（应用数学专业论文）关于不等式与稳定性的研究.pdf

中文摘要 稳定。h 羽! 沦址微分力程，时滞微分厅。f i t l 删论研究中的。个甚小j i 又重要 的研究课题本文j ：婴形l ：究了儿类不等式和微分方程，时滞微分力挂稳定性 首先推广了几类移 分1 i 等式，并利用秋分1 ：等式对李雅普诺犬函数y ( f ，z ) 的 限制条件作了改进，研究了微分方程譬；，( ，x ) 零解的稳定性，致稳定性及 口l 渐近稳定性，并推f 。一j 微分方程譬；，( f ，工) 零解稳定性的若干判定定理：其次， l 推广了一类时滞微分差分不等式，并利用时滞微分差分不等式研究了几类时 滞微分方程零解的稳定性，推广了已有文献的结果最后，研究了微分方程 譬：厂o ，石) 零解关于部分变元的渐近稳定性，推广了微分方程零解关于部分 变元渐近稳定性的若干判定定理全文分为三章： 第一章：关于几类积分不等式的推广及其在稳定性理论中的应用主要 介绍了几类积分不等式，并利用积分不等式研究了微分方程拿：厂( f ，z ) 零解 口i 的稳定性，一致稳定性及渐近稳定性 第二章：关于时滞微分差分不等式的推广及其应用主要介绍了几类时 滞微分差分不等式，并利用时滞微分差分不等式研究了时滞微分方程零解的 稳定性 第三章：微分方程关于部分变元的渐近稳定性通过利用l y a p u n o v 函数 减弱并改进有关条件，去掉，( f ，x ) 有界的假设，得到微分方程譬：厂( f ，z ) 零解 口l 关于部分变元渐近稳定性定理 关键词：积分不等式，时滞微分差分不等式，微分方程的稳定性 a b s t r a c t t h es t a b i l i i yt h e o r yi sab a s i ca n di m p o r t a n tt h e o r yi nd i f f e r c n f i a le q u a t i o n s a n dd i f f e r e n t i a ld i l k r e n c ee q u a t i o n sf i e l d s i nt h i sp a p e r ，f i r s f i y ，t h ea u t h o r p r e s e n ts o m ei n f e g r a li n e q u a l i t i e sa n dd i s c u s st h es t a b i l t y ，u n i f o r ms t a b i l i t ya n d a s y m p t o t i cs t a b i l i t y o ft h e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb yc h ei n t e g r a li n e q u a l i t y ； s e c o n d l y t h ea u t h o rg e n e r a l i z ead i f 琵r e n l i a l d i f f e r e n c ei n e q u a t i o n sa n dd i s c u s s t h es t a b i l i t yo fs o m ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ht i m ed e l a yb yt h ed i f f e r e n t i a l d i f f e r e n c ei n e q u a t i o n s ；f i n a l l y ，t h ea u t h o rd i s c u s st h ep a r t i a la s y m p t o t i cs t a b i l i t y o ft h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h ew h o l ep a p e rc o n s i s t st h r e ep a r t s c h a p t e r1 ：0 ns o m ei n t e g r a li n e q u a l i t i e sa n di t