（理论物理专业论文）自旋系统和谐振子系统量子热力学循环性能分析.pdf

摘要 摘要 量子热力学循环性能研究是近年来研究热力学循环的热点。对应于经典热力 学循环，量子热力学循环目前的研究比较多的循环类型有：量子布雷顿循环、量 子卡诺循环、量子奥托循环、以及量子埃里克森循环等。这些量子热力学循环所 用工质一般有量子气体、自旋系统、谐振子系统、二能级或多能级系统。循环的 动力学方程一般是海森堡量子主方程，泡利量子主方程，刘维尔超级算符方程( 不 同工质系统其具体形式不一样) 等。处理循环所用的方法多种多样，有半群方法、 热力学可观测量演化法、算符或矩阵方法等，但目的都是试图求出与热力学循环 有关的各项重要指标如：输入或输出功或功率、效率、制冷量或制冷率、制冷系 数、热经济学函数、热生态学函数、熵产率等，并且对这些重要的指标进行优化 分析。 本文第一章介绍量子热力学循环的研究现状，以及存在的主要问题和发展前 景。 第二章分析了自旋系统量子布雷顿热机循环的性能。建立了一种新的量子布 雷顿热机循环模型，基于量子主方程和半群方法，分析了循环的性能特征及时间 演化公式，推导出效率和输出功率的一般表达式，并在一般情况下和高温极限下 对循环的功率进行优化分析。得到了循环的最优化参数选择。 第三章分析了谐振子系统量子奥托制冷循环的性能。首先确定谐振子系统能 热力学可观测量集合 疗，三，d ，它们分别是系统的哈密顿量、拉格朗日函数、以 及描述位置与动量的相关性量。基于海森堡量子主方程得到可观测量集合的演化 微分方程组。在准静态绝热近似情况下求解微分方程组，得到可观测量随时间演 化的解析解。假设理想准静态绝热过程时，给出循环的输入功率、制冷率、制冷 系数等重要参数，并且对各个支路的时间进行优化分配，得到了最优化制冷率的 表达式。分析了最优化制冷率与压缩比( c = 饥国，) 、与制冷系数占的关系。在 一般情况下( 不限制绝热过程时间) ，直接利用前面得到的各个支路可观测量集 合演化微分方程组，数值方法分析热力学可观测量之间演化规律以及循环的各项 性能参数。在循环的外部参量( 高低温热源、高低频率、各支路循环时间等) 给 定的条件下，不管循环的起始点如何都将逐渐趋于一个稳定的极限循环，循环的 各项性能参数在量子摩擦功的影响下震荡变化。 关键词：量子循环；自旋系统：谐振子系统；热力学可观测量集合：性能分析 a b s t r a c t a b s t r a c t q u a n t u mt h e r m o d y n a m i c si s an e wh o t s p o to ft h em o d e mt h e r m o d y n a m i c s c o r r e s p o n d i n gt oc l a s s i c a lt h e r m o d y n a m i cc y c l e ，q u a n t u mb r a y t o nc y c l e ，q u a n t u m o t t oc y c l e ，q u a n t u mc a m o tc y c l e ，q u a n t u me r i c s s o nc y c l e ，e t c ，a r ei n t e n s i v e l y s t u d i e d t h ew o r k i n gs u b s t a n c eo ft h o s ec y c l e sm a yb eq u a n t u mg a s ，s p i ns y s t e m s , h a r m o n i co s c i l l a t o r ss y s t e m s ，t w ol e v e lo rm u l t i 1 e v e ls y s t e m s t h ee q u a t i o no f m o t i o nf o rt h ew o r k i n gm e d i u ms y s t e mo b e y sh e i s e n b e r gm a s t e re q u a t i o n ，p a u l i m a s t e re q u a t i o n t h e r ea r em a n ya p p r o a c h e st od e a lw i t ht h o s ec y c l e s ，s u c ha s ， s e m i g r o u pa p p r o a c h , t h e r m o d y n a m i c o b s e r v a b l e se v o l u t i o na p p r o a c h ，e t c t h e p u r p o s e a r et r yt og e ts o m ei m p o r t a n tp e r f o r m a n c ep a r a m e t e r s ，l i k et h ec o e f f i c i e n to f p e r f o r m a n c e ，c o o l i n gr