（应用数学专业论文）一维双极半导体流体力学模型的渐近估计.pdf

a s y m p t o t i cl i m i t so fon e d i m e n s i o n a l h y d r o d y n a m i cb i p o l a rm o d e l sf o rp l a s m a sa n d b e m l c o n d u c t o r s ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e dt o s o u t h e a s tu n i v e r s i t y f o rt h ea c a d e m i cd e g r e eo fm a s t e ro fs c i e n c e b y w a n gx u y a n g s u p e r v i s e db y g u a np i n g d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s s o u t h e a s tu n i v e r s i t y n o v e m b e r2 0 0 9 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示了谢意。 研究生签名：乏力垦壬d 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学，中国科学技术信息研究所，国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复 印件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和 纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布 ( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办 理。 研究生签名：主丝i 国 耳 日期：塑! ! ：! ：! ! 摘要 本文主要研究- 了e u l e r p o i s s o n 系统下的一维双极半导体流体力学模型，包括稳态 模型和瞬态模型。通过讨论，我们得到了三种主要参数的极限结果，其中包括零电子质量 极限( _ 0 ) 、零d e e 长度极限( 入_ 0 ) 和零松弛时间极限( r 一0 ) 等。 对于稳态模型 f 歹( z ) = j = 僦5 硎 i 岳( 簪+ p ( 佗) ) = 佗塞一褊 g c z ) = 夕= c d n 就硎 i 鑫( 一等+ p ( 口) ) = 一口鬈一祸 【入2 h e = 佗一q b ( x )z ( o ，1 ) 通过嵌入和弱解等方法，我们得到了模型的解在边界条件 隈邓= 1 下的极限情况，并给出相应极限的收敛速度。其中n o 0 ，n 1 0 ，q o 0 ，q 1 0 。 io t n + 岛歹= 0 l5 劬+ 如( 豇磬+ p ( 他) ) = 一扎e 一巧 o t q + 以9 = 0 le 侥夕+ a 0 ( 一丛磬+ p ( 口) ) = q e e g 【入2 如e = 佗一q b ( x ) ，z ) ( 0 ，+ 0 0 ) r 通过能量方法，我们也得到了模型的解在初值条件和边界条件 ， jn ( o ，z ) = n o ( x ) ，q ( o ，。) = q o ( z ) ，j ( o ，z ) = j o ( x ) ，g ( o ，z ) = g o ( z ) ， z r i1 i m z 。一e ( t ，z ) = e 1 0 ) ， a et ( 0 ，+ o o ) 下的各个极限，证明了解的强收敛并且给出了收敛速度。 关键词：零电子质量极限，零d e 妇e 长度极限，零松弛时间极限，双极流体力学模型， 电解液，半导体 a b s t r a c t t h i sp a p e rs t u d i e st h eo n e - d i m e n s i o n a lh y d r o d y n a m i cb i p o l a rm o d e l so fe u l e r - p o i s s o n s y s t e mf o rp l a s m a sa n ds e m i c o n d u c t o r s ，i n c l u d i n gs t e a d y - s t a t es y s t e ma n dt r a n s i e n ts y s t e m b ys t u d y i n gt h ez e r o - e l e c t r o n - m a s sl i m i t ，t h ez e r o - d e b y e - l e n g t h 1 i m i ta n dt h ez e r o - r e l a x a t i o n - t i m el i m i t ，w eg e tas e r i e so fe s t i m a t e st ot h es o l u t i o n s t ot h es t e a d y - s t a t em o d e l s 蹶邓2 1 i 侥n + 如= 0 i s 侥歹+ 以g 豇磬+ p ( n ) ) = 一n e 一可 侥g + 如9 = 0 l 6 0 t g + o x ( 一掣+ p ( 口) ) = q e 一9 【, 入2 0 x e = 佗一q b ( z ) ，z ) ( 0 ，+ 。