（概率论与数理统计专业论文）control+charts+for+monitoring+linear+profiles.pdf

南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明:所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中己经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、己公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名: 旅 诚 年 t a 2 7 日 摘 要 本文主要 提出 两 个基于变点模型的控制图 分别用来监控参数已 知和参数未知的 线性模型。 同时， 我们还 研究了由 k im e t a l . ( 2 0 0 3 ) 提出 来的 三个e w m a 联 合的控制 图的参数估计问题。 首先， 我们提出一个基于变点模型的控制图， 用来监测参数已 知的线性模型。 此控制图基于广义似然比统计量， 可以同时监测斜率、 截距和标准 差的漂移。 模拟结果显示， 不管漂移多大， 我们提出来的方法都具有很好的表现。 其 次， 在进行过程控制的前期， 线性模型的参数通常是未知的， 一般是需要通过历史可 控数 据来 估计 他们 的 . 所以 ， 我 们 研究了 由 k im e t a l ( 2 0 0 3 ) 提出 来的 三 个 e w m a 联 合的控制图 在各种实际 情况下的参数估计对其表现的影响。 最后， 我们提出 一个基 于变点模型的控制图， 用来监测参数未知的线性模型。 这个模拟结果显示我们提出 来的方法表现很好， 而且适用于前期过程控制。 关键词: 线性模型; 变点模型: a r l : e wm a ; 积分方程; 广义似然比统计量. abs t r a c t i n t h i s p a p e r , c o n t r o l c h a r t s b a s e d o n t h e c h a n g e - p o i n t m o d e l f o r m o u i t o r - i n g l i n e a r p r o fi l e s a r e p r o p o s e d w i t h k n o w n a n d u n k n o w n p a r a m e t e r s , r e s p e c t i v e l y . me a n w h i l e , . r u n - l e n g t h p e r f o r m a n c e o f t h e c o n t r o l c h a r t , t h e c o m b i n a t i o n o f t h r e e e wm a c h a r t s p r o p o s e d 妙k i m e t a l . ( 2 0 0 3 ) , w i t h e s t i m a t e d p a r a m e t e r s i s s t u d i e d . f i r s t 玩a c o n t r o l c h a r t b a s e d o n t h e s e q u e n t i a l c h a n g e - p o i n t d e t e c t i o n m o d e l i s p r o- p o s e d f o r m o n i t o r i n g t h e l i n e a r p r o fi l e s . t h i s c h a r t b a s e d o n g e n e r a l i z e d l i k e l i h o o d r a t i o s t a t i s t i c s c a n d e t e c t a 曲讥i n e i t h e r t h e i n t e r c e p t o r t h e s l o p e o r t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n b y a s i n g l e c h a rt t h a t i s d i ff e r e n t fr o m t h e o t h e r c o n t r o l c h a r t s f o r l i n e a r p r o fi l e s . t h e s i m u l a t i o n r e s u l t s s h o w t h a t o u r a p p r o a c h h a s g o o d p e r f o r m a n c e a c r o s s t h e r a n g e o f p o s s i b l e s h i f t s . s e c o n d l y , w e s t u d y t h e r u n l e n g t h p e r f o r m a n c e o f t h e s e t h r e e e wma c h a r t s w i t h e s t i m a t e d p a r a m e t e r s . t h e e ff e c t o f e s t i m a t i o n o n t h e p e r f o r m a n c e i s d i s c u s s e d i n a v a r i e t y o f p r a c t i c a l s i t u a t i o n . f i n a ll y , a c o n t r o l c h a r t b a s e d o n t h e c h a n g e - p o i n t m o d e l i s p r o p o s e d f o r m o n i t o r i n g l i n e a r p r o fi l e s o f w h i c h t h e p a r a m e t e r s a r e u n k n o w n b u t m a y b e e s t i m a t e d fr o m h i s t o r i c a l s a m p l e s . t h e s i m u l a t i o n r e s u l t s s h o w t h a t o u r a p p r o a c h p e r f o r m s w e l l a c r o s s a r a n g e o f p o s s i b l e s h i f t s a n d i t c a n b e u s e d d u r i n g t h e s t a r t - u p s t a g e s o f t h e p r o c e s s . ke y wo r d s l i n e a r p r o fi l e s ; c h a n g e - p o i n t m o d e l ; a r l ; e wma ; i n t e g r a l e q u a t i o n ; ge n e r a l i z e d l i k e l i h o o d r a t i o s t a t i s t i c s . 