（应用数学专业论文）非线性仿射控制系统的可行控制lyapunov函数.pdf

武汉科技大学硕士学位论文第1 页 摘要 利用控制l y a p u n o v 函数来设计反馈控制器使得非线性仿射控制系统全局渐进稳定是 一种有效方法，线性定常系统的稳定性分析方法很多。然而，对于非线性系统和线性时变系 统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至不可能l y a p l l i l o v 稳定性分析是解决非 线性系统稳定性问题的一般方法。为了使得一种反馈控制器具有连续性，s o n t a g 提出控制 l y a p u n o v 函数应具有小控制性，即要求在原点连续反馈控制器存在，该条件在实际中无法 应用针对这一问题本文提出了聚点条件来保证反馈控制器具有连续性，该条件直接对选择 的控制l y a p u n o v 函数进行验证，并且聚点条件还是必要的。 本文的主要做了以下三个工作 1 首先给出一类反馈控制映射下半连续的充分必要条件，解决了非线性仿射控制系统 的连续反馈控制器存在性问题； 2 其次，提出了可行控制l y a p u n o v 函数，将状态反馈限制在允许的范围之内，使之更 符合实际； 3 最后将可行控制l y a p u n o v 函数放宽为非严格可行控制l y a p u n o v 函数，扩大了可行 控制l y a p u n o v 函数的寻找范围。 关键词：非线性仿射控制系统；连续反馈控制器；可行控制l y a p u n o v 函数；非严格可行 控制l y a p u n o v 函数； a b s t r a c t i i lo r d e rt 0m a l ( et h en o n l i n e a rc o n t r o l - a f f i n es y s t e m sb e c o m eg l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l e ， i ti se 行e c t i v et od e s i 龋ak i n do f f e e d b a c kc o n t r o l l e rb ym e a n s o fl y a p u n o vf u n c t i o n i na d d i t l o n ， m i sw a yh a u sd r a w n 伊e a ta t t e n t i o ni nr e c e n ty e a r s t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t h c v - s t a b i l i z a b l e o fn o n l i n e a rc o n t r 0 1 a f f i n es y s t e m s w ei n t r o d u c eal i m i tc o n d i t i o n i n s t e a do ft h es m a l lc o n t r o l p r o p e n ya n dp r o v et h a tt h es o n t a gf o r m u l a i sc o n t i n u o u sw i t ht h ea c c u m u l a t i o np o i n tc o n d i t i o n f r o mt h i s ，ar e s u l ts i m i l a rt os o n t a g st h e o r e mi sc o n c l u d e d t h r e ew o r k sa r ed o n ei nt h i sp a p e r f i r s t ，t h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o na b o u t t h e l o w e rs e n l i c o n t i n u o u s n e s so ff e e d b a c kc o n t r o lm a p p i n gi si n t r o d u c e d ，w h i c hs o l v e st h ep r o b l e n l o nm ee x i s t e n c eo fc o n t i n u o u sf e e d b a c k c o n t r o l l e ri nt h en o n l i n e a rc o n t r o l 。