a t e ，a n dp o w e ri n p u t o rp o w e ro u t p u t ，t h e r m o d y n a m i c e c o n o m i cf u n c t i o n ，t h e r m o d y n a m i ce c o l o g i cf u n c t i o n ，e t c ，t h e n , w ec a l l d ot h e o p t i m i z a t i o no f t h o s ep a r a m e t e r s i nc h a p t e ri ，t h ep r o d u c t i o n ，d e v e l o p m e n ta n dt h ep r e s e n ts t a t e so fq u a n t u m t h e r m o d y n a m i c sa r ed i s c u s s e db r i e f l y i nc h a p t e ri i ，p e r f o r m a n c ea n a l y s i so fq u a n t u mb r a y t o nh e a te n g i n ec y c l ew i t h s p i ns y s t e m s 硒t h ew o r k i n gs u b s t a n c e an e wm o d e lo fah e a te n g i n ec y c l ei s e s t a b l i s h e di nw h i c ht h ew o r k i n gs u b s t a n c ec o n s i s t so fm a n yn o n i n t e r a c t i n gs p i n 一1 2 s y s t e m s t h ep e r f o r m a n c e c h a r a c t e r i s t i c so ft h ec y c l ea n dt i m ee v o l u t i o no ft h es p i n a n g u l a rm o m e n t u ma r ei n v e s t i g a t e d ，b a s e do nt h eq u a n t u mm a s t e re q u a t i o n a n d s e m i g r o u pa p p r o a c h t h eg e n e r a le x p r e s s i o no ft h ee f f i c i e n c ya n dp o w e ro u t p u ta r e d e r i v e d f u r t h e r , a th i g l lt e m p e r a t u r e st h eo p t i m a lr e l a t i o n so ft h ee f f i c i e n c ya n d p o w e ro u t p u ta r er e s e a r c h e di nd e t a i l i nc h a p t e ri i i ，p e r f o r m a n c ea n a l y s i so fq u a n t u mo t t or e f r i g e r a t i o nc y c l ew i t h h a r m o n i cs y s t e m s f i r s to fa l l ，t h es e to ft h e r m o d y n a m i co b s e r v a b l e s h ，l ，d ) f o r h a r m o n i cs y s t e m sa r ee s t a b l i s h e d t h e ya r et h eh a m i l t o n i a no p e r a t o r , t h el a g r a n g i a l l o p e r a t o r , a n dt h ep o s i t i o n m o m e n t u mc o r r e l a t i o no p e r a t o r , r e s p e c t i v e l y b a s e d o n h e i s e n b e r gm a s t e re q u a t i o n ，w eg e tt h ee v o l u t i o nd if f e r e n t i a le q u a t i o n so f t h es e to f t h e r m o d y n a m i co b s e r v a b l e s f o rq u a s i s a d i a b a t i cc o n d i t i o n ，t h ea n a l y t i cs o l u t i o n sa r e g i v e n a s s