鱿 1 i n t r o d u c t i o n s t a t i s t i c a l p r o c e s s c o n t r o l ( s p c ) h a s b e e n w i d e l y u s e d t o m o n i t o r v a r i o u s i n - d u s t r i a l p r o c e s s e s . mo s t o f r e s e a r c h i n s p c f o c u s e s o n t h e c h a rt i n g t e c h n i q u e s i n m o s t s p c a p p l i c a t i o n s , i t i s a s s u m e d t h a t t h e q u a l i t y o f a p r o c e s s c a n b e a d - e q u a t e ly r e p r e s e n t e d勿 t h e d i s t r i b u t i o n o f a q u a l i t y c h a r a c t e r i s t i c . h o w e v e r , i n s o m e s i t u a t i o n s , t h e q u a li t y o f a p r o c e s s i s b e t t e r c h a r a c t e r i z e d a n d s u m m a r i z e d 勿 a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e r e s p o n s e v a r i a b l e a n d o n e o r m o r e e x p l a n a t o ry v a r i a b l e s i n p a r t i c u l a r , m o s t o f s t u d i e s f o c u s o n t h e s i m p l e l i n e a r r e g r e s s i o n p r o fi l e s . m e s t e k e t a l . ( 1 9 9 4 ) , s t o v e r a n d b r il l ( 1 9 9 8 ) , l a w l e s s e t a l . ( 1 9 9 9 ) a n d k a n g a n d a l b i n ( 2 0 0 0 ) p r e s e n t e d s o m e p r a c t i c a l a p p li c a t io n s i n i n d u s t r i a l e n g i n e e r i n g . i n r e c e n t y e a r s , s o m e mo n i t o r i n g m e t h o d s f o r t h e l i n e a r p r o fi l e s h a v e b e e n p r o p o s e d i n t h e l i t e r a t u r e . k a n g a n d a l b in ( 2 0 0 0 ) p r o p o s e d t w o c o n t r o l c h a r ts f o r p h a s e i i m o n i t o r in g o f li n e a r p r o fi l e s . o n e is m u l t i v a r i a t e 尸 c h a r t a n d t h e o t h e r is t h e c o m b i n a t io n o f e x p o n e n t i a l w e i g h t e d m o v in g a v e r a g e ( e wm a ) c h a r t a n d r c h a r t . i n k i m e t a l . ( 2 0 0 3 ) , t h e m e t h o d b a s e d o n c o m b i n a t i o n o f t h r e e e wma c h a r t s w a s p r o p o s e d f o r d e t e c t i n g a s h i f t i n t h e i n t e r c e p t , s l o p e a n d s t a n d a r d d e v i a t i o n s i m u l t a n e o u s l y . m a h m o u d e t a l . ( 2 0 0 5 ) p r o p o s e d a c h a n g e - p o i n t m e t h o d b a s e d o n l i k e l i h o o d r a t i o s t a t i s t i c s t o d e t e c t s u s t a i n e d c h a n g e s i n a l i n e a r p r o fi l e o f p h a s e i . t h e y c o n c l u d e d t h a t t o p r o t e c t a g a i n s t b o t h k i n d o f c h a n g e s , s u s t a i n e d a n d r a n d o m l y o c c u r r i n g u n s u s t a i n e d s h i f t s , o n e c o u l d e m p l o y t h e c h a n g e - p o i n t m e t h o d i n c o n j u n c t i o n w it h t h e m e t h o d s p r o p o s e d 妙m a h m o u d a n d w o o d a l l ( 2 0 0 4 ) . a s w e k n o w , w h e n t h e p a r a m e t e r s o f t h e p r o c e s s a r e s u s p e c t e d t o o c c u r a s t e p s h i f t , t h e d e t e c t i n g p r o b l e m s a r e s i m i l a r t o t h e s e q u e n t i a l c h a n g e - p o i n t d e t e c t i o n . t h e c l a s s i c a l m o d e l i s t h e m e a n c h a n g e - p o i n t m o d e l w h i c h i s g i v e n勿 n( h o , n( i n , ， f o r i ， for i 1 , 2 ， “ 下十1 , 1 几 ( 1 . 