o ) r b ye n e r g ye s t i m a t e s ，w es t u d yt h el i m i to ft h e s es o l u t i o n so nt h ef o l l o w i n gb o u n d a r ya n do r i g i n a l c o n d i t i o n s ， jn ( o ，z ) = 伽( z ) ，q ( o ，z ) = q o ( z ) ，j ( o ，z ) = 如( z ) ，g ( o ，z ) = 卯( z ) ， z r i l 妇一一o o e ( t ，z ) = e l ( 0 ， a e t ( 0 ，+ o o ) a n dg e tt h es t r o n gc o n v e r g e n c eo fs o l u t i o n s ，a n dg i v et h ec o r r e s p o n d i n g c o n v e r g e n c er a t e k e y - w o r d s ：z e r o - e l e c t r o n - m a s sl i m i t ，z e r o - d e b y e - l e n g t h - l i m i t ，z e r o - r e l a x a t i o n - t i m el i m i t ， h y d r o d y n a m i cb i p o l a rm o d e l s ，p l a s m a s ，s e m i c o n d u c t o r s 2 移豫耐罐眦酬 口 7 n i j 五 篡垩诽 n，帆d二_ 一枷啪州寸 础咖一却卜 ，j + 夕2一 = h 缸皇g 蜘 删她荆鼢凇 第一章绪论 第二章零电子质量极限 第三章零d e b y e 长度极限 第四章零松弛时间极限 第五章瞬态模型的能量估计 参考文献 附录一鸣谢 目录 3 l 5 8 3 6 o 2 1 l 2 2 第一章绪论 1 1 问题的背景 自然界中物质存在的形式是多种多样的，为了便于区别认知，人们按照它们的某些 相似的特性进行归类，通过对每个小类共同点的研究，从而达到更快更好认知的目的。比 如，按照存在状态的区别，可以分为固体、液体、气体、等离子体等等。而半导体就是根 据物质的导电能力进行分类的：通常把导电性和导热性差或不好的材料，如金刚石、人工 晶体、琥珀、陶瓷等等，称为绝缘体；而把导电、导热都比较好的金属如金、银、铜、铁、 锡、铝等称为导体；把介于导体和绝缘体之间的材料称为半导体。与导体和绝缘体相比， 半导体材料的发现是最晚的，直到2 0 世纪3 0 年代，当材料的提纯技术改进以后，半导体的 存在才真正被学术界认可。 半导体的这个特性，使得它在科学研究和生产生活中占有不可或缺的地位，尤其是 新材料的不断应用和计算机制造及应用的普及，半导体与人们的关系也越来越紧密。因 此，研究半导体的作用机制成为一个亟需解决的问题，为了解决这个问题，催生了一系列 半导体模型，如漂移扩散模型、流体力学方程等等。 随着半导体技术的不断发展和半导体产品的不断更新升级，半导体模型的构造越来越 趋向量子化，为更加方便的研究半导体模型，在2 0 世纪末期人们提出了以e u l e r p o i s s o n 为主体的量子力学方程。由于这种方程易于理论分析，并且经过实践的验证，这种方程得 到的理论结果具有较高的准确性，因此它也得到越来越多的认同，成为研究量子半导体 的一个重要模型。这也就是本文要研究的模型。 1 2 模型的推导 首先，我们给出一个含有波函数移的s c h r s d i n g e r 方程： i 侥妒= 一等妒一摊 2 妒( ，0 ) = 怕 ( z ，t ) r d ( o ，t ) z 舻 其中t 0 , d 1 , e o ；黾p l a s a c k 常数，西= 咖( z ，t ) 是电压。 