人教版高中数学必修课件全册.ppt

2019年12月7日,高中数学必修一课件全册（人教A版）,高中数学课件,人教版必修一,第一章：集合与函数,第二章：基本初等函数,第三章：函数的应用,第一节：集合,第一章：集合与函数,二、集合的定义与表示,1、通常，我们把研究的对象称为元素，而某些拥有共同特征的元素所组成的总体叫做集合。并用花括号括起来，用大写字母带表一个集合，其中的元素用逗号分割。,2、集合有三个特征：确定性、互异性和无序性。就是根据这三个特征来判断是否为一个集合。,一、请关注我们的生活，会发现,1、高一（9）班的全体学生：A=高一（9）班的学生2、中国的直辖市：B=中国的直辖市3、2，4，6，8，10，12，14：C=2，4，6，8，10，12，144、我国古代的四大发明：D=火药，印刷术，指南针，造纸术5、2004年雅典奥运会的比赛项目：E=2008年奥运会的球类项目,如何用数学的语言描述这些对象？,集合的含义与表示,讨论1：下列对象能构成集合吗？为什么？,1、著名的科学家,2、1,2,2,3这四个数字,3、我们班上的高个子男生,讨论2：集合a,b,c,d与b,c,d,a是同一个集合吗？,三、数集的介绍和集合与元素的关系表示,1、常见数集的表示,N：自然数集（含0）即非负整数集N+或N*：正整数集（不含0)Z:整数集Q：有理数集R：实数集,若一个元素m在集合A中，则说mA，读作“元素m属于集合A”,否则，称为mA,读作“元素m不属于集合A。,1.5N,四、集合的表示方法,1、列举法,就是将集合中的元素一一列举出来并放在大括号内表示集合的方法,注意：1、元素间要用逗号隔开；2、不管次序放在大括号内。,例如：book中的字母组成的集合表示为：,，o，,，,一次函数y=x+3与y=-2x+6的图像的交点组成的集合。,1,4,（1,4）,2、描述法,就是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。其一般形式为：,注意：1、中间的“|”不能缺失；2、不要忘记标明xR或者kZ，除非上下文明确表示。,x|p(x),例如：book中的字母的集合表示为：A=x|x是book中的字母,所有奇数组成的集合：A=xR|x=2k+1,kZ,所有偶数组成的集合：A=xR|x=2k,kZ,思考：1、比较这三个集合：A=xZ|x10，B=xR|x10，C=x|x10；,例题：求由方程x2-1=0的实数解构成的集合。,解：(1)列举法：-1,1或1，-1。,(2)描述法：x|x2-1=0，xR或X|X为方程x2-1=0的实数解,2、两个集合相等,如果两个集合的元素完全相同，则它们相等。,例：集合A=x|x为小于5的素数，集合A=xR|(x-2)(x-3)=0，这两个集合相等吗。,根据集合中元素个数的多少，我们将集合分为以下两大类：,1、有限集：含有有限个元素的集合称为有限集特别，不含任何元素的集合称为空集,记为，注意：不能表示为。,2.无限集：若一个集合不是有限集，则该集合称为无限集,五、集合的分类,练习题,1、直线y=x上的点集如何表示？,2、方程组的解集如何表示？,x+y=2x-y=1,3、若1，a和a,a2表示同一个集合，则a的值不能为多少？,(x,y)x=y,xR,yR,(1.5,0.5),a1,集合间的基本关系,实数有相等关系、大小关系，如55，57，53，等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间的什么关系？,观察下面几个例子，你能发现两个集合之间的关系吗？,A=1,2,3,B=1,2,3,4,5;,设A为新华中学高一(2)班女生的全体组成的集合,B为这个班学生的全体组成的集合;,设Cx|x是两条边相等的三角形，D=x|x是等腰三角形.,一、子集和真子集的概念,1、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集.,B,A,读作：A包含于B，或者B包含A可以联系数与数之间的“”,2、真子集：,3、空集：,我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作，并规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。,如果集合AB，存在元素xB，且元素x不属于集合A，我们称集合A与集合B有真包含关系，集合A是集合B的真子集（propersubset）。记作AB（或BA），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）。,4、补集与全集,设AS，由S中不属于集合A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作CSA，即CSAx|xS,且xA,如图，阴影部分即CSA.,如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时集合S看作一个全集，通常记作U。,例题、不等式组的解集为A，UR，试求A及CUA，并把它们分别表示在数轴上。,A=x|1/2x2，CuA=x|x1/2,x2,1、CUA在U中的补集是什么？2、UZ，A=x|x=2k,kZ,B=x|x=2k+1,KZ,则CUA，CUB。,思考:,A,BA,练习题,重点考察对空集的理解！,空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集,4、设集合A=x|1x3，B=x|x-a0，若A是B的真子集，求实数a的取值范围。