（计算数学专业论文）mixed+legendrehermite+spectral+s+and+their+applications+legendrehermite混合谱方法及其应用.pdf

摘要 科学和工程中的许多问题可归结为无界区域中的数学物理定解问题。例如，海洋 工程、大气科学、矿山开采和热传导等问题。求解这类问题的最简单的方法是设定一 个人工边界然后在有限子区域中用通常的方法计算，例如差分法、有限元方法或者 有界区域上的谱方法等。然而，这种截断的办法导致相应的误差。因此需要研究直接 计算无界区域上的数学物理问题的高精度算法。 本文研究无界区域上各向异性热传导问题的谱方法与拟谱方法。 首先，我们在第二章中讨论无穷带状区域上热传导方程的弱形式及其解的存在性， 唯一性和正则性，这种弱形式适合于数值计算。 在第三章中，我们提出了l e g e n d r e - h e r m i t e 混合谱逼近方法，在一个方向 用l e g e n d r e 谱逼近，在另一个方向用h e r m i t e 谱逼近。在此基础上，我们建立了无 穷带状区域中热传导方程的谱方法，证明了该方法的收敛性。数值例子显示了该算法 的谱精度。 在第四章中，我们研究t l e g e n d r e - h e r m i t e 混合拟谱逼近方法，并将它应用到无穷 带状区域中热传导方程的数值求解中。与相应的混合谱方法相比较，混合拟谱方法在 实际计算中更简单和节省时间。 本文的主要方法和技巧同样适用于无为带状区域中的其它偏微分方程的数值求解。 关键词：混合的l e g e n d r e - h e r m i t e 谱方法和拟谱方法，各向异性热传导方程，无穷 带状区域。 a b s t r a c t m a n yp r o b l e m s i ns c i e n c ea n d e n g i n e e r i n g a r es e ti nu n b o u n d e dd o m a i n s t h e s i m p l e s t m e t h o df o rs o l v i n gt h e mn u m e r i c a l l yi st os e tc e r t a i na r t i f i c i a lb o u n d a r i e s ，i m p o s es o m e a r t i f i c i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dt h e nr e s o l v et h ec o r r e s p o n d i n ga p p r o x i m a t ep r o b l e m s w h e r e a st h e s et r e a t m e n t sm a yc a u s ea d d i t i o n a le r r o r s t h u si ts e e m sb e t t e rt os o l v es u c h p r o b l e m sd i r e c t l y t h ep u r p o s eo ft h i sw o r ki st od e v e l o pt h es p e c t r a lm e t h o da s s o c i a t e dw i t hs o m eo r t h o g o n a ls y s t e m s o f p o l y n o m i a l s f o rn o n i s o t r o p i ch e a tt r a n s f e ri na ni n f i n i t ep l a t e f i r s t l y , aw e a kf o r m u l a t i o no ft h i sp r o b l e mi sd e r i v e d t h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dr e g u l a r i t y o fi t ss o l u t i o na r ed i s c u s s e d n e x t t h em i x e dl e g e n d r e h e r m i t ep o l y n o m i a la p p r o x i m a t i o ni nn o n i s o t r o p i cs o b o l e vs p a c ei sp r o p o s e d am i x e dl e g e n d r e - h e r m i t es p e c t r a l s c h e m ei sc o n s t r u c t e d i t sc o n v e r g e n c ei s p r o v e d n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h ee f f i c i e n c y o ft h i sn e wa p p r o a c ha n dc o i n c i d ew e l lw i t ht h e o r e t i c a la n a l y s i s f u r t h e r m o r e ，w ee s t a b - l i s hs o m er e s u l t so nt h em i x e dl e g e n d r e h e r m i t ei n t e r p o l a t i o ni nc e r t a i nn o n - - i s o t r o p i c s o b o l e vs p a c e t h e ya r et h et h e o r e t i c a lf o u n d a t i o no ft h em i x e dl e g e n d r e h e r m i t ep s e u - d o s p e c t r a lm e t h o d t h ec o r r e s p o n d i n gm i x e dl e g e n d r e h e r m i t ep s e u d o s p e c t r a ls c h e m e i sc o n s t r u c t e d i t sc o n v e r g e n c ei sp r o v e d w ea l