（控制理论与控制工程专业论文）基于lmi技术的线性系统模型降阶与静态输出反馈控制器设计.pdf

ad i s s e r t a t i o ni nc o n t r o lt h e o r ya n dc o n t r o le n g i n e e r i n g l m i - - b a s e d a p p r o a c h e s t om o d e lr e d u c t i o n a n ds t a t i co u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l l e rd e s i g n f o rl i ne a r s y s t e m s b yd ux i n s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o ry a n gg u a n g h o n g n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y d e c e m b e r2 0 0 9 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中 取得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表 或撰写过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：卡k 霎爻 日期：2 0i 、i i 口 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学 位论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的 复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后： 半年一年口一年半口两年口 学位论文作者签名：杜差l 签字日期： z 口l i l o 导师签名： 签字日期： 检嚣歹山 东北大学博士学位论文摘要 基于l m l 技术的线性系统模型降阶与静态输出反馈控制器设计 摘要 随着现代社会信息化、系统化的发展，人类面临的各种控制系统的规模越来 越大，由此导致系统模型以及控制器的阶数也越来越高，相应的对系统分析计算 和综合实现的复杂度也越来越人。为此，模型降阶和降阶控制器的设计一直都是 控制理论中的热门研究领域，并在过去的几十年里取得了长足的发展和广泛的应 用。然而，其r f l 的一些问题通过现有的方法巾仍不能得到很好的解决，如在模型 降阶的研究中，针对系统工作频率范围已知的情况，现有的如基于加权矩阵的平 衡截断等方法会带来定的不准确性和不可靠性，而且无法给出降阶模型和高阶 模型伍已知频率范围内的逼近性能。此外现有的一些基丁线性矩阵不等式的模型 降阶和降阶控制器( 如静态输出反馈控制器) 的设计条件存在着定的保守性，如 何给m 保j r 性更少的设计条件也足一个非常重要的问题。 本论文在前人。1 ：作的基础上，给出了新的慕于线性矩阵不等工匕( l m i ) 技术的 模型降阶和静态输f f 反馈控制器设计方法。针刈已知输入信号频二瞥范l 韦j 情况下的 模型降阶问题，通过结合广义k y p j i 理给出了可以准确刻l 嘶有限频逼近误差的设 计条件，解决j ，现有方法如频率加权法等，滞来的不准确性问题。对伞频范i 韦l 考虑 的模型降阶问题以及离散时间系统的静态输出反馈问题，均给出 ，相对于现有结 果保守性更少的没计条件。另外，针对实际系统中仔仟不确定性和时滞的情况， 研究 r 系统中含有多胞f i 确定性神j 时1 i 变状态时滞情况。f 的静态输h ；反馈控制| u j 题。本文的一些结果t h j 到厂对r l c t e 路系统的模型降阶中，数值算例与仿真验证 了本文提出力i 去的优越性和有效性。 第一、二章系统地分析和总结了模慢降阶与静态输反馈控制这两个控制理 沦巾的热门研究领域的发展王见状及研究方法，并给出了与本文相火的一螳预备知 识。 第i 、四章分别就连续线性系统和离散线性系统的巩、：模堑! 降阶问题给 出了新的基于线性矩阵不等式的设计条件。在考虑日。模型降阶时，通过结合新提 出的广义k y p 引理，根扼输入信号不i 耐的频率范围分别给出伍低频，中频，高频 和仝频时的h 。模型降阶结果，这样就避免了过去方法处理囱限频模型降阶时的不 确定性和不可靠性。此外对全频巩模璎降阶问题，本章的方法也比现有文献- 扣的 些同类方法具有更少的保守性。数值算例和仿真进。步说明了本章提出方法的 有效性和优越性。 东北大学博士学位论文摘要 第五章研究了离散时间系统的静态输出反馈控制问题。