（应用数学专业论文）模糊选择函数合理性条件的进一步研究.pdf

太原理工大学硕士研究生学位论文 模糊选择函数合理性条件的进一步研究 摘要 本文在每个选择集都是正规的假设条件下，系统地讨论了一些模糊选择 函数合理性条件之间的关系其主要研究内容与结果如下： 首先，我们系统地总结了普通选择函数合理性研究现状，对文献中存在的 一些合理性条件进行研究，给出了一些结论，从而完善了目前的普通选择函 数合理性研究理论 其次，我们利用模糊逻辑联结运算建立了模糊选择函数的合理性条件；并 以普通选择函数有关结论为基础，基于显示偏好和集合收缩扩张两种意义详 细讨论了这些合理性条件之间的联系，将s e n ，s u z u m u r a 等人的工作推广到模 糊选择函数中我们的主要结果为：模糊选择函数满足w f c a 与满足f a ，f z 条件是等价的 我们注意到，在我们的假设下，普通选择函数的大部分结果都得到了相应 的推广但仍有一些在普通选择函数中成立的结论在模糊选择函数中不再成 立有鉴于此，我们对模糊选择函数加以限制，得到了一些令人满意的结果 于是，我们在特殊一模下探讨了模糊选择合理性条件之间的关系，其主要结 果为：在强d em o r g a n 三元组下，模糊选择函数满足w f c a 与该选择函数满 足w a f r p 条件等价；在取小t 一模下，模糊选择函数满足f a 条件与满足f c 条件等价 总之，本文在一些假设前提下，详细地探讨了模糊合理性条件之间的关 系，得到了一些令人满意的结果这些研究对于刻画模糊选择函数的理性化 问题至关重要 关键词：模糊选择函数，合理性条件，显示偏好，传递合理性 太原理_ 亡大学硕士研究乍学位论文 一 一一，p_一 af u r t h e rs t u d y c o n d i t i o n so ff u zz y 0 nr a t l 0 n a l i t y c h o i c ef u n c t i o n s a b s t r a c t i nt h i st h e s i s u n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a te v e r yi n v o l v e dc h o i c es e ti s n o r m a l ，w es y s t e m a t i c a l l yi n v e s t i g a t et h ec o n n e c t i o n sb e t w e e ns o m e r a t i o - n a l i t yc o n d i t i o n so ff u z z yc h o i c ef u n c t i o n s o u rm a i nw o r ka n dr e s u l t sa r e s u m m a r i z e da sf o l l o w s f i r s t l y ，w es y s t e m a t i c a l l yr e v i e wt h ee x i s t i n gr e s e a r c hr e l a t e dt or a - t i o n a l i t yc o n d i t i o n so fc r i s pc h o i c ef u n c t i o n sa n dd i s c u s st h er e l a t i o n s h i p s b e t w e e nt h e s er a t i o n a l i t yc o n d i t i o n s a n dt h e n ，w ec a r r yo u tr e s e a r c ho n s o m er a t i o n a l i t yc o n d i t i o n sa n do b t a i ns e v e r a ln e wr e s u l t s a sac o n s e q u e n c e ，t h er a t i o n a l i t yr e s e a r c ho fc r i s pc h o i c ef u n c t i o n si sc o m p l e t e d s e c o n d l y , w ep u tf o r w a r ds o m er a t i o n a l i t yc o n d i t i o n sf o rf u z z yc h o i c e f u n c t i o n sb ym e a n so ff u z z yl o g i cc o n n e c t i v e s b a s e do nt h ec o n c l u s i o n sf o r c r i s pc h o i c ef u n c t i o n s ，w ed i s c u s sl i n k sb e t w e e nt h ec o r r e s p o n d i n g