（固体力学专业论文）扩展数字图像相关法的理论及应用研究.pdf

中文摘要 数字图像相关法被广泛地应用于测量全场位移及应变。在处理连续问题时该 方法已较为成熟。但是当遇到强不连续问题时，由于该方法通过以连续位移模式 为前提的统计平均性来实现测量目的，在位移不连续的地方会产生较大的误差。 为了解决这类问题，本文以国内外在这一领域的研究成果为基础，提出了一种新 的相关运算方法扩展数字图像相关法。 本文介绍了扩展有限元位移分解和传统数字图像相关测量方法的基本原理， 在此基础上将子区位移模式进行了扩展有限元分解，将数字图像相关法与扩展有 一 限元法结合起来创新性地提出了一种新的测量方法扩展数字图像相关法( 该 方法以解决不连续问题为着眼点，对传统数字图像相关测量方法在测量裂纹问题 时所遇到的困难提出了新的解决方案) ；在解该方法中所遇到的病态方程组时， 对方程进行了改进，提出了自适应控制迭代法；研制了扩展数字图像相关法测量 系统。 对本文提出的新方法，分别用刚体平移实验、拉伸实验、三点弯实验进行了 验证，分析结果，证明了方法的正确性和可靠性；随后进行了误差分析，从理论 和实验两方面对各种误差产生的原因进行了分析，并提出了相应的消除误差或抑 制误差的方法和有效措施。 将上述方法用于带裂纹的聚氨酯试件的表面跨裂纹区变形测量，随后又简单 分析了带裂纹的有机玻璃试件的表面跨裂纹区变形情况，取得了较好的效果，证 明本文提出的新方法可以应用于带裂纹材料表面变形测量研究，为今后对材料表 面强不连续位移场的测量研究提供了基础。 关键词：扩展数字图像相关位移扩展有限元形函数裂纹 a b s t r a ct d i g i t a li m a g ec o r r e l a t i o nm e t h o d o l o g yh a sb e e ne x t e n s i v e l yu s e dt oe s t i m a t e 伽1 一f i e l dd i s p l a c e m e n t sa c c o r d i n gt ot h eg r a yv a l u eo fp a i r so fi m a g e s ( u n d e f o r m e d a n dd e f o r m e d ) h o w e v e r , w h e nl o c a l i z e dp h e n o m e n a ( w e a ko rs t r o n gd i s c o n t i n u i t i e s ) a r i s e ，o n ed r a w b a c ko ft h i sm e t h o di st h a tt h ed i s p l a c e m e n tj u m pa c r o s so rt a n g e n tt o t h e d i s c o n t i n u i t y i n t e r f a c ew i l lb es m o o t h e do u t b yt h ec h o s e n c o n t i n u o u s d i s p l a c e m e n tf 记l db a s i s i nt h i sp a p e r , t h ee x t e n d e dd i g i t a li m a g ec o r r e l a t i o n ( x d i c ) ， w h i c hh a st h ea d v a n t a g eo fs e l f - i m m u n i t yi nt h ei r r e g u l a rb o u n d a r ys u c ha sc r a c k , h o l ea n ds oo n , i sd e v e l o p e dt om e a s u r et h ef u l l f i e l dd i s p l a c e m e n t su s i n gt h e p a r t , i o no fu n i t ym e t h o da si nt h ee x t e n d e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d i nt h i sp a p e r , t h eb a s i cp r i n c i p l e so ft h ed i g i t a li m a g ec o r r e l a t i o nm e t h o da r e i n t r o d u c e df o r m e a s u r i n gd i s p l a c e m e n t f i e l d s t h ee x t e n d e df m i t ee l e m e n t f o r m u l a t i o ni sa p p l i e di nt h ee x p r e s s i o no ft h ec o r r e l