（理论物理专业论文）某些非线性水波方程的性质及孤立子解的研究.pdf

摘要 水波问题和孤立子都是长期以来人们颇感兴趣的问题。许多重要的模型都是 通过不同近似和参数选择得到的。本报告着重研究了一些非线性水波模型的可积 性与孤立波解。 利用修正的c o n t e 的标准与非标准截断展开的方法，求解i + i 维色散长波 方程( d l w e ) 和吴一张方程。对d l w e 得到两类没有任何色散关系的精确孤立 波解和用j a c o b i 椭圆函数表示的四类周期解，并进一步证明这四类周期解中的 两种对应于前面得到的两类无色散关系的孤立波解。利用c o n t e 的截断展开得 到d l w e 带有谱参数的l a x 对和d a r b o u x 变换以后，证明色散关系依赖于边 界条件和谱参数。对于吴一张方程得到了一类带特殊色散关系的多孤子解和两类 不含色散关系的孤立波解。同时得到两类用j a c o b i 椭圆函数表示的周期解，并 进一步证明两类孤立波解是这两类周期解的极限情况。 对于一般b o u s s i n e s q 类型的模型，证明除了d l w e 这样的方程外，均无 p a i n l e v f i 性质后，利用截断p a i n l e v 6 展开得到一类含有特殊速度的精确行波孤 立子解。为了研究含一般速度的孤立波，我们将问题转化为牛顿型经典准粒子在 一维势场的运动问题。证明波的存在和禁闭与速度、波形、波幅之间的关系。进 一步证明了只有接近单位速度的孤立波满足弱非线性条件。 另外，我们还对吴一张方程进行了对称分析和对称约化，发现了它的对称包 含的代数结构。 关键词：孤立子和孤立波，p a i n l e v 分析，截断展开，周期解，色散关系 吴一张方程，非线性现象 a b s t r a c t t h ei n v e s t i g a t i o no nt h ew a t e rw a v e ，e s p e c i a l l yt h es o l i t a r yw a v e sa n dt h e p e r i o d i cw a v e sc o n s t a n t l ya t t r a c t sa t t e n s i o n so f s c i e n t i s t si nm a n ya r e a s ad i v e r s i t yo fi m p o r t a n tm o d e l sh a v eb e e ni n t r o d u c e db yd i f f e r e n ta p p r o x i m a t i o n sa n d s e l e c t i o n so fv a r i a b l e si nt h i sr e p o r t ，w ea r em a i n l yc o n c e n t r a t e do nt h es o l i t a r y w a v e sa n dp e r i o d i cw a v e so fs o m en o n l i n e a rw a t e rw a v em o d e l sd e r i v e dr e c e n t l y u s i n gt h en o n s t a n d a r da n ds t a n d a r dt r u n c a t i o n so fam o d i f i e dc o n i c 8 i n v a r i a n tp a t n l e e x p a n s i o n ? t h ed i s p e r s i v el o n gw o v ee q u a t i o n ( d l w e js a dp 阮一 z h a n ge q u a t i o n ( w z ) a r e s o l v e d f o rt h ed l w e ，t w ot y p e so fs o l i t o ne x c i t a t i o n s w i t h o u ta n yd i s p e r s i v er e l a t i o n sa n df o u rt y p e so fp e r i o d i cw a v e se x p r e s s e db y j a e o b ie l l i p t i cf u n c t i o n sa r en u n d t h es o l i t o ns o l u t i o n sa r es p e c i a lc a s e so ft h e c o r r e s p o n d i n gt w oo ft h eg i v e np e r i o d i cs o l u t i o n s a f t e rg i v e nt h el a xp a i ra n d d a r b o u x t r a n s f o r m a t i o n ，i ti sp r o v e dt h