（应用数学专业论文）压电材料和压电压磁材料中周期裂纹对sh波的散射.pdf

宁夏大学硕十学位论文中文摘要 摘要 压电材料和压电压磁复合材料由于其独特的力电和电磁耦合性质已经越来越被广泛的应用于 工程实际中，但由于压电材料和压电压磁复合材料本身呈脆性，所以关于含缺陷的压电介质和压 电压磁介质的断裂力学研究也就非常的活跃对于压电材料和压电压磁复合材料中裂纹对s h 波散 射问题的研究大多为非周期裂纹的研究，然而，在工程实际中，裂纹一般都是成群出现的，单一 的裂纹很少见，而部分成群出现的裂纹可理想化为周期裂纹，对于周期裂纹对s h 波的散射问题 研究的很少，因此本文就将对压电材料和压电压磁复合材料中周期裂纹对s h 波的散射问题进行 研究 本文共分五章，第一章概述了压电材料，压电压磁材料有关力学方面的研究现状、研究方 法，弹性波在裂纹处的散射的研究现状，研究方法，以及周期裂纹的研究现状和压电、压电 压磁材料的基本方程第二章主要讨论了无限大压电材料中周期裂纹对s h 波的散射：第三章研 究了无限大压电压磁材料中周期裂纹对s h 波的散射；第四章讨论了无限大压电压磁底层中周 期裂纹对s h 波的散射这三章都首先利用压电材料或压电压磁材料的本构方程得到一组复杂的 动态方程，然后采用有限f o u r i e r 变化将边值问题转化为求解带有剧期核的奇异积分方程再利 用l o b o t t o c h e b y s h e v 积分公式和g a u s s 积分公式对奇异积分方程进行数值求解，最后通过数值算 例分析了几何尺寸、波数、外加力等因素对标准应力强度因子的影响最后一章随全文进行了简 要的概括并且提出了一些今后感兴趣的问题 关键词：压电材料，压电压磁材料，s h 波，周期裂纹，奇异积分方程 弓5 夏大学硕士学位论文英文摘要 a b s t r a c t d u et ot h ei n h e r e n tc o u p l i n gn a t u r e ，p i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l sa n dp i e z o e l e c t r i c p i e z o m a g n i cm a t e r i a l s h a v ea t t r a c t e dw i d ea p p l i c a t i o ni ne n g i n e e r i n g p i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l sa n dp i e z o e l e c t r i c p i e z o m a g n i cm a - t e r i a l si nm e c h a n i c a lb e h a v i o ra r eb r i t d ea n ds u s c e p t i b l et oc r a c k i n g ，t h e r e f o r e ，i ti si m p o r t a n tt os t u d yt h e e l e c t r o - m a g n e t o - m e c h a n i c a li n t e r a c t i o na n df r a c t i o nb e h a v i o ro ft h o s em a t e r i a l s t h ee a r l yi n v e s t i g a t i o n o nt h es c a t t e r i n gp r o b l e m so fs hw a v e sw e r em a i n l yf o c u s e do nt h ec a s eo fn o n p e r i o d i cc r a c k ，i nf a c t ， c r a c k sa p p e a ri ng r o u p si ne n g i n e e r i n g ，a n di no r d e rt or e s e a r c he a s i e ls o m eg r o u pc r a c k sa r et h i n ka sp e r i o d i cc r a c k s t h ei n v e s t i g a t i o no fs hw a v e ss c a t t e r i n gp r o b l e m so nt h ep e r i o d i cc r a c k sw e r es e l d o m t h e p r e s e n tp a p e rw i l ls t u d yt h es c a t t e r i n gp r o b l e m so fs hw a v e so np e r i o d i cc r a c k si np i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l s a n dp i e z o e