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摘要 基于代数方法的小波构造及图形实现 摘要 目前构造小波与多小波已有许多好方法，如谱因子分解方法。本 文提出用代数的方法来构造小波与多小波，此方法仅仅需要代数的知 识，能将许多小波与多小波的构造问题转化为线性代数的问题来求 解。 本文讨论了基于g m n e r 基方法将具有消失矩性质的对称双正交 小波进行参数化，给出双正交小波的几个重要性质，同时讨论滤波器 系数长度、对称中心点、消失矩和离散矩之间的联系，并通过放弃线 性方程组中的几个消失矩条件来引入尺度函数的三阶离散矩作为参 数。推导得出构造对称双正交小波等价于求解多变元多项式方程组， 应用g r 曲n e r 基求解，结果是所有可能的对称双正交小波的滤波器系数 都可用三阶离散矩来表示，包括著名的7 9 对称双正交小波。并讨论 了尺度大于等于3 的插值多尺度函数的构造，给出对应于插值多尺度 函数的两尺度矩阵符号的特殊形式，将这个特殊形式代入逼近阶方 程，得到逼近阶方程的新形式。给出构造具有高逼近阶的3 尺度紧支 撑插值多尺度函数的算法，计算得到几组含有一个或二个参数的滤波 器系数的准确表达式。 本文应用构造算法计算实际例子，通过代数方法求解得到更灵活 的小波与多小波，算法易于理解和推广，求解过程相对简单。并且得 到的小波基有很好的应用价值。计算出使得尺度函数达到最大 北京化工大学硕士学位论文 s o b 0 1 e v 指数的参数值，给出对应的s o b o l e v 指数并画出光滑的尺度 函数或小波函数的图形，使结果更直观化。 关键词：双正交小波，g m n c r 基，插值，逼近阶，消失矩 摘要 c o n s t r u c t i o nf o r 、7 i 屺舛e l e t sb a s e d o na l g e b r am e t h o da n d a c h i e v i n gg r a p h a b s t r a c t t h e r ea r em a n ym e t h o d so fc o n s t r u c t i o nw a v e l e t sa i l di i m t i w a v e l e t s ， s u c ha ss p e c 仃a lf a c t o z a t i o nm e t h o d t h i sp 印e rc o n s t r u c tw a v e l e tb a s 懿 u s i n go n l yt h ek n o w l e d g eo fa j g e b r a s ot h ec o n s t n j c t i o nw a v e l e t sa 1 1 d m u l t i w a v e l e t sc a nb et m s f o m e dt ob el i n e a ra l g e b r a i cp r o b l e m s t h ep 印e rd i s c u s sp a r a m e t r i z a t i o n so ff i l t e r sc o 玳s p o n d i n gt ow i t h s e v e r a lv a n i s h i n gm o m e n t su s i n gg 墒b n e rb a s e s a r e rr e c a l l i n gs o m e p r o p e r t i e so fb i o r t h o g o n a lw a v e l e t s ，r e l a t i o n sb e t w e e nt h ei m m b e ro f f i l t e r s ，s y l n m e t r y v a n i s h i n gm o m e n t sa n dd i s c r e t em o m e n t sa r ed i s c u s s e d t h ep a p e rg i v eu ps o m ev a n i s h i n gn l o m e n tc o n d i t i o n s ，w h i c hc o n e s p o n d t ol i n e a rc o n s t r a i n t so nt h ef i l t e r s ，a n di n t r o d u c ed i s c r e t ei n o m e n t so ft h e f i l t e r sa sp a r a m e t e r s t h er e s u l t i n gp a r a m e t r i z e dp o l y n o m i a le q