a t i o nc o e f f i c i e n t ，a c c o r d i n gt o t h i sm e t h o d ，d i s c o n t i n u o u sf u n c t i o na r ea d o p t e di nt h ed i s p l a c e m e n ti n t e r p o l a t i o nb y e x p l o i t i n gt h ep a r t i t i o no fu n i t yp r o p e r t yo ff i n i t ee l e m e n ts h a p ef u n c t i o n t h e nan e w m e t h o dc a l l e de x t e n d e dd i g i t a li m a g ec o r r e l a t i o ni sr a i s e d 1 1 1 e c o r r e s p o n d i n g m e a s u r es y s t e mi sd e v e l o p e d m o r e o v e r , s e l f - a d a p t i v ei t e r a t i v es t r a t e g yi sd e v e l o p e d i nt h es o l u t i o no ft h ei l l - p o s e de q u a t i o n t h r e et y p i c a le x p e r i m e n t sa r ee m p l o y e dt ot e s tt h er e l i a b i l i t yo ft h en e wm e t h o d r e s u l t sa r ea n a l y z e da n ds h o wt h a tt h em e t h o di sa c c u r a t ea n dc r e d i b l e s o m e m e a s u r i n ge r r o r so ft h ee x t e n d e dd i g i t a li m a g ec o r r e l a t i o nm e t h o da n dt h e i ro r i g i na r e a n a l y z e df r o mt h et w oa s p e c t so ft h e o r ya n de x p e r i m e n t s o m ec o r r e s p o n d i n g m e a s u r e m e n t st oe l i m i n a t et h e s ee r r o r sa r ep r o p o s e d a tl a s t ，t h em e t h o di s s u c c e s s f u l l ya p p l i e d t ot h em e a s u r e m e n to ft h e d e f o r m a t i o no fp o l y u r e t h a n ea n dm e t h a c r y l a t es h e e tc o n t a i n i n gc r a c ki nt h es u r f i c e 1 h er e s u l t ss h o wt h a tm e t h o di sf e a s i b l et ot h ea s p e c t sm e n t i o n e da b o v e a n di ta l s o p r o m o t e san e we f f e c t i v em e t h o di n t h ef i e l do fd i s c o n t i n u o u sd e f o r m a t i o n m e a s u r e m e n t k e yw o r d s ：e x t e n d e dd i g i t a li m a g ec o r r e l a t i o n ( x d i c ) ，d i s p l a c e m e n t ， e x t e n d e df i n i t ee l e m e n t ，s h a p ef u n c t i o n s ，c r a c k 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：翎，1 、貔、签字日期：2 刃7 年石月夕日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤盗盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：朔、) ，熬 签字日期：么尹，年f 月，日 导师签名： ， 邢。毛b i 签字日期： 。