（概率论与数理统计专业论文）erlang2过程的风险分析与美式看跌期权.pdf

复旦大学硕士毕业论文 中文摘要 在古典风险理论模型中涉及到的索赔风险是服从复合p o i s s i o n 过程的，与之不同，在我 们的风险模型中，将索赔风险考虑为e r l a n g ( 2 ) 风险过程。e r l a n g ( 2 ) 分布往往见诸于控制 理论中，在这里，它作为索赔发生间隔时间的分布被引入了。 本文中，我们介绍一个与破产时刻、破产前时刻的盈余以及破产时刻赤字有关的辅助函 数( 一) ，此函数所涉及的这三个变量对风险模型的研究都是最基本也是最重要的。w i l l m o t a n dl i n ( 1 9 9 9 ) 曾在古典连续时间风险模型之中研讨过这一函数。受g e r b e ra n ds h i u ( 1 9 9 7 ) 及w i l l m o ta n dl i n ( 2 0 0 0 ) 在古典模型下研究过程的启发，本文所迈出的重要一步就是找到破 产前时刻的盈余以及破产时刻赤字的联合分布密度函数。更得益于g e r b e ra n dl a n d r y ( 1 9 9 8 ) 及g e r b e ra n ds h i u ( 1 9 9 9 ) 的思想，我们应用以上的结果去寻求基础资产服从一定风险资产 价格过程的美式看跌期权最优交易策略。 关键词：e r l a n g ( 2 ) 过程，古典风险模型，破产时刻，美式看跌期权 复旦大学硕士毕业论文 a h s t r a c t 2 i nt h i s p a p e r ，w ec o n s i d e ra na u x i l i a r yf i m c t i o n 曲( ) w h i c hi n v o l v e st h et i m eo fr u i n ，t h e s u r p l u si m m e d i a t e l yb e f o r er u i n ，a n dt h ed e f i c i ta tt h et i m e o fr u i nf o re r l a n g ( 2 ) r i s kp r o c e s st h i s a u x i l i a r yf u n c t i o nh a s b e e ns t u d i e db yw i l l m o ta n d l i n ( 1 9 9 9 ) i nt h ec l a s s i c a lc o n t i n u o u st i m e r i s k m o d e l m o t i v a t e db yt h ee x p o s i t i o ni ng e r b e ra n dl a n d r y ( 1 9 9 8 ) a n dg e r b e ra n ds h i u ( 1 9 9 9 ) ，w e s h o u l df i n dt h ei n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o no fc ：6 ( ) a n dt h ee x p r e s s i o no f 庐( o ) b u to u ra p p r o a c hi s r a t h e rd i f f e r e n tf r o mg e r b e ra n ds h i u ( 1 9 9 9 ) b e c a u s eo ft h ed i s t i n c tr 驻o d e l t h e nw es h a l l f i n dt h e j o i n td i s t r i b u t i o nd e n s i t yf u n c t i o no fu ( t 一) a n dl u ( t ) 1w h i c h i sc o n v e n i e n tt og e tt h ee x p r e s s i o n o f ( ) a sa na p p l i c a t i o n ，w ew i l ld e t e r m i n et h eo p t i m a le x e r c i s ep r i c ef o rap e r p e t u a lp u to p t i o n k e y m o r d s ：e r l a n g ( 2 ) ；t i m eo fr u i n ；i n t e r g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；r i s kp r o c e s s ；o p t i m a l e x e r c i s ep r i c e ；p e r p e t u a lp u to p t i o n 复旦太学硕士毕业论文 荸l 言 4 在本文中，我嬲将考虑一个索赡阕隧辩闻肢扶e r l a n g ( 2 ) 分帮毂风险过程。