（计算数学专业论文）若干数学物理正问题与反问题的算法及其应用.pdf

摘要 数学物理反问题是源于物理、生物、医学、地质等众多科学领域中的实 际问题，其困难之处在于反问题大多属于不适定问题，但相应的正问题却是 适定的。本文研究的问题分别属于下面三个反问题领域中的问题：热传导方 程问题、数值微分和生物电磁场问题。全文共分为三部分。 在论文的第一部分，我们讨论了多层介质中的一维热传导问题。该问题 的数学模型是从实际工业生产中产生的，我们简单的讨论了如何根据物理 定律去推导数学模型。根据数学模型，我们先讨论了和正问题相关的数学理 论，给出了正问题的局部存在性、有界性和全局唯一存在性。同时，我们还 给出了数值求解正问题的算法，算法是基于有限差分格式的，我们比较了三 种不同的处理连接条件的方法并确定二阶差分格式的稳定性是最佳的。我 们还讨论了该模型的反问题，即如何求解初始温度和区域的长度。我们证明 了在一定的条件下，反问题具有唯一性。在数值求解方面，我们在7 0 1 一文 的基础上，改进得到了一个求解初始温度的稳定数值算法，并同时给出了如 何求区域长度的算法。试验证明，我们的算法可以被应用于实际问题中。 本文的第二部分讨论了周期函数的数值微分问题。数值微分是一个典 型的在h a d a m a r d 意义下的不适定问题，所以我们选择了吉洪诺夫正则化 方法来处理这个问题。结果表明，正则化解是分片样条函数。我们讨论了正 则化解的唯一性，还给出了相应的误差估计。最后，我们给出了周期函数数 值微分的一个应用一颈动脉顺应性的计算。我们先从弹性腔模型出发，推导 出计算颈动脉顺应性的公式，然后根据仪器测量得到的结果，计算了一个正 常人和一个动脉粥样硬化病人的顺应性，并做了比较。 最后一部分，我们讨论了核磁共振成像技术( m a g n e t i cr e s o n a n c ee 1 瓣 t o g r a p h y ) 。本文首先简单介绍了其工程背景。接着从实际出发，建立了系 数为分片光滑函数的假设下这类问题的标量方程数学模型，提出了相应的 反问题。进一步，我们证明了通过波场的内部测量值，可以在剪切( 压缩) 波 传播到的区域里唯一确定l a m 6 方程和波方程与空间相关的系数。最后，我 们应用了一种称为变分同化的变分逼近方法来数值反演波方程的系数，由 于我们的问题是不适定的，所以我们还利用正则化的办法，给变分方程加上 了正则化项。 关键词：反问题，多层介质中热传导方程，不适定性，m r e 反问题，数 值微分，广义变分同化 中图分类号：0 1 7 5 2 l l l a b s t r a c t t h ei i l 、r e r s ep r o b l e l so fm a t h e m a t i c a lp h v s i c sa r i s e 行o mt h ep r a c t i c a l p r o b l c l si np h y s i c s ，b i o l o g y ，m e d i c i n ea n dg e o g r a p l l y ，e t c t h ed i f e c u l t yo f s t u d y i n gi n v e r s ep r o b l e m so fm a t h e m a t i c a lp h y s i c si st h a tm o s to ft h ei n - v e r s ep r o b l e m sa r ei l l - p o s e di nh a d a m a r d ss e n s e ，w h i l et h ec o r r e s p o n d i n g f o r w a r dp r o b l e h l 8a r e r e l l p o s e d i nt h i st h e s i s ，w ew i l ld i s c u s st h ef b l l o w i n gt h r e ek i n k o fi n v e r s ep r o b l e m so fm a t h e m a 土i c a lp h y s i c s ：i n v c r s ep r o b l e m si nt h eh e a tt r a n s f 色r ，n u m e r i c a ld i f f b r e n t i a t i o na n di i n r c r s ep r o b l e