基于l m i 技术，分别 给出了- - n 针对镇定控制，如控制，以及正实控制的静态输出反馈控制设计条 的方向。 l mi b a s e da p p r o a c h e st om o d e lr e d u c t i o n a n ds t a t i co u t p u tf e e d b a c kc o n t r o ll e r d e s i g nf o rl i n e a rs y s t e m s a b s t r a c t d u et ot h ei n c r e a s i n gd e v e l o p m e n to fi n f o r m a t i o n i z a t i o n ，s y s t e m a t i z a t i o no ft h e m o d e r ns o c i e t y ，t h ed i m e n s i o n so fv a r i o u sc o n t r o ls y s t e m sa r eb e c o m i n gl a r g e ra n dl a r g e r , a n dt h er e s u l t i n gc o m p l e x i t yf o rs y s t e ma n a l y s i sa n ds y n t h e s i sa r ea l s oi n c r e a s e db e c a u s e t h ei n c r e a s i n go r d e ro ft h es y s t e mm o d e la n dt h ec o r r e s p o n d i n gc o n t r o l l e r t h e r e f o r e ， t h er e d u c t i o nt h e o r y ( i e m o d e lr e d u c t i o na n dr e d u c e d o r d e rc o n t r o l l e rd e s i g n ) i sa l w a y s ab u r g e o n i n gr e s e a r c ha r e a g r e a td e v e l o p m e n t sa n dw i d ea p p l i c a t i o n sh a v eb e e nm a d e d u r i n gt h el a s ts e v e r a ld e c a d e s h o w e v e r , t h e r ea r es t i l ls o m ep r o b l e m st h a tc a n n o tb e p r o p e r l ys o l v e dv i at h ee x i s t i n gm e t h o d s f o re x a m p l e t os o m ee x t e n tt h e r e e x i s t sm a c c u r a c ya n du n r e l i a b i l i t yw h i l eu s i n gt h ee x i s t i n gm e t h o dt oc o p ew i t ht h ek n o w no p e r a t i n g f r e q u e n c yi n f o r m a t i o no ft h es y s t e m ，a n dt h e r ee x i s t sn oa p p r o x i m a t i o np e r f o r m a n c ei n f o r m a t i o no v e rt h ek n o w nf r e q u e n c yi n t e r v a l b e s i d e s ，h o wt or e d u c et h ec o n s e r v a t i s m o ft h ee x i s t i n gl m i b a s e dd e s i g nm e t h o d sf o rm o d e lr e d u c t i o na n ds t a t i co u t p u tf e e d b a c k c o n t r o li sa l s oa ni m p o r t a n tp r o b l e m t h i st h e s i s ，b a s e do np r e v i o u sw o r k so fo t h e r s ，p r e s e n t sn e wm e t h o d s f o rm o d e lr e d u c t i