（应用数学专业论文）具有不同伸缩和平移因子向量小波的特征刻划.pdf

摘要 众所周知，铲( r ) 中函数妒( z ) 是一个标准正交小波的定义为： 咖k ( z ) jj ，k z ) 构成l 2 ( r ) 的一个标准正交基，其中奶，女( z ) = 2 b ( 2 j x 一) ，z 为所有整数组成的集 合。1 9 9 5 年前后，g g r i p e n b e r g ，e 。h e r n 直n d e z ，x w a n g ，g w e i s s 等在频域上给出 如上定义的标准正交小波( 标量小波) 的特征刻划2 0 0 0 年，崔锦泰和施咸亮给出 了l 2 ( r ) 中有限个函数具有同一个任意实数伸缩o l 和同一任意实数平移b 0 的标准正交小波皿c = 妒。，钆) 的特征描述本论文在崔锦泰和施成亮所得结果 基础上给出铲( r ) 的子空间瑶( r ) 中有限个函数中l 具有不同伸缩因子和不同平移 因子的标准正交小波的特征刻划主要结果为： 定理a 假设皿= 霍l = 妒l ，妒l ) ，雷= 西l = 币l ，一，每l ) cl 刍( r ) ，a l l ， b l 0 ，f = 1 ，上，且三m ，三i 三o 。那么对任意，g d 日，级数( 2 3 ) ( 见p 1 1 ) 在 ( 2 4 ) ( 见p 1 1 ) 意义下收敛，其中 d e = ，扛) ：，( z ) l 刍( r ) ，任) l 。( r ) ，s u p p ce o ) 且紧) 定理b 在定理a 条件下，如果对，g d e ，p ( f ，g ) = ( ，1 9 ) ，那么对a a l ， 壹壶，、矾嘲咖+ 警) 地0 x 枞o e u 皑 l = l10 ，m ) 6 1 a 。( n ) 1 其中凇表示集合e 的特征函数 定理c 假设a l 1 ，b l 0 ，q l = 妒h r ，e l cl 刍( r ) 且0 砌| i 堤( r ) = 1 ， f ：1 ，l 那么d z l 为瑶( r ) 标准正交小波当且仅当对所有的n a l ， 壹击，、瓣堋咖+ 警) = 6 c , , o x e ( u ) ：a e 。r 1 = 1 ”( ，m ) 6 1 0j ( n ) 1 最后给出一些推论和例子 关键字：小波；标准正交小波；a - 进数 a b s t r a c t i ti sw e l lk n o w nt h a ta no r t h o n o r m a lw a v e l e t ( o r ，s i m p l y , aw a v e l e t ) i saf u n c t i o n 妒( $ ) l 2 ( r ) s u c ht h a t t h es y s t e m 屿，k ( x ) = 2 j 2 妒( 2 j z 一七) ) ，w h e r eja n dkr a n g t h r o u g ht h ei n t e g e r sz ，f o r m sa no r t h o n o r m a lb a s i so fl 2 ( r ) i n1 9 9 5 ，g g r i p e n b e r g ， e h e r n g n d e z ，x w a n g ，g w e i s s ，e t c g a v et h ec h a r a c t e r i z a t i o no fs u c ha o r t h o n o r m a l w a v e l e ti nf r e q u e n c e m o r e o v e r ，c k c h u ia n dx ls h i ，i n2 0 0 0 ，g a v et h ec h a r a c t e r i - z a t i o no fo r t h o n o r m a lm u l t i w a v e l e t sw i t ha ni d e n t i c a la r b i t r a r yr e a ld i l a t i o nf a c t o ra 1 a n da ni d , n t i c a la r b i t r a r yr e a lt r a n s l a t i o nf a c t o rb 0 b a s e do i lt h er e s u l to fc k c h u ia n