1 9 2 7 年，m a d e l u n g 通过将妒= m e 印( z 酬e ) 的振幅和相位进行分离，并引入参量离子 浓度p = l 妒1 2 和电流密度j = p v s 从而得到了著名的m a d e t u n g 方程： o t p + d v j = 0 讲州孚) 一萼闪( 竽牝r d ( o 为了使得模型本身更符合半导体的特征，同时也为使得得到的结果更加符合实际，我 们在m a d e l l l l l g 方程中加入一个压力项和一个时间松弛项，然后再加上包含电压妒 拘p o i s s o n 方 2 东南大学硕士学位论文 程，就得到了基本的e u l e r o p o i s s o n 方程： 鼠p + 成巧= 0 劫m 了j j ) + 嘶) 一譬删竽) = - 孚 a 2 a = p b ( z )( 霉，t ) q ( 0 ，t ) ( 1 0 1 ) ( 1 0 2 ) ( 1 0 3 ) 其中qcr d 是一个有界区域，r o 是松弛时间，入 0 ：是d e b y e 长度，b 佃) 是半导体 器件中的掺杂浓度。压力函数p ( 力仅与离子浓度有关，一般情况下取p ( p ) = 罨矿，t 0 ，p 0 ，并且在等温情况下取- y = 1 ，在等熵情况下取1 1 。 考虑( 1 0 1 ) ( 1 0 3 ) 的不包含量子项的一维双极情况( 分别用n 和q 表示正负粒子) ，同 时将粒子的质量因素考虑进来，将( 1 0 2 ) 中的三阶导数项移除，就得到了瞬态e u l e r p a i s s o n 模型： 侥n + 如j = 0 蝴州e 掣州训= 州一5 高 侥g + 如9 = 0 e o t g + * 警吲g ) ) _ - g 如志 a 2 = 佗一q b ( z ) ( z ，t ) ( 0 ，1 ) ( o ，t ) ( 1 0 4 ) ( 1 0 5 ) ( 1 0 6 ) ( 1 0 7 ) ( 1 0 8 ) 同参考文献【6 】中相同，首先给出以下假设： ( h 1 ) b 三( o ，1 ) 且b ( z ) b o 0 ，v x ( 0 ，1 ) 。 ( h 2 ) n 一舻p ，( n ) ，口一q 2 p , ( q ) 在【0 ，o o ) 上严格单调增加。 暑) ( h 3 ) r c 1 ( 【o ，o o ) r ) 且丁( 佗，j ) 之v o 0 ，r ( q ，g ) r o 0 ，v ( n ，歹j 之【0 ，o o ) r 。 其中6 0 和v o 为常数。在考虑零松弛时间极限时，我们假设丁是个常数。 1 3 研究目的 考虑稳态情况，这时有n = 佗( z ) ，g = g ( z ) ，歹= j ( z ) ，g = 9 ( z ) 和西= ( z ) 。这时 方程( 1 0 4 ) 一( 1 0 8 ) 可以简化为： 歹( z ) = j = c o n s t a n t 丢c 等州训= n 差一焉 夕( z ) = g = c o n s t a n t 五d ( 一了e 9 2 + p ( g ) ) = 一q 塞一丽e g a 2 a ( i i = n q b ( z )茹( 0 ，1 ) ( 1 0 9 ) ( 1 0 i 0 ) ( 1 0 1 1 ) ( 1 0 1 2 ) ( 1 0 1 3 ) 第一章绪论 根据参考文献【6 】和 s l ，给出( 1 0 9 ) ( 1 0 1 3 ) 如下的边界条件： n ( o ) = 伽， n ( 1 ) = n l q ( o ) = q o ，q ( 1 ) = 口1 ( o ) = 0 其中n o 0 ，r t l 0 ，q o 0 ，q l 0 。 ( 1 0 1 4 ) ( 1 0 1 5 ) ( 1 0 1 6 ) 3 在求解上面的问题前，先考虑一个特殊情况，即方程有古典光滑解时的情况。这时， 将( 1 0 1 0 ) 除以n ，( 1 0 1 2 ) 除以q ，再分别关于z 求导数，然后分别代入方程( 1 0 1 1 ) 和( 1 0 1 2 ) 可 得 掣+旦dxf堕rntn-b(z)-qm、dx ( 1 0 1 7 ) j 如2 舻 7 。 、7 辔+ 旦d x ( 筹一学) ：o ( 1 o 1 8 ) 如2 、r 口a 2 7 。 、7 其中f ( 几) 和g ( n ) 分别定义为： f ( 佗) 2 券+ 危( 哟 g ( 啦一筹舶( g ) ( 1 0 1 9 ) 九( n ) = 元1 p ( 佗) ，危( q ) = 考p ，( q ) ，九( 1 ) = o 由一致椭圆的定义可以知道当( 佗) 0 时方程( 1 0 1 7 ) 为椭圆方程，当d ( q ) 0 时 方程( 1 0 1 8 ) 为椭圆方程。例如：当亿2 矿( 住) 巧2 时这两个条件就都满足，而这个条件同 亚音速条件( 见文献 6 1 ) 是等价的。这样我们就可以先考虑方程( 1 0 1 4 ) 一( 1 0 1 5 ) 和( 1 0 1 7 ) 一 ( 1 0 1 8 ) ，再由( 1 0 1 3 ) 和( 1 0 1 6 ) 确定电压咖在z = 1 时的边界值 戛 她) - f ( 一f ( n o ) + 赢如 一g ( q 1 ) + c ( q o ) 一赢如 分别通过将方程( 1 0 1 0 ) 和( 1 0 1 2 ) 在( o ，1 ) 上积分得到。 