r a t i o n a l i t yc o n d i t i o n so ff u z z yc h o i c ef u n c t i o n si nd e t a i lb yb o t hr e v e a l e dp r e f e r e n c e a n dc o n t r a c t e x p a n s i o na p p r o a c h a sac o n s e q u e n c e ，s o m ew o r kd o n eb y s e n ，s u z u m u r ae ta 1 i sg e n e r a l i z e d t h em a j o rr e s u l ti st h a taf u z z yc h o i c e f u n c t i o ns a t i s f i e sw f c ai se q u i v a l e n tt ot h a tt h ec h o i c ef u n c t i o ns a t i s f i e s f q f 3c o n d i t i o n 、v en o t i c et h a ta l m o s ta 1 1c o n c l u s i o n sc o n c e r n i n gc r i s pc h o i c ef u n c t i o n s c a nb ee x t e n d e dt of u z z yc a s eu n d e ro u ra s s u m p t i o n h o w e v e r ，t h e r ei n d e e d e x i s ts o m er e s u l t st h a ta r et r u ei nc r i s pc a s e ，b u tn o tv a l i da n yl o n g e rw h e n o i c ef i l1 c t f u z z i f i e d 1 1 1v i e wo ft h i s ， restrictionschoiceu n c t i o n sa r ei u z z l h e d 1 1 1 o it h l sw ei m p o s es o m er e s t r l c l ；l o b s ， 0 1 1f l l z z yc h o i c ef u n c t i o n s a l l ( 1d e r i v es o m ei d e a lr e s u l t s w i t ht h i sc o i l s i d e r a t ，i o n i ei n v e s t ，i g a t et 】1 er e l a f i o n s h i p s ) e t r e e nr a t , i o n a l i t vc o n d i t i o n s 太原理工大学硕士研究生学位论文 u n d e rs o m es p e c i a l 一n o r m s 溉d r a wt h ec o n c l u s i o nt h a taf u z z yc h o i c e f u n c t i o ns a t i s f i e s r a f r pi se q u i v a l e n tt ot h a tt h ec h o i c ef u n c t i o ns a t i s f i e s w f c ac o n d i t i o nu n d e rt h ed em o r g a nt r i p l ea n dt h a tf ai se q u i v a l e n t t of cc o n d i t i o nu n d e rt h eg o d e lt n o r m i ns u m m a r y ，w ep r e s e n tad e t a i l e di n v e s t i g a t i o ni n t ot h er e l a t i o n s h i p s b e t w e e nr a t i o n a l i t yc o n d i t i o n so ff u z z yc h o i c ef u n c t i o n s ，a n do b t a i ns o m e s a t i s f a c t o r ilconclusionsu n d e ro u ra s s u m p t i o n st h es t u d yse s s e n t i at o t h ec h a r a c t e r i z a t i o no ff u z z yc h o i c ef u n c t i o n s r a t i o n a l i z a t i o n k e yw o r d s ：f u z z yc h o i c ef u n c t i o n ，r a t i o n a l i t yc o n d i t i o n ，r e v e a l e d p r e f e r e n c e ，t r a n s i t i v er a t i o n a l i t y i i i 太原理t 大学硕士研究生学位论文 主要符号说明 x 一论域，本文指全体备择对象集 仁x 上所有菲空普通子集的集合 罗一x 上所有非空模糊子集的集合 v 一任意 j 存在 罔一不存在 一属于 包含 毋一空集 u 一并 忙交 v 一取大 一取小 s u p _ 一上确界 n 一非 一一强非 心一生成元为妒的强非 t 一一模 争一一余模 埽一由模t 导出的蕴涵 研一由一模t 导出的等价 q 一二元关系q 的逆关系 旷一二元关系q 的余关系 q 止一二元关系q 的对偶关系 p q 一二元关系q 的严格偏好关系 ，q 一一二元关系q 的无区别关系 q 。q 。二元关系q ，与q ：的合成关系 ( q ) 一二元关系q 的传递闭包 g ”选择函数 太原理工大学硕士研究生学位论文 d ( ) 选择函数的像 r 显示偏好关系 生成关系 止严格显示偏好关系 克一弱严格显示偏好关系 y 一间接显示偏好关系 p t 一间接严格显示偏好关系 声明芦明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担。 论文作者签名：。丛丝驽 日期： 弘嘤卷lbt 嘻 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解太原理工大学有关保管、使用学位论文的规定，其 中包括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印 件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文； 学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为：目的， 复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) 。 签名：j 筮鱼丝l 日期： 舻易。驴 导师签名_ i 2 2 黧! 鱼一e i , - 期芝墨二么! 名 太原理工大学硕士研究生学位论文 第一章绪论 选择函数作为一个经济学术语最早由u z a w a 1 】及a r r o w 2 l 提出指当消费者进行消 费时，所遵循的规则、选择的标准或程序；同时，它又是一种决策行为，用决策术语描述 选择函数即为：当决策者面对一些备择对象时，从中选择一个最好的或者一些较好的备 择对象因此，选择函数广泛应用于经济及决策领域从文献来看，选择函数的研究主 要集中于：( 1 ) 合理性条件的引入并讨论这些条件之间的相互关系；( 2 ) 由选择函数生成 的各种偏好关系，其中最重要的是显示偏好( r e v e a l e dp r e f e r e n c e ) 关系；( 3 ) 选择函数的 理性化问题理性化问题是选择函数理论研究中最重要的问题之一，它研究是否存在一 个具有良好性质的偏好关系，使得选择函数通过该关系来描述如果这样的关系存在， 则称该选择函数被该偏好关系理性化它是衡量一个消费者或决策者是否理性的理论标 准 为讨论选择函数的理性化问题，一些研究者各自从不同角度提出了一些合理性条件 1 9 3 8 年，s a m u e l s o n 3 】提出了弱显示偏好公理( w e a ka x i o mo fr e v e a l e dp r e f e r e n c e ，简 称w a r p ) 1 9 5 0 年，h o u t h a k k e r 4 】将弱显示偏好公理的前提条件进行了修改，得到强 显示偏好公理( s t r o n ga x i o mo fr e v e a l e dp r e f e r e n c e ，简称s a r p ) 1 9 5 9 年，a r r o w 2 】 提出了五个合理性条件c 1 一c 5 ，其中c 4 条件也叫条件a ( a r r o v i a np r o p e r t y ) ；同时他研 究了这五个条件之问的关系1 9 6 6 年，r i c h t e r n 利用间接显示偏好关系提出一致性公 理( c o n g r u e n c ea x i o m ，简称c a ) 1 9 7 1 年，s e n 6 】利用显示偏好关系定义了一种较弱 的一致性公理，即：弱一致性公理( w e a kc o n g r u e n c ea x i o m ，简称w c a ) ，并将r i c h t e r 的一致性公理称为强一致性公理( s t r o n gc o n g r u e n c ea x i o m ，简称s c a ) ；在此基础上， 他系统地总结了各种合理性之间的关系，得到了八个条件的等价性另外，s e n 6 - 9 l 和 c h e r n o f f 1 0 】还提出了q 