dx l s h i ，i nt h i st h e s i s ，t h ec h a r a c t e r i z a t i o no fo r t h o n o r m a lm u l t i w a v e l e t sw i t h d i f f e r e n tr e a ld i l a t i o n sa n dt r a n s l a t i o n sf o rt h es u b s p a c el 2 e ( r ) o fl 2 ( r ) i sp r e s e n t e d t h em a i nr e s u l t sa x e t h e o r e ma s u p p o s et h a tm = 皿l = 妒1 ，一，e l ，量= 西l = 每1 ，一，西l ) c l 2 e ( r ) ，a l 1 ，b t 0 ，f = 1 ，一，la n d 工中，l 画l t h e nv ，g d e ，t h e s e r i e si n ( 2 3 ) ( p l li nt h et h e s i s ) c o n v e r g ei nt h es e n s eo f ( 2 4 ) ( p l li nt h et h e s i s ) ，w h e r e d 目= ，( z ) ：，( z ) l 刍( 冗) ，代) 三”( r ) ，a n d f i sc o m p a c t l ys u p p o r t e di ne o ) ) t h e o r e mb u n d e rc o n d i t i o n so ft h et h e o r e m a ，i fp ( f ，g ) = ( ，g ) f o r ，1g d e ， 善l 1 赢，碱痫警m 圳乩一u 皑 f o ra l ln a l ，w h e r ex ed e n o t e st h ec h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o no ft h es e te t h e o r e mc l e t a l 1 ，b l 0 ，, i j l2 妒。，e l c 碓( r ) a n di i c d i l ( r ) = 1 ， f ：1 ，l t h e n 皿li sa no r t h o n o r m a lw a v e l e tf o r 磁( r ) i fa n do n l yi f l n 1 善。确嘲? u + 警邮矧乩a e weri=l 1 ( j m ) 厶( o ) f i n a l l yw ee n d t h et h e s i sw i t hs o m ec o r o l l a r i e sa n de x a m p l e s k e y w o r d s ：w a v e l e t ；o r t h o n o r m a lw a v e l e t ；a - a d i cn u m b e r i i i 第一节前言 小波分析( w a v e l e ta n a l y s i s ) 是上世纪八十年代发展起来的一门新兴数学分支， 是当今数学领域中一个迅猛发展的新方向，是二十世纪数学研究成果中杰出代表之 一它汲取了诸如泛函分析、数值分析、样条分析、调和分析等众多数学分支的精 华，并又包罗了它们的许多特色它是继f o u r i e r 分析之后又一重要的数学分析方 法，是调和分析发展史上里程碑式的进展它为二十世纪的现代分析学作了完美的 总结与传统分析方法相比，小波分析具有广阔的应用前景，它给许多相关学科的 研究带来了新思想，并且为工程学提供了一种新的更有效的分析工具它反映了大 科学时代学科之间相互渗透、交叉、融合的趋势，是纯粹数学与应用数学及工程技 术殊途同归的光辉典范( 【1 2 1 ) 传统的f o u r i e r 分析是通过f o u r i e r 变换引进频率的概念，将一个函数展开成 不同频率谐波的线性叠加( f o u r i e r 展开) ，使得对函数形态的研究可以转化为对其 f o u r i e r 系数的研究这使得很多在时间域上看不清的问题，在频率域上却一目了 然因此，f o u r i e r 分析无论在数学领域还是在各个工程学科中都扮演着重要角色 