n l si n m r e ( m a g n e t i cr 昭o n a n c ee l a s t o g r a p h y ) i nt h ef i r s tp a r to ft h et h e s i s ，r ed e a lw i t ht h em a t h e m a t i c a lm o d e lo f t h eh e a tt r a n s f b ri nt h e 姗l t i 1 l v e r sh l e d i u r n s ，w h i c hm o d e l so n ep r a e t i c a l p r o b l e l si nt h ei n d u s t r ，nf i r s t l y ，w ei n t r o d u c et h eb a e k g r o u n do ft h ep r o b _ l e ma n dt h e n ，b a s e do ns o m ep h y s i c a ll a w s ，、v ef b r m u l a t et h ep r o b l e m 嬲 ap r o b l e mo ft h eh e a te q u a t i o nw i t hn o n l i n e a rt r a n s m i s s i o nc o n d i t i o l l so n t h ei n t e r f a c e s t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h eg l o b a ls o l u t i o nf 6 rt h c f o r w a r dp r o b l e ma r ep r o 、r e d w ba l s op r o p o s et h en u m e r i c a la l 9 0 1 i t h m s t h c p u r p o s eo ft h i ss t u d yi st od e t e r m i n et h ec o r r o s i o no ft h ed o m a i nb yt h c m c a s u r e m e n t 8o u t s i i l e t h i sw i l ll e a dt ot h ei n v e r s ep r o b l e m 、cp r o v ct h e u n i q u e n e s s ，w h i c hm e a n st h a tt h em e a s u r e m c n t 8a r ee n o u g hf b rd e t e r m i n e t h ec o r r o s i o no ft h ed o m a i n b a s e do n1 7 0 1 ，o n ei m p r a v e ds t a b l ea l g o r i t h m i sp r o p o s e da n dt h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a to u rm e t h o di se f 王b c t i v ea n d c a nb ea p p l i c dt ot h ep r a c t i c a lp r o b l e m i nt h es e c o n dp a r to ft h i st h e s i s ，伦d i s c u s st h en u m e r i c a ld i h e r e n t i a t i o n f b rt h ep e r i o df u n c t i o n sb yt i k h o n a vr e g u l a r i z a 七i o n t h er e g u l a r i z e ds o l u t i o l l sb a s e do nt h es p l i n ef h n c t i o n sa r ec o n s t r u c t e d w bp r ( ) v et h eu n i q u c n c s s o ft h er e g u l a r i z e ds o l u t i o 璐a n dt h ee r r o re s t i m a t e sa r