（应用数学专业论文）保域上矩阵可逆性问题.pdf

哈尔滨t 稃大学硕士学位论文 摘要 设f 是一个域， 是只含有两个元素的域，f 为f 中去掉0 、1 所得 集合，肘( ，) 为f 上全矩阵代数。 ，为肘。( ，) 上的线性映射，若对任意一个可逆矩阵a e m 。( f ) ，都有 ，) 可逆且f ( a ) - 1 = ，0 。1 ) ，则称，为m 。( f ) 上保持逆矩阵的线性映射。曹 重光的除环上矩阵保逆的线性算予在c h f 一2 , 3 时给出了对称矩阵空间的 保逆的线性映射的刻画。冯立新和曹重光的保逆矩阵的加法算子在 c h f - i2 ，3 时给出了上三角矩阵加群的保逆的可逆加法映射的刻画。任意域上 全矩阵空间m 。( f ) 的保持逆矩阵的线性映射结论尚未见到。在这篇文章中， 我们去掉了域f 上特征的限制，给出了至少包含4 个元素的任意域f 上的全 矩阵空间肘。) 的保逆的线性映射的形式。 关键词：域；线性映射：线性保持 哈尔滨工程大学硕士学位论文 a b s t r a c t l e tfb ea f i e l d ，最b ea f i e l dw i t ho n l yt w oe l e m e n t sa n df + b eas e t i n c l u d e sa l le l e m e n t so f f e x c e p tz e r oa n do n e l e tm 。( f ) d e n o t et h e 靠n f u l lm a t r i xa l g e b r ao v e r f w es a yt h a tal i n e a rm a pff r o mm 。( f ) t o l ( f ) p r e s e r v e si n v e r s e s o fm a t r i c e si f 0 ) i sa l s oi n v e r t i b l ea n d 0 ) _ 1 = 厂0 “) f o re v e r yi n v e r t i b l e m a t r i xa 心( f ) c h o n g g u a n gc a od e t e r m i n e st h ef o r m so fl i n e a rm a p so v e r s y m m e t r i cm a t r i xs p a c ep r e s e r v i n gi n v e r s e so fm a t r i c e s w h e nc h f 2 ，3 ( s e e l i n e a ro p e r a t o r sp r e s e r v i n gi n v e r s e so fm a t r i c e so v e rd i v i s i o nr i n g s ) a n da l s o ， t h e r ea r em a n yr e s u l t sc o n c e r n i n ga d d i t i v em a p sp r e s e r v i n gi n v e r s e so fm a t r i c e s o v e rt h ea d d i t i v eg r o u po fa l lu p p e rt r i a n g u l a rm a t r i c e sw h e nc h f 2 3 ( s e e a d d i t i v eo p e r a t o r sp r e s e r v i n gi n v e r s e so f m a t r i c e s ) b u tw eh a v en e v e rf o u n da n y r e s u l ta b o u tl i n e a rm a p sp r e s e r v i n gi n v e r s e so fm a t r i c e so v e rf u l lm a t r i xs p a c e 厶( f ) w h i c hi s o v e ra n yf i e l df i nt h i s p a p e r , w er e l a xt h el i m i t a t i o no f c h f 2 , 3t ot h a tfi sa n yf i e l dw i t ha tl e a s tf o u re l e l n e n t s f u r t h e r m o r e ，w e d e t e r m i n et h ef o r m so fl i n e a rm a p sp r e s e r v i n gi n v e r s e so fm a t r i c e so v e rf u l l m a t r i xs p a c e m 。