a f f i n es y s t e m s s e c o n d t h ef e a s i b l ec o n t r o ll y a p u n o vf u n c t i o ni si n t r o d u c e d ，w h i c hr e s t r i c t st h e s t a t ef e e d b a c k u n d e rd e n n i s s i v es c o p ea n dm a k e si tm o r ep r a c t i c a l f i n a l l y , t h ef e a s i b l e c o n t r o ll y a p u n 0 v 缸1 c t i o ni s 坩p l a c e db yn o n s t r i a f e a s i b l ec o n t r o ll y a p u n o vf u n c t i o n i nt h en o n l i n e a f c o n t r 0 1 a f f i n es y s t e m ss ot h a tt h es c o p eo ft h ec o n t r o ll y a p u n o v f u n c t i o nl se x p a n d e d k e yw o r d s ：n 。n l i n e a rc o n t r 0 1 a f f i n es y s t e m ；c o n t i n u o u sf e e d b a c kc o n t r o l l e r ；f e a s i b l ec o n 仰l l y a p u n o vf u n c t i o n ；n o n - s t r i c tf e a s i b l ec o n t r o ll y a p u n o vf u n c t i o n ； 武汉科技大学 研究生学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立进行研 究所取得的成果。除了文中已经注明引用的内容或属合作研究共同完成的 工作外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 论文作者签名：盔耳日期：血卫j l l 研究生学位论文版权使用授权声明 本论文的研究成果归武汉科技大学所有，其研究内容不得以其它单位 的名义发表。本人完全了解武汉科技大学有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查 阅和借阅，同意学校将本论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索。 论文作者签名： 垄翠 指导教师签名：整竺垒 日 期： 垒墨：! 兰：! 武汉科技大学硕士学位论文第1 页 1 1 引言 第一章绪论 非对称度量顾名思义就是不确保对称性的一种广义度量，由于受到国外部分学者的重 视，其在非线性系统研究中的重要性己初现端倪。本文主要对非对称度量空间进行一系列 具有一定创新的基础介绍主要对将非对称度量应用到非线性控制方面。非对称度量动力系 统，非对称度量诱导的拓扑是介于一般拓扑和由度量诱导的拓扑之间的拓扑，因此，非对称 度量动力系统具有高度概括性而不过于宽泛。这样从另一个方面拓宽的是：提出一种分布式 状态动力系统，即系统的状态不止是一个点，而是状态空间中的一种分布。两者结合，也 就是以状态空间上的分布函数作为状态点的非对称度量动力系统。文章专门对一类非线性 仿射控制系统的镇定性进行研究，通过反馈控制映射的下半连续性来确定系统的连续镇定 性。利用控制l y a p u n o v 函数来设计反馈控制器使得非线性仿射控制系统全局渐进稳定是 一种有效方法，线性定常系统的稳定性分析方法很多然而，对于非线性系统和线性时变系 统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至不可能l y a p u n o v 稳定性分析是解决非 线性系统稳定性问题的一般方法。 1 2 文献综述 一百多年以前( 1 8 9 2 年) ，伟大的俄国数学力学家亚历山大米哈依诺维奇李亚普诺夫 ( a m l y a p u n o v ) ( 1 8 5 7 1 9 1 8 ) ，以其天才条件和精心研究，创造性地发表了其博士论文”运动稳 定性的一般问题”，给出了稳定性概念的严格数学定义，并提出了解决稳定性问题的方法，从 而奠定了现代稳定性理论的基础。 在这一历史性著作中，l y a p u n o v 研究了平衡状态及其稳定性，运动及其稳定性，扰动方程 的稳定性，得到了系统的给定运动( 包括平衡状态) 的稳定性，等价于给定运动( 包括平衡状态) 的扰动方程之原点( 或零解) 的稳定性。 