ea l s og i v c n a na p p l i c a t i o no ft h i sm e t h o di sp r e s e n t e da tt h ee n dt h i sp a r t w bs h o wt h a t ，b yt h e n u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o nf b rt h ep e r i o df h n c t i o n s ，i tc a nc a l c u l a t et h ec o 卜 p l i a n c eo fa r t e r yi nt h en e c k t h em a t h e m a t i c a lm o d e la n dt w oi m m e r i c a l e x 锄p l e sa r ep r e s e n t e d i nt h et h i r dp a r t0 ft l l i st h e s i 8 ，t h ei 玳r e r s ep r o b l e i 璐i nm a 职e t i cr e s - o n a n c ee l a s t o 暑f a p h ya r ed i s c u s s e d w bf i r s ti n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do f t h ei i l 、r e r s ep r o b l e i 璐i nt h ee l a s t o g r a p h y t h e nam a t h e m a t i c a lm o d e lw i t h p i e ( ：e w i s ec o n t i n u e sc o e 伍c i e n t si si n t r o d u c e db a s eo nt h ep r a c t i c a la s s u m p t i o n s 1 v v 色p r o v et h a tt h es p a c ed e p e n d e n tc o e m c i e n t so ft h ew a v ee q u a t i o n c a nb eu n i q u e l yd e t e r m i n e di nt h ed o m a i nw h e r et h ec o m p r e s s i o n ( s h e a r ) w a v e sr e a c h f i n a l l l nt h eg e n e r a l i z e dv a r i a t i o n a ld a t aa s s i m i l a t i o nm e t h o d ，a 复旦大学博士学位论文 v l ( i n do fv a r i a t i o n 2 l la p p r o a d lm e t h o d ，i sa p p l i e dt or e c o v e wt h ec o e m c i e n t so f t h ew a 、，ee q u a t i o nn u m e r i c a l l y ，a n dw ea d dr e g u l a t i z e di t e mt ot h ev a r i a t i o n e q u a t i o nf o ro v e r c o l i n gt h ei l l p o s e d n e 豁o ft h ei n v e r s ep r o b l c i 璐 k e y w o r d s ： i n v e r s ep r o b l e m ，h e a tt r a n s f e ri n m l t i 1 a y e r sm e d i u i 璐， i l l - p o s e d n e s s ，i l u m e r i c a ld i f f 奄r e n t i a t i o n ，i n v e r s ep r o b l c n l si nm r e ，g e n e r a l i z e d v a r i a t i o n a ld a t aa s s i m i l a t i o nm e t h o d c h i n e s el i b r a u r yc l 硒s m c a t i o n ：0 1 7 5 2 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的 研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明 并表示了谢意。 