( ，) k e y w o r d s ：f i e l d ；l i n e a rm a p ；l i n e a rp r e s e r v e r 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导 下，由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文 献的引用已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中已 注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经公开发表的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到 本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ： 啦 |。 日期：7 - 一，j 年铲月移目 哈尔滨工程大学硕七学位论文 第1 章绪论 1 1 “线性保持问题”的研究 1 ，1 1 “线性保持问题”研究的意义 在过去一百年中，由于工程实际和理论研究的需要，矩阵理论是活跃的 研究方向之一。线性保持问题涉及的是保某一不变量的矩阵空间上的线性算 予描述。研究各种不变量以及不变量保持的映射和变换历来是数学各学科领 域关注的问题，这是因为这种问题常常有较强的实际背景。近三十年来，“线 性保持问题”已成为矩阵论研究中一个十分活跃的领域。这一方面是因为它 具有理论价值。首先当我们考虑矩阵理论中一些基本问题的反问题时，很自 然的会想到线性保持问题，例如，定义一个线性算子伊，驴似) 一m a n ( 或 尹口) 一m a 7 n ) ，m ，n 为非奇异阵。显然妒保秩。那么伊是否是唯一的保秩 的线性算子。再如，考虑线性算子妒，妒口) 一p 4 彳p ( 或妒) - p 1 a 7 p ) ， p 为某一可逆阵。妒显然保持特征，行列式等等，那么保某一性质的妒是否 具有形式妒) 。p “a p 或妒口) 一p 1 a 7 尸。回答这些问题就不得不研究线性 保持问题。 另一方面，线性保持问题对简化一些其它数学问题也是一个有用的工具， 它在量子力学，微分几何，系统控制，数理统计等领域有着广泛的实际应用 背景。在解答微分方程时，为了简化问题，人们在解决这个问题之前可能会 对其应用某一变换。并且这个变换应该是最简单的并且拥有一些好的性质。 例如，我们可能想在一个线性微分方程组上使用一个线性变换，并希望它能 保持这个方程组的特征值或稳定性，这自然就引出了线性保持问题。 1 哈尔滨丁程大学硕十学位论文 总之，线性保持问题具有很强的理论价值和实际应用背景，经过一百年 的发展，尤其是近三十年的研究，很多线性保持问题已被解决，同时，线性 保持问题的类型和解决方法也十分丰富。 1 1 2 “线性保持问题”研究的现状 关于线性保持问题的最早文章是1 8 9 7 年f r o b e n i u s 的 4 ，在文中刻画 了保持行列式的线性变换之后一些研究线性保持问题的文章陆续出现，参 见m a r c u s 和c r o n e 的综述文章 5 ，6 ，7 特别是近三十年，线性保持问题已 成为国际上矩阵论领域中的热门研究课题之一，它在众多领域有应用背景 许多学者做了大量的研究工作，因此产生了大量关于线性保持问题的文献， 参见l i ，d o k o v i c 和t s i n g 的综述文章 8 ，9 1 9 8 9 年曹重光在黑龙江大学 自然科学学报上发表“局部环上矩阵模的保幂等自同态 1 0 ”一文，在国内 引发了线性保持问题的研究，几年来出现了一大批成果参见刘绍武等的专 著 1 1 及 1 2 1 3 1 9 9 2 年，l i 在 8 中将线性保持问题概括为以下四个主要类型包括保 持函数，保持子集，保持关系及保持变换 类型1 ：保持函数 设妒是m 。( f ) 上的( 纯量值，向量值或集值) 函数m 。) 上的线性算子 呀满足 妒( 叩a ) ) 一伊a )v a e m 。( f ) 例如：当妒) = d e t ) 时，f r o b e n i u s 4 分别解决了m 。伊) 一m 。( c ) ， m 。但) 一s 。( c ) 及时。( ，) 一似e m 。( c ) i i r a - 0 的情形，其中c 是复数域， d e t a 矩阵a 的行列式，t r a 记矩阵a 的迹当m 。妒) a m 。 ) 时，他在文 中给出了下面的定理： 定理：设m 。( c ) 是复数域c 上的n x # z 矩阵空间，中为肼。( c ) 上的线性 变换，满足 d e t 垂o ) 一d e t a ，v a e m 。( c ) 当且仅当存在m ，n 吖。( c ) ，使得 中) = m a n ，v a e m 。( c ) 哈尔滨丁程大学硕十学位论文 或 中似) 一m a n ，v a e m 。( c ) 其中d c t ( 删) ；1 当妒似) 一秩a 时，m i n c 1 4 解决了m 。( f ) = m 。) 