定义一列猿 立同分布的随机变量 丑 罂。，它们共同的密度赫数服从e r l a n g ( 2 ) 分布 是( ) = 声2 t - e x p 一声i t e 这一列隧枧变量就代表了索赔发生间隔时间。其中芦称作e r l a n g ( 2 ) 参数。因为古典风险 摸型的索赔发生间隔时间是服从指数分布的，所以上面的假设正是e r l a n g ( 2 ) 飘险模型与 吉典风除模型慧易的根本蜃在。也困这个差异，导致对鼹喾采用了不同的谤突方法。 另引入一列独立同分布的随机变量 五) 墨，其中x ；代表了第i 个索赔发生之时的索 戆大小。以p ( z ) 佟为骧橇变量x ；缒分布函数，圈对娱设p 睁) 是可微黪，两以p ( ) 作为 个体索赔额的概率密度函数，以m k 作为五的次矩嚣( 霹) 。 考淼一家保沧公司，劳以u ( t ) 表示滚公霹凌对爨0 露藏戆盈余。记u ( o ) = 珏为 初始盈余，则盈余过程 u ) 瞳。可以表示为： f # ) u ( 亡) = u + 耐一五， t 20 ，( 1 ) z = 1 矮中：e 是一常数，它表示单位时阕蠢收到的缳费，蔼鼹e - 莒蹶) 嚣( 萎) 这个条 孚对任 意的i 都满足，即2 c 卢 m l ，这一假设保证了此过程的非平凡性；计数过程 n ( t ) h o 表 示至t 时麴为止索赔发生的个数。 由上面的盈余过程，可以派生出另两个过程 ) 器。与 昵) 是。，其中u o 和等同 于同一个初始值“，玩表示当第札个索赔发生之时的盈余值，而眨涮表示黎札个索赔 发生前一时刻之藏余蝗。于是逸睡个派生过程可以由下暖的方稷式所刻蕊： 以= 札+ ce 矶一三x i ， 扎21 ，2 - nn 玩= 社+ 夏一墨， 锋= e ，1 ，2 i = il = l u o = = u 显而易见， ( 以，) 墨。是个马氏过程。 r = ( 到纛兰 。 ，fltll，、jiiill 量旦盔堂塑主生些堡塞 5 它表示破产发生的时刻；令砂( u ) = p ( t o o b u ( o ) = u ) ，它表示破产发生的概率。与 破产时刻相关联的有两个非负随机变量，一个是破产前盈余值u ( t ) ，另一个就是破产时 刻的赤字。细节的描述请参见1 3 r o w e r se ta 1 ( 1 9 9 7 ，c h i 3 ) 或者d ev y l d e r ( 1 9 9 6 ，p a r ti ，c h 7 1 。 有以上的准备，我们引入一个惩罚函数烈n ) ，它的表达式联系着一个非负函数u ( 。：，现) ，0 z 】，茁2 。，具体形式如下： 似) = 曰 e 卅丁u ( 矿( 丁一) ，f 矿( 丁) f ) 1 r c 。) l u ( 0 ) = 】 其中参数6 0 ， 1 是指示函数。在古典风险模型的假设之下，w i l l m o ta n dl i n ( 1 9 9 9 ) 与w i l l m o ta n dl i n ( 2 0 0 0 ) 曾研究过此函数。当u ( - ，) 三1 之时，d i c k s o na n dh i p p ( 2 0 0 1 ) 曾在e r l a n g ( 2 ) 风险模型之下研究过它。 对于一般的u ( - ，) ，我们可以得到曲( “) 所满足的一个积分微分方程。然后，通过它找 到( “) 的l a p l a c e 变换形式。接下来，就可以得到( o ) 的一般表达形式。下一步，对几 个特殊的但与后面的应用息息相关的“( ) 形式，将之带入曲( o ) 之中获得几个特殊的表达 式。至此， u ( t 一) 与l u ( t ) i 的联合分布密度函数的获取已近在咫尺了，这也是我们在本 文中预期的一个重要结果。 文章的第二个部分主要的结果是：通过假设美式看跌期权基础资产价格的对数服从上 述的盈余过程，我们将第一部分所获得的一些显著结论来用于求取期权最优交易策略的边 界交割价格。 复旦大学硕士毕业论文 l ( 珏) 积分微分方程 这一节，我们将推导出l j ) ( u ) 所满足的积分微分方程。由于与古典风险模型在索赔间隔 时间分布之上的显著差别，导致在古典风险模型中典型的推导过程在e r l a n g ( 2 ) 风险模型 中已然失效，因此，一个全然不同的推导方法必然介入其中。 