o na n ds t a t i co u t p u tf e e d b a c kc o n t r o lp r o b l e m sv i al m i b a s e da p p r o a c h f o rt h e m o d e lr e d u c t i o np r o b l e mt h a tw i t hk n o w nf r e q u e n c yi n f o r m a t i o na b o u tt h ei n p u ts i g n a l ， t h ed e s i g nc o n d i t i o n sa r ed e v e l o p e dw i t ht h ea i do ft h eg e n e r a l i z e dk y p l e m m a w h i c h c a nd e a lw i t ht h ea p p r o x i m a t i o ne r r o ro v e rf i n i t ef r e q u e n c yd i r e c t l y t h e r e f o r e t h ei n 。 a c c u r a c yr e s u l t e db yt h ee x i s t i n gm e t h o d ss u c ha sf r e q u e n c y w e i g h t e dm e t h o dc a nb e a v o i d e d f o rm o d e lr e d u c t i o np r o b l e m so v e re n t i r ef r e q u e n c yi n t e r v a la n ds t a t i co u t p u t f e e d b a c kc o n t r o lp r o b l e m sf o rd i s c r e t e t i m es y s t e m s ，d e s i g nm e t h o d sw i t hl e s sc o n s e r v a t i v e n e s sc o m p a r e dw i t ht h ec o u n t e r p a r to n e si nt h el i t e r a t u r e sa r ed e v e l o p e d b e s i d e s ， s t a t i co u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l l e rd e s i g nm e t h o d sf o rs y s t e m sw i t hp o l y t o p i cu n c e r t a i n t i e s a n dt i m e i n v a r i a n td e l a ya r ea l s op r e s e n t e dr e s p e c t i v e l y p a r t so ft h ed e v e l o p e dm e t h o d sa r ea p p l i e dt ot h em o d e lr e d u c t i o no fr l c c i r c u i ts y s t e m s n u m e r i c a le x a m p l e sa n d v 查! ! 垄茎堡主兰堡丝查塑坐型 s i m u l a t i o n si l l u s t r a t et h ea d v a n t a g e sa n de f f e c t i v e n e s s o fo u ra p p r o a c h e s c h a p t e r s1 - 2s u m m a r i z et h ed e v e l o p m e n ta n dm a i nr e s e a r c hm e t h o d s i nt h eb u r - g e o n i n gr e s e a r c ha r e a s ：m o d e lr e d u c t i o n a n ds t a t i co u t p u tf e e d b a c kc o n t r 0 1 p r e l i m i n a r i e s a b o u tt h ec o n s i d e r e dp r o b l e m sa le a l s og i v e n c h a p t e r s3 4p r e s e n tn e wl m i b a s e dd e s i g nm e t h o d sf o r 如a n d h 2m o d e l 佗d u c t i o np r o b l e m sf o rl i n e a rc o n t i n u o u s t i m es y s t e m sa n d d i s c r e t e t i m es y s t e m s ，r e s p e c t i v e l y b a s e do nt h er e c e n t l yd e v e l o p e dg e n e r a l i z e dk y p l e m m a ，d e s i g nm e t h o d 5o f 月o 。