情形，其中p 是任 意的代数封闭域；刘绍武和王路群 1 5 将m i n c 的结果推广到含1 的交换环； w o n g 1 6 也在非交换环上解决了这个问题 对于类型1 的一个变形是：设妒，妒是m 。妒) 上的不同的函数，j ! l f 。旷) 上的线性算子叩满足妒( 叩) ) 一妒) ， c ae m ( f ) 类型2 ：保持子集 设m c m 。( f ) ，m 。( ，) 上的线性算子r 满足叩 ) m 例如：当9 t 一似e m 。( f ) i a 2 一椰时，c h a n 等 1 7 首先解决了 m 。( ，) 一m 。 ) 的情形，其中r 表示实数域，曹重光 1 0 和王路群等 1 8 先 后将c h a n 等的结果分别推广到特征不为2 的局部环和含1 的交换环；b e a s l e y 和p u l l m a n 1 9 在元素个数大于2 的任何域上研究了这个问题，并提出了两 个o p e n 问题，曹重光和张显等 2 0 解决了其中一个，后来刘绍武在 2 1 中将 这两个问题在更广泛的主理想整环上同时解决；曹重光 2 2 和刘绍武等 2 3 先后在体上解决了这个问题，关于保持子集的线性保持问题还有很多，例如 2 4 2 6 等 关于类型2 的一个变形是：设飒。，m ：c m 。俨) 且册，一册：，m 。但) 上的 线性算子，7 满足町 1 ) 孵2 ，参见 2 7 2 9 类型3 ：保持变换 给定一个变换妒：m 。但) 一m 。妒) ，m 。妒) 上的线性算子叩满足 ，妒铆似) ) t ，7 ( 妒o ) ) ，v a e m 。妒) 例如：c h a n 等分别在 2 5 和 1 7 中考虑了驴) 一a 及妒) 一a d ：( a ) ) 的 线性保持问题，其中t 是某个固定的正整数，a d j ( a 1 是a 的伴随矩阵 类型4 ：保持关系 设是m 。( ，) 上的一个关系，m 。旷) 上的线性算子r l 满足叩似) ，7 p ) 对 任何的4 口时成立或，7 口) ，7 ) 当且仅当a 曰 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 例如：当取做可交换时，即若a b 。b a ，则 叩切p ) 一叩p 切) p i e r c e 和w a t k i n s 3 0 刻画了任意域上保交换的非退化线性算子，之后 c h o i 等 3 1 又去掉“非退化”的条件进行研究另外c h a n 和l i m 3 2 也研究 了实对称空间及复h e r m i t e 阵空间上保交换的线性算子 对于类型3 的一个变形是：设m 。妒) 上的两个线性算子，和g 满足 ，o ) g ( s ) 对任何的a 曰时成立或，似) g p ) 当且仅当a 曰例如：张 显和杨忠鹏等的 3 3 3 5 1 2 “加法保持问题” 1 9 9 1 年，m o m l a d i c 和p s e m r l 名e s p e c t r u m - p r e s e r v i n ga d d i t i v e m a p s w ”中，用“加法算子”代替“线性算予”，开始了“加法保持问题”的研究， 即称为“保不变量的矩阵加群同态”，并于1 9 9 3 年在“a d d i t i v em a p p i n g s p r e s e r v i n go p e r a t o r so fr a n ko n e “”一文中得到了复矩阵秩一保持的结 果这之后曹重光和张显1 9 9 6 年在l i n a l g a p p l 上发表“a d d i t i v e o p e r a t o r sp r e s e r v i n gi d e m p o t e n tm a t r i c e so v e rf i e l d sa n da p p l i c a t i o n s m ，将“加法保持问题”的研究引向更一般的矩阵在该文中，他们证明了 如下定理： 定理afe n ：( 肼。俨) ) ( m 。( ，) 的所有保幂等的线性自同态集合) 当且 仅当，是如下形式之一： ( 1 ) ，( x ) 一p 署) ，v x m 。( f ) ， 其中盯：f m 。( f ) 是满足仃( 1 ) 一0 的加群同态 ( 2 ) ，q ) 一尸【x 7 + a ( t r x ) y 一，姐一( h ) e m 。( f ) ， 其中p 6 g l , ( ，) ，工7 一( r ) ) ，盯同( 1 ) 中定义，f 是f 的域单同态 ( 3 ) f ( x ) 一研暖) + 盯( f 搿) 】p ，搬。) e m 。但) ， 哈尔滨工稃大学硕十学位论文 其中p ，x 7 盯和f 同( 2 ) 中定义 张显和曹重光在其专著 3 9 中证明了如下定理： 定理bf e n ，( m 。( ，) ) ( m 。泸) 的所有保立方幂等的线性自同态集合) 当且仅当，是如下三种形式之一： ( 1 ) ，瞄) 一s 仃o ) ，栅e m 旷) ， 其中t 1 ，盯：f m 。