（应用数学专业论文）三角形网格的独立性和有效性研究.pdf

分类号： u d c ： 密级： 猷虞彳净锉夫肇 学位论文 三角形网格的独立性和有效性研究 t r i a n g l eg r i di n d e p e n d e n c ea n df e a s i b i l i t ys t u d y 李满满 指导教师姓名： 申请学位级别： 论文定稿日期： 学位授予单位： 学位授予日期： 任德麟教授 武汉科技大学 答辩委员会主席：沈轶教授 评阅人： 李德宜 谢鹏 教授 副教授 武汉科技大学硕士学位论文第l 页 摘要 b u f f o n 投针问题是最早的一个几何概率问题，在定意义上说，它也是一个具有代 表性的影响最大的几何概率问题b u f f o n 问题问世二百余年以来，已有各种推广研究，其 中最重要的推广是：将小针随机地投掷子布有以某凸域为基本区域的网格的平面上，求 小针与网格相遇的概率而这类问题的解决取决于对包含测度的研究对于包含在一个 定区域中的动区域的运动测度，我们称之为包含测度 任德麟引入平面内凸域的广义支持函数和限弦函数两个新概念，利用它们建立了包 含在凸域内的定长线段的运动测度公式，并利用此公式解决了广义的b u f f o n 投针问题 b u f f o n 问题的解答，在历史上第一次开辟了对y - 作统计估计的途径由于b u f f o n 问 题的解使石与b u f f o n 概率p 相联系，因而万的统计估计问题，实际上是b u f f o n 概率的统 计估计问题随着b u f f o n 问题向网格情形的推广，出现了相应的统计估计问题这其中 独立性和有效住是一个重要问题文献【1 1 研究了矩形和平行四边形网格的独立性和有效 性，本文在上述结论的基础上对三角形网格的独立性和有效性进行一些研究三角形网 格可看成是三组平行线网相交而成，其独立性和有效性的研究要比矩形和平行四边形网 格复杂得多本文糨包含测度与b u f f o n 问题结合，褥到了任意三角形网据独立的条件： 又通过计算方差对三角形网格的有效性进彳亍了分析，得到了与平行线网相似的结论 关键词：凸域：三角形网格：运动测度：几何概率 第1 i 页武汉科技大学硕士学位论文 t h a b u f f o nt h r o w st h en e e d l ep r o b l e mi sae a r l i e s tg e o m e t r yp r o b a b i l i t yp r o b l e m s a y si t i sa l s ot h a to n eh a st h et y p i c a lm a x i m a le f f e c tg e o m e t r yp r o b a b i l i t yp r o b l e mi nac e r t a i ns e n s e b u f f o np r o b l e mc o m e so u ta l r e a d yh a v i n gv a r i o u se x t e n s i o ni s ：1 1 把s m a l ln e e d l ei st h r o w n r a n d o m l yt h ep r o b a b i l i t ya s k i n gt h es m a l ln e e d l et om e e tw i t hg do nt h ef i a ts u r f a c eh a v i n g t h e 西dt a k i n gs o m ec o n v e xd o m a i n sa sb a s i ca r e ai nc l o t h 。b u t ，t h es o l u t i o no fs u c hp r o b l e m s d e p e n d so nt h es t u d yo fc o n t a i n m e n tm e a s u r e t h ek i n e m a t i cm e a s u r eo fam o v i n gd o m a i n t h a ti sc o n t a i n e di naf i x e dd o m a i ni sc a l l e dac o n t a i n m e n tm e a s u r e r u n 。