但是，f o u r i e r 分析只是一种纯频域的分析方法，它不能提供局部时间域上的函数 特征另外，从函数空间上讲，f o u r i e r 分析只在三2 ( r ) 中有效，对p 2 的三p ( 丑) 空间，f o u r i e r 系数只是形式上的展开，而不能刻划函数大小和形态所以，长期以 来，数学家和工程师们一直在努力寻找一种更好的基函数，使函数不但能得到一种 新的正交展开，而且又熊同时显示出时间域、频率域上的局部特征这样的基就是 小波基，对它的存在性、构造和性质的研究就是小波分析( 阻4 】) 小波分析的渊源，可以追溯到二十世纪初1 9 1 0 年，数学家a h a a r 提出了 “小波”规范正交基，即h a a r 基1 9 3 8 年，j e l i t t l e w o o d - p a l e y 对f o u r i e r 级数 建立了l i t t l e w o o d p a l e y 理论他们提出，对频率按分进行划分，f o u r i e r 变换的位 相变化本质上不影响函数的大小，这可以认为是多尺度分析恩想的最早来源1 9 7 5 年， a pc a l d e o n 用他早年提出的再生公式给出抛物型空间上日p 的原子分解， 它的离散形式已经接近小波展开这为小波分析的诞生做了理论上的准备 1 9 8 1 年，j o s t r s m b e r g 对h a a r 系进行改进，证明了小波函数的存在1 9 8 2 年，g b a t t l e 在构造量子场论中使用了类似c a l d e r o n 再生公式的展开1 9 8 4 年，法国地 球物理学家j m o r l e t 在分析地震波的局部性时，发现f o u r i e r 变换难以达到要求， 因此把小波的局部化性质应用于信号分解，取得了满意的结果随后，理论物理学 家a g r o s s m a n 对j m o r l e t 的这种信号分解方法进行了理论研究，提出了伸缩和平 移特性，建立了按一个确定函数皿的伸缩平移系 1 2 皿( 竺型) ：仉b 矗，o 0 展开的理论这为小波分析的形成开了先河( 降5 】) 小波分析是二十世纪八十年代中叶才逐步形成和日臻完善的，特别是现代小渡 理论的奠基人，y m e y e r ，i d a u b e c h i e s 等人作出了重大贡献1 9 8 6 年，法国数学家 y m e y e r 创造性地构造出了一个具有一定衰减性的光滑函数，它的二进制伸缩和平 移系 c j , k ( t ) = 2 - j 2 妒( 2 一j t k ) ： k z ) 构成工2 ( 矗) 的规范正交基，实现了信号在 时频空间同时局部化的正交分解在这之前，人们或许认为具有如此优良特性的小 波函数是不存在的y m e y e r 为小波理论的形成和完善做出了重大贡献，是小波理 论的重要奠基人之一同年，继y m e y e r 给出的小波函数之后，p g l e m a r i e 和g b a t t l e 又分别独立地给出了具有指数衰减性质的小波函数1 9 8 7 年，y m e y e r 和 s m a l l a t 合作将计算机视觉领域内的多尺度分析引入到小波分析中，从而成功地统 一了在此之前的j o s t r s m b e r g 、y m e y e r 、pg l e m a r i e 和g b a t t l e 等提出的各 种具体小波函数的构造至此，小波分析才真正成为一门数学分支同时，s m a l l a t 的重要贡献还在于，他通过研究小波变换的离散化问题，形成了著名的m a l l a t 塔式 算法由于该算法显著地减少了计算量，又能保持较高精度，因此，至今仍被广泛 地应用，而且这也使小波分析在工程上的应用前景更加光明( 【4 - 5 】) 2 1 9 8 8 年，小波的另一位奠基人，i d a u b e c h i e s ；构造出了具有紧支撑的正交小 波基它为数字信号的小波分解提供了有限的从而更实际，更具体的数字滤波器 1 9 9 0 年，著名学者崔锦泰和王建中构造了基于样条函数的单正交小波函数，并讨论 了具有最佳局部化性质的生成函数与小波函数1 9 9 1 年，m v w i c h e r h a n s e r 等人 将m a l l a t 算法进一步深化，提出小波包( w a v e l e tp a c k e t s ) 算法，取得了信号的最佳 