（计算数学专业论文）单相自由边界问题的legendre谱方法.pdf

摘要 自由边界问题是边界不为给定的一类偏微分方程的定解问题，其边界部 分和问题的解要一起确定自由边界问题本质上是非线性的求解自由边界 问题的数值方法主要可以划分为三类：边界跟踪法，区域固定法和边界固定 童随着自由边界：司题实际应用背景的扩大，新的数值方法思想不断产生本 文用边界固定法结合l e g e n d r e 谱方法来求解单相自由边界问题 由于谱方法具有高精度，日益受到重视，本文给出了用l e g e n d r e t a u 方法 来末解两个经典的单相自由边界问题的数值分析，时间方向采用c r a n k - n i c o l s o n 玛散格式，在爿1 模下得到o ( n 卜+ a t 2 ) 的误差估计，并且给出的数值算例 很好的说明了这一结果；这里为基函数的个数，为时间步长，l r 为 与真解的光滑性有关的收敛阶两个经典的单相自由边界问题分别为带第一 类边界条件的单相自由边界问题和带混合边界的单相自由边界问题 最后，本文也讨论了一些相关课题：针对转化成自由边界问题的带红利的 美式买八期权的定价问题做了一些尝试性的工作，用l e g e n d r e 谱方法来求解 这一问题，并给出了半离散和全离散格式 关键词l e g e l t d l e t a u 方法，单相自由边界问题，s t e f a n 问题，边界固定 法，美式买入期权，红利， a b s t r a c t f r e eb o u n d a i vp r o b l e m sa r eac l a s so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sw h o s eb o u n d a r i e sa r ep a r t i a l l yo rc o m p l e t e l yu n k n o w na n dm u s tb ed e t e r m i n e da sap a r to ft h e s o l u t i o n i ti s i n h e r e n t l yn o n l i n e a r i ng e n e r a l ，t h en u m e r i c a lm e t h o d f a l l si n t ot h e f 1 ) i l m xi n gt h r e ec a t e g o r i e s ：f r o n t t r a c k i n g ，f i x e d d o m a i na n df r o n t f i x i n g w i t ht h e w i d e n i n go ft h ea p p l i c a t i o ns c o p eo ff l e eb o u n d a r yp r o b l e m i na p p l i e dm a t h e m a t i c s ， 、i d e a sf 0 ii l u i n ( 一ii c a lm e t h o da r es t i l la p p e a r i n g t h i sp a p e rd e a l sw i t ha c l a s s i c a l o n e d i m e n s i o n a lf r e eb o u n d a r yp r o b l e mb ，rm e a n so faf r o n t f i x i n ga n dl e g e n d r e - s p e e t i a lm e t h o d s p e c t r a lm e t h o d s a r ew i d e l yu s e d i nt h i sp a p e r ，w ep r o v i d ean u m e r i c a la n a l - 、，l _ “ l ( 1i t sc o lr e , - p o n d i n gr e s u l tf o rl e g e n d r e t a um e t h o df o rt w oc l a s s i c a l o n e d i m e n s i o n a lf r e eb o u n d a r yp r o b l e m sa n dg e ta ne s t i m a t eo fo r d e ro ( n 1 一+ a t 2 】i n h ln o r m ，w h e r eni st h en u m b e ro ft e s tf u n c t i o n sa n da t i st i m es t e p t h et w oc l a s s i ( i 1 1 p l o b l e m sa l eo n e d i m e n s i o n a lf r e eb o u n d a r yp r o b l e m sw i t hm i x e db o u n d a r y 。