u a t i o n sf o r t h ef i l t e r sa r es o l v e db yu s i n gg r o b n e rb a s e s f i n a l l y ，s e v e r a ld i f r e r e m e x a m p l e sw i t hav a 咖n gi l u m b e ro ff i l t e r sa n dv a n i s h i n gm o m e n t sa r e d i s c u s s e di nd e t a i l ，e x p l i c i tp a r a m e t r i z a t i o n so ft h ef ：i l t e r sa r eg i v e n i n c l u d i n g7 9s y m m e t r i cb i o r t h o g o n a lw a v e l e t s t h e nt h ep a p e rd i s c u s s i i i 北京化工大学硕士学位论文 i n t e r p o l a t o 巧m u l t i s c a l i n g 凡n c t i o n s t w o s c a l em a t r i xs 皿b o la s s o c i a t e d w i t hi n t e r p o l a t o 秽m u l t i s c a l i n g 如n c t i o n si sr e d u c e dt 0as p e c i a lf o 咖 a l s oan e wc h a r a c t e r i z a t i o no na p p r o x i m a t i o no r d e rf o rt h em u l t i s c a l i n g 如n c t i o l l si sd e s c r i b e di nt e m so fe l e m e n t so ft h i s s p e c i a l 俩o - s c a l e m a t r i xs 灿b 0 1 a na l g o r i t l l mi s p r o v i d c df o rc o n s t l l l c t i n gc o m p a c t l y s u p p o r t e di n t e 印o l a t i n gi n u l t i s c a l i n g 如n 撕o n sw i t hd i l a t i o nf a c t o r3a n d h i g h e ra p p r o x i m a t i o no r d 既f i n a l l y ，t h e 部s o c i a t e ds e v e r a lf a m i l i e s e x a m p l e sw i t ho n e - p a r a m e t e ro r 觚o p a m m e t e r sa r ep r e s e n t e de x p l i c i t l y t h i sp a p e rc o m p u t es o m ee x a m p l e su s i n ga l g o d t h m ，t h e nt h ep a p e r o b t a i n 伊e a t e rn e x i b i l i 哆w a v e l e t sa n di n u l t i w a v e l e t s ，t h ea l g o r i t l u i li s e a s y t ob eu n d e r s t o o da n dg e n e r a l i z e ，t h ep r o c e s so fc o n l p u t i n ga r ee a s i e r a n dt h ew a v e l e t sa n dm u l t i w a v e l e t sa r eu s e 如1 s p e c i a lp a r a m e t e rv a l u e s t h a t c o r r e s p o n dt ot h es c a l i n g 向n c t i o n sw i t ht h em a x i m u ms o b o l e v e x p o n e n t a r e c o r n p u t e d ， t h e ns o b o l e ve x p o n e n ta r eg i v e na n dt h e c o l l r e s p o n d i n gg r a p h so f s m o o t hs