（应用数学专业论文）多目标优化的若干问题研究.pdf

_ s t u d yo ns o m ep r o b l e m s i n m u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o n p r o b l e m s g a oy i n g s u p e r v i s e db yp r o f e s s o ry a n gx i n m i n s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ， i n n e rm o n g o l i au n i v e r s i t y ， h o h h o t ，0 1 0 0 2 1 ，p r c h i n a m a r c h ，2 0 1 0 84川46 洲3叭7，i1洲y 原创性声明 本人声明：所里交的学位论文足本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果除本文已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得内蒙古大学及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名； 指导教师签名： 抛f ，、2 0 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙古大学有权将 学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件和磁盘， 允许编入有关数据库进行检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论 文为保护学院和导师的知识产权，作者在学期问取得的研究成果属于内蒙古大学作者今 后使用涉及在学期间主要研究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期间导师的同意； 若用于发表论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表 学位论文作者签名： 日 寺菇 、铆 指导教师签名： 日期： 力以o tr 2 口 多目标优化的若干问题研究 摘要 多目标优化是最优化理论和应用的主要研究领域之一这一问题 的研究涉及到凸分析、非光滑分析、非线性分析等多门学科同时， 它在经济规划、金融投资、工程设计、交通运输、环境保护以及军事 决策等等领域有着广泛应用本文共分五章，主要致力于多目标优化 问题四个方面的研究：多目标优化问题的高阶对偶问题研究、多目标 极大极小分式规划问题的最优性条件和对偶问题研究、多目标优化问 题近似解的最优性条件和对偶问题研究以及向量优化问题近似解的标 量化特征本文的主要内容可概括如下： 1 第一章简要叙述了多目标优化的基本概念和研究意义，对多目标 优化及其与本文相关的五个研究方向的发展历史和现状进行了综 述介绍了本文研究所需的基本概念和相关理论，继而提出了本文 所研究的主要内容 2 第二章研究了一类锥约束不可微多目标规划的高阶对偶问题首 先，我们利用凸泛函c 定义了一类高阶广义凸函数，推广了诸多 f 一凸函数；其次，我们建立了两种高阶对偶模型，并利用f r i t zj o h n 和k u h n t u c k e r 型必要条件，在高阶广义凸性假设下给出了两种对 偶问题的弱对偶、强对偶和h u a r d 型逆对偶定理 3 第三章研究了多目标规划的对称对偶问题首先，我们考虑了多目 标分式规划问题的高阶对称对偶问题，给出了一类不可微多目标 分式规划问题的高阶m o n d - w e i r 型对称对偶模型，并在一类高阶广 义凸性假设下建立了高阶弱对偶、强对偶和逆对偶定理其次，对 二阶m o n d w e i r 型对称对偶问题，除给出相应的对偶定理外还给出 了二阶对称对偶问题的自对称对偶定理最后，我们注意到文献 9 8 中的错误，并对此进行了改正通过重新定义高阶锥不变凸函 数，并建立锥约束高阶m o n d w e i r 型对称对偶模型，在高阶锥不变 凸的假设下，利用锥约束优化问题的f r i t zj o h n 型最优性条件给出 了弱对偶、强对偶和逆对偶定理 4 第四章我们研究了一类不可微多目标极大极小分式规划问题首 先，在一类广义a b a d i e 约束条件下给出了其g e o f f r i o n 真有效解的 k u h n t u c k e r 型最优性必要条件；其次，在一类广义凸性假设下给出 了其弱有效解和g e o f f r i o n 真有效解的k u h n t u c k e r 型最优性充分条 件；最后，在最优性条件的基础上建立了w o l f e 型对偶模型，给出 了对偶定理 5 第五章研究了向量优化问题的近似解首先，我们给出一种新的近 似真有效解的概念，研究其各种性质在没有任何凸性假设下，通 过两种非线性标量函数给出了向量优化问题近似解的非线性标量 化特征，并在锥次类凸性假设下，给出了向量优化问题近似真有效 解的线性标量化特征其次，利用各种锥和广义方向导数给出了多 目标优化问题近似解的充分条件我们在凸性假设下利用可行方 向锥、切锥和e 一法集给出了近似解的充分条件，并在非凸假设下 考虑了局部近似解的概念，并利用切锥、二阶切集和广义方向导数 给出了近似解的充分条件最后，考虑了多目标优化问题的e 一拟 弱有效解我们利用广义方向导数给出了e 一拟弱有效解存在的充 