【) u d i l l o na n do n e d i m e n s i o n a lf r e eb o u n d a r yp r o b l e m sw i t ht h ef i r s tk i n db o u n d a r y o i l r i o i l f i n a l l y ，s o m er e l a t e dt o p i c sa r e a l s ow i t h i nt h es c o p eo ft h i sp a p e r ，f o re x a m p l e ， e t 1 1 y t oa p p l yt h ea b o v e - m e n t i o n e dm e t h o dt os o l v ep r o b l e mo ft h ee v a l u a t i o no f a n m r i c ac a l lo p t i o n sw i t hd i v i d e dw h i c hh a sa l r e a d yb e e nt r a n s f o r m e di n t oaf r e e b o u n d a r yp io b l e m a n dg i v et h es e m i d i s c r e t es c h e m ea n df u l l yd i s c r e t es c h e m eo f l e g e n d r es p e c t r a lm e t h o d s k e yw o r d s ：l e g e n d r e t a um e t h o d ，o n e - d i m e n s i o n a lf r e e b o l m d a r yp r o b l e m s t e f a np r o b l e m ，f r o n t f i x i n gm e t h o d ，a m e r i c a c a l lo p t i o n s d i v i d e d ， l l 1 1 1 谱方法概念 第一章引言 1 1 序言 有限差分法，有限元法和谱方法共同构成了求微分方程数值解三种基本 方生谱方法的基本思想x 老的，早在1 8 2 0 年，n a v i e r 就运用双重三角级数 求解了弹性薄板问题谱方法和有限元一样都起源于r i t z g a l e r k i n 方法，与 有限元不同的是，谱方法一般是以正交多项式( 三角多项式、c h e b ：y r s h e v 多项 式：l e g e n d r e 多项式和j a c o b i 多项式等，它们都是s t u r m l i o u v i l l e 问题的特 征函数) 作为基函数，由于检验函数的不同产生了不同的谱方法，分别有谱方 法( g m e i k i n 方法) ，t a u 方法和配置法在g a l e r k i n 谱方法中，检验函数与试 探函数相同，他们都是无限可微且满足边界条件，残量和检验函数的内积为 零在拟谱方法中，试探函数取法与g a l e r k i n 谱方法相同但检验函数是d i r a c d 函数即：w 。( 卫) = 6 ( z z 。) ，n = 1 ，2 ，其中x 。称为配置点，方程在配 置占、上成立t al 1 方法和g a l e r k i n 谱方法很相似，但它不要求检验函数满足 边界条件g o t t l i e b 和o r s z a g 9 ( 1 9 7 7 年) 对谱方法的这三种具体形式作了详 细的介绍，建立了关于线性问题数值分析的一些基本理论，对谱方法在偏微分 方程( 特别是在流体动力学问题) 数值计算中的应用情况作了概括 谱方法最大的魅力就是具有“无穷阶”的收敛性：若原方程的解无限可微， 则由恰当的谱方法所得到的近似解以_ - 1 的任何次幂速度收敛于真解，这里 n 为基函数的个数 9 ，5 ，4 ，1 3 ，而通常的有限差分法和有限元法一般会有一 个固定的i 量近阶，因此谱方法被日益广泛地应用于天气预报，流体力学等领 域f 9 ，5 ，4 ，1 3 1 在用谱方法求解方程时，由于代数方程组系数矩阵的形状和 基函数的选取有关，因此基函数的选取对实际计算的效率有很大的影响例 2 0 0 4 上海大学硕圭学位论文 2 如，末船边值问题时，无论是取l e g e n d r e 多项式作为逼近空间的基函数还是取 c h e b y s h e v 