7 年6 月r 日 天津大学硕士学位论文 第一章前言 第一章前言 1 1 数字图像相关测量方法的国内外发展现状 1 1 1 国外发展背景 数字图像相关测量方法( d i c m ) 是应用计算机视觉技术的一种图像测量方法， 是现代先进的光电技术、图像处理与识别技术陇3 与计算机技术相结合的产物，是 现代光测力学领域的又一新进展。传统的光测方法，如光弹性、云纹、全息、散 斑干涉，一般都需要对被测物体表面作预处理，如涂散射涂层、刻画网格与栅线， 甚至需做成模型，然后通过特定的光学或几何干涉形成条纹，再从条纹中提取所 需的信息。因此，光测方法的测量环境要求比较高，一般只能在实验室条件下进 行，至于在一般工程现场中的应用，则几乎是不可能的。八十年代发展起来的电 子散斑干涉术，尽管用光电子元件代替了传统的照相干板，但其测量基础仍是干 涉条纹，对测量环境仍有相当的要求，因而应用领域与其它光测方法基本相同。 其实，物体表面自然或人工形成的随机斑点，本身就是信息的载体，它们在物体 变形过程中发生相应的变化，因而包含了变形过程的大量信息。数字图像相关方 法正是这样一种从物体表面的随机分布的斑点或伪随机分布的人工散斑场中直 接提取变形信息的全场、非接触的光测方法。其测量过程为由摄像机记录存在于 物体表面的斑纹图，这些图像经过a d 转换后以各像素点灰度值表征。数字图像 相关方法就是利用被测物体表面变形前后的两帧图像的灰度值进行相关运算，从 而达到求解变形体表面位移和应变的目的。所以该方具有实验过程和实验设备简 单，测试环境要求低，容易实现测量自动化的优点，已经发展成为实验力学领域 中的一种重要的测量方法。通常的图像灰度8 b i t ，即2 5 6 个灰度级。 数字图像相关测量方法是在8 0 年代初期由日本的y a m a g u c h i 和美国的 p e t e r s 教授、r a n s o n 教授等人同时提出的 1 】。前者着重于研究一维变形场的测 量，并进行相应的仪器化工作，在研究物体小变形时，采用测量物体变形前后光 强的互相关函数峰值来得出物体的位移。而后者则限于对局部变形场的算法进行 研究和改进，通过对物体变形前后得到的数字灰度场进行相关迭代运算，也就是 计算相关系数随试凑位移及其导数的变化过程，找出相关系数的极值从而得到相 天津大学硕士学位论文第一章前言 应的位移、应变，并应用于一些实际测量问题中。1 9 8 3 年，p e t e r s 等学者应用 数字相关方法进行了刚体位移测量方面的应用研究工作 2 1 ，同年s u t t o n 等学者 提出了粗一细相关搜索法，对原有的数字相关方法做了简化，这种方法的测量结 果只有位移参量，不能直接测得应变。1 9 8 4 年，z h h e 和s u t t o n 等对二维流 速测量进行了应用研究，使该方法的应用领域扩展了一步。1 9 8 5 年，t c c h u 和r a n s o n 等对数字相关方法的精度进行了实验研究，完善了这种测量方法的理 论【3 】。1 9 8 6 年，s u t t o n 等又提出了一种优化搜索法，提高了相关的搜索速度【4 】。 1 9 8 8 年，s u t t o n 等从理论上分析了亚像素恢复过程所带来的测量误差【5 】，提出 了亚像素恢复的合理方法。1 9 8 9 年，h a b r u c k 等人在采用基于二元三次样条差 值亚像素重构的n e w t o n r a p h s o n 迭代算法来搜索相关系数的极值【6 】，提高了搜 索速度和精度，使数字相关算法的理论更加完善。数字图像相关方法的应用范围 近几年逐步扩大，解决的问题也越加复杂。1 9 9 3 年l u o 和c h a o 首次提出双摄像 机系统测量三维位移的测量方法，解决了用数字相关方法测量离面位移的问题； 同年，加拿大r y e r s o n 大学的陆桦教授，从统计学的角度出发，对数字相关图像 测量方法对应力集中问题进行了研究【7 】。1 9 9 5 年，m a s t u t t o n 等人又提出了基 于已知应变场分离弹塑性应变并计算应力场的方法【8 】，从而为数字相关测量技术 应用与分析断裂等弹塑性问题奠定了基础。1 9 9 6 年，s u t t o n 等利用数字图像相 关测量方法，对弹塑性测量问题的高温测量问题进行了研究。1 9 9 7 年，w t o n g 采用自然b 样条数据光滑方法和位移平均法平滑位移场1 9 ，大大降低了应变的误 差。1 9 9 9 年，m a n w a n d e r 等人研制了一套在高温下采用激光数字散斑非接触测 量拉伸应变的方法f l 们，原理是通过数字相关技术跟踪激光散斑，进一步还用到 了信号处理的描述和光学协调，可以在高达1 2 0 0 摄氏度的温度下测量试件的机 械应变和热应变。2 0 0 0 年b w a t t r is s e 等人推导了一个数值方法去限制内相关 函数中的系统误差【1 1 1 ，减小它的影响，并应用于研究拉伸一种薄、宽钢材料式 样时应变区域现像。同年，h l u 等人在其论文中概括精简了数字图像相关的步 骤，使求二阶位移梯度的近似方法工具化【1 2 1 。