a tt h ed i s p e r s i o nr e l a t i o n so ft h es o l u t i o n s a r ec r u c i a l l yd e p e n d e n to nt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dt h es p e c t r a lp a r a m e t e r f o rw z e q u a t i o n as p e c i a lt y p eo fm u l t i p l es o l i t a r yw a v es o l u t i o n sw i t hap a r t i c u l a rd i s p e r s i o nr e l a t i o na n dt w od i f f e r e n tt y p e so fs o l i t a r yw a v es o l u t i o n sw i t h o u t a n yd i s p e r s i v er e l a t i o na r eo b t a i n e d t w o t y p e so fp e r i o d i cw a v e se x p r e s s e db y j a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o n sa r ea l s of o u n d t h es o l i t o ns o l u t i o n sa r es p e c i a lc a s e so f t h ec o r r e s p o n d i n gp e r i o d i cs o l u t i o n s t h ep o s s i b l es o l i t a r yw a v es o l u t i o n sf o rag e n e r a lb o u s s i n e s q ( g b q ) t y p e f l u i dm o d e la r es t u d i e da n a l y t i c a l l y a f t e rp r o v i n gt h en o n p a i n l e v 6i n t e g r a b i l i t y o f t h em o d e l ，t h ef i r s tt y p eo fe x a c te x p l i c i tt r a v e l l i n gs o l i t a r yw a v ew i t h a s p e c i a l v e l o c i t ys e l e c t i o ni s f o u n db yt h et r u n c a t e dp a i n l e v 6e x p a n s i o n t h eg e n e r a l s o l i t a r yw a v e sw i t hd i f f e r e n tt r a v e l l i n gv e l o c i t i e sc a nb es t u d i e db yc a s t i n gt h e p r o b l e m st ot h en e w t o n i a nq u a s i p a r t i c l e sm o v i n g i ns o m e p r o p e r o n ed i m e n s i o n a l p o t e n t i a lf i e l d s f o rs o m es p e c i a lv e l o c i t ys e l e c t i o n s ，t h es o l i t a r yw a v e sp o s s e s s d i f f b r e n ts h a p e s f o rs o m eo t h e rv e l o c i t i e s ，t h e s o l i t a r yw a v e sa r ec o m p l e t e l y p r o h i b i t e d t h e r ea r et h r e e t y p e so fg b qs y s t e m sa c c o r d i n gt ot h ed i f f e r e n t , s e l e c t i o n so f s h em o d e lp a r a m e t e r s o n l yt h es o l i t a r yw a v e sw i t ht h ea l m o s tu n i t v e l o c i t i e sm e e tt h ew e a kn o n l i n e a r i t yc o n d i t i o n s u l l v陈春丽 i na d d i t i o n ，ag r o u pi