,5、设A=1，2，B=x|xA，问A与B有什么关系？并用列举法写出B？,7、判断下列表示是否正确:(1)aa;(2)aa,b;(3)a,bb,a;(4)-1,1-1,0,1(5)0;(6)-1,1.,a1,1,集合与集合的运算,一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作AB，即AB=x|xA，且xBAB可用右图中的阴影部分来表示。,U,A,B,AB,1、交集,其实，交集用通俗的语言来说，就是找两个集中中共同存在的元素。,例题：,1、A=-1,1,2,3,B=-1,-2,1,C=-1,1;,2,3,-2,-1,1,A,B,C,交集的运算性质：,思考题：如何用集合语言描述？,2、并集,一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的所构成的集合，称为A与B的并集，记作AB，即AB=x|xA，或xBAB可用右图表示,U,A,B,其实，并集用通俗的语言来说，就是把两个集合的元素合并到一起。所以交集是“求同”，并集是存异。,例题：设集合A=x|-1x2,集合B=x|1x3求AB.,解:AB=x|-1x2x|1x3=x|-1x3,-1,1,2,3,并集的运算性质：,注意：计算并集和交集的时候尽可能的转化为图像，减少犯错的几率，常用的图像有Venn图，数轴表示法，坐标表示法。尤其是涉及到不等式和坐标点的时候。,练习题,1、判断正误（1）若U=四边形，A=梯形，则CUA=平行四边形（2）若U是全集，且AB，则CUACUB（3）若U=1，2，3，A=U，则CUA=,2.设集合A=|2a-1|，2，B=2，3，a2+2a-3，且CBA=5，求实数a的值。,3.已知全集U=1，2，3，4，5，非空集A=xU|x2-5x+q=0，求CUA及q的值。,2,倒退,第二节：函数,第一章：集合与函数,函数及其表示,一、函数的概念,小明从出生开始，每年过生日的时候都会测量一下自己的身高，其测量数据如下：,年龄（岁）,身高（cm）,从以上两个例子，我们可以把年龄当做一个集合A，身高当做一个集合B；把时间当做一个集合C，把下降高度当做一个集D。那么对于集合A、C中的每一个元素，集合B、D中都有唯一的一个元素与其相对应。比如，对于A的每一个元素“乘以10再加20”，就得到了集合B中的元素。对于集合C中的元素“平方后乘以4.9”就得到集合D中的元素。,因此，函数就是表达了两个变量之间变化关系的一个表达式。其准确定义如下：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为集合A到集合B的一个函数（function），记作y=f(x)，xA。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值（因变量），函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域。而对应的关系f则成为对应法则，则上面两个例子中，对应法则分别是“乘以10再加20”和“平方后乘以4.9”,二、映射,通过上面的两个例子，我们说明了什么是函数，上面的两个例子都是研究的数值的情况，那么进一步扩展，如果集合A和集合B不是数值，而是其他类型的集合，则这种对应关系就称为映射。具体定义如下：设A、B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之相对应，那么就称对应f：AB为集合A到集合B的一个映射。,国家,首都,中国,美国,韩国,日本,北京,华盛顿,首尔,东京,因此，函数是映射的一种特殊形式,三、函数的三种表示方法,解析法（数量关系），图像法（变化趋势），列表法（数值对应）。详见课本,四、开区间、闭区间和半开半闭区间,实数R的区间可以表示为（-,+）,深入理解函数表示方法的解析法,五、着重强调的几个问题及考试陷阱,1、函数是高中数学乃至大学数学中最为重要的组成部分，大部分的章节都会与函数进行穿插出题。2、不管是映射还是函数，都是唯一确定的对应，即对于A中的元素有且仅有一个B中的元素与其相对应。深入的理解这句话就可以得到：可以多对一，而不能一对多。,1,-1,2,-2,1,4,平方,4,9,-2,3,开方,2,-3,3、分母不能等于零，二次根号下不能为负数，分子分母的未知数不能随便约，根号不能随便去掉，都是求定义域的典型考点。详见课本例题。,4、判定两个函数相同的条件：一是对应法则相同，二是定义域和值域相同。,2、下列几种说法中，不正确的有：_A、在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应；B、函数的定义域和值域一定是无限集合；C、定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定；D、若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素。E、若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素。,练习题,4、求下列函数的值域,5、判断下列各组函数是否表示同一函数？