条件、卢条件、7 条件、q 2 条件、他条件和正规性等一系列合 理性条件1 9 7 6 年，s u z u m u r a 1 1 】又提出了基于显示偏好的三个公理：显示偏好第一公 理( f i r s ta x i o mo fr e v e a l e dp r e f e r e n c e ，简称f a r p ) 显示偏好第二公理( s e c o n da x i o m o fr e v e a l e dp 1e f e r e n c e ，简称s e a r ，p ) 和基本三元非循环( b a s et r i p l ea t 3 c l i c i t 3 ：简称 b t a ) ；并研究了它们与其他一些合理性条件之间的关系，得到了一些重要结论 1 9 8 5 年， s u g d e n 1 2 j 提出了最小一致性( m i n i m a lc o n s i s t e n c y ，简称m c ) 条件除此之外， b o r d e s 在文【1 3 】中提出了条件b ( b o r d e s i a np r o p e r t y ) ；条件d ( 原文记为卢+ ) ；c h e r n o f f 在文 1 0 j 中提出了条件c ( c h e r n o v i a np r o p e r t y ) ；s e n g u p t a 在文 1 4 】中提出了条件尻； - m a n t u d 在文中f 蚓中提出了条件多( 原文记为u 二r i ) ：麻晓波在文【1 6 中提出了条件 1 一 太原理工大学硕士研究生学位论文 髓 当然，这些众多的合理性条件之间存在着千丝万缕的联系，许多文献对它们相互关 系进行了揭示在文【2 , 6 ，1 1 ，1 6 ，1 7 】中，a r r o w ，s e n ，s u z u m u r a ，麻晓波和郭元春分别从不 同角度对这些合理性条件之间的相互关系进行了详细的讨论，得出了一些结果例如， a r r o w 条件中的c 1 ，c 5 分别等价于s a r p , w a r p 条件；w a r p ，s a r p , w c a ，s c a 以 及条件a 均是等价的等等这些结论为普通选择函数理性化研究奠定了基础 1 9 6 5 年，z a d e h 提出了模糊集的概念( 1 1 8 ) ，从而奠定了模糊数学基础，很快选择 函数的有关概念即被模糊化1 9 7 8 年， o r l o v s k y f i l 9 1 首次将模糊关系引入决策中，提 出了模糊环境下的选择函数，即所谓的o r l o v s k y 选择函数随后，许多人对o r l o v s k y 选择函数的刻画问题进行了较为详细的研究( 2 0 - 2 1 ) o r l o v s k y 选择函数究其实质是一 种基于模糊关系的非模糊选择函数。1 9 8 9 年，r o u b e n s 2 2 将o r l o v s k y 选择函数进行 了推广，讨论了四种基于模糊偏好关系的非模糊选择函数，给出了这些选择函数的合理 性性质1 9 9 5 年，b a n e r j e e 2 3 j 首次给出模糊选择函数的一般定义，并率先提出了模糊 选择函数的理性化问题，为讨论该问题，他引入了三个模糊一致性( f u z z yc o n g r u e n c e ) 条件f c l 一f c 3 ( 统称f c ) ，得到了f c 是模糊选择函数被显示偏好理性化的充要条 件实际上，这三个条件均是w c a 的模糊化2 0 0 4 年，王绪柱1 2 4 l 进一步研究了 f c l ，f c 2 ，f c 3 的关系，得出它们之间并不是互相独立的 2 0 0 3 年，g e o r g e s c u 2 5 _ 2 9 】 将b a n e r j e e 的定义域从普通集推广到模糊集，从而最大限度地对选择函数进行了模糊 化；她同时将一些模糊逻辑联结运算用于刻画模糊选择函数的合理性条件，对许多合理 性条件例如：w f c a ，s f c a ，w a f r p , s a f r p , f a ，f p 进行了模糊化以此为基础， 她推广了普通情况下r i c h t e r 及s e n 的一些结论，是目前关于选择函数最为全面的讨论 2 0 0 5 年，郭元春【1 7 】也模糊化了一些常见的合理性条件，并讨论了这些条件间的关系； 有别于g e o r g e s c u 中合理性条件的是，郭元春是在b a n e r j e e 选择函数的基础上来定义模 糊合理性条件的，因而它的定义域是普通集 但g e o r g e s c u 在讨论时使用的是一种非常特殊的非( 直觉非) ；结论也大多是在特殊 z 一模下得出的( 例如，在取小t 一模下，w f c a 与尸n ，f p 等价) ，不具有一般性而郭 元春【17 】所做的大部分工作是在取小z 一模下取得的，因而还可以进一步改进此外，文 献中再也没有合理性条件的相关讨论因此，模糊选择函数的合理性研究还处于起步阶 段，有待于进一步完善 