在上述基础上，l y a p u n o v 提出了两类解决稳定性问题的方法，即l y a p u n o v 第一法和 l y a p u n o v 第二法。 第一法通过求解微分方程的解来分析运动稳定性，即通过分析非线性系统线性化方程 特征值分布来判别原非线性系统的稳定性： 第二法则是一种定性方法，它无需求解困难的非线性微分方程，而转而构造一个 l y a p u n o v 函数，研究它的正定性及其对时间的沿系统方程解的全导数的负定或半负定，来得 到稳定性的结论这一方法在学术界广泛应用，影响极其深远一般我们所说的l y a p u n o v 方 法就是指l y a p u n o v 第二法发展概况从1 9 世纪末以来，李雅普诺夫稳定性理论一直 指导着关于稳定性的研究和应用。不少学者遵循李雅普诺夫所开辟的研究路线对第二 方法作了一些新的发展。一方面，李雅普诺夫第二方法被推广到研究一般系统的稳定 性。例如，19 5 7 年，b 纠祖博夫将李雅普诺夫方法用于研究度量空间中不变集合 第2 页武汉科技大学硕士学位论文 的稳定性。随后，j p 拉萨尔等又对各种形式抽象系统的李雅普诺夫稳定性进行了研 究。在这些研究中，系统的描述不限于微分方程或差分方程，运动平衡状态已采用不 变集合表示，李雅普诺夫函数是在更一般意义下定义的。19 6 7 年，d 布肖对表征在 集合与映射水平上的系统建立了李雅普诺夫第二方法。这时，李雅普诺夫函数已不在 实数域上取值，而是在有序定义的半格上取值。另一方面，李雅普诺夫第二方法被用于 研究大系统或多级系统的稳定性。此时，李雅普诺夫函数被推广为向量形式，称为向量 李雅普诺夫函数。用这种方法可建立大系统稳定性的充分条件。 系统的受扰运动和平衡状态稳定性问题的实质是考察系统由初始状态扰动引起的受 扰运动能否趋近或返回到原平衡状态。用而表示初始状态扰动，则受扰运动就是系统状 态方程f ( x ，t ) 在初始时刻气时受到状态扰动x ( 气) = 后的解。其中是n 维状态向 量，f i x ，t ) 是以x 和时间t 为自变量的一个n 维非线性向量函数。在满足一定条件时，这 个状态方程有惟一解。系统的受扰运动是随时间t 而变化的，而其变化又与初始扰动 和作用时刻气有直接的关系，数学上表示为依赖于这些量的一个向量函数，记为叩( t ； 而，岛) 。在以状态x 的分量为坐标轴构成的状态空间中，随着时间t 增加，受扰运动p ( t ； 而，气) 表现为从而点出发的一条轨线。平衡状态是系统处于相对静止时的运动状态， 用t 表示，其特点是对时间的导数恒等于零，可由求解函数方程f ( t ，t ) = 0 来定出。为 便于表示和分析，常把平衡点艺规定为状态空间的原点，这可通过适当的坐标变换来实 现。冈此李雅普诺夫第二方法可归结为研究受扰运动轨线相对于状态空间原点的稳定性。 李雅普诺夫意义下的稳定性指对系统平衡状态为稳定或不稳定所规定的标准。主 要涉及稳定、渐近稳定、大范闱渐近稳定和不稳定。 稳定 用s ( ) 表示状态空间中以原点为球心以为半径的一个球域，s ( 6 ) 表示另 一个半径为6 的球域。如果对于任意选定的每一个域s ( ) ，必然存在相应的一个域s ( 6 ) ， 其中6 0 伍m 班降掣心 斗2 叱一。b 镌 = 一2 x ：0 + 而) 2 容易看出，除了两种情况： ( a ) 五任意，而置0 ( b ) 薯任意，艺三一1 时v ( x ) = 0 以外，均有v ( x ) 0 。所以，v ( x ) 为负半定。 ( i i i ) 检查y ( 痧x o ，o ) ) 是否恒等于零。 考察情况( a ) ：状态轨线( f ；黾，o ) = 【_ ( f ) ，o 】，j i ! u jg a - t - x 2 ( t ) 兰0 ，可导出毫( f ) 三0 ，将此代入 系统的方程可得： 毫( f ) = x 2 ( t ) 兰0 0 = 毫) = 一0 + 吃o ) ) 2 而o ) 一五( t ) = 一葺( ) 这表明，除- j a ( 五= o ，x 2 = o ) 外，口i f t ；x o ，o ) - - i x l ( f ) ，o 】1 不是系统的受扰运动解。 考察情况( b ) ： 多( f ；，o ) = 【_ ( f ) ，一l 】t ，则由( f ) = 一l 可导出岛( f ) = o ，将此代入系统的方程可 得： 毫( f ) = x z ( t ) 兰一1 0 = 岛( f ) = 一( 1 + 而0 ) ) 2 畅( f ) 一五0 ) = 一( f ) 显然这是一个矛盾的结果，表明( f ；，o ) = 【_ ( f ) ，一l 】1 也不是系统的受扰运动解。综上分析可知， 第4 页武汉科技大学硕士学位论文 矿( ( f ；x 0 ，0 ) ) 0 。 ( i v ) i x l l = 五2 + 而2 专时，显然有矿( 工) = l l x l l 2 一。 于是，可以断言，此系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。 1 3 课题研究的目的和意义 本文介绍了l y a p u n o v 函数的一般知识，介绍了文章所考虑的背景知识，介绍了通过 l y a p u n o v 函数设计反馈控制器使得非线性仿射控制系统全局渐进稳定是一种有效的方法 为了使得一种反馈控制器具有连续性，s o n t a g 提出控制l y a p u n o v 函数应具有小控制性， 即要求在原点连续反馈控制器存在，该条件在实际中无法应用针对这一问题本文提出了聚 点条件来保证反馈控制器具有连续性，该条件直接对选择的控制l y a p u n o v 函数进行验证， 并且聚点条件还是必要的 本课题研究了非线性反馈映射的下半连续性，从而得到在非线性仿射控制系统的镇定 问题中s o n t a g 控制律连续的一个充分必要条件；提出可行控制l y a p u n o v 函数，使得状态 反馈在一定约束下进行，这样更符合实际情况；最后提出非严格可行控制l y a p u n o v 函数 概念，从而扩大了在研究了非线性仿射控制系统的c o 镇定问题时，控制l y a p u n o v 函数的 寻找范围。 1 4 文章的编排 第一章绪论 第二章介绍基础知识 第三章介绍了作者所作的工作及创新之处 第四章举例说明及结论 武汉科技大学硕士学位论文第5 页 第二章基础知识简介 利用控制l y a p u n o v 函数来设计反馈控制器使得非线性仿射控制系统全局渐进稳定是 一种有效方法，近年来得到重视。一个非线性仿射控制系统是否存在一个连续的反馈控制 器使得非线性仿射控制系统全局渐进稳定，这对设计者来讲是一个关键问题。s o n t a g 在他 的文章中给出了反馈控制器的一般公式，并给出s o n t a g 公式在原点连续的充分必要条件， 文章对这个问题展开研究，并且将控制l y a p u n o v 函数分别推广为可行控制l y p a u n o v 函数， 非严格可行控制l y p a u n o v 函数。 本文安排如下：2 1 节背景知识介绍了本文研究的对象，及c ”一镇定，2 2 节s o n t a g 定理。2 3 节介绍聚点条件。2 4 节介绍非对称度量。本章将介绍非对称的一些理论知识 以及利用控制l y a p u n o v 函数来设计反馈控制器的背景以及现有的相关结果。下一章则将 控制l y a p u n o v 函数提出了可行控制l y a p u n o v 函数，将状态反馈限制在允许的范围之内， 使之更符合实际。 2 1非线性仿射控制系统的c o 稳定性 本文所考虑的是如下非线性仿射控制系统 j = f ( x ) + g ( x ) u ( 1 ) 其中：x r ”为系统状态变量，函数：足”一r ”与g ：r ”一尺肼”是连续函数，u r “是 控制向量，并且厂( 0 ) = 0 如果能够找到一个连续的控制器“= a ( x ) ，使得非线性仿射控制系统( 1 ) 是全局渐进 稳定，称系统是c o 镇定的( c o - s t a b i l i z a b l e ) 1 为了解决这个问题，l y a p u n o v 函数方 法是一个有力工具 考虑系统( 1 ) 的一个待选的l y a p u n o v 函数v ：r ”一 o ，o o ) ，其对时间的导数： 矿= l 矿+ t 玩 ( 2 ) 其帆l t v - - o 呶r ( 虮v = 豢酣 为使系统( 1 ) c o 镇定，需要确定两个函数，一个连续的控制器u = a ( x ) ，一个在该 控制器下，导函数负定的l y a p u n o v 函数矿( x ) 1 9 8 3 年a r t s t e i n 2 和s o n t a g 3 同时提出 了所谓控制l y a p u n o v 函数( t h ec o n t r o ll y a p u n o vf u n c t i o n ) 概念 第6 页武汉科技大学硕士学位论文 一个光滑、正定、一致无界函数矿( 石) 称作是控制l y a p u n o v 函数( 简称c l f ) ，如果满 足条件 i n f l z v + l g 玩) 0 ，v x 0 ( 3 ) 条件( 4 ) 也可以替换为等价形式 g y = 0jl i v 0 ， v x 0 ( 4 ) 注：条件( 3 ) 表明对于所选择的l y a p u n o v 函数y ( z ) ，应存在控制u ，使得它的导数矿在 原点以外始终为负值当。