（应用数学专业论文）几类分数阶微分方程解的存在性.pdf

t hee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rs e v e r a lk i n a so ff r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s c h e nh o n g q i a n b s ( b o h a iu n i v e r s i t y ) 2 0 0 6 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e l n a p p l i e dm a t h e m a t i c s i nt h e g r a d u a t es c h o o l o f h u n a n u n i v e r s i t y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rs h ux i a o b a o a p r i l ，2 0 1 1 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：蔼知虏告 日期：础，年形月j 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在么年解密后试用本授权书。 2 、不保密既 ( 请在以上相应方框内打”) 作者签名：7 虽鹰售 刷礁氧碜保 日期：幽f f 年厂月7 日 日期：山。1 年月j 日 硕? l j 学位论文 摘要 最近几十年中，分数阶微分方程引起人们广泛的关注，由它在自然科学，工程 学，物理学等很多领域的广泛应用人们在求解分数阶微分方程的解时更多的采用 了解析半群理论然而，由于c a p u t o 型分数阶导数不满足l e i b n i z 乘积法则，这种 由解析半群理论得出的解是不恰当的 本论文主要讨论了分数阶脉冲微分方程的m i l d 解和1 q 2 阶分数阶微分 方程解的存在性问题，该论文主要通过不动点理论去研究所给系统解的存在性，其 内容主要包括： 第一章，介绍了本文的研究背景，本文所做的工作及创新点，系统分析了分数 阶微分方程近年发展情况 接下来，我们先简单介绍了脉冲微分系统和非局部条件微分系统的基本知识， 就本文要用到的定义和定理给出说明 第二章，纠正了m h m r a s h i d 给出的脉冲型分数阶微分方程的m i l d 解的错 误定义并重新定义了脉冲分数阶微分方程的m i l d 解，然后用压缩映像原理证明了 脉冲型分数阶微分方程m i l d 解的存在唯一性 第三章，研究了两类1 o t 2 阶分数阶微分方程解的存在性，并用不动点定 理研究了两类分数阶微分方程解的存在唯一性 关键词：脉冲微分方程；初值问题；m i l d 解；不动点；压缩映射原理；非局部条件 i i 硕：l j 学位论文 a b s tr a c t f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v ea t t r a c t e dt h ea t t e n t i o no fm a n yr e s e a r c h e r s i nt h el a s tt h r e ed e c a d e sb e c a u s eo ft h e i ra p p l i c a t i o n si nn u m e r o u sf i e l d so fs c i e n c e ，a n - g i n e e r i n g ，p h y s i c s ，e c o n o m ya n ds oo n u n f o r t u n a t e l y , t h es o l u t i o n st h a tw e r eo b t a i n e d b ya p p l y i n ga n a l y t i cs e m i g r o u pt h e o r yi si n a p p r o p r i a t e ，b e c a u s et h ec a p u t of r a c t i o n a l d e r i v a t i v ed o e sn o ts a t i s f yt h el e i b n i zp r o d u c tr u l e t h ef o c u so ft h i sd i s s e r t a t i o ni st os t u d