1 ) 、，卫.少、，尹 22 jj 了.，、. 一一 凡 w h e r e r i s c a ll e d t h e c h a n g e- p o i n t , b a s e d u p o n t h e c h a n g e - p o i n t m o d e l , h a w k i n s , q i u a n d k a n g ( 2 0 0 3 ) , h a w k i n s a n d z a m b a ( 2 0 0 5 a ) p r o p o s e d t w o c o n t r o l c h a rt s f o r d e t e c t i n g t h e s h i f t s i n m e a n a n d v a r i a n c e r e s p e c t i v e l y w h e n t h e p a r a m e t e r s o f t h e p r o c e s s w e r e u n k n o w n . h a w k in s a n d z a m b a ( 2 0 0 5 b ) p r o p o s e d a n a t t r a c t i v e a l t e r n a t i v e t o t h e t r a d i t i o n a l c h a r t in g m e t h o d w h i c h w a s a s i n g l e c h a r t u s i n g t h e u n k n o w n - p a r a m e t e r li k e l i h o o d r a t i o t e s t f o r a c h a n g e i n m e a n a n d / o r v a r i a n c e . t h e y s h o w e d t h a t t h i s c h a n g e - p o i n t f o r m u l a t i o n w a s n o t o n l y a b l e t o h a v e t h e d e s i r e d r u n - l e n g t h b e h a v i o r b u t a l s o c o m p e t i t i v e w i t h t h e b e s t o f t r a d i t i o n a l f o r m u l a t i o n s f o r d e t e c t i n g s t e p c h a n g e s i n p a r a m e t e r s . t h e i r m e t h o d i s t h e m o t i v a t i o n o f o u r p a p e r . s i n c e t h e r e a r e t h r e e p a r a m e t e r s n e e d e d c o n t r o l l i n g s i m u l t a n e o u s l y , w e e x p e c t t h i s s i n g l e c h a r t m e t h o d w i ll b e m o r e e ff e c t i v e f o r t h e li n e a r p r o f il e s . i n t h e li t e r a t u r e , s o m e a u t h o r s h a v e s t u d i e d t h e c h a n g e - p o i n t p r o b l e m a s s o c i - a t e d w it h r e g r e s s i o n m o d e l , s u c h a s q u a n d t ( 1 9 5 8 ) , h o l b e r t ( 1 9 8 2 ) , h a w k i n s ( 1 9 8 9 ) , k i m ( 1 9 9 4 ) , c h e n ( 1 9 9 8 ) , k i m a n d s i e g m u n d ( 1 9 8 9 ) a n d k i m ( 1 9 9 4 ) , e t c . n o t e t h a t t h e s a m p l e s i z e s a r e f ix e d i n t h o s e p a p e r s m e n t i o n e d a b o v e , w h i c h a r e n o t a p p r o- p r i a t e f o r p h a s e i i c o n t r o l . a l t h o u g h ma h m o u d e t a l . ( 2 0 0 5 ) f o c u s e d o n t h e p h a s e i a n a l y s i s , t h e y a ls o i n d i c a t e d t h a t t h e i r m e t h o d c o u ld b e g e n e r a l i z e d t o p h a s e i i s e t t i n g s i n t h e c o n c l u s i o n . i n t h i s p a p e r , c o n t r o l c h a r t s b a s e d o n t h e c h a n g e - p o i n t m o d e l f o r m o n i t o r - i n g li n e a r p r o fi l e s a r e p r o p o s e d w i t h k n o w n a n d u n k n o w n p a r a m e t e r s , r e s p e c t i v e l y . me a n w h i l e , r u n - l e n g t h p e r f o r m a n c e o f t h e c o n t r o l c h a r t , t h e c o m b i n a t i o n o f t h r e e e wm a c h a r t s p r o p o s e d 勿k i m e t a l . ( 2 0 0 3 ) , w i t h e s t i m a t e d p a r a m e t e r s i s s t u d i e d . 