（控制理论与控制工程专业论文）多目标约束下的鲁棒容错控制.pdf

摘要 摘要 本文针对一类线性不确定系统，研究了多目标约束下的鲁棒容错控制设计方法。 在连续型的执行器故障模式下，利用线性矩阵不等式技术，给出了多目标约束下的鲁 棒容错控制的设计方法。仿真结果表明了所设计方法的有效性的。 本文的主要内容可归结为如下几个方面： 首先，根据极点配置理论，研究了在圆域极点指标约束下的线性不确定系统鲁棒 容错控制问题，给出了鲁棒容错控制器存在的充分条件和设计方法。并用仿真实例验 证了设计方法的有效性。由于该方法给出了满足设计要求的控制器的可行解域，可在 此基础上考虑系统的其它性能指标约束，从而实现多目标约束控制。 其次，基于状态反馈，根据玩控制理论，研究了在玩指标约束下的鲁棒容错 控制问题，给出了玩指标约束下的鲁棒容错控制器存在的充分条件。用仿真实例验 证了设计方法的有效性。 再次，根据鼠控制理论，研究了在墨指标约束下的鲁棒容错控制问题，给出了 阢指标约束下的鲁棒容错控制器存在的充分条件。并用仿真实例验证了设计方法的 有效性。 最后，综合圆域极点指标、鼠指标和以指标l m i 描述，完成了多目标约束下 鲁棒容错控制器的设计。并用仿真实例验证了设计方法的有效性。 关键词：线性不确定系统；极点配置；砜控制；吼控制；鲁棒容错控制 a b s t r a c t a b s t r a c t f o rac l a s so fl i n e a ru n c e r t a i ns y s t e m s ，t h ed e s i g nm e t h o d so ff a u l t t o l e r a n tc o n t r o l w i t hm u l t i o b j e c t i v ec o n s t r a i n t sh a v eb e e ns t u d i e d b ym e a n so fl m i ，u n d e rac o n t i n u o u s f a u l tm o d e lo ft h ea c t u a t o r , t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rr o b u s tf a u l t - t o l e r a n tw i t h m u l t i o b j e c t i v ei ne x i s t e n c ew a sg i v e n s ot h a tt h es y s t e m sc o u l dk e e pa s y m p t o t i c a l l ys t a b l e a g a i n s ta c t u a t o rf a i l u r e sa n ds a t i s f yd i s t u r b a n c ea t t e n u a t i o ni n d e xp r e s c r i b e d t h em a i nc o n t e n t so ft h ep a p e ra r eo u t l i n e da sf o l l o w s ： f i r s t ，b a s e do np o l ea s s i g n m e n tt h e o r y , t h ep r o b l e mo f r o b u s tf a u l t t o l e r a n tc o n t r o lf o r l i n e a ru n c e r t a i ns y s t e m sw i t hc i r c u l a rp o l ei n d e xc o n s t r a i n ti ss t u d i e d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n s f o re x i s t e n c ea n dad e s i g nm e t h o do fr o b u s tf a u l t t o l e r a n tc o n t r o l l e ra r ep r o v i d e d a n u m e r i c a le x a m p l ei sp r e s e n t e dt od e m o n s t r a t et h ea p p l i c a b i l i t ya n de f f e c t i v e n e s so ft h e p r o p o s e da p p r o a c h e s ，i ft h ec o n t r o l l e re x i s t s ，t h