( f ) 是满足a o ) 一0 的加群同态 ( 2 ) ，僻) 一e p i x 7 + 盯( f 搿妒一，坛一) e m 。伊) ， 其中p e g l 。( f ) ，x 7 一( f ( h ) ) ，盯同( 1 ) 中定义，f 是f 的域单同态 ( 3 ) ，僻) 一矾僻。) + a ( t r x ) p 一，垤一) m 。但) ， 其中p ，z 7 ，口和f 同( 2 ) 中定义 1 3 关于“矩阵逆的线性保持问题” 人们对保持问题的不断深入研究，得到了各种不变量的保持问题的结果。 矩阵逆的保持问题早在1 9 9 6 年文献 3 8 中就刻画了特征不为2 和3 的域上全 矩阵空间上的保逆加法映射。之后，曹重光和冯立新等在 4 0 、4 1 文中刻画 了特征不为2 和3 的域上对称矩阵空间和上三角矩阵空间上的保逆加法映射。 郝立丽在它的硕士论文中刻画了特征不为2 ( 和为2 ) 的主理想整环上的保矩 阵逆的线性映射。曹重光，张显在文献 4 2 中刻画了含单位元1 的连通交换 环上保矩阵逆的线性映射。郝立丽，曹重光在文献 4 3 ，在特征不为2 时， 刻画了从m 。( ，) 到m 。( f ) 的保矩阵逆的线性映射。然后在特征等于2 时， 刻画了从肘旷) 到m 。伊) 的保矩阵逆的线性映射。但是对于特征不等于2 时，从肘。( ，) 到m 。( ，) 的保矩阵逆的线性映射的形式没有给出。卜长江在域 上矩阵保逆的线性算子给出了任意域上从肼。但) 到m 。伊) 的保矩阵逆的线 性映射的形式，去掉了对特征的限制，但是线性映射必须是可逆的。 哈尔滨1 二程大学硕十学位论文 1 4 本文的主要工作 在这一篇文章中，利用刻画空间基底的方法，对矩阵进行特殊处理，去 掉了对特征的限制的同时，也去掉厂可逆的假设，刻画了m 。陋) 上保持逆矩 阵的线性映射的形式。获得的主要结果是： 定理4 3 1 设f 是至少含有4 个元素的任意域，f e l 当且仅当，具有 如下形式之一 ( 1 ) 存e pe g l c f ) ，使得f ( a ) 。e p a p ，v a e m 。( ，) ，f 2 - 1 ； ( 2 ) 存在pe c l ( f ) ，使得厂0 ) 一e p a p 。1 ，v a e m 。( f ) ，2 1 6 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第2 章线性空间及其线性映射 2 1 线性空间 定义2 1 1 设矿是一个非空集合，它的元素用x , y ，z 等表示，并称之为 向量；k 是一个数域，它的元素用k ，z ，m 等表示如果矿满足下列条件： ( i ) 在矿中定义一个加法运算，即当石，y y 时，有唯一的和x + y y ， 且加法运算满足下列性质： ( 1 ) 结合律x + ( y + z ) 一 + y ) + z ； ( 2 ) 交换律x + y y + x ； ( 3 ) 存在零元素0 ，使x + 0 - 工； ( 4 ) 存在负元素，即对任一向量x e v ，存在向量y e v ，使工+ y 。0 ，则 称y 为x 的负元素，记为一x ，于是有工+ ( 一工) 一0 ( i i ) 在y 中定义数乘( 数与向量的乘法) 运算，即当x e v ，k k 时， 有惟一的k x e v ，且数乘运算满足下列性质： ( 5 ) 数因子分配律k ( x + y ) 一h + k y ； ( 6 ) 分配律似+ 1 ) x k x + l x ； ( 7 ) 结合律忌( h ) 一懈讧； ( 8 ) l x 一工 则称矿为数域k 上的线性空间或向量空问 定义2 1 2 设矿是数域k 上的线性空间，而，工：，x r ( ，1 ) 是属于v 的 任意r 个向量，如果它满足： ( 1 ) ，x 2s 线性无关； ( 2 ) v 中任一向量工都是而，屯，工，的线性组合 则称而，工：，工，为y 的一个基或基底，并称x t ( i = 1 2 ，r ) 为基向量 哈尔滨 ：程大学硕十学位论文 2 2 线性变换及其运算 2 2 1 线性变换 定义2 2 1 线性空间v 的一个变换a 称为线性变换，如果对于y 中任意 的元素a ，卢和数域p 中任意数缸都有 a ( a + ) 一爿( 口) + 一( 声) 4 a ) 一k a ( 口) ( 2 1 ) 以后一般用黑体大写拉丁字母彳，曰，代表v 的变换，爿陋) 或a c t 代表元 素口在变换爿下的象 定义中等式( 2 1 ) 所表示的性质，有时也说成线性变换保持向量的加 法与数量乘法 2 2 2 线性变换的性质 ( 1 ) 设a 是v 的线性变换，则一( o ) = 0 ，4 ( 一a ) = 爿 ) ( 2 ) 线性变换保持线性组合与线性关系式不变换句话说，如果芦是 x 1 ，x 2 c x r 的线性组合： 卢。