多项式做为逼近空间的基函数，一般情况下都不能满足边界条件， 为了使基函数满足边界条件，一般取l e g e n d r e 多项式或c h e b y s h e v 多项式的 组合作为基函数例如，对二阶微分方程齐次d i r i c h l e t 边值问题，以l e g e n d r e 多项式的组合作为基函数为例，可取这样的基函数 与逼近空间 c k ( x ) = l k ( x ) 一l k + 2 ( x ) v = s p a n f 2 ( z ) ，幽( z ) ，曲( 。) ) $ h e n 3 1 1 提出这种基函数构造方法这样得到的方程的系数矩阵具有良好的稀 疏性 虽然谱方法具有“无穷阶”的收敛速度，但是对解具有奇异性，解函数不 二! 绩，区域是无界的等情形谱方法的应用就受到了很大的限制为了克服上述 困难，已经有很多人做了大量的工作，如：文【l o ，1 1 用g e g e n b a u e r 多项式重 构约方法解央了方程的解是不连续的问题文f 14 】用j a c o b i 多顷式逼近解决 了一些方程有奇异的问题；区域分解思想和谱方法结合，克服谱方法对区域要 求过严的弱点f 1 6 ，8 1 ：以及特有限元法和谱方法结合起来【1 3 】等都有力地推动 着谱方法的发展 1 1 2 自由边界问题简介 对一个偏微分方程的定解问题，若其求解区域的部分边器是待定的，它 和闻题的解彼此相关且必须同时确定，这类问题人们称之为自由边界问题， 其待定边界称为自由边界在自由边界上，除了需要给定通常的条件外，还必 须增加一个边界条件【3 7 l 所有自由边界问题本质上都是非线性问题 在十分常见的物理现象中就已发生带有自由边界的问题，如s t e f a n 问题 是一个考虑到相转换的热传导问题以一维的冰一水的热传导问题为例，假设 ，蚍分别表示水温和冰温z = s ( t ) 表示自由边界( 相截面) 它不是给定的， 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文3 在它上面的水温和冰温为已知，且满足热平衡条件 3 9 u 1 ( s ( t ) ，t ) = u 2 ( s ( ) ，t ) = 0 女l 垫掣+ 2 垫掣= l 髻 式中l 和姒z = 12 ) 是物理常数，第二个条件称为s t e f a n 条件，s t e f a n 于1 8 8 9 阜给出的这类寻隶水温和冰温以及相截面的热传导方程的自由边界问题称 为( 二相) s t e f a n 问题；我们把只求水温或冰温的自由边界问题称为单相s t e f a n 问题如果引进表示内能的焓的概念，那么根据能量守恒定律，热传导方程和 s t e f a n 条件可以统一为一个积分等式 3 9 1 ： 似村) 警一七( 吐o 五u 瓦o 。o 】出出= o ( 却口( n 式中札是温度，) 是焓，p ( “) = 缸+ l s g 沁) ( s g ( u ) 是符号函数) ， ，) = 2 + ( l 2 ) s g ( u ) 此时自由边界z = s ( t ) 以及s t e f a n 条件作为解u 的 弱问断线和间断条件由该积分等式直接导出，在连续可微意义下适合热传导 方程和s t e f a n 条件的解称为古典解；在s o b o l e v 广义微商意义下适合上述积分 等式的解称为广义解 关于s t , e f a i l 问题的系统理论研究是从2 0 世纪4 0 年代开始，迄今对一维问 薯有较完整的戎景如广更解和古典解的存在唯一性，自由边界z = s ( t ) 的 无穷次可微性，以及在适当条件下自由边界z = s ( t ) 的凸性，解析性和渐近性 等f 3 r 多维问题一般不存在整体古典解除了已经知道广义解的存在唯一性 和连续性以外，多维问题其他方面还有待研究 3 9 自由边界问题的研究有着广泛的实际背景在渗流力学，等离子物理，朔 性力学，射流等方面都有人提出了各种不同形式的定常和不定常自由边界问 题 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文4 1 2 文献综述 自由边界问题自s t e f a n 在1 9 世纪8 0 年代从冰的融化得出s t e f a n 问题以 来有了很大的发展人们已经做了针对s t e f a n 问题系统的理论研究以及针对 自由边界问题的数值方法的研究这里我们特别要提到c r a n k1 9 8 4 年有关自 由边界问题的专著7 1 ，该书对这两方面的研究都有较详细的介绍 依c r a n k 的方法，解自由边界问题的数值方法可分为三类：边界跟踪法， 边界固定法和区域固定法c r a n k 7 1 n i t s c h e 2 5 1 等发展了边界固定法d a s 和 p m l i 