,函数的基本性质单调性,那么就说在f(x)这个区间上是单调减函数，I称为f(x)的单调减区间.,x,设函数y=f(x)的定义域为A,区间IA.,如果对于属于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2，,设函数y=f(x)的定义域为A,区间IA.,如果对于属于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2，,那么就说在f(x)这个区间上是单调增函数，I称为f(x)的单调增区间.,当x1x2时，都有f(x1)x1，通过计算f(x2)f(x1)0或者0恒成立。里面通常都是用因式分解的办法，把f(x2)f(x1)转化成（x2-x1）的表达式。最后判断f(x2)f(x1)是大于0还是小于0。,2、x1,x2取值的任意性.,例1、下图为函数y=f(x),x-4,7的图像，指出它的单调区间。,-1.5，3，5，6,-4，-1.5，3，5，6，7,例2.画出下列函数图像，并写出单调区间：,数缺形时少直观,_,讨论1：根据函数单调性的定义，,讨论2：在(-，0）和（0，+)上的单调性？,例3.判断函数在定义域1，+）上的单调性，并给出证明：,形少数时难入微,证明：在区间1，+）上任取两个值x1和x2，且x10,ab=0,ab0,=0,0,=0,0,当-3x0)是偶函数吗,（2）奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)成立。若f(x)为奇函数,则f(-x)=f(x)成立。,（3）如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。,例1.判断下列函数的奇偶性,解:,定义域为R,f(-x)=(-x)3+2(-x),=-x3-2x,=-(x3+2x),即f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数,解:,定义域为R,f(-x)=2(-x)4+3(-x)2,=2x4+3x2,即f(-x)=f(x),f(x)为偶函数,(1)f(x)=x3+2x(2)f(x)=2x4+3x2,（2）奇函数的图象关于原点对称.反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数.,（1）偶函数的图象关于y轴对称.,反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数为偶函数.,注：奇偶函数图象的性质可用于：.简化函数图象的画法。.判断函数的奇偶性。,奇偶函数图象的性质:,两个定义:对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(-x)=-f(x)f(x)为奇函数。如果都有f(-x)=f(x)f(x)为偶函数。,两个性质:一个函数为奇函数它的图象关于原点对称。,一个函数为偶函数它的图象关于y轴对称。,(2)f(x)=-x2+1,(3).f(x)=5(4)f(x)=0,练习题,(5).f(x)=x+1(6).f(x)=x2x-1,3,第二章：基本初等函数,第一节：指数函数,指数与指数幂的运算,根式,探究,a，a0,a，a0,分数指数幂,指数运算法则,结合具体的理解进行记忆,引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，.1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系是什么？分裂次数：1，2，3，4，x细胞个数：2，4，8，16，y由上面的对应关系可知，函数关系是,引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为,我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.即：，其中x是自变量，函数定义域是R,定义,指数函数及其性质,探究1：为什么要规定a0,且a1呢？若a=0，则当x0时，=0；当x0时，无意义.若a0且a1在规定以后，对于任何xR，都有意义，且0.因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+).,引例：,进一步拓展,看做y=(1/2)u,u=x2-2x,进一步拓展,复合函数求单调区间,第二章：基本初等函数,第二节：对数函数,对数及其运算,前节内容回顾：,引导：,定义：,两种特殊的底：10和e,探究：,结论：负数和零没有对数。,对数运算法则,探究：,换底公式的证明与应用,对数函数及其性质,我们研究指数函数时，曾讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个1个这样的细胞分裂成x次后，得到细胞个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数_表示。,反过来，1个细胞经过多少次分裂，大约可以等于1万个、10万个细胞？已知细胞个数y，如何求分裂次数x？得到怎样一个新的函数？,1,2,4,y=2x,复习引入,y=2x,xN,1、对数函数的定义：,2、指数函数与对数函数两者图像之间的关系,对数函数的图像和性质,例1：求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）,反函数,1、定义：,2、求法：,已知某个函数的表达式，y=f(x)，求其反函数的方法和步骤如下：（1）通过表达式y=f(x)，把函数表示成x=g(y)的形式（2）把求得的x=g(y)的位置对调，即y=g(x)的形式,3、注意：,只有是严格一一对应的函数才能求其反函数，即存在多对一的情况的函数是没有反函数的。