d e l i ni n t r o d u c e dt h en o t i o n so fg e n e r a l i z e ds u p p o r tf u n c t i o na n dr e s t r i c t e dc h o r d f u n c t i o no fae o n v e xb o d yi nt h ep l a n e ，a n du s e dt h e mt oe s t a b l i s hak i n e m a t i cm e a s u r ef o r m u l a f o ras e g m e n to ff i x e dl e n g t hw i t h i nac o n v e xd o m a i n h et h e na p p l i e dt h i sf o r m u l at os o l v e g e n e r a l i z e db u f f o nn e e d l ep r o b l e m so f l a t t i c e s b u f f o nq u e s t i o nt oa n s w e r , t h ef i r s tt i m ei nh i s t o r yo p e n e dt h ew a yf o rs t a t i s t i c a le s t i m a t e s o f 万a sb u f f o ns o l u t i o nt ot h ep r o b l e ma s s o c i a t e d 万w i t ht h ep r o b a b i l i t yo fb u f f o n , t h u s s t a t i s t i c a le s t i m a t i o np r o b l e mi sa c t u a l l yb u f f o np r o b a b i l i t ys t a t i s t i c a le s t i m a t i o n a sb u f f o n g r i ds i t u a t i o nt ot h ep r o m o t i o n t h e r eh a sb e e na c o r r e s p o n d i n gs t a t i s t i c a le s t i m a t i o np r o b l e m i n d e p e n d e n c e a n de f f e c t i v e n e s so ft h i si sa n i m p o r t a n t i s s t l e d o c u m e n tf 1 1s t u d i e d p a r a l l e l o g r a mr e c t a n g u l a r 鲥a n dt h ei n d e p e n d e n c ea n de f f e c t i v e n e s s , i nt h ea b o v e - m e n t i o n e d p a p e rb a s e do nt h ec o n c l u s i o n so ft h et r i a n g u l a rm e s ho ft h ei n d e p e n d e n c ea n de f f e c t i v e n e s so fa n u m b e ro fs t u d i e s t r i a n g l em e s hc a nb es e e na st h r e es e t so fp a r a l l e ll i n e si n t e r s e c tf r o m n e t w o r k , i t ss t u d yo fi n d e p e n d e n c ea n de f f e c t i v e n e s si sm o r ec o m p l i c a t e dt h a nr e c t a n g u l a rg r i d a n dp a r a l l e l o g r a m t h i sp a p e rw i l lc o n t a i nb u f f o np r o b l e m sw i t ht h em e a 4 5 n r e ，h a v eb e e n a r b i t r a r yt r i a n g l em e s hi n d e p e n d e n tc o n d i t i o n sb yc a l c u l a t i n gt h ev a r i a n c ea n dt h et r i a n g l em e s h t ot h ev a f i d i t yo ft h ea n a l y s i s o b t a i n e dw i t ht h ep a r a l l e ll i n en e t w o r ks i m i l a rc o n c l u s i o n s k e yw o r d s ：c o n v e xd o m a i n ；t r i a n g l eg r i d s ；k i n e m a t i cm e a s u r e ；g e o m e t r i cp r o b a b i l i t y 武汉科技大学硕士学位论文第1 页 前言 