分和必要条件并利用极限次微分的概念在广义凸性假设下给出了 e 一拟弱有效解的k u h n t u c k e r 型充分和必要条件，在此基础上引进 向量值拉格朗日函数，给出e 一拟弱鞍点的定义，建立拉格朗日对 偶模型，给出了近似解的弱对偶和强对偶定理 关键词：多目标规划，分式规划，对称对偶，高阶对偶，拉格朗日对偶， 有效解，弱有效解，真有效解，近似解，最优性条件，对偶定理，标量 化 一一一 一 s t u d yo ns o m ep r o b l e m s m u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t p r o b l e m s a b s t r a c t i n i o n m u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o np r o b l e mi so n eo ft h em a i nr e s e a r c hf i e l d so fo p t i m i z a t i o nt h e o r ya n da p p l i c a t i o n s s t u d yo nw h i c hi n v o l v e sm a n y d i s c i p l i n e s ，s u c ha s ： c o n v e xa n a l y s i s ，n o n s m o o t ha n a l y s i s ，n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s ，a n ds oo n a n dt h e t h e o r ya n dm e t h o d sf o rt h em u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o na r ew i d e l yu s e di nt h ea r e a s o fm o d e r ne c o n o m i cp l a n n i n g ，f i n a n c i a li n v e s t m e n t ，e n g i n e e r i n gd e s i g n ，e n v i r o n m e n t a l p r o t e c t i o n ，m i l i t a r y , e t c i nt h i st h e s i s ，w em a i n l ys t u d yt h et h e o r yo fm u l t i o b j e c - t i v eo p t i m i z a t i o ni nf o u ra s p e c t s ：h i g h e ro r d e rd u a l i t yf o rm u l t i o b j e c t i v ep r o g a m m i n g p r o b l e m s ，t h eo p t i m a l i t yc o n d i t i o n sa n dd u a l i t yf o rac l a s so fm u l t i o b j e c t i v em i n i m a x f r a c t i o n a lp r o g r a m m i n gp r o n l e m s ，t h eo p t i m a l i t yc o n d i t i o n sa n dd u a l i t yf o ra p p r o x i - m a t es o l u t i o n so fm u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o np r o b l e m sa n dt h e s c a l a rc h a r a c t e r i z a t i o n s f o ra p p r o x i m a t es o l u t i o n so fv e c t o ro p t i m i z a t i o np r o b l e m s t h em a i nr e s u l t s o b t a i n e d i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，m a yb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： 1 i nc h a p t e r1 ，f i r s t l y , w eg i v eb r i e fi n t r o d u c t i o nt ot h ed e v e l o p m e n ta n dr e s e a r c hs i g - n i f i c a n c eo fm u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o n a n dw ea l s os u m m a r i z et h ed e v e l o p m e n t s o ft h em u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o ni nf i v ea s p e c t sa s s o c i a t e dw i t ht h i st h e s