常是相似解，即利用过高度的对称性，将偏 微分方程化为常微分方程，或通过假设模态，将偏微分方程化为在时域上的常微 分方程忡1 。 早在1 9 6 6 年，e i s l e y 综述了弹性梁、环和弦的非线性变形，1 9 7 2 年， s a t h y a m o o r t h y 和p a n d a l a i 综述了圆盘、薄膜和环的大幅振动以及板和壳的大幅 振动，g r a n d a l l 讨论了在结构动力学中非线性所起的作用。m o c k e n s t u r n 等利用 二阶g a l e r k i n 截断研究了边界位移产生参数激励的轴向运动弦线线性振动的稳 定性和非线性振动的极限环【9 2 l 。k o i v u r o v 等研究了不受分布力作用且轴向运动为 匀速的情况哪】。文 9 4 ，9 5 1 研究了考虑非线性作用力干摩擦的作用情况。文 9 6 9 8 分别用g a l e r k i n 截断和直接摄动对连续系统做了近似分析。w i c k e r t 直接对描述 系统运动的偏微分方程的应用平均法研究了边界位移导致轴向运动的弦线受迫振 动i ”l 。f u n g 等研究了粘弹性运动弦线在轴向力涨落扰动下的瞬态响应t l o o l 。z h a n g 和z u 用多尺度法研究了粘弹性轴向运动弦线非线性自由振动和受迫振动 1 0 t m - 1 。 s z y s k o w s k i 等将平均法应用于粘弹性的稳定性分析o s 】。c e d e r b a u m 等应用多尺度 法研究了周期径向荷载作用下的粘弹性柱的稳定性i 1 0 6 1 。a b h y a n k a r 等对非线性简 支梁进行了研究，比较了由g a l e r k i n 截断得到结果和数值方法得到的结果1 1 0 7 1 。 n a y f e h 和g a l c h a n d r a n 用实验方法研究了金属和复合材料柔性梁一质量结构的 模态相互作用的影响以及周期运动到混沌运动的转迁o ”。r e s t u c c i o 等利用多尺 度法研究了具有惯性和几何非线性的不可伸长的柔性梁在弯一扭耦合时的非线性 基于小波分析数值求解几类非线性动力学问题 响应，并且发现从周期运动向混沌运动的转迁时通过环面倍化和环面破坏过程产 生的【1 0 9 。a b o u r a y a n 等使用m e l n i k o v 方法和数值方法分析了参数激励简支屈曲 梁的全局分叉和混沌动力学o l 。s v e n s s o n 利用实验、数值和解析方法研究了具有 横向约束的柔性梁的非线性动力学，并且发现了周期、概周期和混沌运动1 1 。c h i n 和n a y f e h 研究了简支一固定支撑柔性梁在主参数激励和3 ：l 内共振情况下的非 线性非平面运动问题i n 2 。a r a f a t 等研究了参数激励悬臂梁在主参数共振情况下的 非线性非平面运动动力学 1 1 3 。s i d d i q u i 等利用数值的方法分析了带有移动弹簧一 质量系统的柔性悬臂梁在内共振情况下的非线性动力学”。k r e i d e r 和n a y f e 使 用实验方法研究了两端固定支撑的柔性梁在横向激励作用下的单模态非线性动力 学”。l a c a r b o n a r a 等使用单模态g a l e r k i n 离散化方法和直接方法分析了柔性梁 的横向振动”。l e n c i 等利用m e l n i k o v 方法研究了放在弹性基础上的柔性梁的同 宿和异宿分叉”。n a y f e h 等考虑了两端固定支撑的柔性梁在3 ：l 内共振和1 ：3 内共振情况下非线性模态的分叉问题 i is 。文11 9 1 2 6 对各种支撑下的非线性粱、 柱的动力学行为进行了研究。文1 2 7 1 2 9 研究了承受移动载荷的梁的动力学行 为。 