而方程在h 1 ( o ，1 ) 上的满足假设( h 1 ) ( h 3 ) 的古典光滑解的存在性已经在1 6 中通。 过s c h a u d e r ，s 不动点定理得到证明，解的唯一性也可以通过附加一个假设条件得到肯定的 回答。令 旦= r a i n ( n o ，n l ，t n 厶( o ，1 ) b ( z ) ) ， 皇= m i n ( q o ，9 1 ，i n f z e ( o ，1 ) b ( z ) ) ， 元= m a x ( n o ，n l ，s u p x e ( o ，1 ) b ( z ) ) 牵= m 们( 9 0 ，q l ，s u p x e ( o ，1 ) b ( z ) ) 4 东南大学硕士学位论文 这样，解的存在性和唯一性可以由下面的定理得到。 定理1 1 当假设条件( h 1 ) ( h 3 ) 成立，互，r ，并且盟 艮，口 融，其中触 0 由等式p 知协) = 巧2 决定。那么方程( 1 0 9 ) ( 1 0 1 6 ) 存在解( n ，q ，西) 满足n h 2 ( o ，1 ) ， 口h 2 ( o ，1 ) ，w 2 ，( o ，1 ) ，并且对于比( 0 ，1 ) 满足n n ( z ) s 元和q g ( z ) 牙。 特别地，如果i 譬l 足够小，则方程( 1 0 9 ) ( 1 0 1 6 ) 的解是唯一的。 解估计仃h 2 ( o ，1 ) ，q 日2 ( o ，1 ) 和西w 2 ，( o ，1 ) 是方程( 1 0 9 ) ( 1 0 1 6 ) 的直接推 论。注意到翌，死，q 和i g ) 跟参数e ，入，丁无关，通过最大值原理，我们可以由翌n ( x ) 元 和q 茎口( z ) 叮得到解的一系列估计。 漂移扩散模型的零电子质量极限_ 0 在文献【1 3 1 中得到了证明，在证明时假定方 程的d i r i c h l e t 边界满足相容性条件。至于瞬态模型下的零电子质量模型则仍旧是一个亟待 解决的开放性问题，对此在文献【9 】中有相关的介绍。零d e b y e 长度极限a 一0 分别在文 献 a l 中的e u l e r - p o i s s o n 中的时间依赖性的局部光滑解和文献 2 1 中的非线性p o i s s o n 方 程中得到证明，初边值拟中性假设下的漂移扩散模型的极限也在文献【1 4 中得到了严格 的证明，并且这个极限的边界层分析也在文献【1 9 中得到了研究。至于零松弛时间极限 丁_ 0 则分别在文献【1 1 ，1 2 中研究了，y 1 的情况，在文献【1 0 中研究了，y = 1 的情 况，两种情况下弱解的极限都是通过熵不等式得到的证明。在文献【2 3 】中，作者对单极 模型下的三种极限结果做了相应的研究，并给出了一系列能量估计。 在本文中，我们将给出双极稳态e u i e r p o i s s a n 系统( 1 0 9 ) 。( 1 0 1 6 ) 的三种极限结 果的证明，并得到了相应的收敛速度，最后，我们给出了1 阶瞬态e u l e r p o i s s o n 系 统( 1 0 4 ) ( 1 0 8 ) 的能量估计。具体组织如下：第二部分，我们将通过解序列的一致性估计 证明零电子质量极限并给出一致收敛速度o ( e ) ；第三部分，我们将通过边界层分析方法 对零d e b y e 长度极限进行研究并得到了一致收敛速度d ( a 吉) ，另外在一个特殊情况下还 得到了一致收敛速度为o ( a ) 的结果；第四部分，我们通过与第二部分相似的方法得到了 零松弛时间极限的结果，且当l 巧i 足够小时收敛速度可增为o ( 户) 。最后，第五部分我们 将通过能量方法给出一系列与零d e b y e 长度和零电子质量极限有关的估计。 注：在本文中，汐( o ，1 ) 表示在定义域( o ，1 ) 上所有烈o 风和望 风对所有j r 都成立，因此，由定理1 1 可得对 所有j r 方程解的存在性和唯一性都成立。 为讨论极限方便，我们将方程( 1 - 0 1 0 ) ( 1 0 1 2 ) 一( 1 0 1 6 ) 写成下面的形式： 旦d xr 翌n , + p ( 础= 万d e , 一焉 五d ( 一譬+ p ( 酬= 一啦警一志 a z 鲁= 魄一啦一即) z ( 0 1 ) 佻( o ) = n o ，h e ( 1 ) = n l 啦( o ) = q o ，q e ( 1 ) = q l 机( o ) = 0 令s = 0 ，并假设( 亿，q ，纠是零电子质量极限的解，满足方程 入2 丽d 2 咖= n - - q - b ( z ) ，= i l ( n ) 一h ( n o ) ：h ( q o ) 一危( g ) ，z ( 。