i s s e c - o n d l y , w er e c a l ls o m eb a s i cc o n c e p t sa n dr e s u l t s f i n a l l y , w eo u t l i n et h ec o n t e n t s s t u d i e di nt h i st h e s i s 2 c h a p t e r2i sc o m m i t t e dt os t u d yt h eh i g h e r o r d e rd u a l i t yf o rn o n d i f f e r e n t i a b l e m u l t i o b j e c t i v ep r o g r a m m i n gp r o b e l m sw i t hc o n ec o n s t r a i n t s f i r s t ，w ei n t r o d u c e h i g h e r - o r d e rc o n v e xf u n c t i o n sb yu s i n ga c o n v e xf u n c t i o n a lc ，w h i c hc a nb es e e n a st h eg e n e r a t i o no fs e v e r a lk i n d so ff - c o n v e xf u n c t i o n s a n dt h e n ，w ef o r m u l a t et w ok i n d so fh i g h e r o r d e rd u a lm o d e l s ，a n de s t a b l i s hw e a k ，s t o n ga n dh u a r d t y p ec o n v e r s ed u a l i t yt h e o r e m sf o rt w ok i n d so fh i g h e r - o r d e rd u a lm o d e l sf r o m t h ev i e w p o i n to ff r i t zj o h na n dk u h n t u c k e rt y p en e c e s s a r yc o n d i t i o n su n d e rt h e g e n e r a l i z e dc o n v e x i t ya s s u m p t i o n s 3 c h a p t e r3s t u d i e ss y m m e t r i cd u a l i t yf o rm u l t i o b j e c t i v ep r o g r a m m i n gp r o b l e m s f i r s t ，h i g h e ro r d e rs y m m e t r i cd u a l i t yf o rm u l t i o b j e c t i v ef r a c t i o n a lp r o g r a m m i n g i v p r o b l e m sa r ep r e s e n t e d w ef o r m u l a t em o n d w e i rt y p eh i g h e ro r d e rs y m m e t r i c d u a lm o d e lf o ran o n d i f f e r e n t i a b l em u l t i o b j e c t v ef r a c t i o n a lp r o g r a m m i n gp r o b l e m s ， a n dd e r i v ew e a k ，s t r o n ga n dc o n v e r s ed u a l i t yt h e o r e m su n d e rt h ea s s u m p t i o n so f h i g h e r o r d e rc o n v e x i t y a n dt h e n ，f o rap a i ro fm o n d w e i rt y p es e c o n do r d e r s y m m e t r i cd u a lm o d e l s ，t h ec o r r e s p o n d i n gd u a l i t yt h e o r e m sa r ee s t a b l i s h e da n da s e c o n do r d e rs e l fd u a l i t yt h e o r e mf o rt h es e c o n do r d e rs y m m e t r i cd u a l si sd e r i v e d a tl a s t ，c e r t a i ns h o r t c o m i n g sa r ep o i n t e do u ti n 9 8 ，a n ds o m ea p p r o p r i a t em o d i f i c a t i o n sa l eg i v e n w ep r e s e n tah i g h e ro r d e rc o n ei n v e xf u n c t i o n ，a n df o r m u l a t e m o n d w e i rt y p eh i g h e ro r