m o d e i r e d u c t i o na r ed e v e l o p e du n d e rl o w f r e q u e n c y ，m i d d l ef r e q u e n c y ，h i g hf r e q u e n c y ，a n d e n t i r ef r e q u e n c yi n t e r v a lc o n s i d e r a t i o n sa c c o r d i n gt ot h ef r e q u e n c yi n f o r m a t i o na b o u t 1 n p u t s i g n a l c o n s e q u e n f l y ，t h eu n c e r t a i n t ya n du n r e l i a b i l i t y o ft h ee x i s t i n gm e t h o d sf o rn n l t e f r e q u e n c ym o d e lr e d u c t i o np r o b l e m sa r ea v o i d e d f o rt h ee n t i r ef r e q u e n c y 爿。m o d e i r e d u c t i o np r o b l e m s ，i ti sa l s op o i n t e do u tt h a tt h ec o n s e r v a t i v e n e s s o ft h ep r o p o s e dm e t n o d si nt h i sc h a p t e ri sl e s st h a nt h ee x i s t i n go n e s n u m e r i c a le x a m p l e sa n d s l m u l a t l o n s i l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s sa n da d v a n t a g e so ft h ep r o p o s e da p p r o a c h c h a p t e r5i n v e s t i g a t e st h es t a t i co u t p u tf e e d b a c k c o n t r o lp r o b l e mf o 。1 1 n e a rd l s c r e t e 。 t i m es v s t e m s s t a b i l i z a t i o n ，日。a n dp o s i t i v er e a l s t a t i co u t p u tf e e d b a c kc o n t r o ld e 5 1 9 n 东北大学博士学位论丈 a b s t r a c t p r e s e n t e d n u m e r i c a le x a m p l e si l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s sa n da d v a n t a g e so f t h ep r o p o s e d a p p r o a c h f i n a l l y ，t h er e s u l t so ft h ed i s s e r t a t i o na r es u m m a r i z e d a n df u r t h e rr e s e a r c ht o p i c sa r e p o i n t e do u t k e y w o r d s ： m o d e lr e d u c t i o n ，s t a t i co u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l ，l i n e a rs y s t e m s ，l i n e a ru n c e r t a i ns y s t e m s ，l i n e a rd e l a ys y s t e m s f i n i t ef r e q u e n c y ，p a r a m e t e rd e p e n d e n tl y a p u n o v f u n c t i o n 。