积分几何起源于“几何概率”，最早的几何概率命题远在十八世纪即已出现例如： b u f f o n ( 1 7 0 7 至1 7 8 8 ) 于1 7 3 3 年在一份研究报告的附录中就讨论了如今很著名的投针问 题“积分几何”一名是德国数学家w b l a s c h k e 所起的，它其中的度量往往表示为积分 1 8 6 9 年，英国数学家w c r o f t o n 找到了这些积分之间的许多巧妙的关系，讨论了各种几何 元素集的测度1 8 9 6 年，法国大数学家h p o i n c a r e 引进了运动密度的观念，把积分几何建立 在群论的基础上这些著名数学家的工作都为积分几何的出现准备了条件 1 9 3 5 年到1 9 3 9 年w b l a s c h k e 及其学派在h a m b u r g 大学的讨论班上探讨了系列问题 这些问题大都来自于古典的几何概率他们研究这些问题的主要目的在于：探索概率思 想能否有助于揭示一些几何事实，特别是有关凸体论和整体几何方面的一些结论他们 取得了很大的成功，获得了许多令人惊羡的成果，其中包括吴大任教授在椭圆几何方面 的重要工作在此期间，w b l a s c h k e 学派以 0 ，则对任意的a 罗，称 p ( 爿l b ) t 铬 为在已知事件口发生的条件下，事件4 发生的条件概率 由这个定义可知，对任意两个事件a 、口，若p ( 曰卜0 ，则有 p ( 仙) - p ( b ) p ( a i b ) 并称上式为概率的乘法公式 不难验证条件概率p “曰) 具有概率的三个基本性质：非负性，规范性，可列可加性 由此可知，对给定的一个概率空间( q ，罗，p ) 和事件b e f , 如果p ( b ) 0 ，则条件概率 尸( i 口) 也是( q 。力上的一个概率测度特别，当口。q 时，p ( | 曰) 就是原来的概率测度 尸( ) ，所以不妨把原来的概率看成是条件概率的极端情形 。 现在可以提出一个问题，如果事件a 发生与否不受事件口是否发生的影响，那么会出 武汉科技大学硕士学位论文 第5 页 现什么样的情况呢? 为此，需要把“事件a 发生与否不受事件b 是否发生的影响”这句话 表达成数学的语言事实上，事件a 发生与否不受事件b 的影响，也就是意味着有 p 0 ) 一p ( 4 j b ) 这时乘法公式就有了更自然的形式： p ( 仰) - p ( a ) p ( e ) 由此我们引入下述定义： 定义4 对任意的两个事件a 、b ，若 p ( a b ) - p ( a ) p ( b ) 成立，则称事件a 、b 是相互独立的，简称为独立的 更一般的情形是：设4 ，以，4 l 是玎个事件，如果对于任意的k ( 1 k s 一) 和 任意的一组1 s 2c c s 厅，都有等式 p ( 4 a 以) = p ( 4 ) p ( 4 ：) p ( a ) 成立，则称4 ，4 ，4 是n 个相互独立的事件 特别地，对三个事件的独立性，有下述定义： 定义5 对任意三个事件a 、b 、c ，如果有 尸( 仰) = p ( a ) p ( b ) p ( b c ) - p ( b ) p ( c ) p ( c a ) 一p ( c ) p ( a ) p ( a b c ) 一p ( a ) e ( e ) p ( c ) 四个等式同时成立，则称事件a 、b 、c 相互独立 1 2 直线的广义法式 ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) 设x o y 为平面上的直角坐标系o r 为自原点引出的射线，由像轴到射线o r 的角记 为驴g 为垂直于射线o r 的任意一条直线若g 与像交于h ，规定p = l o l t l ( d 到日的 距离) ，特别说来，若j j r 与原点d 重合则p = o ；若g 与o r 的反向延长线交于日，则规定 p = 一l d h i 显然，在这样的规定下，g 的方程为 x c o s 妒+ y s i n 妒- p1 0 我们称此方程为直线g 的广义法式方程，并简记为g ( 仍) 1 3 平面运动群 1 3 1 平面运动群 平面上欧氏运动群( 在不致引起混淆的地方，一律简称为平面运动群，或运动群) 以弧 表示元素“弧称为运动设平面己耿定直角坐标系，若运动“将点p ( x , y ) 变到点 第6 页 武汉科技大学硕士学位论文 p b ：y ) ，则群可表示为 球：尸。工雠妒一y s l n # 帼 i y - x s i n 妒+ y c o s # + 6 ， 其中4 ，b ，妒称为运动h 的参数，并将ni e 作u ( a ，6 ；庐) 运动口o ，6 ；) 的参数的变域为 在3 维欧氏窆闯( 4 ，b ；钐中，弓l 入等价关系： ( a , b ，妒+ 2 石) 一( a , b ，妒) ，七为任意整数， ( 1 3 1 ) 便得到个新的3 维空间( 即3 维空间借助于等价关系( 1 3 1 ) 所形成的商空间) 这个 空间中的点与运动群觋的元素一一对应我们称此空闯为运动群研的参数空间，并且仍 以瓢表示 运动群弧中的元素“6 妒) 表示为下列矩阵的形式是很有用的： “。