d e rs y m m e t r i cd u a lm o d e l sa n dd e r i v ew e a k ，s t r o n ga n d c o n v e r s ed u a l i t yt h e o r e m sf r o mt h ev i e w p o i n to ff r i t zj o h nt y p en e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rc o n ec o n s t r a i n to p t i m i z a t i o np r o b l e m su n d e rt h eh i g h e ro r d e rc o n ei n v e x a s s u m p t i o n s 4 i nc h a p t e r4 w ea x ec o n c e r n e dw i t hac l a s so fn o n d i f f e r e n t i a b l em u l t i o b j e c t i v e m i n i m a xf r a c t i o n a lp r o g r a m m i n gp r o b l e m f i r s t ，t h ek u h n t u c k e rt y p en e c e s s a r y o p t i m a l i t yc o n d i t i o nf o rg e o f f r i o np r o p e r l ye f f i c i e n ts o l u t i o ni sd e r i v e du n d e rt h e a s s u m p t i o no fg e n e r a l i z e da b a d i ec o n s t r a i n tq u a l i f i c a t i o n a n dt h e n ，t h es u f f i c i e n t o p t i m a l i t yc o n d i t i o n sf o rw e a k l ya n dg e o f f r i o np r o p e r l ye f f i c i e n ts o l u t i o n sa x eg i v e n u n d e rt h eg e n e r a l i z e dc o n v e x i t ya s s u m p t i o n s a tl a s t ，b a s e do nt h eo p t i m a l i t y c o n d i t i o n s w ef o r m u l a t ew o l f ed u a lm o d e la n dd u a l i t yt h e o r e m sa r ed e r i v e d 5 i nc h a p t e r5 ，f i r s t ，w ei n t r o d u c ean e wk i n do fa p p r o x i m a t ep r o p e r l ye f f i c i e n t s o l u t i o nf o rv e c t o ro p t i m i z a t i o np r o b l e m sa n dd e r i v es o m ep r o p e r t i e so fa p p r o x i m a t es o l u t i o n s n o n l i n e a rs c a l a r i z a t i o n sv i at w ok i n d so fn o n l i n e a rs c a l a rf u n c t i o n s a r eo b t a i n e df o ra p p r o x i m a t es o l u t i o n so fv e c t o ro p t i m i z a t i o np r o b l e m s a n dw e p r e s e n tt h el i n e a rs c a l a x i z a t i o nu n d e rt h ec o n es u b c o n v e x l i k ea s s u m p t i o n s a n d t h e n ，w ep r e s e n ts u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ra p p r o x i m a t es o l u t i o n so fm u l t i o b j e c t i c e o p t i m i z a t i o np r o b l e m sb yu s i n gs e v e r a lk i n d so ft a n g e n ts e t sa n dg e n e r a l i z e dd i r e c t i o n a ld e r i v a t i v e s t h er e s u l t sa r ef i r s tp r e s e n t e di nc o n v e xc a s e sb yu s i n gt h e c o n eo ff e a s i b l ed i r e c t i o n s ，t a n g e n tc o n