e nar e g i o no ft h ec o n t r o l l e ri sg i v e n i n a d d i t i o n ，m u l t i - o b j e c t i v ec o n s t r a i n e dc o n t r o lc a nb ec o n s i d e r e da n dd e s i g n e d s e c o n d ，b a s e do ns t a t ef e e d b a c k ，t h ed e s i g nm e t h o do f r o b u s tf a u l t t o l e r a n tc o n t r o li s p r e s e n t e df o rl i n e a ru n c e r t a i ns y s t e m sw i t hh 。i n d e x an u m e r i c a le x a m p l ei sp r e s e n t e d t od e m o n s t r a t et h ea p p l i c a b i l i t ya n de f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e da p p r o a c h e s t h i r d ，b a s e do ns t a t ef e e d b a c k ，t h ed e s i g nm e t h o do fr o b u s tf a u l t - t o l e r a n tc o n t r o li s p r e s e n t e df o rl i n e a ru n c e r t a i ns y s t e m sw i t h 也i n d e x an u m e r i c a le x a m p l ei sp r e s e n t e d t od e m o n s t r a t et h ea p p l i c a b i l i t ya n de f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e da p p r o a c h e s f i n a l l y , t h ed e s i g no fr o b u s tf a u l t - t o l e r a n tc o n t r o li sp r e s e n t e df o rl i n e a ru n c e r t a i n s y s t e m sw i t hm u l t i o b j e c t i v e ，t h ec i r c u l a rp o l ei n d e x ，h 。i n d e xa n dh 2i n d e x a n u m e r i c a le x a m p l ei sp r e s e n t e dt od e m o n s t r a t et h ea p p l i c a b i l i t ya n de f f e c t i v e n e s so ft h e p r o p o s e da p p r o a c h e s k e y w o r d s ：l i n e a ru n c e r t a i ns y s t e m s ，p o l ea s s i g n m e n t , h 。c o n t r o l ，h2c o n t r o l ， r o b u s tf a u l t - t o l e r a n tc o n t r o l i i 学位论文版权使用授权书 本人完全了解北京信息科技大学关于收集、保存、使用学位论文的 规定，同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子 版本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供本 学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向中国科学技 术信息研究所等国家有关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在 不以赢利为目的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用 于学术活动。 学位论文作者签名：二i 发也 年。