sa p p l i c a t i o n so ft h es t a b i l i t y t h e o 巧 c h a p t e r2 ：0 nd i f f e r e n t i a l - d i f f e r e n c ei n e q u a t i o n sa n di t sa p p l i c a t i o n s c h a p t e r3 ：0 nt h ep a r t i a ia s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s k e yw o r d s ： i n t e g r a li n e q u a l i t y ，d i 能r e n t i a l d i f f e r e n c ei n e q u a t i o n s ， d i 骶r e n t i a le q u a t i o n s ，s t a b i l i t yo fd i 骶r e n t i a le q u a t i o n s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含本 人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示感谢。 签每魁日期：2 寥年6 月f ，日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解内蒙古师范大学有关保留、使用学位论 文的规定：内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论 文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等 复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质论文 的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 鲐丑粒 钟签名： 日期：2 ，d 富年 内蒙古师范大学同等学力硕士学位论文 序言 i | i - j 纵：，不等式，微分差分刁：等j i = 在微分方稃及时滞微f 广f j 秤i 1 的应 j 梢当广泛， 近午水已仃艰多学者在研，并耿得r 很好的成果 关= j i ! j 小等式在文献 1 6 jl 仃研究，本文推广了文 2 6 的不等式并将其j 电 用到微分方陧拿；厂( f ，石) 的稳定性雕论中，通过改进华负定i ，内条件，得至。微分方程 f以f 警= 厂( f ，x ) 的稳定、一致稳定、渐近稳定性定理，推广了文献 8 1 1 的相关理论 另外，本文又讨论了微分差分不等式，推广了文献 1 4 1 9 的结果并将其应用 到非线性中立型时滞大系统 毫( f ) = 工( f ，t ( f ) ) + o ，工( f ) ，x o r 地一f + 正。妒o _ 工( s ) ，j ( s ) ) 凼 与一般非线性中立型时滞系统 雄) = f ( f ，z ( f ) ，x ( f r 一r ( f ) ) ，正。g o ，蹦( s ) ，j ( s ) ) 出) 中，讨论了它们的全局指数渐近稳定性，并进一步利用l y a p u n o v 的y 函数法建立了时 滞微分方程 七( f ) = 厂( f ，石( f ) ，石( f f o ) ) ) 的解的指数渐近稳定性定理 最后，讨论了微分方程鲁= 厂( f ，石) 关于部分变元的渐近稳定性与全局渐近稳定性， 改进并推广了文献 7 与文献 1 1 的相关结论 第一章关于几类积分不等式的推广及其在稳定性j 争论中的应用 第一章关于几类积分不等式的推广及其在稳定性理论 中的应用 1 1 预备知识 舀。