在文f 2 7 1 中就是用边界固定法结合有限元法来求解非线性单相自由边界 _ 逦并佶计了误君二，文【l8 进一步对有限元法进行了误差估计a s a i t h a m b i 2 1 用边界固定法结合有限元法求解了液滴蒸发中的热分布方程b e c k e t t 3 】等用 移动网格有限元法解央了两相s t e f a n 问题，l i l l o 等 2 0 】对非线性单相s t e f a n 目题做了探讨 国内研究自由边界问题的学者也获得了大量的成果，姜札尚从事这方面 的研究已有多年历史，被公认是“研究关于自由边界问题的先驱者之一”，早 在2 0 世纪6 0 年代他就解决了s t e f a n 问题整体古典解的存在性，随后又证明了 自由边界是无穷次可微的h u a n g 1 7 研究了自由边界上非线性跳跃的自由 边界问题汤国桢【4 3 研究了解的存在性，谢鸿政等【4 5 ，4 6 】研究了交系数的 两相自由边界问题 与本文l e g e n d r e 谱方法求解单相自由边界问题相比较，g r e e n b e r g 1 2 】的 博士论文( 2 0 0 3 年) 用c i t e b ) s h e v 谱方法求解了一些单相自由边界问题 1 3 本文的内容 考虑到l e g e n d r e 多项式展开式的收敛性也与函数的边界条件无关而只依 赖于函数本身的光滑性，因而可用其求解非周期边界条件问题虽然由l e g e n d r e 多项式展开式作出的计算不像用c h e b y s h e v 多项式展开式那样快捷，但由于 l e g e n d r e 多项式展开式的权函数为1 ，在数值分析时使用较方便，其构建的格 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文5 式具有良好的稳定性，因此本文就用l e g e n d r e 多项式来逼近自由边界问题的 真解 本文对文章内容作如下安排：第二章简单介绍自由边界的数值方法和一 些有关谱方法的预备知识；随后两章是本论文的中心部分，我们在这里用 l e g e n d r e t a u 方法分别求解了两类经典的单相自由边界问题，并给出了它们的 数值分析，同时用数值例子验证了分析中得到的收敛性；最后，在第五章中对 转换成自由边界问题的带红利的美式期权方程进行了讨论，并试着用l e g e n d r e 港方法呆末解它，给出了离散格式 第二章自由边界问题数值方法介绍和 l e g e n d r e 谱方法的预备知识 2 1 自由边界问题数值方法简介 随着比一维s t e f a n 问题远为复杂的自由边界问题的出现，求解自由边界 问题的方法越来越求助于数值方法1 9 5 0 年以来，有着各种数值方法被介绍 用在解自由边界问题上：包括焓函数法( a l b a s i n y ，1 9 5 6 ) 、边界固定法和有限差 分法( c r a n k 1 9 5 7 1 、变动网格法( d o u g l a s 和g a l l i e ，1 9 5 5 ) ，而当前各种各样的 数值方法仍在产生，新的思想不断凸现但是，普遍地按照c r a n k 在1 9 8 4 年 e 中把解自由边界问题的数值方法分为三类：边界跟踪法( 如在固定或交 动网格上的有限差分法) ，区域固定法( 如焓函数法和变分不等式法) 和边界固 定法g r e e n b e r g 在文f 1 2 l 中也认同这种分类下面简单介绍这三种数值方法 2 1 1 边界跟踪法 边界跟踪法这一类方法就是根据用显格式计算移动相截面在每一时间步 ：= ：占 上的数值这一明显的特征而命名的具体的这一方法又包括边界跟踪法 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文6 扫边界捕捉法，边界捕捉法是最早应用在自由边界问题上的数值方法，它是 周固定网格的有限差分法来解的，只是在靠近自由边界的计算格式已经采取 修正格式加以改变使得能够适用于这种不规则的边界，因此自由边界上每个 时间步长的点并巧在固定网格上而边界跟踪法是根据自由边界来建立网格 的，也就是说它的网格是和自由边界上的节点是相符合的，因此它是很适合用 有限元方法采解的 下面简要介绍一下边界捕捉法是怎样来处理在自由边界上的网格剖分， 因为边界捕捉法用的是固定网格，因而对每一个t ，自由边界s ( ) 都会处在两 “网格点l a x 和( i + 1 ) a x 之问，也就是说= ( i + p 。) a x ，这里0 1 明 显可见，这里直接使用修正格式和边界条件是难以计算的，但是可以用i a x 、 ( i 十1 ) a x 和( i + 肌) a z 作插值同时利用前面求到的边界上的值，而且这里 的p 。