十九世纪，法国的大数学家、天体力学家p o i n c a r e 首先用几何和拓扑的观点 对研究天体力学问题进行了定性研究，他的工作和方法对非线性科学的发展有着 深远的影响。本世纪六十年代以来，随着近代科学技术的迅速发展，许多非线性问 题急需解决。大型高速电子计算机和有效的大规模算法的出现，使得人们能够对 非线性问题进行大量的数值计算和仿真，揭示了极其丰富的动力学现象。各种现 代数学理论的涌现为非线性研究提供了强有力的工具。于是，近二十年来，非线 性动力学无论从广度到深度都以空前的速度向前发展，成为当前十分活跃的力学 分支。 非线性动力学对当前方兴未艾的非线性科学的兴起起到先驱和核心的作用。 例如，经典力学在上个世纪就提出的关于物体运动稳定性的理论，不仅在第二次 世界大战中，被引用到自动控制理论中，大大缩短了其理论的形成过程：而且这 一理论在当前十分热门的混沌理论中又得到了应用。本世纪初在天体力学中发展 起来的摄动法，为近代非线性科学中的分岔理论及各种系统的非线性振动理论提 供了分析的手段，而两个世纪前在固体力学中提出的压杆失稳理论，则是分岔现 象的第一个科学例子。上个世纪末观察到的水中的孤立波，是非线性科学中孤立 子理论的先驱。为此提出的k d v 方程，至今仍是孤立子理论的典型方程之一，而 孤立子理论推动了光学中相应理论的发展，且成为实现现代光通信技术的关键。 6 0 年代由气象学中提出的流体力学问题，开创了混沌学的研究，从根本上改变了 经典物理中确定性的观点，也深深地影响了人们的自然观，而被认为是2 0 世纪科 学最伟大发现之。非线性动力学与其他自然科学和： 程技术中的非线性研究紧 硕士学位论文 密联系在一起，汇成非线性科学的洪流，对传统的科学观念产生了强烈的冲击， 成为近代科学技术的重要前沿领域。 1 3 本文的研究目的和主要内容 非线性动力系统的数学模型为非线性微分方程。与线性的微分方程不同，非 线性微分方程尚无有效的求解方法，很难得到精确的解析解。对于工程实际中的 非线性动力学问题，除了采用实验方法进行研究外，常用的理论研究方法有：几 何方法、解析方法和数值方法。 几何方法是研究非线性动力学的一种定性方法，它不仅能够得到直观的定性 结果而且可为其他研究方法提供理论依据，但是它的局限性是不能得到非线性动 力学的定量规律，而且传统的几何方法通常难以推广到高维系统。解析方法是研 究非线性系统的定量分析方法。通过精确的或者近似的寻找非线性微分方程的解 析解，得到非线性微分方程的运动规律，以及对系统参数和初值的依赖关系。但 是能够精确求解的非线性系统是非常有限的。应用较多的近似解析方法，它主要 使用于弱非线性系统，譬如摄动法、谐波平衡法平均法、多尺度法和渐近法。对 于非线性偏微分系统描述的无穷多自由度的连续体系统，一般用模态正交性或 g a r l e r k i n 方法化为只含有时间变量的常微分方程组，然后利用近似解析的方法进 行处理。任何一种近似解析方法所得到的结果都是近似结果，未必有良好的稳定 性，因此可能不是实际问题中出现的运动。 数值方法是研究非线性动力系统的数值计算结果。数值方法通过数值求解非 现在现行微分方程，得到非线性系统在特定的参数条件和初始条件下的运动规律。 由于处理非法线性动力学问题的数学工具尚不完备，数值方法起着非常重要甚至 是不可替代的作用。数值方法在非线性动力学中得法突出作用是发现新现象，这 己成为非线性动力学现代发展的突出特点。数值方法可以补充理论研究结果，是 一些理论工作者结果定量化，或揭示有关条件不成立时发生的情况。数值方法得 到的直观结果可以为理论研究提供启示，激发灵感。此外，数值方法还具有检验 理论结果的作用，在非线性动力学问题的研究中，数值计算和实验验证往往是理 论分析的最终检验i s 7 ) 。 在过去几十年中，全局方法和局域方法在数值求解非线性动力学问题中都取 得了一定的成功。全局方法能够达到很好的精度，但是局域方法在处理复杂的几 何形状和边界条件时有着更好的稳定性。因此，在科学和工程应用中，我们需要 一种结合全局方法的高精度和局域方法的稳定性的计算方法【78 1 。 