九f f j 有关微分系统 竽：厂o ，工) ( 1 1 1 ) 其中，( r ，) c ，尺”，尺”1 上连续蔺足解的存在与唯一n 条件，f 1 厂( r ，( ) ) 三o ， x = c d ，( 工l ，x 二，+ l ，) 尺“，“”= c d ，( 工l ，x 2 ，一。) ，z = c d ，( + l ，k ) g = ( f ，x ) 峥f l i 她sh = 蝴盯) ，q h = ( f ，x ) 卜”( ) ，”忙= c 嗍f ，i i z l l 0 ，v f i 2o ，j 6 0 i ，) o ，v 0 0 o ，v 0 毛0 o j 丁“，) o ，v 0 8 o ，v 0 o ，j 丁纯，s ) o ，v 0 0 o ，常数 q l o = 2 ，3 m ) 且口：sa ，s ；g ，( f ) o = 1 ，2 肌) 是h ，+ ) 上的非负可积 且积分收敛函数：v ( f ) 满足 则当f f i i 时，有 y ( t ) s + g t o ) v g ) 凼+ 薹g 心) 泸( s ) 出， 悱螂h h 2 + ( 1 吗板差胪妇心) e ( 吁l 咖m 出】击 砜2 + ( 1 鸣蜕薹肿吨铷) e ( 吁i 咖m 加0 成蜘为一撒 引理1 1 3 4 1 对于非负连续函数m o ) 且m ( f ) 芝0 ，常数口，卢满足口1 ，则有 卜述不等式成立： m 卢o ) s 卢m o ) + 鱼m a ( f ) 口 引理1 1 4 设 ，( f ) ，g ，( f ) ( f = 1 ，2 聊) 是k ，+ ) 的非负连续函数， o ，常数 q 圻= 2 ，3 肌) 且口2s s s ； ，( f ) 满足 则当f f o 时，有 y ( r ) s + j ：g - ( s ) v ( s ) 凼+ j 三薹g ，( s ) v q ( s ) 如 v ( f ) 乒删时+ ( 1 飞) ：! g ( s 弦叫咖m 凼】壶 于，一+ ( 1 一) ：g g ) e 。氓，订m 7 出 o 成立 其中f ( f ) 昌g t + 荟( f ) ；g 2 荟( f ) ： 利用引理1 1 1 和引理1 1 3 【4 1 ，类似于文献 4 定理2 的证明可证明此引理 3 第一章关于几类积分不等式的推广及其在稳壅壁! 呈堡! ! ! 堕旦 1 2 关于几类积分不等式的推广 下嘶给h j “天1 ：暂式推广的新结果 定理1 2 i 设、( f ) ，g ，( f ) a ：l2 小) ，i f l ( ) j 土h ，+ 。) 的非负连续l 雨数_ ( ) ， ，：i j 数口j l ( j = 2 3 ，? ) 1 1 口：sa 3 sa ，。；v ( f ) ；曲址 v ( r ) s + ，g 心) 矿o ) 出+ j ：差g ，( s ) ( v ) v ( s ) + j ： ( 仃) v q “( 刚dc 7 卜 ! 】! l j 当f 寸，j 彳j 1 矿( ，) s ，m 胁时a 。+ ( 1 一a 。) ：已刊j 以”打出f j 九- ，t 一+ ( 1 一口，。) ：q o ) e 扣q 一帆p 如幽 o 成立 其中p ( f ) - “咖差a 尚( f ) m ) 2 薹沁州， h ( 。) ：，即灿( 盯咆似s 即如出 这“吧g ( s 兀川加加o 刖碣m 黔+ 1 ) 瞳( f ) m ) 】g ( f ) 2 耄若鼬m ( f ) 】 证明令 z ( r ) = + 如删出+ f 弘州小卅j ：矿+ l ( 州十 贝l j z ( f ) 芝l ，o ) 2 0 ，z o 。) ；，且有 z ( r ) = g ，( f ) y ( f ) + 薹g r ( f ) v q ( f ) 【v ( f ) + j i z ( 仃) v 口j “( 。) d 仃】 s g o ) z o ) + 薹g t ( f ) z o ) z o ) + i z ( 口) z q + 1 ( u ) d 仃】 s g 。( f ) z ( f ) + 薹g i ( f ) z q ( f ) 【z ( f ) + 薹- l ( 仃) z 口j “( 仃) d 。】 ( 1 2 1 ) 令m g ) = z o ) + 乏 p ) z ”1 p 仉 ( 1 2 2 则有m ( f ) 芝z ( f ) 0 ，m ( ) = z o 。) = ( 1 2 3 ) 注意到( 1 2 1 ) 和( 1 2 3 ) 式，则有 m o ) 。z ( f ) + 罗i i l o ) z 州o ) 笈 s g 。