任 2 c o n t r o l c h a r t s f o r mo n i t o r i n g l i n e a r p r o fi l e s w i t h kn o w n pa r a me t e r s 经 2 . 1 i n t r o d u c t i o n i n t h i s s e c t i o n , t h e m o d e l o f l i n e a r p r o fi l e s , a b r i e f d e s c r i p t i o n o f t h e c o m b i n a t i o n o f t h r e e e wm a c o n t r o l c h a r t s p r o p o s e d 场k i m e t a l . ( 2 0 0 3 ) a n d t h e p a r a m e t e r e s t i m a t i o n a r e g i v e n . a s s u m e t h e j t h r a n d o m s a m p le c o l le c t e d o v e r t i m e is ( 二 , y ij ) , i =1 , 2 , ， 。 wh e n t h e p r o c e s s i s i c , t h e r e l a t i o n s h 币b e t w e e n t h e r e s p o n s e a n d e x p l a n a t o ry v a r i a b l e s i s a s s u me d t o b e p i j =a e +a j x j +a e ,j , i =1 , 2 , ， n ,( 2 . 1 ) w h e r e t h e e ;1 a r e i n d e p e n d e n t i d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e d ( i . i . d ) a s a s t a n d a r d n o r m a l r a n d o m v a ri a b l e a n d t h e e x p l a n a t o ry v a r i a b l e x i s a s s u m e d t o b e fi x e d a t ”v a l u e s . i n t h i s s e c t i o n , w e c o n s i d e r t h e p h a s e i i c a s e i n w h i c h t h e i n - c o n t r o l v a l u e s o f t h e p a r a m e t e r s a o , a , a n d o 2 a r e a s s u m e d t o b e k n o w n . i n k i m e t a l . ( 2 0 0 3 ) , u s i n g t h e c o d e d e x p l a n a t o r y v a l u e s , t h e y o b t a i n e d t h e f o ll o w i n g a l t e r n a t i v e f o r m o f t h e u n d e r l y i n g i c m o d e l y ij =b o +b 1 对十o e i j , i =1 , 2 , - - - , n , w h e r e b o t h e l e a s t =彻+a l x , b 1 =a l , 对=( x i 一 z ) a n d x 一 i 馨 x i. f o r th e j thn i- 1 ( 2 . 2 ) s a mp l e , s q u a r e e s t i m a t o r s f o r b o , 场 a n d v 2 a r e 、 一 plj, bij 一 瞥， m s e j - ”一2艺( 、 一 b l j 一 6 .j ) 2 , w h e re yj 一 格y ij , 一 (x i 一 x ) 2 a n d 。 一 e (x ii= 1一 1 ) y j . n o t e t h a t th e s e t h r e e e s t i m a t o r s a r e i n d e p e n d e n t . t h u s , t h e y p r o p o s e d t o u s e t h r e e e wma c h a r t s t o d e t e c t i f t h e y - i n t e r c e p t ( b o ) , s l o p e ( b 1 ) a n d s t a n d a r d d e v i a t i o n ( ， ) h a d c h a n g e d , r e s p e c t i v e l y . t h e y a r e , c a l l e d k mw c o n t r o l c h a r t s , .i n t e r c e p t : 、 一 ” (黯 ， + “ 一 “ ，“ 一 to 一 l c l , =- h l , u c l , =h i , h ,一 : i 岛(2 .3 ) .s l o p e : s s 一 。 ( 6 1j - b 1( r ) + (1 - a/ v口“ o a- 1 s o =。 ， l c l s =- h s , u c l s =、 ， ， 一 : 橇 , ( 2 . 4 ) .s t a n d a r d n j =m a x ( 9ms e ; 一 6 2 / v a r ( ms 凡) +( 1 一 9 ) n ; - t , 0 ) , n o 二。 ， ， - . - 一 、2 0 4 _ _ _ _ v a r ( m 5 灼 ) =n - 2- 2 , u u l n = h n , h n 一 。 