譬s i - 雩s i n 爹# ；】 q 3 。习 在这种表示下，群的单位元o ，o ；0 ) 对应于单位阵群的运算对应于通常的矩阵乘法而h 的逆元则对应于( 1 3 2 ) 的逆矩阵 口一。( 吊苷- - a c 咖o s 妒- 吲b s i n 妒1 m 3 国 l o 0 i 对任意给定的s 魄，可以在瓤中定义两种自同构：左推移和右推移左推移定义为 t ：缎一觋，h 翱； 忍：辨_ 弧，以卜s 现在我们来求在左推移及右推移之下运动的参数变换设s 由下列矩阵给出： 又，扯由( 1 3 2 ) 表示，则有 一s i n 九 c o s 九 o嚣o fj_-_l_- - s 武汉科技大学硕士学位论文 第7 页 平拶掣 f a _ a c o s 稿o - b s i n 确o + a o ， t ： b _ a s i n _ b o + 6 c o s 九+ ， i 一妒+ 九 f a - a o c o s $ 一s i n $ + 口， 冠： b - - * a o s i n $ + s 妒+ 6 ， i 妒一如+ 咖 其中a ) ，卢 ) ，y ) c 。，即它们都是u 的坐标a ，b ，驴的无穷可微函数 q ) + 吐 ) * ( q ) + 啦o ) ) 如+ ( 屈q ) + 反以) ) 曲+ ( y ，0 ) + r ：似) ) d 妒， 则构成一3 维向量空间，此空间称为研在点“处的余切空间，记为z ，1 形式妇，曲， d 驴构成巧的一组基 由左推移，和右推移r j 分别可以诱导出余切空间之间的映射由上，可诱导出映射 t ：巧一乇，0 ) h m o “) ； 由月，可诱导出映射 ：巧一乇，n ， ) 卜埘( 郴) 在映射l ：下保持不变的1 形式称为左不变的，在映射r ：下保持不变的1 形式称为右不 、l_li， 却 + + 如丸 曩| 宝 6 6 1 一 + 丸 s i幽 4 4 第8 页 武汉科技大学硕士学位论文 q - “一1 如 上：吼- ( s u ) - 1 d ( s u ) - u k l s d u 一“1 幽- q 此式表明吼确实是左不变的从而矩阵吼的所有元素是左不变1 形式由( 1 3 2 ) 和( 1 3 3 ) 瓯- 盱1 0-一sinoda+5+cmos鲫o-db000 瓯却 1 ij q - c o s 妒d a + s i n 咖西，哆一- s i n 西妇+ s 西曲，鸭- d 妒 显然，q ，她，鸭是线性无关的 由于玛，哆，鸭是左不变的，因此它们的带常系数的任何线性组合也是左不变1 形式 并且这样的线性组合已经穷尽了弧上一切左不变l 形式，即吼上任一左不变1 形式都可 表示成为q ，哆，鸭的带常系数的线性组合 求右不变1 形式的讨论完全类似，简要叙述如下矩阵 q r d u u 一1 砖q 月- d ( 时) ( 盼) 。1 一d u s s 一1 h 1 - q _ 由( 1 3 2 ) 和( 1 3 3 ) 二式有 叫玎平) 一6 d 妒+ d a ，0 3 2 一- a d o + d b ，甜3 ，d 妒 m l ，乜2 ，吐，3 的带常系数的线性组合是右不变1 形式，并且瓤上任一右不变1 形式皆可表 武汉科技大学硕士学位论文第9 页 1 4 2 运动密度 有了上述准备之后，现在可以引入运动密度概念了， 首先，e h = f = o j ，哆，鸭皆为左不变1 形式，因此它们的外积 d k t qa 屿a 鸭i d aa 动a d e( 1 4 1 ) 是左不变的3 级微分形式( 简称3 形式) 今设 妒t f ( u ) d a 曲 d 妒；，0 ) qa 2 鸭 为任意一个左不变的3 形式，应有 f ( s u ) w l ( s u ) 吐o ) ao j 3 ( s u ) t ，0 ) q ) ( ) 鸭以) 由于诸鳓是左不变的，即 q o ) 一q ) ，i = 1 ，2 ，3 由此推知 f ( s u ) 一f ( u 、 因为这一等式对任何s 飒成立，故f ( u ) 必定是常数这就表明，若不计一个常数因子， ( 1 4 1 ) 式中的d k 是觋上唯一的左不变3 形式 其次，考虑1 ，2 ，的外积，得到 0 9 1a 2 m 31 d aa 曲a d 西：d k 依据类似的推理可知，若不记一个常数因子，d k = d a d bad e 也是卿上唯一的右不变3 形式 再次，微分恒等式l n l 一e ( 单位矩阵) 可得 d u u 一1 + u d u 一0 即 0 。) 4 d u d u u ， 亦即 q 。以。1 ) = 一q 。0 ) 此式表明，前面得到的d k ；d aad b 咖具有如下的性质： d k ( u 。