作者签名：徇童蛆 论文使用授权声明 日期：秘7 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此 规定。 作者签名： 批 导师签名： 第一章一维多层热传导的正问题和反问 题 本章将讨论一维多层模型的热传导问题。 关于热传导方程的正问题和反问题得到了广泛的研究( ( 3 】，【2 3 】，【6 5 】) 。 在实际应用中，它也得到了很多的关注，这方面的技术被广泛应用在钢铁、 电子和材料等等方面。在其中有一类重要且困难的问题，这就是在复合材料 中经常出现的多层问题。这类问题通常会和高温环境下的非线性边界条件 有关( f 2 5 1 ，6 5 1 ) ，这给问题带来了一定的难度。 关于热传导方程正问题的研究，已经有了非常丰富的经典理论结 果( 2 3 1 ，f 5 1 1 ) 。但是针对不同的模型，还是要有不同的解决方法。特别是当 出现不同的非线性边界条件时候，就要有特殊的解决方法( 【8 】，f 5 0 】，【7 3 】) 。 在多层热传导问题中，经常出现的一类重要边界条件就是s t e f a n b 0 1 t z m a n n 条件，针对这方面的研究，大多是关于一层模型的( 15 1 ， 6 5 】) 。本文考虑了 具有s t e f a n - b o l t z m a n n 连接条件的一维三层热传导模型，并且给出了关于 问题的经典解的一系列理论结果。我们用压缩映射方法和不动点原理证明 了经典解的局部存在性。然后拓展了经典的抛物方程最大值原理，证明问题 的解同样是在边界处取到最大值，这就得到了问题的全局有界性。最后我们 证明了经典解的全局唯一存在性。 另外，数值求解热传导方程也是一个重要的问题，主要的方法有有限差 分，有限元和边界元等等。针对我们的问题，我们选取了其中相对简单的有 限差分法。在数值求解的过程中，有一个重要的问题就是采用的方法的稳定 性。我们通过试验发现，因为有s t e f a n b o l t z m a n n 连接条件的存在，向前差 分方法对网格步长的限定太大，容易导致计算程序的不稳定，所以我们采用 了比较耗时问的向后差分方法。并且，针对特殊的连接条件，我们提出了用 二阶逼近和线性化相结合的办法来处理它们。数值结果证明，我们采用的数 值方法是稳定的。 关于热传导方程反问题，有许多不同的提法。如反演初值、求移动边界 和反演内部温度等等。本章考虑了一个通过外部边界的柯西数据求内部温 度数据，以及求移动边界的热传导方程反问题。这个问题的一个特殊之处， 就是我们并不知道初始温度的情况。我们证明了这样一个问题是具有唯一 性的。正如文献f 3 1 所指出，热传导方程的反问题，通常都是不适定的，一般 的数值方法并不适用。这里，针对我们的模型，给出了一个稳定的算法。 1 1问题介绍 我们的问题是从炼钢过程中所产生的。图1 1 是连续铸钢过程中用来贮 1 复旦大学博士学位论文 2 存钢水的容器的示意图。容器内是钢水，可以假设钢水是恒温的。容器壁由 三层隔热层组成，分别为不同的金属材料，每层中间有极其微小的空气层。 外面是空气。 2 4 0 | l m l 图1 1 ：钢炉示意图 3 掰： k i g h l o f 蛹嘤耵鼢l 咖 翻辨l 图1 2 给出了由三层不同材料组成的容器壁的一个示意图。b 1 处代表容 器壁和钢水接触处，该处的温度是恒定的，岛处和外部空气接触，c l 和q 则是不同层之间的连接点，存在微小的空气层。 图1 2 ：一维模型示意图 让我们再来考虑怎么设定数学条件。首先，在i ，i i 和i i i 层的内部，是 满足热传导方程 a 乱 沪u 瓦2q 面， 复旦大学博士学位论文3 其中q 为热扩散率系数，不同材料的热扩散率系数是不同的。根据物理上 的s t e p h a n - b o l t z m a n n 定律( 【2 2 】) ，当物质和黑体进行热交换的时候，满足 a 芸= 一盯( 札4 一u ：) ，( 1 1 1 ) o l 他 一 其中札。是黑体的温度，盯是热辐射系数，入是导热系数，这两个系数和物 质的性质有关，n 为法向导数。