活(2.5) w h e r e 0 i s a s m o o t h i n g c o n s t a n t a n d ”i s t h e s t a r t i n g v a l u e . i n p r a c t i c e , u i s o f t e n a t a r g e t v a l u e f o r i c p a r a m e t e r s . wh e n。0 , t h e y a r e c a l l e d f i r c o n t r o l c h a r t s . i n t h i s s e c t i o n , “ i s s e t t o 0 f o r a ll p e r f o r m a n c e c o m p a r i s o n s . t h e t h r e e e wma c h a r t s a r e u s e d j o i n t ly . a s l o n g a s o n e o f t h e t h r e e e wm a c h a r t s s i g n a l s , a n o u t o f c o n t r o l s i g n a l w i l l b e g i v e n . t h e i r a r l c o m p a r i s o n s s h o w t h a t t h e t h r e e e wma c h a r t s a r e m o r e e ff e c t i v e t h a n t h e m e t h o d s o f k a n g a n d a l b i n ( 2 0 0 0 ) i n t e r m s o f a v e r a g e r u n l e n g t h ( a r l ) i n p h a s e i i f o r d e t e c t i n g s u s t a i n e d s h if t s i n e i t h e r y - i n t e r c e p t o r s l o p e o r i n c r e a s e s i n t h e e r r o r v a r i a n c e . e s p e c i a ll y , t h e t h r e e e wma c h a r t s a r e m o r e e ff e c t i v e i n d e t e c t i n g s h i f t s i n t h e s l o p e o f t h e li n e w h e n t h e a v e r a g e y - v a l u e d o e s n o t c h a n g e , t h a t is t o s a y , t h e s h i f t s i n p a r a m e t e r b 1 o f e q u a t i o n ( 2 .2 ) . m o r e o v e r , t h e i r m e t h o d s e e m s m u c h m o r e i n t e r p r e t a b l e . 经 2 . 2 t h e c h a n g e - p o i n t mo d e l f o r l i n e a r p r o fi l e s c o n s i d e r i n g t h e f o ll o w i n g m o d e l : pk j 橱 十a 1 j x i 十a j e ij , i = 1 , 2 ， 一， 。 ， j =1 , 2 , b a s e d o n t h e a b o v e m o d e l , w e c o n s i d e r a s u s t a i n e d c h a n g e m o d e l f o r t h e b e h a v i o r o f a l i n e a r p r o fi l e s p a r a m e t e r s . t h e m o d e l a s s u m e s t h a t t h e p r o c e s s i s i n i t i a l l y i c w i t h t h e k n o w n 戍， a 1 a n d o 2 . a f t e r o b s e r v i n g k s a m p l e s , t h e n u l l h y p o t h e s i s w h i c h w e a r e i n t e r e s t e d i n is t h a t t h e p r o c e s s is i n - c o n t r o l . t h u s , a o j =a a , a i j =a 1 a n d o f =o f o r a l l j . t h e a l t e rn a t i v e h y p o t h e s is is t h a t t h e p r o c e s s i s i n i t i a ll y i n - c o n t r o l , b u t a f t e r s o m e u n k n o w n c h a n g e - p o i n t 袱 二 - 0 ) , a s t e p s h i f t i n t h e i n t e r c e p t a n d / o r s l o p e a n d / o r s t a n d a r d d e v i a t i o n o c c u r s , i .e . t h e a s j , a 1 j a n d o f for j =1 , 2 , ， 二 a r e a q , a i a n d a a n d t h e l a s t k一二s a mp l e s h a v e t h e s a m e i n t e r cep t , s l o p e a n d s t a n d a r d d e v i a t i o n , s a y i n g 戍， 哟 a n d o w h i c h a r e u n k n o w n p a r a m e t e r s . a f t e r k s a m p l e s h a v e b e e n c o ll e c t e d , t h e l o g a r i t h m o f l i k e l i h o o d f u n c t i o n f o r t h e m i s g i v e n 勿 ; kr