k t a l + k 2 a 2 + k r 口， 那么经过线性变换a 之后，彳( 卢) 是z a ( a 。) ，4 ：) , - - - , a ，) 同样的线性组合； 一( ，) 一k l a ( 口1 ) + 七2 a ( a 2 ) + k ，a ( a ，) 又如果口，口：，口，之间有一线性关系式 k 1 口l + k 2 口2 + k r 口，l0 那么它们的象之间也有同样的关系 k l a ( a 1 ) + | | 2 a ( a 2 ) + + 七，彳( 口，) 一0 ( 3 ) 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组 2 2 3 线性变换的运算 1 、加法 设4 ，a ：是线性空间矿的两个线性变换，定义它们的和4 + 4 为 似1 + a 2 皿一4 x + 彳2 x ， 铲x e v 8 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 则线性变换4 与a ：的和a 1 + 4 仍是y 的线性变换 线性变换彳的负变换一a 定义为 ( 卅弦一( 出) 容易验证负变换也是线性变换 线性变换的加法具有下列诸性质： ( 1 ) 4 + a 2 4 + a 1 ( 2 ) 0 4 l + a 2 ) + 4 4 + o t 2 + 爿3 ) ( 3 ) a + 4 一a ( 4 ) a + ( 爿) - 4 2 、线性变换与数的乘法 设k k ，a 为线性空间矿中的线性变换，定义数k 与a 的乘积削为 ( k a ) x 一七( 血) ，y xe v 容易验证翩也是线性变换，且具有下列诸性质： ( 1 ) k ( 4 + 彳2 ) - j j 匕4 l + 丘4 2 ( 2 ) ( t + f 忸。l e a + 阴 ( 3 ) ( k l 一k ( l 4 ) ( 4 ) 1 , 4 一a 3 、线性变换的乘法 设4 ，a ：是线性空间y 的两个线性变换，定义它们的乘积4 爿：为 ( 4 4 弦- 4 口：，v x e v 即4 爿：是先施行4 ，然后施行4 的变换 容易验证4 4 ：也是v 的线性变换 线性变换的乘法还具有以下诸性质： ( 1 ) ( 4 a ：地- 4 他4 ) ( 2 ) 4 口：+ 以) 一4 以+ 4 4 ( 3 ) ( 4 + 爿2 ) 4 ；4 爿3 + 爿2 4 4 、逆变换 若爿是y 的线性变换，且存在线性变换s ，使 岱r 沁一( r s 弦。工，魄y 9 哈尔滨r 1 二程大学硕士学位论文 成立，则称s 是r 的逆变换，记为s = t 一且有 r t 一7 7 一t 5 、线性交换的多项式 设咒是正整数，a 是线性空间v 的线性变换定义a 的行次幂为 a 4 。幽 个 定义a 的零次幂为 a o 。4 于是可以建立线性变换的指数法则 彳坍伸- 4 m 爿“，( 彳4 y 暑爿朋 其中埘，意n o 当a 是可逆变换时，定义a 的负整数次幂为 a “- c a 1 ) 4 ，n e n o ( 2 2 ) 这样就把指数法则( 2 2 ) 推广到负整数次幂的情形 设，o ) - a o t ”4 - a l t ”- 1 + + 口。- 1 t + 口。是纯量f 的m 次多项式，a 是y 的 一个线性变换，则由线性变换的运算可知 f ( a ) 一a o a 埘+ 口1 a 埘q + + 4 历4 + 。以 也是y 的一个线性变换，称其为线性变换a 的多项式 2 3 线性映射的矩阵表示 则有 设r 是线性空间的线性变换，x e v ”，且以，x ：，是矿4 的一个基， x 晕a l z l + a 2 x 2 + 一+ a t x 昌口1 ( 戤1 ) + 口2 ( r x 2 ) + 。+ a 。( 强) 1 0 哈尔滨工稗大学硕士学位论文 这表明，y “中任一向量z 的象由基象组戤，t x ：，巩惟一确定因为基象组 仍属于，故可令 即 其中 t x li a l l x l + a 2 1 x 2 + + 口 l 矗 t x 2 一a 1 2 x 1 + a m x 2 - i + a n 2 x n t x l 口h x l + 4 h x 2 + + a n n ( 2 - 3 ) 磁。善咿，o 也力 采用矩阵的形式运算规则，式( 2 - 3 ) 可表示为 丁( x l ，x 2 c 吒) 一( 玖l ，豇2 ，t x 。) 一0 1 ，工2 ，屯m ( 2 4 ) a a l la 1 2 a 2 1 口z a 月1 口 2 4 h a 2 ： 4 m 矩阵a 的第i 列恰是a ；的坐标( f 一1 ，2 ，n ) 定义2 3 1 式( 2 4 ) 中的矩阵4 称为t 在的基而，工：，z 。下的矩阵， 简称a 为丁的矩阵 定义2 3 2 因为对于线性空间的一个基x ，工：，有 t o x , 一0 - 0 x l + o x 2 + + 0 矗a 叠1 ，2 ，n ) 和 l 工1 - x 1i l x l + o x 2 + + 0 x t 工2 一x 2 0 x 1 + h 2 + + o x n ： l x i x , i - o x l + o x 2 + + h 1 1 哈尔滨工程大学硕十学位论文 所以零变换瓦的矩阵是零矩阵0 ；而单位变换疋的矩阵是单位矩阵， 使线性空间y “的任一向量x - q m x ( m 是固定数) 对应的变换l 线性变 换，称为数乘变换因为 所以数乘变换的矩阵为 乙x l 。