矿o 时，, b 可以k u 使得矿 o ，而当三，v = o 时，控制“不会对矿 起作用，因此( 4 ) 表明要求选择的l y a p u n o v 函数y ( x ) 此时满足l z v 0 2 2 s o n t a g 公式 s o n t a g 在文献 4 证明，如果非线性仿射控制系统( 1 ) 存在一个控制l y a p u n o v 函数 y ( x ) ，那么就可以找到使得导数矿负定的控制律甜，并且给出一个由控制l y a p u n o v 函数 y ( x ) 确定的一般公式( s o n t a g sf o r m u l a ) ： 口，。工，：兰!二j压乏至善铲cty，r，ty。5， 【0lgv=0 为了保证s o n t a g 公式在原点连续，s o n t a g 对控制l y a p u n o v 函数矿( x ) 的选择提出进 一步的要求： 一个控制l y a p u n o v 函数y ( 工) 称作具有小控制性，如果存在r “上连续的控制律( x ) 使得 0 y + t y 吃 ( 7 ) 的聚点，则 l i m 生坠! ：o( 8 ) 茹il g v ( x ) l 成立 直观地讲，针对，矿o ) 0 区域，三- r y ) 在原点是三g 矿 ) 的高阶无穷小 定理1 如果c l f 矿( z ) 满足聚点条件，那么它的s o n t a g 公式在尺“上连续 证明考虑s o n t a g 控制律口，( z ) 在任意点x 。r ”的连续性 对于0 ，分两种情形讨论： 如果g v ( x 。) 0 ，根据函数g y ( x ) 的连续性，存在而的一个邻域，使得在该邻域内 l g v ( x o ) 0 ，由于函数口，( 砷在该邻域上是一个初等函数表示，所以口，( 功在点而连续 如果t 矿( 粕) = 0 ，根据控制l y a p u n o v 函数矿( 功定义l s v ( x o ) 少，j + x ，少) = z y = z z + z y d + x ，z ) + d + ( z ，j ，) 当x j ，d + ( x ，y ) = o d + ( x ，z ) + d + ( z ，y ) 。所以d + ( x ，y ) j + ( z ) + d + ( z ，y ) 。 ) 若d + ( z ，y ) = o 贝, l jx 口知，若j + ( x ，口) 万则x 一口 艿。所以曰+ ( 口，万) = - - - o o ，口+ 万) 。 武汉科技大学硕士学位论文第1 1 页 例2 ：在冗维实线性空间上，定义实值函数d + ：r ”xr ”一尺， d + ( 石，夕) = - - 三l 萎m a x 薯一咒，。 其中x = ( 五，而，) ，y = ( j ，。，奶，y n ) 尺”。则( r ”，d + ) 是 非对称度量空间；偏序关系x 毛+ y ( e pd + ( x , y ) = o ) 表示五- y l ，恐儿，咒。 证：2 j 显然d + “y ) o ，d + ( 五x ) = o n _ ) 令d + ( 而，y i ) = m a x x , - y i ，0 ，由例3 知d + ( 薯，咒) d + ( t ，z f ) + j + ( z f ，y ；) 。 z = ( z 1 z 。) r “ 所以去喜d + ( 再，咒) 丢喜d + ( 薯，名) + 丢喜d + ( 乃，m ) ，即d + ( 五y ) d + ( 五z ) + d + ( z ，y ) 。 i i i ) 若d + ( x ，y ) = o 贝f j 咒，若d + ( y ，工) = o 贝0y i 毛。所以当d + ( z ，y ) = o 且 d + ( y ，x ) = 0 时，有薯= 只i = 1 ，2 ，n ，即x = y 。 所以( r “，d + ) 是非对称度量空间。 第1 2 页 武汉科技大学硕士学位论文 第三章非线性仿射控制系统的可行控制l y a p u n o v 函数 本章的的第3 1 给出反馈控制映射c 是下半连续的充分必要条件，提出可行控制 l y a p u n o v 函数；第3 2 证明反馈控制映射c 是下半连续的，那么s o n t a g 公式在足”上连续， 得到系统( 1 ) 是c o 一镇定的充分必要条件；第3 3 节提出非严格可行控制l y a p u n o v 函数，得 到系统( 1 ) 是c o 一镇定的充分必要条件。 3 1 反馈控制映射的下半连续性 设x ，】，z 是集合，f ：x y - - 4 z 是单值函数，u ：x 专y ，t ：x 哼z 是集值映射。 称集值映射c ：x - - - ) y c ( 功= “u ( x ) ：f ( x ，“) 丁( 功) ( 7 ) 为反馈控制映射。 考虑一类特殊的反馈控制映射。