yt h ee x i s t e n c eo fm i l ds o l u t i o n so fi m p u l s i v e f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so fl q2o r d e r f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hn o n l o c a lc o n d i t i o n i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w em a i n l y d e v o t et ot h ef i x e dp o i n tt h e o r yt or e s e a r c ht h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so ft h eg i v e n s y s t e m t h i sd i s s e r t a t i o ni so r g a n i z e da sf o l l o w s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h er e s e a r c hb a c k g r o u n d ，o u rw o r ka n di n n o - v a t i o n s ，a n ds y s t e m a t i c a l l ya n a l y z ed e v e l o p m e n ts i t u a t i o n so ff r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t h e n ，w eb r i e f l yi n t r o d u c eb a s i ck n o w l e d g eo fi m p u l s i v ef r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa n dn o n l o c a lf r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a n dt h e ng i v es o m ed e f i n i t i o n s a n dt h e o r e m sw h i c ha r eu s e di nt h i sd i s s e r t a t i o n i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ec o r r e c tt h ei n a p p r o p r i a t ed e f i n i t i o no fm i l ds o l u t i o n s t oi m p u l s i v ef r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ng i v e nb ym h m r a s h i da n dg i v ea na p - p r o p r i a t ed e f i n i t i o no fm i l ds o l u t i o n s t h e n ，a sa na p p l i c a t i o n ，w es t u d yt h ee x i s t e n c e a n du n i q u e n e s so fm i l ds o l u t i o n st ot h ei m p u l s i v ef r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nb y a p p l y i n gt h ec o n t r a c t i o nm a p p i n gp r i n c i p l e i nt h et h i r dc h a p t e r ，b ya p p l y i n gt h ef i x e dp o i n tt h e o r y , w es t u d yt h ee x i s t e n c e o fs o l u t i o n so ft h elq2o r d e rf r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hn o n