n v a r i a n ta n a l y s i sa n dt h er e l a t e ds y m m e t r yr e d u c t i o n s a r ec a r r i e do u tf o rt h ew z e q u a t i o n k e yw o r d ：s o l i t o n sa n ds o l i t a r yw a v e s s i o n ，p e r i o d i cs o l u t i o n s ，d i s p e r s i o nr e l a r i o n ， p a i n l e v 6a n a l y s i s ，t r u n c a t e de x p a n - w z e q u a t i o n n o n l i n e a rp h e n o m e n a 第一章非线性水波方程与孤立子前言 1 1 水波问题与孤立子理论若干研究工作概述 波动问题是一个长久不衰的重要的研究领域，它的理论、方法和应用遍及物 理学、光学、力学、化学数学和通讯等多个学科分支。其中孤立波现象受到了各 个领域科学家们的高度重视。它在流体体系、非线性光学、声学、等离子体离子 物理、d n a 分子链等等各种各样的物理、生物、化学体系中得到了观察，孤立 子理论也就在物理学、化学、生物和通讯等众多领域得到了广泛的应用。同时因 为水波现象一方面有各种色散效应使得波可以以不同的波长、不同的波速进行传 播，另一方面水波有显著的非线性效应使得适度的陡波可以沿浅水保持波形。因 此随着非线性波与孤立子的研究的深入，水波的很多性质也被发现f 1 1 。 孤立子理论的发源要追溯到1 8 3 4 年，s c o t tr u s s e l 2 1 首先发现了在行进过 程中形状和速度都不发生改变的水波，并确定这种波的外形是一个s e c h 2 ( ) 函 数的形式，波速与波幅有关。他认为这种波是流体运动的一个稳定解，并称之为 “孤立波”。1 8 9 5 年，k o r t e w e g 和d ev r i e s 3 1 在研究单向运动的浅水波时建 立了一个方程，这个方程经过适当的整理后可以写成 这就是k o r t e w e g d ev r i e s ( k d v ) 方程。它有一个特解 u ( z ，t ) = 2 a 2 s e c h 2 z 一4 a 2 t ) 其函数图象犹如一个以速度c = 4 a 2 向右运动的脉冲，波幅越高速度越快波越 窄，正是激起s c o t tr u s s e l 极大兴趣的孤立波。但是因为k d v 方程是非线性方 程，它的解不能迭加，所以人们认为，孤立波不稳定。直到f p u 问题f 4 1 以及 p e r r i n g 和s k y r m e 5 的研究表明孤立波有一定的稳定性。k r u s k a l 和z a b u s k y 6 更用数值模拟的方法发现两个孤立波的相互作用是类似于粒子的弹性碰撞，于是 命名这种孤立波为孤立子。 陈春丽 1 9 6 7 年，g a r d n e r 、g r e e n e 、k r u s k a l 和m i u r a ( g g k m ) 7 1 发现反散射法 ( i s t ) ，现代意义上的孤立子理论真正产生l a x 8 、z a k h a r o v 和s h a b a t 9 、 a b l o w i t z 、k a u p 、n e w e l l 和s e g u r ( a k n s ) 1 0 等推广了这一方法。许多 工作都说明i s t 方法可以用来解决许多非线性偏微分方程的c a u e h y 问题，如 k o r t e w e g d ev r i e s ( k d v ) 方程、m o d i f i e dk o r t e w e g - d ev r i e s ( m k d v ) 方程、非线 性s c h r o d i n g e r ( n l s ) 方程、l i o u v i l i e 方程、s g 方程 1 1 h 1 5 】以及很多高维、 多变量的非线性偏微分方程c 1 5 一 2 0 】。可以用i s t 方法求解的非线性偏微分可 积方程还有许多显著的性质：有孤立子解、无穷多守恒率、无穷多的对称群、有 双哈密顿结构等等。随后人们发现这类方程还可以用其他方法求精确解，比如 b i c k l u n d 变换、d a r b o u x 变换、p a i n l e v 6 分析法、h i r o t a 直接法，而且这些方 法之间有些内在的联系【1 其中由w e i s s ，t a b o r 和c a r n e v a l e ( w t c ) 2 1 1 发展的p a i n l e v 6 分析的方法 不但可以用来证明一个模型的可积性，而且可以求解非线性方程的精确解。