s op r e s e n ts o m en u m e r i c a lr e s u l t sw h i c h d e m o n s t r a t et h es p e c t r a la c c u r a c yi ns p a c eo fp r o p o s e dm i x e ds c h e m e s o m er e s u l t sa n dt e c h n i q u e su s e di nt h i sw o r ka r ea l s oa p p l i c a b l et oo t h e rn o n l i n e a r p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nu n b o u n d e dd o m a i n s k e y w o r d s ：m i x e dl e g e n d r e h e r m i t ep o l y n o m i a la p p r o x i m a t i o na n di n t e r p o l a t i o n ， s p e c t r a la n dp s e u d o s p e c t r a lm e t h o d s ，n o n - i s o t r o p i ch e a tt r a n s f e r ，i n f i n i t ep l a t e a c k n o w l e d g e m e n t 1w o u l dl i k et ot h a n km y s u p e r v i s o rp r o f g u ob e n - y u ，f o rh i sk i n dg u i d a n c e ia m d e e p l yi m p r e s s e db yh i sr i g o r o u ss c h o l a r s h i pa n dp r o f o u n dk n o w l e d g e t h i sd i s s e r t a t i o n w o u l dn o th a v eb ec o m p l e t e dw i t h o u th i sg u i d a n c e ia mi n d e b t e dt op r o f l ix i - w e nf o rh e re n c o u r a g e m e n t ，a n dp r o f x i a n gx i n m i n ， p r o f t i a nh o n g j i o n g ，p r o f w a n gz h o n g q i n g ，p r o f x uc h e n g l o n g ，d r w a n gl i - l i a n a n dm r z h a n gk 萌if o rt h e i rh e l p f u ld i s c u s s i o n sw i t hm ed u r i n gm ys t u d yi ns h a n g h a i n o r m a lu n i v e r s i t y ia l s ot h a n kp r o f c h e ns u i y a n gf o rh i sg u i d a n c ei nm ye a r l ys t u d y i nl a n z h o uu n i v e r s i t y f i n a l l y , ia mg r e a t f u lt om y w i f ez h a n gh u if o rh e rs u p p o r t c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 _ 1t h eh i s t o r ya n dm o t i v a t i o n i nm a n yp r o b l e m s a r i s i n gi ns c i e n c ea n de n g i n e e r i n g w e n e e dt os t u d yh e a tt r a n s f e rp r o c e s s t h e r eh a v eb e e nal o to fl i t e r a t u r e sc o n c e r n i n gi t sn u m e r i c a ls i m u l a t i o n m o s te x i s t i n gr e s u l t s a r ef o rh e a 土e q u a t i o no nb o u n d e dd o m a i n s h o w e v e ri ti sa l s oi n t e r e s t i n gt oc o n s i d e rn u m e r i c a l s i m u l a t i o no fh e a tt r a n s f e ri na ni n f i n i t ep l a t e t h es i m p l e s tw a yi st os e tc e r t a i na r t i f i c i a l b o u n d a r i e s ，i m p o s es o m ea r t i f i c i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dt h e ns o l v et h ec o r r e s p o n d i n ga p - p r o x i m a t ep r o b l e m sn u m e r i c a l l y b u tt h i st r e a t m e n tc a u s e sa d d i t i o n a le r r o r s t h u si t s e e m s b e t t e rt os o l v es u c hp r o b l e m sd i r e c t l y a sw ek n o w ，s p e c t r a lm e t h o dd e v e l o p e dr a p i d l yi nt h ep a s tt w od e c a d e s i t sm a i nm e r i ti s t h eh i g ha