o ) z o ) i + 薹g ；o ) z ( f ) z ( f ) + 薹| i z ( 仃) z 口i “( 盯) d 仃 + 薹j f z o ) z q “( i ) ；g ，州f ) + g r o ) z q ( f 川( f ) + ( f ) z 叩1 0 ) 内蒙古师范大学同等学力硕士学位论文 二二二二二二二二= 二= - s 。i ( f ) m ( ，) + 三g ，( f 川 ( ，) + ( f ) m 一“( f ) s 譬( ，) 肘( f ) + y g 以) + ( f ) i m ”( f ) f 1 m + o ) 20 义口。一j2a ，+ 1 ( f = 2 ，3 ，珂) ，e l - jjj 瞿i 1 3 i 。j f f l m q “f ，) s ( q + 1 ) m ( f ) + 璺芒m + ( f ) ( i ：2 ，3 聊) ， 从而有 m 镏沁渺+ 弘 州，) 】【( 撇) + 筹胪一蚓 s + 弘删k m 叫+ 薹嚣陂州州 记即) _ g - + 薹( 叫) 【g “小薹筹m ) 】， 将t 换为s ，两端从t 。到t 积分得 m ( f ) s m ( f t ，) + j ：lf o ) m o ) 幽+ j ：。g o ) m + 1 ( s ) 出， 从而由引理1 1 1 和( 1 2 3 ) 式得 m ( f ) s 删。旷- 吨：g ( s ) e 扣蜘出】去 于一f ：g o 弦。_ j 舢，p m 。出 o 成立 记日o ) ：即灿( 一：! g o ) e 即出) 去， 于是有 z o ) sg t ( f ) z o ) + 芝毋o ) z qo 川( f ) s g t ( f ) z o ) + o 归( f ) z qo ) ， 将t 换为s ，两端从t 。到t 积分得 z ( f ) sz o 。) + j ：o ) z o ) 出+ g r q ) 日。弦qo ， 。 由引理1 1 4 得，当f f 0 时，有 z ( f ) s 邱【h 一+ ( 1 一) ( q o 弘一l 沉j p ( f 肌) 如】去 于1 一+ ( 1 一口。) | ：l q o ) e 一坭即胁凼 o 成立 5 第一章关于几类积分不等式e j 推广及其在稳定性理论中曩应用 至o t l ，j p ( f ) ：g ，( ，) + 萝a ，g i ( f ) ( f ) ，q ( f ) ：萝旦g ，( f ) ，- ，( f ) f 曼 鼍o 。 注意纠i ( f ) 二( f ) 从而有 s ，m 【_ 。i r “+ ( h 。) f f e 一 n 以r 于v w + ( 1 一a 。) fq o ) p 。i j j m 川打出 o 戊立 推论1 2 in i 定理1 2 1 中，彳? ( f ) 兰0 ，便得到比文1 2 - 筇pl f ；善第“节弓| 刖l 更 优的结果 推论1 2 2 猩定理1 2 1 中，若 ( f ) 毫0 ，口i = i ( i = l ，2 n 1 ) ，使得到比文 6 i - 的不 等式更优的不等式 推论1 2 3 在定理1 2 1 中，若g ，o ) 量o “= 3 ，4 m ) ，则定理1 2 1 的不等式对于 一切a ： o 且l 均成立，此时便得到文 5 的不等式 定理1 2 2 设v ( f ) ，包( f ) ，q ( f ) “= 1 ，2 ) ，d j ( f ) ，p ，( f ) ( _ = l ，2 m ) ，g 。( f ) = 1 ，2 ) ，h ( t ) 是 f 0 ，+ ) 的非负连续函数；u o ，常数a o 且口霉1 矿( f ) 满足 v ( f ) sv 。+ j ：g 。( s ) v ( s ) 出+ g z ( s p 口( s ) 【v ( s ) + j ：j i z o 弘”1p 矽r 】出 + 薹_ 包。坑c j ( s 少( s ) 出+ 萋f d ，o 坑e ，( 亭) v 。( 亭) m 宇) + j ：j i l ( r p “1 扣v f h 亭凼 则当f2 f 0 时，有 ( 1 ) 当0 埘，有 y ( 归驴5 旷+ ( 1 一口) ：g ( s ) e ( s ) e 1 出出声 于1 一。