无论 该模型是否存在p a i n l e v 6 性质，很多有用的结果，如精确解、b i c k l u n d 变换， 都可以由截断p a i n l e v 6 方法得到f 2 2 】_ 2 4 c o n t e 2 5 ，p i c k e r i n g 2 6 和l o u 2 7 1 还将w t c 的方法加以推广、提高，方便求解非线性方程的精确解。 孤立子的发现促成了孤立子动力学的产生、发展和应用，同时也促使孤立 子被发现的水波问题的研究取得了长足的发展。为了描述非线性水波现象，人 们通过各种不同的近似和参数选取，推导出各种演化方程，如描述两维水波的 b o u s s i n e s q 方程【2 8 ，2 9 ，单向水波传播的k d v 方程，弱的两维k a d o m t s e v p e t v i a s h i v i h ( k p ) 方程 3 0 ，3 1 1 。人们也已经知道这些方程的孤立波解和其他一 些有意义的结果。 吴和张在 3 2 一文中研究了浅水中沿两个垂直方向水波传播问题。从e u l e r 方程出发，选择了平均速度、底速度和表面速度作为不同的变量，得到了三组非 线性色散长波方程模型，用以描述均匀深度的浅水中双向水波传播的问题。虽然 这三个模型都存在孤立波和他们之间的作用，并且在海洋工程、城市建设者们在 设计海港、海岸中得到应用，但是除了很特殊的情况外，他们的数学性质还很不 2 0 0 3 年上海交通大学博士后研死工作报告 3 清楚。因此尽可能多地了解这些模型的性质，并且求出这些方程的精确解对于流 体力学的研究有非常重要的意义。对于不同的模型，一个更有趣的问题是检验、 比较这些孤立子解。对1 维运动，略去高阶项，这三个模型可以写为b o u s s i n e s q 类的方程： ( a ) ， 豆，”) 系统，一平均速度 1 百+ 面面z + ”。i 面z 。 1 2 1 巩+ ( 1 + ) 面k = 0 ( b ) ( 堡口 系统，底速度 ( c ) 也，w ) 系统，一表面波速度 蠢f + 乜钍z4 - 口= 0 1r 】4 1 仇+ ( 1 + ) 五1 。= 一；也。 、 o 在这些b o u s s i n e s q 类型的模型( 12 ) 一( 14 ) 中，”为波高，百，u 和也分别为平均 速度、底速度和面速度。可以发现其中的( 1 , 4 ) 就是i + i 维色散长波方程。 基于诸多专家和学者的研究工作，我们试图将可积系统与孤立子理论用于研 究这些非线性水波方程，本报告侧重考虑这些模型的孤立波( 子) 解。 1 2 本文的主要工作 本文的主要工作如下 第二章利用修正的c o n t e 的p a i a l e v 4 分析的标准与非标准截断展开的方 法，求解色散长波方程( i 4 ) 的精确解，得到两类没有任何色散关系的精确孤立 波解，证明色散关系依赖于边界条件。并且得到用j a c o b i 椭圆函数表示的四类 q 。净 l 2 | = t m + + 靴 地 4陈春丽 周期波解进一步证明这四类周期解中的两种对应于前面得到的两类无色散关 系的孤立波解。在利用c o n t e 的截断展开，得到( 1 4 ) 带有谱参数的l a x 对和 d a r b o u x 变换以后，证明了这个一般的色散关系还与谱参数有关。这就意味着这 些孤立子解的色散关系依赖于边界条件和谱参数。 第三章研究包含( 1 2 ) ，( 13 ) 和( 1 ，4 ) 的一般b o u s s i n e s q ( g b q ) 类型的模型。 证明该模型除了( 1 4 ) 这样的方程外，均无p a i n l e v 性质后，利用截断p a i n l e v 展开得到一类含有特殊速度的精确行波孤立波解。为了研究含一般速度的孤立 波，我们将问题转化为牛顿型的经典准粒子在一维势场的运动问题。证明波的存 在和禁闭与速度、波形、波幅之间的关系。在速度容许的范围内，给出一般孤立 波的隐式解，根据隐式表达式画出一些特殊的孤立波解的图形。并进一步地证 明了只有接近单位速度的孤立波满足弱非线性条件。 第四章研究了吴和张 3 2 1 得到的一组水波方程的一个高阶近似模型一一吴 张方程的解的问题利用标准的w t c 的p a i n l e v 6 截断展开的方法得到了一类带 特殊色散关系的多孤子解利用修正的c o n t e 不变p a i n l e v 6 的标准与非标准截 断展开的方法得到两类不含色散关系的孤立波解。同时利用特殊的推广p a i n l e v 6 展开的方法得到两类用j a c o b i 椭圆函数表示的周期解。我们还进一步证明，两 类孤立波解是这两类周期解的极限情况。另外，我们还对吴一张方程进行了对称 分析和对称约化，发现了它的对称包含的代数结构。 第二章 1 + 1 维色散长波方程的孤立子解与周期解 令也：p ，u ：q 一1 ，( 14 ) 就可以改写为i + i 维色散长波方程( d l w e ) ( 2 1 ) 其中 c d 2 ；k 4 + 圮 ( 2 3 ) 并且和z o 为两任意常数。c o n t e 等人 4 1 还发现这个b k 系统( 和色散长波 方程( 21 ) ) 有两种类型的解：一种解同时是b u r g e r 方程( 等价于热传导方程) 的 解，另一种不是。