有反函数不一定有单调性，如y=1/x,？,第二章：基本初等函数,第三节：幂函数,幂函数定义,注意：,第三章：函数的应用,第一节：函数与方程,要点梳理1.函数的零点（1）函数零点的定义对于函数y=f(x)(xD),把使_成立的实数x叫做函数y=f(x)(xD)的零点.,f(x)=0,基础知识自主学习,（2）几个等价关系方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与_有交点函数y=f(x)有_.(3)函数零点的判定（零点存在性定理）如果函数y=f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_,那么函数y=f(x)在区间_内有零点,即存在c(a,b),使得_，这个_也就是f(x)=0的根.,f（a）f（b）0)的图象与零点的关系,(x1,0),(x2,0),(x1,0),两个,无,一个,3.二分法（1）二分法的定义对于在区间a，b上连续不断且_的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_,使区间的两个端点逐步逼近_,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.（2）用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间a，b，验证_,给定精确度；第二步，求区间（a，b）的中点x1；,f(a)f(b)0,一分为二,零点,f(a)f(b)0,第三步，计算_：若_，则x1就是函数的零点；若_，则令b=x1(此时零点x0(a,x1);若_，则令a=x1(此时零点x0(x1,b);第四步，判断是否达到精确度：即若|a-b|,则得到零点近似值a（或b）;否则重复第二、三、四步.,f(x1),f(a)f(x1)0,f(x1)f(b)0,f(x1)=0,基础自测1.若函数f(x)=ax+b有一个零点为2,则g(x)=bx2-ax的零点是（）A.0，2B.0，C.0，D.2,解析由f(2)=2a+b=0,得b=-2a,g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1).令g(x)=0，得x=0,x=g（x）的零点为0，,C,2.函数f(x)=3ax-2a+1在-1，1上存在一个零点，则a的取值范围是（）A.B.a1C.D.解析f(x)=3ax-2a+1在-1，1上存在一个零点，则f(-1)f(1)0,即,D,3.函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是（）解析图B不存在包含公共点的闭区间a，b使函数f（a）f（b）0.,B,4.下列函数中在区间1,2上一定有零点的是（）A.f(x)=3x2-4x+5B.f(x)=x3-5x-5C.f(x)=mx2-3x+6D.f(x)=ex+3x-6解析对选项D，f（1）=e-30，f（1）f（2）0.,D,5.设函数则函数f(x)-的零点是_.解析当x1时，当x1时，(舍去大于1的根).的零点为,题型一零点的判断【例1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点.(1)f（x）=x2-3x-18，x1，8；(2)f（x）=log2(x+2)-x，x1，3.第（1）问利用零点的存在性定理或直接求出零点，第（2）问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解.,思维启迪,题型分类深度剖析,解（1）方法一f（1）=12-31-18=-200，f(1)f(8)log22-1=0,f(3)=log25-3log28-3=0,f（1）f（3）0，故f(x)=log2(x+2)-x,x1，3存在零点.方法二设y=log2(x+2),y=x,在同一直角坐标系中画出它们的图象，,从图象中可以看出当1x3时，两图象有一个交点，因此f(x)=log2(x+2)-x,x1，3存在零点.函数的零点存在性问题常用的办法有三种:一是用定理，二是解方程,三是用图象.值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件.,探究提高,满足零点存在性定理的条件时零点一定在区间（a，b）内存在；当函数在区间（a，b）内存在时，其端点的函数值的积不一定小于零。,知能迁移1判断下列函数在给定区间上是否存在零点.（1）f(x)=x3+1;（2）x（0，1）.解（1）f(x)=x3+1=(x+1)(x2-x+1),令f(x)=0，即(x+1)(x2-x+1)=0,x=-1,f(x)=x3+1有零点-1.（2）方法一令f(x)=0，x=1,而1(0,1),x(0,1)不存在零点.,a3+b3=(a+b)(a-ab+b)a3-b3=(a-b)(a+ab+b),方法二令y=x,在同一平面直角坐标系中，作出它们的图象,从图中可以看出当01),f2(x)=则f(x)=0的解即为f1(x)=f2(x)的解,即为函数f1(x)与f2(x)图象交点的横坐标.在同一坐标系中，作出函数f1(x)=ax(a1)与f2(x)=的图象(如图所示）.