时频分解时至今日，小波分析及其应用得到了蓬勃发展，也取得了令人瞩目的成 就 小波分析应用广泛它的应用范围包括数学领域本身的许多学科，也包括信号 分析、图象处理、量子力学、电子对抗、计算机识别、地震勘探数据处理、边缘检 测、音乐与语音人工合成、机械故障诊断等许多方面特别在信号分析领域中，小 波分析是一种时域频域分析，介于纯时域分析和纯频域的传统f o u r i e r 分析之间 小波变换是一种时间和频率的局部变换，因而它具有时域和频域都能表征信号局部 性质的能力这使得它在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在 高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率因此，小波分析被誉为分析 信号的“数学显微镜”( 【1 】) 小波分析也是刻划函数空间的有力工具由于小波函数具有良好的衰减性、光 滑性、对称性、紧支性等，所以它能构成许多熟知函数空间( 矿空间、s o b o l e v 空 间、h a r d y 空间、b m o 函数空间以及h s l d e r 函数空间) 的基，而且是无条件基 这就大大方便了对函数空间的刻划更重要的是，对于这些空间的元素，它能通过 小波基的展开系数给出这砦函数性质的简单刻划例如，能用小波展开系数描述函 数的局部光滑性质( 【3 ) 由此可见，小波分析既具有丰富的数学理论意义，又具有广泛的工程应用价值 特别，在理论上，函数空间五2 ( r ) 上的标准正交小波的特征刻划是小波的研究内容 之一为此，给出标准正交小波的定义如下 3 定义1 假设o 1 ，b 0 ，如果 妒协， ( z ) j 妒，k ( ) = n 币i ( a j x - - k b ) ，矗k z ，l ；l ，三 ， ( 1 1 ) 构成l 2 ( r ) 的一个标准正交基，那么称工2 ( r ) 中有限函数集虬= 妒。，札 为 l 2 ( r ) 中具有同一伸缩因子和同一平移因子的标准正交小波，其中z 为所有整数组 成的集合 下面给出l 2 ( r ) 中几个标准正交小波的例子 例1 h a a r 小波妒( ) ： 妒( 。) l ，0s z ；， 一1 ，；z 1 0 ，其它 图1 h a a r 小波妒( z ) 4 妒( z ) 通过伸缩和平移得到的函数族 奶t ( z ) ：咖，k ( z ) = 2 j 2 妒( 2 j x 一) ，k z ) 构成l 2 ( r ) 的标准正交基这是历史上第一个小波，也是最简单且具有紧支撑的正 交小波，它称为h a a r 小波 例2 定义函数妒( z ) 如下： 每( ) = e 暗) ( ，( f ) ，j = 一2 ”，一” u 【丌，2 州 图2 s h a n n o n 小波咖( 。) 那么妒( z ) 为上2 ( _ r ) 的标准正交小波此小波成为s h a n n o n 小波 5 其中 例3 l e m a r i e - m e y e r 小波妒( z ) ： 审( ) = 6 ( f ) e z 5 6 ( ) s i n ( 沁一；”) ，；” 0 的情况，2 0 0 0 年，崔锦泰和施 咸亮得到如下结论( 8 ) ： 定理2 假设a 1 ，b 0 ，皿cl 2 ( r ) 且1 1 妒z 1 1 2 = l ，r = 1 ，l 那么皿l 为 二2 ( r ) 标准正交小波当且仅当对所有的a 进数o ， ；圭甜。) 锄( a j u + 孚) 哉肌一u r i ( 1 4 ) 。1 = 1 ( 丘m ) e l a ( o ) 其中a - 进数和集合厶( 口) 的定义如下： 定义2 形式为 。：i m ，m ，j z 。2 万，”，匕 的实数。称为* 进数；对a - 进数a ， 厶( a ) = 。，m ) ：( 曩m ) z 2 ，a = 孑) ， ( 15 ) 7 a。，=：。a2er。， 妒f j ， ( ) = 。 妒f ( o z k b t ) ，j ，z ( 1 6 ) 如果 啦；j ，女( z ) ：f _ 1 ，l ，j ，k z ) 构成l 2 ( r ) 的一个标准正交基，那么称l 2 ( r ) l 2 ( r ) = ，( z ) ：，( z ) l 2 ( r ) ，s u p p e ，“) h 2 ( r ) = ，( z ) ：，( z ) l 2 ( r ) ，代) = 0 ，。