根据试验( 2 2 1 ) ，当金属和空气进行热交 换的时候，可以将空气看做是黑体。所以可以认为边界点玩处的温度满 足( 1 1 1 ) 。再来考虑连接点，先看q 上i i 层的右边界。因为有空气层的存 在，所以也可以认为这点上的温度满足( 1 1 1 ) ，但是因为空气层很微小，所 以近似得认为空气的温度就是i 层左边界的温度，这就有 a 娶：一盯( u ；一u ) ， a 下2 一盯i t 主一t i j ， 竹 。一 1 其中u 1 表示i 层左边界的温度，u 2 表示i i 层右边界的温度。这个方程有两 个未知变量，要求解是不够的，所以要加上一个方程。根据热守恒定律，可 以知道i 的右边界和i i 的左边界处的热流密度应该是一样的，这就有 入- 等“z 等，扎n 这样我们就得到了q 处的条件。用同样的方法，可以知道在c l 处有类似 的条件。 我们的反问题，是要根据最外层容器壁的温度和热流量，去预测最内层 的腐蚀程度。这里我们用一个一维的模型来进行讨论( 因为实际应用的数据 表明，用一维模型去模拟腐蚀的情况非常有效) 下面给出我们的一维数学 模型。 先对坐标作出假设，设b 2 点为原点，i 层长为粤1 ，即q 点坐标为重1 ，i i 层长为如一p 1 ，即c l 点坐标为2 ，i i i 层长为如一2 ，即b l 点坐标为1 1 3 。 那我们的数学模型就是 a u l ( z ，) = q l 磋t 正l ( z ，) ， a t l 2 ( z ，t ) = a 2 磋t 正2 ( z ，z ) ， 侥u 3 ( 石，) = a 3 磋t 正3 ( z ，t ) ， 边界条件和连接条件是 让3 ( z 3 ，) = “m ， o z 1 0 z z 1 z 如，o t z 如 z 如，o t z 一入1 晚札1 ( o ，) = 口l ( u ：( o ，t ) 一疋) ， 一a 2 现孔2 ( 它1 ，) = 晚( ；( z l ，t ) 一t l ：( 粤1 ，) ) ， 入2 以u 2 ( f 1 ，) = a l 如t | l ( p 1 ，) ， 一a 3 以钍3 ( 2 ，t ) = 如( 札：( 2 ，z ) 一u ! ( 2 ，) ) ， 入3 包扎3 ( f 2 ，) = a 2 魂u 2 ( 如，) ， ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) ( 1 1 9 ) ( 1 1 1 0 ) 复旦大学博士学位论文 4 最后是初始条件 1 上( z ，o ) = n ( z ) ，o o ，盯1 ，盯2 ，o r 3 0 ，仳m 0 ，t 正。0 都 是常数。注意到u m 是热源的温度，仳。是空气的温度。并且系数满足关系 q i = 蠹，其中风为物质的密度，q 是比热。 本文在如下的函数空间中讨论我们的结果： 并且还有相容条件： fn ( z ) 。( z ) 【口( o ) 缸1 c 1 ( 【o ，卅；c 2 【o ，1 】) ， u 2 c 1 ( o ，卅；c 2 【f 1 ，2 】) ，( 1 1 1 2 ) t 正3 c 1 ( 【o ，t 】；c 2 【f 2 ，z 3 】) ， c 2 + 【o ，如】， o k o ，o o ，( 1 1 2 ) ( 1 1 1 1 ) 存在唯一解，解所属的函数 空间是 ? 上1 c 1 ( 【o ，o 】；c 2 o ，粤1 】) ， u 2 c 1 ( 【o ，纠；c 2 z 2 】) ， u 3 c 1 ( 【o ，o 】；c 2 ，纠) 证明我们定义格林函数g l ( ，z ，f ) ，g 2 ( ，z ，) ，g 3 ( t ，z ，f ) ，它们分别对 应如下问题： 侥口1 一q 1 磋u l = o ， o z 1 ， 边界条件为也 1 ( 0 ，) = 以t ，1 ( 2 1 ，t ) = o ， 魂砚一口2 u 2 = o ， o z 粤2 一l ， 边界条件为以吨( 0 ，) = 以1 2 ( 2 一i ! l ，f ) = o ，以及 a 地一口3 磷t 3 = o ， o ， ( ) = 一导( 让觚) 一仳：) ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) ( 1 2 5 ) = 一鼍 ( 矾+ 口z 。g - 安厶d 丁+ q tz 。g z d 丁) 4 一乱： c 1 2 6 ， 这里省略了变量的系数，因为这不会导致混乱。比如，在( 1 2 6 ) 中令 弘胁= z 。