用精简了的方法去测量位移一阶 和二阶梯度，在二阶位移梯度存在的大变形测量中可以得到更准确的应变值。大 多数情况下，新的精简方法允许数字相关方法对一阶位移梯度的精度维持在 0 0 0 0 2 ，对二阶位移梯度达到每像素的0 0 0 0 2 。2 0 0 1 年，p e n g z h o u 和k e n n e t h e g o o d s o n 研究了一种新的基于空间梯度运算的迭代方法【1 3 1 ，并且只采用变形前 后两幅图像的一阶空间导数。并将这种方法应用于电子包装的热力学下的诊断。 经过多年的发展，数字图像相关法在测量连续的位移场和应变场方面已成为 一种较成熟的方法。但是该方法在处理强不连续问题时具有局限性。针对这一问 题，2 0 0 6 年，g b e s n a r d 等首次将扩展有限元位移分解的思想应用到数字图像 2 天津大学硕士学位论文第一章前言 相关法中，提出了扩展数字图像相关法0 4 ，并将该方法用于测试铝合金 p o r t e v i n l ec h a t e l i e r 效应。该方法通过求局部残余的极小值来达到测量位 移的目的。2 0 0 7 年，3 u l i e nr 7 e t h o r e 等人通过测试装配螺栓在受力情况下接 触面的滑移位移检验了该方法的测量精度，并具体地分析了位移分解时的单元尺 寸与误差测量的关系 15 1 。2 0 0 8 年，j u l i e nr e t h o r e 等人又将该方法用于测量 三维空间的位移场【1 6 1 。 1 1 2 国内发展状况 1 9 8 9 年，高建新等首先在我国开始了数字相关方法的研究工作 1 7 - 2 0 1 ，从理 论上对数字相关方法进行了系统分析，提出了相关搜索法并把它应用到刚体位移 测量，流场流速测量和电镜照片分析等领域。但是当时的实验精度和灵敏度都比 较低。此后，国内的很多学者和研究人员对数字图像相关方法做了大量的研究和 改进工作，并将这种放过应用于很多领域，同时实验精度，灵敏度及计算速度都 有了很大的提高。9 6 年，陈金龙博士提出了数字散斑加权相关法，并将它应用 于航空材料粘接界面质量的无损检测之中 2 1 1 。1 9 9 7 年，计宏伟博士对 n e w t o n r e p h s o n 迭代相关方法进行了深入研究【2 2 1 ，并应用于对晶振片组件封装 的热应力研究和对改性高聚物宏细观断裂行为的实验研究，取得了重要的成果， 并且在2 0 0 1 年提出了新的初值估计方法【2 3 1 。1 9 9 9 年，d z h a n g 和x z h a n g 等人 应用光学数字散斑相关方法】，用一种被称之为“大窗口相关 的算法直接迭 代出应变。一些实验可以证明，这种方法能大大提高测量位移梯度的灵敏度和精 度。最后，将此方法应用于测量聚合泡沫塑料( p f p ) 的压应变，并根据不同的密 度，得到这种材料的弹性模量，泊松比等材料属性。2 0 0 0 年6 月，苏州大学的 龚浩瀚，姜锦虎，陈大庆数字图像相关方法与古老的网格法相结合，给出了一种 测量面内位移场的新方法一网格数字图像相关方法，实现了高精度的测量，精确 度可达0 0 2 亚像素。在该方法中网格点采用圆标记点，使该方法特别适用于小 线应变位移场的研测。2 0 0 1 年，潘小山等采用白光数字散斑相关方法研究了岩 石的局部化变形【2 5 1 ，通过实验测定了媒岩变形的局部化的开始时刻、演化过程 及局部化带的宽度，为研究岩石变形的非均匀化演化过程及岩石的细观本构参数 测定打下基础。2 0 0 2 年周克宾提出了两步数字图像相关测量方法【2 6 1 ，将简单的 搜索相关法与迭代相关法有机地结合起来，形成一种比较稳定可靠的新算法，提 高了计算精度和计算速度。2 0 0 3 年夏桂锁对该方法做了进一步改进【2 7 1 ，并将之 应用于电镀材料的力学性能研究。2 0 0 5 年，潘兵等提出了面内位移测量的基于 梯度的数字图像相关法，将整像素位移搜索和基于微区统计性质的亚像素位移梯 天津大学硕士学位论文第一章前言 度算法相结合的数字图像相关方法具有计算简单、求解效率高等优点【2 8 1 。2 0 0 6 年汪敏等提出了物体内部三维位移场的数字图像相关分析方法，对物体变形前后， 或连续变形的两个相邻状态的内部三维结构的数字图像，通过相关运算获得三维 位移场文中给出了三维相关法的体搜索窗口、相关函数及亚像素运算的相关系 数拟合函数。数字模拟结果证明了三维相关法的正确性及可靠性。位移计算精度 为o 0 2 像素【2 9 1 。2 0 0 7 年，方钦志等利用位移场的连续性，对亚像素位移场的算 法进行了一些改进，设计了一套分步计算位移场、应变场的测量计算方法，较好地 解决了数字图像相关分析法计算精度和效率。采用增量位移场叠加的方法计算大 应变位移场，采用局部平面拟合的方法计算应变场。由于避免了对亚像素点的搜 索，大大提高了计算效率【3 们。2 0 0 8 年，潘兵等人为使数字图像相关方法适用于大 变形测量，提出一种变形初值估计方法。