ea n de - n o r m a ls e t a n dw ec o n s i d e rn o n c o n v e xc a s eb ye m p l o y i n gl o c a lc o n c e p t s t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fa p p r o x i m a t e s o l u t i o n sa r ed e r i v e db yu s i n gt a n g e n tc o n e ，s e c o n do r d e rt a n g e n ts e t sa n dg e n e r - a l i z e dd i r e c t i o n a ld e r i v a t i v e s a tl a s t w ea x ec o n c e r n e dw i t hq u a s ia p p r o x i m a t e w e a k l ye f f i c i e n ts o l u t i o no fm u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o np r o b l e m s n e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r ed e r i v e df o rt h ee x i s t e n c eo fq u a s ia p p r o x i m a t ew e a k l y e f f i c i e n ts o l u t i o ni nt e r m so fh a d a m a r dd i r e c t i o n a ld e r i v a t i v e s a n d ，w ed e r i v e k u h n t u c k e rt y p en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sb yl i m i t i n gs u b d i f f e r e n t i a l u n d e rt h eg e n e r a l i z e dc o n v e x i t ya s s u m p t i o n s b yi n t r o d u c i n gt h en o t i o no fv e c t o r v a l u e dl a g r a n g i a nf u n c t i o na n de - w e a k l ys a d d l ep o i n to fl a g r a n g i a nf u n c t i o n ， v ，ef o r m u l a t eal a g r a n g ed u a lm o d e l ，a n dw e a ka n ds t r o n gd u a l i t yt h e o r e m sf o r a p p r o x i m a t es o l u t i o n sa r e d e r i v e d k e y w o r d sm u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o n ，f r a c t i o n a lp r o g r a m m i n g ，s y m m e t r i cd u a l i t y ，h i g h e r o r d e rd u a l i t y , e f f i c e i n ts o l u t i o n s ，w e a k l ye f f i c i e n ts o l u t i o n s ，p r o p e r l y e f f i c i e n t s o l u t i o n s ，a p p r o x i m a t es o l u t i o n s ，o p t i m a l i t yc o n d i t i o n s ，d u a l i t yt h e o r e m s ，s c a l a r i z a - t i o n v i 符号说明付丐况明 本文所用符号，除文中特别说明外，均按如下约定： 1 舻表示礼维欧氏空间畔和雌+ 分别表示它的非负卦限和正卦 限，即 r 华= ( z 1 ，：1 7 2 ，z 竹) t ：x i 0 ，i = 1 ，钆) ， p c + + = ( z 1 ，x 2 ，z n ) t ：x i 0 ，i = 1 ，佗) 2 w ( x ) 表示，( z ) 在z 点处的一阶导数，v 2 厂( z ) 表示y ( x ) 在x 点处的 二阶导数，v 霉g ( x ，y ) 表示9 ( z ，y ) 在x 点处关于变量x 的一阶导数， v 掣g ( x ，y ) 表示g ( z ，y ) 在y 点处关于变量y 的一阶导数 3 a ，表示，的c l a r k e 次微分 4 t 上0 表示t 从大于0 的方向趋于零，t 一0 表示t 趋于0 5 s u p 表示取上确界，l i ms u p 表示取上极限，l i m i n f 表示取下极限， i i l a x 表示取最大值，m i n 表示取最小值 6 ，表示向量x 的转置，( x ，y ) 和x t y 都表示酣中向量z = ( z - ，x 2 ，z n ) t 与y = ( y 1 ，y 2 ，) t 的内积，即 ( 删) = x t y = 7 兢玑 t = 1 7 v 表示对任意的，| 表示至少存在一个，表示属于，c 表示包 含，表示不等于 8 r 表示实数集，r + 表示正实数集，n 表示自然数集 9 d a 表示集合a 的边界，c l a 表示集合a 的闭包，i n t a 表示集合a 的 内部，a b 表示集合 口：口a ，a 譬j e 7 ) 1 0 o 表示同阶无穷小，0 表示空集，口表示证完 v i i 一 摘要 a b s t r a c t 符号说明 目录 第一章绪论 1 1 多目标优化问题的发展概况及研究意义 1 1 1 多目标优化问题的解 1 1 2解的最优性条件 1 1 3 对偶性 1 1 4 标量化方法 1 1 5 近似解 1 2预备知识 1 3 本文内容介绍。 第二章锥约束多目标规划的高阶对偶问题研究 2 1 引言 2 2 一类高阶广义凸函数 2 3 对偶问题 第三章多目标规划的高阶对称对偶问题研究 3 1引言 3 2带有不等式约束的分式规划情形。 3 2 1基本概念 3 2 2 高阶对偶问题。 3 2 3 二阶对偶问题 3 2 4 二阶自身对偶问题 3 3 锥约束情形 3 3 1 引言 3 3 2 高阶锥伪凸函数。 3 3 3 对偶问题。 v i i i v 1 1 2 3 4 8 9 c 1 4 6 6 7 8 9 9 0 0 1 ) 5 7 ； ， i n ， ， ： 。 4 8 g 加 m 硒 坞 鹅 船 凹 n 们 卯 卯 鹄 的 第四章一类多目标极大极小分式规划的最优性条件和对偶问题 4 1 引言 4 2 预备知识 4 3 最优性条件 4 4 对偶定理 第五章向量优化问题的近似解研究 5 1 一类近似真有效解及其标量化特征 5 1 1 引言 5 1 2 预备知识 5 1 3 一类近似真有效解及其它的性质 5 1 4 非线性标量化 5 1 5 线性标量化 5 1 6 特例 5 2 多目标优化问题近似解的最优性条件 5 2 1 引言 5 2 2 预备知识 5 2 3 凸性假设下近似解的锥刻画 5 2 4 非凸假设下近似解的锥刻画和导数刻画 5 3 多目标规划的拟近似解的最优性条件和对偶问题 5 3 1 预备知识 5 3 2 最优性条件 5 3 3 e 一拟弱鞍点及e 一拉格朗日对偶 第六章结论与展望 参考文献 攻读博士学位期间完成的学术论文 致谢 i x 弱 弱 弱 w 斛 阻 似 加 伪 踟 跎 跎 跎 泓 9 8 鳃 m 毗 宝 均 加jiil 第一章绪论 本章简要地介绍了多目标优化问题的发展概况和研究意义对与本 文相关的多目标优化问题中的五个研究方向的发展历史和现状进行了综 述介绍了本文研究所需的基本概念和相关理论最后，概述了本文要 研究的内容以及获得的主要结果 1 1多目标优化问题的发展概况及研究意义 多目标优化问题是单个数值目标优化问题推广，它是应用数学和决策科学 的交叉学科多目标优化理论涉及到凸分析、非光滑分析、非线性分析等多门学 科同时，它在经济分析、金融保险、工程设计、环境保护、社会可持续发展以及 军事科学、国家安全等等重大决策问题中有着广泛的应用在这些问题中，判别 决策好坏的标准( 指标) 足多个的，这就涉及到决策者的“偏好”对于这类的优 化问题，解的概念与单个数值目标的优化问题中解的概念有着本质的不同，本 质上它是一种均衡或平衡的概念这种判别好坏的思想更加符合时代的需求 例如：人们购买一种商品，一看商品的价格，二看商品的品质，三看，最后再 决定是否购买它又例如：经济增长，它至少包含了经济总量、国民收入、资源 消耗与环境保护等目标( 指标) 对于这类优化问题，指标之间通常是相互矛盾 的因此，如何协调这些矛盾，兼顾各个指标，选出最满意的方案，是人们在现实 生活中经常遇到的难题所以，多目标优化问题，总是以栖牲一部分目标的利益 来换取另一些目标的利益的改善，正如v o nn e u m a n 和m o r g e n s t e r n 【2 】指出的： “这种多目标的情形，肯定足无最优值的同题，而是几个相互冲突的最优问题 特有的和扰人的混合这一类问题不能用传统数学方法来处理” 这就是多目标优化问题的基本性质之一 多目标优化问题的理论研究和应用已有几十年的历史早在1 8 9 6 年，经济 学家p a r e t o 1 】首先在经济平衡的研究中提出了多目标规划问题，并给出了后来 称之为p a x e t o 有效解的朴素思想1 9 4 7 年，v o nn e u i n & n 和m o r g e n s t e r n 【2 】在对 策论的著作中提到了多目标规划问题，引起了人们对多目标规划的重视 1 9 5 1 年，k o o p m a n s 3 】在生产与分配的活动分析中提出了多目标最优化问题，并第一 次提出了p a r e t o 有效解的概念同年，k u h n 和t u c k e r 【4 从数学规划的角度， 给出了向量极值问题的p a r e t o 有效解的概念，并研究了这种解存在的充分条件 和必要条件1 9 5 4 年d e b r e u 5 】有关评价均衡的讨论，以及1 9 5 8 年h a r w i c z 6 】 第一章绪沦 对拓扑向量空间中的多目标最优化问题的研究，都为这门学科的建立奠定了坚 实的基础。1 9 6 8 年，j o h n s e n 7 】出版了关于多目标决策模型的第一部专著从 此，不少学者先后转入这一研究领域，并取得了许多成果直到2 0 世纪7 0 年代 到8 0 年代，经过众多学者的努力，终于建立起多目标规划的基本理论使之成 为应用数学的一个新的学科分支 为什么许多学者对多目标优化问题显示出巨大的研究兴趣? 