n l i ln(2,aj2)j=1 i=1 ( y ij 一 a o j 一 a 1 j -t i ) 2 弓 i f t h e d a t a i s c o l l e c t e d ma ximu m v a l u e o f t h e u n d e r , i n - c o n t r o l c o n d i t i o n s , s a y i n g u n d e r n u l l h y p o t h e s i s , t h e l o g a r i t h m o f li k e l i h o o d f u n c t i o n i s l a = ; 女 亡ln (2 ro 2 ) + (3/ii - a o - a 12 i i)2i 7 胃 二丁t a - d e n o t e y , 二去 e艺 lj ij , 殉( m ) = 介” 艺 e( x 一 2 ) y ij . a s s u m i n g c h a n g e - j =k -. +lj =k - , +l i =1 p o i n t o c c u r s a f t e r t , t h e c o r r e s p o n d i n g m a x i m u m v a l u e o f t h e l o g a r i t h m o f li k e l i h o o d 卜 ， ， + 艺间 1 1 = ; ( v i j 一 a 。 一 a l x i ) 2 汀 2 艺间恤 ( k 一t l n ( 2 雌 - t)n ) - w h e r e 礁 =1a ,tkee ( y ij凡 、一 几 (a ,t)x i )2 ,几 1、 s s v (e+.)( ) - a s = =沟( _ ) = j =k - , +l i =1 嘛 一a1(-)2. t h e g e n e r a l i z e d l i k e l i h o o d r a t i o s t a t i s t i c i s d e fi n e d 妙 l r ( t n , k n ) =- 2 ( l 。 一1 1 ) 。 r i月a_、 2 飞，异 卫 .， x- r 1 1 9 i l一 -0 一 1 yi l i， ， _， 、i . ， 0 i k -t ) n, 。 ， =7 . ) . i , i一 、 一 l ) r t i l l l k -一 n十 11 . 一_份呼 1口“i l口.j j =t +1 t =l “ 互 2 . 3 ou r p r o p o s e d c o n t r o l c h a r t a n d i t s de s i g n d e fi n e lr _,。 一 m a x lr ( t n , k n ) . u s in g t h e m e t h o d o lo g y p r e s e n t e do tc , a n o u t - o f - c o n t r o l s i g n a l i s g i v e n , w h e r e c i s c h o s e n t o o b t a i n t h e g i v e n s p e c i fi e d i c a r l . h o w e v e r , i f l r _ ,k c , t h e m o n i t o r i n g c o n t i n u e s a n d t h e ( k +1 ) s t f u t u r e s a m p le w i l l b e o b t a i n e d . t h e p r o c e d u r e w i l l b e r e p e a t e d . i n o r d e r t o g i v e a f a s t e r d e t e c t i o n o f t h e s h i f t , s o m e m o d i fi c a t i o n s a r e c o n s i d e r e d . f i r s t l y , f o r g i v e n n , u n l i k e t h e g l r s t a t i s t i c o f s i e g m u n d a n d v e n k a t r a m a n ( 1 9 9 5 ) a n d t h e t w o- s a m p le s t a t i s t i c s 乃 。u s e d i n h a w k i n s e t a l . ( 2 0 0 3 ) , t h e e x - p e c t a t i o n o f l r ( t n , k n ) d e p e n d s o n t h e v a l u e o f t . s u l li v a n a n d w o o d a ll ( 1 9 9 6 ) i n d i c a t e d t h a t t h e c o n t r o l c h a r t w o u l d b e l e s s e f f i c i e n t , b e c a u s e t h e e x p e c t a t i o n o f t h e li k e l i h o o d r a t i o s t a t i s t ic s w a s n o t e q u a l . h a w k in s a n d z a m b a ( 2 0 0 5 b ) u s e d t h e b a r t l e t t - c o r r e c t e d t e s t s t a t i s t i c s t o r e p l a c e t h e s t a n d a r d g l r s t a t i s t i c s . t h i s c o r - r e c t i o n w a s t o m a k e t h e e x p e c t a t i o n o f t h e g l r e q u a l t o t h e d e g r e e s o f f r e e d o m . i n m a h m o u d e t a l . ( 2 0 0 5 ) , t h e a u t h o r s u s e d t h e s t a n d a r d e x p a n s i o n o f t h e e x p e c t a t i o n ( s e e k e n d a ll a n d s t u a r t ( 1 9 7 7 , p . 2 5 1 ) ) t o o b t a i n t h e n o r m a l i z