g 以1 圳胁m 为了证明命题1 2 1 ，还要如下引理： 引理1 2 1 对任意e 0 ，存在t o o 使得 。，器。，z 幻i g 灯忍钏帆 咄戳，幻i g 2 玳) i d l ，- t 0 s u p l g 3 ( 7 ，z ，) i d r e z ，f ( 0 ，1 3 一如) i ，0 引理1 2 1 的证明从l a d y z e n s k a j a ，s o l o n n i k o v 和u r a l c e v a 【5 1 】可以知 道格林函数g t 满足 。妈玳) 品e x p ( ) ，咄州 2 3 这里设 = ( 0 ，粤1 ) ，以= ( o ，如一z 1 ) 和以= ( o ，如一如) 。c 是依赖于q l ，q 2 ，q 3 和粤1 1 2 ，z 3 的常数。所以有 证明结束。 0 0 使得 z 。i g z 妄： id r | i ，i i q 2z l g 2 厶id 丁i l ，l l a sz i g 3 厶id 丁0 ， a 。仆。制d 丁l i | | q 2 小。矾丁l | ，| i q 3 小3 矾丁忙面 其中，o o 。因此，如果o 0 是一个常数。 令0 t o 。首先证明k a a 。这里只对虬( 厶， ) 的情况做证明， 复旦大学博士学位论文 9 因为k l 和虬的情况是类似的。易知 蚝( 厶，厶) 一譬( 遥( 之2 ，) 一邃( 如，) ) 3 c r 3 入3 。+ q 2z g 。恚 d 丁+ q 。z g 2 如d 丁 4 一 一3 + q 。z 2 g 3 ，3d 丁 4 一( 遥( 如，) 一磁心，) ) 盯3 a 3( q ：z g z 笔，3 d r + 口2 z g 2 厶d 丁) ( x + 砚) ( x 2 + 秀) 一n s z 。g 。厶d 丁( y + 3 ) ( y 2 + 镌) 毫 2 顽m + i i 现l | ) ( m 2 + i i 秘1 1 2 ) + 砑( m + l i 魂| | ) ( m 2 + i i 玩| 1 2 ) = 而笔 2 ( i ，+ i i 西。1 1 ) ( m 2 + i l 2 | 1 2 ) + ( m + i i 3 i i ) ( m 2 + i i 璐i | 2 ) 】 因为砑可以任意小以及上式中其他变量的有界性，所以可以找到一个o 使得对所有0 o ，成立 蚝( 厶，3 ) 一是( 面4 ( 红) 一面4 ( 纭) ) i | 3 易知凰( 厶， ) c 【o ，小这就证明了当o o 来说，( 1 2 7 ) 成立。这样就可以知 道k 是压缩映射。 现在可以完成命题1 2 1 的证明了。由引理1 2 2 和b a n a c h 不动点原理， 可以得知在g o ，0 】中存在唯一解( ，厶，厶) 。由v 0 l t e r r a 积分方程( 1 2 4 ) 一 ( 1 2 6 ) ，可以提高厶，歹= 1 ，2 ，3 的正则性： 办g 1 + 【o ，吼 歹= 1 ，2 ，3 ，k ( 0 ，1 ) 然后根据【5 1 中的定理5 2 和定理5 3 ，可以证明在函数空间 u 1 c 1 ( 【o ，吼c 2 【o ，之l 】) ， 厶 厶 ，“_， 垒k 叫 州 复旦大学博士学位论文 1 1 “2 c 1 ( o ，o 】；c 2 陋l ，如】) ， t 1 3 c 1 ( 【o ，吼c 2 2 ，z 3 】) 中，当o o 时，( 1 1 - 2 ) 一( 1 1 1 1 ) 有唯一解( u 1 ，u 2 ，乱3 ) 。 证明结束。 令 1 2 2 定理的证明 口 厶= ( o ，量1 ) ，如= ( 粤1 ，如) ，厶= ( 如，如) 有如下引理： 引理1 2 3 函数嘶，歹= 1 ，2 ，3 在边界上取到最大值或者最小值，既 是，对“1 来说，是在z = 0 ，z = 粤l 或者= o ，对t 1 2 是在z = 2 1 ，z = 之2 或者 = o ，对牡3 是在z = 如，z = z 3 或者= 0 。 证明首先证明最大值的情况。只要证明u 1 的情况就足够了，其他是 类似得。设 ，= m a x 。爨。n ( 吐牡刚水“) ) ， 我们要证明t 1 1 j f 。 设p 0 和u 1 ( z ，) = e m ( u 1 ( z ，) 一m ) ，就可以得到 侥u 1 ( z ，) = q 1 磋 1 ( z ，) + p t ，l ( z ，) ，o 0 。