c a l i n g 允n c t i o n sa n dw a v e l e t sa r cd r e w 1 ( e yw o r d s ：b i o r t h o n o n i l a lw a v e l e t s ，g 曲n 盯b 鹬e s ，i n t e r l ) o l a t o a p p r o x i m a t i o no r d e r v ，a n i s h i n gm o m e n t s i v 符号说明 r z n 符号说明 平方可积函数空间 绝对值可积函数空间 2 次收敛的数列全体 记作 范数 内积 l ：c ，的傅立叶变换 不超过工的最大整数，z r ，维实空间 刀个变元的幂积的集合 向量p 的转置 p ( z ) 的共轭转置 环r 上的变元 全体正整数集合 域七上九个变元的多项式环 域七上变元以巾，的多项式环 厂的首项幂积 p ( z ) 对z 的第以一七阶导数 a ( z ) 对z 的第万阶导数 吼，( z ) 对z 的第刀阶导数 全体实数集合 全体整数集合 全体自然数集合 指数常数 圆周率常数 求导 焖口产三一心一痧hr，一哟刁瓦酬一m一帕帕 氐 北京化工大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：丝牲 日期： 盈星：丑 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京化工大学有关保留和使用学位论文 的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北 京化工大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 保密论文注释：本学位论文属于保密范围，在土年解密后适用 本授权书。非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授 权书。 作者签名： 丝酶望日期：型：卑 导师签名： 雀幽：兰 日期： 训了f 叻 第一章绪论 1 1 前言 第一章绪论 自从d 锄b e c h i e s 构造出一簇满足最大消失矩条件的紧支撑光滑小波以来，紧支撑 小波就被应用于各个领域，受到极大重视。现在，它已经在科技信息产业领域取得令 人瞩目的成就，比如：它已应用在数学方面的数值分析、构造快速数值方法、曲线曲 面构造、微分方程求解、控制论等；在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等； 在图像处理方面的图像压缩、分类、识别与诊断，去污等；在医学成像方面的减少b 超、c t 、核磁共振成像的时间，提高分辨率等；军事电子对抗与武器的智能化；计算 机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型 机械的故障诊断等方面。 无论是对小波理论还是应用的研究都吸引了众多的研究人员，尤其是小波构造领 域，因此构造具有更好性质的小波一直是研究的热点。小波函数的构造是小波理论分 析与应用研究的基础，不同的小波函数具有不同的光滑性、消失矩、对称性等性能指 标。如何根据所处理的信号特征构造或者选择最佳的小波函数、提高信号处理的效率 与质量是小波理论与应用研究的目的。因此，设计更加灵活的紧支撑小波是人们研究 的重点【，例如，将紧支撑正交小波参数化便可以得到更灵活的小波【7 。1 2 】，在文献【9 】 中r e g e n s b 嘲e rg 主要是应用矩条件来作为参数，并通过符号计算，使用g 面b n e r 基 方法得到一组参数化的紧支撑正交小波。在正交单小波中，除h a a r 小波外，其它小波 所对应的低通滤波器系数均不满足对称性，即不存在线性相位，这一点在图像处理应 用中受到较大限制，为克服这一弊端，借用完全重构滤波器的思想，用于信号分解和 重构的滤波器可以不要求相同，从而得到一种双正交结构，以及双正交变换系统，这 种双正交小波可以同时具有对称性和紧支撑性。它在图像压缩中应用效果极为突出 【i 孓1 4 】。设计高压缩性能，低计算复杂度的双正交小波滤波器是当前亟待解决的问题。 本文主要运用参数化的思想，来讨论构造具有高消失矩的对称双正交小波。其主 要难点是滤波器长度的选取，消失矩，对称点和离散矩的确定等等，引理2 1 和引 理2 2 给出相应的结论，由于偶阶离散矩能用奇阶消失矩表出【9 】，本文证明只能将3 阶离散矩作为参数，通过放弃几个消失矩条件，便可以得到更灵活的对称双正交小波。 因此，构造具有良好性质的对称双正交小波就归结为求解多元多项式方程组，通过用 g 面b n e r 基求解，可以得到无穷个解，从而可以根据实际应用需要从中挑选适宜的滤 波器。 