u m ei n i d e a lq u a s i s a d i a b a t i cc o n d i t i o n ，s e v e r a li m p o r t a n tp e r f o r m a n c e p a r a m e t e r s ，l i k e c o e f f i c i e n to fp e r f o r m a n c e ，c o o l i n gr a t e ，a n dp o w e ri n p u ta r e o b t a i n e d b e s i d e ，t h eo p t i m a lt i m ea l l o c a t i o n si ne a c hb r a n c ha r ea l s oc a l c u l a t e d w e 酣t h eo p t 曲啪c o o l i n gr a t e t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e no p t i m u mc o o l i n gr a t e 锄d c o m p r c s s i o nr a t i o( c = 钆o j c ) o rc o e f f i c i e n to fp e r f o r m a n c e 占l s吼a l 倒m g e n e r a lc a s e ，t h ee v o l u t i o n a r yr u l e so ft h e r m o d y n a m i co b s e r v a b l e sa n dp 耐o m l a n c e p a r 锄e t e r sa r en u m e r i c a l l ya n a l y z e d ，b yu s i n gt h ef o r m e r s e t se v o l u t i o nd i i i e r e n t l a l e q u a t i o n s n om a t t e rw h e r ei sc y c l e ss t a r t i n gp o i n t ，i tw i l l s e t t l ed 0 、帆t 0as n l 0 0 t h m o d eo fo p e r a t i o nd e t e r m i n e db y t h ec o n t r o lp a r a m e t e r s ( 1 i k eh e a to rc o l db a t h ，m 班 o r1 0 wf r e q u e n c y , e a c h b r a n c h st i m o a l lt h ep e r f o r m a n c ep a r a m e t e r s 印p e a r v i b r a t i o nu n d e rt h ei n f l u e n c eo fq u a n t u mf r i c t i o nw o r k k e yw o r d s ：q u a n t u mt h e r m o d y n a m i cc y c l e ；s p i ns y s t e m s ；h a r m o n i cs y s t e m s ；t h e s e t o ft h e r m o d y n a m i co b s e r v a b l e s ；p e r f o r m a n c ea n a l y s i s i v 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得直昌太堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名c 手瓢森交签字日期：渊脚蝴2 撕 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解直昌盔堂有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权直昌太堂可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究 所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向 社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本 学位敝作者虢办度导师虢 签字日期：泔年，乙月吃百 第1 章绪论 第1 章绪论 用量子体系作为工质构建热力学循环已经经历了二十多年历史了，随着量子 力学、统计力学的不断发展，量子热力学循环的理论模型正在被更广泛更细致地 研究。加拿大科学家c u r z o n 和a h l b o m 和以色列科学家1 lk o s l o f f 分别是经典有 限时间和量子有限时间热力学的奠基人。