定理2 1 咖的积分微分方程式可以表达为 c 2 ”( u ) 一2 ( 卢+ 占) c 咖( 让) + ( 卢+ 占) 2 曲( u ) 6 ：卢。“( 。一 )+pz。u(u,x-u)dp(x)dp(xu ) d p ( x ) ( 2 ) = 卢2 ( u 一) + p 2 u ( 2 ) 证明：考虑第一次索赔发生的时刻丑与索赔额x 1 这两个随机变量。倘若索赔的大小x = 。 不超过u + c 正，则丑 t ；否则，n 正是破产时刻t ，即索赔额z 已逾越“+ c 丑这 一界限了。于是 卅) ：序( 毗一丑_ | 饥卅+ 西叫叫圳丑 + ：。蜗) e - 衄n 出+ 皿，z 七+ c t l ) ) d p ( z ) d t l 在右侧的两个积分之中，作正到s = u + c 五的变量替换，于是 卅) = f ( 半) e _ 叫譬z 5 m 叫冽州s + ；f ( 了s - - u 矿“书，。u ( 8 , 2 - - 8 ) d p ( 州s 然后，对两边求珏的一阶导数，可得到 c 毋7 ( “) = 寻f “8 - - 。“) e “( 早f 一州尸( 州s + - 1 l 。( 半) e 州半：。u ( 8 ，z - - 8 ) d p ( z ) d s 十卿( u ) ：墨cf 卢2e x p 一半 肌s 刊删d s + 兰z 。卢2e x p c1 1 ,一半 序zjc js s ) d p ( x ) d 8 + ( 卢+ d ) 庐( “) 复旦大学硕士毕业论文 之后再对两边求u 的导数，可得 c 咖弋垆譬肌u 叫d p ( 卅譬卜( u ，x - - u ) d p ( 。) + ( 掣) 【c ( 缸) 一( 卢删咖) + ( 卢删曲7 ( u ) 上面的结果正是定理结论的一个变形。 5 2l a p l a c e 变换与联合分布密度函数 口 对于任意一个函数( ( ) ，其l a p l a c e 变换可以通过以下的式子表达为：( + ( s ) = j f e 1 。 ( z ) d z 。则个体索赔额分布函数p ( z ) 的l a p l a c e 变换可以写作矿( s ) = 铲e “。d p ( x ) 。 7 引理2 1 假设d 是严格正的常数，定义q ( s ) = c 2 8 2 2 ( 卢+ 6 ) c s + ( 卢+ 6 ) 2 ，于是方 程”( 九) ：z ：p + ( 九) ，i = 1 ，2 存在两个正解a 。与扎，且a 1 毕 0 ， q ( s ) 将与卢2 矿( s ) 交于两个不同的点a 与 a 2 ，而且a 1 华 a 2 。 口 定义q ( z ) = 口u ( 嚣，。一x ) d p ( z ) ，则g ( s ) = 蛞”e 一“上尹u ( z ，z x ) d p ( z ) d x 。 定理2 1 根据矿( ) 的定义，扩( s ) 可以如下地写出来： 特别地 妒+ ( s ) 卢2k + ( s ) ( a 2 一a 1 ) + q + ( a 1 ) ( s a 2 ) + q + ( a 22 f 垒! 二12 ( a 2 一a - ) ( 卵( s ) 一卢2 p + ( s ) ) 们，= 唑糌 ( 3 ) 一。一量呈盔堂塑主望些适塞 8 证明：蠢+ s ) 一舻g - 3 x 疹( 。) 如，可褥铲e 一多( z ) 妇一s 8 ( s ) 一( o ) 及铲e - - s 。”。) d z ： 8 2 咖+ ( s ) 一s 咖( o ) 【j j 7 ( 0 ) 。对( 2 ) 式求l a p l a c e 变换 c 2 ( s 2 4 ( s ) 一s ( o ) 一。( o ) ) 一2 ( + d ) 。，( s + ( s ) 一咖( 0 ) ) + ( 廖+ 国z 簪s ( 札) 一零2 多( 8 ) 矿( s ) 4 - 声2 矿( s ) 通过移项与合并可知 曲( s ) 茹 h ! 垦i ! i ：! 窑塑) 一2 ( 芦+ 5 ) tc - 毋( o ) + 声2 矿s ) c 2 8 2 2 ( 3 + 6 ) c s 十( 口+ j ) 2 一萨i + c 2 簪( o ) s + 固) 一2 ( 芦+ 5 ) e 多) 十声2 矿( s ) 国孳i 理2 , 1 箱，a l 与岛麓 4 ) 式分母鹣嚣个零点，嚣霉( 知) = 多警8 ( ；) ，i = 1 ，2 。予 是这两个点也一定是式( 4 ) 分子的两个零点。