+ ( 1 一口坑g g 皿g ) e 1 城盼比寥 o 和一一【g ( s ) + ( s ) p 嗡即m 出 o 成 立 其中e ( f ) ：耶胁( 一一口：! 【g ( s ) + j i z ( s ) “j ：即m 出) 去， 这里一口：【g ( s ) + ( s ) p 即肌出 o - 6 内蒙古师范大学同等学力硕士学位论文 g ( f ) 2 g 二l ，) + 善d j o 啊。e ，( s ) 出“，) = g ( ，) + 乏岛( f c ，o ) 小 i 】j j 令 z ( f ) 2q 。+ ，g t g ) v ( s ) 出+ g 二o ) v “( s ) 【v o ) + ，i f z ( r ) r “cr ) ，rj 出 + 豺忡炳“咖出+ 善，d 瓜坑咏跏俐v ( 孙f m 川( 批偌出 贝uosv ( ，) z o ) ，z ( f 。) = l ，。， ( 1 2 4 ) 且有 z ( f ) _ g t o ) v o ) + g ：( f ) v “o ) ) + ， ( r ) v 川( r 矽r 】 + 薯包( f 坑q ( s 少。灿+ 萋d ，( f 玩e ，( 亭矿( 亭渺( 亭) + f ( r 矿“( r 矽r p 亭 sg t ( f 弦o ) + g z o 弦“( f ) 【z ( f ) + ， p ) z ”1o 矽r 】 + 萋岛( f j ：q ( 啦g 灿+ 萋姒r 坑咏宇) z 。( ) 【z ( 亭) + f j i z ( 咖“1 p 矽r 弘亭 sg - ( f ) z ( f ) + g z o ) z 。( f ) 【z ( f ) + j ：。| l z p ) z ”1 0 矽r 1 + z ( f ) 砉包。沉q ( s ) 出+ 萋d ，o 坑e ，( 亭矽“z 。o ) 【z ( r ) + j l z ( f ) z ”1 。y f 】 暑【g ( f ) + 善包。板q ( s ) 出p ( f 也：m 薯啪蜕咏亭心z m 眺) + j ：尸k m 记，o ) 2 g t o ) + 善包。域c j g ) 凼，g o ) 2g z ( f ) + 善d o 坑e ，( 亭) d 亭， f 从而有 z ( f ) sf o ) z ( f ) + g ( f ) z 。o ) 【z ( f ) + j ： ( s ) z ”1 ( s ) 如】 令m o ) z z o ) + j ： 弦”1 矽f ， 则z ( f ) sm o ) ，m o 。) = z ( ) = ， ( 1 2 5 ) 且有 m 。o ) = z ( f ) + j i l ( f ) z “o ) s f o ) z ( f ) + g ( f ) z 。o ) z ( f ) + j ： ( s g ) 凼】+ j i z o ) z 甜1 ( f ) s f ( f ) m ( f ) + 【g ( f ) + j i l ( f ) 】m 。“o ) 将l 换为s ，两端从t 。到t 积分得 7 第一章关于凡类积分不等式的推广及其在i 急定性理论中的应用 m 【f ) m ( f i ) + f ( s ) m ( s ) 出+ j ：【g ( j ) + ，f ( s ) ”4 ( s i 小 从m 川f 1 1 1 1 1 1 1 及( 1 2 5 ) 匕f ! r ，f 、l l 、 m ( f ) s 沙( 1 。” 一“m ) 小v ，b 价小) h 一以j ：) + ( s ) p 唧如c b o 成立 记( f ) ：汕( 一n一+ ，z ( s 即肌出 将mo ) 代儿( f ) 公式有 zu ) s ，( f ) z ( f ) + “( f ) 己p ) z “【f ) 将t 换为s ，两端从t 。到t 积分得 z ( f ) s z ( 气) + j ：，f ( s ) z ( s ) 出+ j ：，g ( s ) e ( s ) z “g 灿 从而由引理1 1 1 【u 得 ( 1 ) 当0 1 时，有 z ( r ) s 4 即) 如旷+ ( 1 一a ) f ：! g ( s ) e 川咖脓出】击 于旷+ ( 1 一a ) f ：! g ( 5 ) e ( s ) p 似。