月日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用本授 权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 年月日年 月 日 硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文题目为多目标约束下的鲁棒容错控 制学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作所取得的成果。尽 我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论 文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方 式标明。本学位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 作者签字： 坎龟 年月日 第一章绪论 第一章绪论帚一早殖化 1 1 选题的背景及意义 在实际工业控制中，各种工业生产过程、生产设备以及其它众多的被控对象，其 动态特性一般都难以用精确的数学模型来描述。有时即使能获得被控对象的精确数学 模型，但由于过于复杂，使得难以对其进行有效的控制性能分析与综合，因此必须进 行适当的简化。所有这些因素使得描述被控对象的数学模型和实际对象之间不可避免 地存在误差。因此，在工程实践中，采用基于精确数学模型的现代控制理论方法所设 计的控制系统往往难以具有所期望的性能，甚至系统的稳定性都难以得到保证。 另一方面，随着生产和技术的飞速发展，越来越多的功能先进、性能优良、结构 复杂的控制系统应用于生产和技术领域。由于这些系统规模大，结构复杂的特点，一 旦发生故障，就可能造成难以估量的巨大损失【l 】。控制系统在运行中，一旦系统的某 些执行机构发生故障或失效时，采用传统的方法设计的控制器一般不能保证闭环系统 的稳定性【z 】。容错控制的目标是当系统某些部件出现故障或失效时，利于系统部件功 能上的冗余性，在适当降低某些性能指标的前提下，使整个控制系统仍能保持稳定， 提高系统的可靠性。工程师希望所设计的系统能在长时间内安全可靠稳定地运行，从 而充分发挥其效用。但是，系统的功能越先进，性能越优良，则它本身所担负的作用 可能也越重要，因而它的故障及失效造成的后果也就越严重。由于这样的系统往往涉 及到更多的部件，系统中部件失效的可能性也就越大。因此，如何使系统在部件失效 的情况下保持最基本的功能，即使系统对部件失效具有容错性，已日益引起学者们的 关注。 容错控制技术的研究和发展为提高现代复杂系统的可靠性提供强有力的理论依 据，很好的促进我国的社会主义现代话经济建设。但是，实际工程控制系统通常被要 求满足各种性能指标，区域极点指标保证闭环系统具有所要求的动态和稳态性能；以 指标使得系统对外部扰动的抑制性能较好；凰指标保证系统有较好的性能，只有期 望的各种约束指标都能满足的控制系统才是实际工程中所需要的。因此，要是容错控 制理论更接近于实际工程系统，就必须探讨满足实际工程要求的区域极点配置、玩、 阢指标约束条件下的鲁棒容错控制问题。 本文针对一类不确定连续系统，研究在多个目标约束条件下的鲁棒容错控制器的 设计方法，为工程应用奠定一定的初步理论基础。 第一章绪论 1 2 鲁棒控制简介 鲁棒控制( r o b u s tc o n t r 0 1 ) 概念是e j d a v i s o n 于1 9 7 6 年首先提出【3 j 。实际工程 系统都是在变化的环境下运行，其中包括系统本身和周围环境的变化。因此，客观现 实要求控制系统对建模不确定性和外界不可测扰动具有鲁棒性。鲁棒控制的主要目的 是寻求某种反馈控制律，使得闭环系统的特征( 如稳定性、性能等) 不受模型和信号 不确定性的明显影响。 在鲁棒控制中，为了进行有效的控制系统设计，一个复杂的动态系统必须用一个 相对简单的模型来描述。而这样一个简化模型和实际对象之间的差距称为模型不确 定性【4 】。除了在模型简化中可能带来模型的不确定性外，对系统的某些特性或环节缺 乏足够的了解、由于系统的环境变化、元器件的老化，某些物理参数的漂移或随时间 的位置变化等因素所带来的系统行为的变化也可能导致模型不确定行的产生。模型不 确定性不同于诸如外部扰动，测量噪声等外部不确定因素的作用。 我们考虑的系统模型包括由线性模型加上某个可能非线性、甚至可能是时变的模 型不确定性描述的一类动态系统，其中线性模型称为系统的名义模型，即忽略了系统 不确定性后得到的模型。对系统名义模型和模型不确定性的描述直接影响到系统可达 到的性能，不确定性的变化范围越小，即名义模型越精确，则可望得到更好的系统性 能；另外，对不确定性的信息了解的越多，则可达到的系统性能也就越高。 