1 ) = 一d k ( u ) 由于我们仅考虑非负密度，因而( 1 4 2 ) 式实际上表明，当着以“代替h 时， 把这一事实称为d k 关于逆运动的不变性，简称为反演不变性或逆不变性 综上所述，3 形式 d k 一1a m 2a 3 = 1a 2a 3 = d aa d ba d ( 1 4 2 ) d k 不变我们 ( 1 4 3 ) 第1 0 页武汉科技大学硕士学位论文 是具有左不变性、右不变性及反演不变性的3 形式；不计一个常数因子，它是具有这 些性质的唯一的3 形式 ( 1 4 3 ) 式所表示的3 形式d k 称为平面上运动群鳜的运动密度显然，运动密度 d k - d a 曲a 却正好是运动群的参数空间觋的体积元 运动群的参数空间魏中的一个区域x ，亦即此域中之点所对应的那些运动所构成的 集d k 在区域石上的积分便是z 所对应的运动之集的测度，叫做集z 的运动测度 1 4 3 运动测度的几何意义 设想平面上有二区域k 。和k ，其中j | ( o 为位置固定的区域，而区域k 的位置可变动 假定k 有一“初始位置”任意一个运动球弧，将把k 带到一个新的位置u k ( u k 与k 全 等) 现在我们考虑能把x 带到与k ，相交的位置的那些运动“这些运动所成的集可记为 x - 缸：u k n k o 一妒j 或l n j i r o _ 妒 按刚才的定义，集x 的运动测度为 坍仁：旅n 一对。l 隅。缓， 其中d k 为运动密度( 1 4 3 ) 运动密度的左不变性体现了下述几何事实：把k 带到与瓦相交的运动的集之测度， 与j i ，0 置于平面的何处无关而运动密度的右不变性体现了与k 的起始位置选取无关因 此，不论x 。置于何处，也不论k 的初始位置如何，运动集x - h ：u k n k o - 册的运动测 度总是一样的，并且置放固定图形的平面上的坐标系( 固定标架) ，以及与动图形附着在 一起的坐标系( 活动标架) ，都可以任意选取而运动密度的反演不变性表明，当着交换j r ( 0 与芷的地位，即视k 为位置固定的区域、x 。为位置可变动的区域，把妊带到与k 相交的 运动的集之测度与原先所求的测度相等 1 5 凸域内定长线段的运动测度 文献 1 3 1 4 给出了下述结论：设民是一个面积为昂周长为k 的凸多边形，k 是一 个无向线段，假定k 的长，限定它不能同两条不相邻的边都相交记为在k 内的一切 k 的位置的测度，4 为k 的顶角，则 一碣一“+ 【1 + ( 石一4 ) 删4 】 置在g o 内的概率为 e o - 巧厕n l o 从而k 与瓦的边界相交的概率是 武汉科技大学硕士学位论文第1 1 页 n 母竺篆掣 ms ， 几1 。昂。_ 猫再万一 u 巧1 ) 上述结论对针长有限制，当针长超过多边形较短边时上述结论就不再适用而文献 1 儿1 2 给出的结论就不受此限制 定理l 设d 为平面上有界闭凸域，周长为l ，面积为f i v 为长度等于常数f 的线 段含于d 内的n 的运动测度记为m ( f ) 则有 坍( z ) - x f 一乜+ 如。( f o ) a g ， ( 1 5 2 ) 其中仃表示d 被g 截出的弦长 公式( 1 5 2 ) 虽然表达出运动测度掰( z ) ，但公式中所含积分项不便于实际计算。因此， 我们希望将这一公式转化为另外的形式为此，【1 1 2 引入了广义支持函数和限弦函数 概念 定义i 以盯表示凸域d 被直线g 截出的弦长当g 仅于o d 相交包括g no d 是线 段情形，约定盯一0 g 的表示取广义法式对任意给定的及妒( 0 s 妒c 幼) ，置 p ( 盯，妒) ，5 u p p ：m g - l ( i n t d ) 】一盯 - 我们称二元函数p ( 盯，妒) 为凸域d 的广义支持函数 定义2 以0 ) 表示垂直于庐方向的直线g 与凸域d 截出的弦长最大值。即 d ”( 驴) ，8 u p 仃：盯= m g f i ( i n t d ) 对任意给定的f ( 2 0 ) 及妒( 0 妒t h ) ，置 r ( 1 ，尹) 一m i n ，( ) ) ， 我们称二元函数r ( z ，妒) 为凸域d 的限弦函数 显然，对任何i 0 ，广义支持函数p ( 盯，庐) 在区域 ( 巧) ：o s 妒s 2 7 r ，o c c r 写，( ，妒) 上有定义 利用上面两个定义，公式( 1 5 2 ) 可转化为以下形式： 定理2 i 受p ( o ，爹) 和，( j ，妒) 分别为凸域d 的广义支持函数和限弦函数掰( f ) 的定 义同前则有 棚( f ) - 万f f d “9 p ( o ，p 仃， l 删 其中f 为d 的面积 公式( 1 5 3 ) 对平面上任意凸域皆成立，从原则上说，它提供了计算任意凸域的州( ，) 的一般程序：先找出凸域的广义支持甬数和限弦函数，然后按公式f 1 5 3 ) 作初等运算即 第1 2 页武汉科技大学硕士学位论文 可 作为举例，1 1 1 1 2 1 应用( 1 5 3 ) 式计算了矩形域的所( f ) 于平面上取好直角坐标系r o y 设矩形域为 ( r ) ： aa b b i x i ，一三_ ) ，互 不失一般性，可设6sa ，矩形的直径q 2 + 6 21 