通过在变形前图像中第一个计算点附近 选择三个或更多特征点并在变形后图像中选择其对应点，利用坐标对应关系获得 该点可靠的变形估计值作为n e w t o n r a p s h o n 方法的迭代初值【3 。该方法可对被 测物体存在任意刚体转动或大变形情况下的表面变形进行准确测量，克服了通常 的基于整像素位移相关搜索再进行亚像素位移测量的数字图像相关方法在被测 物面存在稍大转角或大变形情况下即不能使用的缺点。 经过多年的发展，数字图像相关方法已经成为现代光测力学领域的一种重要 的测试方法，随着计算机技术和图像采集设备性能的提高，数字图像相关技术的 测量精确度和速度得到很大的发展，应用逐步广泛。 1 2本文的主要工作 1 2 1 本文研究工作的背景及意义 数字图像相关测量方法已经成为现代光测力学领域引人瞩目的测试方法，其 测量精度和速度都有很大的提高，其应用领域越来越广泛，在测量连续的位移场 和应变场方面已成为一种较成熟的方法。但是，由于该方法的基本思想是通过统 计平均性来达到测量目的，在遇到强不连续问题如裂纹存在时，裂纹面附近 点的位移的测量较为困难，位移的突变会被这种统计平均性平滑掉，从而产生较 大误差。对于这一问题，国内目前尚未有有效的解决方法。近年来，国外已有人 针对这类问题提出了扩展数字图像相关法，这种方法的基本思想是将位移进行有 限元分解，将两幅图像的灰度值分布作差，得到局部残余，通过求最小局部残余 得到位移值4 7 1 。计算最小局部残余时在单元内对局部残余进行积分，然后对各 4 天津大学硕士学位论文第一章前言 个位移分量偏微分，得到一个方程组，通过解这个方程组求得位移分量。该方程 组的系数矩阵的每个元素都为积分形式。当单元内存在强不连续的变形情况( 如 裂纹) 时，则该系数矩阵需在变形后图像的两个不同的区域分别进行积分，当裂 纹形状不规则时，会为积分带来不便，计算效率不高。 本文所提出的扩展数字图像相关法是将位移模式进行有限元分解，然后将其 代入到传统的相关因子中，通过解求相关因子的最小值时所得的偏微分方程来得 到位移，避免了复杂的积分过程，计算效率相对较高。这种方法对于强不连续具 有自免疫性，搜索时可以自动跳过裂纹面间的不连续区。从而避免了由于所采点 处于缺陷区灰度值突变而引起的较大测量误差。有效地突破了传统的数字图像相 关法遇到强不连续问题时的局限。 1 2 2 本文的主要工作 本文将扩展有限元位移分解引入到数字图像相关法中，提出了一种新的测量 方法，并验证了该方法的正确性，分析了测量时可能产生的误差及产生误差的原 因。 1 分析、阐述了扩展数字图像相关法的理论思想； 2 推导了引入位移分解模式后相关因子的表达式以及求相关因子极值的迭 代算法表达式； 3 在使用迭代法解方程时，提出了自适应控制迭代算法； 4 研制了扩展数字图像相关法测量系统； 5 对测量系统进行了实验验证和精度分析，证明其可行性和可靠性，并分 析了产生误差的原因，提出了一些降低误差的措施。 6 将扩展数字图像相关法用于研究对带裂纹物体加载后，其表面跨裂纹区 域的变形情况。 天津大学硕士学位论文第二章扩展数字图像相关法理论分析 第二章扩展数字图像相关法理论分析 本章以数字图像相关法与扩展有限元位移分解法为理论基础，系统分析扩展 数字图像相关测量法的理论原理。 扩展数字图像相关法测量过程分为两步，第一步：用搜索法测出要计算的子 区的整体位移( 为整像素位移，只有整数部分) ；第二步：测子区内各点精确位移 ( 包括整数与小数部分) 。 2 1 搜索法测目标区域整体位移 扩展数字相关图像测量方法根据物体表面随机分布的粒子的反射光强度分 布在变形前后的概率统计相关性来确定物体表面的位移。由于斑点的随机性，物 体中的每一点周围一个小区域中斑点的分布是各不相同的，这个小区域通常称为 子区。根据统计相关原理，对于物体表面上任意一点变形的测量可以通过研究以 该点为中心的子区的移动和变形来完成t 3 2 。如图2 一l ，给出了子区的移动和变 形及其灰度分布情况。现在研究子区的中心点p 点的位移和应变情况。为此考察 以p 点为中心，由点p 及其周围像素所组成的子区变形前后的相关情况。 f x ，y ) ( x 气矿) 图2 - 1变形前后子区的灰度分布 6 天津大学硕士学位论文第二章扩展数字图像相关法理论分析 。 图2 2变形前后的子区 设p 点的横向位移和纵向位移分别为：u ，v ，变形后，p ( x ，y ) 移到了p ( x ，y + ) ， 从图2 2 中可以看出，p 点的坐标变为： x=x+u y=y+v 变形前后子区内任一点p ( x ，y ) 的灰度可以写成； f ( p ) = f ( x ，y ) g ( p ) = g ( 石，j ，) ( 2 1 ) ( 2 - 2 ) 这里f ，g 分别表示变形前后所记录的两帧图像的灰度分布。 用搜索法处理数字散斑图像时，首先在变形前的散斑图中选取一个子区，作 为样本图像，其灰度分布为f ( x ，y ) ，然后，在变形后的散斑图中寻找目标图像， 它的灰区分布是g ( x 毫，y 奎) 。实际上，x 幸，y 木是含有待求位移的未知量。 