因此 jc 2 a ，西( o ) + c 2 ( o ) 一2 ( 声+ - c 庐( o ) + 声2 旷( a ，) = 0 lc 2 a 2 毋( o ) 十c 2 7 ( 0 ) 一2 ( 廖+ 妨e - 多( o ) + j 8 2 旷( a 2 ) = 0 通过合并上面的方程组，得到 咖( o ) = ( 芦2 ( 旷( a ，) 一旷( 。) ) ) ( c 2 ( a 。一a 1 ) ) 辫等式c 2 a l 多o ) + e 2 多。( 0 ) 一2 ( 声+ 5 ) 一e 毋( o ) + 霹2 矿( 盖t ) 一0 与蒂( 酶表达式代入式 ( 4 ) 就获得了最终的结果 州牡堂世藉t 8 筹p 掣叩j p 【sj ：受：鲤：燮童二燮筻垒! 渔二塑! ：塑塑! 二必 ( a 2 一a 1 ) - ( q ( s ) 一卢2 p 4 ( 5 ) ) 2 1 几个特殊u ( ，) 函数的曲( o ) 怙值 对于初始擞余v ( o ) = u 0 的盈余过程，令i ( z ，y ， 让) 袭示u ( t 一) 、 v ( ? ) i 与丁 懿联合溪率密炭函数。霹时记，派爹| n ) = 铲e “。，( 茹，y ，t n ) a ；予怒对于6 乏。 妒沁) = p ( t 。i u ( o ) 札) 2 o f o o 上足，( 岔，t l u ) d d 口出 r 。，o 。 复旦大学硕士毕业论文 与 皆成立。 ( “) = z o 。z ”z o 。e 一乳- u ( z ，g ) _ 厂( z ，t “) d z d d t 2 0 五“( 训) m ，。d y 接下来，对于以d - 几个与后面的应用紧卺联系的特殊u ( ，。j 函数，我1 f j4 j 以迥辽【3 ) 甄 对妒( o ) 进行估值。 c a 卜对任意给定的正实数z 与，u c s ，= 。1 萋盖。 5 sq 。 。9 千 f o 。d sfo”，(s，z。)dz=妒(。)=!i!：i；ijij：；：；掣 可以得到 m 川垆幽篾势型= 丝瓷铲 ( 5 ) 记g ( y ) = 铲，( z ，y l o ) d z ，则9 ( ) 咖可以解释为盈余第一次跌至初始盈余u 之下，且 此时的盈余值处于札一y 与u y d y 之间的折现概率；或解释为初始盈余为0 ，破产发 生之时的赤字处于y 与g d y 之间的折现破产概率。 ( b ，：对于任意给定的正实数，u c z ，z ，= 。1 芸盖。 z 。，。 2 茎 令g ( ) ：i 】i ( o ) ：盟羔= 之豸某暑乒_ = 二竺丝，于是 口2 c 2 ( a 2 一a 1 ) ! l 竖竺：兰：二! ：竺2 笸! 翌堕塑 咖 ：i f x z 。0 ( e 一 l ( z 一们一e 一 2 ( 。一) ) d p ( z ) ( 6 ) 复旦大学硕士毕业论文 ( c ) ：令u ( 。，z ) ；1 ，0 z ，。 o 。，于是 e e 一6 7l v ( o ) = 0 】= e e 一6 7 l t 0 。 ( d ) ：令( 霉，z ) = e x p 一z ) ，0 。，z 。，则 西( 。) = 熹- ( z 。( e 一 l 。e 一 2 。) z 。e z 一。d p ( z ) d z ) = ：i i x ( f o c 。e - z d p ( z ) z 。( e ( 1 一 1 ) z e “ 2 ) 。) d z ) 卢2，p + ( a 1 ) 一p + ( 1 )p + ( a 2 ) 一p + ( 1 ) 、 。研i 了盯i 了了f 一一- 了i - j ( 8 ) 1 0 铲 监 一吼警 f f 燮型 群剐、 篡也 溉慨 复旦大学硕士毕业论文 此处的妒1 0 ) 可以被看作当盈余值跌破初始值u 时，也就是当初始盈余为o 时的破产 时刻，惩罚额为e x v u s r ) 的折现值。 5 22 更新方程与联合分布 对0 u 茁，考虑到此保险公司在破产前的盈余值是否会跌破初始盈余，分作两种 情况，其中2 7 是前面所说的破产前时刻的盈余值；对于任意的u 0 ，考虑到在盈余值第 一次跌穿初始盈余的时刻是否就是破产时刻，也分作两种情况。于是有： l ，( 茁，i 乱一z ) g ( z ) d z + f ( x u ，y + u l o ) ，如果0 “ z ，( z ，i u ) = o( 9 ) 1 ，( 。，曹1 u z ) 9 ( z ) d z ，如果0 z 曼e 、0 其中，由( 5 ) 式可得，如一u ，y + u i o ) = 鲤三二型三二刍等兰手劐。上式可换写作 r u ，( 。，v j u ) 2 0 ，扛，y i u 一。) 