以s i s m a n a 和s a y g i n h 等为代表的 一批学者对以量子气体为工质的各种热力学循环研究取得了丰富的进展。以 f e l d m a n n t 和k o s l o f f r 等为代表的以色列科学家们对自旋系统和谐振子系统 为工质的量子热力学循环进行了系统性的研究 2 , 6 , 9 - 1 0 , 1 9 - 2 5 】，并且他们做出了开创 性工作：把有限时间引入量子热力学循环中，获得了很多新颖的结论。b e n d e r c m 提出了以处于势阱中的微观粒子为工质的量子卡诺热机模型，得到了与经典卡诺 热机不同的效率表达式。最近十年来，量子热力学循环的研究更加趋近于纯量子 理论化，以及实际应用化方面的研究。e g e v a 和r k o s l o f f 等人通过构建工质 系统热力学可观测量集合的方法深入分析了量子奥托热机循环获得了量子热机 非常珍贵的结论。m 0 s c u l l y 构建了一个光子卡诺引擎的物理模型，通过分析 得到在一定条件下该引擎的效率可以大于经典的卡诺效率【2 引。 1 1 量子热力学循环研究的发展 在1 9 7 5 年加拿大科学家c u r z o n 和a h l b o m 从理论上得到了卡诺热机在最大 输出功率下的效率1 1 ，他们考虑了热机与外界存在有限速率的热交换，推导出工 质与高，低温热源间存在热阻损失时的卡诺热机在最大输出功率下的效率一c a 效 率为 1 叩a = 1 一瓜， ( 1 1 ) 它是不同于卡诺效率的一个新的界限，也是经典有限时间热力学的基础理论。 1 9 8 4 年，以色列科学家r k o s l o f f 等将有限时间热力学引入到量子体系中 得到了理想量子体系的最大效率和最大输出功时的效率为【2 】= 7 7 。= 1 - - o j c 国， 7 7 。p = 1 一厮， ( 1 2 ) ( 1 3 ) 第1 章绪论 其中为谐振子较低的频率，为谐振子较高的频率。可以看出，量子体系的 最大效率和晟大输出功时的效率与卡诺效率及c a 效率具有相似的形式。 1 9 9 9 年以来，以s i s m a n 和s a y g i n 等为代表的一批学者对以量子气体为工质 的各种热力学循环的性能参数，及量子简并性对热力学循环的其它参数的影响进 行了研究p 。5 】，成为量子热力学循环的热点问题。 2 0 0 0 年，b e n d e rcm 提出了以处于势阱中的微观粒子为工质的量子卡诺热 机模型，得出了与气体卡诺循环类似的效率公式【7 】， r l 兰1 - e c | e h ， ( 1 4 ) 其中艮和e 分别为微观粒子在基态和激发态哈密顿量的平均值。然而在经典卡 诺热机效率中k 和e 分别要用温度c 和瓦代替。这似乎预示着量子体系里温度 的定义和能量有着某种更直接的关系。 热力学系统的态完全由热力学变量决定，并且统计力学还增加了一个规定： 系统的态是由最大熵条件下约束系统的热力学可观测量集决定的 1 7 - 1 8 l 。鉴于这些 考虑，2 0 0 2 年f e l d m a n nt 和k o s l o f fr 等人利用构建完备李代数集的方法寻找 到了约束自旋系统的热力学可观测量算符集合【3 6 】： 疗“，疗鲥， m 日删】) 即自旋 系统的内部相互作用的哈密顿、与外场相互作用的哈密顿、以及前两者的对易子。 热力学可观测量算符集合的演化遵循海森堡量子主方程。他们构建的量子奥托循 环的各项性能参数都可以用以上集合元素表达出来，他们这样的做法理论推导量 比较复杂，但方法更具量子力学特征。他们的团队在2 0 0 6 年研究了量子奥托热 机循环，利用约束谐振子系统为工质的热力学可观测量集合【2 0 】( 詹，l 6 ，西 ，它 们分别是系统的哈密顿量，拉格朗日函数，以及描述位置与动量的相关性量) 演 化，来得到循环各个性能参数的表达式，如每个循环的吸放热、输出功、摩擦功、 效率等，并做了一些近似和优化分析。 1 2 量子热力学循环研究的内容 自量子热力学的研究提出以来，有大批专家学者在这一领域做了大量的研究 工作。目前，量子热力学循环的研究主要有以下几个方面： 量子气体热力学循环，研究以量子气体( 费米气体和玻色气体) 为工质的热 力学循坏的性能，循环可以是可逆的也可以是不可逆的。可逆量子热力学循环主 要研究量子简并性对各种热力学循环( 如：卡诺循环【3 1 、斯特林循环【4 巧l 、布雷 顿循环、埃里克森循环、奥托循环等) 性能参数的影响，可以找到量子热力学循 环与经典热力学循环的区别与联系。 2 第1 章绪论 量子系统热力学循环，研究以量子体系( 如：自旋系统、谐振子系统) 为工 质的热力学循环性能。这类研究用量子几率算符来表征各量子态的状态，通过量 子主方程来得到循环的热力学状态方程，再通过状态方程求出循环的输出功、功 率、效率、周期等性能参数，在此基础之上可针对不同目标函数对循环进行优化。 国内外很多科学家都在量子系统热力学循环中做了大量工作1 2 6 ，7 , 9 - 1 2 。不可逆量 子热力学循环的不可逆性包括两部分，内不可逆性( 如存在内摩擦的循环 4 , 2 0 j ) 和外不可逆性( 如热漏，热阻等) ，这类研究可以研究各种不可逆因素对循环性 能的影响，所选取的目标可以是功、功率、效率、制冷率、熵产率等，所研究的 对象可以是热机、热泵、制冷机等。 