模型不确定性主要有两类： l 动态不确定性：例如在线性模型中忽略的动态特性，由于慢时变特性的忽略、 输入中的非线性等因素导致的动态行为的变化； 2 参数不确定性：一些难以精确刻画的物理参数，或者在运行过程中发生变化的 但难以刻画其变化规律的参数。例如，机械系统中的阻尼系数和弹性系数、飞行装置 中的空气动力学系数、电路中的电容和电感等。 不确定性的其他特性包括是否为线性的，是否为时变的等。模型的不确定性一般 是动态不确定性和参数不确定性的组合。并可能出现在控制环的不同位置上。例如， 在系统的执行器上可能出现动态不确定性，在某些传感器的系数上可能出现参数不确 定性。 1 2 1 不确定状态空间模型 用状态空间模型来描述一个动态系统，然而，描述实际动态系统的状态空间模型 往往是通过近似和简化的到的，一般假定不确定参数的不确定矩阵在某个已知的有界 集中变化。 l 多胞型模型 4 1 多胞型模型是以下一类时变系统模型： 2 第一苹绪论 e ( t ) 2 = a ( t ) x + b ( t ) u y = c ( t ) x + d ( t ) u 该系统的s y s t 铋矩嗍= 严苫o 黝在以下一爪给定的矩阵多胞型模型中 取值，即 s ( t ) ec o s 。，疋 = q 墨：呸o ，q = 1 其中：s ，瓯是已知的矩阵， s = 4 咎耻r 左 q ，是不确定参数。这种不确定性模型也称为参数不确定性的隐式的表示。 2 仿射参数以来模型 4 1 一个含有不确定参数的线性系统可以有以下表示： e ( p ) i c = 彳( p ) 石+ b ( p ) u y = c ( p ) 工+ d ( p ) u 其中：彳( ) 、b ( ) 、c ( ) 、d ( ) 和e ( ) 是参数向量p = 【a ，见】的已知矩阵值函数。 这样一类模型称为参数依赖模型。这类模型常常出现在运动、空气动力学、电路等系 统中。 如果模型中的系数矩阵仿射依赖于参数向量p ，即 4 = 4 + a 4 + + 以4 i b ，= b q + p l b + + p 。b ， q = c o + ac i + + 见c d p = d o + p l d l + + p p e p = e q + “e i + + p ，e 。 其中：4 、够、c ；、b 、e 是已知的常数矩阵。具有这样系数矩阵的模型也称 为仿射参数依赖模型。由于仿射参数依赖模型的特点，使得l y a p u n o v 方法可以有效 的用于这类模型的分析和综合。如果记 & = 心雾力勰墨= 4 盖 u 一i1 o ：一i p l c ( p ) d ( 尸) j 一| - gqj 则仿射参数依赖型模型的s y s t 锄矩阵可以表示为 s ( p ) = s o + p i s + + 见s 。 因此，s o ， 最完全刻画了所描述的仿射参数依赖模型。 1 2 2 不确定线性分式模型 对同时具有动态和参数不确定性的系统，不确定性的一个更一般的表示是如图 1 1 所示的线性分式模型。 3 第一章绪论 图1 1 线性分式模型 其中线性是不变系统p ( s ) 包含了所有已知的线性是不变环节( 控制器、系统的名 义模型、传感器、执行器等) ，输入向量u 包含了作用于系统的所有外部信号( 扰动、 噪声、参考输入信号等) ，y 表示由系统产生的所有输出信号，是一个不确定性的 结构描述，具有以下形式： a = d i a g a i ，a ， 其中的每一个块；反映了一种特定的不确定性。 本文主要研究状态空间下的不确定模型。为了导出状态空间的线性分式模型，考 虑 i ( f ) = a x ( t ) + b u ( t ) y ( f ) = c x ( t ) + d u ( t ) 这里的系数矩阵五、雪、e 、西并不是常数矩阵，而是依赖不确定参数的不确定 矩阵，它们有如下形式： a = a + 疋。e b = 口+ 毛6 e c = c + 巨。c d = d + e d d f t 其中：么、曰、c 和d 是适当维数的实常数矩阵，描述了系统的名义模型，即忽 略了模型不确定性后得到的系统模型；a 。、a 。、a 。、a d 是不确定性参数矩阵，反 映了系统模型中的参数不确定性；乞、毛、匠、日、e 、e 、c 、乃是适当维数 的常数矩阵，反映了不确定参数是如何影响系统模型的。即反映了模型不确定性的结 构。 1 3 容错控制简介 容错控制可使一个动态系统适应其环境的显著变化，系统可容许其中的一个或 多个较关键部件的故障或失效。在通常情况下，这些关键部件的故障或失效会对整个 系统的稳定性及其它性能产生很大的影响。容错控制的目标是当系统的某些部件出现 故障或失效时，基于系统部件功能上的冗余性，在适当降低某些性能指标的前提下， 4 第一章绪论 整个控制系统仍能维持稳定，从而提高系统的可靠性。