懈l1 m x l + o x 2 + + o x 月 乙善21 t a x 21 0 x 1 + 臌2 + + o x l i n _ 眠一o x , + o x 2 + + 眦。 历0 0m ： o0 0 0 ： m 1mi(2-5) 通常称矩阵( 2 - 5 ) 为数量矩阵 定理2 3 1 设毛，工：，毛是数域k 上的线性空n v 4 的一个基，线性变换 正，正在该基下按式( 2 4 ) 依次有n 阶矩阵a ，b 则有 ( 1 ) ( 瓦+ 疋) o l ，z 2 ，工。) _ ( ，善2 ，并。) + b ) ； ( 2 ) ( t 五) i ，x 2 ，z 。) - ( x l ，工2 ，工。) ( 纠) ； ( 3 ) 瓴l ) “，工2 ，矗) - 0 1 ，x 2 c , 工。) 0 旧) ； ( 4 ) 五- 1 0 l ，工2 ，吒) ao - ，工2 ，i n m 一 定理2 3 2 设线性变换t 在线性空间v “的基，x ：，下的矩阵是 a q 。) ，向量x 在该基下的坐标是( 爵，邑，) r ，则孤在该基下的坐标 h ，7 ：，巩r 可按公式 哈尔滨一 程大学硕士学位论文 叩1 t 7 2 ： 叩。 暑a 岛 岛 ： 来计算 定理2 3 2 设线性空间v “的线性变换r ，对于矿4 的两个基屯，石2 ，工。和 m ，y 2 ，y 。的矩阵依次是爿和口，并且 ，( y l ，y 2 ，) 。) 一0 1 ，工2 ，) c 那么 五。c 1 a c 定义2 3 3 设a ，矗为数域k 上的两个甩阶矩阵，如果存在k 上的玎阶 非奇异矩阵p ，使得b - p - 1 胛，则称爿相似于口，记为4 口 2 4 线性映射下基的关系 线性空间k 到上的线性映射r 将k 的基映射为哆中的向量组，这个向 量组可用哆的基线性表示，下面讨论它们之间的联系及向量坐标与其像的坐 标在线性映射r 下的关系 定理2 4 1 设r ：k 伊) 一( f ) 为线性映射，。，：，。是k 的基， f ：，f ；，8 ：是的基 ( 1 ) 记r l 。，s2 ”，s 。 t p 瓴) ，r ( f ：) ，丁p 。) ，则存在唯一的4 f m m ， 使得 r k ， ，气】一l ：，s ，s ：弘 称4 为线性映射z 在基。，s ：，f 。与基g ：，；，二下的矩阵 1 3 哈尔滨工程大学硕十学位论文 叠瞄置i i 暑i i i 暑i i i 宣i i i 宣i i i 奄i i i 宣；与i i 妄；i 毒；i i 薯；穹；宣；i 营；宣宣鲁 则 ( 2 ) 设x e v , ，善= k 。，g ：，厶 r ) 一k ，s ，s ：】 口l ， a 2 ： ， 4 m 。4 4 l a 2 ： 4 “ a 1 a 2 ： 口“ 口： 口； ： 口二 称上式为线性映射在基p 。，岛，f 与基s ：，g ；，s ：下的向量坐标变换公式 定理2 4 - 2 设r 为y ( f ) 线性变换，f ，：，占。和：，f ；，：是y 的两个 基，p 是由气，：，f 。到；，p ；，的过渡矩阵，月、b 分别是t 在基 p t ，：，g 。和基s ：，f ；，s ：下的矩阵，则口一p 1 a p ，即线性变换在基下的 矩阵相似。 证明因为 p ：，p ，s ：】一l ，“】p 故 丁l ：，s ：，s ： 一t 。，g ：，厶】p ) = r l 。，s ：，厶】p = k ，：，厶 f 4 p 而 f l ：，s ，占： 一i f t ，s ，s ：】8a k 。，s ：，坳 所以 瞄。，p l 。，厶】船 因为f 1 ，f 2 ，f 。线性无关，所以a p 。p b ，即 b = p 一1 a p 哈尔滨工程大学硕士学位论文 定义2 4 3 设t ：k ( ，) 一心( f ) 为线性映射，r 的全体像组成的集合称 为r 的值域，用r 口) 表示，也称为r 的像空间，记为丁形) ，于是 r 口) 一t 以) 一 z ) i x 所有被r 变成零向量的向量构成的集合称为r 的核，记为k e r ( t ) 或 2 4 ( o ) ，有时也称k e r ( t ) 为r 的零空间，记为口) ，即 口) 一k e r ( t ) 。缸l t o ) = 0 ，x e k ) 可以证明r 口) 和口) 分别是和k 的线性子空间 这是因为v y 。，y 2 r 仃) ，玉。，x 2 k ，使得y l 。r 1 ) ，y 2 一丁0 2 ) ， 所以y l + y 2 一r o l + x 2 ) r ( r ) ，又因为v a f ，有 ；t y l - a t 1 ) 一t ( a x l ) r 口) 说明r 仃) 对吒的运算封闭，同时，月口) 是非空的，因此，r 口) 一r 似) 是 的线性子空间另一方面，由r ( _ ) 一0 ，t ( x 2 ) 一0 ，有r 瓴+ ，：) 一0 ， r ( 缸。) 