均值不等式练习题及答案解析.doc

精品文档 均值不等式练习题及答案解析 一均值不等式 1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab 2. 若a,b?R*，则 a?b2 ? * ? a?b2 22 a?b时取“=”） ab 若a,b?R，则a?b?2 2 ab a?b?若a,b?R，则ab?） ? ? 2 a?b2 注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” 求最值的条件“一正，二定，三取等” 均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 y3x解：y3x 11 yxxx 1 3x 值域为，+） 2x 1 x 2； x 1 x =2 x 1 22x1 当x0时，yxx 11 当x0时， yx= 2 xx 值域为 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知x? 54 ，求函数y ?4x?2? 14x?5 的最大值。 1 解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又?x? 54 ,?5?4x?0，?y?4x?2? 1 4x?5 不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项， ?2?3?1 ?3? 1? ?5?4x? 4x?55?4x? 当且仅当5?4x? 15?4x ，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求y?x的最大值。 解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x?8为定值，故只需将y?x凑上一个系数即可。 当 ，即x2时取等号 当x2时，y?x的最大值为8。 32 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式：设0?x? ，求函数y?4x的最大值。 3 2 2x?3?2x?9 解：0?x?3?2x?0y?4x?2?2x?2? 222? 当且仅当2x?3?2x,即x? 3 ?3? ?0,?时等号成立。?2? 技巧三： 分离 例3. 求y? 的值域。 x?1 解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有的项，再将其分离。 x?7x?10 2 当 ,即 时 ,y?5?9。 技巧四：换元 解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在分离求最值。 y? ?7?g恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。 ?B， g 当,即t=时 ,y?技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f?x? 2 ax 的单调性。 例：求函数y?的值域。 解：令 ?t，则y? 1t 2 ?t? 1t 因t?0,t?1，但t?因为y?t? 1t 1t 解得t?1不在区间?2,?，故等号不成立，考虑单调性。 52 在区间?1,?单调递增，所以在其子区间?2,?为单调递增函数，故y? ?5 ? 。 所以，所求函数的值域为?,?。 ?2 练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. y? x?3x?1 x 2 , y?2x? 1x?3 ,x? y?2sinx? 23 1sinx ,x? 2已知0?x? 1，求函数y?条件求最值 的最大值.；30?x? ，求函数y?. 1.若实数满足a?b?2，则3a?3b的最小值是分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a?3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值， 解：a和3b都是正数，3a?3b23?3?23 a b a?b ?6 当3a?3b时等号成立，由a?b?2及3a?3b得a?b?1即当a?b?1时，3a?3b的最小值是6 变式：若log4x?log4y?2，求 1x ? 1y 的最小值.并求x,y的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。：已知x?0,y?0，且 1x? 1x 9y 9y ?1，求x?y的最小值。 ?1?x 9? ? x?y?y? 错解：?x?0,y?0，且 ? ?1，?x?y? ? ?1 故 ?x?y?min 9y ?1。 错因：解法中两次连用均值不等式，在x?y?x? y，在1 x ?条件是 1x ? 9y 即y?9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出 等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。 正解：?x?0,y?0, 1x?9 ?19?y9x ?10?6?10?1?1，?x?y?x?y? xyxyy? 当且仅当 yx ? 9xy 时，上式等号成立，又 ? 1x ? 9y ?1，可得x?4,y?12时，?x?y?min?1。 1y 变式： 若x,y?R且2x?y?1，求1 x ? 的最小值 ? 已知a,b,x,y?R且a?b?1，求x?y的最小值 xy y2 技巧七、已知x，y为正实数，且x1，求y 的最大值. 2 ab 分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab。 2 2 2 1 y 中y前面的系数为 ， y x 2 2 2 1y2 x 21y 22 下面将x， 1y 分别看成两个因式：2 x2x2223 即y x 224 2 1y3 24 1 的最小值. ab 分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调技巧八：已知a，b为正实数，2baba30，求函数y 性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。 