，1 ) 且满足边界条件 ( 2 0 1 ) ( 2 0 2 ) ( 2 0 3 ) ( 2 0 4 ) ( 2 0 5 ) ( 2 0 6 ) ( 2 0 7 ) 佗( 1 ) = n l ，q ( 1 ) = q l ，讳i ( o ) = 0( 2 0 8 ) 为得到零电子质量极限的相关结果，松弛时间7 理论上需要与无关，但在方 程( 2 0 1 ) 和( 2 0 2 ) 中r ，歹) 和下( ，g ) 与有关，因此，我们做如下假设：无论g 如何 变动，丁( 他，j ) 和r ( 驰，g ) 只在一定区域内变化。这样，我们就可以把丁和g - 视为“无关 的。显然，如果r 是常数，则上述假设一定成立。现在我们来严格证明极限并给出收敛速 度。 定理2 1 假设条件( h 1 ) - ( h 3 ) 成立，令( ，啦，九) 是方程( 2 0 1 ) ( 2 0 6 ) 的解，( 佗，q ，) 是 方程( 2 0 7 ) ( 2 0 8 ) 的唯一解，那么当啼0 时，有 0 m n l l n l ( o ，1 ) a l e ， i i q , 一q l l x l ( o ，1 ) a t e ，0 也一西| | 日1 ( o ，1 ) a 1 ( 2 0 9 ) 其中a 1 0 是一个与e 无关的常数。 证明：由定理1 t n - l 得( ) 。 0 和( 啦) 0 在l ，( o ，1 ) 上一致有界，再由假设( h 1 ) 和方 程( 2 0 3 ) - t 得( 以) 。 0 在w 2 , o o ( o ，1 ) 上一致有界。 5 6 东南大学硕士学位论文 将方程( 2 0 1 ) ( 2 0 2 ) 进行变化可得 石d i l 5 旧ti 。i 佻，、一鬈，= 他警一焉 鲁( 啦) + 菩) = 一醌警一砀e g 再由假设( h 2 ) ( h 3 ) ，翌 风和里 风可得( ) 。 o 和( ) 0 都在w 1 , o o ( o ，1 ) 上有界。 由紧嵌入w 1 , o o ( o ，1 ) qc o ( o ，1 ) ，w 2 , o o ( o ，1 ) qc 1 ( o ，i ) 和a s c o l i 定理，我们可以知道 序列( 啦，啦，如) 。 0 有一致收敛子列，并且子列的极限就是原方程的极限形式( 2 0 7 ) ( 2 0 8 ) 的 解，再由极限方程解的唯一性可知序列整体收敛。 由方程( 2 0 1 ) ( 2 0 2 ) ( 2 0 3 ) 和( 2 0 7 ) 可得 竺d x 2r 望2 n 2 州他) 叫枷一坚簧幽+ 瓦d ( 蠢) = 。 岳( 一鬈州小+ 坚爷也+ 丢( 菘) = 。 两式相加可得 杀( 箍+ ( 阮) 一坳) 一差+ ) 一m ) ) + d t 下( e j 丽+ 赤) = 。 分别用上式乘以危( 他) 一h ( n ) 和危( 能) 一h ( q ) ，再在( o ，1 ) 上积分后相加，由( o ) = n ( o ) = n o ，( 1 ) = 仃( 1 ) = 他l ，啦( o ) = q ( o ) = q o 和啦( 1 ) = q ( 1 ) = q x 可得 z 1 【( 乏( ( 危k ) 一九( n ) + 危他) 一危( g ) ) ) 2 】如 = z 1 【( 丢( ( ) 一九( 钆) ) ) 2 + ( 乏( ( 九( 啦) 一九( q ) ) ) 2 + 2 ( 乏( ( 危仳) 一九( 钆) ) ) ( 乏( ( 危他) 一九( q ) ) ) 1 = 1 1 ( 危仳) 一九( 亿) ) 乏可老) + ( 他) 一危( q ) ) 乏再i ) 一乏( 箍) 乏( 九( 他) 一危( 札) ) + 旦d zf 翌2 q 2 、 旦d x ( 危( g ) 一九( q ) ) 】如 通过假设条件( h 3 ) ，( 啦) e 0 和( k 0 在w l , c 。( o ，1 ) 上有界和p o i n c a r e s 不等式，可知 存在一个与无关的正常数a 2 0 使得 。乏( ( ( ) 一坳) + ( 始) 一m ) ) i i 至。( 。，1 ) a 2 钏芝( 九( 啦) 一坳) + h ( q e ) 一讹) ) l 协( 0 ，1 ) 因此，有 i i d ( c h ( n 。) 一 ( 佗) + h ( q e ) 一九( g ) ) 0 如( 。，1 ) a 2 s 第二章零电子质量极限 定义函数，= h 。则有 丝d x 型_ 【，协( 训( 删】掣+ ，( 塑划 t d ( q e - q ) 训( ) ) - 删g ) ) 】掣+ r c h ( 型譬型 ( 2 0 1 0 ) ( 2 0 1 1 ) 田上网i 、寺瓦开用p o m c 盯e s 卜，普瓦即口j 得( 2 0 9 ) 的莉两个估计。至于欢一西的估计 可以由 a z 警：一n 一怕慨j 州o ) 。 ( 欢刊( 1 ) = 嚣一蒹+ 0 1 丽南丽如 ， = 象一蒹+ 1 产。而南丽如2 丽一猫+ 币万湎如 7 第三章零d e b y e 长度极限 在考虑方程( 1 0 9 ) 一( 1 0 1 6 ) 的零d e b y e 长度极限时，参数e 和松弛时间丁被认定是与入 无关的。