1 3 量子热力学循环研究的热点问题 绝热过程的量子摩擦功和绝热过程时间是量予热力学循环中两个联系紧密 的问题。经典热力学循环的摩擦是由于太快地压缩或膨胀工质而导致的，在量子 领域内压缩或膨胀对应着一种外场的变化，外场可以用工质含时间的哈密顿量以 参数的形式表示。当这种外场控制的哈密顿量算符与工质内部的哈密顿算符不对 易时，这种外场快速的改变不允许瞬态能级遵循绝热变化，因此就有相干性和额 外的能量累积在工质中。额外能量向冷源的耗散以及不可避免的工质内部的退相， 干是摩擦在量子领域的对应【3 , 2 1 , 2 2 】。量子摩擦存在于量子非绝热过程中，在处理 含量子非绝热过程的量子循环时，如何理解和分析量子摩擦功以及如何计算量子 绝热过程时间是一个难点。很多学者在处理量子循环的绝热过程时，通常都是认 为绝热过程进行很快，其时间可以忽略不计。然而很多研究发现绝热过程时间越 小，量子摩擦功就越大，绝热过程时间越大，量子摩擦功就越小。以色列科学家 们通过构建量子系统的热力学可观测量集合的方法，用可观测量的演化来分析量 子循环性能，以及循环的摩擦功，这是一种较为新颖的方法【2 0 ”l ，有着比较广 泛的应用前景。 1 3 本文主要工作 本文分析了两个问题，其一是自旋系统的布雷顿热机循环。建立了一种新的 量子布雷顿热机循环模型，它由两个等外磁场过程和两个绝热过程构成。基于量 子主方程，导出自旋系统的热力学第一定律，循环的吸放热量，输出功。再根据 半群分析方法，得到了循环两个等外磁场支路时间演化公式( 我们令两个绝热过 程时间很短，与等磁场过程时间相比较可以忽略不计) 。从而推导出效率和输出 第1 章绪论 功率的一般表达式，并在一般情况下和高温极限下对循环的功率进行优化分析。 得到了循环的最优化参数选择。 本文分析的另外一个主要问题是分析了谐振子系统的量子奥托制冷循环。建 立了一种量子奥托制冷循环模型，它由两个等频率过程和两个绝热过程构成。基 于海森堡量子主方程，导出了谐振子系统的热力学第一定律。通过构建完备李代 数集合的方法找到约束谐振子系统的热力学可观测量算符集合，循环的各项性能 参数都可以由这些可观测量算符的期望值表示出来。体系的热力学可观测量算符 集合演化规律同样遵循量子主方程。我们在准静态近似的条件下得到了可观测量 集合演化解析表达式，在一般情况下我们得到的是可观测量集合的一阶微分方程 组。我们通过数值计算的方法能得到可观测量演化的数值解，从而得到循环各项 性能参数的数值解。而且我们还能得到谐振子系统奥托制冷极限循环下热力学可 观测集合演化规律。文中还给出了准静态近似下绝热循环的摩擦功的表达式和一 般情况下绝热过程的摩擦功的数值积分式。数值模拟了循环各性能参数和等频率 过程时间分配关系图。分析了量子摩擦给制冷率、输入功率、制冷系数等参数带 来的影响。 4 第2 章自旋系统量子布雷顿热机循环性能分析 第2 章自旋系统量子布雷顿热机循环性能分析 2 1 引言 近年来，热力学循环的优化分析已经从经典循环扩展到量子领域，一些学者 研究了量子卡诺循环，埃里克森循环，斯特林循环和布雷顿循环等的性能特征， 并进一步对一些量子热机和制冷循环的性能进行优化分析，获得了许多有益的结 论p 3 卜3 8 】。这些结论不仅在理论上而且在实际中都非常重要，如激光制冷机、极 低温下的分子制冷机、固体的激光制冷技术等都与此相关。在量子热力学循环中， 其工作物质可以涉及到量子气体，自旋1 2 系统，谐振子系统和势阱中的微观粒 子等。自旋量子系统热力学可观测量的时间演化动力学可以用半群方法来描述， 从而避免了经典的唯象传热规律的使用。不可逆的量子热机循环由两个等磁场过 程和两个绝热过程组成，已经被广泛地研究。其工质由许多内不可逆的自旋1 2 系统组成。本文将研究有限时间的不可逆布雷顿量子热机循环，它是经典布雷顿 循环的微观对应，是一种新的自旋热机循环模型，该循环的高低磁场范围给定。 本文给出了循环输出功率的表达式，效率的表达式，循环时间的表达式，并对功 率在各种给定条件下进行优化分析。找出了最大功率条件下热机循环点的最优化 温度比以及外部参数的选择方式。并在高温极限下做同样的优化。 2 2 自旋系统中热力学第一定律 首先，我们将磁矩为m 的自旋1 2 系统，放在是随时间变化的磁场b 中， 其相互作用可表示 2 3 , 3 9 ： 疗( f ) = 一肪木曰= 2 1 丑雪宰b = 2 口曰：o 谚：，( 2 1 ) 其中鳓为玻尔磁子，s 为自旋角动量算符，t 为时间，h 为普朗克常量，壳= l y ( 2j r ) 。记壳= 1 ，定义彩( f ) = 2 。b ：( f ) ，通常称国为磁场。