2 简记为d 由对称性，仅需考虑由0 到卅2 的积分对于o 妒s 三，矩形域尺的限弦函数r ( ，矿) 为 ，( ，妒) - z b c o s b ， ， b c o s 妒， l ， a s i n 驴， 当o s f s 6 及o s 妒三， 鄞f c 口及o s 尹缸一手， 当6 ltn n r c c o s 孚s 妒詈， 当口f 趿o 妒a 一手， f s 趿a 一争妒c i n 了a ， 当口f s d 及a r c s i n i s 妒考 r 的广义支持函数为 p ( o ，妒) - 丢4 嘲庐+ 6 s i i l 妒一咖矽) ，o 量妒s 詈，o s o s r ( ，妒) 利用公式( 1 5 3 ) n - i 得 p 幻一2 ( 口拍) f + f 2 ， 当o f s b ，1 5 4 ) b 6 2 口6 a r 啪8 7 b 一知，+ 加( f 2 6 2 尸2 6 2 ，当扫j 墨4 ，( 1 5 5 ) 州 。 知( ，：一6 ：尸+ 加( ，：一4 z 尸2 4 ：一6 ：一f ： f + 知6 a r 璐i i i 孚一知6 a r 。鸺孚， 当45j d ( 1 5 6 ) i 6 运动测度m ( ，) 在几何概率问题中的应用 上一节导出的运动测废m ( 1 1 的一般公式有许多应用本节主要介绍如何利用测度 m ( f ) 对b u f f o n 问题作一系列推广 1 6 1b u f f o n 问题的l a p l a c e 推广 设平面上有两组互相正交的平行线网，一组的间隔为a ，另一组的问隔为b 如此形 成的网格称为矩形网格以a 和b 为边的矩形叫做此网格的基本区域设b 墨a 今有小 针n ，其长度f 不超过矩形较短边之长( 即，s b ) ，随机地投掷于平面上我们希望求出 武汉科技大学硕士学位论文第1 3 页 与该矩形网格相遇的概率p 这一问题称为b u f f o n 问题的l a p l a c e 推广这一问题的 经典解法( 见u s p e n s k y 【3 3 】) 是：以( x ，) ，) 表示小针的中点的坐标，0 量x s a ，0 墨y s b ： 妒表示与o 轴之间的角，一詈s 伊s 等从而，小针的一切可能的位置，对应于边长 为a ，b 及疗的长方体中均匀分布的点( x ，y ，妒) 此长方体的体积为v - z a b 含于长 方形内的小针的位置集的测度v 可按照下述步骤求出：v 也可看作是y ，妒) 空间一 立体的体积固定妒，一要暑矿s g 石- ，此立体的截面面积为 f ( 妒) - ( a 一c o s t p ) ( b 一i s i n o , i ) - 口b - b l c d s q j 一讲| s i n 妒i + 去f 2 i s i n 2 q ， 于是有 v = 一f ( 妒) d 驴z a b - 2 ( a + 6 ) f + z 2 。一i 最后得到与矩形网格相遇的概率p ： 。；1 一v - 。1 一s t a b - 2 ( a + b ) l + 1 2 ；! ! ! 皇! ! 二! ：( 1 6 1 ) vz a bz a b 以上解法中最关键的一步是求体积v 其实这里的y 正是前面讲的运动测度m ( o 在刚才的问题中，网格的基本区域是矩形，且限制针长不超过矩形的较短边，因而上述 解法并不显得十分复杂倘若基本区域是另外的多边形，且针长不受限制( 即允许针长取 不超过基本区域直径的一切正值) ，此时如果利用类似刚才求y 的办法去解决相应的推广 的b u f f o n 问题，其繁复的程度将令人难以忍受而上一节所述的求运动测度m ( 1 ) 的普遍 公式，为解决这一类问题提供了统一而有效的方法 1 6 2 利用i , n ( f ) 讨论推广的b u f f o n 问题 所谓区域格( 1 a t t i c e o fr e g i o n s ) 是指满足下列条件的一种全等区域序列，q ： ( i ) 平面上任一点p 属于且仅属于某一个区域； ( i i ) 对于任意指定的口。，存在运动h 。卿致u 。吒重合于口。，与此同时u i 使得序列中 每个区域重合于序列中另外的区域 诸d ：称为此区域格的基本区域这些基本区域的边界组成的图形称为此区域格的网 格 考虑这样的区域格，假定其基本区域全等于某凸域k ( 有时称此区域格是以k 作为基 本区域所形成的) 对于这样的区域格的网格，可讨论相应的b u f f o n 问题：将长度为f 的小 针j v 随机地投掷于平面上，试求与该网格相遇的概率p 设k 的面积为f 又若含于k 内的定长线段的运动测度为m ( ，) 参照上一段的讨 第1 4 页武汉科技大学硕士学位论文 论，不难看出 ，1 m i ( 0 ( 1 6 2 ) 仍以上一段讨论过的矩形网格为例，此时f - a b ，而肼 f ) 由( 1 5 4 ) ，( 1 5 5 ) 及( 1 5 6 ) 给出 情形1 设o s l b 利用( 1 5 4 ) 式，有 p 2 ( 4 + b _ ) - e ( 1 6 3 ) 自然，此式即前面的( 1 6 1 ) 式在( 1 6 3 ) 式中，若令口一m ，则得到与间隔为6 的平行线 网相遇的概率( 仍以p 记之) ： p 。