l e c t r i c p i e z o m a g n i cc o m p o s i t em a t e r i a l s t h i sp a p e ri sc o n s t i t u t e do ff i v ec h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e rs u m m a r i z e st h ea d v a n c eo fp i e z o e l e c t r i c a n dp i e z o e l e c t r i c p i e z o m a g n i cc o m p o s i t em a t e r i a l s ，t h ei n v e s t i g a t i o ns i t u a t i o no ft h et w om a t e r i a l sa n d t h ei n v e s t i g a t i o ns i t u a t i o no ft h ee l a s t i cw a v eo nc r a c k s ，s t u d y i n gm e t h o d so ff r a c t i o nm e c h a n i c a la n dt h e m a i nc o n t e n td i s c u s s e di nt h i st h e s i s ，i n t r o d u c e st h eb a s i ce q u a t i o n so fp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l sa n dp i e z o - e l e c t r i c p i e z o m a g n i cc o m p o s i t em a t e r i a l s i nt h es e c o n dc h a p t e lt h es c a t t e r i n gp r o b l e m so fs hw a v e so n p e r i o d i cc r a c k si na ni n f i n i t eo fh o m o g e n e o u sp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l si sd i s c u s s e d i nt h et h i r dc h a p t e r , t h e s c a t t e r i n gp r o b l e m so fs hw a v e so np e r i o d i cc r a c k si na l li n f i n i t eo fp i e z o e l e c t r i c p i e z o m a g n i cc o m p o s i t e m a t e r i a l si sd i s c u s s e d i nt h ef o u r t hc h a p t e r , t h es c a t t e r i n gp r o b l e m so fs hw a v e so np e r i o d i cc r a c k s 瞎 a ni n f i n i t eo fp i e z o e l e c t r i c p i e z o m a g n i cc o m p o s i t em a t e r i a l sb o n d e dt oa ni n f i n i t eo fh o m o g e n e o u sp i e z o - e l e c t r i cm a t e r i a l si sd i s c u s s e d i nt h i st h r e ec h a p t e r s ，f i r s t l y , t h es y s t e mc o m p l e xg o v e r n i n ge q u a t i o na l e o b t a i n e db yu s i n gt h ec o n s t i t u t i v er e l a t i o no fp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l sa n dp i e z o e l e c t r i c p i e z o m a g n i cc o n i - p o s i t em a t e r i a l s s e c o n d l y , t h ef o u r i e rt r a n s f o r mt e c h n i q u e sa r eu s e dt or e d u c et h ep r o b l e mt ot h es o l u t i o n o fs i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n ，t h i r d l y ，t h i ss i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o na r es o l v e db yl o b o t t o - c h e b ，r s h e va n d g a u s si n t e g r a le q u a t i o n ，a tl a s t , n u m e r i c a lr e s u l t ss h o w e dt h ee f f e c to ft h ef r e q u e n c yo fw a v e ，s i z e sa n d s oo nu p o nt h en o r m a l i z e ds t r e s si n t e n s i t yf a c t o r i nt h el a s tc h a p t e r , i ts u m st h et h e s i sb r i e f l ya n dp u t s f o r w a r dt ot h ef u r t h e r m o r er e s e a r c hi nt h ef u t u r e k e yw o r d s ：p i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l ，p i e z o e l e c t r i c p i e z o m a g n i cc o m p o s i t em a t e r i a l s ，s hw a v e ，p e r i o d i c c r a c k s ，s i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n 一 独创性：声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示了谢意 研究生签名： 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存、汇编学位论文同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学 位论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生签名： 导师签名： 时间：珩妇幼 时 间：毋桫萨乡月翻e t丛踣戤姗 盥争 宁夏大学硕十学位论文第一章前言 第一章前言 1 1 压电材料的基本概念与发展 压电现象最早由j a c q u e s 和p i e r r ec u r i e 兄弟于1 8 8 0 年发现的，压电顾名思义，就是通过外加 压力而产生电荷，这就是直接压电效应反之当外加一电压时，压电材料会产生应力或机械运动， 这就是反压电效应正式压电材料具有这种机电耦合的性质，使得它具有广泛的应用因此人们 对压电材料的研究也产生了浓厚的兴趣 正是由于这种内在的机电耦合性质，压电材料在实际工程中被广泛的应用。经常用来制造各 种智能元件如：传感器、感应器等但由于压电材料本身呈脆性，会导致压电性能价低甚至失稳 扩张，因此压电材料断裂力学的研究也就非常的活跃对压电介质进行断裂分析时，裂纹面电边界 条件的提法存在两种不同的观点：一种足可导通边界条件，即由于裂纹厚度很小，裂纹面的电边 界条件应上下连续，也就是上下表面的电势和法向电位移分量相等，即 d ：= d 二，矿= 咖一 式中，d 者，职分别为上、下裂纹面的法向电位移分量，+ ，一分别为上、下裂纹面的电势 p a t t o n v z 在文献l l 】中首先开始压电材料中裂纹的研究，并假设压电材料裂纹而上下电位移和电 势是连续的，即可导通边界条件文献【2 】和【3 】利用可导通边界条件研究出电场强度在裂纹尖端 是有限的 另一种观点认为由于实际的压电材料，其介电常数比真空的介电常数大3 个量级，因此可以 认为裂纹不导通电流，裂纹面的电位移法向分量为零即 钟= d g = 0 这种边界条件通常称为不可通边界条件p a k 文献【4 】是一篇很重要的论文，利用了不可导通边界 条件研究了无限大压电介质中有限裂纹的反平面问题，并证明了应力强度因子和电位移强度因子 具有1 ，2 奇异性为了使所研究的问题在数学观上得到简化解决不可导通裂纹模型仍有许多研究 者1 5 卜【1 2 j 在使用 压电材料断裂研究是在基本弹性理论完善后逐步开展的p a k 和h e r r m a n 建立了广义电介质中 的守恒定理p a k 采用不可导通边界条件研究了无限大压电介质中的中心反平面问题，以路径无 关积分形式表示出了m 型断裂的能量释放率此外，他还推广了线弹性断裂力学的概念并以此研 究了压电效益，考虑电场对压电材料断裂特性的影响利用可导通边界条件p a t t o n l lj 开创了分析 压电介质的裂纹问题的先河s u 0 1 1 3 】利用可导通和不可导通边界条件详细分析了压电介质中几类 