一0 ，就是说，f ) 对线性运算也是封闭的，同时r ( o ) - 0 ，( z ) 非 空，所以( r ) 是k 的子空间 定理2 4 4 设丁：k 伊) 一吒俨) 为线性映射，f 。，g ：，。是k 的基， s ：，s ；，s ：是的基，z 在基 ，s ：，与基s ：，s ：，s 二下的矩阵为彳，则 d i m r ( t 、一旭盯七d 定理2 4 5 设r 为 维线性空间矿( f ) 的线性映射，则 d i r e r 口) + d i m n 口) 一n 2 5 本章小结 在本章中，介绍了线性空间及线性映射的基础知识，通过对这些基本概 念的重述，加深了对代数的知识结构及方法的理解 哈尔滨丁程大学硕士学位论文 第3 章矩阵分解 3 1 g a u s s 消去法与矩阵的三角分解 3 1 1g a u s s 消去法的矩阵形式 设a 0 一彳，其元素口5 0 ) 。口口o ，j - l 2 , ，玎) 记a 的七阶顺序主子式为 色肚- 1 ，2 ，一) 如果，一4 譬一。，令c n 一器( f 一2 3 ，厅) ，并构造 f r o b e n i u s 矩阵 计算 厶一 三1 栅- l ，工l - l - 1 一c 2 1 ： 一c 1 l 一爿( 1 )( 3 1 ) 由此可见，a 一a 的第一列除主元口器外，其余元素全被化为零 式( 3 1 ) 还可以写为 a o 一l 一1 因为倍加初等变换不改变矩阵的行列式的值，所以由4 ( 1 得a 的二阶顺序主 子式为 a 2 。a 。( o 口罢( 3 - 2 ) 如果a ：一0 ，则口髫，o 令c ；：。祟o ；3 ，4 ，吐并构造f r o b e l i i u s 矩 a 崭 i 吃； h mh；删 4 口 口 n m ；n 4 口 4 雌( i 口 哈尔滨r 程大学硕十学位论文 阵 计算 l 2 1 l 2 - 1 a o ) 一 ，工2 _ 1i 1 1 一c 3 2 ： 一c 2 口擘口磐n 磐4 窖 4 2 口磐口罢 口箬4 ； 4 2 口2 1 。4 ( 2 )( 3 - 3 ) 由此可见，4 ( 2 得前两列中主元以下的元素全为零式( 3 3 ) 还可写为 爿( 1 ) ；l 4 ( 2 )( 3 4 ) 因为倍加初等变换不改变矩阵的行列式的值，所以由彳( 2 得a 的三阶顺序主 子式为 a ，= 口f ? 口踟婴 ( 3 5 ) 如此继续作下去，直到第，一l 步，得到 彳( ，- i ) 。 “a l t ，o ) _ l ； n j ：生 4 7 ； 4 r ( r 一- l ，2 ) 口2 哪 ； a 一 ( r r - 1 ) a 2 ； 口j 2 口羔。1 ； 口4 a ，- c a m ) 4 篇r - 2 ) 一1 口譬4 ( 3 - 6 ) 1 。； 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 如果，一o ，则4 ：- 1 ) 一。令c 。一! a 芝品- 1 ) a 一，+ 1 ，r + 2 ，厅) ，并构造f r o b e n i u s 矩阵 计算 l - , 1 彳( ，一d 一 工，n f - 1 c ，+ l r ： c n r 1 一c ，+ l r ： 一c 盯 n ! ? 口 4 窖由 口墨1 一 ； 口擘 口j 岩口 n j 0 “口 ： ( ，- i ) r n ( ，) r + l n ： 4 默l 4 。爿( 7 )( 3 - 7 ) 易见，4 ( 的前r 列中主元以下的元素全为零式( 3 7 ) 还可写为 a ( 7 d 一工彳( 7 ) 且由4 ( 7 易得a 的r + 1 阶顺序主子式 a 。一4 f ? 口罢4 哪口绕+ ， ( 3 - 8 ) ( 3 9 ) 哈尔滨工稃大学硕+ 学位论文 如果可以一直进行下去，则在第 一1 步之后便有 爿( “_ 1 ) 昌 n ：? 坤1 2 a t o ) 口盘。口掣 口罢口墨。n 罢 ； 口2 0 l a ( n - 1 2 。) a _ ：- i ) ( 3 - 1 0 ) 定义3 1 1 这种对4 的元素进行的消元过程叫做g a u s s 消元过程g a u s s 消元过程能够进行到底的条件是当且仅当口擘，口罢，4 o 都不为零，即 a ，o ( r 一1 ，2 ，- - ，n - i ) ( 3 - 1 1 ) 3 1 2 矩阵的三角( l u ) 分解 定义3 1 2 如果方阵4 可分解成一个下三角矩阵和一个上三角矩阵【， 的乘积，则称a 可作三角分解或l u ( l r ) 分解如果方阵a 可分解成a l d u ， 其中l 是单位下三角矩阵，d 是对角矩阵，c 厂是单位上三角矩阵，则称a 可 作l d u 分解 定理3 1 1 设a i 0 。) 是n 阶矩阵，则当且仅当a 的顺序主子式 a 。一o ( k = 1 ，2 ，h 一1 ) 时，a 可惟一的分解为a l d u ，其中是单位下三 角矩阵，u 是单位上三角矩阵，d 是对角矩阵 d d i a g l ，d 2 , - - d 。) 