( 2 、1 ) 带有( 2 3 ) 这样的色散关系的孤立子解( 2 2 ) 还可以用其 他方法得到，比如，双奇性流形法，p i c k e r i n g 的修正p a i n l e v 6 方法，本章我：肾 用l o u 2 7 1 的推广的p a i n l e v 6 方法求出色散长波方程( 2 1 ) 带有更多任意参数的 孤立子解和周期解。 5 o | | o “ i | o 尹 卜 十 t 眺 十 + p g ，、l 6陈春丽 2 1 推广的p a i n l e v 4 展开法 s a c h s 4 2 】已经证明了色散长波方程( 21 ) 的p a i n l e v 4 性质w t c 的奇性 流形的p a i n l e v 4 展开形式为： p = 乃，q = 劬妒_ 2 ( 2 4 ) j = 0 i = o 其中 一士彖= 一；毋： 并且咖，p 2 ，p 3 和p 4 为任意函数。 利用( 2 4 ) 的标准p a i n l e v 4 截断展开，有 p = 士击警怕，。= 一警+ ；等土击弛 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 这里( p l ，现= 土去p l 。) 为1 + 1 维色散长波方程( 2 1 ) 的一个解，为推广的热 vu 传导方程 1 九+ p 1 毋。士。+ a ( t ) = o( 2 7 ) vo 的任意解，a ( t ) 为t 的任意函数。经过标准p a i n l e v 6 分析，从( 2 4 ) 和( 2 5 ) ，可 知色散长波方程( 2 1 ) 有两枝因此由c o n t e 的理论可知，用非标准截断展开可 以得到新解 2 6 。但是如果我们直接利用c o n t e 的p a i n l e v 4 展开理论做非标准 截断展开，无法得到p 和q 同时为钟形或铃形的孤立子解，因此需要使用双奇 性流形法 4 3 ，4 4 1 或修正的p a i n l e v 4 分析法f 2 7 ，4 5 1 。 由 2 7 】知，( 2 4 ) 的p a i n l e v 6 展开形式为 p = b p j = o 其中任意函数p 2 ，p 3 ，p 4 和满足 ( 2 8 ) ( 29 ) 一7 fq ! 豆 f | q p巧 触 f j fp马 伽 = 矗 2 0 0 3 年上海交通大学博士后研究工作报告 7 利用( 29 ) ，从的相容性条件矗c = 可知，2 n + 2 个函数毋和巧须满足 2 n 1 个相容条件 昌c 一巧。+ n ( r 巧+ z 一。一k 岛+ l - n ) = 0 ，j = 0 ，1 2 ， n = 1 札( & 巧+ l 一。一k 马+ 1 。) = 0 ，j = n + 1 ，n + 2 ，2 n 一2 ( 21 0 1 上式至少含三个任意函数，因此可以保持展开变量的任意性。令= 2 ，一般展 开式( 2 8 ) 和( 2 9 ) 就是p i c k e r i i l g 的修正p a i n l e v 6 展开 4 5 】。 2 2 截断展开与孤立子解 利用( 2 8 ) 的非标准截断展开，可以求得新的孤立子解。最简单地得到f 2 2 ) 的推广的选择就是p i c k e r i n g 修正的方法，即，取n = 2 ，且满足( 29 ) 。特 别地，取展开函数f 满足 沁z 兰q x ，x 三( 警一象) 汜 这里a 和d l 为任意常数。 令a = 0 ，d t = 一1 ，修正的展开式( 2 8 ) 和( 2 1 1 ) 就退化为一般的c o n t e 展开。与般c o n t e n 开- - f $ ，系数弓和q ，都是m 6 b i u s 不变量。由f 2 1 1 ) ， ( 2 9 ) 可以改写为 吼2 - d r + 焘s ( a g ) 2 f 2 1 2 1 舻呐+ 鲁( a 刊一去( g - c s ) ( a 刊。 _ 。 这里 s 兰；( 害) _ 等，g ；恚 伫 陈春 丽 为m s b i u s 不变量相应的相容性条件( 2 1 0 ) 退化为 s 一g ：。+ 2 s c 。+ c & = o 利用( 21 3 1 可知上式恒成立 取( 2 8 ) 的展开函数9 满足( 2 1 1 ) ，则相应的非标准截断展开形式为 p ：鱼+ p 1 + 尸2 9= 一十n 十托口 雪 ( 2 ，1 4 ) q = _ = q f o + 粤+ q 2 + q 3 9 + q 4 9 2 ( 2 1 5 ) g g 将( 2 1 5 ) 和( 2 1 2 ) 代入( 2 1 ) ，取9 的各次幂系数为零，则可得到确定 只0 = 0 ，1 ，2 ) ，q j ( j = 0 ，4 ) ，s 和c 的一个复杂的超定方程组。但是如果只 想求出一个推广( 2 2 ) 的孤立子饵，就可以设它们全为常数。在这样的假设下， 可得： fr ：士 lq 。= 一 丁2vlk(1：-妒)，pl_丁-t-2vr3k2a+31w，马：千筝。2：。 