1 俨比如o fa i ，( ) d 7 和一a ：f g ( s ) + j i z ( s ) p 凡如 o 成立 注意到( 1 2 4 ) 式，从而有 ( 1 ) 当0 埘，有 v ( ，) s 时a+ ( 1 一口域g 嗍s ) e 1 们拈出】击 计。+ ( 1 一及蜕g ( s ) e 秽嘶批如o 8 内蒙古师范大学同等学力石贞士学位论文 和u ，一p ( s ) + ，z ( s 坩 ，7 出 o 成立 推论1 2 4 舀：j 之硝! i 2 2 j ，荇哆( f ) 善( j ( 或c ，i f ) 兰( j j = l 2 ) 与d ，( f ) 兰0 ( 或e ，( f ) 毫0 ，= 1 ，2 m ) 此时不等式与文 5 的1 i 等j = i = 。敛 推论1 2 - 5 在定理1 2 2 。 ，若 ( f ) 暑0 ，此时，1 ：等式与文 3 ：定理2 的小等工致 9 第一章菱于几类积分不等式的推广及其在稳定性i 里论中的应用 1 3 积分不等式在微分方程稳定性理论中的应用 本霄利r 订i ：述的一分，不等j = i = 讨沦微分系统譬；厂( ，j ) 的冬4 j 誓l o 宅 定理1 3 1 符仃1 7 r 函数( f ) c 【，x g ，r 满足 ( 1 ) y o j ) 一日( ，) l l ( ，y ) 矗? i f ，媾。 t ( x ) i l ：定f ，( f ，工) i l ! 负j 圭续上1 ( f 一) 2l ： ( 2 ) 魏，s 刚瞰) + 薹删嘶肌) + “妒+ 1 ( 蛐】， 其中g 。( f ) “= l ，2 m ) ，f l f ) 在 l + 。c ) 上非负连续i i j 积儿积分收敛，a j 1 ( 卜2 川) 且a 2s a 3 s a 。为带；数 则系统( 1 i 1 ) 的零解稳定 证明 因 ) 正定，故存在驴k ，使o ) 妒( 1 例) ，再由条件( 1 ) 知， y ( f ，x ) p o ，x ) 彬“) 2 ) 驴( | z 4 ) 因& ( f = 1 ，2 朋) ， ( r ) 是 t + ) 非负可积且积分收敛，故广。p ( s ) 凼与 2 蚋收敛其中p ( f ) = 啪) + 私删m 2 薹考讹州， h o ) ：，( 仃饥一。( g o 弦j ：，p 加出) 去，这罩的为初值，可适当取值， 使得一一( g ( s 弘工，“们曲凼 o ； 耶h 心) + 私+ 1 ) 玳) 】g m 薹筹“刚 儡蔑a m + l 从而v 0 ，j z f o ，当f r 时有 似出 o ，当忙仃；，) 0 6 。时，有 y ( r ；x ( 丁；f 0 ，) ) o ，当0 0 6 时，p 。，丁】有 肛；f 。，) l i m i n p ，6 ， 于是有 肛仃；，民) 8 6 ， 1 0 内蒙古师范大学同等学力硕士学位论文 一一 从而囱 ( 7 ：( 7 f i ，) ) o 时，有 y ( f ，x o ；气 ) ) s 以( y 1 一( r ，z ( 丁；f i ，h ) ) + ( 1 一口。疸q ( s ) p l 湃如出】i 之 m sp o 一一1 卜“川飞归咖m 出 s e 羔 钟艄训智e 产 妒( ) ， 从向硐 驴( i k o ；气，) 0 ) g 矿( f ，x 0 ；f o ，) ) 驴( ) 故 忙o ；气，) 0 1 ( f ；2 m ) 且口2s s s 为常数 则系统( 1 1 1 ) 的零解渐近稳定 证明由定理1 3 1 知系统( 1 1 1 ) 的零解稳定下证零解吸引，即 熙；气，) l l - o ， 由条件( 1 ) 知，存在伊k ，使 ) 训m ) ， 第一章关于几类积分不等式的推广及其在稳定性理论中的应用 从1j 1 9 ( f ，) 9 ( j i 工1 1 ) 扫( f r ) 陟( 一) sy ( f ，x ) 设p 幽 等，门虮云，等呲胁f 常数 l i i 条件f2 ) ，i j j 得 y ( 矧) p ( 、胁旷飞矧+ ( 1 ，。) f ，c h h l 一) f “出辛 e 飞瓴一一”等吖 o ) ， 由躺啊省 o ，存在r 吲娜 o ， 专| | ，| | 6 。