为了使得方程( 1 0 9 ) 一( 1 0 1 6 ) 的存在性和解的一致性估计成立，一致椭圆性条件 丝 纯和里 风需要对所有j r 都成立。在假设( h 1 ) ( h 3 ) 的基础上，我们增加假设条 件 ( h 4 ) b 日1 ( o ，1 ) 这样由嵌入h 1 ( o ，1 ) qc o ( 【o ，1 】) 就可以得到b ( o ) 和b ( 1 ) 是有界的。 为讨论方便，我们将方程( 1 0 9 ) ( 1 0 1 6 ) 写成如下的形式： 丢c 篆州纵，训= 一纛 扩d 芸吲小枞) = 一忘 a 2 扒= 纵一瓠一b ( z ) z ( o ，1 ) n x ( o ) = n o ， 瓠( o ) = q o ， 枞( o ) = 0 n x ( 1 ) = n l 纵( 1 ) = q i ( 3 , 0 1 ) ( 3 0 2 ) ( 3 0 3 ) ( 3 0 4 ) ( 3 0 5 ) ( 3 0 6 ) 令( n a ，甄，扒) 是方程( 3 0 。1 ) 一( 3 0 6 ) 的解序列，( 竹，q ，西) 是a _ 0 时的极限。则易知 ( 佗，钟形式上应该满足方程 五d ( 丽e j 2 锄( n ) 一纠一焉 ( 3 o 7 ) 忑d ( 一筹州g ) + 妨一赤0 o s ) n2 g + b ( z ) 。( o ，1 】 ( 3 0 9 ) 显然，如果在z = 0 的邻域内n o q o b ( o ) 或者在z = 1 的邻域内n l q i b ( 1 ) 则会出现边界层现象因此，为简单起见，我们做如下假设： ( h 5 ) 佗1 一9 1 = b ( i ) m 。耋耋量i 虽蝥鲁a ) 一枞，j = 第+ ( 佗) 一，g x = 簧+ ( 瓠) 一以，g = 簪+ 危( g ) 一 。则由( 3 0 1 ) ( 3 0 2 ) 可得 ”。 d j 一 e 。_ 一：= ：一_ _ _ - _ _ _ - _ _ _ _ _ _ - 一 如 丁( 纵，歹) 佗a ，-10)dgxe g t a u m 一= = 一_ _ _ - - 一 如 r ( 纵，9 ) 纵 引理3 1 若条件( h 1 ) 一( h 3 ) 成立，则序列( ) a o 和( 吼) a o 在日1 ( o ，1 ) 有界，序列 8 第三章零d e b y e 长度极限 9 证明：因为纵，q x ，r ( n x ，歹) 和r 陬，g ) ，则由( 3 0 1 0 ) 和p o i n c a r e s 不等式可知( 瓯) a o 在日1 ( o ，1 ) 有界。因此，由嵌入日1 ( o ，1 ) ql o o ( o ，1 ) 可知( 厶) a o 和( g ) a o 在l 。o ( 0 ，1 ) 有界。再由( n x ) x o 和( 纵) a 0 的l o o ( 0 ，1 ) 有界性，可知( 枞) a 在l o o ( 0 ，1 ) 有界。 由于边界层现象的存在，当a 一0 时，解序列( n x ) x o ，( 纵) a o 和( 枞) a o 在 h 1 ( o ，1 ) 不一定有界，为此，我们重新定义极限方程的边界。由紧嵌入日1 ( o ，1 ) qc o ( 【o ，1 】) 和a s c o l i 定理，可以由引理3 1 知( g a ) a o 一致收敛，这样我们就可以定义边界条件如下： 们) 。南州删一弼e j 2 叫小南州辆一丽e 9 2 一h ( 扩( 3 叭1 ) 佗( o ) 一q ( o ) = b ( 0 ) 显然，方程( 3 0 7 ) ( 3 0 8 ) ( 3 0 1 1 ) 有唯一解( n ，q ，西) 。 现在我们考虑z = 0 附近的边界层现象，这将为证明解的收敛性提供非常有用的信 息。在z = 0 的邻域，方程( 3 0 1 ) ( 3 0 6 ) 的解( 坝，纵，枞) 可以表示成( n ( o ) + u c u ) ，q ( o ) + 口( 可) ，6 ( o ) + 妒( 可) ) ，其中y = z 肛是速度参数，( u ( 可) ，口( 耖) ，妒( 秽) ) 表示z = 0 附近的边界层， 将近似解( n ( o ) + 乱( 可) ，q ( o ) + 口( s ，) ，砂( o ) + 妒( 耖) ) 代入方程( 3 0 1 ) ( 3 0 3 ) 并且忽略误差项d ( a ) ，可得 品( 为+ p ( 删瑚等 面d ( 、y e 9 ( 历2 州哟) ) ) 圳耖) 等 等= 嘶) 叫沪们) 州。) 州0 i + o o ) 其中u ( u ) = 亿( o ) + u ( ) ，v ( y ) = q ( o ) + v ( v ) 。( 以k 妒) 的边界条件为 ( 3 0 1 2 ) ( 3 0 1 3 ) ( 3 0 1 4 ) u ( o ) = n o ，v ( o ) = q b ， 妒( o ) = 一( o ) ，u ( o o ) = 扎( o ) ，y ( o 。) = g ( o ) ，妒( o o ) = 0 ( 3 0 1 5 ) 由( 3 0 1 2 ) ( 3 0 1 3 ) 和( 3 0 1 5 ) 可得f ( u ) = 妒+ f ( n ( o ) ) 和a ( v ) = 妒+ f ( g ( o ) ) ，其中f 和g 由( 1 0 1 9 ) 定义。