有了变形前后子区的灰度分布，就要计算样本图像和目标图像之间的相关 性，它是反映两幅图像相似程度的一个数学指标。由统计学可知，相关系数c 的定义为： c 一考鼢 q 卅 厂2 g ，y ) 9 2 b ，y 在这里c - 1 时，两个子区完全相关；c = o 时，两个子区完全不相关。 天津大学硕士学位论文第二章扩展数字图像相关法理论分析 子： 也可以换一种表示形式，将待求的未知量作为自变量参数，定义s 为相关因 一 一 厂g ，y ) g 延，y ! s1c1 = 一= 一f 兰兰妻尘兰! ：堇姜兰；兰岛 ，厂2 g ，y ) 9 2 b + ，y 0 搜索时，当子区移动到某一位置时s 达到了最小值，此时此子区的中心点坐 标值减去子区的中心点在变形前图像中的坐标值所得结果近似为子区整体位移 的整数部分。 2 1 1b 一样条插值法重建连续图像 数字图像的各散斑点的灰度信息都是以像素为单位存储的，因此进行相关测 量时直接得到的是各整像素位置的灰度值，无法获得整像素之间位置的灰度值， 即灰度分布是一些离散值。但是，在相关计算中，变形前后的散斑图中各点位置 变化是任意的，也就是说变形以前位于原来整像素的点变形以后常常会移到整像 素之间的位置，必须获得这个非整数点的灰度值，才能精确的求得方程的解。因 此，需要利用插值的方法重构连续的图像，以便获得整像素间位置的点的灰度值， 另一方面，将灰度分布通过插值转化为连续函数也为相关算法中第二步中的求导 运算提供基础。 在亚像素重建的方法发展过程中，有很多插值方法【5 2 1 。常用的有双线性插值， 双二次插值，二元三次样条插值，b 样条插值等，在精度方面，二元三次样条插 值和b 一样条插值精度较高，但是样条函数是分别在每个子区间i x i ，t + 。】上有一个 表达式，这在应用和理论分析中都很不方便，所以这里我们用b 样条插值( b 样 条插值利用基函数表示，较方便) 【3 4 1 。 将插值区域 口，6 】 c ，d 】分别沿横向与纵向分割如下： a z ：a = x o x l x n = b a j ，：c 2 y o y l y p2 d 为了构造b 样条函数，对上述分割加入新节点： x _ m x l 口= x o z l 矗26 矗+ l x n + 。 y 口 y i 口2 y 。 j ，i y p = b 少，+ l y p 州， 对于x 方向， 令( t ) = ( t - x ) ”，函数( x m + l - - x ，) ( f ) 关于 t = x 一，x j + m + l 的m + 1 阶差商 天津大学硕士学位论文第二章扩展数字图像相关法理论分析 嘣x ) _ x j + m + t - x j ) 驴m i x ，一，_ 】， j = 1n1 称为第j 个m 次b 样条函数，简称b 一样条函数。 利用差商的性质 嘣加( 铀训篙1 丽( x , - x ) 7 其中，( f ) = o x j ) ( t h 1 ) o 一棚+ 1 ) 由( 2 - 6 ) 定义的n + m 个样条函数是线性无关的，由此，x 方向的三次插值基 函数表示为3 3 1 ： 髓 ) = 0 ， - i 6 x x 2 - - 2 x + 当36 。 l 2x - - x 2 + ；，23 b 。( 一x ) ， x 2 ， 1 x 2 ( 2 7 ) 0 x 1 x 0 ， ( 卜1 3 ) 认x ) 2 ) ( y = 2 ) ( 2 一1 4 ) ( y 2 ) 根据阶越函数的符号标定方法，对于单元内任一点，与该点在裂纹同一侧的 结点的附加位移分量，其符号为正，另侧的为负。 对于裂尖所在的单元，其内部各点的位移表达式取( 2 一l o ) 式的第一、三项： u ( x ，) = f ( 置) 口，+ e b i ( x ，) c ；( 2 - 1 5 ) i， 其中表示由于裂尖存在附加的自由度，在每个自由度方向附加1 6 个自由 度。 彰( x ，) 为裂尖函数，表达式如下： ，= ( 抄c 朔妇( 争既s ( 争口， c ， 接下来讨论与位移分解法相对应的应变问题。根据弹性力学，在有限变形条 件下，面内应变可以表示为： 巳= 剐( 黔盼( 剀 髟= 裂獬饼+ 酬 = 黔+ 静器考+ 筹+ 豢期 ( 2 _ 一1 7 ) w 表示离面位移，在实际的计算中，认为在大多数情况下，忽略了离面位移 对面内应变的影响，公式如下 q = 鞋瞄树 q = 裂惭饼 c ， s w ：委f 拿+ 宴1 + 三f 塑丝i l t 4 + 堡( l v 堡1 岛2 j l 万+ 瓦j + j l 瓦。万+ 瓦。号j 天津大学硕士学位论文第二章扩展数字图像相关法理论分析 将式( 2 - 1 0 ) 写成标量形式如下： f “( _ ) = m ( ) ( 口，+ 岛h ( x ，) + 纠( t ) c ；) i 。s 1忙：i ( 2 - - 1 9 ) ，) - - z n 心，) ( d ，+ e h ( x 小磷( t ) ) l1 = l g = l 根据式( 2 1 9 ) ，有 里o x 军 百a ( a i + h i 6 f + 军b i ，c i ，、) + n , z ，a 似 ic 1 酽o v f 。