e 0 ) 8 对h 2 ( 固，p a u s c h e r ( 9 ) 讨论了它中单个函数( 伸缩因子为2 ) 为标准正交小波的刻 划问题 本论文分为五节第二节给出本文的主要结果；第三节列出证明主要结果所需 要的一些引理及证明；第四节给出主要结果的证明；最后一节给出一些推论和基于 推论的例子 9 第二节主要结果 从定义4 看出，l 刍( r ) 是上2 ( r ) 的闭子空间因此瑶( r ) 上的范数、f o u r i e r 变换、p l a n c h e r e l 定理等完全与l 2 ( r ) 上一致类似于定义3 ，我们有 定义5 设m l ( z ) = 妒l ，一，讥 c 珐( r ) l 1 ，b t 0 “= 1 ，工) 如果 讥m ( ) ：f _ 1 ，l ，j ，k z 是l 刍( r ) 的一个标准正交基，那么称皿l 为磁( 且) 中的标准正交小波 为了给出工刍( r ) 中标准正交小波皿l 的特征描述，我们需要下述记号 给定a f 1 ，b t 0 ，f = 1 ，l 定义集合虬： a 。= q r ：存在f ，。 1 ，b l 0 ，皿l = 妒l ，九) c 上釜( r ) 且f f 吨f f l ( 冗) = 1 ， l = 1 ，l 那么皿l 为工套( r ) 的标准正交小波当且仅当对所有o a l ， 壹击，i 。碱u ) 洲u + 百2 r a f t ) = 6 a , o x e ( 毗a e w er , (21)1 = l ”0 ，m ) e l a ( n ) 1 其中x 嚣表示集合e 的特征函数 定理3 给出了l 刍( 兄) 中具有不同伸缩因子和不同平移因子的标准正交小波的 特征为了证明定理3 ，我们需要给出其它结果，这些结果本身也很有意义，为此， 首先列出用到的记号 类似于f f 2 l 和咖甜( z ) ，对于西l = 硒1 1 一，i b l ) c 工刍( r ) ，令 币“，七( z ) ：书b ，* ( t ) = 凸 币z ( n ；z 一向6 c ) ，j ，七z ，f = l ，- - - ，工) ， ( 2 2 ) 定义珐x 工刍上的双线性函数 l p i s ，g ) = ( ，铂。，女) ( 西。k ，9 ) ，g 刍( a ) ， ( 23 ) f - 1 ，k e z 这里双无限级数的收敛定义为 存在如果级数( 2 3 ) 在( 2 4 ) 意义下收敛，并且满足 p ( f ，g ) = ( ，9 ) ，v ，g l 2 ( r ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 则下述结果成立 定理4 假设皿= 皿l = t f ，l ，一，妒l ) ，每= 毒l = 每1 ，- 一，西l ) 三刍( r ) ，a l 1 ， b l 0 ，f - 1 ，l ，且如，l ；el 。那么对任意i ，g d e ，级数( 2 3 ) 在( 2 4 ) 意义 下收敛，其中 d e = ，( z ) ：， ) e l 备c r ) ，任) l 。( r ) ，s t s 即，ce o ) 且紧) 定理5 在定理4 的条件下，如果对，g ed e ，p ( f ，g ) = ( ，g ) ，则对o a l ， 壹壶，、确u ) 瓣u + 警) 地。伽( u l ，一w e r ( 2 6 ) l = 11 ( m ) e l a j ( n ) 1 基于定理3 的结论，我们容易给出l 2 ( r ) 中具有不同伸缩因子和平移因子的小 波紧框架的特征刻划，以及对偶框架的特征刻划首先给出紧框架的定义 g 女 睁0妒， b “k 。叫 。m 黯酣黔 一为 、， z七 ， ll = z k ， 咖(和 、， z七 了 l1 = fz t j 妒( 称偶置 么对那对 2 u ，听 一妒 脚 。嘲 l | u 口 lun ，妒 触 。 1 1 u 口 l 定义6 假设皿l ( z ) = 妒l i 一，讥 cl 刍( r ) a t 1 ，b t 0 ( z = i ，l ) 如果 对任意，l 缶( 兄) ，有 慨， ) 1 2 = | | f 一22 ，( r ) ， 那么称田l ( z ) 为珐( r ) 。的标准紧框架 定义7 假设母l ( 。) 