i i 于v f f i ，7 ，有 愀f ；f ”训l 卸 取扣蕊】6 f i i ) ，靴l i 寸，v f t l i ，圳工( f f 圳 成茳， 从而 k ( r ；f i 1 1 ) | | 印 y ( r ，工( 丁；f i 内) ) 伊二( 愀丁；f i 。，k ) l f ) 处( i ) = 够( ) l ( 瑟吖) 1 又f 7 1 时，类似于定理1 3 1 的证明由条件( 2 ) 得 则 矿( f ，z ( 印”五，) ) sy 仃，工( r ；) ) + f g 心) 矿o ) 拈+ f 薹g ，( s ) y l s ) ( 5 ) + j ：! i i z p ) y q + 1 p ) d 仃】出， 从而由定理1 2 1 有 y ( f ，x ( f ；f 。，扎) ) s 即胁t 一( r ，工( 丁；f ”) ) + ( 1 一埴q ( s ) e ( 口- 一l 蟛即v 。出】击 于是得 旦f se ”1j 【券r ( 2 e m ) 1i + ( 1 一彬q g ) e 肘出 s e 羔 辞廿， 仍0 ) ， 日h i ) sy o ，z ) o 与f 。无关，当i i l i 6 时，乏f 0 都有忙o ；气，) l l 成 立 ( 2 ) 当f 。r 时，类似( 1 ) 的证明由条件( 2 ) 得 y ( 咖f o ，而) ) s 驴汕旷一( f o ，) + ( 1 飞境q 叫们打出】击 二e 羔p 啡心( 1 二) 1 3 鲲1 - 口卅( ) 一l l e m 卜， 第一章关于几类积分不等式的推广及其在得定性理论中的应用 收眯h ，够一刈吖， y ( f ( _ ) ) 够( f ) ， 从而有 仍( | 卜 ) 矿( f ，工) o ，当，i l 1 ( f = 2 ，1 ) 且口2sa 3 s 为常数 则系统( 1 1 1 ) 的零解一致稳定且吸引 定理1 3 6 若存在具有无穷小上界的j 下定函数y o ，z ) c 【，g ，尺】满足 警i ( 1 ，s 沙( f ) + 薹g ；o 少qo ) ( f ) + ，l 。少叩1 ) 出】 其中o ) ( f = 1 ，2 聊) ， o ) 是 t 。，+ ) 非负连续可积且积分收敛，q 1 0 = 2 聊) 且口2s 口3s sa 。为常数 则系统( 1 1 1 ) 的零解一致稳定 定理1 3 4 ，定理1 3 5 ，定理1 3 6 的证明类似于上述定理证明，略 推论1 3 1 当 ( f ) 基0 时，定理1 3 1 ，定理1 3 2 ，定理1 3 3 相应的为文 1 0 中定理2 4 。定理2 5 。定理2 6 内蒙古师范大学同等学力硕士学位论文 推论1 3 2 “1 f ( f ) 兰( i 坛，( f ) 辜0 ( f = 3 ，4 ) ，r z ， 硼1 ，定理1 ： 1 定埋1 ： 2 ， 定理1 ： 3 棚应自：为，之：i ( 小 j 定理2 1 ，定理2 2 ，j 理2 3 ：0 1 时，口( f ，工) 1 关于x 一致地成立，因而由 条件( 1 ) 知，y ( f ，x ) 1 9 ( f ，x ) 形o ) 缈 ) 又因为渺 ) 正定，故存在驴k ，使o ) 2 驴( i 俐) ，从而有 驴( i 帅s y ( f ，x ) 因系统掣，f ( f ，u ) 零解稳定，故对任意g o ，j 6 o ，) o ，当o u 。 o ，当l k i l 6 时，= y ( f 。，) 6 考一乱m 打) 与警哪 i = y ( f 。，) 【，o o ) ；乩= 圪 由微分比较定理知y ( f ，x ) su o ；f 。，) 于f 气成立 驴( i k 0 ) sy ( f ，z ) su ( f ；f 0 ，圪) = u 0 ；气，砜) 驴( ) ， 肛( f ；f ，) 8 f ， j f 丁h 寸，有妒( 8 x ；) 一( 1 从而有 ，嗖f i 。，一) | i = f ) 故系统( 1 i 1 ) 的零解渐近稳定 推论1 4 1 白：定理1 4 1 中，肖f ( f ，y ) 暑0 时，即为文 7 ：定理3 8 1 推论1 4 2 在定理1 4 1 中，当f ( f ，y ) = g ( f ) y o ) + j f z ( f ) “( f ) ，g ( f ) ，j i z ( f ) 在h ，+ 。