l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) ，h 。c o n t r o l ，p o s i t i v er e a lc o n t r 0 1 v i i 东北大学博士学位论文a b s t r a c t v i i i 东北大学博士学位论丈 目 录 目录 独创性声明 i 摘要i i i a b s t r a c t 1 ， 第一章绪论1 1 1 引言 1 1 2 模型降阶理论概述 3 1 2 1 线性系统模型降阶的j 、口j 题，方法及发展 3 1 2 2 有限频模型降阶的研究意义与发腱现状 7 l - 3 降阶控制器设计方法概述 9 1 4 本文的主要t 作1 0 第二章预备知识1 3 2 1 一些定义1 3 2 2 一些，j l 理1 5 2 3 本文使用的符号1 8 第三章连续线性系统的模型降阶1 9 3 1 引言1 9 3 2 连续线性系统的日。模璎降阶2 0 3 2 1 问题 抖述2 0 3 2 2 连续线性系统低频范围内的打。模型降阶2 1 3 2 - 3 连续线性系统一 一频范l 董i 内的h 、模型降阶2 6 3 2 4 连续线性系统高频范h 爿内的h 。模州降阶2 7 3 2 5 连续线忡系统伞频范幽内的h 。模型降阶2 9 3 2 6 数值算例与、证用3 2 3 3 连续线性系统的h 2 模璎降阶4 2 3 3 10 u 题描述4 2 3 3 2 连续线性系统的h 2 模掣降阶4 2 3 3 3 数值算例4 4 3 4 本章小结4 5 第四章离散线性系统的模型降阶4 7 4 1 引言4 7 一l x 东北大学博士学位论文 目录 4 2 离散线性系统的如模型降阶 4 2 1 问题描述 4 2 2 离散线性系统低频范围的比模犁降阶 4 2 3 离散线性系统中频范同的比模型降阶 4 2 4 离散线性系统高频范【蔓| 的模型降阶 4 2 5 离散线性系统全频范围的比模型降阶 4 2 6 数值算例与应用 4 3 离散线一陀系统的皿模型降阶 4 3 1 问题捕述 4 3 2 离散线性系统的恐模型降阶 4 3 3 数值算例与仿真 4 4 本幸小结 第五章离散线性系统的静态输出反馈控制 5 1 引言 5 2 离敞线性系统的镇定静态输小反馈控制 5 2 1 问题描述 5 2 2 离散线性系统的镇定静态输出反馈控制器设计 5 2 3 数值算例j 5 3 离散线性系统的h 。静态输出反馈控制 5 3 1 问题描述 5 3 2 离敞线性系统的口。静态输出反馈控制器设计 5 3 3 数值算例 5 4 离散线。阡系统的f 实静态输出反馈控制 5 4 1 问题描述 5 4 2 离散线性系统的正实静态输出反馈控制器设讣 5 4 3 数值算例 5 5 本章小结 第六章离散线性不确定系统的静态输出反馈控制 6 1 引言 6 2 离敞不确定系统的性能分析 6 2 1 问题描述 6 2 2 离散不确定系统的有界实判据 6 2 3 离散不确定系统的正实判据 6 2 4 数值算例 6 3 离散不确定系统的静念输出反馈控制器设计 6 3 1i 口j 题捕述 一x 一 钾钉锣如钇够弘卯卯卯叭 ：合酪：合：合酌乃”乃为舳舳引阻 踮踮踮鼯叭够孵 东北大学博士学位论文 目 录 6 3 2 离散1 i 确定系统的戤静态输出反馈控制9 4 6 3 3 离散不确定系统的正实静态输m 反馈控制9 8 6 3 4 数值算例1 0 0 6 4 本章小结1 0 1 第七章一类离散时延系统的静态输出反馈1 0 3 7 1 引言1 0 3 7 2 问题描述1 0 3 7 3 离散时不变时延系统的比静态输出反馈1 0 4 7 4 数值算例1 0 8 7 5 本章小结1 1 0 第八章结论与展望l l 1 参考文献1 1 3 致谢1 3 3 攻读博士学位期间所做的主要工作1 3 5 一x i 东北大学博士学位论文目录 一x i i 东北大学博士学位论文 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论弟一早珀v 匕 控制理论作为一门科学从上个世纪4 0 年代开始起得到了极大发展，并成功的 应用在几乎所有的工业生产部门，如产品质量、自动装配线、机床控制、空问技 术与武器系统、计算机控制、交通运输、动力系统、机器人、微机系统、纳米技 术等以及航空航天核工业等领域。控制理论的的一个重要思想就是首先对被控对 象建立一个用微分方程来描述的数学模型，然后根据这个数学模型来对其做进一 步的分析和综合。