同普通情形一样，对模糊选择函数的研究主要涉及合理性条件的引入及相互关系、选 择函数的显示偏好理论以及选择函数的各种传递合理性等本文我们首先以s u z u m u r a 1 1 】 一2 太原理工大学硕士研究生学位论文 的研究为基础，结合常见的合理性条件，对现有的普通选择函数合理性条件之问的相互 关系加以完善；然后建立模糊选择函数的合理性条件；并在选择集为正规模糊集的前提 下，以普通选择函数有关结论为基础，基于显示偏好和集合收缩扩张两种结构，深入地 讨论了模糊选择函数合理性条件间的关系，从而将s e n ，s u z u m u r a 等人的工作推广到模 糊选择函数中我们所做的主要工作如下： ( 1 ) 讨论了普通选择函数的合理性问题本文提出了a 2 ，b 2 ，c 2 ，d 2 ，6 2 条件，并对普通情 况下a r r o w ，s e n ，s u z u m u r a 等提出的选择函数合理性条件之间的相互关系及其合理 性刻画问题进行了进一步研究，从而完善了普通情形下选择函数的合理性研究 ( 2 ) 讨论了显示偏好下模糊选择函数的合理性问题我们以普通情况下s u z u m u r a 等的 合理性条件为基础，利用模糊逻辑联结中的一模、非、蕴涵、等价等工具建立了模 糊选择函数的一些合理性条件，如； f f a r p ，f s a r p ，f m c ，f b t a 同时将文献中 常见的一些合理性条件，如：w a r r ，s a r p ，w c a ，s c a 重新模糊化，详细地分 析了这些合理性条件之间的相互关系并以普通选择函数中的有关结论为基础，将 a r r o w 、s e n 、s u z u m u r a 等人的工作推广到模糊选择函数中，得出了在d em o r g a n 三元组下，“c ( ) 满足w f c a 条件”与。c ( ) 满足w a r p ”条件等价 ( 3 ) 讨论了集合收缩扩张意义下模糊选择函数的合理性问题我们利用一般的一模、非、 蕴涵、等价等工具将普通选择函数的收缩扩张条件，如： q ，卢，7 ，6 以及条件a 进行 了模糊化；同时研究了它们之闻以及与显示偏好条件之间的一系列联系，得到了“模 糊选择函数满足w f c a ”与“选择函数满足f a ，f z ”是等价的；在取小t 一模下， “模糊选择函数满足f a ”与“模糊选择函数满足f c ”是等价的 通过我们的讨论可以看出，在我们的假设下，普通选择函数的大部分结果都可以推广到 模糊情形而对一些在普通选择函数中成立，在模糊选择函数中不再成立的结论，我们 也可以通过选取适当的一模来得到较为满意的结果 本文组织结构如f ：第二章介绍本文所涉及的一些基本概念和记号，主要包括模糊 关系的运算及有关性质、模糊逻辑联结运算等第三章首先介绍普通选择函数合理性的 有关概念，并对其研究现状进行综述，然后在此基础上给出了一些新的结论，从而完善 了普通选择函数合理性条件之间相互关系的讨论，进一步得出刻画普通选择函数传递合 理的充要条件第四章首先引入了模糊选择函数合理性的有关概念，并对其研究现状进 行综述；接着将普通情形下的一些重要的合理性条件重新进行了模糊化；然后在选择集 为正规模糊集的前提下，基于显示偏好和集合收缩扩张两种意义，讨论了这些模糊选择 函数合理性条件之间的联系，得到了模糊选择函数传递合理的允要条件 一3 太原理工大学硕士研究生学位论文 第二章基本概念 本章将介绍文中所涉及到的一些基本概念及记号首先在第一节给出普通关系的有 关性质；然后在第二节介绍t 一模、t 余模、非、蕴涵等模糊逻辑联结运算以及d em o r g a n 三元组；最后在第三节给出模糊关系的一些基本概念、运算及有关性质，这些概念的详 细介绍参见( 3 0 ，3 1 ，3 2 1 ) 2 1 普通关系的有关性质 定义2 1 设x ，y 为论域，若q x y ，则称q 是从x 到y 的一个关系如果 ( z ，y ) q ，见j 记为z q 特别地，若x = y ，则称q 是x 上的关系在决策中，若x 为备择对象，x 上的 关系q 常称为一个偏好关系我们用q 、q 。、q d 分别表示关系q 的逆关系、余关 系和对偶关系其定义如下： q - 1 = ( z ，y ) l ( y ，z ) q ) ； q 。： ( z ，u ) l ( x ，y ) q ) ； q d = ( z ，y ) l ( y ，z ) 譬q ) 容易验证，驴= ( q 。) - 1 = ( q - 1 ) 。 通过偏好关系q 以及余关系q 。，定义严格偏好关系和无区别关系如为： = ( z ，y ) i x q y 且y q 。z ) ； = ( ( z ，y ) l x q y 且秒q z ) 由于关系是一个集合，所以关系的包含、并、交、余运算就是集合的包含、并、交、 余运算 设q 1 ，q z 都是x 上的关系，则q 。