裂纹的断裂问题，而且用虚功原理和复变函数方法，得到了压电介质界面裂纹的基本解s h i n d o 1 1 4 卜1 1 5 1 采用电渗透型裂纹边界条件，考虑了带型含有中心反平面裂纹问题，进一步利用奇异积 分方程法( 文献【1 6 卜【1 7 】) 分别给出了相应问题的封闭解l i 和t a n g0 8 1 分析了可导通边界条件 受到反平面剪切载荷和平面载荷作用时的断裂问题，利用积分变换技术使问题转化为求解对偶积 分方程，最后得到场强度因子和能量释放率的表达式 一l 一 宁夏大学硕十学位论文第章前言 1 2 压电压磁材料的概述 近几年，由匾电和压磁材料组成的复合材料引起了人们的广泛兴趣相比单一的压电和压磁 材料，压电压磁复合材料具有优良的电磁耦合效应，一般情况下这种复合材料的耦合效应要比单 一压电或压磁材料大1 0 0 倍，这种特性为研究新器件提供了机会但当压电压磁复合材料使用过程 中在力，磁和电荷作用下，其制造过程中产生的d q l ，裂纹等缺陷会导致这些磁一电弹祸合的复 合材料过早失效因而，磁一电一弹复合材料的耦合作用和断裂行为的研究是非产重要的近几年 来，对压电压磁复合材料性能的研究已取得了大量的研究成果g a o 等和s o n g 和s i hl l g j 一1 2 0 j 研究 了远场载荷下电磁弹性体中的平面裂纹问题s p y r o p o u l o s 等1 2 i i 和w a n g 和m a i l 翻分析了电磁弹性 体中的绝缘型反平面裂纹问题w u h u a n 9 1 2 3 j 给出了求解电磁耦合效应封闭解的方法胡克强等 1 2 4 】使用积分变换和对偶积分方程方法多压电压磁板条中反平面裂纹的电磁弹性进行了分析孙 建亮等f 3 ij 研究了功能梯度压电压磁材料中的断裂问题相对于压电材料的研究，压电压磁复合 材料的研究还是处在初级阶段，还有大量的问题需要解决，对于动态断裂问题的研究就更少了 1 3 弹性波在裂纹中散射问题的研究概述 弹性波在固体介质中的传播问题多年来一直是学术界研究的热门课题之一对于压电材 料z h o u 等1 2 5 j 采用了s c h m i d t 方法，求解了压电介质中两共线裂纹与s h 波的相互作用n a r i t a 和 s h i n d ol 硐研究了含压电层的复合材料层板中裂纹对s h 波的散射，利用傅立叶变换技术将问题转 化为求解对偶积分方程李琳1 2 7 l 利用s c h m i d t 方法研究了条状功能梯度材料偏心裂纹对反平面简 谐波的散射问题刘俊俏和李星1 2 s 利用c o p s o n 方法研究了无限大正交各向异性功能梯度材料直 裂纹处s h 波的散射，分析了裂纹动应力强度因子与入射波频率、入射角的关系陈晓岚等圆j 研 究了功能梯度材料静止裂纹与s h 波的相互作用宋天舒等i 删研究了压电材料中s h 波的散射和 动应力集中u e d a l 3 2 1 研究了反平面剪切波与垂直裂纹的相互作用马兴瑞1 3 3 i 研究了三层介质中 双g f i f f i t h 界面裂纹的s h 波散射问题上述的研究工作大都是f 嗣绕单一裂纹的，对于多裂纹问题由 于其数学处理较为困难，现有的结果十分有限 周期裂纹是多裂纹的一种特殊形式，对于这一类问题，李星教授在文献【3 4 【4 1 中已经做 了很好的研究，特别在【4 0 】、 4 1 】中还研究了周期裂纹的数值解法早期蔡海涛1 4 2 1 研究了平面 各向异性弹性介质中的周期裂纹问题近来文献【4 3 】一【4 4 】也对周期裂纹进行了研究，并给出了 求解应力强度因子新方法对于周期裂纹动态问题早期a c h e n b a c h 等1 4 5 1 曾就周期甲面裂纹对弹 性波的散射问题进行了研究并着重分析了裂纹面上反射系数和透射系数的频率特性m i k a t t a 和 a c h e n b a c h1 4 6 1 1 4 7 1 研究了周期分布的斜裂纹对p 波的散射问题，文献【4 5 】中除了分析反射系数和 透射系数的频率特性，还考虑了入射角的影响章梓茂 4 s 1 等人对于分布于界面上的周期裂纹对弹 性波的散射问题进行了研究w a n 9 1 4 9 1 研究了多层介质中周期裂纹对反平面剪切波的影响祝瑛 等l 删研究了剪切波在周期裂纹上的反射和折射但这些研究工作仅仅局限于单一的弹性材料， 并未考虑压电材料或压电压磁材料 本文的主要工作就是借助于有限傅立叶变换技术，研究了压电和压电压磁材料中周期裂纹 对s h 波的散射问题，将一个周期带内的边值问题转化为求解一个带周期核的奇异积分方程，并 借助于l o b o t t o - c h e b y s h e v 积分公式和g a u s s 积分公式对奇异积分方程进行数值求解，通过数值算 一2 一 宁夏大学硕上学位论文 第一章| j f 言 例，给出了裂纹尖端动应力强度冈子受周期带宽和入射波频率等的影响情况 1 4 压电材料的基本方程 在无体力和电荷密度时，对于常见的以z 轴极化的横观各向同性压电材料，独立的材料参数 只有1 0 个，本构方程为 霉2 c 1 1 瓦+ c 1 2 面+ c 1 3 瓦+ e 3 1 瓦，0 zo o zo z a u a ya w ，a 圣 勺掣2 c 1 2 否- - ；+ c 1 1 万歹+ c 1 3 刁可+ e 3 1 瓦， a 矿a yo wa 垂 死z 2 c 1 3 瓦+ c 1 3 - 瓦 y + c 3 3 刁7 + e 3 3 瓦， o z 0 zd z ，a ya a 蛋 亿2 铷【瓦+ 百) + e 1 5 面， z 2 c 4 4 【瓦+ 百i ) + e 1 5 瓦， ”2 c 6 6 【瓦+ 瓦) ， d 。