设石，y 是线性赋范空j 、日j ，u ：x 一】，是集值映射， f ：x y 专r 是连续的单值仿射，取反馈控制映射c ：x 一】，： c = 懦卜脚冰研 6 ( 曲u ( 8 ) 6 ( x ) = 0 。 记a ( x ) = f ( x ，0 ) ，b ( x ) u = f ( x ，0 ) f ( x ，u ) ，v x x ；记 6 ( x ) i i c ，= s u p b ( x ) u ：u u ( x ) ，0ul i 1 ) 定理1 设x ，y 是线性赋范空间，u ：x 一】，是下半连续集值映射，满足条件：v x x u 【，( z ) ，0 旯1 = 今2 u u ( 力( 1 0 ) f ：x y 专r 是连续的单值仿射，满足条件：v x x ，6 ( x ) 连续且0b ( x ) 忆 - b o o 。 则反馈控制映射c 下半连续的充分必要条件是： ( 1 ) 当b ( x o ) 0 时，3 u u ( x o ) 使f ( x o ，“) 0 ，u o c ( x o ) ，依照反馈控制映射c 定义， 武汉科技大学硕士学位论文 第1 3 页 材o u 瓴) 并r f ( x o ，“。) 0 ( 不 妨设7 7 占) ，使得当l lx - - x 0l i 刁，怕一“ol i 0 ( 不妨设万 刁) ， 使得当i i 工一x ol l 万时，u ( x ) nb ( u o ，刁) 。取，u ( x )b ( u o ，7 7 ) ， 贝u1 ，u ( 工) ， v b ( “o ，7 ) cb ( u o ，占) ，并且b ( x ) 0 ，f ( x ，v ) 0 ， 这表明： 当l | x - - x oi l 0 ( 占 。， 使得i ix - x oi l 万， 当6 ( 工) 。时，彳爱若誓 三成立， 即 ；2 f ( 工，。) i ib ( x ) 1 1 u ，据i ib ( x ) 1 1 u 定义，了v u ( 工) ，i ivi i l ，使得吾f ( x ，。) 6 ( x ) ，。令 1 ，= 詈，则1 ，u ( x ) ，1 ，b ( o ，s ) ，f ( x ，v ) 0 ，即c ( x ) 厂、b ( o ，s ) ；对于i i 工一z o0 万， 当b ( x ) = 0 时，由于c ( x ) = 0 ) ，0 c ( x ) 厂、b ( o ，g ) ，所以当| j - - x 0j i 0 ， 使得当i iz 一工oi | 万时，c ( x ) r 、b ( 0 ，g ) o ，取v c ( x ) r 、b ( o ，s ) ，当b ( x ) 0 时，有 f ( x ，1 ，) 0 ，贝0 ，u ( x ) ，i iv0 s ，以( x ) - b ( x ) v = f ( x ，v ) 0 ，使得当0 l | x z ol i 艿， 塑! ! 里 一 武汉科技大学硕士学位论文 一： ： ：= ：= ：= 二： x er ic , 嵩瓴显然当0 i 卜引i 万州咖。时，高 s 成立，得条 件( 2 ) ；反之显然。 为了更具一般性，设【，：r ”一r 脚是集值映射，要求状态反馈控制器满足可行条件： 口( 功u ( 功，v x r “ ( 1 1 ) 定义1 光滑、正定、一致无界函数y ( x ) 称作是可行控制l y 印u i l o v 函数，如果满足条 件 。缈) 0 y + t 玩) o , v x 0 ( 1 2 ) 定义2 设矿( x ) 是可行控制l y a p u n o v 函数，令c ：x 寸y c c 曲= 墨) ! e u 功：。矿+ 乓玩 o ，乓矿( 功o )( 1 4 ) 的聚点，则 l i m 熹羔：o (15)ii茹| it 矿( 功u 。 引 成立，其中j jt y ( 曲忆= s u p l g v ( x ) u ：u ( 功，l f “临1 ) 。 从定理l 可直接得到： 定理3 如果可行控制l y a p u n o v 函数满足聚点条件，则l y a p u n o v 反馈控制映射c 是下 半连续的。 3 2 s o n t a g 公式的连续性 定理4 如果可行控制l y a p u n o v 函数y ( x ) 的l y a p u n o v 反馈控制映射c 是下半连续的， 那么它的s o n t a g 公式在r “上连续。 证明考虑s o n t a g 控制律口，( x ) 在任意点r ”的连续性。分两种情形讨论： 如果三譬v ( x 。) o ，根据函数三g 矿( 工) 的连续性，存在而的一个邻域，使得在该邻域内 t 矿( 功o ，由于函数哎( 矽在该邻域上是一个初等函数表示，所以( 力在点连续。 