和每l ( z ) 都为l 刍( r ) 的标准紧框架如果对任意f ，g 工刍( r ) ，有p ( f ，g ) = ( ，9 ) ，那么母l ( z ) 和西l ( z ) 为一对对偶框架 定理6 假设n 1 ，b t 0 ，q j l = 妒h 一，e l ) c 工刍( r ) ，z = 1 ，上那么中l 为瑶( r ) 的标准紧框架当且仅当对所有o z a l ， 壹壶，确u ) 由( 。j w + 警) 地。哪( 乩一u 眦( 2 7 ) i = 11 ( m ) e r o j ( o ) 1 定理7 假设o f 1 ，轨 0 ，皿l = 砂l ，一，妒l ) l 刍( 兄) ，每工= 每1 ，- 一，西工) c l 备( r ) ，f = l ，l 且 中i ；j , k ( z ) ) 和 也；拈( z ) 1 都为b e s s e l 序列那么( 皿l ，西l ) 为 对偶框架当且仅当对n 忆， 塞击，、确u ) 矾u + 竿) 地。恤( 毗一u 咄( 2 8 ) k l1 m ) e l a 。( n ) 1 下面给出定理3 、定理4 和定理5 的证明定理6 和定理7 的证明类似于定理 3 和定理5 1 2 第三节准备工作 为了证明主要结果，本节列出一些准备工作 引理1 假定 e i ：j = 1 ，2 ，) 为h i l b e r t 空间口中的一列元素且满足 o o ir e l l 备= c j ) 1 2 ，ve h ( 3 1 ) ，= 1 如果i l e j l l u 1 ，j = 1 ，2 ，那么 勺：j = l ，2 ，) 为日的一个标准正交基 引理l 的证明是容易的( 【1 0 ) 为完整起见，给出证明如下 证明用e = e j 。代入( 3 1 ) 式得到 0 勺。i i 备= l ( 勺。，e j 。) 1 2 + i ( e j o ，e j ) 1 2 ，j o 从而有 i i e j 。i i 备( 1 一i l e j 。i i 备) = i ( 8 j o ，勺) 1 2 j # j o 由于 l 勺。i i m 1 ，所以当j j o 时，( e j 。，c j ) = 0 显然l l 勺。怕= 1 由5 0 的任 意性知， e i ：j = 1 ，2 ，) 为h i l b e r t 空间h 中的标准正交系再由( 3 1 ) 式知， e j ：j = 1 ，2 ，) 是日的标准正交基引理l 证毕 引理2 假设 e j ：j = 1 ，2 ，) 为h i l b e r t 空间日中的一列元素，d 为日中一 稠密子集如果对所有，d ，( 3 1 ) 式成立，那么对所有，h ，( 3 1 ) 式也成立 引理2 的证明也是容易的( 1 0 】) 为完整起见，下面给出证明 证明假设，h 并且 ) 为d 中收敛到，的序列，即 撬i i ，一圳h = 0 那么对任一固定的正整数，我们有 nn 善，j 22 撬i = l 删鲫n - 4 m c 。蚤驯2 熙备= i l f l l 2 1 3 由于是任意的，所以 e ，) f 2 i l f i 备 j = 1 ( 3 2 ) v 0 ，存在g d 使得| i f g 怕 0 ，存在g d 使得 f l ：, y , n ( 3 4 ) 式和 i i ：- g l | ；= 去厶l m ) 吲驯2 d f = 去厶帆f ) 一( 驯2 也+ 去厶、f 钏2 必 1 4 ( 3 4 ) 所以 去口熊) 吲钏2 蜓 s 取函数g l ：1 = x e 0 ，则9 1 d 目且 f - - g l l 巨= 去厶i ，( f ) 一( 钏2 = 去厶i ，( f ) 一( 驯2 武 这样，由( 3 5 ) 式知，i i y 9 1 艟 0 使得，和口都在 一k ，一h i t j h ，】之外为0 对固定 j z ，考虑级数 g j = ( ，咖甜) 西；舭，9 ) 由于 f g j l = l ( ，忆，t ) ( 西，9 ) 1 1 = 1k e zl ， ( 4 1 ) ( 圭1 = ik e z | t ，妒z ；，t ，1 2 ) 5 ( 圭1 = 1 董z lc 每r 。，t ，1 2 ) 5 ， l ，t ) 1 2ii m ，9 ) 1 2 ) ， k 所以需要计算i ( ，咖鼬) 1 2 = i 去( ，锄。t ) 1 2 t = lk e z = 去妻丕协价讯肌心矿脚啵1 2 = 去苫l 乏可协n 椭 啵1 2 1 6 k j 妒， 哪。 