可以看作自由边界上点的导数，这样就可以用插值算出，如果p n + l 小于 ( 】或是大于1 这就意味着边界已经从给定的计算网格点到下一个网格点了 这一方法在氧的扩散问题上是适用的 。边界跟踪法的思想是调整时间步长以使得边界处于网格点上，这里以一 简单的例子说明，假设这里有个简单s t e f a n 问题：考虑热方程u t 一札。z = 0 满 足面d s = 塞和u = 0 在z = s ( ) ，这样就有有关s ( t ) 的以下表达式： ，s ( 日 4 t ) = t 一乱( ，z ) d x j o 结合边界条件，对上式离散可得： a t 沪( n + 1 + 。) z t 。 i = 1 这就是新的时间步长满足t 时= e ：。a t k 从而结合方程采取的计算格式就 不难计算出来 2 1 2 区域固定法 区域固定法这一类方法的基本思想就是把给定的自由边界两边的偏微分 方程以及自由边界上的条件转换成一个在整个固定区域有意义的新问题，然 后针对这一新的问题用数值方法求解这里简单介绍区域固定法中的一种： 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文7 变分不等式法变分不等式法对流体力学中的单相问题很有用，考虑以下的 多维自由边界问题【1 2 ： f“。一n = ， j。：器：o 1 u = 9 o lu l b 。：t 1 0 三o u q 1 o n s ( t ) o n f a = a q l s ( t ) 这里n l 是使得方程成立的区域；r l 为固定边界，s ( t ) 为自由边界下面我 们引入区域q = f 2 - u q o 满足q o 和n 1 有着共同的自由边界s ( ) ，区域n 是固 定边界的定义在n o 上“三0 ，由于自由边界s ( t ) 上的条件，我们定义u 在整 “区域 2 上是连续的这里的定义以下算子： r n 叫) = v 口- v w d x j i2 同祥定义常用的内积： ( u ，w ) = v w d z j n 从而上面的自由边界问题可以转化成以下在区域q 上的变分不等式形式： ( u t ，v u ) + o ( u ， 一札) ( f ，口一u ) 区域同定法提供了一个处理自由边界问题的很好的一般化的范式，包括 对多维自由边界问题的处理，而且这里没有牵涉到非线性的边界条件，同样它 也是定义弱解和证明弱解的存在性和唯一性的有力工具 1 2 - 2 1 3 边界固定法 边界固定法就是引入变换使得自由边界变为固定的边界变换后的区域 一般是一个规则的区域( 如矩形) ，从而针对交换后的方程很多数值方法都可以 用这里以一维的为例，引入变换： x 5 丽 ? m i 上海大学硕圭学位论文8 从而把区间( 0 ，s ( ) ) 变为( o ，1 ) ，对方程 币口s t e a n 条件 印安：一k u k u 。( t ，s ( ) ) ， 印面2 一z ( o ，3 ( f ) ) ， 分别变为： s 2 ( c ) 地= u 旷s ( t ) 塞札e 塞=一丽krp 毗1 ) 面2 一丽班1 j _ 为简便起见这里用“。，u 。表示爨，象对某些高维也可采用同样的思想，如对 二维的问题，如果区域为 f ，墨z - 茎5 1 ( t ) ，s 2 ( t ) x 2 f 2 ) ，则相应的变化就是 ，z 1 一l l n 5 币矿i b 2 蕴i f 百 2 2 预备知识 在本芍中将介绍一些在后面建立谱格式和对近似解的稳定性、收敛性分 析中需要用到的函数空问、l e g e n d r e 多项式的性质 2 2 1 s o b o l e v 空间 定义2 1 ：设q 是r n 中的一个区域，又设p 是正实数我们用驴( n ) 表示 义在l ! 上，所有满足 b ( 踢：= ( j ( z ) r 如) ； ，1s p 十。o ，( 2 2 1 ) js 的可测函数i 一构成的函数类同样当p = + 。时，我们用l ”( q ) 表示定义在f 2 上，所有满足 【| l i t ( ；e s ss u pl “( z ) l 。， ( 2 2 2 ) 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文 9 的可测函数“构成的函数类 当1 p o c 时，我们用p = 当表示p 的共扼指数，所以l p 。o ，且 三+ - 1 7 ：1 一+= pp 定义22 ：设小为非负整数，1 p 茎+ 。o ，记 1 4 ”，9 ( n ) = ( 让l p ( a ) 1 0 。“l p ( q ) ，1 0 1 m ) ， ( 2 2 3 ) 并赋予范数 i i “l l 。，= ( l i 扩u 1 | 0 ( n ) ) ；，1 p + 0 0 ， ( 2 2 4 ) n i m l l z l l , - ，o 。2 抓m a 。