但这种基于模型的处理方法不可避免的会带来如下两方面之间 的矛盾。 一方面，被控对象的数学模型一般是根据基本的物理原理如电路系统中 的k i r c h o f f 电压电流定理，机械系统中的牛顿运动学定理等对系统分析建模豸大得， 或者由参数辨识等方法得到。随着现代控制系统的不断复杂化，大型化，系统数 学模犁的维数也越来越高，如精馏塔、发电机、r l c 电路、v l s i 超大型集成电 路、柔性结构系统、航天器、空| 日j 站、弹性飞机等的精确数学模型可能达到几 卜，几百甚至上t ，由此导致的后续的分析和设计所需的计算复杂度也越来越 人，以至于普通计算机的汁算能力的增长跟不上由丁系统维数增长带来的计算需 求。另一方面，在应用现代控制理论如h o 。，凰，“分析等对系统进行综合设计 时，得到的控制器滤波器常常是与被控系统同阶，这就给其在工程实践上带来了 困难，因为阶数越高意味着所需的成本越高，复杂度越人。 而另一方面，对个实际的系统而言，许多情况下并不需要十分精确的数学 模犁就可以得到想要的分析结果，如太阳系行星运动方程数是1 0 2 4 个，但- 牛顿仅 用了9 个方程就足够精确地描述了太阳系行星的运动规律。在对被控对象的控制 中，有时候对控制的精度和性能( 如系统的干扰抑制性能) 的要求并非十分苛刻， 此时在一个最优但是阶数较高的控制器滤波器和一个次优但是阶数较低的控制 器滤波器问，后者往往更容易受到控制工程领域的青睐。因为较低的控制器阶 数意味管较简单的模拟程序、较少的计算机时间、较省的动力学元件、较易实现 的控制律、较低的噪卢灵敏度和较高的可靠性来设计、模拟和实现系统。正因为 此，降阶控制器在实际中着广泛的需求和应用，如控制工程领域常用到的静态输 出反馈控制器就是一个阶数为零的降阶控制器，还囱p i d 控制器也是一种阶数为 的降阶控制器。 基于上述考虑，控制理论中迫切需要建立一套方法来平衡这两个方面i h j 的矛 东北大学博士学位论文第一章绪论 盾。具体来说，就是在对系统分析时，要在模型对系统描述的精度和与之相应的 计算复杂度之间寻找一个平衡；在对系统控制时，要在控制系统的性能和实现控 制所需的成本之i 日j 做一个平衡。因此，降阶理论做为控制理论的一个重要分支从 上6 0 年代未便应运而生，并得到了极大发展。做为一门平衡( t r a d e o f f ) 的艺术，降 阶理论中的一些成果可以说是赏心悦目的，并使得人们对控制理论本身产生更深 层次的认识。从哲学的角度来讲，降阶理论可以看成一种如何处理主要矛盾和次 要矛盾的方法论。 因为降阶理论在工业以及军事、航空、航天等领域都有着相当广泛的背景和 应用，其理论方面的研究长期以来一直受到国际自动控制界的高度重视，并已发 展成为自动控制研究的一个重要分支。i e e e 控制与决策国际会议，美国控制会议 等多年来一直有模型降阶以及降阶控制器设计的讨论专题，并有多次以此为主题 的大会报告。控制领域的所有国际杂志几乎常年都有许多以降阶为主题的研究论 文，并有些综述文章【1 5 1 6 , 3 8 , ”o 】及学术专著【1 - 5 对降阶理论给出了系统详细的介 绍。一般地，可将降阶问题分为模型降阶和降阶控制器设计两大类，见下图。其 中模犁降阶方法主要用丁系统的建模与分析，而降阶控制器则属于系统综合的研 究范畴。 图1 1模型降阶与降阶控制器设讣 f i g 1 1 m o d e lr e d u c t i o na n dr e d u c e d o r d e rc o n t r o l l e rd e s i g n 做为一个发展较早，相关文献数罩庞大，相对成熟的研究领域，很难对其作 一个详尽的全景描述。下面作者根据自己对降阶理论研究领域的理解，分别就模 型降阶和静态输出反馈控制两个研究方向给出简单的介绍，其中将侧重讨论与本 文研究问题相关的方向，不足和疏漏之处在所难免。 一，一一一 东北大学博士学位论文 第一章绪论 1 2 模型降阶理论概述 模型降阶( m o d e lr e d u c t i o n ) 在文献中又称为模型简化( m o d e l s i m p l i f i c a t i o n ) t 1 2 7 1 ，模型逼近( m o d e la p p r o x i m a t i o n ) f 7 3 1 等。模型降阶问题起源丁 对控制系统尤其是r c l 无源电路网络系统【q 的建模与实现问题，此后开始，“泛的 用于包括电力系统 1 9 , 2 0 , 2 3 】，v l s i 大规模集成电路【4 1 ，大型空f h j 柔性结构【1 8 ，1 2 5 】， 飞机控制系统【1 3 ，2 1 1 ，化工过程【2 2 】，f i r i i r 滤波器的【1 7 , 2 5 - 2 9 在内的许多控制系统 中。