雪( 。) d z + ，( z u ，挈+ u i o ) 1 “ 。) ( 1 0 ) 为以后讨论的方便，我们再引入一个函数句( ) ，它是下面一个方程式的函数解 ( u ) = t 。留心一z ) g ( z ) d z + ( e 1 1 扣一“) 一e - - a 2 扛一“) 1 t 。) 其中g 是一个取值于实数范围的常数。易觅，当g 亦是一个取值于实数范围的常数对， ，( z ，i “) 与留( u ) 之间就只存在一个常系数的差别了，故 m 矧) = 瓣口( n 由于一个卷积的l a p l a c e 变换是他们各自l a p l a c e 变换的乘积，于是对口( ) 求l a p t a c e 变换可得 z 球) 爿斗( 竿爷) 或写作 m h 专竿一毫竿高， ， 另一方面，对于任意一个常数，我们引入一个函数妒( u ) 如下 妒( u ) = e 【e6 丁+ 。u t i t 。1 i u ( o ) = 札 ， t 工之0 复旦大学硕士毕业论文 可知它是痧( u ) 一个特殊的表达式。 定理32 破产前时刻的盈余u ( t 一) 与破产发生时的赤字u ( t ) 的联合概率密度函数如 下 嘲 ( 堂 铲) 一( 塑等铲) ， 倘若0su z 寐黜 ( 唑车舻) 一( 吐 萨) ， 倘若0 z u 1 2 上式中的妒。( 札) 与妒。( u ) 这两个函数是通过将。分别替换为a - 与a 2 代入妒( “) 中得到 的。 证明：记盈余值第一次跌穿初始盈余u 的时刻为瓦，并根据此时破产发生与否划分作两种 情形讨论，于是 妒( “) = e - 5 t + 。u ( 丁1 t ( o 。】1 n ( 即l 己，( o ) = “ + e 陋一打+ 。u t 1 l = r ) i u ( o ) = u = e 竹e m 叩l 取o 。 忡) _ “，( 墨) = ”一z p ( v ) 托一出i u ( o ) 2 u ) ) + e ( _ 厂o 。e e - * l + a u ( b i u ( o ) = u ，u ( 兀) = u z 】p ( u ( b ) u d z l u ( o ) = u ) ) = e f “e e - s t + a u ( t ) 1 t o o ) l u ( 瓦) = 虬一。 p ( u ( 以) u d z l u ( o ) = u ) ) + e 。oe 一扭e 。( u 一2 ) j p ( u ( 正) u d z l u ( o ) = 札) ) 最后一个等式的成立用到了随机过程 ( 皈，) ) 。o o ：o 的马氏性，这一随机过程如前所述。 根据g ( z ) d z 与只的定义，以下的等式成立 9 ( z ) d z = e 【e 一巩p ( u ( 瓦) u d z l u ( o ) = u ) 】 倘若l 并非破产时刻，则不妨以这一时刻的盈余缸一z 作为新的初始盈余值点。于是 可得 妒( u ) = z “妒( u - z ) 9 ( z ) 蚺f e - e o - , , ) g ( z ) 出 ( 1 2 ) 复旦大学硕士毕业论文 并且上式中若u = 0 ，则妒( o ) = 9 + ( q ) 。对( 1 2 ) 求l a p l a c e 变换有 妒+ ( ) = 妒+ ( f ) 9 + ( ) + z 。e 一“上。oe - a ( z - u ) g ( 。) d 。d u 通过改换上式右侧的积分秩序，则上式的二重积分可以写作 因此 f 。e n z 9 ( = ) f 2e ( 。一) u d u d z ： 0，0 妒+ ( ) = 9 + ( ) 盘 ! ：塑二! ：幽：盟 。一 o 妒( o ) f1 一g + 惩) 且上式司分化为 = 耳1 一错南 故而 妒谢，= 击一省，弘， 于是，我们得到 垆( u ) 2 e “。 1 一( 1 一妒( o ) ) ( 1 + 上8 1 。4 ( g “( 洲 其中，g “( g ) = p ( m + 玩+ k 茎z ) ，而 k ) 墨1 是一列独立同分布的随机变量，其 ( 瑕疵) 分布函数为c ( x ) ，或者说( 瑕疵) 分布密度函数为9 ( z ) 。 基于函数妒( - ) ，为了方便起见，引入一个过渡函数 于是近似于妒l ( “) 与妒2 ( u ) 的定义，我们将。分别替换为a l 与a 2 代入口( 扎) 中就可 得到另外两个函数目- ( u ) 与目z ( u ) 了。