与q 2 的合成关系q ，oq z 定义为： q 1oq 2 = ( x ：可) l j 2 x ，z q z 且z q y 特别地，q 2 定义为q oq ，一般地，q n + 1 定义为q noq 定义2 2 设q 是x 上的一个关系， f ，j j 若对v x x z q z ；则称q 是自反的； 俐若对v z ：y a ：z y ：z q 或哆q z ；则称q 是完全的； 一4 太原理工大学硕士研究生学位论文 俐若对v z ，y ，2 x ，x q y 且y q z ，有x q z ，则称q 是传递的； 似j 若q 满足自反、完全和传递性，则称q 为一个序 定义2 3 设q ，q + 均为x 上的关系，若q + 满足： 1 1 1q 冬q “； 俐q + 是传递的； ( 3 ) 若q s 。并且s 传递，邳么q s ； 则称q + 为q 的传递闭包，记为t ( q ) 显然，t ( q ) 是包含q 的最小的传递关系 若l x i = n ，则传递闭包的计算公式为：( q ) = u 扛= l 2 2 模糊逻辑联结运算 以下介绍文中所用到的模糊逻辑联结运算：非，t 一模，t 一余模，蕴涵等，它们在定义 模糊二元关系及构模模糊选择函数合理性条件时发挥着重要作用 定义2 4 设t t ：【0 ，1 】一【0 ，1 】，若n 单调减少，且礼( o ) = 1 ，n ( 1 ) = 0 ，则称n 是一个非 ( n e g a t i o n ) 若非n 严格减少且连续，称几为严格非若n 是严格非，且满足复原律： v z 0 ，1 】，n ( 几( z ) ) = z ，贝l i 称n 为强非 令( z ) = 1 一z ( z 【0 ，1 】) ，则是一个强非，通常称该强菲为标准非( s t a n d a r d n e g a t i o n ) ， 定义2 5 设妒： a ，6 i 【a ，6 是严格增加的连续函数，且满足够( q ) = a ，妒( 6 ) = b ，则称 妒为【a ，6 】上的一个自同构( a u t o m o r p h i s m ) 例如；妒( z ) = z 及垆( z ) = z 2 均为【0 ，1 】上自同构的例子本文所涉及的自同构均 为【0 ，1 】上的自同构 注2 1 ( 了司) n ： 0 ，1 一 0 ，1 为强非的充要条件是存在【0 ，1 】上的自同构妒使得n ( x ) = 妒_ 1 ( 1 一妒( z ) ) 此时称妒是n 的生成元，在以后的讨论中通常用n 表示强非，将生成 元为的强非记为心 定义2 6 设丁： o ，1 【0 ，1 】。【o ，1 】，若t 满足； f ，_ f j 对称性：v z ，y 【0 ：1 ，t ( x ，y ) = t ( v ，z ) i r 剀单调性：v z l z 2 ，1 y 2 贝l j 丁( z 1 ，可1 ) 丁( z 2 ，y 2 ) i f ，纠结合律：v x ：可：z 0 ：1 t ( 丁( z ，j y ) ，z ) = 丁( z ：丁( y z ) ) i 似) 边界条件：v z i ( ) ：j 】；t ( 1 ：z ) = z j 一5 一 太原理工大学硕士研究生学位论文 则称丁是一个t 一模f t n o r t h ) 注2 2 由( 3 ) ，通常记t ( x ，可，z ) = t ( t ( x ，可) ，z ) = 丁( z ，t ( y ，z ) ) 类似地，对有限集x = x l ，2 ：2 ，x n ) ，记t ( z ) = t ( x l ，x 2 ，z n ) 定义2 7 设s ：( 0 ，1 】 0 ，1 】一【0 ，1 】，若s 满足： p 对称性；比，y 【0 ，1 】，s ( x ，y ) = s ( y ，z ) i 、 俐单调性：v x l x 2 ，y l y 2 ，贝l is ( z 1 ，y 1 ) s ( x 2 ，抛) j 俐结合律；v z ，y ，z 【0 ，1 】，s ( s ( x ，y ) ，z ) = s ( x ，s ( y ，z ) ) j 以边界条件：v z 【0 ，1 】，s ( o ，z ) = z i 则称s 是一个t 一余模以一c o o r m ) t 一模及其乒余模是本文所用到的重要概念，z - 模可用于构模“且”的概念，而t 一余模 可用于构模“或”的概念，其定义及相关研究在许多文献中可找到，详细可参见( 3 1 3 6 1 ) 定义2 8 设j ：【o ，1 】【0 ：1 】- 【0 ，1 】，若1 ( x ，y ) 对z 单减，对秒单增，且满足i ( 0 ，o ) = i ( o ，1 ) = i ( 1 ，1 ) = 1 ，x ( 1 ，0 ) = 0 ，则称，为一个蕴涵 i m p l i c a t i o n ) 对任意乒模t ，可以定义 o ，l 】上的运算i t ： b ( z ，y ) = s u p z l t ( x ，z ) 可) 容易验证：b 是一个蕴涵，它是由t 一模t 导出的蕴涵，也称其为r 一蕴涵 引理2 1 ( 【了翻) 设t 是一个左连续的t 一模，对v z 【0 ，1 】， ) i ，【0 ，1 】，有： t ( x ，s u pz 。) = s u pt ( 3 ：，z i ) i iz 6 1 引理2 2 ( 