a n j ( 、dk 卜；等b k 。瑚。， 万o u = 午 可o n 7 ( ”她+ 秽卜y 型o yc 刁 罢= 手 鲁( 咿wp 卜；等 将式( 2 2 0 ) 代入式( 2 1 8 ) 就可得到用位移分量表示的应变表达式，这里不再 赘述。 2 2 2 扩展数字图像相关法的因子计算 将数字图像相关法的子区作为一个单元，子区的四个角点作为单元的四个结 点。据扩展有限元位移分解原理，相关法子区内任一点的位移都可由子区的四个 角点的位移分量表达出来，据此，相关因子的表达式改写为： 其中 渊一毒銎些丝篓型竺尘 ( 2 21 ) 厂2 ( 工，y ) 9 2 ( x ，+ “，y ，+ v ，) 、。 铲一驴士+ 警+ 挈 1 4 ( 2 - 2 2 ) 天津大学硕士学位论文 第二章扩展数字图像相关法理论分析 在这里s = 0 时，两个子区完全相关：s = i 时，两个子区完全不相关，在实际操 作时在s 达到最小值时变形前后两幅图像的相关性最好，从而数字图像中散斑点 的位移可由求s 的极小值得到。相关因子s 表示为待求位移及其分量的函数，当 给出试凑位移分量时，使相关因子s 达到最小值的试凑值就是所要求的位移分 量。也就是说，求解位移分量并由此求出位移和应变( 由式( 2 - 1 8 ) ，( 2 2 0 ) 知， 只要求出位移分量就可得到应变) 的问题，转化为求以位移分量为自变量的相关 因子函数s 的最小值问题。 求s 的最小值问题的必要条件是： 协，一0slaai0 b i ，菁，爹a d ，考a e ，荔 = 。 c 2 _ 3 ， a c ；，彰j ￥7 其中i ，j ，k ，i = i ，2 ，3 ，4 ，所以对应于横向位移分量与纵向位移分量，共有4 8 个自变量。上述方程组写成矩阵形式： ， = 0( _ 2 4 ) 其中，i = l ，2 ，3 ，4 8 2 2 3 改进b f g s 法求解方程组 2 2 3 1b f g s 法求解方程组 b f g s 法求解方程组例( 2 - 2 4 ) ，公式如下： “j 。) 酚，) - 1 = ，( 单位距阵) 缸；柚 = 一酚) 1 ) 函) = 舻) + 缸j ”) & 。) = ；f ；“l ，) 厶“；， 。) = ；l ， 一p y ，) ( 2 - 2 5 ) 矗卅1 = p 一赢g k y r 巾州卜甓十舞， 天津大学硕士学位论文 第二章扩展数字图像相关法理论分析 这里f ，= 1 , 2 ，2 4 ；k = o ，1 ，2 ，表示迭代的次数。 t l i 、= a i , b i ，c i i ，d j , e y , ，；飞 ( 2 2 6 ) 从( 2 2 5 ) 式可以看出，迭代计算时只需要计算一个参数s ，) - 1 只要计算 一个算式就可以得到。则可以推导s 为： 耻落y ( fg譬ef煮e(gg z ( fg j 。2 咖 ) 2 ，) ，) ( z f 2e 9 2 ) 3 坨( z f 2e 9 2 ) 1 坨 p a 2 s 8 s i 6 盯2 瓦瓦2 瓦 = 【厂2 产( 9 2 户 。医g ，g ，+ g g ，) ( 厂g ) + g g ，) ( 厂g ，) + z ( g g ，) ( 厂g ，) 】 一3 侄厂z 户侄g ：声医q g ，) - g g ，凋驴g ) 一伍厂：产伍g ：产( 厂岛) ( f ，= 1 , 2 ，4 8 ) ( 2 - _ 2 8 ) 其中， g ，= 鲁2 妻。言+ 考，亳岛= 鲁 程序中b f g s 迭代计算的主要步骤为： ( 1 ) 缸，) 的初值置零，零值已经比较接近真实值，所以达到了牛顿迭代法 尽量使初值接近真实值的要求。 ( 2 ) 迭代。 ( 3 ) 首先计算出迭代中需要的参数 s 0 。 ( 4 ) 解式( 2 - - 2 5 ) 中第2 式。可以得到增量 血；” 。 ( 5 ) 根据以上得到的结果计算出缸， 和相关因子函数s 值。 ( 6 ) 迭代的结束：通过附件限制条件控制迭代计算是否结束。 1 6 天津大学硕士学位论文 第二章扩展数字图像相关法理论分析 ( 7 )返回计算结果。 2 2 3 2 迭代控制自适应算法 本文中由于使用扩展有限元位移分解模式，相关因子对各位移分量求偏导后 得到的方程组为病态方程组，迭代之后不收敛。这属于本文提出的测量方法的固 有问题，不可避免，所以需要对方程组作一些改进。一般在解病态方程组时，有 许多改进方程组的方法 4 8 - 4 9 】，常用的有以下两种处理方法m ： ( 1 )带阻尼因子的n e w t o n 格式 为了克服b 打 的奇异性或减轻病态程度，在方程组中引入阻尼因子，7 。，得到 带有阻尼因子的n e w t o n 格式 工“1 - - - - x - i f ( 工) + ，7 t e 】一1 f ( x )( 2 - 2 9 ) r 。的选择，要实现矩阵，( x ) + 仉e 严格行( 或列) 对角占优，以保证它非奇 异且病态程度不十分严重。 ( 2 )下降n e w t o n 格式 为了放宽对初始向量的要求，在方程组中引入下降因子吼，得到下降n e w t o n 格式 x 七+ 1 = 工n q f ( 工) 一1 f ( x 。)( 2 3 0 ) 通常在( o ，1 ) 内选择纯，当哦= l 时，就是牛顿格式。 以上方法虽然或可以改善对初始近似的要求，或可以改善矩阵的奇异或病态 性，但对本文的复杂非线性问题，选择同一个魄和仇，难以同时保证各x ，( i = 1 ， o o ，n ) 点不发散、快速收敛，往往为了克服某些点的奇异性，而导致其它点的收敛 速度减慢，不能适应计算的需要。 上述两种改进的牛顿法均未彻底解决这一问题，因而结合上述两种方法的思 想，本文设计了一种自适应控制法。 其中，对带阻尼因子的牛顿法作了进一步改进。阻尼因子的选取采用如下公 式 天津大学硕士学位论文第二章扩展数字图像相关法理论分析 为保证修正后的系数矩阵严格对角占优，口取大于1 的正实数。 将下降因子改为了下降矩阵 ( 2 3 1 ) 群 = d i a g ( 群，仞? ，群)( 卜3 2 ) 在迭代过程中，引用有效收敛系数与加速系数，根据每次迭代的判断结果，不 断地自动调节下降因子矩阵 露，、阻尼因子向量 彬，以此来加速求解的迭代 过程，保证了复杂强非线性方程求解的稳定性。 对于方程 有如下改进形式： ( 2 3 3 ) “= 一群【s 扩+ ，7 7 e 】。1s j ( 2 _ 3 4 ) 阻尼因子刁j 和下降因子对各点“，的值是不同的，而且在迭代过程中也是 变化的，由于系统的节点数很多，如果没有一套有效的办法来自动地调节，无法实 现上述计算，在这里引用了自动调节阻尼法哪! 定义收敛率为 群= 血，。，( i ：1 2 ， n ) ( 2 - 3 5 ) 迭代时，有以下几种情况： 似f s 。荔 口 j i 膏f玎 ，= o ，八j 后 却k_ 净，f彬ff鲁虹 _ u 七 h 船” 天津大学硕士学位论文第二章扩展数字图像相关法理论分析 ( 2 3 6 ) 式中a 为有效收敛系数，b 为加速系数，a ，b ，v 均为正实数，其中a i ，b 1 。 具体算法如下： 1 ) 取定初始近似z f ? = 0 ，初始阻尼因子向量印? = 口s 岁，l a i ，有效收敛系数a 与加速系数b ，根据迭代收敛速度灵活选取。 2 ) 计算s j 们，s 夕，解方程组血；o = 一群 s + 矿明- 1 s ；们，求出“? ； 3 ) 计算s ；n ，跚，解方程组血= 一叫 s ，+ 耐目。1 科，求出a u 0 4 ) 求名，若名一a ，令叫= c o o y ，研= 矿y ，若o 爿 b ，令叫= 钟l ， 彬= ，7 7 v ，转步骤3 。若一a 爿 b ，则无需调整，走下一步； 5 ) 当走到第k 步，计算研n ，解方程组“；”= 一群 砖”+ 彬明- 1 9 n ， 求出血? ； 6 ) 求笱，若前 - a ，令群= 群q v ，群= 刁? 一v ，若o 前 b ，令露= 舛。1 y ， 矿= 刁? _ 1 l ，转步骤5 。若一a b ，则无需调整，走下一步； 7 ) 根据测试精度需求设定一个精度要求系数s ，若i l 血占求迭代终止。 2 3 本章小结 本章提出了一种新的测量方法一扩展数字图像相关法，并详细分析了该方 法的测量原理；推导了理论公式；介绍了扩展数字图像相关法的两个测量步骤： 第一步：用搜索法测出要计算的子区的整体位移；第二步：对图像灰度进行亚像 素插值，使之成为连续的分布函数，对位移模式分解，然后用迭代法测子区内各 点的位移。 对于扩展数字图像相关法中病态方程组的求解，提出了自适应控制算法，并 详细列出了该算法的运算步骤。本文采用这一新的方法改进病态方程组，有效地 使之达到收敛，并得到了比较精确的结果。 1 9 天津大学硕士学位论文 第三章扩展数字图像相关法测量系统的研制 第三章扩展数字图像相关法测量系统的研制 扩展数字图像相关法测量系统主要包括软件部分( 实现计算功能) 与硬件部 分( 主要针对数字图像的获取) ，本章主要分析扩展图像相关法测量软件的测试流 程以及通过实验获取数字图像的详细方法，验证测量系统的可靠性。 3 1 扩展数字图像相关法测量系统软件包的研制 根据第二章对扩展数字图像相关法理论研究和分析，本文采用v c + + 6 0 研制 了相应的计算软件包。4 k 缸5 1 1 。其内部流程如图3 - 1 和图3 2 ： 图3 1 第一步：搜索法求子区整体位移( 近似值) 天津大学硕士学位论文第三章扩展数字图像相关法测量系统的研制 图3 2 第二步：迭代法测待测区域位移场 2 1 天津大学硕士学位论文第三章扩展数字图像相关法测量系统的研制 扩展数字图像相关法测量系统软件包操作界面如图3 - 3 至图3 - 8 。 圈3 - 5 到刨 图3 - 6 圈3 - 8 从图3 - 3 开始运行程序从图3 4 中打开要计算的两幅图像，并输入搜索范 围，然后下一步进入图3 - 5 输入扩展数字图像相关法的两步计算步骤中各自的子 区尺寸；点击下一步进入图3 - 6 ，选择计算区域，如果属于跨裂纹区域，在对话 框中输入裂纹位置，如果属于连