这样，自旋- 1 2 粒子 在“磁场缈o ) 中的哈密顿量为： 疗= ( f 弦：， ( 2 2 ) 自旋1 2 粒子与外磁场之间的平均相互作用能就是自旋粒子哈密顿的期望值( 即 自旋一1 2 系统的内能) ，有： 第2 章自旋系统量子布雷顿热机循环性能分析 e = ( 疗) = 国( f ) ( 宕：) = r _ 0 8 ， ( 2 3 ) 由量子统计删，我们可以计算出自旋角动量遣的期望值( 即平均值) ： s = ( s z ) = 一i 2 t h ( f l c 0 1 2 ) ，( 2 4 ) 其中，一1 2 s = ( 署) + ( 姒疗) ) _ 警s + 瓦d s ， ( 2 7 ) 把方程( 2 7 ) 与热力学第一定律的微分形式： 鲁= 詈i d q 4 - ( 2 8 ) 一= 一一 - ，x l d td td t 、 。 相比较，其中为功，q 为热量，从中可以看出功率和热流分别为： p = 警= ( 掣d t ) = 磐a c t s ， d t 警引私p = 因此微元功和微元热量的表达式分别为： d i g = s d c o ， 6 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 第2 章自旋系统量子布雷顿热机循环性能分析 d q = c a d s ( 2 1 2 ) 方程( 2 7 ) 就是自旋系统中热力学第一定律的微分表达式。利用( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 可以讨论自旋系统在各种热力学过程中的热量和功。 2 3 自旋量子热机循环模型 图( 2 1 ) 为自旋量子热机循环中自旋角动量s 与“外磁场c a ( t ) 的示意图， 它是由两个等磁场过程和两个绝热过程组成，与经典的磁布雷顿循环对应，故可 以称它为自旋量子布雷顿循环。在等磁场过程1 2 中，系统与高温热源尾接触， 而“外磁场”保持不变纯。自旋角动量从墨增加到s ，导致系统从高温热源 吸热q 。在绝热过程2 专3 中，没有热量的交换，系统的自旋角动量s 保持s ：不 变，国减少意味着外界对系统作正功。在等磁场过程3j4 中，系统与低温热源 厉接触，而“外磁场 c o 保持鳞不变，自旋角动量s ，减少到s ，导致系统放给 低温热源热量q ，。在绝热过程4 寸l 中，没有热量的交换，系统的自旋角动量s 保持s 不变，缈增加意味着系统对外界作正功。2 。和4 分别为工质与高温和低温 热源的热平衡点，对应的自旋角动量为蹭和蹬。屈、殷、屈和风分别为系统 在四个状态点1 、2 、3 和4 的“温度”，的并且它们之间满足 h 8h 国h | b 2 = 国c 3 , 国c 8 4 = k 9 i 0 和- 1 g 0 。 将方程( 2 2 3 ) 代入方程( 2 2 1 ) 有： 塑：一2kp咖+口+-，肋一keo+q)肋一口p咖】dt ljlj - - - - - - - d e 咖【2 ( 1 + e 肋) s + o 加一1 ) j = 一a e x p ( q f l r o ) 2 1 + e x p ( f l c o ) s + e x p ( f l c o ) 一l ， ( 2 2 4 ) 于是可以得到自旋系统工质与热源交换时间的一般演化公式： 卜! af e x p ( q f l c o ) 2 1 + j e x p ( f l l c o ) s + e x p 一( f l t o ) - 1 ， ( 2 2 5 ) f 一 ( 2 _ 2 5 ) 其中s 和s 厂是系统沿着给定路径s ( ，c o ) 自旋角动量的初态和终态。 先看在磁场为吮情况下，1 2 是等磁场变化，“温度”由届变为仍，在此 过程中有初态自旋角动量为： s ( o ) = s l = l ，t a n h ( p 1 2 ) ， ( 2 2 6 ) 二 终态自旋角动量为： 9 第2 章自旋系统量子布雷顿热机循环性能分析 踯) = s ：一三t a n h ( f 1 2 w h 2 ) ， ( 2 2 7 ) 同时有： s 黾一三t a n b ( p h 1 2 ) ， ( 2 2 8 ) 由方程( 2 2 5 ) 一2 2 8 ) 可略得出在磁场为吼时的等磁场过程所需要的时间： t h ：一l l nt h ( f l h c o h 2 ) - t h ( f l , o g , 2 ) ( 2 2 9 ) f t h ( p , ( - o h 2 ) 一t h ( ，2 ( 0 h1 2 ) 、7 同理在磁场为q 的情况下，“温度”由屈变为反，初态自旋角动量为： s ( o ) = 最= 一三t a n h ( 屈吐2 ) ， ( 2 3 0 ) 终态自旋角动量为： 即) = s 。一丢蛐( 尻q 2 ) ， ( 2 3 1 ) s 叼= 疋唧= 一丢t a n h ( 厦q 2 ) ， ( 2 3 2 ) 将方程( 2 3 0 ) 一( 2 3 2 ) 代入方程( 2 2 5 ) 可以得出在磁场为q 时所需的时 间： f 。：一li nt h ( f l o c 1 2 ) - t h ( f 1 2 c o h 2 ) ，( 2 3 3 ) r 砌( 尾q 2 ) 一t h ( f l 。婢2 ) 7 、 在两个绝热过程中，由于工质与热源之间没有热交换，而通常绝热过程变化比较 快，因此，相对于两个等磁场过程来说，绝热过程的时间可以忽略不计。