= e 1 5 ( 塑o z + 瓦o w h 。筹， 巩= ( 豢+ 筹h - 。筹， 眈= e s - c 筹+ 鼍，+ e 3 3 警一渤笔， 其中1 ，阢vw ；d 和垂分别是应力、分量位移、平面电位移、电势，材料常数的变化量c ，e 和g 分 别称弹性常数、压电常数和介电常数，其中c 6 6 = ( c 1 1 一c 1 2 ) 2 平衡方程为 = 0 = 0 ， = 0 ， = 0 对于反平面问题应力分量只剩下两个分量即z 和勺：，位移矢量只有一个分量，其它位移 分量全为零因此横观各向同性压电介质受平面内电场和反平面剪应力作用下的本构方程为 勺。2 7 j ： 2 现= 一3 一 = 一 z 一 石一 2 一 百百百毗一c； 百垃西堕曲哪百 警鲁等警 施一曲砸一如独一曲 拍 坫 n e e + + 一 挪一曲狮一如跚一曲 融 甜 以 主要奎兰堡兰垡坠奎 第章前言 眈= 尝咱。筹 o z o z 平衡方程为 1 5 压电压磁材料的基本方程 在直角坐标系中t 不计体力和电荷密度时，横观各向同性电磁介质有1 7 个独立常数，因此线 性压电压磁和电磁各向同性的弹性固体的基本方程为 o u 。o v o w a 圣a 尘 c 1 1 否i + c 1 2 否歹+ c 1 3 - 瓦；+ e 3 1 y ；z f 3 1 否i ， o u o v o w a 圣 a 皿 c 1 2 瓦+ c 1 1 万+ c 1 3 百7 + e 3 1 - 瑟z 一，3 1 瓦， o u a v o w a 圣 a 尘 c 1 3 否i + c 1 3 否歹+ c 3 3 刁f + e 3 3 - 否- ；一，3 3 否i ， ( 瓦o v + 百o w ) + e - s 筹一 5 筹， ，o u 。o w 、 a 垂a 虫 c 4 4 ( 瓦+ 瓦) + e 1 5 面一f 1 5 瓦， ，0 u0 v 、 c 6 6 ( 丽+ 瓦) ， ，o u 0 w 、 a 圣a e 1 5 【否孑+ 刁i ) 一1 1 瓦一9 1 1 瓦x ， ，a v o w 、0 圣 a 皿 e 1 5 【瓦+ 百) 一钆万一夕- - 面， ，o u o v 、 o wa 圣 a 皿 e 3 1 ( 面+ 面) + e 3 3 瓦一瓦一g s 3 蕾， s ( 型o z + o w ) + 灿筹一阳嚣， s c 豢+ 筹，+ 肌薏一肌筹， 如，c 筹+ 器，+ 厶。警+ 卯3 箬一腑笔， 其中丁，uv 眠d ，圣和皿分别是应力分量、位移分量、电位移分量、电势和磁势，材料常数 的变化量c ，e ，和、p 分别称为弹性常数、压电常数、压磁常数和介电常数、介磁常数。其 中c 6 6 = ( e l l c 1 2 ) 2 一4 0 o = = z 一 矿一 一曲慨一曲 + + ：一 r 一 堕如堡如 z 管 。 二 名 f 才 矿 彳 t y ； 御 删 似 舻 似 例 肌 砌 仇 尻 励 历 宁夏大学硕十学位论文 平衡方程为 第章前言 对于反平面问题应力分量只剩下两个分量即亿：和勺：，位移矢量只有一个w 分量，其它位移 分量全为零因此横观各向同性压电压磁介质受平面内电场和反平面剪应力作用下的本构方程为 平衡方程为 一5 一 o o 0 o o 名一 ：一 0 一 = 一 z 一 百瓦百慨百慨瓦 堕如垃劬垃劬堡曲堕动 鲁鲁鲁等警 抛一曲抛一跳鼬一曲抛一如鼬一却抛一如 5 5 l l 1 1 仇 吼 肌 m 一 一 一 一 一 一 蚀一曲锄一如独一却独一如独一西砸一钯 吼 q 研 旬 仇 m + + 一 一 + + 狮曲|言如狮曲狮cg|砉曲狮一cg q q q 吼 ： 名 妒 矿 f 印 私 肪 仇 既 尻 o o 0 堕如堕曲堕曲 瓦毗百溉瓦 中夏大学硕十学位论文第二章无限大j 玉电材料t l 一周期裂纹对s h 波的散射 第二章无限大压电材料中周期裂纹对s h 波的散射 2 1 引言 压电介质对弹性波的散射问题近年来引起了国内外很多学者的关注，它不仅在理论上极大的 丰富了弹性动力学的内容，而且在许多技术领域诸如无损探伤、地震探矿等方面存在着广泛的 应用背景到目前为止这方面已经进行了大量的研究工作m e g u i d 和w a n g1 5 1 i 研究了反平面剪切 波下压电体中两个裂纹的相互作用n a r i t a ，s h i n d o 和w a t a n a b e1 5 2 j 分析了压电材料与弹性材料 问的界面裂纹在剪切波的作用下的动态断裂问题文献【5 3 和 5 4 研究了压电材料和弹性材料复 合材料中裂纹对弹性波的散射问题z h o u l 2 5 1 采用 s c h m