302b302bb30b 法一：a ，ab b b1b1b1由a0得，0b15 2t34t311616 令tb+1，1t16，ab234t2 ttt 1 ab1 y 当且仅当t4，即b3，a6时，等号成立。 18 法二：由已知得：30aba2b a2b2ab0abab令uab则u2u300， 5u3 1 3，ab18，y18点评：本题考查不等式 a?b2 ? ab的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等 ? t 16 t 式ab?a?2b?30出发求得ab的范围，关键是寻找到a?b与ab之间的关系，由此想到不等式 a?b2 ? ab，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围. ? 变式：1.已知a0，b0，ab1，求ab的最小值。 2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。 技巧九、取平方 5、已知x，y为正实数，3x2y10，求函数Wx y 的最值. abab 解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，本题很简单 22 3x y 22y ）x2y 25 解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。 W0，W23x2y2x y 102x y 10 21020 W20 2 变式: 求函数y ? 12?x? 52 )的最大值。 解析：注意到2x?1与5?2x的和为定值。 y ?2 ?4?4?8 32 2 又y?0，所以0?y?当且仅当2x?1=5?2x，即x? 时取等号。故ymax? 评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。 总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。 应用二：利用均值不等式证明不等式 1已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a 2 ?b?c 22 ?ab?bc?ca 1）正数a，b，c满足abc1，求证：8abc 例6：已知a、b、c?R?，且a?b?c?1。求证：? ?1 ?1?1? ?1?1?1?a?b?c? 分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘， 又 1a?1? 1?aa ?b?ca ?a 1a 1?aa b?ca a 解：?a、b、c?R?，a?b?c?1。 ? ?1? 。同理 1b ?1? b ，?1? c 1c 。 上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 1?1?1?1?a?b?c?。当且仅当时取等号。 ?1?1?1?8? 3abcabc? 应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知x?0,y?0且 1x?9y ?1，求使不等式x?y?m恒成立的实数m的取值范围。 解：令x?y?k,x?0,y?0, 10k 3k 1x ? 9y ?1，? x?ykx ? 9x?9yky ?1.? 10k ? ykx ? 9xky ?1 ?1?2? 。?k?1，m?,16? 应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若a?b?1,P? lga?lgb,Q? 12 ,R?lg，则P,Q,R的大小关系是分析：a?b?1 lga?0,lgb?0 Q? 12 已知a,b,c均为正实数， 证明： 并确定a,b,c为何值时，等号成立。 类型二：求最值：221a112?)?，bc 利用均值不等式求最值是近几年高考中考查频率最高的题型之一。使用均值不等式的核心在于配凑，配凑的精髓在于使得均值不等式取等号的条件成立。 1. 设x,y?且11?1，求x?y的最小值。 xy 11?的最小值。xy2. 设x,y?且x?y?1，求 3. 已知a,b为正实数，且a?b?1求ab?1的最小值。 ab 4. 求函数y?11?的最小值。 x1?x 291?的最小值。 x1?2x2变式：求函数y? 5. 设x,y?，x?3y?5xy，求3x?4y的最小值。 6. 设x,y?，x?y?xy?6求x?y的最小值。 7. 设x,y?，x?y?xy?6求xy的最大值。 228. 设x,y为实数，若4x?y?xy?1，求2x?y的最大值。 9. 求函数y变式：y?的最大值。 x2?x?110. 设x?0求函数y?的最小值。 x x2?x?111. 设设x?1求函数y?的最小值。 x?1 12. 若任意x?0，x?a恒成立，求a的取值范围.x?3x?1 2x2?3x?313. 求函数y?2的最大值。 x?2x?2 类型三、应用题 1.围建一个面积为360m的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙，其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用旧墙的长度为x。 将y表示为x的函数。 试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少。并求出最小总费用。 2.某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x层，则每平方米的平均建筑费用为560?48x。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ 建筑总面积 附加题： 若正数a,b,c满足a?b?c?1，那么?2?2的最小值为 abc 1、若实数x，y满足x?y?4，求xy的最大值 2、若x0,求f?4x? 3、若x?0，求y?x? 4、若x 5、求f?4x? 6、若x，y?R，x+y=5，求xy的最值 7、若x，y?R，2x+y=5，求xy的最值 8、已知直角三角形的面积为4平方厘米，求该三角形周长的最小值 ?229的最小值; x1的最大值 x9的最大值 x9的最小值. x?5 1、求y? 2、求y?x的最大值. 3、求