尝 ( 1 6 4 ) 这是经典的b u f f o n 问题的解 情形2 设b s f a 利用( 1 5 5 ) 式，有 。2abarccosb+21a-2a(12-bz)v2+bzp ( 1 6 5 ) 一_ = 一 t l - o ， 值得一提的是，我们在前面曾经提到过的长针b u f f o n 阿题的解，实际上是( 1 6 5 ) 式的极限 情形：在上式中令a 一0 0 ，则有 ，一a l c c o s 争去m 2 卧 6 回，。 5 了+ 磊r r 曲，j ( 1 m 情形3 设口s f ( a 2 + b 2 ) v 2 这时历( f ) 由( 1 5 6 ) 式给出，由公式( 1 6 2 ) 有 p 一去【釉6 一知( z 2 6 2 严一笛( z 2 4 2 y 2 + 4 2 + 6 2 + z 2 - 2 a b a r c s i n a + 2 a b a r c c o s 针 ( 1 6 7 ) 1 f | 、7 以上简短的讨论，显示了测度所( ! ) 在处理几何概率问题中的作用与经典的l a p l a c e 推广不同，在刚才的讨论中，对小针的长度不必加以限制对于任意满足 o s ls f 口2 + 6 2 ) ”2 的i ，我们都绘出了解答( 即( 1 6 3 ) 、( 1 6 5 ) 及( 1 矗7 ) 三式) 并且经典的b u f f o n 问题和长针 b u f f o n 问题的解都作为极限情形被此解答所包含 武汉科技大学硕士学位论文第1 5 页 1 6 3 某些凸多边形域的m ( f ) 及其应用 上一段详细地讨论了矩形网格的b u f f o n 问题讨论的方法，同样适用于其它各种凸多 边形网格的场合张高勇和黎荣泽对一些凸多边形网格进行了讨论，得到一系列结果 平行四边形 以p 表示二邻边分别为口和b 、二邻边的夹角为0 的平行四边形不失一般性，可设 b s 4 ，o 墨0 要又，d l ，d ：，啊，_ 1 1 2 ，口及卢的意义如图所示( 对于确定的口，b 及一，这 二 些参数是完全确定的) 口 找出p 的厂义支持函数和限弦函数以后，根据上一币阳公式j 以算出各柙情况f m ( 1 1 的表达式我们有 m ( z ) 一蛐p 一嚏d “o 州p ( 州) 缸 将上式右方出现的积分记为，即 ，= 正d “”刺p ( 刚) 帆 且将a r c c o s 争记为九，a 删争记为妒：在各种情形下，的计算结果如下： a 设o 蔓h l 6 s h 2s a d 1s d 2 4 当0 s l h 1 时， ，l ( m ) f + 鲁( 口一三) 妙等 a 2 当o z 咄时， 州m 邮一s 争一1 s 刁瓜一等一扣口隆8 一一s 争) a 3 当6e ， h 2 时， h i a 一争+ a l - a 扩彳+ 扣 第1 6 页 武汉科技大学硕士学位论文 a 4 当厅2 ，a 时， ，一嘶a 一争+ 地a r c c o s 争州一口厢一2 c 0 s 一厮t 拈螂口厢+ 譬缈一争一 以当4 s ，盔肘 ，。蝴+ + 譬一口i 哥一6 廊+ 孚( 争口) 咄口+ 孚+ 譬 a 6 当d l ，d 2 时， ，。三咄( 一+ 呜+ 如) + i 1 口u 咖( 日+ 免) “n 呜卜l b l s i n 屯一血( 舜+ 一) 】+ ； 咏口k 一砖 一分一晚一幽奔c o s 究一s i n ( a + 戎) 雠( p + 兜) 卜螂2 ( 口+ 屯) 一嘲2 “ b 设0 也6 2 4 量d 2 皿。当o k 瞳时，同4 皿当 is l t 6 时，周4 b 3 当6 s 1 2 时，同以 也当| 1 1 2s f d 1 时， 老i o + p t 吾，同鸣；若口+ 卢苫寻，同以 b s 当d l 墨l 4 时。 若p + t 吾，同以；若一+ 乏要，则 j r 一言矾( 口+ 魂+ 噍) + 口2 2 - s i n a s i n ( 口+ 唬) l + 三z 2 瞻8 p + 如一钝一s i n 畦瞄魂 + 咖p + 如) o o s ( 一+ 晚) 卜c o s 2 暖一c o s 2 p + 如) + 三6 f s j j l ( 一+ 呜) 一咖如】 风当面誓f s d 2 时，同一。 ， c 设0 s h l h 2s 6 s 口墨d ls d 2 c 1 当o s ls h i 时，同a i c 2 当岛s j 矗2 时，月一2 c ，当 2 墨，c 6 时， ，暑口，( 1 一s i n a i c o s o s i l l 妒2 ) + 扰( 1 一s i n 占s 唬) + ，j c 培秽( 石一s i n 2 8 + 2 0 + + 旎+ s i n 私+ s i n 幻瞄旎) 一三4 z 2 2 s i n 口一s i n 2 0 s i n 旎) c 。