c c u r a c y u s u a l l y ，w eu s et h ef o u r i e ra p p r o x i m a t i o nf o rp e r i o d i cp r o b l e m s ，a n dt h e l e g e n d r ea n dc h e b y s h e va p p r o x i m a t i o n sf o rr e c t a n g u l a rd o m a i n s ，s e e 【2 ，3 ，5 ，9 ，1 0 s o m e a u t h o r sa l s os t u d i e dh e r m i t ea n dl a g u e r r ea p p r o x i m a t i o n sf o ru n b o u n d e dd o m a i n s ，s e e 【4 ，6 ， 7 ，8 ，1 1 ，1 2 ，1 3 ，1 7 ，2 6 ，2 1 r e c e n t l y ，t h em i x e dl e g e n d r e - l a g u e r r ea p p r o x i m a t i o nw a sa p p l i e d t o i n c o m p r e s s i b l ef l u i df l o wi n a ni n f i n i t e s t r i pe n d e db yaf i x e dn o n s l i pw a l l ，s e e 1 6 ，2 3 1 h o w e v e rs of a r ，t h e r ei sn ow o r kc o n c e r n i n gt h em i x e dl e g e n d r e - h e r m i t ea p p r o x i m a t i o na n di t s a p p l i c a t i o n s i nt h i sw o r k ，w ec o n s i d e rt h en o n - i s o t r o p i ch e a tt r a n s f e ri na ni n f i n i t ep l a t e l e ti=x i 1 ，r = y1 一o o y o 。) a n dn = i r w i t ht h eb o u n d a r yr = ( z ，y ) l = 1 d e n o t eb y ( z ，g ，t ) t h et e m p e r a t u r e t h ep o s i t i v ec o n s t a n t spa n d “a r et h ec o n d u c t i v i t i e s i nt h ed i r e c t i o n sza n dy ，r e s p e c t i v e l y t h ep a r a m e t e r sna n dba r es o m ec o n v e c t i v ec o n s t a n t s m o r e o v e r ，f ( 。，y ，t ) a n dw 0 ( x ，y ) d e s c r i b et h eh e a ts o u r c ea n dt h ei n i t i a ls t a t e ，r e s p e c t i v e l y f o rs i m p l i c i t y , l e t 如= 辔，e t c t h e nt h en o n i s o t r o p i ch e a tt r a n s f e ri na l li n f i n i t ep l a t ei s g o v e r n e db y 黜z,y)eflr,，oton 0t 嚣t ( 1 ) ( z ，g )r ， 曼， 、 ( ，”) 而 t h ea i mo ft h i sw o r ki st od e v e l o pt h em i x e d l e g e n d r e - h e r m i t es p e c t r a la n dp s e u d o s p e c t r a l a p p r o x i m a t i o n sw i t ht h e i ra p p l i c a t i o n st on u m e r i c a ls o l u t i o no fp r o b l e m ( 1 1 ) 1 搬 一一 哪 帅阶 t h e r ea r es e v e r a lh e r m i t es p e c t r a lm e t h o d sc o r r e s p o n d i n gt od i f f e r e n tp r a c t i c a lp r o b l e m s i ft h ee x a c ts o l u t i o n sg r o wf a s ta tt h ei n f i n i t y ，t h e nw eu s u a l l yt a k et h eh e r m i t ep o l y n o m i a l s 以( z ) a st h eb a s ef u n c t i o n si na c t u a lc o m p u t a t i o n ，w h i c ha r em u t u a l l yo r t h o g o n a lw i t ht h e w - e l g h tf u n c t i o ne 一”b u tf o rs o m ep r o b l e m s ，s u c ha sn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s ，t h es o l u t i o n s d e c a yt oz e r oa tt h ei n f i n i t y ，a n dp o s s e s sc e r t a i nc o n s e r v a t i o n sw h i c h p l a yi m p o r t a n tr o l ei nt h e o r e t i c a la n a l y s i sa n da c t u a lc a l c u l a t i o n i nt h i sc a s e ，i ti sb e t t e rt ot a k et h eh e r m i t ef u n c t i o n s e - 等j k ( z ) a st h eb a s ef u n c t i o n sw h i c h f o r mt h el 2 ( 一。