【了翻) 设丁是一个左连续的t 一模， 门) t ( x ，y ) z 兮z 厅( 秒，z ) j f ，矽丁( z ，i t ( z ，y ) ) = zay ； 3 ) 譬1 t l 、z ，们； 似) z y 兮i t ( z ，y ) = 1 i f 纠j 7 ，( 1 ，z ) = z ； f ，纠i t ( z ，z ) = 1 对妇，y ，z 【0 ，l 】，以下性质成立： 定义2 9 ( 【，翻) 设e ： 0 ，1 】( 0 ，1 】_ 【0 ，1 】，若e 满足： f ，7 ，v z ，【0 ，1 】，e ( x ，) = e ( y ，z ) i 俐e ( o ：1 ) = e ( i 0 ) = o i ( 3 ) e i = c 互、= 1 ； 一6 一 太原理工大学硕士研究生学位论文 似) z z 7 y 7 y 时，e ( x ，y ) e ( z 7 ，! ，7 ) j 则称e 是一个等价 引理2 3 ( j 3 1 ) e ： 0 ，1 】 0 ，1 】_ 0 ，l 】为一个等价当且仅当存在蕴涵满足i ( x ，z ) = 1 ， 使得 e ( x ，y ) = m i n ( i ( x ，芗) ，1 0 ，z ) ) 因此，对任意一个t 一模丁，可以定义 o ，1 】上的运算e r ： 丘，( z ，) = m i n ( i t ( z ，y ) ，t ( y ，z ) ) 常用的t 一模，t 一余模，蕴涵以及等价有： ( 1 ) 丁( z ，y ) = m i n ( z ，y ) ，该一模通常称为g o d e lt 一模，是最大的z 一模，简记为r a i n ； s ( z ，y ) = m a x 知；芗) ，m a x 是最小的一余模，简记为m a x ；易得； ， k i n ( z ，可) ： 1 z y ，称m i 为g o d e l 蕴涵； 【y z y r e m i n ( z ，可) ： 1 z 2 y ，称e m i n 为g o d e l 等价 1m i n ( x ，y ) z y ( 2 ) t ( x ，y ) = m a x ( x + y 一1 ，o ) ，该模通常称为l u k a s i e w i c zf 一模，简记为； s ( z ，y ) = m i n ( r + 秒，1 ) ，该t 一余模通常称为l u k a s i e w i c zz 一余模，简记为w 7 ； 1 w ( x ，! ) = m i n ( 1 ，1 一z + 秒) ，称饥为l u k a s i e w i c z 蕴涵； e w ( x ，y ) = 1 一i z 一可l ，称e w 为l u k a s i e w i c z 等价 ( 3 ) 丁( z ，y ) = x y ，该t 一模通常称为乘积t 一模，简记为丌； s ( z ，y ) = x + y z 剪，该一余模通常简记为7 r 7 ； 。( z ，可) = r a i n ( 1 ：兰) ，称j 。是7 r 对应的蕴涵，也称g o g u e n 蕴涵； 最( z ：y ) = 粼，称最是万对应的等价，也称g o g u e n 等价 显见： 17 v 7 r n i n i l l a x 7 r7 w 7 ( 4 ) 若了是一个刊莫，妒是 0 ：1 】上的自同构，则一模丁的妒变换l ( z ，! ，) = 妒一1 ( 丁( 妒( z ) ，妒( 芗) ) ) 仍是一个一模例如： 1 4 名( z 可) = 哆一1 ( 1 ( 垆( z ) ：妒( 可) ) ) = 妒一1 ( m a x ( ( z ) + 妒( 秒) 一1 o ) ) 丌，( z 可) = # 一1 ( 丌( 妒( z ) ( y ) ) ) = 一1 ( ( z ) ( ) ) 一7 一 太原理工大学硕上研究生学位论文 ( 5 ) 若s 是一个t 一余模，妒是 0 ，1 1 上的自同构，则z 一余模s 的妒变换& ( 工，y ) = 妒- 1 ( s ( 妒( z ) ，( 彩) ) 仍是一个t 一余模例如： 眈( z ，y ) = 妒一1 ( w 7 ( 妒( z ) ，妒( 可) ) ) = 妒一1 ( m i n ( c i o c x ) + 妒( ) ，1 ) ) 吒( z ，y ) = 妒一1 ( 7 r ( 妒( z ) ，妒( 妒) ) ) = 妒一1 ( 妒( z ) + 妒( 爹) 一妒( z ) 妒( 芗) ) 。 