l o e a l e o n d i t i o n s k e yw o r d s ：i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；i n i t i a lv a l u ep r o b l e m ； m i l ds o l u t i o n ；t h ef i x e dp o i n t ；t h ec o n t r a c t i o nm a p p i n gp r i n c i p l e ；n o n l o c a l c o n d i t i o n i l l 几类分数阶微分方程解的存存性 目录 学位论文原创性声明和学位论文版权使用授权书i 摘要i i a b s t r a c t 第1 章绪论1 1 1 研究背景和意义1 1 2 本文的主要工作2 1 3 本文的创新点3 1 3 基本知识4 第2 章脉冲型分数阶微分方程m i l d 解存在性8 2 1 前言8 2 2m i l d 解的定义1 0 2 3 ( | l 瓯( 圳和i i 死( t ) l l ( o q 1 ) 估计1 2 2 4 应用1 8 第3 章1 口 2 阶分数阶微分方程解的存在性2 0 3 1 前言2 0 3 2 预备知识2 1 3 31 q 2 初值问题微分方程解的存在性2 2 3 4 l q 2 带非局部条件分数阶微分方程解的存在性2 4 结论2 9 参考文献3 1 致j 射3 7 硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 研究背景和意义 在最近的几十年中，由于分数阶微分方程在很多学科中的广泛应用，它引起 了人们浓厚的兴趣，在科学研究中，很多物理，化学，生物现象和机械过程【l - 9 】都可 以用分数阶微积分方程来描述，反过来，分数阶微分方程的数学方法和它的解的 理论也被广泛讨论：例如，迭代法【i o ，级数法【1 】 傅立叶变换法f 1 1 】1 1 ，拉普拉斯变换技 术【1 2 一1 7 i ，算子演算法【1 8 1 ，等等分数阶微积分的概念被公认为产生于1 6 9 5 年m a r q u i s 给g o t t f r i e d 提的一个问题，当时他提出了对于基，竹n ：= o ，1 ，2 ，) ，当n = 时会产生一种与众不同的效果随后的几年里，分数阶导数在很多文章里大量出 现，例如l a p l a c e 在1 8 1 2 年，l a c r o i x 在1 8 1 9 年，f o u r i e r 在1 8 2 2 年，l i o u v i l l e 在1 8 3 2 年， r i e m a n n 在1 8 4 7 年等所写的文章中都提到了分数阶导数，其中，l a c r o i x 用两页的篇 幅研究分数阶导数，最终得到：冀秒= 等，除此之外，他们还研究了分数阶微分方 程，分数阶积分方程，分数阶微积分方程理论这些理论如今被广泛应用于很多领 域，例如，流体动力学，动力系统，电力学，概率统计，弹性力学等等 近些年，分数阶微分方程的研究出现了很多可喜的成果，例如：w a n gx i n g y u a n 在文剥1 9 】中分析了分数阶微分系统r o u t h h a u w i t z 稳定条件，讨论了分数阶微分系 统的稳定区域w e i h u ad e n g 在文章 2 0 l 中给出了非线性分数阶微分方程的渐近稳定 性s ux i n w e i ，m o u h a k ，s a n i z a ，b a s h i r 等研究了分数阶微分系统的边值问题【2 1 2 3 1 o m p a g r a w a l ，v a g i f s 在文章【2 4 , 2 5 】中研究了分数阶变分问题，v l a k s i m i k a n t h a m 和 a s v a t s a l a 研究了l - r 型分数方程解的全局存在性s h u q i n g z h a n g 在文中用上 下解方法分数阶边值问题c l a u d i o ，c u e v a l s 在文章f 2 1 7 1 探讨了孓渐近u 一周期解z h o u y o n g 在文章中讨论了带有无限时滞的中立型分数阶微分方程解的存在性和唯一 性 分析半群理论是研究脉冲微分方程重要方法，也是目前数学家研究的热点，其 广泛应用于各种偏微分方程的解的存在性，唯一性和连续依赖性及其定性理论如 周期解，概周期解和解的渐近性等，并取得了可喜的成就例如，文【2 9 ，3 0 】用分析半群 理论研究了脉冲半线性偏微分方程的定性理论， 3 