两函数图象有且只有一个交点，即方程f(x)=0有且只有一个根.,题型三零点性质的应用【例3】(12分)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x0).(1)若g(x)=m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.（1）可结合图象也可解方程求之.（2）利用图象求解.,思维启迪,解（1）方法一等号成立的条件是x=e.故g(x)的值域是2e，+)，4分因而只需m2e，则g(x)=m就有零点.6分方法二作出的图象如图：4分可知若使g(x)=m有零点，则只需m2e.6分,方法三解方程由g（x）=m，得x2-mx+e2=0.此方程有大于零的根，4分等价于故m2e.6分(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根，即g（x）=f（x）中函数g（x）与f（x）的图象有两个不同的交点，,作出（x0）的图象.f（x）=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2.其对称轴为x=e，开口向下，最大值为m-1+e2.10分故当m-1+e22e,即m-e2+2e+1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.m的取值范围是（-e2+2e+1,+).12分,此类利用零点求参数的范围的问题，可利用方程，但有时不易甚至不可能解出，而转化为构造两函数图象求解,使得问题简单明了.这也体现了当不是求零点，而是利用零点的个数，或有零点时求参数的范围，一般采用数形结合法求解.,探究提高,知能迁移3是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间-1,3上与x轴恒有一个零点,且只有一个零点.若存在,求出范围,若不存在,说明理由.解=(3a-2)2-4(a-1)0若实数a满足条件,则只需f(-1)f(3)0即可.f(-1)f(3)=(1-3a+2+a-1)(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)0.所以a或a1.,检验:(1)当f(-1)=0时，a=1.所以f(x)=x2+x.令f(x)=0，即x2+x=0，得x=0或x=-1.方程在-1,3上有两根，不合题意，故a1.(2)当f(3)=0时，a=解之得x=或x=3.方程在-1,3上有两根,不合题意,故a综上所述,a1.,1.函数零点的判定常用的方法有：零点存在性定理；数形结合；解方程f（x）=0.2.研究方程f(x)=g(x)的解，实质就是研究G(x)=f（x）-g（x）的零点.3.二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法.其实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值.,方法与技巧,思想方法感悟提高,1.对于函数y=f(x)(xD),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数的零点,注意以下几点:(1)函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其函数值等于零.(2)函数的零点也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.(3)一般我们只讨论函数的实数零点.(4)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的根.,失误与防范,2.对函数零点存在的判断中,必须强调:(1)f(x)在a,b上连续;(2)f(a)f(b)0，f（-1）f（0）0),则y=f(x)（）A.在区间(1,e)内均有零点B.在区间(1,e)内均无零点C.在区间内有零点，在区间(1,e)内无零点D.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点,解析因为因此f(x)在内无零点.因此f(x)在(1，e)内有零点.答案D,3.若函数f（x）的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是（）A.f(x)=4x-1B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=ex-1D.解析g(x)=4x+2x-2在R上连续且设g(x)=4x+2x-2的零点为x0,则,先判断g（x）的零点所在的区间，再求出各个选项中函数的零点，看哪一个能满足与g（x）=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,又f(x)=4x-1零点为f(x)=(x-1)2零点为x=1;f(x)=ex-1零点为x=0;零点为答案A,4.方程|x2-2x|=a2+1(aR+)的解的个数是（）A.1B.2C.3D.4解析aR+，a2+11.而y=|x2-2x|的图象如图，y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点.方程有两解.,B,5.方程|x|(x-1)-k=0有三个不相等的实根，则k的取值范围是（）A.B.C.D.解析本题研究方程根的个数问题,此类问题首选的方法是图象法即构造函数利用函数图象解题,其次是直接求出所有的根.本题