本文用符号计算的方法，主要是伽b n e r 基方法来求解约束方程组，这种方法不同 于其它求解有限个解的符号计算方法，它可以有效的求解多元多项式方程组，同时在 约束方程组增多的情况下，此方法克服了构造小波常用的谱分解方法的局限性，因此 北京化工大学硕士学位论文 g 面b n e r 基方法是一种方便实用的构造方法。本文中，由于放弃几个消失矩条件从而自 由度增加，计算便可以得到无穷个解，因此可以根据实际需要挑选小波基，在第二章第 三节将会介绍一些有关( 晒b n e r 基的基本理论。g 而b n e r 基应用很广泛，例如在理论分 析，科学应用和工程方面以及信号和图像处理方面。特别地，它在小波构造方面具有 更为突出的贡献1 5 椰】，尤其是在设计平衡多小波【1 8 2 1 】上优势明显。 在图像处理的实际应用中，正交性能保持能量，而对称性( 线性相位) 既适合于 人眼的视觉系统，又使信号在边界易于处理，所以分析工具同时拥有这两种性质是十 分重要的。但是，实数域中紧支撑、对称、正交的非平凡单小波是不存在的，为克服 这一弊端就产生了双正交小波。并且如果构成小波基的尺度函数和小波函数不止一 个，这样的小波称为多小波，它是单小波的推广，既保持了单小波所具有的良好的时 域与频域的局部化特征，又克服了单小波的缺陷，其优势有以下几点： ( 1 ) 多小波变换具有对称性、正交性、光滑性和紧支撑性等图像处理中十分重要 的性质。对称性意味着具有线性相位，人类的视觉和心理的研究表明，人们的视觉对 于对称误差的敏感度远不及对于非对称误差的敏感度那么强烈。正交性能够保持能 量，有限支撑意味着多小波滤波器组是有限长度的等等。 ( 2 ) 多小波滤波器组没有严格的低通和高通划分。通过多小波预滤波，能够将高 频能量转移到低频，从而有利于提高压缩比。多小波比经典的单小波无论是表达上还 是应用上都更灵活。 多小波的构造成为研究热点并取得一些理论和应用的成果【2 2 d 6 】，由g e r o i l i m o 等 人用细分插值方法构造的g h m 多小波【2 2 彩】和由c h u i 和“锄用h 锄i t e 插值条件构 造出的c h u i “a i l 多小波【2 4 】都是很经典的例子。然而，自由度的增大以及矩阵系数的 可分等问题给设计具有良好性质的多小波带来困难，尤其是尺度大于等于3 的情况。 一般地，构造多小波是基于由咖( 工) = ( 丸( z ) ，办( 工) ，砟一。( 工) ) t 张成的多分辨分析，然而 几乎所有的多小波的好性质比如正则性都是由相应的多尺度函数决定的，所以构造具 有良好性质的多小波的第一步也是最关键的一步就是找到合适的多尺度函数，多小波 的正则性，稳定性，光滑性，线性独立，正交性等等在前人的研究结果【3 7 4 6 】中有详细 介绍。紧支撑性，插值性，正则性是小波非常重要的性质。例如，利用插值性可以使 计算简单化，紧支撑和光滑性对实际应用很重要。满足这些性质的尺度为2 的多尺度 函数在【3 1 3 3 】有介绍，其中【3 1 】是基于p l o i l l 【a 的细分方法，研究一类具有插值性的高逼 近阶的2 尺度函数的构造。为了满足对信号质量的更高要求，需要设计更多通道的滤 波器组的多相实现来达到这一目的，因而产生了小波分析从2 带到多带的推广，即要 求尺度因子大于等于3 。这样使得逼近阶条件和支撑区间更加复杂，尽管如此，最后 给出构造具有高逼近阶的尺度为3 的紧支撑插值多尺度函数的算法并计算实际例子。 2 第一章绪论 1 2 多分辨分析及两尺度方程 函数沙r ( r ) 被称为是基本小波，如果它满足以下的“容许”条件： q 全上瞥揪o o ，若汐是连续的，可顺o ) = o 挑胪o ，又称y 为母 小波，它的伸缩和平移构成r ( r ) 空间的一个规范正交基，令虬，。( f ) = | 口f 一；y ( 三二皇) ， 口，6 r ，口o ，口称为伸缩因子，6 称为平移因子，标准化即让0 虬。0 = 桫= 1 。 为找到母函数( f ) ，1 9 8 8 年m a l l a t 和m e y e r 指出按多分辨分析的思想来构造( f ) ， 即先构造一个具有特定性质的层层嵌套的闭子空间 杉) ，酿，这个闭子空间序列充满了 整个r ( r ) 空间，在子空间找一个函数( f ) ，其平移彩o 一七) ) 。e z 构成空间的硒e 钇 基，由矽( f ) 计算得到妙( f ) 。基于以上思想，他们给出多分辨分析的定义。他从空间的 概念上形象地说明了小波的多分辨率特性，多分辨分析不仅为正交小波基的构造提供 一种简单的方法，并且为正交小波变换的快速算法即m a l l a t 算法提供理论依据，因此 多分辨分析在小波变换理论中具有非常重要的地位。 