当b ，4 时，同一。 武汉科技大学硕士学位论文 第1 7 页 c ，当a f c d 。时，同以 c 。当矾szs d 2 时，同a d 设0 j s ，1 2 b d 1s as d 2 d 1 当o ，tj i l l 时，同4 d 1 当啊sz 也时，同彳2 d 3 当_ 1 1 2 f c 6 时， 若日+ 卢t 考，同4 ：；若口+ 卢2 三，同c ， 见当6 s f 4 时，同丑4 d 5 当口f 或时，同色 e 当或f 以时，同以 e 设0 h ls h 2s d ls b sas 4 2 e 1 当0 s fs h l 时，同a 1 e 2 当_ i l ls l | 1 1 2 时，同一2 e 3 当 2s l d 1 时， 若p + 卢c 詈，同彳：；若口+ 卢z 詈，同c ， e 。当d l ， b 时， 若日+ 卢c 詈，同c ，；若口+ ；詈，则 ，；三n 嚏( 口+ 唬+ 晚) + i l a ，【2 - s i n 魂“n ( p + 晚) 】+ j 1 6 f 【2 一血晚“n ( 口+ 畦) 】 一等 2 s i n 2 口一c o s 2 唬+ c o s 2 ( 口+ 兜) 】一i 1 2c 辔口k 一3 0 + s i n 2 日 一再一晚一i 1s i i i 撕一j 1s i n 2 ( 口+ 噍) 1 e 5 当b 薯l a 时，同b ， e 6 当口s l d 2 时，同以 正三角形 边长为口的正三角形域的州( ，) 如下： 当。墨f 。宰口时， 邮) = 字地“害+ 第1 8 页武汉科技大学硕士学位论文 当巫2 4 f 4 时， 郇) 一扣划种7 32 产扣弩32 一卜刳枷s 譬 正六边形 边长为真的正六边形域的小( ，) 是： 当0 葺f r 时。 坍- 警柚2 6 r i 一半+ 争 当曰f t 孙时 珊。譬积2 + 孚以( 地2 + 椭：) 础百j r 3 r 一警厅面； 当廊墨z 2 r 时。 肼( ，) i 厩r 2 + 警以9 r 2 一争+ 1 5 r 厮一( - 妇2 + 矗2 ) 一半 有了n 上n 删n n m ( t 1 以后，我们立即能够将b u f f o n 问题推广到相应的网格 情形 用边长为a 的正三角形域作为基本区域构成三角形网格将长度等于i 的小针随机 地投掷于平面上，则与该三角形网格相遇的概率为： 当。墨f 掣口时， 叶石耕1 ( 岬32 一嘉) ； 当訾心洲， p 一卜孚4 2 ) 一3 a l 宁32 一丽x 1 2 一詈( 以孙2 严+ 卜2 + 学4 2 ) a 一譬】 同样，用边长为r 的正六边形域可构成一六边形网格将长度等于1 的小针n 随机地 投掷于平面上。则n 与该网格相遇的概率为： 当0 s j r 时， p 一志( ，2 r i + 等捌) ； 当r s ， j 矗时 武汉科技大学硕士学位论文第1 9 页 p 一嘉阳n 豫2v 2 _ 2 胁2 一脚+ ( 池2 + 4 妇2 ) 删n 譬1 ； 当；r s ，s 2 r 时， p 一赤卜捌一胁2 一万a - 1 2 一s o r ( f 2 - 强2 n 2 妇2 + z 妇2 ) 一s 孚1 对于用前述平行四边形域作为基本区域所构成的平行四边形网格，依照平行四边形的 类型以及f 的所属范围。可以得到各种情形下b u f f o n 问题的解例如 ( 4 型) ： p 。二b 卜) z - e - e ( 2 卸) 咏一 ； m 6 印 p 2 二品卜+ 6 ) ，+ 知1 l la s 争舡删) ( n 秽 c 叫一a s 铋 ( 4 型) p 2 二岳卜a s 争删一知( 艮啊2v 2 + 叶， q 6 印 等等其余各款在此不复- - - - 列举 第2 0 页武汉科技大学硕士学位论文 2 问题的提出 第二章三角形网格的独立性和有效性 在平面上置放间隔为d 的平行线网，将长度为i ( - d ) 的线段( 小针) 随机地投掷到 平面上，求小针与平行线网相遇的概率p 1 k f f o n ( 1 7 0 7 1 7 鼹) 于1 7 3 3 年首先提出并解 决了这一问题，于1 7 7 7 年作为他的著作自然史的附录正式发表这一问题后人称为 b u f f o n 投针问题或b u f f o n 小针问题 b u f f o n 投针阿题是最早的一个几何概率河题，在一定意义上说，它也是一个具有代 表性的影响最大的几何概率问题b u f f o n 问题问世二百余年以来，已有各种推广研究，其 中最重要的推广是：将小针随机地投掷于布有以某凸域为基本区域的网格的平面上，求 小针与网格相遇的概率 b u f f o n 问题的解答，在历史上第一次开辟了对石作统计估计的途径由于b u f f o n 问 题的解使石与b u f f o n 概率p 相联系，因而万的统计估计问题，实际上是b u f f o n 概率的统 计估计问题随着b u f f o n 问题向网格情形的推广，出现了相应的统计估计问题 2 2 已有