所以自 旋系统量子热机循环的周期为： t = t + t c 2 5 一般情况下热机性能优化及参数分析 ( 2 3 4 ) 输出功率和效率是热机的两个重要的性能参数，利用方程( 2 1 3 ) 一( 2 1 8 ) 和方程( 2 3 4 ) 可以得热机的功率和效率： l o 第2 章自旋系统量子布雷顿热机循环性能分析 p = 孚= ( 魄一q ) 一j 1 砌( 反2 ) + 互1r 而( 屈国。2 ) r 。+ f c ) ，( 2 3 5 ) 7 7 ：里：皇丝：1 一一( - o e ， 已q q 。 ( 2 3 6 ) 更大的输出功率。在此我们令，2 罢，f = 鲁，y = 卺。从而有： 1 ，k移， 川川。喾篙一躬乃 p = ( 一敛) 一j 1 珐( 幔哝2 ) + 三1 肪( y f l 2 0 3 c 2 ) ，。+ u ， ( 2 3 8 ) 作求导署- 0 ，可以得到： 以托，而蛊等筹蔫蒜等 r s e c h 2 2 q 2 ) 。脚( 尾魄2 ) 一t h ( f l ：o , 2 ) l t h ( f l d o ，2 ) 一t h ( r p ；o 。2 ) = 0 ( 2 3 9 ) 上式给出了y 和及之间的优化关系，但是式子很复杂很难得到一个解析解。因 此在后面的处理中我们应用计算机数值方法解( 2 3 7 ) 一( 2 3 9 ) 方程，可以绘 出p y 之问的基本优化关系曲线。其中，我们令f 1 2 = 1 则有p = r p 2 ， ，= c o 。c o c ，是高低磁场之比，r = 展尾是高低“温度”之比，并且有， r 。 工质的“温度”比的范围是： ， y r ，( 2 4 0 ) 第2 章自旋系统量子布雷顿热机循环性能分析 而对于给定的y ，可得及的取值范围在： 尾f 及 屈少 ( 2 4 1 ) 通过参数鳞，历，r ，我们可以知道最大的功率和相应的“温比”之间的关 系。由于参数的不同，功率p 与相应“温比 ，之间的关系曲线也是不一样的。 图( 2 2 ) 至图( 2 4 ) 给出了功率尸与相应“温比 ) ，之间的关系曲线。从图( 2 2 ) 中我们看到功率随着热源高低温比f 的增大而增大，并且当给定了一个r 值时对 应有一个最佳的工质高低温比值k 一图( 2 3 ) 中我们看到热机的功率随低温热 源温度孱的擅大而减小，但每个尼对应一个，且尼越大越小。图( 2 4 ) 可以看出热机的功率随高低磁场比，i 的增大而减小，每个r 对应一个儿一且，- 越 大k 。，越大。上面的分析可以综合为：自旋量子布雷顿热机循环在给定各项参数 的条件下，存在一个最优化的工质温比。在最优化工质温比的条件下要使功率越 大可以控制尾越小，f 越大，越小。 y 图2 2 在保持，= 2 ，嗥= 7 ，孱= 1 不变的条件下功率p 与“温比”y 之间的关系。 1 2 第2 章自旋系统量子布雷顿热机循环性能分析 y 图2 3 在保持广= 2 ，f = 5 ，婢= 7 不变的条件下功率p 与“温比”y 之间的关系。 、 图2 4 在保持婢= 7 ，厦= 1 ，f = 5 不变时功率p 与“温比”y 的关系。 2 6 高温极限下热机性能优化 在高温肋1 极限情况下，上述结果可以简化，例如方程( 2 1 3 ) 一( 2 1 8 ) ， ( 2 2 9 ) ，( 2 3 3 ) ，( 2 3 8 ) 可以简化为以下形式： 1 3 第2 章自旋系统量子布雷顿热机循环性能分析 绣= 2 ( 届一f 1 2 ) 4 = 缈h 2 ( 鹏r f l ：) 4 ， q c = q 2 ( 屐一届) 4 = q 2 ( 厦一鹏r ) 4 ， p 2 4 , = h | c = r ， p 3 旧i = c o h | 国c = r 。 ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) ( 2 4 7 ) ( 2 4 8 ) p = 孚( ，2 叫胁1 ) m 掣删- y p , ) 朋朋， 作求偏导嚣：o 醌 d ， 同样地有： w z c 旒+ 赢一d 一赤脚，仁5 。， ， y f ， p c | 气 9 2 8 c | y ( 2 5 1 ) ( 2 5 2 ) 依然应用计算机数值方法可以绘出p 和j ，之间的关系曲线。同样地在不同的 参数婢，尾，r 下可以得到不同的关系曲线。图( 2 5 ) 至图( 2 7 ) 显示了在高温极 限情况下的，功率p 与相应nl t y 之间的关系曲线。 1 4 一 ， h 鹏一喝 幔一鹏 = 二k 二一 生 肛一尾 肛一肛 4 。一r 。一r 矿 = = 第2 章自旋系统量子布雷顿热机循环性能分析 y 图2 5 高温极限下保持，= 2 ，屈= 0 5 ，q = 7 不变，改变彳，得到的功率p 与“温比”y 之间的关系。 寸 图2 6 高温极限下在给定r = 2 ，屏= 0 5 ，r = 6 的条件下得到功率p 与“温比”y 之问的关系曲线。 1 5 第2 章自旋系统量子布雷顿热机循环性能分析 、 图( 2 7 ) 高温极限下在给定f = 6 ，婢= 5 ，厦= 0 5 ，改变，得到功率p 与“温比” y 之间的关系。 