x 1 1 0 。札i i l ”( q ) 这祥得到的线性赋范空问”，9 ( q ) 称为是一个s o b o l e v 空问 利用，一( f ! ) 空间的完备性可推得w ”，9 ( q ) 是b a n a c h 空间 可以引进内积 ( ，9 ) 。= ( 沪，扩g ) ， ( 2 2 5 ) 当p = 2 时，还 ( 2 2 6 ) 易知它是一个h i l b e r t 空间，这时一般记为h ”( f 2 ) 当m ：0 时，w o ，9 ( n ) = l 9 ( q ) ，所以w “，9 ( q ) 是l 9 ( n ) 的一个子空间 在w 一9 ( q ) 中还可以引进半范数 ，p = ( i i 沪训9 ) ；， 1 p 茎+ 。o ( 2 - 2 7 ) ；o ll = m 2 2 2 l e g e n d r e 多项式 l e g e - 1 d i e 多项式有着前面所述的一些优点其缺点是计算不如c h e b y s h e v 多项式展开快捷，但因为权函数为1 ，在数值分析时较方便在本文中我们以 l e g e n d r e 多项式来逼近变化后的自由边界问题的真解，为此，这里我们简要的 介绍一下l e g e n d r e 多项式 翌堡些堕塑堕 ! !一 l u ，! ：? ! e 1 1 7 ”多项式是在区间卜1 ，1 上以 ( z ) 兰1 为权函数的正交多项式， 其一般表达式可定义为 ( 。) - 1 ( z ) = 嘉基。一妒：l ，2 ， 由上式所得的多项式是l e g e n d r e 多项式的形式，通常称之为罗得立克表达式 由上式还可以得到三江) 的直接表达式为 = 等量( _ 1 ) m 嚷嚷划一， 由罗得立克表达式可以得到l e g e n d r e 多项式的正交关系式： ( k ，厶) = 丽1 乳 ( 2 黜) 记，= ( 一1 ，1 ) ，定义( ，) 和i i i i 为上2 ( ，) 的内积和范敷，利用l e g e n d r e 多项 式的生成函数容易得递推关系式如下： d l 丁a + l ( x ) 一生墨笔鱼= ! ：( 2 + 1 ) k ( z )z z 9 )d z如 ，“l 4 ， 圳 和 1 譬篓卜南如一( 乩池210)l 【o ( z ) = 1 ，l 1 ( z ) = 茁 卜“ 哆t i 咄为偶数对， z ( f ) 为胥函数，k 为奇数时， ) 为奇函数 仇如) 是 下面问题的特征函数 昙( ( 1 一一) 昙仇( z ) ) + 十1 ) l k ( z ) = o ( 2 2 1 1 ) l e g e n d r e 多项式还有如下一业性后： f l k ( z ) f 1 ，一1 茁s1 ；七( 七十1 ) ，一1 。1 l z ( - - i ) = ( 士1 ) ， 知( 1 ) 咄旷一知+ 1 ) 由于l 。g e n d r e 多项式- k i t _ 交多项式，所以还可以将一般的函数展成傅立叶级 貌，对旺意，任上! ，) 可以按上( z ) 展开为形如： ( 2 , 2 1 2 ) z 女l u 脚 i l z 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文 的级数，其中 饥= ( u ，l k ) ( l k ，l ) ，( 2 2 1 3 ) 称为“【z ) 的l e g e n d r e 系数假设f n ( i ) 是定义在上的所有次数不超过的 代数多项式空间，则l e g e n d r e 多项式 l k 扛) ) k ：= o n 为p v ( ，) 的一组基函数而 级数( 2 2 1 2 ) 的前+ 1 项之和： 为“( z ) 在p ( ，) 上的一个逼近函数 2 3 几个重要的引理 ( 2 2 1 4 ) 为了验证后面两章给出的谱方法的半离散和全离散格式的稳定性和收敛 性，做以下的一些准备y o u n g 不等式：对非负的实数a 和b ，以及任意的正 数! 有： 曲鳢+ 秽l ( b三+ 百1 pp=1 l p 。( 2 删 口eq 为了推导稳定性匀收敛性还需要引入投影算子以及讨论这一投影算子的逼近 性态这里定义投影算子p 。k ，, o ：珊( ，) 一p 妒( ，) 满足： ( 磷沁一p 妒u ) ，磁u ) = 0 ，v v p 妒( ，) ， ( 2 3 2 ) 其中庐妒( ，) = p ( ，) n 础( ，) 不难看出以上定义的投影算子p 妒即为文【4 ，2 6 1 页 中的”妒，从而就有： 引理2 1f 4 ，定理62 1 对任意的常数r ，s , osr k 8 ，则有与s 有关的常 数f 使得对t 蚝，砧( ，) 有以下的估计： l l p 凳“一“c n 3 f i ll 1 。 ( 2 3 3 ) 为了得到h t ( ，) 一p 、的算子，我们引入低次多项式x a ( x ) p 3 ( ，) 4 ，满足对 “2 f ，1 ) ( 3 ( 一1 ) = u ( - 1 ) z l = z 知墨如 = ，卜 丝如垫如 2 0 0 上海大学硕= 学位论文 1 2 从而对“h 2 ( ，) 我们总可以找到一个相应的百瑶( ) 由 i ( z ) = u ( x ) 一x 3 ( x ) 确定这样我们可以得到一个对应的投影算子p ：日2 ( ，) 一p 由以上可得 p 知u = p 20 u - + x 3 札一p “= 面一p 妒面 ( 2 3 4 ) 这样我们可以得： 引理2 2 【4 ，定理6 3 对任意的常数r ，s , 0s r 曼2ss ，存在与s 有关的 常数c 使得对“h 2 ( ，) 有以下的估计： i i p 札一“c n 一5 l | 叫i s s o b o l e v 嵌入不等式：对u h 2 ( ，) ( 2 3 5 ) l 。1 2 ， ( 2 3 6 ) i 魂u ( 1 ) l i l 岛u | 1 - l - 刎允u 炉11 1 2 u 犷_ 1 ( 2 3 7 ) 为了后面讨论的方便我们给出： 引理2 3 【2 4 引理3 6 假定下列条件满足： i ) f p f ，) 是非负函数，在【0 ，t 】上连续，p ( t ) 是单调增的，5 ，c 是 正常数； 2 ) 对任一t ( o ，t 1 1 如果。m 。“a x 。e ( t ) 6 ，有e ( ) sp ( 2 ) + g e ( 7 ) d 2 7 ； 3 ) e ( o ) p ( o ) 和p ( t ) e g t 6 则对任意0 0 和u ( y ，丁) 使得： 爵8 u = 券 o r 丁， ( 3 1 3 ) ，( g ，0 ) = 妒( 9 ) 0 b ， ( 3 1 4 ) u ( o r ) = ，( 7 ) 0 t t ， ( 3 1 5 ) 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文 1 4 u ( s 0 - ) ，r ) = 0 d s ( r ) 0 u 一一 d 丁 a 可 0 7 - t ，s ( 0 ) = b ， y = s ( r ) ，0 r t ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 其中( r ) 0 ，妒( ) 20 ，( 6 ) = 0 y = s ( r ) 不是已经给定的边界而是和u ( u ，r ) 一起要寻找的自由边界条件( 3 1 4 ) 一( 3 1 6 ) 构成第一初始边界数据，而( 3 1 7 ) 是关于自由边界的条件假设f 0 ，妒0 来自问题的物理背景 引理3 1 3 7 、8 1 定理1 假定，( 7 _ ) ( o 1 t ) 和妒( ) ( o y b ) 为连续可 微函数，则对于所有( 0 0 关于丁是单调非减的 为了能用l e g e n d r e t a u 方法求解，我们引入变换：z = 鼎1 和t = ，i 。s 一2 f t7 ) d r 7 ， ，( r ) ! “( z ，t ) ，s 0 - ) 兰s ( t ) ，则妒匆) = 砂( z ) ，y 0 - ) = 9 ( t ) ；且记 翻= 番a 。= 基则以上方程变为： a “= 熹掣( z 十1 ) 岛u + 4 磋“一1 z l ，0 t t ( 3 1 8 ) 初曲值条件变为： 一1 z 1 ，( 3 1 9 ) 0 7 _ t 0 t t ( 3 1 _ l o ) ( 3 1 1 1 ) u f = 一o 。“【1 ) ( s 十lj 况“十4 箧u 一1 z 1 ，0 t t ( 3 1 1 3 ) 这里的廷换f ：= j ：5 - - ( r 7j 出可以微分后写成以下形式： 象“巾) = o o t 一 垃儿 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文1 5 令，= ( 一l ，1 ) ，( ) 和| | 是酽( ，) 的内积和范数对任意正数r ，和 ii ，是索波列夫空闻h ( ，) 的范数和半范p _ ( ，) 为在上最高次数为的 多项式空间定义明+ ( ，) = u 扛) i ( 。) h 1 ( ，) ，( 1 ) = o ) 和p 妒( ，) = 础n p 令h = 狂d ( ，) n 昧( j ) ，利用t a u 方法求解也即是要找“，使得对 任意w p 一2 ( ，) 满足： ( c g t u ：w ) + 巩“( 1 ) ( ( z + 1 ) a = u g ，w ) 一4 ( o ! u n ，w ) = 0 l n ( 一1 ) = 口 ( u n ( o ) ，w ) = ( 1 】c j ，训) 奄= 一s 魂u ( 1 ) 对( 3 2 1 ) 在时间方向上用c r a n k - n i c o l s o n 离散格式，我们可以得到全离散格 式设m 是一个正整数令t = 击为时间步长t 。