继续计算得 = 刍圭l = lk e z 譬陲m e z ：+ 哥，( 永) 磊( 求川武1 2 = 嘉砉乏q j 可4 r 2 怯b lz 哿m e z ，e + t 2 7 r ? n 游艇+ 等矽协钕1 2 = 苫l 丽1 叫z 哥i 毳埔c e 十警腑e + 警，1 2 畦 = 善l 丽1 寄l 毳凤+ 挈肌 + 警，卜 ( 4 2 ) 注意到，具有紧支集，所以( 4 2 ) 示中m 求和为有限项，从而由( 4 2 ) 式知， 砉驴蜥汴荟l 丽m 产孙e + 警娥k ”。t 2 r r n ， 2 磷 = 苫l 丽m 厶l 瓜 帅孵f ) 1 2 武 这里m ，m 是常数( 4 1 ) 、( 4 3 ) 和( 4 4 ) 三式表明级数嘭是绝对收敛的 令丑= “i 7 ，则由g ，是绝对收敛可得 u ， g j = ( ，咖。，女) ( 而。，枷) f = l 女2 = 孬1 蚤l 毛( _ 旆。棚) 1 7 ( 4 , 3 ) k妒 ， 哪。m 重 l 武 l ? 引 忙 hp俨i，如阶 旦姚 旦姚 。斟。 j l ，且m o 时 ，o 。；( 。) 氛( n f ，u ) ，( u + 。 m 丑) 五( 。f ，u + m 丑) 也，= o j - - 0 0 1 8 因此，由( 4 6 ) 式知， p - ( j l + 1 ) j 2 进而 = 砉去，宝。仁弛) ，( f ( 0 肌 ) 凼 l i r a 佃p _ = 吾l 丽1 ，美，仁如) ，( 面孵蛳解u ( 4 1 0 ) i g j i s 砉去d ( 圳衍n ) j 删e i ( 捌瓯盯3 w + m t l 枇 苫l 丽1 ；磊瑚( 仁鼬一磊( n 俨凼) v 2 ( ，。j 灿+ 咖丑) 隔( 。r j w + m t l ) z 山 1 2 j o o， 耋却怯! 磊硼( k 慨k ) v 2 ( k 隔k 锄阳) v 2 l i r l o o 俐o 。善l 丽1 ( 研4 k 研+ ，) ( ，。( 诹n 圳2 如) v 2 ( k 赢盯陋) 叫2 1 9 嘭 。州 | | j 2 i 马，如is l g 引 j = 一j l _ i i n 圳洲。，墨。砉去( 箍+ t ) ( 乙小k 锄h 胆一治”，。吾赤i 、豢十1 ) 加朋町l 幽j ( k 附州门 = n 1 1 0 0 1 。1 1 0 0 陵1 = 1 兰 r 2 a ，( k 陋一，胆 ( s u p p 附埘1 2 幽) v 2 ，叁，妻去( k 阻 ，h 胆 ( k 膨 “2 1 其中 = l l 翻。l i 口1 l 。i j l 十1 2 1 嵩( k 陋 ，j 2 d w ) 1 2x ( k 附州口 去( ，陋刮2 d w ) 1 2x ( ，。伪附锄v 2 由c a u c h y 不等式知 ( 4 1 1 ) 如仍( j ( 聊。蓟砉，= 壹- - j 。陋c n u ，1 2 幽) v 2 ( ，蛳。办圭1 = i ，= 壹- j 。l 审c 。f 蛳1 2 幽) v 2 s 岛i i l m i i 毯2u l i i i 毯2 ( 4 1 2 ) 如叫j 。h 一一 f 一 ， 。 l | 如 翥苫l 善j 2 。( k 一胆( 一m v 2 其中 同理可得 圭i ：ij ：圭- j ，z 卜。，陋c u ，1 2 山 壹l ：l j ：壹- j ，簖啊u ，卜璧协u ，1 2 叫 = 圭1 = 1 陵甜氟u 恤，塞，掌阻酬 l = 1 慨t - j 胁，卜e 如协u ，1 2 叫 这样由( 4 1 3 ) 式得 圭i = lj = 壹- j 。z 一。卯。玩c u ，f 2 咖s 砉惭萨 再kf 白磊i ” f = 1 2 1 ( 4 1 4 ) m 啦 、 山 2 ：廿 唧 卜 ， 也1 。 ，fl 胆 、 山 o 妒 卵 三：z 如 。 ， k 一一 2 e ，那么 凰( e ) n 巩( ) l = 0 因此在( 4 2 3 ) 式中的积分区域仅需考虑川s2 e 情形a 虬 o ) 表明i 州1 所 以由( j ，m ) 似) 知， 令 n r 兰丽2 e 瓦2 e 和 川o g a ，罢和m l , j 鲁 那么由( 4 2 3 ) 式知， p ( ，1 ，1 ) l 确u ) | 2 幽i 1 1 2 ( 4 2 4 ) 可取充分小使得f u o | - 3 e 0 ，且保证对j 0 ，e r 1 ( n j ( i u o i _ 3 ) ，a f ( 1 u o i + 3 ) ) 不 相交那么有 由i u o 卜3 0 知：j 0 2 0 i e 若o d o e 若u o 0 充分小在( 4 3 5 ) 式中取f = f 2 ，g = 9 2 如( u ) = 了1 荔x g 。