武汉科技大学硕士学位论文第1 5 页 如果g v ( x o ) = 0 ，则 i口，cx，一口，c，i 三，y + 肛万百巧丽 三g y ( t y ) r 0 i lt 矿l ，三g v 0 ( 1 6 ) g v = 0 当而o ，根据控制l y a p u n o v 函数y ( 工) 定义，l f v ( x o ) 0 ，使得当l lxl l 万时，c ( x ) nb ( o ，e 1 4 ) g 以及lt 矿i s 互成立。如果| | xi i 6 ， l i y ( x ) 0 ，贝ui 口，( 工) 一口，( ) l il g y ( x ) i 占；女果i i 工0 0 ，此时必有 t y ( x ) 0 ，由c ( x ) nb ( o ，e 4 ) g ，存在“c ( x ) c 、b ( o ，占4 ) ，使得l s v + l g v u 0 ， “b ( o ，z 4 ) ，于是l f v l 三g yie 1 4 ， 口，c曲一口，cz。，li兰2二二型笪亏善菩乒“ty l 占 推论系统( 1 ) 是c o 镇定的充分必要条件是存在一个满足聚点条件的可行控制 l y a p u n o v 函数v ( x ) 。 3 3 非严格可行控制l y a p u n o v 函数 定义4 一个光滑、正定、一致无界函数矿( 工) 称作是一个非严格可行控制l y a p u n o v 函 数，如果满足条件v x r ”， ( 1 ) g v ( x ) = 0jt v v ( x ) 0 ， ( 2 ) l g y ( x ) 0j3 u u ( x ) ，l i 矿+ t 玩 o , l g 矿( x ) 0 ) 的聚点，则 l i m 生坠! ：o 。 ，x 。- - * x 。lt y ( d 定理5 满足聚点条件的非严格可行控制l y a p u n o v 函数矿( 力其s o n t a g 公式在尺一上连 续。 证明对于任意x 。r “，分两种情形讨论： 如果三g v ( x o ) s 0 ，证明同定理4 。 如果g v ( x 。) = 0 ，根据非严格可行控制l y a p u n o v 函数矿( x ) 条件知三，矿( ) o ，对于 l s v ( x o ) o ，恐o ) 的聚点，并且对于任意( 口，o ) s l i m 掣翼= l i m 卑：o ：劣l 乓y ( x ) i x i - - - a 。i 屯l 屯| i 一 因此，r e l f y ( 石) 满足聚点条件，由定理3 得知n c i f 矿( x ) 确定的s o n t a g 控制律口，( x ) 是连续的经简单验证控制律 口，( 砷2 ，恐0 屯= 0 是连续的 假定x ( f ) = ( 而( f ) ，( f ) ) r 是s o n t a g 控制律口，( 功下系统( 1 5 ) 的轨迹，并且工( f ) s 则有而( f ) 兰0 ，代入到( 1 5 ) 中第二式，有j c l ( f ) - 0 ，表明s 中只有平凡解。由定理4 ，系 统( 1 5 ) 在连续控制律“= 口，( 功下是全局渐进稳定的 武汉科技大学硕士学位论文 第1 9 页 4 2 总结 本篇文章作者首先介绍了l y a p u n o v 函数的一般知识，介绍了文章所考虑的背景知识，本 文的创新之处在于，通过l y a p u l l o v 函数设计反馈控制器使得非线性仿射控制系统全局渐 进稳定是一种有效的方法为了使得一种反馈控制器具有连续性，s o n t a g 提出控制l y a p u n o v 函数应具有小控制性，即要求在原点连续反馈控制器存在，该条件在实际中无法应用针对 这一问题本文提出了聚点条件来保证反馈控制器具有连续性，该条件直接对选择的控制 l y a p u n o v 函数进行验证，并且聚点条件还是必要的 本文首先研究了非线性反馈映射的下半连续性，从而得到在非线性仿射控制系统的镇定 问题中s o n t a g 控制律连续的一个充分必要条件：提出可行控制l y a p u n o v 函数，使得状态 反馈在一定约束下进行，这样更符合实际情况；最后提出非严格可行控制l y a p u n o v 函数 概念，从而扩大了在研究了非线性仿射控制系统的c o 镇定问题时，控制l y a p u n o v 函数的 寻找范围。 4 3 今后课题研究方向 1 进一步探讨。 文章提出了非严格可行控制l y p a u n o v 函数如何选取以及如何验证非严格可行控制 l y p a u n o v 函数是否满足聚点条件，只举了一个例子来验证大部分还没有作进一步的研究 今后多考虑一些与实际结合的应用举例。 2 非对称度量空间的基本理论的深入研究。 非对称度量空间的上完备化问题是一个需要研究的问题，非对称度量空间的上完备是 对空间要求比较低的一种完备性，研究将非对称度量空间中的上柯西序列都收集到空间罩 来，是否成为一个上完备非对称度量空间。