1 - 3 9 利用分析半群研究了各种泛 函微分方程和积分方程的解的存在性和定性理论 从而自然让数学家们联想将半群理论应用到分数阶发展型偏微分方程中( 看 文【4 0 一叫) ，文【4 0 _ 删采用类似于半群理论研究了发展型偏微分方程的方法，通过半群 算子定义了分数阶发展型偏微分方程的m i l d 解( 弱解) ，再通过此定义来研究相 关定性理论，这种想法显然是非常值得肯定的但由于分数阶导数不满足l e i b n i z 一1 一 几类分数阶微分方程解的存在性 法则( 见文 4 5 1 ) ，以及相应的分数阶算子方程不再满足常数变易公式，而文【4 0 - 4 4 1 没 有经过严格论证简单的模仿分析半群定义发展型偏微分方程m i l d 解的定义定义了 分数阶发展型偏微分方程的m i l d 解，这是错误的( 看文f 4 6 , 4 7 】) 在文【4 7 l 中作者指出 文【4 8 1 中给出的半线性分数阶微分方程m i l d 解定义的两个错误，( i ) 定义是不合理 的，举例说明了其不能保证方程的古典解是m i l d 解；( i i ) 与分数阶发展方程相对应 解算子不满足半群性质，同时文【4 7 】给出了文【4 8 】中分数阶半线性微分方程m i l d 解的 合理定义，通过分析解算子理论，改正了文 4 8 l 的错误，并推广了其结果 1 2 本文的主要工作 本文的主要方法为用不动点理论和压缩映射定理研究分数阶微分方程的初值 问题，具体来说，第二章，研究了半线性脉冲型分数阶微分方程m i l d 解的形式及解 的存在条件，第三章，研究了1 q 0 ，o q 1 ， u ( t o ) = u o x ， i a ub 。= 厶( 钆( t i ) ) 七= 1 ，m ， 这里，一a 是紧算子半群t ( 亡) ，t 0 的最小生成元，非线性映射，g ：i u _ x ，i = 【0 ，t ) ，0 t 0 0 是连续的，u 是x 的开子集，口：j 。r ，u o 阢厶： x - x ，0 = t o = 0 t l t m t m + l = z a uk t k = u ( t z ) 一缸( 坛) u ( 考) = l i m h - - - ，o + u ( t k + 九) 和让( 坛) = l i m b - + 0 一u ( t k + h ) 分别表示u ( 亡) 在t = t k 处的左右极限 m h m r a s h i d 和a a 1 - o m a r i 教授在f 4 2 】给出了上述方程的m i l d 解的形式如下： u ( t ) t ( 亡) 让。+ 南。象。仨。( 亡l , - s ) 一1 t ( t s ) u ( s ) ) + f oq ( s 一7 - ) 夕( 7 - ，u ( 7 ) ) d r l d s + 南f t 。( t s ) a - l t ( t - s ) 【，( s ，u ( s ) ) + j oq ( s t ) g ( t ，u ( 1 ) ) d t l d s + o 。 0 ，0 q 1 ， 乱( ) = u o x ， ( 1 1 ) l a ub 。= 厶( u ( 坛) ) k = 1 ，m ， 几类分数阶微分方程解的存矗! 性 m i l d 解的错误定义，原文直接用半群性质得出的m i l d 解是错误的，本文利用拉普 拉斯变换及其反变换给出了脉冲型半线性分数阶微分方程m i l d 解的恰当形式，并 找出了合适的路径估计算子范数且用它证明了m i l d 解的存在的充分条件二是大 部分文章都是在0 a 1 的条件下讨论分数阶微分方程解的存在性，本文研究了 1 q 2 时分数阶微分方程解的存在性，并用不动点定理证明了解的存在条件 在第二章中，我们首先分析了半线性脉冲型分数阶微分方程( 1 1 ) 的m i l d 解的形式 和存在性，在【4 2 】中m h m r a s h i d ，a a 1 - o m a r i 给出的方程( 1 1 ) 的m i l d 解的形式如 下： u ( 亡) t ( t ) u o + 南。庄。