容错控制思想起源于1 9 7 1 年， 以n i e d e r l i n s k i 提出完整性控制的新概念为标志【卯，是- - f - j 新兴交叉学科，与鲁棒控 制、故障检测与诊断、自适应控制、智能控制等有密切联系。 1 3 1 被动容错控制 被动容错控制在设计控制器时预先考虑了一些元部件故障情况，利用鲁棒控制技 术使得闭环控制系统对某些故障不敏感；它不需要在线调整控制律和控制参数，大致 可分为：可靠镇定、联立镇定、完整性设计等几种类型。图1 2 是典型的被动容错控 制结构图 图1 2 典型的被动容错控制结构图 1 可靠镇定 可靠镇定是一种对控制器失效的容错控制，它采用两个或更多的补偿器来并行地 镇定同一个被控对象。当任意一个或多个补偿器失效，而剩余的补偿器正常工作时， 仍能使系统保持稳定地运行。 2 联立镇定 联立镇定是一种关于被控对象故障的容错控制，它用一个固定的控制器同时能够 使被控对象在多个故障情况下和正常模式情况下稳定。联立镇定容错控制设计方法是 将控制系统表达为离散参数的多重模型，根据对应的传递函数构造线性全状态公共控 制器，使其对具有离散参数集合的控制系统稳定。 3 完整性设计 完整性设计是指所设计的控制器在同时发生执行器和传感器故障时仍能保持闭 环系统的稳定性。 被动容错控制的优点在于：系统无须增加额外的硬件，也不需要故障检测与诊断 环节，这样就不会增加系统设计的成本。同时，当故障发生时，能够及时实现容错控 制，可以保证系统的安全性。但这种控制器的设计方法只能适应较少的几种故障情况， 不可能用一个控制器实现对所有故障的鲁棒性，而且往往以牺牲系统某些的性能为代 价。文献【6 1 至【9 1 均采用的被动容错技术。 5 第一章绪论 1 3 2 主动容错控制 主动容错控制是在系统故障发生后，能够主动对故障做出反应，通过对控制器参 数的调整，改变控制器结构等对控制律进行重构，从而维持整个系统的性能。主动容 错控制是目前国内外研究的热点，它包含了故障检n 诊断、隔离和故障适应与容错 控制等内容。主动容错控制的一般控制策略是：先利用故障检n 诊断单元检测、诊 断或分离出故障；再根据故障检测诊断的结果由控制器重组重构机制进行控制器的 重组重构设计，形成适合的故障容错控制律，设计出新的重组重构容错控制器，保 证故障后系统稳定或使性能与故障前系统的性能接近。 主动容错控制涉及许多复杂性因素，其综合与设计的难度较大。一方面，故障检 测、诊断与分离的性能优劣在很大程度上影响着容错控制器的设计和整个系统的性 能。另一方面，如果故障检测与诊断的时延和控制器重组重构的时间过长，也会使 系统性能变坏，甚至导致系统崩溃或造成重大损失，从而使重构容错控制失去意义。 因此，发展主动容错控制的关键是发展故障诊断技术和快速有效的控制器重组机制。 1 4 多目标约束下的鲁棒容错控制研究现状 实际工程系统往往不是需要单一指标的最优，而是常常要求必须同时满足多个性 能指标约束。鲁棒容错控制直接以多项区域形式表示期望性能指标为目标函数，并使 被控系统同时满足所有期望性能指标。 对于多目标约束下的鲁棒容错控制，从国内外的文献来看，还相当有限。文献 【1 0 卜【1 2 】是在拓展协方差理论的基础上，应用r i c c a f i c 方程把h o o 指标、区域极点、方 差等期望指标约束融入到单个修正l y a p u n o v 方程或代数r i c c a t i c 方程，利用矩阵分解 及矩阵广义逆理论，在多目标约束下的鲁棒控制理论研究上取得的一些研究成果。文 献【1 3 卜【1 6 利用新发展起来的线性矩阵不等式( l m i ) 技术，将多个期望指标用多个线 性矩阵不等式组来描述，从而将多个指标的鲁棒控制问题转化为l m i 组约束的某个线 性规划问题，为多目标约束的鲁棒控制设计提出了一种新方法。 多目标约束下的鲁棒控制作为一种供工程设计人员使用的设计方法，还有许多尚 待讨论的问题：首先，从目前的研究领域来看，还仅局限于线性系统；其次，对于所 包含的期望指标集还远远不能满足实际工程系统的需要，同时对于这些指标的相容性 分析等问题都需要进一步研究。最后，随着现代实际工业系统复杂性的提高，对系统 可靠性的要求日益迫切，因此研究故障情况下系统的多目标约束下的鲁棒容错控制对 很多工程实际是很有意义的，而目前的研究尚未真正涉及这一问题。 从目前国内外的文献来看，对多目标约束下的鲁棒容错控制方法的研究还很少。 文献【1 7 】首次提出多约束条件下的容错控制系统设计的概念，但具体的理论和方法尚 待深入研究；文献【1 8 】研究了一类线性不确定随机系统的h o o 鲁棒容错控制器设计方 法，分析了脚性能指标的取值范围但采用的故障模型简单；文献【1 9 】研究线性不确 6 第一章绪论 定离散系统的鲁棒容错h o o 控制，给出了闭环系统具有鲁棒容错h o o 控制特性的一个 充分条件，所用的故障模型是相对简单的离散故障模型。