非对称度量空间上不动点定理，不动点定理是 非线性分析的必不可少的工具，一些著名的不动点定理能否在非对称度量空间上得到推 广。 3 非对称度量动力系统。 文章专门对类非线性仿射控制系统的镇定性进行研究，通过反馈控制映射的下半连 续性来确定系统的连续镇定性。非对称度量诱导的拓扑是介于一般拓扑和由度量诱导的拓 扑之间的拓扑，因此，非对称度量动力系统具有高度概括性而不过于宽泛。文章还可以从 另一个方面拓宽的是：提出一种分布式状态动力系统，即系统的状态不止是一个点，而是 状态空间中的一种分布。两者结合，也就是以状态空间上的分布函数作为状态点的非对 称度量动力系统。如果状态空问上的分布函数选择的是集合的特征函数并且选用 h u a d s o r f f 半距离，则获得一集射动力系统，熟知的集值动力系统是集射动力系统，今后 着重对一类单调集射动力系统的极限集、不变性以及稳定性进行研究：如果状态空间上的 分布函数选择的是模糊集合的特征函数，选用模糊集合的兄一截集的h u a d s o r f f 半距离， 则获得一系列模糊集射动力系统：如果状态空间上的分布函数选择的是随机分柿函数，选用 第2 0 页 武汉科技大学硕士学位论文 k u l b l a c k l e i b l e r 距离或前面提到的可测集之间非对称度量，则获得一类随机动力系统。 武汉科技大学硕士学位论文 第2 1 页 结论 本章得到的主要结果： 1 考虑一类由仿射决定的反馈控制映射，得到该类反馈控制映射是下半连续的充分必 要条件。 2 采用控制l y p a u n o v 函数设计反馈控制器时，状态反馈没有给出任何限制，在实际情 况中，不可能没有限制地设计反馈控制器。本章提出了状态反馈控制器具有一定约束条件 的可行控制l y p a u n o v 函数：得到结论：当采用可行控制l y p a u n o v 函数时，反馈控制映射下 半连续的充分必要条件是可行控制l y p a u n o v 函数满足聚点条件。 3s o n t g a 强调：s o n t g a 控制律连续的充分必要条件是存在一个在原点连续控制器，即 所谓具有小控制性，小控制性条件增加是毫无意义的。文章证明s n o t g a 控制律连续的充 分必要条件是反馈控制映射下半连续，因而，得到s o n t g a 控制律连续的一个充分必要条 件。 4 提出非严格可行控制l y p a u n o v 函数概念，当采用满足聚点条件的非严格可行控制 l y p a u n o v 函数，设计的s o n t g a 控制律是连续的，并且使得非线性仿射反馈系统是是全局 渐进稳定的。由于采用非严格可行控制l y p a u n o v 函数，扩大了在研究了非线性仿射控制 系统的c 镇定问题时，控制l y p a u n o v 函数的寻找范围。 5 通过对一个带摩擦的弹簧控制系统的例子的分析，说明非严格可行控制l y p a u n o v 函 数如何选取以及如何验证非严格可行控制l y p a u n o v 函数是否满足聚点条件。 对非对称度量空间的研究还处在起步阶段，目前国外只有少数几个学者在进行研究， 在非对称度量空问的拓扑结构，应用主要是理论计算机科学，国内几乎没有得到学者注意。 本文通过分析和研究，在理论和应用上获得创新性成果，为非对称度量空间理论的发 展和应用的推广起到促进作用。 第2 2 页武汉科技大学硕士学位论文 参考文献 【1 】m m a l i s o f f e d s o n t a g a s y m p t o t i cc o n t r o l l a b i l i t ya n di n p u t - t o s t a t es t a b i l i z a t i o n 【j 】 l e c t u r en o t e si nc o n t r o la n di n f o r m a t i o ns c i e n c e s ：2 0 0 4 ，( 1 ) ：15 5 17 2 2 】z a r t s t e i n s t a b i l i z a t i o nw i t hr e l a x e dc o n t r o l s 【j 】n o n l i n e a ra n a l y s i s ：19 8 3 ，t m a 7 ： 1 1 6 3 1 1 7 3 3 】e d s o n t a g al y a p u n o v l i k ec h a r a c t e r i z a t i o no fa s y m p t o t i cc o n t r o l l a b i l i t y 【j 】s i a m j o u r n a lo f c o n t r o la n do p t i m i z a t i o n 1 9 8 3 ，v 0 1 2 1