( “一s ) a - i t ( 亡一s ) 仳( s ) ) + f o一丁) 夕( 7 ，u ( r ) ) d r 】d s + 司【一疋( 芒一s ) - l t ( t s ) ，( s ，钆( s ) ) ( 1 2 ) + 石g ( s 一丁) 9 ( 7 ，u ( t ) ) d t l d s + o “ tt ( t t k ) i k ( u ( t ；) ) 很显然他们给出的这个m i l d 解的形式只是如下常微分方程： l 乌+ a u ( t ) = f ( t ，牡 ) ) + f 苫q ( t s ) 9 ( s ，u ( s ) ) d s ，t o ，刀， l u ( o ) = u o x 的解 ，t，s u ( t ) = t ( t ) u o + t 一s ) ，( s ，u ( s ) ) + 口( s 一下) 夕( 7 ，u ( 丁) ) d 7 】d s j 0 ，0 的模仿其中，一a 是紧算子半群t ( t ) ，t 0 的最小生成元由于条件改变了，半线 性微分方程( 1 1 ) 的m i l d 解( 1 2 ) 不能满足半群性质t ( s + t ) t ( s ) t ( t ) 和分数阶微 分方程的古典解必是m i l d 解，我们用l a p l a c e 变换各反变换给出了脉冲型分数阶 微分方程( 1 1 ) 的m i l d 解的恰当形式，并找到了恰当的积分路径来估计算子( 亡) ， 死( t ) 的范数范围，然后通过算子范数的范围来给出( 1 1 ) 的m i l d 解的存在条件并 用不动点定理证明解的存在性 在第三章中，我们讨论了1 q 2 阶分数阶微分方程解的存在性先前的大 部分文章都只讨论了0 q 1 阶分数阶微分方程，本文利用算子估计法，结合不 动点理论研究了1 。，t 。， 这里r ( ) 是e u l e rf 函数 定义1 4 3 对于函数，： o ，o o ) _ r ，r i e m a n n l i o u v i u e 分数阶导数定义如 下： 刚归高杀z 若岛幽圳严1 q n r i e m a n n l i o u v i l l e 型分数阶导数的l a p l a c e 变换如下： n 一1 c d 厂( 亡) ；a ) = 舻氕a ) 一a 七 d 尹- k - 1 ，( ) 】t _ 。，n 一1 q n 也可以写成： c 四馋) ；a ) = 舻氕a ) 一一q 木七( o ) 小1 ，竹一1 q 。；鲰一归叭 0 定义1 4 4 当妒c ( r + ) ，l a p l a c e 变换( c 妒) ( s ) 和纠d 七妒( ) 】( s ) 存在并且 对j = 0 ，1 ，k 一1 ，。h 理( d 妒) o ) ( 亡) = 0 那么? 十 七一1 l i d 七妒( 亡) 】( s ) = s 知( 邸) ( s ) 一s k - j - 1 ( 妒) ( o ) j = o l a p l a c e 反变换： ( 一1 夕) ( z ) = c 一1 囟( s ) 】( z ) ：= 互1 ，r r + 。i o o e 8 霉夕( s ) d s 定义1 4 5设a ：dc x _ x 是闭线性算子a 是扇形的如果存在 0 0 o ，p r 使得a 的预解式在以下扇形区域之外 i t + = 肛+ a ：a c ，i a r g ( 一a ) l 0 阶分数阶 导数由下式给出： 讲m ) = 币与2 ( 亡_ s ) 一口- 1 产) ( s ) 啦 m - l o c m c a p u t o 型分数阶导数的l a p l a c e 变换如下： c ( d 拿钆( 亡) ) ( 入) = 入a ( c 让) ( a ) 一乏二a n j 一1 ( 让) ( o ) m 一1 u ，u x 这种情况下，我们称& ( 亡) 是由4 产生的0 1 预解簇 定理1 4 1 设( 笑，p ) 是完备的距离空问，t 是( 笼，p ) 到自身的一个压缩映 射，则在笺上存在唯一的不动点 6 一 硕上学位论文 定理1 4 2 ( k r a s n o s e l s k i i 定理) ，设b 是b o n a c h 空间x 的一个非空闭 凸子集q t ，q 2 满足下列条件的两处算子： ( i ) q l u + q 2 v b 对于任何u ， b ? ( i i ) q 1 是压缩映射： ( i i i ) q 2 是紧映射且连续 那么，存在z b 使得z = q 1 z + q 2 z 一7 一 几类分数阶微分方程解的存存件 第2 章脉冲型分数阶微分方程 m i l d 解的存在性 2 1前言 脉冲型分数阶微分方程引起了人们很大的兴趣自从m h m r a s h i d 和b e n - c h o h r a 2 0 0 8 年在论文中发表了关于此问题的文章，参看【1 4 ，4 剐在文章【1 4 4 8 】中，作者研究了 脉冲型分数阶微分方程的m i l d 解然而，在这两篇文章中都存在两个问题，( 1 ) 作者 给出的m i l d 解不能满足古典解就是m i l d 解，( 2 ) 不满足半群性质t ( t + s ) = t ( 亡) t ( s ) 在本章，我们纠正了一类脉冲型分数阶微分方程m i l d 解的定义，然后给出了正 确的脉冲型分数阶微分方程m i l d 解的正确形式具体地说，在3 1 节中我们指出了 m h m r a s h i d 在1 4 2 l 中定义的m i l d 解的错误在3 2 节中，m i l d 解的正确形式并给予 了证明，利用不动点指数理论得到在给定区域存在两个解的结论在3 3 节中，我们 给出一个例子来验证m 且m r a s h i d 给出如下脉冲型分数阶微分方程的m i l d 解： ， id ? u ( 亡) + a u ( t ) = f ( t ，札( t ) ) + 口( 芒一s ) g ( s ，u ( s ) ) d s ，t 0 ，0 q 1 ， u ( 亡o ) = u o x ， ( 2 1 ) i ui 扛t 。= 厶( 饥( 坛) ) k = 1 ，m ， 这里，一a 是紧算子半群t ( ) ，t 0 最小生成元，非线性映射，夕：i ujx ，i = o ，t ) ，0 t o o 是连续的，u 是x 的开子集，口：i r ，u o 矿i k ：x x ，0 = t o = 0 t l t m t m + l = 正a ui 扛k = u ( 亡者) 一u ( 亡i ) u ( t z ) = l i m b + o + u ( 如+ h ) 和u ( 坛) = l i m _ 7 l - + o u ( t k + h ) 分别表示牡( t ) 在t = t k 处的左右极限 b ( x ) 表示x 上所有的线性有晃算子组成的b a n a c h 空间，( t ( ) ) t o 是x 上的g 半 群，我们设 m 2 t 【o m a x t l l i t ( 亡) 1 1 删 考虑如下函数集合 p c ( i ，x ) = u ：i 一x ，仳c ( ( t k 一1 ，t k ，x ) ，k = 1 ，2 ，m ) 并且存在让( t i ) 和乱( 亡吉) ，k = 1 ，2 ，m ，乱( t i ) = u ( t k ) ，有如下范数 i p c = s u p 娜i l u ( t ) l l ( p c ( i ，x ) ，| | i i p o ) 是b a n a c h 空间 一8 一 硕上学位论文 下面是m h m r a s h i d 在f 4 9 j 中给出的m i l d 解的定义： 定义2 1 1 一个函数u p c u x ) 是脉冲型分数阶积分方程2 1 的m i l d 解， 它有如处形式： 让( ) = t ( 芒) 铷+ 南。忘。( t k - s ) ”1 t ( t s ) 【m ，u ( s ) ) + f o sq ( s 一丁) 9 ( 丁，u ( 7 ) ) a d d s + 司【_ 疋 一s ) 口一1 t ( t - s ) 【，( s ，让( s ) ) ( 2 2 ) + f o q ( 8 7 - ) 夕( 7 ，u ( 7 ) ) d d d s + e 吣矧t ( t 一如) 厶( 乱( 坛) ) 很显然，( 2 2 ) 是如下常微分方程的解( 2 3 ) 的模仿： 警+ a u ( t ) = f ( t ，仳( 亡) ) + j t q ( t 一8 ) g ( 8 ，u ( s ) ) d s ，t 0 ，刀， 缸( o ) = u o x f t ，矗 u ) = t ( t ) u o + t 一s ) ，( s ，“( s ) ) + g ( s 一7 _ ) 夕( 丁，u ( 7 - ) ) d 7 - 】d s ( 2 3 ) ，0 ，0 我们知道，一个微分方程的经典解一定是它的m i l d 解在这个意义下，( 2 2 ) 是不合适的，看下例： ( d ? 秒) ( 亡) = 一p v ( t ) + 厂( 亡) ，v ( o ) = c l ，0 q 1 ( 2 4 ) 它的经典解形式如下： 可( 亡) = c 玩，t ( 一a ) + o 。 一s ) a 一1 玩，口( 一j d 一s ) 口) ，( s ) d s 这里 ( 一们= 旦7 f s i n 丌a f 0 。r a - 1 而打 卢1 ( 妒) 一ls i n 刀- a e 卅两丽南办 令t ( ) = 垆- 1 玩，q ( - p t n ) ，s ( t ) = 及，l ( 一p t a ) 则v ( t ) 可以表示为， 秒( 亡) = c l s ( 亡) + o t t ( 亡一s ) ，( s ) d s 上面的s ( t ) 和t ( t ) 可以表示为： t = 葡1 2 志扒邓) = 熹f b 入o t - i 石枞 一9 一 几类分数阶微分方程解的存在件 这里b r 表示b r o m w i c h 路径令a = 一p 那么上式可表示为： t ( 亡) = 上2 1 r i 丘r e ( a a a ) 。