对口( ) 作l a p l a c e 变换得 矿( ) = e 一扛一e c t 2 5 o z 一 + e - 和矿( f ) 因此 、 州沪妒飞) e = ( e - f z _ e - c e x ) - ( 击w ) = 等芋蒜 1 3 zu 一 让 o o 假如此共同基金公司对客户提供一种资金回溯担保的服务，其含义是指一旦客户的帐 面价值跌落至初始投资金额f ( o ) 之下时，他( 她) 的帐面价值立即被重设回至初始投资金 额f ( o ) 。这里，也称这样的服务项目为重设担保。下面，我们的任务是如何对此重设担保 进行定价。 令丁+ 为股票指数首次跌破初始价值的时刻。即 t + = i 他f t l s ( t ) s ( o ) ) = i n z t l u ( t ) u ( o ) = u ) 这一停时等同于盈余过程 u ( t ) ) t ：o 跌落至其初始盈余之下的首发时，或说是当此盈 余过程初始盈余为0 之时的破产时刻t ，三者是别无二致的。故而，随机变量u ( t + ) 一u 与初始盈余为u ( o ) = 0 的盈余过程 v ) 垃。在破产时刻的赤字玎( t ) 这一随机变量具有 相同的分布。 由上述重设担保的含义可知，在停时t + ，客户的帐面价值将立即从f ( o ) e x p u ( t 。) ) 复旦大学硕士毕业论文 重设至f ( o ) 。于是此类重设担保的价格将是 g l = 日【e - r t * f ( o ) ( 1 一e x p u ( t + ) 一u ) ) 1 t t o 。1 l v ( o ) = u = e 陋一t f ( o ) ( 1 一e u ( t ) ) 1 丁 。) l ，( o ) = o = f ( o ) z o 。( 1 一e 一”) g ( ) d 其中9 ( g ) 依上一节的定义，表达式如式( 6 ) 。重设担保价格g ，也可以依以下形式出现 g l = f ( o ) ( e e 一7 t i t 。) i u ( o ) = 0 】一e e 一t e u t 1 i t o o ) i u ( o ) = o ) ：瓣f ( _ 掣一生掣) 一( c 2 ( a 2 一a 1 ) 儿 a la 2 、 p + ( a 1 ) 一p + ( 1 1 一a ， 后一个等式中两项的结果分别源于式( 7 ) 与式( 8 ) 的结论 3 2n 次重设担保定价 ) p+ ( a 2 ) 一矿( 1 ) 1 一a 。 ) l( 1 6 ) 1 6 进一步，可以假设此共同基金公司对它的客户提供n 次重设担保服务，其含义是指一 旦客户的帐面价值跌落至初始投资金额e ( 0 ) 之下，他( 她) 的帐面价值立即被重设回至初 始投资金额f ( 0 ) ，重设的过程则延至第n 次帐面价值的亏损时。令g 。作为此n 次重设担 保的价格，立即可以得到如下的递归公式 g 。= g 。一1 + e e 一7 t f ( o ) ( 1 一e u ( t ) 1 f t o o l u ( o ) = 0 】( e 【e 一t l i t l u ( o ) = o ) “一1 此递归公式对于n22 的自然数皆成立。其中，上面右方的第二项是第n 次重设担保费用 折现值，以e e 1 t i t t 。 l u ( o ) = 0 作为折现因子，且从第( n 1 ) 次帐面价值跌落至初始投 资金额之下的时刻开始往回折现，因此折现了( n 一1 ) 次。于是有 g t 薹c 采c 气掣一号掣” 娟蓦【1 _ 篆 后一等式的成立是因为c 2 a ；一2 ( 卢+ r ) c - 九+ ( 卢+ r ) 2 = # 2 p + ( 九) ，i = 1 ，2 考虑一种特殊的情况，倘若此重设担保的资金回溯次数可以无限多次，则这样一个担 复旦大学硕士毕业论文 保的价格应可以表达为如下的等式 它是n - - 9 0 0 时g 。的极限值。 g 。= g 。嘉鲁 3 3 带利率的重设担保定价 在上两节之中，我们考虑的资金回溯担保的重设资金是客户初始投资金额f ( 0 ) ，它不 随着时间的改变而变化。相应于这种静态的重设担保，我们在这一节考虑带利率的重设担 保定价，这一担保保证资金回溯的重设资金在t 时刻是f ( o ) e ，。而不是客户初始投资金额 f ( o ) 。其中7 是最小保证利息率，它在初始时刻确定，而且7 r 。 定义二= c 一1 与u ( t ) = u + 魂一五， 0 。 令丁。为客户资产价值跌落担保价值之下的首发时即 于+ = i n f t i s ( t ) s ( o ) e 哪) = 。礼， t 1 驴( t ) 0 ( o ) = 钆) 1 7 在时刻p ，客户资产价值跌至 即) ，桨叫o ) e x p 似叫 然而因客户购买此重设担保，它将立即被重设为f ( o ) e ，p 。