文献 2 0 把连续故障模型应 用在系统的控制器设计上，提出了基于连续故障模型的线性系统日控制可靠问题。 通过求解r i c c a t i 方程组实现了控制器的设计。文献 2 1 】提出的故障凸组合表示的方法， 研究了鲁棒h o o 可靠控制，给出了多故障可靠h o o 控制和单故障鲁棒h o o 可靠控制器 存在的充分条件和设计方法。与文献 2 2 卜 2 3 】考虑的连续系统不同，文献 2 4 】讨论了 一类离散时间线性时不变系统，在执行机构发生连续增益故障情况下的可靠保性能状 态反馈控制律的设计问题，基于线性不等式方法给出了可靠保性能控制律的一个充分 条件。文献 2 5 】将可靠保性能控制的设计问题转化为r i c c a t i 方程，通过迭代求解代数 r i c e a t i 方程，给出可靠保性能控制器的一个参数化表示；然而r i c c a t i 方程的求解往往 需要依赖于参数和正定对称矩阵的调整，并且无法对二次型性能指标上界进行优化。 文献 2 6 】仅考虑系统部件正常与间断两种情况的离散故障模型，不能精确地描述实际 系统中由于部件老化、干扰等原因引起输出信号偏离的情形。文献 2 7 研究了系统矩 阵和输入矩阵都含有不确定性的区间矩阵系统，分别给出了有限时间及无限时间鲁棒 可靠保性能控制器的设计方法随着h o o 控制理论逐渐被接更2 剐，混合z 吼，控制问 题得到研究【2 州捌。文献【3 1 】在状态空间描述下，参数不确定系统采用矩阵凸多面体 形式时【3 2 1 ，提出一种通过无记忆状态反馈实现的具有h o o 干扰抑制的保成本控制。文 献 3 3 卜 3 4 】研究了一类线性不确定系统在同时具有区域极点指标、h o o 指标和方差指 标约束下的容错控制器的设计问题，利用线性矩阵不等式( l m i ) 方法，分析了相容性 指标的取值范围和多约束指标下的容错控制器存在充分条件，并给出了控制器的设计 方法。 然而，从现有的研究成果来看，对于应该给出什么样的具有实际工程意义的性能 指标约束，以及这些指标间的相容性如何等问题没有明确的定义和分析：另外，如何 降低由于上述原因而造成所设计容错控制器的保守性，也将是今后多目标约束下的鲁 棒容错控制研究的一个方向。 多目标约束下的鲁棒容错控制设计研究成果还较少，值得更多的学者投身于这一 领域的研究之中。 1 5 线性矩阵不等式简介 在现代控制理论中，人们常用l y a p u n o v 方程和r i c c a t i 方程来描述特定的系统， 并求解控制器。但是，在解r i c e a t i 方程或其不等式时，有大量的参数和正定对称矩阵 需要预先调整；甚至有时，即使问题本身是有解的，也找不出问题的解，这给实际应 用问题的解决带来极大不便。线性矩阵不等式方法可以很好地弥补r i c e a t i 方程方法的 上述不足。特别是近年来，随着凸优化理论的不断发展和计算机功能的不断强化，线 7 第章绪论 性矩阵不等式这一工具在控制系统设计中日益受到重视，被认为是l y a p u n o v 方程和 r i c c a t i c 方程的补充和替代；许多控制问题可以转化为一个线性矩阵不等式系统的可 行性问题，或者是一个具有线性矩阵不等式约束的凸优化问题，使其在控制系统分析 和设计方面得到了广泛的重视和应用。 随着解决线性矩阵不等式的内点法的提出和m a t l a b 软件中的l m i 工具箱的出 现，线性矩阵不等式这一工具越来越受到广大学者的注意和重视，应用线性矩阵不等 式来解决系统综合与控制问题已成为这些领域的大研究热点。本节主要介绍线性矩 阵不等式的一般表示方法、三类标准的线性矩阵不等式问题以及求解线性矩阵不等式 的主要算法。 1 5 1 线性矩阵不等式的一般表示方法 一个线性矩阵不等式具有如下形式 f ( j ) = 磊+ x i v l + + 矗c ( 1 5 1 ) 其中，而，而，是m 个实数变量，称为是线性矩阵不等式( 1 5 1 ) 的决策变 量，工= ( 五，x 2 ) r r ”是由决策变量构成的向量，称为决策向量。 = f r r i = 0 ，l ，m 是一组给定的实对称矩阵，式( 1 5 1 ) 中不等号“ ”指的 是矩阵f ( x ) 是负定的，即对所有非零的向量v r “，v r f ( x ) v 0 ，或者f ( x ) 的最大 特征值小于零。 所有满足线性矩阵不等式( 1 5 i ) 的j 的全体构成一个凸集，这就是以下的引理 1 5 1 。 引理1 5 1 【4 l = 扛：，( 石) 0 ) 是一个凸集。 引理1 5 1 说明了线性矩阵不等式( 1 5 1 ) 这个约束条件定义了自变量空间中的 一个凸集，因此是自变量的一个凸约束。