d 入，s ( t ) 2 豪上，e 她1 ( 入q a ) 。1 枞 更进一步，对于系统( 2 4 ) ，显然，t ( t ) s ( 亡) ，( 2 4 ) 的解秒( 亡) 并不满足【2 1 中的定义3 2 和【3 ) 中的定义2 3 ，也就是说可( 亡) 不是一个m i l d 解另一方面，当0 ，一口( t ) ：= ， 、 它的经典解如下( 见【1 3 1 4 1 ) ： y ( t ) = c 1 e a ，a ( 一p t 口) + ( t s ) 口一1 玩，a ( 一p ( t s ) a ) f ( s ) d s ( 2 6 ) 令t ( t ) = 玩，q ( p t 口) 则有下式： y ( t ) = c l t ( t ) + ( t s ) n 一1 t ( 亡一s ) f ( s ) d s ( 2 7 ) 因此，对于系统( 2 5 ) ，如果( 2 7 ) 成立，那么它一定有单一的初始条件( g l - a 木) ( o ) = e 1 另一方面，对于系统( 2 5 ) ，如果用参考文献【2 】中的关于m i l d 解的定义，那么， ( 2 5 ) 的m i l d 解能够表示成如下形式： m ) 铂t + 高( 亡_ s ) 铲1 邢- s ) m ) d s 也就是说，在条件( g l a 木可) ( o ) = c 1 下，r i e m a n n l i o u v i l l e 分数阶微分方程( 2 5 ) 的经典解不满足参考文献【2 】中的作者对m i l d 解的定义，另外，在这种情况下，即使 t ( t ) = s ( t ) = 玩，a ( - - p t q ) ，那么t ( t + 8 ) t ( 亡) 丁( s ) 2 2m i l d 解的定义 这篇文章的主要目的是给出方程( 2 1 ) 的m i l d 解的恰当定义，这个定义也可以 经过修改适合于其它类型的分数阶微分方程 一1 0 硕上学位论文 从现在开始，假定x 是给定的b a n a c h 空间 这篇文章的余下部分组织如下： 在下一部分给出( 2 1 ) 的m i l d 解的恰当定义，我给出的定义是以线性算子为基础 在第三部分，给出了线性算子的范数估计作为第二节的定义的应用，在第四节，给 出了微分方程( 2 1 ) 的m i l d 的存在性 为了给出方程( 2 1 ) m i l d 解的恰当定义，首先，先考虑如下的柯西问题： 研? 刊似幻 ) t t o , ( 2 8 ) iu ( t o ) = u o x ， 、 这里，a ( 0 ，1 】，： t o ，o o ) - - + x 定理2 2 1 设a 是( 旭口，p ) 型扇形算子如果，满足一致h s l d e r 条件 卢( 0 ，1 】，那么柯西型问题( 2 8 ) 的唯一解由如下形式给出： 这里 u ( 亡) = 瓯 一纠咖+ 石死 一s ) 厂( s ) 幽， ( 2 9 ) & ( 亡) = 熹e r - 1 兄( 胪，a ) 烈死( 亡) = 丽1 e r ( ”，a ) 枞， c 是合适的路径，使得对a c舻zp + 岛 证明：通过拉普拉斯变换，可由( 2 8 ) 得： a a ( c u ) ( a ) 一a a - - l u o = a ( c 让) ( a ) + ( c ，) ( a ) ( 入q ，一a ) ( c 乱) ( a ) = a - - l u o + ( c ，) ( 入) ( c 让) ( a ) = a , 1 - i ( 入口，一a ) 一1 u o + ( 入口j a ) 一1 ( c ，) ( a ) 通过拉普拉斯反变换，容易得到( 2 9 ) ，证完 注2 2 1方程( 2 9 ) 说明公式( 2 2 ) 并不适合作为方程( 2 j ) 的m i l d 解由 于它不满足莱布尼茨乘积法则对于c a p u t o 分数价导数来说 一1 1 几类分数阶微分方程解的存在性 定理2 2 2 设a 是( m ，0 ，p ) 型扇形算子如果，满足一致h s l d e r 条件 p ( 0 ，1 】，那么柯西型问题( 2 f ) 的解是如下算子方程的不动点： 皿t 正( t ) = s o ( t ) u o + f ： t o ( t s ) ，( s ，u ( s ) ) + q ( 8 