i d t 方法，求解了压电介质中两共线裂纹 与s h 波的相互作用然而其中多数工作是围绕单一裂纹或共线双裂纹的，对于多裂纹特别是周期 裂纹研究的相对来说就比较少 本文就是考虑了压电介质中削期裂纹对s h 波的散射问题，利用傅立叶变换，将一个周期带内 散射场的边值问题转化为求解一个带周期核的奇异积分方程，借助于l o b o t t o c h e b y s h e v 积分公式 和g a u s s 积分公式对奇异积分方程进行数值求解对散射波场在裂纹尖端附近的动态特性进行了 分析，并给出了裂纹尖端动应力强度因子随入射波频率变化的数值结果 2 2 问题的描述 如图( 2 1 ) 所示，在一无限大均匀各向同性的压电介质中分布着以2 l 为周期，长度为2 n 个 单位的周期g r i f f i t h 裂纹( 8 三) ，在无穷远处沿秒的正方向入射一时问简谐的反平面剪切 波s h 波为了讨论方便，假设无限大p z m 包含区域d 1 和区域d 2 ，j = l ，2 分别代表区域d 1 和 区域d 2 当s h 波垂直入射，作用于裂纹时，应力状态为反平而剪切，不为零的应力分量仅有 y 一 l 一。 d 1 一 一 -a i d 2 ；hua v ls 图2 1 周期共线裂纹 一6 一 一 x 宁夏大学硕士学位论文 第二章无限大压电卡于料r l i _ f 蹦期裂纹对s 坚波! ! ! 移盟 w ( x ，y ，t ) ，应用线性叠加原理将弹性总波场分解成如下形式1 3 1 1 【( 扪，7 ( 。】= f 缈( 扪，7 ( 】+ 【缈( “，丁( 3 】， ( 2 1 ) 其中上标“i ”表示无裂纹时的入射波场，“s 表示由裂纹引起的散射波场，“t ”表示总波场 压电介质的本构方程为 啪一4 等怕5 等， 亿旷蛳雾怕5 黧， 亿2 ， 锄5 警咱，警， 地。百o w o ) 咱。磐， 其中勺；o ) ，嘶j ) ，d ! ，( j ) 和圣( j ) 分别对应上下半平面剪切应力、平面电位移、电势材料常数的变 化最c 4 4 ，e 1 5 和9 1 1 分别称弹性常数、压电常数和介电常数 在压电介质中，z 轴为极化方向，则稳定的反平面动力学问题的甲衡方程有如下形式 警+ 鳖o y = p 争， 亿3 ， 如 况2 ，1 、 百o d o ) + 百o d u o ) ：o ， 。 其中p 为材料密度 将本构方程( 2 2 ) 带入平衡方程( 2 3 ) 可得 e l s v 2 一l l v 2 呜= 0 ，c 4 4 v 2 + e l s v 2 呜= 0 ， ( 2 4 ) 其中v 2 为拉布拉斯算子 假设入射波是平面谐波，则入射波的形式为 老篙= a oex卟p-iw(x(c掣。s篆ysino + t 讲) , 亿5 ， 毗舢= 挚唧卜( 掣+ t ) 一叫 这里山，口，u ，c 她，西( i ) 分别为波幅、入射角、入射频率、波速、入射场电势，i = 佩t 为时间变 量翩= 侈p = c 4 4 + 鱼1 1 将( 2 5 ) 式代入( 2 2 ) ，则可得与入射波形式对应的应力为以下的形式 枷则，= t os i n o 唧卜( 掣+ t ) 仁6 ， 其中匍= 一i a o w p c s h 因为入射波已知，所以本文的目的就是求解散射波场又因为入射波和散射波具有相同的时 一7 一 弓。夏大学硕十学位论文第二章厄限大压电材料l l 周期裂纹对s h 波的散射 问因子，因此散射波场可以写为( 为方便起见，我们略去散射场的上标“s ”而不致引起误解) 引进新函数 眦j ) ( z ，y ，t ) = m j ) ( z ，y ) e x p ( 一i w t ) ， 雪。) ( z ，y ，t ) = e 1 _ _ a 5 ，( j ) ( z ，秒，) 巴1 1 皿o ) ( z ，可) = 垂o ) ( z ，y ) 一e 一1 _ 2 5w ，( j ) ( z ，可) ， t ：1 1 称皿( j ) ( z ，耖) 为b l e u s t e i n i 两 将式( 2 7 ) 、式( 2 8 ) 代入( 2 4 ) ，略去丰h 同的时间因子e x p ( 一 u t ) ，可得到h e m h o t z 方程： 2 3 积分方程的建立 v 2 + k 孚1 = 0 ， v 2 = 0 ( a ) ( b ) ( 2 7 ) ( 2 。8 ) ( 2 9 ) 由图2 1 的力学模型可知，散射场是关于z = ( 2 n + 1 ) l ( n = 0 ，- i - 1 ，- i - 2 ，- t - 3 ) 平面对称的， 并沿z 方向以2 工为周期变化的，因而只需在三的周期带内求解散射场t i p , q 由于裂纹面自由及对称条件，可知在川s 的周期带内散射场应满足如下边界条件 j 勺z ( 1 ) ( z ，+ o ) = 勺。( 2 ) ( z ，一0 ) = 一7 - o ， 【d 可( 1 ) ( z ，+ o ) = d 掣( 2 ) ( z ，一0 ) = 一d ， 胍( z ，+ o ) = w 2 ( x ，- o ) ， 雪l ，+ o ) = 圣2 ( z ，- o ) ， 勺：( 1 ) ( z ，+ 0 ) = 勺：( 2 ) ( z ，一o ) ， d ( 1 ) ( z ，+ o ) = 岛( 2 ) ( z ，一o ) ， j 气；( 1 ) ( 一l ，y ) = l 。