( 。) ( u ) ， 五+ 。) = 晚( u ) ( 4 3 7 ) 那么由( 4 3 5 ) 式容易证明：va e 蛐e ：骧( 蒯= l i m f ! ，o + 8 善l 丽1u 。赢。，确龋( 粕+ m t f ) l 1 一 3 8 ( 4 ) 2 吾去。赢。，讽0 j 啪肌m 删 根据( 4 3 6 ) 式，将p 2 ，2 ( f ，g ) 写成如下形式； l 岛2 ( f ，9 ) = 爿2 ( ，g ) f = 1 ( 4 3 9 ) 其中 啪，9 ) 2 丽1 洲。黥州厶珈妇。忆。赢，碱嘲司+ r o t 0 卜 ( 44 0 ) 在( 4 4 0 ) 式中也取，g 分别为( 4 3 7 ) 式中定义的，n 和9 2 ，那么由( 4 3 3 ) ，( 4 3 4 ) ，( 4 3 8 ) ， ( 4 3 9 ) 和( 4 4 0 ) 五式知，只需证明对每个l ( 1 f l ) 1 。l 。i r a 。+ 爿，2 ( 2 ，9 2 ) = 0 ，就可得到 n 0 时，( 2 6 ) 式成立 让e 4 1 a o i 的任一自然 数那么当m 0 且j 一j o 时， n 严m 丑一n 。i 。，t zi l m l n i 山可1 l a 。i i ；n 严丑 2 s 从丘和9 2 定义可看出，如果a = o m 置且i o o o l 2 e ，那么2 ( u ) 五+ 口) = 0 因此对充分大的自然数j 1 ( 后面确定) ，p 2 ( f 2 ，9 2 ) 可写成 趔，2 ( ，2 1 9 2 ) 2 丽i 点o o 吲一三叫垫厶姒m ( c o + a - j 嗍) 讯 u ) 碱u + 哪) 山 j 1 ”0 + 丽1 ，= - j o 叫一垫五巾产删以撕u 山 = 巧2 + p 善 ( 4 4 1 ) 注意到对j z ，满足j n 尸m 丑一o o i 2 的m 趴 o ) 个数不超过8 4 佃+ l 。 因此叫：；中的求和是一个有限和这表明 。婚磷= 0 ( 4 4 2 ) 类似( 4 2 9 ) 式，vq 0 ，存在充分大的整数 使得 爿：i = ：( ) c 1 ，( 上i 。i 。l 一。，l 毒zc u ，| 2 d u ) 1 7 2 ( z i 。i 。l 一。，i 审z e u ，f 2 d 【。) 1 7 2 。， 叼 由q 的任意性，结合( 4 4 1 ) ，( 4 4 2 ) 和( 4 4 3 ) 三式，得到 ：嘹p 2 ( 1 2 肋) = 0 这就完成了定理5 的证明 5 4 3 定理3 的证明 必要性：由于l 为工磊( r ) 的标准正交小波，所以对，三釜有 p ( f ，) = 1 i s i l 2 ( 4 4 4 ) ( 4 4 4 ) 式表明 咖，女( ) ：f = l ，l ，j ，ez ) 为瑶( r ) 的紧框架，因而由框架的 必要条件( 1 1 d 知，l 皿l 0 。再由极化恒等式和( 4 4 4 ) 式知，v ，g l 刍( r ) ， p ( f ，g ) = ( ，9 ) ，从而由定理5 知，( 2 1 ) 式成立 充分性：( 2 1 ) 式表明 蚤l 击丢m u ，1 2 钆a e w e e , 因此l l o 。由( 4 1 6 ) 式知，vs d e ， 刖= 砉盖厶m 俄u 刊去l 磊蝌锎咖+ 等，卜 将( 2 1 ) 式代入上式得，v ，ed e ， p ( f ，) = i i i i l 2 那么由引理2 和引理3 知， 咖；j ，k ( z ) ：f = 1 ，l ，矗k z ) 为珐( 丑) 的紧框架 这样由l l 啦l l = 1 和引理1 知，皿l 为工刍( r ) 中的标准正交小波定理3 证毕 第五节一些推论和例子 取e = r 十，此时由注记2 知，l 2 e ( r ) = h 。( r ) - 因此有 推论1 假设皿lc 汀2 ( r ) ，q 1 ，b l 0 且i i 妒i i h 。= l ，f _ 1 ，l 那么皿l 为h 2 ( r ) 标准正交小波当且仅当 砉壶，、五( 删蝌u + 警) 咄。砌枞m a u 叫 l = l ”( j , m ) e l a ，( o ) 1 注记3 当l = 1 ，o l = 2 ，b l = l 时，推论1 为p a u s c h