掣， 丁4 k 2 a ( a 2 - 1 2 ) ，q 3 = 可4 k 2 a 忍= 一丽2 k 2甄f 一，q 12 i 万，可，q 45 一百f s ，c 和d l 与k ，u 和f 的关系为 s = 2 k 2 ，c ：竽，d i ：女! 尤 利用( 21 7 ) 中的记号，( 2 1 2 ) 的解可以写成 g = a f t a n h ( k x w t l ( 21 6 ) ( 2 。1 7 ) ( 2 1 8 ) fp = 士丽2 k l 者+ 弓，- k x - w t , 卜一豢垫虹坐号籍瓮型型1 9 1( 2) 2 0 0 3 年上海交通大学博士后研冤工作报告 9 显然这个解( 2 1 9 ) 是【4 0 ，3 9 ，4 3 ，4 4 ，4 5 】中给出的解( 2 2 ) 的推广形式。 ( 2 1 9 ) 中包含四个任意常数( k ，u ，f ，a ) ，而( 2 2 ) 中仅包含一个任意常数。 更有趣的是， ( 21 9 ) 的解中，和u 之间没有任何关系，因此这个孤立子即可 以左行，也可以右行。这样没有任何色散关系的孤立子还是第一次在孤立子系统 中被发现。为了确定色散关系，可以取边界条件 雠三圭三 江。o ) 换言之，色散关系依赖于边界条件。 利用推广的p a i n l e v 6 展开( 2 8 ) 和( 2 1 1 ) 的标准截断展开，即，( 21 5 ) 且 p 2 = q 3 = g = 0 ，可以得到令一种类型的孤立子解 f。2 v 1 k ( 1 2 一a 2 )2 怕a u p2一3t(1tanh 7 7 - a ) 千矿+ 万， ( 2 2 1 ) 卜鬻嚣，7 - - k x - w t 这个孤立子解( 22 1 ) 是( 2 6 ) 在( 2 7 ) 条件下，令a ( t ) = 0 ，p 1 = 常数且取 = 1 + e x p ( k ( x 一。o ) 一l 女士2 ) )( 2 2 2 ) 时的孤立子解的推广形式。但是，利用c o n t e 的截断展开，不能得到w t c 的截 断展开得到的所有形式的解，即不能得到移为( 2 、7 ) 的一般解，而不是( 2 2 2 1 的 解。 显然孤立子解( 2 1 9 ) 和( 22 1 ) 不等价，因为( 21 9 ) 中的p 为铃形或钟形的 孤立子，而( 2 2 1 ) 为扭结或反扭结的孤立子解。因为( 22 1 ) 中的和“是任意 的，所以这第二种孤立子解也不存在色散关系。为了对这类孤立子解得到一般的 色散关系，也可以加入合适的边界条件 p ( x = + 。) = ；、3 ，p = 一o o ) = 0 ( 22 3 ) 1 0 件 陈春 丽 值得注意的是一般的t a n h 展开法也可以看作是一般展开( 2 8 ) 加上如下条 p o = 0 0 = q 1 = 0 这样得到的孤立子解与( 2 2 1 ) 等价。 2 3i + i 维色散长波方程的周期解 ( 22 4 ) 通常情况下，可积模型的单孤子解都是椭圆函数解的极限情况。而由j a c o b i 或w e i e r s t r a s 椭圆函数表达的周期解无法由w t c 的标准截断展开、c o n t e 的 标准及非标准截断展开、p i c h e r i n g 的修正展开和双奇性流形法得到。 若令( 29 ) 中_ o 。，并且适当选取函数马和，使得上述求和表达 式可求出用一个封闭的形式表示，从而利用推广的p a i m e v 分析的标准和非标 准截断展开( 2 8 ) 有可能得到一些色散长波方程的新的精确解。例如，特殊选取 ( 2 9 ) 的求和形式为 已= 唇磊，矗= im 知 f 2 2 5 ) 取上式为展开式( 2 8 ) 中的展开函数，利用标准截断展开和非标准截断展开，可 以求出新的精确解。为了得到用椭圆函数表示的包含( 2 1 9 ) 和( 22 1 ) 的精确解， 取s j 和y j 为常数，且m = 4 此时( 2 2 5 ) 的相容性条件已t = 缸为 f 2 2 6 ) 取非标准截断展开形式为 p = 譬+ p i + q = 警+ 下q 1 + q z + 以十锨2 ( 2 2 7 ) 当p 2 = q 3 = q 4 = 0 时，上式即为标准截断展开式。 2 0 0 3 年上海交通大学博士后研究工作报告 1 1 j 睁( 2 2 7 ) ，( 22 5 ) ，( 2 2 6 ) 和m = 4 代入色散长波方程( 21 ) ，且取的各幂 次系数为零，则有 p z s 44 - 3 f 2 q 4 = 0 ，2 c q 4 + ；p 2 s 3 + 2 只国4 4 - 2 p 2 q 3 = 0 ，2 q 4 + ( p 2 ) 2 = o c q 3 + r q 44 - 最q 34 - p 2 q 2 + ；p 2 5 2 = 0 ，p o ( 3 q o + 2 8 0 ) = 0 ；p 0 s 2 + p 1 q 1 + p 2 q o4 - p 0 0 2 + c q l = 0 ，p 1 p 24 - c p 2 + q 3 ：0 2 p o s l4 - 2 p t q oq - 2 p o q l4 - 2 c q o = o ：2 q o + ( p o ) 2 = 0 ，p l p 0 + c p 0 + q i = 0 ( 22 8 ) 求解上式可以得到三种情况第一种为 s 。