当一致椭圆条件堕 几和q 风满足时，可知f 和g 是严格单调 增加的，并且存在光滑的严格单调增加函数f 一1 和g 一。由u ( u ) = f 一1 + f ( n ( o ) ) ) 和 v ( u ) = g 一1 ( 妒+ f ( g ( o ) ) ) 可得 筹= f - 1 ( 妒+ f ( 佗( o ) ) ) 一亿( o ) 掣( 3 0 1 6 ) 订、 ， 筹= g - 1 ( 矽+ g ( g ( o ) ) ) 一g ( o ) 易知日1 ( 妒) = f 一1 + f ( n ( o ) ) ) 一n ( o ) 和丑2 ( 砂) = g 。似+ g ( 口( o ) ) ) q ( o ) 光滑且严格单 调增加，并且有凰( o ) = 仍( o ) = 0 。这样由参考文献【7 ，1 9 可以得到下面的引理。 引理3 2 若条件( h 1 ) ( h 2 ) 和( h 4 ) 成立，则边界层方程( 3 0 1 2 ) 一( 3 0 1 5 ) 有唯一光滑解( 阢k 妒) ，并且满足估计 1 0 东南大学硕士学位论文 l t s ( y ) l ，i v ( y ) l ，i 砂( y ) i ，i u 7 ( ) i ，l v 7 ( ) i ，l 妒7 ( 秒) i b l l ( o ) l e z p ( - b 2 y ) ，v | ，( 0 ，+ o o ) 其中召l 和岛是正常数。 下面我们将证明方程( 3 0 1 ) ( 3 0 6 ) 的d e 幼e 长度极限似叶0 ) ，并且给出序列( 毗，瓠，以) a o 的收敛速度。 定理3 2 令( n a ，纵，枞) a o 是方程( 3 0 1 ) ( 3 0 6 ) 的解序列，( 佗，q ，纠是方程( 3 0 7 ) ，( 3 , 0 8 ) 和( 3 0 1 5 ) 的解，则当条件( h 1 ) ( h 5 ) 满足时，序列( a 1 2 枞) 在日1 ( o ，1 ) 上有界，并且当a _ 0 时，有下面估计成立： 坝一圳工2 ( o ，1 ) 岛a m ，l l 厶一j i l l 2 ( o ，1 ) 段a m 甄一口l i l 2 ( o ，1 ) b s a l 2 ，i l g a a l l l 2 ( o ，1 ) 风入1 2 ( 3 0 1 7 ) 以一训l 2 ( o ，1 ) sb z a l 2 特别地，如果有n x ( o ) = n o ，q x ( o ) = q o ，则序列( n x ) x 0 ，( 瓠) a 0 和( 枞) 入 o 都在日1 ( o ，1 ) 上有界，并且可以得到如下估计： l l 他入一n l l l 2 ( o ，1 ) b s a ， i i j x j i l 2 ( o ，1 ) s 风a 0 纵一q l l l 2 ( o ，1 ) 岛入， 0 g 入一g i i l 2 ( o ，1 ) 风a ( 3 0 1 8 ) 0 枞一 i i l 2 ( o ，1 ) b t a 其中风，段，风，风和励是与入无关的正常数。 证明：在下面的证明中，晟a 8 ) 均为与a 无关的正常数。记u x ( z ) = r s g ) 一v g ) ，r x ( x ) = n x ( x ) 一纵( z ) 一b ( 刀) 一u x ( x ) 。显然有凡( o ) = 0 和取( 1 ) = 一乱( 去) 。由p o i s s o n 方程( 3 0 3 ) - - 得 至。( o 1 ) 2z ( n a ( z ) 一瓠( z ) 一b ( z ) 一t a ( 茹) ) 2 如 11 2 o ( n ( z ) 一叭( z ) 一b ( z ) ) ( 佗a ( z ) 一瓠( z ) 一b ( z ) 一乱a ( z ) ) 如一o 乱入( z ) r a ( z ) d x 0 = 入2 0 1 警( 纵( z ) 一瓠( z ) 一日( z ) 一姒( z ) ) 如一z 1 坝( z ) 取( z ) 如 = 一芹z 1 警丢( 喇吲矿即h 心一妒掣u ( 如 一石1u 施) 酬批c ( 3 0 1 9 ) 由关系f ( n x ) = 枞+ 以，f ( q a ) = 扒+ g a 可得纵= f 一1 ( 机+ 厶) ，瓠= f 一1 ( 枞+ g a ) ， 第三章零d e b y e 长度极限 因此 风1 1 2 2 ( 。 1 ) = - a 2f 0 1 警型警凼出榭0 1 警型訾型如 槲j 厂0 1 挚d , x 型必d , x如搿掣u ( 三a ) 一j 厂0 1u 施) 酬? ) 如 d z 。 = 一入2 i l f - 1 ( 枞+ 以) 】，( 訾) 2 如一入2z j f - 1 ( 枞+ 厶) 】7 警如 + x 2f 0 1 【f _ 1 ( 枞+ g 州( 警) 2 如+ 入2 f 0 1 【f 1 ( 扒+ g 州7 警出 + a 。厂1 挚煎辇盟如+ 入2 厂1 挚塑盟# 趔如 j o d , xd , x j o d zd z 搿掣“( 卜知( 桶( 帕 由引理3 2 易知对任意足够小的入，都有i l u a l l l ( o ，1 ) 风入，i 乱( 妄) isb s a 。注意到( n x ) x 0 ，( 瓠) a o 在工o o ( o ，1 ) 和b h 1 ( o ，1 ) 上有界，- j - 得序列( 取) a o 和( a 2 掣) a o 在l o o ( o ，1 ) 上有界。再由引理3 2 可得序列q 訾) 入 o 也在l ( o ，1 ) 上有界。 另一方面，因为 f - i ( 4 , x ) 】72 南2 赤2 万斋哥 【f 。1 似x + c x ) 1 72 南2 赤2 硒云尚 再由一致椭圆条件n 陆，口 店和( 几a ) a o ，( 纵) a o 在厶( o ，1 ) 有界，可得存在正常 数b l o 0 使得【f 一1 ( 扒+ 厶) 】7 b l o ，【f _ 1 ( 枞+ g a ) 】风。再由( n x ) x 0 ，( 瓠) a 0 在 l ( o ，1 ) 有界，( ) 入 o ，( g a ) a o 在日1 ( o ，1 ) 有界和y o u n g 不等式可得 l i r a i | 羔2 ( 0 , 1 ) l - b j l o a 2 ”石d 劬a 2 l 。( 。，1 ) s 日1 1 入 这表明( a 以) a o 在日1 ( o ，1 ) 上有界。再由引理3 2 可得i l u x l i l = ( 0 , 1 ) b 1 2 a 。由上面两个 不等式可得| l 佗a n 一( 瓠一q ) l l z , ( o , 1 1 b 1 3 a 壶。 同样，记讥( z ) = u ( 芙) + y ( 芙) ，取( z ) = n x ( x ) - b q a ( x ) 一b ( z ) + 2 9 ( z ) 一u x ( z ) ，重复以上证 明过程可得l i 佗a n + ( 叭一q ) l l l 2 ( o ，1 ) b 1 4 a 。由上两个不等式即可得l i 礼入一n l l l = ( o ，1 ) s 风a 壶 和i i 瓠一q l l l 。( o ，1 ) 风入。 将( 3 0 1 ) 减去( 3 0 7 ) ，再通过p o i n c a r e s 不等式和以上得到的不等式可得i i 一刈日- ( o ，1 ) b 1 5 i | 纵一n 怯( 0 , 1 ) 风入壶，同理，( 3 0 2 ) 减去( 3 0 8 ) 可得i i g x q l l m ( o ，1 ) s 风a 壶 再由g 和g 的定义，可得 i l 纵一咖1 1 l 2 ( o ，1 ) sb 1 s ( 1 n x 一亿i l l ：( o ，1 ) + l l 一j l l 二2 ( o ，1 ) ) b 7 入； 这样就完成t ( 3 0 1 7 ) 式的证明。 1 2 型选塑笪堕、舣一 如果入( o ) ：伽，瓠( o ) ：q ；o ，则有矿( z ) = y ( 茹) = o ，因此姒( z ) = o 取( z ) = 亿a ( z ) 一瓠一b ( z ) 。因此 肌a一瓠一b睨2：(。，1)：一妒f(f一)，(机+)(警)2如一”z1(f_1)(机)警如01 槲扣- 1 ) 协硒) ( 警灿+ r 肛_ 1 ) 协懒) 警如 + 妒1 坠d x 塑d 型x 如+ 妒z 1 警掣如 i i n j , - q a - 咣22 ( o ，1 ) + b l z o ) , 2 ，d 凹铷, 1 1 2 。( 。，1 ) b 1 7 a 2 接下来，同前面的证明类似，即可得( 3 0 1 8 ) 式。 誓霎耄耋。可知，方程( 3 o 7 1 ( 3 0 9 ) 是方程( 3 o 1 ) - ( 3 0 5 ) 取极限入_ 。时的极限方程。 田蜘然嚣霹( 3 茹鲁龆0 嚣篙颦限h 洲州则剐川既。 因为( 吼纠( 日1 ( o ，1 ) ) 3 ，我们可以将方程( 3 7 ) ，( 3 o 8 ) 写威 乏( 譬州= 他磊d e 一焉 磊d ( 一等“枷叫差一丽e g 并目匕两个方程是方程( 1 0 1 0 ) ，( 1 o 1 2 ) 取极限入_ o 时的极限方程 第四章零松弛时间极限 在考虑方程( 1 0 9 ) ( 1 0 1 6 ) 的零松弛时间极限时，参数d e b y e 长度a 和粒子质量e 被 认定是与松弛时间r 无关的。压力函数为7 阶( ，y 1 ) 的瞬态e u l e r p o i s s o n 系统的零 松弛时间极限问题丁一0 已经在参考文献1 1 1 ，1 2 ，1 0 】中得到了严格证明。本文我们将 对压力函数为一般情形的稳态问题进行