( 2 ) ( l ，秒) ， i id 善：( 1 ) ( 一l ，y ) = d x ：( 2 ) ( 厶耖) ， j 暇1 ) ( z ，y ) = m 2 ) ( z ，y ) = 0 ， 【圣( 1 ) ( 。，智) = 圣( 2 ) ( z ，可) = 0 ， _ 妯， ( 2 1 0 ) 1 2 i o a l z i l ， 认水土： ( 2 1 1 ) a i 叫 l ， a 川 厶 l y o o ， ( 2 1 2 ) l 耖i o 时取( 一) ，当秒 o 时取( + ) ，缛( 。) = ( n ( ) 2 一砰，( = 三，屿。， 屿。，屿o ，n m = - i - 1 ，- i - 2 ，4 - 3 ) 均为待定常数 将( 2 1 7 ) 式和( 2 18 ) 式代入( 2 8 ) 式可得 圣昌。= j o + 祟屿。e x p ( + i k t y ) ， 圣昌。：j n = ；：士i 警l 矽) + 豢屿ne 印( 圭胁。彬) q _ 由本构方程( 2 2 ) 再结合式( 2 1 7 ) 和式( 2 1 9 ) ，- - f 得勺：( j ) n ( n = 0 ，4 - 1 ，4 - 2 ，土3 ) 有如下形式 r 可e l ，= 4 - i k t m j o + 粪e x p ( i 研们， ( 2 2 0 ) r 州n 坍= 4 - 艮c n ，c 4 4 + 鲁) 坞。e x p ( 士艮c 州) 士。e x p ( 士l 警l 可) “w 同理可得d y ( j ) n ( n = 0 ，4 - 1 ，- t - 2 ，士3 ) 有如下形式 一9 一 ( 士j 警i 力 ( 2 2 1 ) p 强 崎 竺l n 净 士 q 一 = j j m端啦 与。夏大学硕十学位论文第二章无限大压电材料l | 1 周期裂纹对s h 波的散射 f 面再引入这样两个辅助函数a 。 ) ，k ( u ) w 1 ( z ，。) 一w ，2 ( z ，。) = z a a ：r ( 札) d 札，l z i 。， w 1 ( z ，0 ) 一v 吃( z ，0 ) = 0 ，a l z l l 州邶) 一似。，? ) = z 8 6 小) 砒， 川 a ， ( i h ( x ，0 ) 一圣2 ( z ，0 ) = 0 ，a l z i 三 由( 2 2 2 ) 和( 2 2 3 ) o - j 失f l 在y = 0 ，a h l c k 位移和电势的连续性条件自然满足 对( 2 2 2 ) 和( 2 2 3 ) 的两边同时取礼阶有限的傅立叶变换，得 其中 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) w ，l i t m ，一博棚) - 如， 肛o 士1 土2 ，士3 ( 2 2 4 ) 虫控) 。( o ) 一圣曰) n ( o ) = 玩， 扎= 0 ，4 - 1 ，4 - 2 ，q - 3 = 一壶u n 。( u ) 如， n = 。， a 。= 熹叫u ) e x p ( 等) u 卜扎o 耻一壶仁u 嘶扎_ o 既= 去蜥) e x p i ( 等叫抛，n o 由可= 0 处边界条件，结合结合( 2 2 4 ) 、( 2 21 ) 和( 2 2 0 ) 可得 篡唑妙叫( c 4 4 + 鲁) 当n 0 时 f 一所c n ，( 铂4 + 鱼e 1 1 、尬n - - e 1 5i 警im n = 胁c n ，( 铂4 + 鱼e l l 、i 尥住一e t s l j 1 。= 一2 n ， l 尬n 一n = a n ， i 1 n + 坐尬n n 2 n 一当地n ：岛 e 1 l1 1 n 2 n ， ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 由( 2 2 7 ) 和( 2 2 8 ) 便可求得用口卫( t 1 ) ，k ( t ) 表示的各未知常数坞。，n 0 = 1 ，2 n = 0 ，士l ，士2 ，士3 一1 0 一 宁夏大学硕十学位论文第二章无限大压电材料中周期裂纹对s h 波的散射 一) ，其具体形式如下 n x o = 0 ， n 2 0 = 0 ， 尬。一壶仁懈舡) 也， 。= 瓦1 厶叫u m l n 去畎u ) e x p i ( 7 ) u 地喇， 尬。= 一上4 n t r 厂。an z ( u ) e x p i i n t r ) “h n o ， 1 。= 丽i 上a 。6 。( u ) e x p 卜( 警川d u 一坐1 1 二厂。n 。( 札) e x p z ( 警叫砒， 坐上厂。z(u)expi(警问砒一赤-上aan2d,。114 n tj - a。