= 丁3 ( p o ) 2 ) 。4 = 一譬，p l ： 二丝丛墨! ! 查鱼垡 1 6 2 ( p 2 ) 2 2 8 3q - 9 c p 2 9 p 2 p 0 8 3 乳2 酉 f 22 9 ) 对应于非标准截断展开。第二种为： fq 。一；( p o ) 2 ，驴矿3 叭2 q - 2 7 2 - m = 一瓣1 ( 3 s 2 ( p 0 ) 2 讪孔 【p l = 一甄1 ( - 2 s ，4 - 3 c p o ) ，q 。= 。，q 3 ：。，p 2 ：。， ( 23 1 ) 对于于一般的t a n h 展开的推广形式。第三种情况等价于第二种情况( 做函数变 换fh 1 膳及常数变换p 0 p 2 和s 3 3 s 1 即得) 。接下来要做的问题就是求 掣半 | | 塑喝等 i | | 黯 q o ：| | | r ，忍 二吧 一 v r = 只 仉 恳 l 3 2 幻 | i 一 轧 尸 叭 2 一) 岛 三粒志 吼 q 1 2陈春丽 解( 2 2 5 ) 。在上述三种情况下，利用【4 6 - 【4 8 】中提到的形变映射法，展开函数都 可以表示为一般j a c o b i 椭圆函数的形式 4 6 - f 4 8 中已经证明，s n ( r n ) 是 璧= a ，2 + 芦，4 + c ，a = ( 1 + m 2 ) ，芦= 2 m 2 ， c = 1 的一个解，因此取这样的为展开函数，我们可以得到( 2 1 ) 的很多种周期解。 而且，容易证日月 方程( 2 2 5 ) 在m s b i o u s 变换下保持不变，换言之，取变换 一端，( b e l - a d 0 ) ， ( 2 3 2 ) 则函数g 满足( 2 2 5 ) 一样形式的方程 鼬= 万一= c i 4 ( 23 3 ) 2 0 0 3 年上海交通大学博士后研究工作报告 其中 。3 4 铲4 - 8 3 a 3 c l4 - 8 2 0 , 2 4 - s 1 a c 4 - 8 0 c 5 02 面f 面 s 卜1 c 2 ( 丽3 a d 二4 - 盯c l b ) s l l 2 a c l ( a a4 - q b ) s 2 十葡= 旷 4 a 3 b s 44 c d s o 。( 口d b c l ) 2 。( a d b c t ) 2 n 2 ( o d + 3 c i b ) s 3 。 k d b c l ) 2 扣可c t d ( a 两d4 - 矿c t b ) s i + ( a 2 d 2 百+ b 2 丽c 2 + 矿4 a b c l d ) s 2 + 差学 ， 铲( d4 - 3 c l b ) s l ，2 b d ( a d + c 1 b ) s 2 b 2 ( 3 a d 十c 1 b ) s a 0 3 一( a d b c l ) 2 ( a d b c l ) 2 ( a d b c l ) 2 4 a b 3 轧4 c l d 3 s o 4 ( a d 一6 c 1 ) 2 。( a d 一6 c 1 ) 2 ，8 4 b 4 + s 3 b 3 d4 - s 2 b 2 d 24 - s i b d a4 - 知d 4 8 卜面f 瓦f 由( 23 4 ) ，可知如果适当选取常数。，b ，c l 和d ，使得 s i = s ：= o 那么展开函数可以用标准j a c o b i 椭圆函数表示。 1 3 ( 2 3 4 ) ( 23 5 ) 在 4 6 中， ( 2 3 3 ) 的各种形式的解都在表格中列出。利用 4 6 】的结果，我 们可以得到些色散长波方程( 21 ) 的周期解。这里我们只写出一些包含上一节 中得到的两种孤立子解的特解。 例对于第一种情况( 2 2 9 ) ，为了简写最后结果，我们将任意常数p o 最，s 。 堡蛔筹殳蚶篙 1 4 和s 。改写为 且 陈春丽 仁一 a = a l ，b = 一0 1 s l ，c l = 1 ，d = s 1 其中a l ，s 1 ，和m 为新的任意函数，此时( 2 2 5 ) 的解为 = 。1 嘶1 - s 1 s m 7 ，q 兰女( z + 甜) ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) 这里s 礼1 是一般的j a c o b i 椭圆s i n e 函数，m 为函数s n 的模。对应的色散长 波方程( 2 1 ) 的周期解为 b o + b 1 s n 2 p 2 a l ( s s n 2 7 - 1 )g = b 3 五+ b 研4 s 孬n 2 r ) 再+ 面b s s 广n 4 砷，( 2 3 9 ) 。 a 2 ( s s n 2 叩一1 ) 2 s 一 一一吼竖研 胪一 3 一 丝塑呈土生塞望盔芏竖生堑壅三堡亟量 这里 a 2 3 占 o - ( 另) 2 ， a 。= 6 髯( s ；一1 ) ( s f r h z ) b 1 。