其中小惫囊乩2 一川( 。锄 证明必要性若a 有惟一的l d u 分解a - l d u ，将其写成分块矩阵的形 式为 降1 廿p l n _ l 耵肛； ( 3 1 2 ) 其中l 。，见。，u 。，4 一。分别是厶d ，【，a 的玎- 1 阶顺序主子式矩阵由式 ( 3 - 1 2 ) 得下面矩阵方程 1 9 哈尔滨工程大学硕士学位论文 以1 一工。- 1 d 一l u 。- 1 ( 3 1 3 ) p 7 一盯7 见一l 以- l ( 3 1 4 ) ，一l - 1 d 。一i t ( 3 1 5 ) a 肿暑口1 d 。- 1 f + d 。 ( 3 1 6 ) 如果a 。- 1 - d e t 以- l 一0 ，则由式( 3 - 1 3 ) 及行列式乘法定理知 d e t 珑_ l - d e t 4 1 - 0 于是拉d e t ( l - 1 见- 1 ) 一d o t 见- l - 0 ，即l l 见i 奇异 对于方程组( 3 1 5 ) 存在o - 1 ) x l 矩阵f 使。见，。一 ，而f # f ( 因为当 d e t b 。0 时，线性方程组b x - 0 有非零解，并且当线性方程组b x b 有解时， 其解不惟一) 同理，因见- 。玑一。奇异，故u 二j 曩，一( 见。以。) 奇异，有孑一仃 使【，二d 二孑- “或观。u 。- 7 取五- 4 。一蛾。f ，则有 伊计p 壮引ol w - 1 司 这与a 的l d u 分解的惟一性假定矛盾。因此。- 1 - 0 考察n 一1 阶顺序主子矩阵以。，同样有4 ：一三。见一：以一：，其中 l ，见- 2 ，u 。分别是上，d ，u 的玎一2 阶顺序主子矩阵于是由p 。和珑一：非 奇异得d c t 4 2 一d c t 见一2 0 ，或- 0 依此类推, - - 得a 。- l - 0 ，a 0 ， ，a 2 0 ，a l 一0 必要性得证 充分性若。- o 一l 2 ，栉一1 ) ，则由g a u s s 消元过程和前面的推导 可知a 有三角分解a - l a o “在式( 3 1 0 ) 中令d t 一4 嚣“，则由式( 3 9 ) 得 d i - 口譬棚- 芸l 一1 , 2 ，开，a o 一1 ) 于是有 2 0 哈尔滨下稃大学硕士学位论文 4 扣- 1 ) d 1 1 堡 d l l ；d u 即a 有l d u 分解4 一l 4 伽_ 1 ) t l d u 下面证明这种分解的惟一性 设这个分解为式( 3 1 2 ) 因a 。- i - 0 ，故从式( 3 1 3 ) 得d e t 见- 1 ，1 0 ， 即见。非奇异假定a 还有另一种分解方式，则必分别有厅一1 阶下、上三角 矩阵。，玩，和对角矩阵e 。满足式( 3 1 3 ) ，且e 。非奇异于是有 l 。见，玑。一以。一丘。成。玩。 从而记l 。- e 。玩。u 2 。上硅由于上式左边是单位下三角矩阵，右边是上 三角矩阵，因此翠。t 。是单位矩阵，即l 。- 。同理，从 既硭。l 。见。一玩。【，三可得以二和既d 。也是单位矩阵，故 玩。一u 。，见。- d ：一。 以上分析说明，若a 有分解式( 3 1 2 ) ，则l “，d 。，u 。都是惟一确定的 由于见。的非奇异性，从式( 3 1 4 ) 和式( 3 1 5 ) 知仃7 和f 也是惟一确定的 于是由式( 3 1 6 ) 知d 。也是惟一确定的到此a 的l d u 分解的惟一性得证 证毕 推论n 阶非奇异矩阵a 有三角分解a l u 的充要条件是彳的顺序主 子式a t - o ( k 一1 2 ，撑一1 ) 定理3 1 ，2 设a 是n 阶非奇异矩阵，则存在置换矩阵p 使只4 的打个顺 1 堡电：韶一。 哈尔滨丁程大学硕士学位论文 序主子式非零 推论设a 是以阶非奇异矩阵，则存在置换矩阵p ，使 p a - 工d ，l d u( 3 1 7 ) 其中l 是单位下三角矩阵，d 是上三角矩阵，u 是单位上三角矩阵，d 是 对角矩阵 3 1 3 其它三角分解及其算法 定义3 1 3 设矩阵4 有惟一的l d u 分解若把a - l d u 中的d 与u 结合 起来，并且用疗来表示，就得到惟一的分解 a - l ( d 【，) ，l u ( 3 1 8 ) 称为a 的d o o l i t t l e 分解；若把a l d u 中的l 与d 结合起来，并且用l 来 表示，就得到惟一的分解 a 一( 工d ) u l u( 3 1 9 ) 称为彳的c r o u t 分解 下面讨论c r o u t 分解的实用算法设 工一 l 1 2 l 乞 。l ： u 一 1 “1 2 l “h “ 。 ： 1 根据a 。【，可得 4 n 一l ：t 1 - a l l ( f - 1 ，2 ，i t ) a t 。，“。，掣( j 。2 ，3 ，以) 1 1 对于七一2 a ，n ：当i 芑七时，有 于是 a 让鲁l i l u 让+ + 上- 1 “m + k ( 3 - 2 0 ) ( 3 - 2 1 ) ( 3 2 2 ) 哈尔滨t 稃