于是初始时刻此重设担保的价 格为： g 1 = e k 一7 声f ( o ) ( e ，哥一e x p u ( 于+ ) 一珏 ) l 小 。) i u ( o ) = 钍 = f ( o ) e e - ( t 一7 ) 寸( 1 一e x p ( u ( 9 ；+ ) 一扎) ) 1 小 。) f 0 ( o ) = u = f ( o ) ( 1 一e 叫) ( y ) 妇 其中( ) 是利息率为i = r 一7 并且盈余过程为 u ( t ) ) 的如上一章所定义的9 ( v ) 。重设 担保价格gz 也可以表达为以下形式 象cc 掣一掣h 矿( a 1 ) 一p + ( 1 1 一a ) p+ ( a 2 ) 一p + ( 1 ) 1 一a o 复旦大学硕士毕业论文 此等式中前后两项的结果分别源于式( 7 ) 与式( 8 ) 的结论，其中，k 及i t 是方程j 。j ? 2 ( 卢+ f ) i 天；+ ( 卢+ i ) 2 = 卢2 p + ( 天：) ，i = 1 ，2 的两个正解且j l 天2 。 同理，可得带利率的n 次重设担保价格为： 2 口f + 产1 i c 2 1 a 2 1 倘若此重设担保的资金回溯次数可以无限多次，则这样一个无限次重设担保的价格应 可以表达为如下的等式 。趣黠 它是n 一。时0 。的极限值。 弘美式看跌期权的定价 1 8 考虑一支永期看跌期权，其基础资产的价格过程服从( 1 5 ) 式。“永期”是指此期权并无 一定的交割期，期权的持有者可以在现在或将来的任意时刻进行交割，交割也仅限一次。 故这样的一支期权一定是美式期权，也称之美式看跌期权。 令交割价格为k ，倘若交割时刻为t ，则此看跌期权交割时价值可表达为 n ( s ( t ) ) = m a x k 一5 ( t ) ，o ) = ( k s ( t ) ) + 为方便起见，我们假设此期权的最优交易策略是，对于一个满足l m i n s “，k ) 的数 l ，交易时刻相应于这样一个停时 死= 打l ， t l s ( t ) n ( l ) ，则对于任意的l 1 l ，有n ( l ) = y ( 三；l 1 ) ，故v ( l ；l ) v ( l ；l 1 ) ，由此三sl 。根据式( 8 ) 可知，0 墨鼎- ( 出铲一丛掣) n ( n ) ，必有l l 由( i ) 与( 啦可知，l 惟取决于以下条件 1 9 y ( ；三) = n ( l ) = k 一五( 1 8 ) 将式( 1 7 ) 与l = 三代入式( 1 8 ) 之中，可以取得如下的三显性解 ic 2 ( a 。一a - ) 一卢2 ( 掣一掣) l 。i i 二i f 百币巫正面f 】巫正丑甄 e 2 ( 入t 一) 、) 一卢2 ( 芝坐；! 舞卫u 一芝坐芒毫1 生) 复旦大学硕士毕业论文 其中) 、。与a 2 如前定义。 三正是美式看跌期权最优交易策略的边界交割价格。 注5 1 据式( 7 ) 与g 1 0 的界定，易知三k 。 注5 2 令矗( z ) = y ( e “托，“) ，z 芝0 。考虑期权基础资产价格首次跌落至初始价格 s ( 0 1 = e 蚪。之下的时刻，且一旦此时的价格低于e “就进行交割。因此 厶( z ) 。0 矗( z 一) 9 ( g ) 由+ 上( 8 计”9 ) g ( ) 由 于是 l o ng ( 。) d 。= 焘，上。z 0 。( e h 。一f 一e 一1 2 # 一曲) d p ( 茁) d 可 = 蒜唯击一掣h 去一掣，5 珂丽i o 石一1 _ j _ o 石一 f 】 ：型d c 2 尝= t 一裂 a 1 a 2c 2 a 】a 2 ( 1 9 ) 其中，c 2 a i 一2 ( z + r ) c 凡+ ( 卢+ r ) 2 = 卢2 p + ( 九) ，i = 1 ，2 。 因此式( 1 9 ) 是函数0 ( - ) 的一个瑕疵更新方程。对瑕疵更新方程细节的讨论可参见o e r b e r ( 1 9 7 9 ) 与g r a n d e l l ( 1 9 9 1 ) 。 5 5 例子 假定盈余过程的个体索赔服从均值为i 。的指数分布，即其分布函数为p ( 。) = 1 - e ”。 于是前文所述的a 1 与a 2 ( a l a 2 ) 在这里是一元三次线性方程c 2 s 3 + ( c 2 p 一2 ( 卢+ 6 ) c ) + s 2 + ( 卢+ d ) 2 2 ( f l + d ) c v 】s + ( 2 卢d v + 6 2 ) = 0 的两个解，它们清晰但颇复杂的表达式可 以直接书写出来，在此省略。 