多分辨分析( m i 认) ：r ( r ) 空间的一串闭子空间序列 巧) ，e r 称为多分辨分析，如 果它满足以下条件 ( 1 ) 单调性：ic ，v z ： ( 2 ) 逼近性：n = o ) ，u = 2 ( r ) ： ( 3 ) 伸缩性：厂( f ) y ，厂( 2 f ) y + l ： ( 4 ) 平移不变性：厂( f ) j 厂o 一后) 一，v 七z ： ( 5 ) 鼬e s z 基：存在函数厂( f ) ，使得 o 一七) ) 。z 构成的r i e s z 基，即对任意 ( f ) ，存在唯一序列 c 。) 。z 使得厂( f ) = 嚷矽。一七) ，反之，任意序列 c ) 肫z ，2 确定一个函数厂( f ) ，并且存在正常数彳和历其彳曰，使对所有厂( f ) 不等式 彳帆龇2 蚶b 帆饨2 成立。 如果 o 一后) ) 。z 构成的r i e s z 基，可通过正交化得到 矽( f 一七) ) 挺z 构成空间 的规范正交基。由伸缩性和平移不变性可知， 肚( f ) ) m 。z 构成巧空间的一个规范正交 基。且( f ) = 2 坨( 2 7 f 一七) ，七z ，r ，因此以下所讨论都是规范正交基。 由多分辨分析，知道( f ) ck ，因此矽( f ) 可由巧的一个基 矽( 2 f 一后) ) 眦线性表 示 ( f ) = 办 矽( 2 f 一尼) ( 1 1 ) 称式( 卜1 ) 为两尺度方程，称j i l 。为尺度函数的滤波器系数，也称为低通滤波器。 北京化工大学硕士学位论文 这里吃= 七z ，若七 ，以：o ，则有痧o ) = 吃矽( 丑一助， 七= o 称是紧支撑的。 为构造r ( r ) 中的正交小波基，一方面是如何选择 以) 。z ，使得式( 卜1 ) 有解， 并且其解通过多分辨分析可产生正交的小波基 ，j ( f ) ) ，血z ，另一方面当式( 卜1 ) 有 解时，如何求出其解。 记日( 缈) = 。e 一蛔，理论分析表明：当1 日( 功) 1 2 + 1 日( 国+ 兀) 1 2 = l ，日( o ) = l 时， ( f ) 是唯一由两尺度方程确定的多分辨分析的正交生成元，利用空间的正交分解， 不难得到r ( r ) 中的小波正交基。 现在定义小波空间杉为巧在空间巧+ 。中的正交补，即有 上巧： 上形，： _ + t = _ 上； q = ( r ) ，z 7 对于小波少( f ) ck 满足 y ( f ) 手g t ( 丑一七) ( 卜2 ) 七e z 称g 。为小波函数的滤波器系数，也称为高通滤波器，这里& = 七z 。 可以证明：当= ( 一1 ) i l i t 时，缈从( f ) ) ”。z 构成的规范正交基，则 y ，t ( f ) = 2 77 2 少( 2 ，一尼) ，七z ，f r ，从而其伸缩和平移函数系缈t ( f ) ) ，如z 构成 r ( r ) 空间的规范正交基。 1 3 代数方法 下面介绍几种常用的小波构造方法。 ( 1 ) 直接解双正交方程。寻找方程| l ( 国) ( 缈) + ( 国+ 兀) ( 缈+ 兀) = l 的三角多项式解。 它等价于求解二次方程组。如果滤波器比较短，则可以直接解此方程，但是如果滤波 器比较长，此方程就难求解。 ( 2 ) d a u b e c l l i e s 基于b e z o m 方程找到了解正交方程的好方法殳影因子。这是构 造任意长度具有1 阶逼近阶的正交小波的好方法，高阶逼近阶可作为参数的附加方程。 对于滤波器较短的小波，此方法可以解出解析解。而对于滤波器较长的小波只能解出 数值解。 ( 3 ) 使用提升因子。这是构造任意长度双j 下交小波的简便方法，很容易加进逼近阶 条件，同样的，也可加入对称性条件。 ( 4 ) 代数方法。小波分析是在应用数学的基础上发展起来的一门新兴学科，近十年 4 第一章绪论 来得到飞速发展【4 7 5 们。1 9 9 2 年i i l 鲥dd a u b e c l l i e s 出版的1 hl e c t i j r e so nw a v e l e t s 【矧， 除上文提到的构造方法之外，还有很多其它方法在书中提及，该书全面的论述小波分 析的理论，是一本有重要影响的学术著作。该书提到用谱分解方法来构造小波，虽然 谱分解方法是构造经典小波( 及其相应的滤波器) 的最方便的方法，但它并不适用于添 加更多条件的小波构造问题。针对此问题，构造方程可以写成一个多元多项式方程组， 而g 面b n e r 基算法为这些问题的解决提供方法。本文讲述如何应用代数方法来求解滤 波器约束方程组的小波构造问题。小波基构造中的局限性问题一直是被关注的重点， 尤其是在许多情形下，即便有全部的特征也无法得到一个完整的小波。虽然此局限性 得到一定的改善，但无论是小波还是多小波的构造，曾在d a u b e c h i 骼小波构造中起到 关键作用的谱因子分解法都已无法再发挥作用。然而，正如第二章将要讨论的，使用 g 而b n c r 基将使这些新问题的解决成为可能。 