k ( 乱) e 印 z ( 警) 司砒， n 0 ， n 0 ( 2 2 9 ) 将( 2 2 9 ) 代入到( 2 2 0 ) 并利用( 2 2 1 ) 式作其反演，再令y = 0 ，利用裂纹面上应力边界条件和电 位移边界条件，可得如下关于n 霉( t ) ，b x ( u ) 的奇异秋分方程 其中 i k ti c 4 4 + e ：“一l f 。去仁 i r 磊1 o i f o 一一4 1 r 。 0 0 a 0 r ( u )e x p 【i ( 警) ( u - x ) q n e l s b z ( u ) e x p i ( 7 ) ( t t z ) 】d u = 一勺， 一e t s 钒。霉( u ) e x p i ( 7 ) ( 让一z ) 】d + 去仁i 塾钆帅印p c 警) ( u - - x ) d u = 峨 r = 丢 一所c “+ 鲁) + 石e 2 5l i n t r i ， 注意到当n - 时 0 co l l 一 = ! i , 。 孕【( c 4 4 ) l ， 山 ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 啦 州 篙 叶 r r 队 宁夏大学硕十学位论文第二章无限大压电材料中周期裂纹对s h 波的散射 ( 2 3 0 ) 可化简为 t 珩( q 4 + e 2 5 ， 1 1 f ：，n 水) d u + 去l i e o f 4 1 r ，一口 又因为 o o ( 2 3 3 ) 可化简为 i p 一面。 0 0 n l = l i n l = l 【r 一叼扎( 佗) q m u ) e x p ( 警) ( u - x ) 砒 q n e l 5 - - s 9 竹( n ) e s ib 。( u ) e x p i ( 7 ) ( u - x ) 扎 + 去仁蠢踟c 咖胁c u ，唧 i c 警一z ) i f o 一磊j o 0 0 n l = ls a n ( 佗) e 1 5 k ( u ) e ) 【p i ( 警) ( u - x ) 砒= 飞 f ( _ e - s ) q r ip 8 9 n ( 几) ( - e l s ) m ) e x p i ( 警) ( u - x ) 砒 霉 + 石 l + 石 t + 石 o o q n 9 1 1 一踟( 他) e 1 l 】k ( u ) e x p i ( 7 ) ( u z ) 砒 踟( 仃) ( - e 1 5 ) n 盏( u ) e x pl ( 警) ( u z ) s 9 佗( 竹) e 1 l b x ( u ) e x p i ( 7 ) ( u z ) 如= 一d s 夕n ( n ) 叫i ( 等) ( u - x ) 砘o t 矗( 牡一z ) ， 一i l ( i 所( 铂a + 鲁) 瓦7 1 “+ 砉 0 0 陬一阳n ( n ) q 】 n l = l e 印 i ( 警) ( u - x ) ) n 。( u ) 如 ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) + 1f o u z ) ( u ) 也 一妻仁三e 。5 c o t 一7 1 4 l 2 l ( u z ) k ( 牡) d u = 匍， ( 2 3 5 ) 丌，一口 、 一一 ” 一妻仁扣c o t 矗( 钍刊以u ) 砒 + 妻仁知c o t 瓦7 1 ( 让叫蜥) 砒_ d 为了求解此积分方程，考虑到边界条件( 2 1 1 ) 和( 2 2 2 ) 、( 2 2 3 ) 式可得解的唯一条件 仁以州u = 。， 啡) 五o 1 2 ( 2 3 6 ) 忙 紫紫岫 口 也 口 咀 口 咀仁仁仁 州 宁夏大学硕十学位论文第二章尤限大压电材料l f l 周期裂纹对s h 波的散射 现设，u = a 8 ，z = a t ，a x ( n s ) = ( s ) ，b x ( a s ) = 丘( s ) ，则( 2 3 5 ) 式正则化为 一妻 i 所c 4 + 象，丕。础+ 一i 歪o o 。峨一踟c 咖】唧 t c 警m s t ， ) 口 ( s 油 + 昙扣t 瓦7 1 0 ( s 叫，l ( s ) d s 一妻丕t 瓦7 r 如叫，2 ( s ) d s 一 一妻丕e l s a c o t 丌巾叫肌) d 3 + 妻丕印t 瓦7 1 0 ( s 叫，2 ( s ) d s 姐 ( 2 3 6 ) 式可正则化化为 删扣。， 咧s ) d s o f 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) 方程( 2 3 7 ) 是具有周期核的奇异积分方程，可以f i - ! l o b o t t o - c h e b y s h e v 求积公式和g a u s s 求积公 式进行数值求解1 4 1 1 考虑到裂纹尖端的奇异性，我们令 ，1 ( s ) = f l ( s ) 则方程( 2 3 7 ) 、( 2 3 8 ) 可简化为代数方程组进行求解 ，2 ( s ) = f 2 ( s ) 薹嘉口r c 刚 三c o t 瓦7 1 郇r 岛，一t 所+ 兽，五7 1 鲫一i