因 为o z o z l 以及t ，1 ( ，o ) 在z o 取到最大值，可以知道侥 1 ( z o ，o ) 0 和 磋秒l ( 黝，幻) o 。易知p 可l ( z b ，) o ，u 2 ( e l ，f ) o ，“2 ( 2 ，) o ，t 工3 ( p 2 ，) 0 ， o 口 复旦大学博士学位论文1 2 证明用反证法。反设引理不正确，那从u 1 ，t 2 ，u 3 的连续性可以知道， 在某个时刻u 1 ( o ，) ，u l ( 孽l ，) ，u 2 ( z l ，) ，札2 ( 2 ，) ，牡3 ( 重2 ，) 中至少有一个必须等 于零。可以假设有一个最小的时间t o 使得札1 ( o ，o ) ，u l ( 已l ，幻) ，u 2 ( 笆l ，o ) ， 让2 ( 如，o ) ，让3 ( 粤2 ，o ) 中至少有一个等于零。不失一般性，考虑点2 2 。有如下 三种情况： 1 在幻 o 上仅仅 3 ( 岛，o ) 等于零。由n p ) o ，可以假设当osz 0 。由方程 一a 3 以u 3 ( 2 ，) = c r 3 ( u j ( 2 ，t ) 一遥( 如，t ) ) ， 可以知道晚u 3 ( 2 ，幻) o 。因此在某一点( 2 ，e 3 ) 上成立u 3 ( z o ，幻) o ，由引理1 2 3 可以知道这是矛盾的。 2 在o 0 上仅2 ( 如，) 等于零。由 一a 2 以u 2 ( 粤2 ，t ) = 观( u 2 ( 2 ，) 一让；( 如，) ) ， 可以知道巩u 2 ( 它2 ，o ) o ，z ( o ，岛) 和呦是连 续的，可以知道他们也是正的。 证毕。口 对于牡的全局存在性来说，只要证明它的全局有界性就足够了。 引理1 2 5 令u 满足( 1 1 2 ) - ( 1 1 1 1 ) 和丁 0 是任意的。那么 m a x i f u l l l g ( 【o ，l l 【o 。刀) ，l l u 2 l i g ( m l ，2 2 l i o ，刁) ，0 u 3 i l g ( ，纠i o ，即) ) m a x | i o 忙l o 。纠，l t 肘i ，i t l 。i ) 证明设 r、 m = m a x l 。强。8 ( z ) ，u m ，牡口 首先证明 ( z ? ) ，lz ，j ， o 丁，j = l ，2 ，3 ( 1 2 8 ) 复旦大学博士学位论文1 3 类似在引理1 2 3 的做法，设p o 以及定义( z ，) = e m ( 钍j ( z ，) 一m ) 。假 设在z o ( o ，如) 和o ( o ，卅上取到最大值。由引理1 2 3 ，可以知道 我们设 o r o r 砚( l ，t o ) ， 吨( 如，o ) ， 2 o 黝。恶焉吻( z ，) 。 0 z 0 ，由( 1 2 8 ) 和引理1 2 5 可以知道u 3 ( 粤2 ，t o ) 0 足够 小，当2 6 z 粤2 时有( z ) 0 ，可以知道 os 侥地( 如，o ) = q 3 ( 孽2 ) + p p ( 如) 0 ， 这是矛盾的。这就证明了地( 2 ，t o ) 。 2 如果= 也( 如，o ) ，因为吨( ，幻) 在【善1 ，p 2 】上的边界点铷= 粤2 上 取到最大值，所以有文啦( 如，o ) 0 。如果以也( 粤2 ，o ) u 2 ( 粤2 ，o ) ，但这是矛盾的，因为啦( z 2 ，o ) 是最大值。所以有 以忱( 乏2 ，o o ) = 0 。类似得，可以像前面一样证明这是矛盾的。 总结前述，可以知道不可能是大于零的，这就证明了( 1 2 8 ) 。 接着，我们假设 帆= m i n 。驾。m ，舢池) 幻幻 们 化 i i 幻p 吩 鼢勉 吣 复旦大学博士学位论文 1 4 其中p l 的时候，札( z ，) 和面( z ，t ) 是不同的。如果我们假设初始时间是1 ，那 根据命题1 2 1 可以知道，存在时间o ，使得在区间【l ，t l + 幻】内方程有唯一 解，但是这和假设矛盾。 证毕。 口 1 2 3 正问题数值方法 现在给出基于有限差分法的求解问题( 1 1 2 ) ( 1 1 1 1 ) 的数值方法。首 先我们是用等距网格去逼近时间空间区域。空间区域上的格点大小是 r = 3 j ，j ，是一个整数，然后可以假设网格点，尼= o ，m ，其中 z 七= ( 七一1 ) z ，七= 0 ，m 。类似得，可以将时间区域的网格格点大小设 为，假设网格点为k = ( 七一1 ) t ，南= 0 ，。 因为向后差分格式相对向前差分格式比较稳定，所以这里选择使用这 种方法来逼近我们的方程。