= n a t ，0 礼sm 定义矿( 。) = 。，( z ，t 。) ， ? = v a + 面l _ 一v a ，u 孔+ = 监业2 ，则全离散的c r a n k - n i c o l s o n l e g e n d r e 谱格式也即是要找u 爵，使得对任意w p _ 一2 ( ，) 满 ( 。x ，。) + 臼刖寸 ( 1 ) ( ( 。+ 1 ) 巩札铲 ，叫) 一4 ( 鹾乱铲o ，训) = 0 u x ( 一1 ) = 9 “ ( “，w ) = ( w ) s j ，= 一s j i i ：l f7 0 ( 1 ) o n m 0 n m ( 3 2 2 ) s _ j v ( o ) = b o n m 由( 3 2 2 ) 我们可以得到一个针对所要求的解胥和s 胥的方程组 3 3 格式的收敛性分析 首先我们假设方程( 3 1 8 ) 一( 3 1 1 2 ) 的解u ( 。，t ) 和s ( t ) 满足以下条件： 1 1 t , 1 1 日。 呱h 。( 驯磊i l s l l 口矗 ( 3 3 1 ) ( 。是正常数我们针对半离散格式( 3 2 1 ) 讨论收敛性设乱是原方程的真 蛭，p ；“力，在nf ，1c p 的由式( 234 ) 定义的投影逼近，“_ v 为谱近似解令 t r 6 t = tj t 羽吣们 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文 ，。 ：! 2 “、7 一p i 7 = = “一p “一对任意的口p ( d ，都有霹 茌d 一2 ( ，) 则可得： f 型驾掣+ 4 ( 理e ，鲤”) = ( z 霹”) + 岛“( 1 ) ( ( 。+ 1 ) 岛，鲤。) 6 0 p 知“( 1 ) ( ( 茁+ i ) a w 扣，彰 ) f r ( o ) ，u ) = ( 鲤口)( 3 3 2 ) io ( t 根据投影算子p 知的定义，容易得到a x e ( 1 ) = 0 ，( 4 趣叩，霹 ) ：0 ，从而f 3 3 2 ) 式中 厂= 一晚q 一鼠p 知u ( 1 ) ( 1 + z ) 瓯叼， 对( 3 32 ) 式中取u 为e 就可以得到： f 型雩芦+ 4 ( e ，霹e ) = ( f 篚e ) + 巩“v ( 1 ) ( ( z + 1 ) 0 x 。，鲤。) f ，1 “一r l啦、 岛p 知扎( 1 ) ( + ”允p 知u ，爱e ) ( 3 3 3 ) j ( l 【u ) ，e ) - ：霹c ) p 6 j 【 o t 0 ， 若1 1 1 a xf ( t ) 6 ，则成立： n r ， 学制脚引1 2 _ k i l o m ( 哟旷+ k i l o , 祀川hk e ( 奶， 2 0 0 上海大学硕，= 学位论文1 8 也即 ( t ) se ( o ) + f , i k i i u t q ( t 7 ) 1 1 2 十k l l o = 7 ( t ) 1 1 2 ) d t 7 十k f ge ( t ) 出 ( 3 3 1 4 ) 令 p ( t ) = e ( o ) + ( f | ”( t 引f 2 + r ，i f 岛q ( f ，) f f 2 ，d t 7 j 0 从而： e ( o ) p ( o ) ( 3 3 1 5 ) 由引理22 中可以得到： 恸( 。7 ) 1 1 茎。7 惭( 。) 1 1 觚1 6 1 i l ? 7 ( t 引in 1 7 i i u ( t 7 ) 1 1 ， 。 这样对p ( ) ，就存在足够大的n 使得下面不等式成立： j d ( 丁) e k t1 6 ，( 3 3 1 7 ) 从而知引理2 3 的条件是满足的，这样由引理2 3 和( 3 3 1 4 ) 不难得到： e ( t ) p ( t ) e m ( 3 31 8 ) 将e ( t ) = 1 i o 。e 旷十吲2 代入( 3 3 1 8 ) 中就有： i f d 。e ( t ) l l + t e ( t ) isv 7 酉e k 。 ( 3 3 1 9 ) 又由 f “一t t n f f ! lj “一p 知“ j + p “一甜 j ，同时因为e p n ，所以就有j i e l is e | | 如e m 从而得： f | 札一u i f l f f 叩1 1 1 + c l i o = e l i 则由( 2 3 6 ) 和( 3 3 1 9 ) 可得 定理3 1 对? f 离散格式( 3 2 1 ) ，对常数r 芝2 ，如果 儿(