一个大型电路的模型降阶可用下图来形象的表示。 勺 工i 图1 2大型电路系统的模犁降阶 f i g 1 2 m o d e lr e d u c t i o nf o rl a r g e s c a l ec i r c u i ts y s t e m 模型降阶发展到今天，其影响已远远超出了控制领域，其中的一些思想和方 法还被人黾用于图像处理，数值分析等领域。本文中只考虑控制领域巾尤其侧重 予线性系统框架下的模型降阶问题。 1 2 1 线性系统模型降阶的问题，方法及发展 为了对线性系统进行分析，一般的做法是首先根据系统的结构，运行原理或 由参数辨识得到一个描述其特征的 维( 阶) 模型，如果用状态空间方程可表示为 圣( ) = a z ( t ) + b u ( t ) y ( t ) = c z ( t ) + d u ( t ) 当然也可以用传递函数的形式来表示，即： g ( s ) = c ( s i a ) - 1 b + d 一3 一 ( 1 2 ) 东北大学博士学位论丈 第一章绪论 模型降阶的任务是通过数学方法寻找一个r ( r o 1 o r r 盯r + 1 o r r + 2 c r n 其中鼠为特征值l 的重数，s 1 + 8 2 + + s = n 将系统的平衡实现分块为： g ( s 1 = 那么降阶系统便可从中截断而得，即 g ，( s ) = 且该降阶模型满足下面两个优良的性质： g r 保持系统的稳定性 在如范数意义下g ，对g 满足如下的模型逼近性能 g ( s ) 一g ，( 4 1 1 0 。2 ( 仃，+ l + 仃，+ 2 + + o n ) ( 1 4 ) 随后在l9 8 4 年，g l o v e r 在国际控制杂志( i n t e r n a t i o n a lj o u r n a lo fc o n t r 0 1 ) 上发 表题为线性多变量系统的最优h a n k e l 范数估计及其2 。误差界1 3 1 1 ( a l lo p t i m a lh a n k e l - n o r ma p p r o x i m a t i o n so fl i n e a rm u l t i - v a r i a b l es y s t e m sa n dt h e i rl o oe r r o r b o u n d s ) - - 文，给出了在h a n k e l 范数意义下的平衡截断模型降阶结果，进一步完 善和发展了平衡截断理论。从f ：面的介绍可以看到平衡截断算法简单，物理 意义清晰，且降阶模型和高阶模犁之间的误差在一个合理的范围内，集中的 体现了平衡之美。正因为这些优雅的性质，所以平衡截断法从问世以来，就 倍受控制界的学者和工程师所推崇，截止目前为止文献 3 0 1 的g o o g l e 文献引用 率1 7 8 9 次，【3 l 】的g o o g l e 文献引用为1 3 6 2 次，在控制工程实践中尤其对电路系统等 的建模等领域平衡截断法取得了广泛的成功应用。随着控制系统在横向及纵向的 进一步发展，模型降阶理论在平衡截断法提出之后也在不断的前进者并取得了丰 一5 一 东北大学博士学位论文第一章绪论 硕的研究成果，但是也有一些问题仍未能得到很好的解决。 从模型降阶理论的横向发展来讲，在后平衡截断法时代，许多学者致力 于将该方法推广到更为复杂的系统上，并取得了大量的研究结果，如针对 对称系统 8 7 】，双线性系统 8 6 】不确定系统 8 1 1 1 8 2 ，广义系统 8 3 1 1 8 4 8 5 ，线性 参变系统 8 8 8 9 】线性时变系统 9 0 】 9 1 9 2 】，周期系统 9 3 】 9 4 】，m a r k o v l i 兆变系 统 9 5 】 9 6 】 9 7 等都得了基于平衡截断法的相应的模型降阶方法。模型降阶理论纵 向的发展则主要集中在下面给出的几个方面： ( 1 ) 由于平衡截断法中需要求解系统的l y a p u n o v 方程以得到可控可观格拉姆 矩阵，进而得到求取平衡实现所需的坐标变换矩阵，而这个过程的计算复杂度 为o ( n 3 ) ，当系统维数超高时，就会导致数值上的求解困难。于是，研究人员提出 了提出了基于混合k r y l o v 子空间的降阶方法【6 3 2 - 3 7 1 ，对这种方法的研究已成为模 型降阶领域的一个热门方向，取得了许多研究成果，并成功的运用在如大规模集 成电路( v l s i ) 系统的建模以及图像处理等控制理论意外的领域。 ( 2 ) 对许多实际系统而言，系统的工作频率范嗣通常是一个已知的区间，冈此 如何使得降阶模型对给定的高阶模犁在这个已知的频率范围上的取得更好的逼近 性能就成为一个非常重要的课题。