利用t 一模、一余模以及非，我们给出如下重要定义： 定义2 1 0 设丁，s 分别是t 一模及t 一余模，讥为严格非，若n ( s ( x ，可) ) = 丁( 仃( z ) ，扎( 可) ) ， 则称( 互s ，n ) 为d em o r g a n 三元组，当t 与s 均连续时，( 瓦n ) 称为连续的d e m o r g a n 三元组 定义2 1 1 设妒是【o ，1 】上的自同构，若t = ，s = 7 r 0 ，n = ，则称( t ，s ，n ) 是严 格d em o r g a n 三元组， 定义2 1 2 设妒是【0 ，1 】上的自同构，若t = ，s = 哪，n = ，则称( t ，s ，n ) 是 强d em o r g a n 三元组 2 3 模糊关系的有关性质 定义2 1 3 设x ，y 为论域，若q ：xxy 一【0 ，l 】，则称q 是x 到y 的模糊关系 特别地，若x = y ，则称q 是x 上的模糊关系，本文所涉及的模糊关系均为x 上 的模糊关系在决策中，若x 为备择对象，x 上的关系q 常称为一个模糊偏好关系 我们用q ，q ：，q ：分别表示模糊关系q 的逆关系，余关系和对偶关系，其定义如 下：任给z ，9 x ， q 一1 ( z ，y ) = q ( 可，z ) q i ( z ，y ) = n ( q ( z ，可) ) q ：( z ，y ) = n ( o ( u ，z ) ) 其中n 为一个非。 容易验证，驯= ( q ：) 一= ( q 一) ： 特别地，若n = 虬，：则： q 知，( z j 夕) = 0 ( q ( z ：可) ) = 妒一1 ( 1 一妒( q ( z ，y ) ) ) q 安，( t y ) = a 0 ( q ( g ，z ) ) = 妒一1 ( 1 一妒( q ( 秒，z ) ) ) 设q 。q 2 都足上的关系，则： 8 太原理工大学硕士研究生学位论文 q 1 q 2 甘v x ，y x ，q 1 ( z ，y ) q 2 ( z ，y ) ； q a = q 2 铮比，y x ，q 1 ( z ，y ) = q 2 ( z ，秒) ； 模并q 1u sq 2 ：v x ，y x ，( q 1u sq 2 ) ( z ，y ) = s ( q l ( z ，矽) ，q 2 ( z ，夕) ) ； 模交q 1n 丁q 2 ：y x ，y x ，( q 1m tq 2 ) ( z ，y ) = 丁( q l ( z ，可) ，q 2 ( z ，! ) ) ； 并q lu q 2 ：v z ，y x ，( q 1u q 2 ) ( z ，y ) = q l ( z ，y ) v q 2 ( z ，芗) ； 交q lnq 2 ：v x ，y x ，( q lnq 2 ) ( z ，y ) = q 1 ( z ，y ) aq 2 ( z ，可) ； t 一合成q 1o tq 2 ：v x ，y x ，( q lo tq 2 ) ( z ，y ) = s u p t ( q 1 ( z ，z ) ，q 2 ( z ，y ) ) ； z e 爿 合成q 10q 2 ：v x ，y x ，( q 1 。q 2 ) ( x ，y ) = s u p ( q , ( z ，2 ) aq 2 ( z ，秒) ) 特别地，q 2 ( z ，y ) = ( qo tq ) ( z ，y ) = s u p ( t ( q ( x ，z ) ，q ( z ，可) ) ) ；更一般地，对于任意 z e x 的n 2 ，q n + 1 ( z ，y ) = ( q no tq ) ( z ，y ) 下面定义本文所涉模糊关系的一些基本性质： 定义2 1 4 设q 是义上的一个模糊关系， 以若对任给z x ，q ( z ，z ) = 1 ，则称q 是自反的； 俐若对任给z ，y x ，z 掣，q ( x ，y ) vq ( y ，z ) = 1 ，则称q 是完全的； 俐若对任给z ，y ，zex ，t ( q ( z ，可) ，q ( y ，z ) ) q ( z ，z ) ，则称q 是丁一传递的；特别地， 若q ( z ，y ) aq ( v ，z ) q ( z ，z ) ，则称q 是传递的 “，如果q 满足自反、完全和丁一传递，则称q 为一个序 定义2 1 5 设q ，q + 均为x 上的模糊关系，若q 满足： ( 1 ) qsq ； 俾jq + 是丁一传递的； 例若s 也是丁一传递的，且q s ，那么q s ， 则称q 为q 的t 一传递闭包，记为t ( q ) 几 若i x i = n 则t 一传递闭包的计算公式为：( q ) = 【j q 2 一9 一 太原理工人学硕士研究生学位论文 第三章普通选择函数的合理性条件综述与研究 a r r o w ，r i c h t e r ，s e n ，s u z u m u r a ( 2 ，5 ，6 ，1 1 ) 等人在刻画普通选择函数的传递合理性过 程中，各自提出了一些合理性条件并讨论了它们间的关系郭在文 1 7 】中更深入地探讨 了这些关系本章在第二节介绍与普通选择函数有关的基本定义；在第二节给出文献中 存在的各种合理性条件；在第三节x c f , 有的这些合理性条件之间的关系以及选择函数的 传递合理性问题的研究结果进行综述；第四节对各合理性条件之间的关系进行了研究， 给出了一些新的结论 3 1 普通选择函数有关的基本定义 本文设x 为全体备择对象集，假设它是非空有限集，x 上的所有非空普通子集的 集合记为历下面给出选择函数的相关定义 定义3 1 6 ( 6 1 ) 若映射c ：留。留满足：v s 留，c ( s ) s ，则称c ( ) 为一个