小波分析已成为当前应用数学中迅速发展的新领域，它可以解决f o u r i e r 分析 不能解决的许多困难问题，是近年来在研究工具及方法上的创新，已成为众多学 科共同关注的热点因此小波变换在许多领域都得到了成功的应用，特别是小波 基于小波分析数值求解几类非线性动力学问题 变换的离散数字算法已被广泛用于许多问题的变换研究中。但是小波的应用主要 集中在信号和图象处理方法，在非线性动力学问题的数值求解方面应用相对较少。 因此，本文目的在于引入小波分析数值求解非线性动力学问题。 小波函数是一个有限能量的函数，它可以通过伸缩和平移技术来设计和构 造小波方法能够很好的分析函数在局域处的变化特性。因此它非常适用于非线 性方程的数值求解。拟小波算法中，利用d e l t a 型奇异核，可以构造偏微分方程的 数值解法。拟小波数值方法在处理复杂的几何边界条件时，通过选择适当的参数， 显示了可以控制的整体精度和良好的稳定性 7 3 , 7 1 1 】。 本文第一章绪论部分，综述了小波分析和非线性动力学研究的历史和现状。 扼要的介绍了本文的研究目的和所做主要工作。 第二章引入小波分析的基本理论。简要的介绍小波、连续小波变换、离散小 波变换、正交小波变换以及多分辨分析的概念。这是后面拟小波数值离散格式的 理论基础。 第三章研究了拟小波算法和离散奇异内积的算法，殊途同归得到相同的数值 离散格式，统一了拟小波和离散奇异内积的理论，说明离散奇异内积事实上是一 种拟小波算法。基于m a l l a t 的多分辨分析，任一小波子空间都可以由一组正交规范 化小波基生成，这组正交规范化小波基可以由其自身对应的正交规范化尺度函数 组合得到。但是通常正交规范化尺度函数的傅里叶变换函数是不连续的，因此正 交规范化尺度函数在欧氏空间上没有显示出良好的局域特性，这对数值计算来说 非常不利的。为了改善正交规范化尺度函数的局域化和渐进化特性，对正交规范 化尺度函数进行正则化处理。正则化处理的明显好处是正交规范化尺度函数的傅 罩叶变换函数为连续的函数，因此它在欧氏空间上有良好的局域特性。 第四章利用拟小波数值方法和针对此方法的边界处理方法求解扩散动力学问 题。本文针对拟小波数值离散格式的特点，构造了一种新的边界处理方法，比以 前的边界处理方法可以节省计算而不影响精度。本问研究的扩散动力学方程虽然 是线性的偏微分方程，但是受约束条件的限制，很难进行解析求解。为了检验拟 小波算法以及边界处理方法的有效性和精确性，本文对粒子扩散问题和圆板的热 传导问题进行了数值求解。拟小波数值离散格式被用来离散空间导数， r u n g e k u t t a 方法被用来离散时间导数，对电化学反应中的粒子扩散问题和圆盘的 热传导问题进行了数值求解。本文对前一个问题用稳定的有限差分法进行了求解， 后一个问题用b e s s e l 函数法进行了求解，并进行了比较。结果显示拟小波数值解 和其他结果吻合良好，说明拟小波数值方法是一种有效的，精确的求解扩散动力 学偏微分方程的方法。 第五蕈研究了两个典型的非线性动力学偏微分方程的拟小波解法。为了进一 步探索拟小波数值算法求解非线性动力学偏微分方程的有效性和精确性，本文选 硕士学位论文 取了两个有代表性的非线性方程k l e i n g o r d o n 方程和m k d v 方程，对其在特定的 初始条件和边界条件的实例进行了数值求解。本文先推导了非线弹性基础上弦的 运动方程，然后通过适当变换成为一般形式的非线性k l e i n g o r d o n 方程，利用拟 小波数值离散格式离散空间导数，四阶r u n g e k u t t a 法离散时间导数，对其进行 数值求解。非线性k l e i n g o r d o n 方程的拟小波解与l p 解法求得的摄动解进行了 比较，吻合程度良好。m k d v 方程是非线性动力学的一个重要方程，文 1 3 0 1 中用 格子b o t l z m a n n 对其进行数值模拟时发现，当f = 1 0 0 0 0 s