一丁) 9 ( 7 ，u ( t ) ) d r d s ，t 0 ，t l 】 s 0 ( 亡一亡1 ) ( u f ) + ( 心( 亡f ) ) ) + j z 已( 亡一s ) 【，( s ，u ( s ) ) + 片口( s 一7 - ) 夕( 7 ，乱( 丁) ) 打】如，t ( t l ，t 2 】 ； ( t t m ) ( u ( 亡二) + k ( u ( 亡二) ) ) + 疋已( 亡一s ) 厂( s ，乱( s ) ) + 片口( s 一1 ) 夕( 丁，u ( r ) ) d t d s ，t ( t 仇，刁 ( 2 1 0 ) 从( 2 9 ) 容易得到定理2 2 2 成立证明略去 考虑下面的函数集合： p c ( j ，x ) = z ：i _ x ：z c ( ( t k ，t k + 1 ，x ) ，k = 0 ，1 ，m ，存在z ( 坛) 和z ( 亡者) ，k = 1 ，2 ，mz ( ) = z ( “) ) 定义范数i l x l l j , c = s u p t ji i x ( t ) l l ，( p c ( i ，x ) ，i | i i ) 是一 个巴拿赫空间 从定理2 2 2 ，我们能够得到脉冲型分数阶微分方程2 1 的m i l d 解的定义如下： 定义2 2 1函数u ：i _ x 叫脉冲型分数阶微分方程幺j 的m i l d 解，如果 牡p c ( i ，x ) 并且满足如下方程： & ( 亡) 咖+ s 2t o ( t 一8 ) 【，( s ，u ( s ) ) + f 2q ( 8 7 - ) 9 ( 7 _ ，u ( ，- ) ) d t d s ，t o ，t 1 】 瓯( t t 1 ) ( u ( t f ) + 厶( u f ) ) ) + 死( 亡一s ) f ，( s ，( s ) ) + 片口( s 一7 ) 9 ( r ，u ( t ) ) d v l d s ，t ( t l ，t 2 】 s o c t 一亡m ) ( 让( 亡二) + k ( 牡( t 二) ) ) + 疋冗( 亡一s ) ，( s ，缸( s ) ) + 片口( s r ) 9 ( 7 - ，u ( t ) ) d ，7 l d s ，t ( ，卅 ( 2 1 1 ) 2 3 i i t q ( t ) l i 和l i s o ( t ) l l ( 0 o l 0 以至& 垡( 弘+ 石1 + 岛) ) 沿着路径c ，我们确定了预解式( 舻一a ) ，因此& 表示是有意义的设c l 是c 上 从瓦到旎的部分，c 2 1 和c 2 2 分别是从o o 到瓦和从旎到o o 的部分 和 这里旎和瓦是p + 万1 + 岛和岛边界的交点，记& ( t ) = 厶( t ) + 厶( 亡) ， 邢) = 去p 卜1 ( a a i - a ) a 踯) = 熹上扩1 ( a a i - - a ) 入 当a c 1 时，我们容易得到以下不等式： ( p + 石1 ) s i n o 0 l 入口一p i i 旎is i n= i 瓦is i n f o ra c 2 = c 2 1u c 2 2 由于对称性，可得： ) 1 1 丝7 1 小叫隅m i 高上：e 州堋旷1 m i 磊彳而f i s i n l 2 。e r 鼻( t a i a i a 一1i d a i p 吼 川x l a 一工i d l i 一 7 r ( 1 + 肛】 2 。 r ”“i 鬲i 芸三o o e l 打咖孚t ，o - - 1 打 一 h “弋产肿 一7 r ( 1 + p 护) s i n 口s i n 咖j o ：j _ 尝黑, o o e , - t t i 咖譬i r l 打 丌( 1 + p o ) s i n p s i n 咖j o ” = 丽m ，0 p t c o s s i n o s i nj o s e 一8 如 = 一 口一口”，f o 7 r ( 1 + n ) i 。 r ( a ) m ：= ：- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 一 7 r ( 1 + p t n ) ic o s 譬l q s i n o s i n 也就是： 川而丽裂面 ( 2 1 5 ) 在上面的内容中， 求c o s 譬 0 或者譬( 考，7 r ) 因此，由( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 可得到 ( 2 1 2 ) 下面来证明( i i ) 证明方法类似于( i ) 在这种情况下，取的路径c 是(