女2 研+ ( 3 c p 2 a 1 2 k 2 2 k 2 m 2 ) s + 3 2 m 2 ) 5 t ； b o 2 3 k 2 罚+ ( 一2 k 2 m 2 2 k 2 3 c p 2 a 1 ) s + k 2 m 2 b 5 2 女2 研+ 3 。i + 2 k 2 ( m 2 1 ) s 6 一( 1 6 k 2 m 2 + 3 。 m 2 + 女2 m 4 + 3 。 + 2 ) 研+ m 2 1 0 k 2 ( 1 + m 2 ) + 3 。 研一7 2 m 4 ) 研 b 4 = 一l o k 2 s + 2 0 七2 ( m 2 + 1 ) 一6 。i 】s ? 一 2 k 2 ( 7 m 4 十1 6 仇2 + 7 1 6 。 ( 1 + m 2 ) 研+ 2 m 2 1 0 k 2 ( m 2 + 1 ) 一3 n 獬l o k 2 m 4 攒 b 3 = 一7 七2 s + 1 0 k 2 ( 1 + m 2 ) + 3 。劲s 一 七2 ( m 4 + 1 6 m 2 + 1 ) + 3 。 ( m 2 + 1 ) 】s + m 2 2 七2 ( m 2 + 1 ) + 3 n 劲s ；+ 危2 m 4 当模m 趋近于1 时，8 n 町趋近于t a n 蛔 f 24 0 ) 因此当m _ 1 ，周期解( 2 3 9 ) 退化为 铃形或者钟形的孤立子解，等价于( 2 1 9 ) 表示的孤立子解。 例2 对于第二种情况( 2 3 0 ) ，如果我们将参数8 1 , p 0 ，s 。，s 3 和s 4 改写为 s t 3 画五- 1 砑 2 6 2 s 4 一( m z + 1 ) ( 6 。+ w + 2 r a b b i z f 尸0 ) 2 =竺! ( s ；一1 ) ( s 一m 。) 3 ( 6 2 一b 1 1 2 s 2 ( 6 2 6 1 ) 2 96 s 驴业常b b 2 进 ( 1 一) 2 鲆 ( m 2 + 1 ) ( b ；+ 嵋+ 4 b i 如) s + 6 m 2 b ； k 2 2 镌s f 一6 1 6 2 ( m 2 + 1 ) ( 6 。+ 6 1 ) s + 2 鹾m 2 ( 24 1 ) 弼高 且 陈春丽 口= 1 ，b = s l ，c 1 = b 1 ，d = b 2 s 1 这里m ，b l ，b 2 和s 1 为任意常数，则此时( 2 2 5 ) 的解为 f = 石_ 1 j + = _ i s i 丽1 s n v ，即三七( z + c ) ，f 。石_ j = _ i i 丽，即三七( z + 。j ， 相应的d w l w e ( 2 1 ) 的周期解为 d o + d l s n 叩南2 ( d 3 + d 4 s n u + d a s h 2 r j ) p 5 c i ( i + s l s n u ) 92 1 玎再瓦面f 一 其中 c 1 = 一3 e o s ? ( b 1 一幻) d 1 = 3 c p o ( b l 一6 2 ) 一2 k 2 ( m 2 + 1 ) 】s + 4 k 2 m 2 d o = 一4 女2 s ：+ 3 c p o ( b l b 2 ) + 2 k 2 ( m 2 + 1 ) 1 s q = 3 ( s 一1 ) ( s 一m 2 ) 研，d 4 = 2 ( ，n 2 一1 ) 2 s d 5 = f ( m 2 + 1 ) s 一6 s 仃1 2 + 3 m 2 ( m 2 + 1 ) s 一2 m 4 i s d 3 = - s ? 2 s 一3 ( m 2 + 1 ) s + 6 研m 2 一m 2 ( m 2 + 1 ) ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) ( 24 4 ) ( 2 4 5 ) 当m _ 十1 时，这个周期解约化为( 2 2 1 ) 的等价形式的孤立子解， 例3 可积模型的很多周期解在模趋近于1 时都不能退化为孤立子解若取 定参数为( 2 3 7 ) ，( 2 2 9 ) 和 驴铷郑；+ 6 r n + m 2 + 1 + 寄) s 。= 署( ( ) 2 s 一4 m 毋) c 蹦= 鑫( c m 圳2 s ；- - r n 2 - - 6 m - - 1 - - 篝) ( 2 4 6 ) 2 0 0 3 年上海交通大学博士后研究工作报告 1 7 则( 23 3 ) 的解为 ，= 拦舞筹裂， 江a - ， 。 2 ( 1 + ms n ( + c t ) ) ) 、 这里m ，k ，s 1 ，s t ，c 为任意常数。显然此时9 为( 2 4 7 ) ，( 21 ) 的周期解形式 为( 22 7 ) ，满足( 22 9 ) ，( 2 3 2 ) ，( 2 3 7 ) ，( 2 4 6 ) 和( 2 4 7 ) 。此时的周期解退化为常 值解，丽不是周期解。 例4 取定参数为( 2 3 7 ) ，( 22 9 ) 和 s ：= 譬( z m - 簧+ 6 mr - m j t + 坠里 竺) 虾署( a 哪；+ 譬) ( p 2 ) 2 = 鑫( 4 m l 驰m i