2 6 本章小结 本文研究了以自旋1 2 系统为工质的量子热机循环，基于量子主方程和半群方法 给出了每个循环时间表达式；输出功的表达式；循环效率的表达式。并通过数值 计算给出了在不同参数下时功率p 与“温比”( y = 反卢，) 之间的关系曲线。由 曲线我们可以得到当y 取某一特定值时p 有最大值。本文分别给出了在变化f ， 变化，变化鳞，变化孱情况下功率与“温比”的关系。本文还在高温极限( 即 肋 1 ) 情况下做了类似的讨论。通过本文的讨论，我们对自旋量子热机的性能 将有一定的理解和认识。本章的自旋量子热机循环，没有考虑绝热过程时间的问 题，也没有考虑量子摩擦的问题，在下一章谐振子奥托制冷循环中将较全面地考 虑这些问题。 1 6 第3 章谐振子系统量子奥托制冷循环性能分析 3 1 引言 第3 章谐振子系统量子制冷循环性能分析 量子热力学循环研究伴随着量子力学理论的建立而不断兴起，量子热机循环 已经被广泛研究( 6 9 2 2 1 ，而量子制冷循环也在逐渐被众多的科学家深入的研究【1 o 2 】。对于工质是量子尺度的物质构成的制冷循环，其性能较之经典的工质，会有 一些由于量子效应的存在而产生的差异。一般的量子工质有谐振子系统，自旋系 统，量子气体等。本文所讨论的是以谐振子系统为工质的量子制冷循环，该循环 由两个等频率过程和两个绝热过程构成，类似于经典的奥托制冷循环。 约束谐振子系统的热力学可观测量算符集合是由r k o s l o f f 等人提出来的， 它们是由哈密顿量算符，拉格朗日量算符，位置和动量的相关性算符组成。它们 随时间的演化遵循海森堡运动方程。r k o s l o f f 等人得到谐振子系统及自旋系统 量子热机循环有一个很有意义的结论，即当循环的外参量及循环各个支路的时间 一定时，循环将会以唯一的方式趋向一个极限循环【1 9 ，2 2 1 。本文通过数值计算发 现对于谐振子量子制冷循环，在控制各个支路的时间后，也得到了一个极限循环。 在极限循环时，循环四个工作点的可观测量值就确定下来了，循环的各项性能参 数都可以用可观测量表述出来。从而我们可以数值分析循环性能参数和循环时间 分配的关系。 3 2 谐振子系统的热力学可观测量集合及热力学第一定律 j 本艾讨论的工质为诣振于糸统，例如处在话振势阱中的尢相且作用的粒子。 工质哈密顿量可表示为： 疗：上p ：+ 一1m 缈( f ) 2 ：， (31)2m2 、7 一 、。 在没有耗散存在时，即系统没有和外界热源接触时其态密度演化方程可描述为： 声( f ) = 一 疗( f ) ，p ( f ) 】， ( 3 2 ) ，z 当存在耗散时，工质系统的态密度演化方程应描述为如下的形式【1 3 】： 声( f ) = 一 疗( f ) ，p o ) + ( 声) ， ( 3 3 ) ，2 第3 章谐振子系统量子奥托制冷循环性能分析 其中厶( p ) = h ( 五+ p 五一1 2 磁+ ，p ) ) + h ( 五声a + - 1 2 a + a ，p ) ) ，为谐振子系统的刘 维耗散算符也可叫做超级算子【4 1 1 。上式中a = ( 1 芝) ( 舨鬲硼+ f 板订瓦面p 为 粒子数表象的湮灭算符，a + = ( 1 4 5 x , , l ( m 国h ) o f 板万丽面声为谐振子在粒子数 表象的产生算符，乜和_ 为热传导率，且在平衡时有( 砗k , ) = e x p - ( m o k 占丁) 】， r 可取乃或乏分别为高温和低温热源的温度。 非平衡热力学系统的所有守恒量集合可以用来描述这个非平衡系统的态密 度，且使之具有正则形式。对于谐振子系统，以色列科学家们r k o s l o f f 等人找 到了约束它的热力学可观测量算符集合【2 0 】： 0 = 疗，三，西，旬，( 3 4 ) 疗：j 二p + ! m ( f ) 2q z ：( 壳2 ) ( a a + + a + a ) ， (35)2m2 、7 一 、 7 、，。 三：j 一户z 一三朋国( f ) 2 垂z ：一( 壳缈2 ) ( a z + a + z ) ， (3三)2m2 、7 一 、 7 、， 、 d = ( 驴+ 户 ) = 一访( a 2 一五+ 2 ) ， ( 3 7 ) 其中疗是哈密顿算符，三是拉格朗日算符；6 为描述动量一位置的相关性的算符； j 为单位元算符。且和西为描述谐振子系统的阻尼振动即在绝热过程的摩擦。 上述的算符集合6 遵循海森堡量子主方程： 6 = 缸疗，e + 百o g + 乞( e ) ， ( 3 8 ) 其中乞( e ) 咄( 编一护拍) ) + 砗( 瘟一扣+ ，e ) ，将疗代入上式两边 取期望值，可得： 脚咖+ ( 乞( 疗) ) ， ( 3 9 ， 即 p = 砂= ( 捕a ) ，q = ( 厶( 疗) ) ( 3 1 0 ) 1 8 第3 章谐振子系统量子奥托制冷循环性能分析 ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 式即为谐振子系统中的热力学第一定律。 谐振子系统处在非平衡时的能量熵与平衡时的能量熵具有相同的公式4 0 1 & = 去( e + 等) h ( 裟) 也2 h ( _ o ， b e = ( 疗)