目前，计算代数几何学领域的发展已达到一定的先进程度，出现一些新的行之有效 的方法来解决计算代数中的一些重要的应用问题多元多项式方程组的解法。使用 新开发的算法，小波以及多小波构造中的实际问题可以用数字方法精确的解决。在多 项式方程组的解法中最具前景的方法之一就是通过计算g 曲n 盯基实现的。有关 g 曲n e r 基理论的详细内容将在第二章第三节中详细介绍。 1 4 图形实现算法 在许多应用问题中，如利用小波作数值分析或小波函数作图等，常常需要用到 小波函数点的值。但由于尺度函数和小波函数通常不存在解析表达式，给尺度函数与 小波函数沙的图形绘制带来难题。本文讨论主要小波函数的点值主要是为画出尺度函 数和小波函数的图形。一般地尺度函数和小波函数都是紧支撑的。下面将介绍一种常 用的尺度函数和小波函数的计算作图方法。 迭代算法：求出尺度函数与小波函数在二进点处的值。 假设与尺度函数矽对应的小波滤波器i i 的支撑集为f o ，1 ，首先求出 玉p ( o ) ，矽( 1 ) ，矽( 2 ) 矽( 一1 ) ，的值，然后计算矽( f ) ，j f ，( f ) 在二进点f = 砉的值。 z 。 具体步骤如下： 因为矽( f ) 的支撑为 0 ，一1 】，故对于所有的整数后 l k ，f ，则j “ 口加； 其中r = z l “z 。) ( f ，z + ) 。 g 妯n e r 基理论有许多项序，比较常见的有字典序和完全次数字典序。 定义2 2 ( g 面b n e r 基) 非零理想，k 【工】的一个有限子集g = g i ，9 2 ，蜀) 称为理想， 的g 俺b n e r 基当且仅当对任何非零多项式厂j ，存在f ，l f f ，使得勿( g 。) i 勿( 厂) 成 立。 定理2 1 已知研工】的一个有限子集g ，并且g 为理想，的伽b n c r 基，则有以下等价 命题成立。 ( 1 ) 对任何非零多项式，模g 是可约化的。 ( 2 ) 对所有s ，存在f g ，则如。 根据定理2 1 ，g 而b n c r 基是可以通过b u c h b e r g e r 算法计算的。 对于多项式方程组 i z ( 而，) = o l ( 工，) = o 卜一 【厶( x ，) = o 对字典序而 而 矗可以得到理想，= 的g r 6 b n e r 基，由理想的性质 1 2 北京化工大学硕士学位论文 得到，求解以上方程可以通过求解相应的g 墒b n e r 基方程组得到。 g i ( 而) = o 9 2 ( 五，屯) = o 白( 而，而) = o 定义2 3 ( 消元理想) 令，= 的，的g r 6 b n e r 基， 则对任何o 七甩，集合q = g n k 【毛+ l ，】是的伽b n e r 基。 由以上定理，将给出求解多项式方程组的步骤。 步骤1 ( 消元过程) 找到 q ，如果方程组可求解，则q 一。是关于的一元方程，可 求得。 步骤2 ( 回代过程) 将代入q 一2 中，得到- l ，依次下去，最后得到所有解。 2 4 计算和例子 由以上讨论可以给出滤波器的约束方程组，由正交条件式( 2 4 ) ，对称条件式 ( 2 5 ) 以及消失矩条件式( 2 6 ) 和( 2 7 ) 以及式子( 2 8 ) 和离散矩条件式( 2 一1 2 ) 或( 2 1 3 ) 可以得到约束方程组，并且约束方程组是多元多项式方程组。再 根据引理2 3 将第3 阶离散矩作为参数，再又引理2 1 和引理2 2 个条件之间的联 系可以选取不同滤波器长度和不同消失矩条件来构造对称双正交小波。下面分别给出 几组偶长滤波器和奇长滤波器的构造，结果表明滤波器系数可以用参数表示，这样就 提高了小波的灵活性，使得应用范围更加广泛。 这里令聊，= 所，藏= 刀，并且计算使得尺度函数可以达到最大的s o b 0 1 e v 指数的参 数，并画出相应的尺度函数和小波函数的图形。 例1 对长度为4 8 滤波器系数根据以上的条件给出下面的约束方程组，对应的消失矩 分别为1 阶和3 阶： 其中线性方程组为 l + 2 = 1 + 2 + j j l 3 + 1 1 4 = 1 一+ 3 2 5 3 + 7 4 = o 9 1 啊+ 1 3 3 2 + 2 1 7 j l z 3 + 3 4 3 4 = 阼 = j i l l j ，f - 1 ，2 = l 一，= 1 ，2 ，3 ，4 第二章构造对称双正交小波 非线性方程组：吃瓦+ j l i 匠+ 瓦+ 吃j ；：= o ，鸟瓦+ 吃骂= o 具体算法： 首先将j i l i ，瓦看作已知量，移到等号右边，利用m a p l a 软件求解线性方程组可以得到 其他未知数都可以用j i l i ，瓦表示，结果为 纠也乏一去哥罢( 2 _ 1 6 ) 焉= 蠡一手+ 壬，瓦= 轰+ 争一器 将得到的这些结果代入非线性方程组，得到下列非线性方程组为 仆器+ 壶肘扣