参考 3 9 】和 6 8 】可以查阅到关于这种格式的更多 信息。那么，差分格式就是 n + 1n 譬= 罴( u 蒜。一2 让搿+ u 蒜。) ， 其中u 象 表示在第i - t h 层网格上，时间为n = ( n 一1 ) 上，以及空间 为z 仇= ( m 一1 ) z 的点上的温度。为了更好得逼近边界条件和连接条 件( 1 1 6 ) 一( 1 1 9 ) ，我们尝试了三种不同的方法，因为篇幅的关系，这里只通 过讨论( 1 1 9 ) 来说明我们的方法： 1 直接使用前一时刻的温度值来近似连接条件( 1 1 9 ) 中的四次方非线性 项： t l + 1。t l + 1 一a 3 堑号子! 监= 吼( ( t t z 3 ) 4 一( t t 桫) ， 一、3 万= _ 一2 0 3w l ，3 ，一1 ，2 j ， 其中“。3 代表点t 1 3 ( e 2 ) ，u 1 3 是u 3 ( 笆2 ) 左边的一个网格点，( u l ，2 是 点2 ( ( 2 ) ，这些符号在后面是相同的。从数值试验上看，这种方法是很 不稳定的。 复旦大学博士学位论文 1 5 2 对连接条件( 1 1 9 ) 中的四次方非线性项做线性化，即 掣：吼( ( 札象，3 ) 3 u 嚣一( u z 。) 3 u 巩 从数值试验看出，这种方法比方法一的结果要好很多。 3 采用了线性化和二阶差分格式( 关于这种格式的更多信息，可以参 考 6 8 】) 相结合的方法来逼近它们。假设点仳3 ( 如，) 的右边有一个虚拟 点u 黠1 ，用下面的式子逼近( 1 1 9 ) ： 我掣锄( ( 让：l ，3 ) s u 嚣小z 。) s 乱批( 1 2 1 0 ) 同时假设点u 3 ( 如，) 满足向后差分格式，就有 譬导= 南( 让嬲一t 嚣+ 钍豁 ( 1 2 m ) 从上面两个式子，可以消去u 黯1 ，得到 ( 1 + 2 7 1 + 丁1 死( t 正象，3 ) 3 ) u 嚣一2 n u 揣，3 一n 仡( u z 2 ) 3 t 正茄1 = 牡象，3 ， ( 1 2 1 2 ) 其中 n = q 3 ( z ) 2 ，见= 2 ( z ) c r 3 入3 接着对u 2 ( 1 ，) 做类似的逼近，可以得到 ( 1 + 2 乃+ 乃( u z 2 ) 3 ) “嚣1 2 乃u 裂1 一您心( 位：l ，3 ) 3 让嚣= 也z 2 ， ( 1 2 1 3 ) 其中u 2 ，2 表示l ，2 右边的网格点，以及 乃= q 2 ( 。) 2 ，心= 2 z c r 2 a 2 这样，就可以用( 1 2 1 2 ) 和( 1 2 1 3 ) 来逼近( 1 1 9 ) 。对于连接条件( 1 1 6 ) 和 ( 1 1 7 ) ，可以使用同样的方法，这里就省略了细节。从数值计算的结果 可以看出，这种方法是很稳定的。 这里我们分析一下方法三的逼近性质，有如下定理： 定理1 2 2 由向后差分格式和方法三组成的差分格式的截断误差是 0 ( z 2 ) + d ( ) 。 复旦大学博士学位论文 1 6 证明 由【3 9 】和【6 8 】可以知道，向后差分格式的截断误差是d ( z 2 ) + d ( ) 。 再看边界处的情况，这里同样用( 1 1 9 ) 来做说明。由 6 8 】可以知道( 1 2 1 0 ) 的 左边的截断误差是0 ( z 2 ) ，由t a y l o r 公式容易知道，做线性化的误差是 0 ( ) ，所以有 即 掣+ d ( 舻) ：吼( ( 让孙+ 0 ( 甜u 嚣 一( u z 2 + o ( t ) ) 3 t t 茄1 ) 掣+ 0 ( 膀) ：铂( ( ( 唰3 + d ( 删) u 嚣 一( ( 仳z 2 ) 3 + d ( t ) ) 让茄1 ) 号也掣：印( ( 札桫“嚣七z 2 ) 3 “茄t ) + d ( 麟) + o ( ) ( 1 2 1 4 ) 另外，( 1 2 1 1 ) 满足向后差分格式， d ( ) 。即 所以它的截断误差应该是d ( z 2 ) + 譬= 南( u 端厂2 u 搿+ 仳姑1 ) + d ( 腊) + d ( 。 ( 1 2 。1 5 ) 由( 1 2 1 4 ) 和( 1 2 1 5 ) 消去虚拟点，就可以得到 t 正象，3 = ( 1 + 2 n + n 死( u ：l ，3 ) 3 ) u 嚣一2 n t 正端，3 一n 您( u z 2 ) 3 t 正茄1 + o ( z 2 ) + 0 ( ) 上式说明方法三在点孽2 的方