正是线性矩阵不等式的这一性质使得可以应 用解决凸优化问题的有效方法来求解相关的线性矩阵不等式问题。 系统与控制中的许多问题初看起来不是一个线性矩阵不等式问题，或不具有 ( 1 5 1 ) 式的形式，但可以通过适当的处理将问题转换成具有( 1 5 1 ) 式形式的一个 线性矩阵不等式问题。下面给出了这方面的一些典型例子。 1 多个线性矩阵不等式 鼻( 曲 o ，五( x ) 0 称为一个线性矩阵不等式系统。引进，( 力= 幽曙嘏( z ) ，e ( 工) ) ，则 互( x ) 0 ，五( 工) 0 同时成立当且仅当，( 对 0 。因此，一个线性矩阵不等式系统 也可以用一个单一的线性矩阵不等式来表示。 2 在许多将一些非线性矩阵不等式转化成线性矩阵不等式的问题中，我们常常 用到矩阵的s e h u r 补性质。考虑一个矩阵s e r 胂，并将s 进行分块： 8 第一章绪论 s ：降s ：i l s 2 ls 2 2 j 其中的s 1 l 是r r 维的。假定s l 。是非奇异的，则s 2 ：一s 2 l s 0 墨2 称为s l 。在s 中的s c h u r 补。以下引理给出了矩阵的s c h u r 补性质。 弓| 理1 5 2 1 4 1 对给定的对称矩阵s = 陵甜其中a l l 胁，幺隹的。以下三个 条件是等价的： i s 0 ： i i 墨i 0 ，一s i t 瓯墨2 0 。 i i i s 2 2 0 ，s 1 l s 2 剐s r 2 0 。 对线性矩阵不等式f ( x ) 。，其中f ( x ) = 主：暑乏 三 ，正( z ) 是方阵。 则应用矩阵的s c h u r 补性质可以得n - f ( x ) 0 当且仅当 j- ( x j o ( 1 5 2 ) 【f ( 石) 一鼻：( 工) 互i 1 ( x ) 互：( x ) 0 或 j( x io ， ( 1 5 3 ) 【曩。( x ) 一曩：( x ) 咳1 ( 工) e ：( 力 0 是给定的适当维数的常数矩阵，p 是对称矩阵 变量，则应用引理1 5 2 ，可以将矩阵不等式( 1 5 4 ) 的可行性问题转化成一个等价 的矩阵不等式 la t p + ，p a + q 船l o ( 1 5 5 ) l b r pri 一 。 的可行性问题，而后者是一个关于矩阵变量p 的线性矩阵不等式。 本节介绍三类标准的线性矩阵不等式问题。在m a t l a b 的l m i 工具箱中给出了 这三类问题的求解器。假定其中的f 、g 和日是对称的矩阵值仿射函数，c 是一个给 定的常数向量。 第一章绪论 1 可行性问题( l m i p ) 1 4 】：对给定的线性矩阵不等式f ( x ) 0 ，检验是否存在x ， 使得f ( x ) 0 成立的问题称为一个线性矩阵不等式的可行性问题。如果存在这样的x ， 则该线性矩阵不等式问题是可行的，否则这个线性矩阵不等式问题就是不可行的。在 m a t l a b 的l m i 工具箱中相应的求解器是f e a s p 。 2 特征值问题( e v p ) 1 4 1 ：该f a 题是在一个线性矩阵不等式约束下，求矩阵g ( x ) 的最大特征值的最小化问题或确定问题的约束是不可行的。它的一般形式是： m i n 兄( 1 5 6 ) s t 6 ( x ) 2 i h ( x ) 0 这样的一个问题也可以转化成以下的一个等价问题： m i n c r x s t f ( x ) 0 这也是l m i 工具箱中特征值问题求解器所要处理的标准形式。在m a t l a b 的l m i 工具箱中相应的求解器是m i n c x 。 3 广义特征值问题( g e v p ) 4 1 ：在一个线性矩阵不等式约束下，求两个仿射矩 阵函数的最大广义特征值的最小化问题。 对给定的两个相同阶数的对称矩阵g 和f ，对标量见，如果存在非零向量y ，使 得g 少= 2 f y ，则五称为矩阵g 和f 的广义特征值。矩阵g 和f 的最大广义特征值的 计算问题可以转化成一个具有线性矩阵不等式约束的优化问题。在m a t l a b 的l m i 工具箱中相应的求解器是g c v p 。 对一般的线性矩阵不等式问题，可以将其列成一个凸优化问题，并采用凸优化技 术来进行数值求解，椭球法就是这样一种方法。1 9 8 8 年，n e s t e r o v 和n e m i r o v s k i i 提 出了内点法，并直接用来求解线性矩阵不等式约束的凸优化问题，取得了很好的效果。 正是内点法的出现，使得线性矩阵不等式成为处理系统综合与控制问题的一种有效的 工具。下面简要介绍求解线性矩阵不等式问题的椭球法和内点法的基本思想。 ( 1 ) 椭球法嗍 该算法的基本思想是：首先，计算一个椭球包含约束集；第二步，以椭球中心做 一个截切面将该椭球一分为二，使其中一半包含最优解；然后，再以一个体积最小的 椭球包含这半部分，重复以上第二步；如此递归得到一个体积递减的椭球序列，直至 收敛于最优解。这种方法虽然简单，但是效率不高且收敛速度较慢，仅仅适用于较小 规模问题。 ( 2 ) 内点法【4 】 该算法的基本思想通常是：运用约束集定义一个凸的障碍函数，并将它附加到原 问题的目标函数中，以一个无约束优化问题代替原先的约束优化问题，然后运用牛顿 法来进行求解，其过程类似于约束优化问题中的罚函数法。它具有较高的计算效率与 】0 第一章绪论 可靠性。内点法的优点很明显，即不需要给出迭代的初始可行解并且能够求解拟凸问 题。m a t l a b 软件开发出功能强大的l m i 工具箱的算法就是基于内点法，它提供了与 上述相对应的三类标准的线性矩阵不等式问题求解器：f e a s p ，m i n c x ，g e v p 。 1 6 本文的主要研究内容 本文拟定以一类故障系统为研究对象，针对不确定线性系统存在执行机构失效的 情况，通过引入更接近实际的连续故障模型，采用状态反馈形式，期望该系统在故障 情况下仍能保持渐近稳定，并且满足所有期望性能指标要求。将待解决的控制问题用 数学形式表达，也就是将问题的解决转化为线性矩阵不等式( l m i ) 的求解问题。运 用成熟的数学工具和强大的计算机仿真程序解出线性矩阵不等式。基于线性矩阵不等 式的解，给出系统控制律存在的条件，并加以数学证明。结合上述工作，明示设计方 案。最后，借助具体算例，说明设计方法的有效性。 本文的章节安排如下： 第一章绪论首先介绍了论文的选题背景和意义，然后根据国内外研究现状， 提出本文的学术构想与思路。对课题研究的相关领域及国内、外的发展现状进行了详 细的研讨和论述，并简单介绍了线性矩阵不等式( l m i ) 技术。 第二章不确定线性系统区域稳定的鲁棒容错控制针对一类线性不确定系统， 在连续型的执行器故障模式下，利用极点配置理论，研究了含执行器故障的线性不确 定系统闭环极点配置在给定圆域内的鲁棒容错控制问题。 第三章不确定线性系统的鲁棒容错h q o 控制针对一类不确定性线性系统，在 连续型的执行器故障模式下，研究了执行器故障的线性不确定系统的鲁棒容错h o o 控 制问题。 第四章不确定线性系统的鲁棒容错阢控制考虑在执行机构发生连续增益故 障的情形下，应用线性矩阵不等式处理方法，研究了执行器故障的线性不确定系统的 鲁棒容错矾控制问题。 第五章多目标约束下的鲁棒容错控制在前三章的基础上研究了含执行器故障 的线性不确定系统在圆域极点、h o o 和风指标约束的鲁棒容错控制问题。 第六章结论与展望总结了论文的工作，给出了论文中尚未解决的问题，对今 后的研究方向进行了展望。 第二章不确定线性系统区域稳定的鲁棒容错控制 第二章不确定线性系统区域稳定的鲁棒容错 控制 2 1 引言 控制理论与实践中的一个基本问题是设计反馈控制律，将闭环系统的极点配置在 所期望的位置上，以保证闭环系统具有所要求的动态和稳态性能。在最初的极点配置 问题研究中，考虑的是精确的极点配置问题，即将闭环极点配置在复平面中事先给定 的位置，然而，由于模型的不精确和各种扰动的存在，使得精确极点配置的控制方式 不可能得到真正的实现区域极点配置是指将一个线性系统的所有极点配置在一个指 定的区域内。对于连续系统，指定的区域在左半开复平面；对于离散系统，指定的区 域在以原点为圆心的单位圆内。 线性系统的瞬时响应与它的极点位置紧密相关，只要将闭环系统的极点配置在复 平面上一个适当区域内，就能保证系统具有一定的动态和稳态特性。例如，具有极点 五= 他歹的一个二阶系统的阶跃响应可以由自然频率( 或无阻尼震荡频率) q = 例、阻尼比( 或相对阻尼系数) f 和阻尼自然频率完全确定。通过将无限制 在复平面上的一个适当区域中，可以保证f 、。和仍满足一些给定的界，从而保证 系统具有所期望的过渡过程特性。例如，考虑图2 1 h 1 中阴影部分所示的区域 s ( a ，9 ) 。 1i m ， 。、 s ( a r ( a , r j , o 一9 1 酝、 7o ?。 缈一 、一口一 一，、一 图2 1 区域的l m i 表示 这样一个区域可以用以下的集合来刻画： s ( 口，9 ) = 工+ j 少c ：x 口，i x + 砂l r ，工留p 0 ，r ，0 是给定的。将闭环极点配置在区域s 缸，0 ) 中，可以保证系统具有 最小的衰减度o f 、最小阻尼比f = c o s l 9 和一个最大的自然频率蛾= ，s i n p ，这将进一 步保证系统的一些诸如最大超调、衰减时间、上升时间、调节时间等过渡指标不超过 由f 和蛾确定的上界。 从国内外的文献来看，对在极点约束下不确定系统鲁棒控制的研究取得一定的成 果 3 5 3 7