o ) 非负可彩似 分收敛，0 1 ( f = 2 肌) 且口：a ，s 口。时，即 为文 1 0 定理2 5 推论1 4 4 在定理1 4 1 中，当f o ，矿) ；g ( f ) + j l z o ) y o ) ，g ( f ) ， ( f ) 在【f 0 ，+ 。) 非负可 积且积分收敛，即为文 9 定理2 推论1 4 5 在定理1 4 1 中，当f ( r ，y ) ；g ( f ) ，g ( f ) 在【f o ，+ ) 非负可积且积分收敛， 即为文 1 1 定理2 推论1 4 6 在定理1 4 1 中，当 f ( f ，y ) 2g o 少o ) + 薹g z o 少q ( f ) ( f ) + j ： o 沙q + 1 0 ) 出】，毋( f ) ( f = 1 ，2 肌) ， o ) 在阮，+ ) 非负可积且积分收敛， 1 ( ；2 ，3 ，1 ) 且口：s s 口。时，即为本文的 定理1 3 2 定理1 4 2 若存在函数y ( f ，x ) c 【，g h ，尺】，y o ，o ) 羞0 满足 ( 1 ) y ( f ，x ) 一口0 ，石) o ) 常正且矿o ，x ) 具有无穷小上界，其中g ) 正定，p ( f ，石) 非负连续且口( f ，z ) + ( f _ + 。) 关于x 一致地成立； ( 2 ) 缸矽m 若掣：f ( f ，u ) 零解一致稳定，则系统( 1 1 1 ) 零解一致稳定且吸引 以上讨论也适合对部分变元的稳定性，下面给出相应的判别准则 定理1 4 3 若存在函数y o ，z ) c 【，q ，尺】，y ( f ，0 ) 暑0 满足 ( 1 ) y ( f ，x ) 一日o ，z ) o ) 常正，其中形 ) 关h “1 j 下定，口o ，x ) 非负连续且 口o ，x ) 一+ o o o 一+ ) 关h 致地成立； 1 7 第一章关于几类积分不等式的推广及其在稳定性f 雩论中的应用 ( 2 ) 瓤，卿f ) 符掣：f ( ，u ) 每解1 0 j t ，则系统f1 1 i ) 冬自j ，是j ：翻：分，芝元y 渐辽 o 定 d f 1 8 内蒙古师范大学同等学力硕士孝位论文 第二章关于时滞微分差分不等式的推广及其应用 2 1 预备知识 f | 寸浠做分j 挂 。，誓，誓卜) ( 2 1 1 ) l x ( f ) = 驴( f ) ，v f “ 其- l 。厂：，+ 彤彤一彤h _ ( f ，( ) ，( ) ) 善0 ，妒( f ) 是，。j ：的连续函数 和 r 云0 霭嚣二黜喜警o ” 眨抛， iz o ) = 驴( f ) ，戈( f ) = 妒q ) ，v f ，1 。 一4 其中厂+ 尺“尺n 彤呻彤且厂( f ，o ，o ，o ) 誊o ，型掣，翌掣存在且连续， 艄诉凰瑚连续溅丸剧馓续戳其中l = 鬣嚣冀篓f 下面给出关于系统( 2 1 1 ) 与系统( 2 1 2 ) 的稳定性的一些基本概念 定义2 1 1 如果对任何尺和任意的 0 ，存在6 ( ，气) 0 使得当 成 o ) ，0 ) 0 使得凡和o ) ，0 ) 0 ，对于任意的口 0 ，存在七 ) o 使得成( 伊o ) ，0 ) s 口 时，对一切f 气都有氏o ( f ，妒) ，o ) s 七( a ) 凡( 妒o ) ，0 弦以- f o j ，则称系统( 2 1 1 ) 的零解在 度量空间，q ) 中是全局指数渐近稳定的 。 定义2 1 6 如果存在a 0 和m 乏1 使得以( 舛) ，0 ) o ) 时，对一切f 乏气都有 几o o ，妒) ，o ) sm 成 o ) ，o ) e “o 制，则称系统( 2 1 1 ) 的零解在度量空间 ，q ) 中是k 一 指数渐近稳定的 1 9 第二童关于时滞微分差分不等式的推厂及其应用 定义2 i 7 如粜1 ，j i 亿k 炎闻数“f i j 七( ( ) ，+ x ) 披得以，( ( ，) ，i ) o 和m 1 使得m l = s u p 钏妒( f ) 卜眵( f ) 吣 o ： o ，七i2o 是常数，( 。) 与( f s ，) 是非负连续函数且关于“”不减，f = l ，2 ，l ，= l ，2 m ：石( s ) = 翌癸x 一g ) ， t ( f ) = 喇娥连续溅口一如