概括起来，由 于多目标优化问题呈现了下面的鲜明特点：( 1 ) 强烈而丰富的实际背景为多目 标优化问题的研究提供了许多新的问题和模型；( 2 ) 多目标优化问题，特别足变 动偏好结构的多目标优化问题需要新的数学概念、方法和工具去处理，有可能 形成新的数学研究的方向；( 3 ) 多目标优化问题与数理经济、网络经济、决策和 对策理论以及非线性分析中的许多问题有紧密关系，这就极大地拓广了向量优 化理论的研究和应用的范围 多目标优化包括了广泛和丰富的内容在理论和方法研究方面，诸如解的 定义、各种形式的最优性条件、求解方法、近似解及解的扰动、解集的代数性质 与拓扑性质、解的对偶性、解的稳定性以及多目标优化问题与向量平衡问题、 向量变分不等式、变分包含问题等的关系等等；在应用领域，多目标优化模型渗 透非常广泛的课题中，带来了令人瞠目社会效益和经济效益 本文仅对多目标优化问题的三个方面进行研究：多目标优化问题解的最优 性条件和对偶问题、多目标优化问题近似解的最优性条件和对偶问题、以及向 量优化问题近似解的标量化特征 1 1 1多目标优化问题的解 在多目标优化问题中，如何定义解是首要问题从直观上看，多个目标的 “最优”( 不论足极大化还是极小化) 通常因为目标问相互矛盾而无法同时达 到从数学上看，其实足因为偏序向量空间不一定是全序的( 例如2 维欧氏空间 中，按分量坐标大小定序时，就并非任意两个向量都能比大小) ，于足通常的求 “最大”或求“最小”就成问题了1 9 5 1 年，k o o p m a n s 【3 】在生产与分配的活 动分析中提出了多目标最优化问题，并第一次提出了p a r e t o 有效解的概念，较 好地刻画了在偏序而非全序关系下解的概念1 9 5 1 年，k u h n 和t u c k e r 4 研究 p a r e t o 有效解的标量化特征时，发现p a r e t o 有效解有时不具备标量化特征，而且 这类解的集合相当大因此，他们针对可微多目标优化问题给出了真有效解的 概念( k u h n t u c k e r 真有效解) ，并给出了它的线性标量化特征随后，g e o f f r i o n 【8 】定义了另一种真有效解的概念，并称之为g e o f f r i o n 真有效解，这种真有效解 2 内蒙古大学博士学位论文 的概念不需要目标函数和约束函数的可微性上个世纪8 0 年代前后，b o r w e i n 【9 】，h a r t l e y 1 0 ，b e n s o n 1 1 ，h e n i g 【1 2 等众多学者在无穷维空间中相继引入各种 形式的真有效点( 解) 的概念1 9 9 1 年和1 9 9 3 年，b o r w e i n 和z h u a n g ( 见【1 3 】， 【1 4 】) 在赋范空间中又定义了超有效点( 解) 的概念超有效点统一了上面所提到 的几乎所有的真有效点，同时它又具有非常好的性质，即能用严格正泛函来作 标量化过程其后，z h e n g 1 5 1 把超有效点和h e n i g 真有效点的概念从赋范空间 推广到局部凸空间，并讨论了它们与其它真有效点的关系g o n g 在文【1 6 】中给 出了h e n i g 真有效点的另一种形式，并讨论了h e n i g 真有效解的最优性条件 1 1 2解的最优性条件 多目标优化问题各种解的最优性条件足多目标优化的一个重要且基本的研 究课题所谓解的最优性条件就是指某种意义下的解满足的必要条件或充分条 件它不仅可以用来判断一个可行解足否为所考虑意义下的解，还可以通过它 来讨论稳定性理论和对偶性理论等而且它也是建立求解算法的理论基础 在最优性条件的研究中，凸集分离定理以及与其等价的“择一定理”起着 关键的作用1 9 4 8 年，j f r i t z 1 7 利用择一定理给出了非线性单目标优化问题 的f r i t zj o h n 型最优性必要条件1 9 5 1 年，k u h n 和t u c k e r 4 】通过引进约束 条件，在凸性假设下给出了最优解的k u h n - t u c k e r 型充分必要条件由于f r i t z j o h n 型必要条件不能保证凸规划问题的拉格朗日乘子的存在性，因此即便是对 线性规划问题， f r i t zj o h n 型必要条件也不一定是充分必要条件所以如何通 过f r i t zj o h n 条件得到k u h n t u c k e r 型必要条件成为一个重要的的研究方向而 k u h n t u c k e r 型必要条件是在一定的约束品性条件下得到的，所以通过引进新的 约束品性，求出k u h n t u c k e r 型必要条件成为人们研究最优性条件的一个主要方 法 近几十年来，已有不少研究多目标优化问题的f r i t zj o h n 型和k u h n t u c k e r 型最优性条件方面的文献( 见【1 8 一 2 6 1 ) 1 9 7 6 年，l i n 【1 8 】首次给出了p a r e t o 有效 解的f r i t zj o h n 型必要条件，然后又在k u h n t u c k e r 约束品性下，给出了p a r e t o 有效解的k u h n t u c k e r 型必要条件1 9 8 7 年，s i g h n 1 9 】利用切锥的概念，给出了 可微多目标规划的一种非k u h n 一, t u c k e r 约束品性的k u h n t u c k e r 型条件随后几 年中，董加礼等人用s i g h n