对于个体索赔为指数分布的e r l a n g ( 2 ) 风险模型，一些本文中提到的表达式可以列述 如下： 复旦大学硕士毕业论文 m 洲i ) = 盟半籍 ，( 。) ：鼎( e 1 ”，o ox - - e a 2 y ( o oe c + 2 ，。d z ) = = ：i i i i ：e p v e 【e 一盯1 u ( 。) = 。】= 孑叮歹了 当6 斗。时，入：- a ：望二! 型鼍竽，则特别地，初时盈余为。的破产概率 向2 妒( o ) 2 万南两 目 e 坩+ 。( t l t o o h u ( 0 ) = 0 妒1 ( “) = e h “ 1 一( 1 一妒( o ) ) ：熹c 臀1 1 一 c 2 ( a 2 一a 1 ) 、1 一a l 口2 一c 2 ( v + a l ) ( + a 2 ) ( 4 - 1 ) m + z u e - a 1 z 霎妒) ) 】 = 1 邓刊0 ) ) _ 1 + z 0 u e-a1zealu 霎万褊h 旷1 )= 1 一( 1 一妒( o ) ) 1 + 蚤而刁赢) 。( 旷“) “ = e h “ 1 - 1 - 们) - 熹 1 + 1 0 ue - 1 z 蚤o o 吲o ) ) 4 ( 可z i - - l 矿e - v z ) ) = 一“( 1 一 i - g ( o ) 熹 1 + 9 ( o ) z “e 七批删2 ) = 妒t ( o ) e x p ( 9 ( o ) 一v ) u ) 其中9 ( o ) = 而者每而，且妒1 ( o ) = 9 ( a 1 ) = 9 ( o ) 鬲1 。 同理m ( 。) ：妒2 ( o ) e x p ( g ( o ) 一v ) u ，其中l p 2 ( o ) = 9 ( o ) 丢i d 2 e 一”v 商兀i = ) 而 ( 必崞杀襞铲竺) e 十仙扭 一( 咄避巍端等竺) e 十粕1 如果0 su z 丝醴c 2 塑( m - 塑, h ) 【( 号羔产) 一( 型等铲) 】 一【i 可再i 丽i 厂一l p + 沁一9 ( o ) 川 如果0 。s “ 复旦大学硕士毕业论文 于是e e 一6 1 ，帆( u ( 丁一) ) - u 2 ( 1 u ( t ) i ) 1 ( t o 。 l u ( o ) r 0 0，o 。 2 “( z ) ，( 。，o l u ) d 。u 2 ( ) e - ”y d j oj o 则最终破产概率 砂( u ) = d l i r a ，。f 。“z 。，( z ，管l 乜) d z d y2 焉e x p ( 尚一) u ) mr 辟2片2 其中a：29-cu+譬xc2u2+4flcu 最后，我们根据以上的结果得到美式看跌期权最优交易策略的边界交割价格 l = f 1 c 2 ( y + a 1 ) ( + 2 ) ( v + 1 ) 口 复旦大学硕士毕业论文2 3 参考文献 1 】w i l l m o t ，g e ，l i n ，xs ，1 9 9 9 ，a n a l y s i so f ad e f e c t i v er e n e w a le q u a t i o na r i s i n gi nr u i n t h e o r y i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s2 5 ，6 3 - 8 4 2 1g e r b e r ，h u ，s h i u ，e s w ，1 9 9 7 ，t h ej o i n td i s t r i b u t i o no f t i l et i m e o fr u i n ，t h es u r p l u s i m m e d i a t e l yb e f o r er u i n a n dt h e d e f i c i ta tr u i ni n s u r a n c e ：m a t h e m a t i e sa n de c o n o m i c s 2 1 ，1 2 9 1 3 7 f 3 w i l l m o t ，g e ，l i n ，x s ，2 0 0 0 ，t h em o m e n t so ft h et i m et or u i n ，t h es u r p l u sb e f o r e r u i n ，a n dt h ed e f i c i ta tr u i n i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s2 7 ，1 9 4 4 f 4 1g e r b e r ，hu ，l a n d r