而在平衡截断法中无法将已知的频率信息考虑 在内，这就催生了有限频模犁降阶这个研究方向，许多研究人员在此方向做了大 量的工作，提出了一些方法，但这些方法末能完善的解决自限频模型降阶问题， 在下小节中将对该问题做详细的阐述。 ( 3 ) 平衡截断法给出了在日。范数和h a n k e l 范数意义下的误差界，但是却无法 给出在吼范数以及峰峰诱导增益范数等意义下的相应结果。另外在埘日。逼近性 能要求较高的情况下，平衡截断法给出的次优解有时无法满足要求，对此已经有 许多研究人员致力丁发展合适的算法以得到在吼范数，如范数等意义下的最优 降阶模型。这个方向的研究工作起步也非常早，如在文 1 0 9 1 中给出了一种基丁频 域相应的优化算法；文【1 1 0 】中提出了一种基于梯度流( g r a d i e n tf l o w ) 的算法来优化 降阶模型对高阶系统逼近的- 2 性能。 做为一个对控制系统进行分析和设计的强大工具，线性矩阵不 等式( l m l ) 从上世纪6 0 年代起就开始吸引了控制领域专家的注意， 在1 9 8 8 年n e s t e r o v 和n e m i r o v s k i i 7 提出求解凸优化问题的内点法后，基丁i 线性 矩阵不等式的系统分析和综合方法更是得到了迅速的发展。就模型降阶问题而 言，g r i g o r i a d i s 等在文【11 3 1 11 4 】中首先通过投影引理( p r o j e c t i o nl e m m a ) 来尝试给 出最优比降阶模型的线性矩阵不等式条件，并指出了模型降阶问题同降阶控制 器设计问题一样，可以归结为一组线性矩阵不等式外加一个非凸的关于矩阵变量 秩的约束条件。这个非凸的秩的约束问题可通过锥补线性化( c o n ec o m p l e m e n t a r i t y 6 东北大学博士学位论丈 第一章绪论 l i n e a r i z a t i o n ) 等方法 1 7 4 进而得到一个基丁迭代线性矩阵不等式的处理方法。同样 的方法还进一步发展到对时延系统f 1 15 1 1 9 , 1 2 0 】，奇异系统【1 1 6 】，随机系统7 】，不确 定离散系统b 2 1 以及m a r k o v 跳变系统 1 18 】的模型降阶问题上。在这类方法中应用较 广，但其中用到的迭代算法的收敛性及可靠性有待进一步研究。 另一个以线性矩阵不等式为工具的研究方向是以算法的保守性为代价，来 寻找一个的允分性的线性矩阵不等式设计条件。文 1 3 1 针对离散时间系统给 出了在平衡截断法基础进一步优化日o 。降阶性能的设计条件；文【1 3 2 就峰峰增 益诱导范数意义下给出了模型降阶设计条件；e b i h a r a 等在文 1 2 3 】 1 2 4 c f 通过固 定l y a p u n o v 矩阵变黾的某些子块得到了关于连续离散时间系统的h 。模型降阶 线性矩阵不等式条件，同时指出模型降阶问题可以归结为一类静态输出反馈问 题；在文 1 2 5 】【1 2 6 中，g e r o m e l 等给出一种两步算法，具体来讲就是首先通过一 个s v d 分解，得到一个初始矩阵，然后将连续离散时l 日j 下的日o 。模型降阶问题以 及离散时i h j 的飓模犁降阶问题转化为了一个简单线性矩阵不等式设计条件：在 文【1 2 7 中，g a o 等针对离散时间系统的h f 。模型降阶问题，通过引入一个带自结 构限制的辅助变量，从面使l y a p u n o v 矩阵变量和系统矩阵之| 日j 的耦合关系得以解 除，这样就放松了文献 1 2 3 1 2 4 】中对l y a p u n o v 矩阵变最的结构限制，进而减少 了没计中的保守性。该技术还被用于离散切换线性系统 1 2 8 以及离散m a r k o v 系 统 1 2 9 的日。模型降阶。这类方法的优点是不需要迭代，计算简单，但其最人的 问题是结果的保守性可能会比较人，因此如何减少这类设计方法中的保守性就成 为一个至关重要的问题，这也j f 是本文的动机之一。 1 2 2 有限频模型降阶的研究意义与发展现状 早在埘模犁降阶问题研究伊始，研究人员就注意到，对许多控制系统而言， 其工作频牢即输入信号的频率往往是在一个已知的区i 日j 内【1 ，5 4 ，7 4 ，1 0 9 j ，比如一个以 电源为输入信号的电路系统，若其采用直流电源供电，输入电压就是一个零频信 号。当采用交流电源时，其频率往往也是已知的，如我国和f f t 界上大多数欧洲陶 家电力系统的额定频率为5 0 h z ，美洲地区多数足6 0 h z ，而且人多数国家规定频率 偏差士1 0 3 h z 之问。而随着现代电子工艺发展起来的集成芯片，则往往是工作 在一个很高的频率范围内，如人家熟知的i n t e l 第7 代x 8 6 微处理器p e n t i u m 4 ，其j 作