，) - o r t h o g o n a ls y s t e m a c c o r d i n g l y ， t h en u m e r i c a ls o l u t i o n sa l s ok e e ps o m ec o n s e r v a t i o n s f u r t h e r m o r e ，f o rh e a tt r a n s f e ra n do t h e r r e l a t e dp r o b l e m s ，t h es o l u t i o n sd e c a ye x p o n e n t i a l l ya tt h ei n f i n i t y i nt h e s ee a s e s ，w ep r e f e rt h e g e n e r a l i z e dh e r m i t ef u n c t i o n se - z 。日l ( z ) a st h eb a s ef u n c t i o n s ，w h i c ha r em u t u a l l yo r t h o g o n a l w i t ht h ew e i g h tf u n c t i o ne ”，s e e 【1 3 s i n c et h ev a r i a b l e v a r i e sf r o m 一t o ，w eh a v et ou s e c e r t a i nw e i g h ti nn u m e r i c a la l g o r i t h m h o w e v e r ，i tw i l ld e s t r o yt h ep r o p e r t yo fo r i g i n a lp r o b l e m t h u sw ef i r s td e r i v ear e a s o n a b l ew e a kf o r m u l a t i o no f ( 1 1 ) ，w h i c hi st h em o s ta p p r o p r i a t ef o r s u c hn u m e r i c a la l g o r i t h m t h e nw ec o n s t r u c tam i x e dl e g e n d r e - h e r m i t es p e c t r a ls c h e m eb a s e d o nt h i sw e a kf o r m u l a t i o na n dp r o v ei t sc o n v e r g e n c e o nt h eo t h e rh a n d ，i na c t u a lc o m p u t a t i o n ，p s e u d o s p e c t r a im e t h o d sa r em o r ep r e f e r a b l e ，s i n c e w e o n l yn e e dt oe v a l u a t et h eu n k n o w n f u n c t i o n sa tt h ei n t e r p o l a t i o nn o d e s i ti sa l s om u c he a s i e r t od e a lw i t hn o n l i n e a rp r o b l e m sb yu s i n gp s e u d o s p e c t r a lm e t h o d s t h em a t h e m a t i c a lf o u n d a - t i o n so fm i x e dl e g e n d r e h e r m i t ep s e u d o s p e c t r a lm e t h o d sa r et h er e l a t e dm i x e di n t e r p o l a t i o n s r e c e n t l y ，m a n yr e s u l t so nt h ej a c o b ii n t e r p o l a t i o n sw e r ei m p r o v e di n 2 4 t h u si ts u f f i c e st o c o n s i d e rt h eh e r m i t ei n t e r p o l a t i o np r e c i s e l y l i k et h eh e r m i t ea p p r o x i m a t i o n s ，t h e r ea r et h r e e k i n d so fh e r m i t ei n t e r p o l a t i o n s t h e yh a v et h es a m ei n t e r p o l a t i o nn o d e s ，b u td i f f e r e n tw e i g h t s o fn u m e r i c a lq u a d r a t u r e s ，c o r r e s p o n d i n gt ot h ew e i g h t se 一”，la n d e ”，r e s p e c t i v e l y t h ef i r s t t w ok i n d so fh e r m i t e i n t e r p o l a t i o n sw e r ei n v e s t i g a t e di nf 1 3 ，1 6 b u ts of a r ，t h e r ei sn ow o r k c o n c e r n i n gt h et h i r di n t e r p o l a t i o nw h i c h i sn e e d e db yt h em i x e d l e g e n d r e h e r m i t ep s e u d o s p e c t r a l m e t h o df o rs o m ep r o b l e m s ，f o ri n s t a n c e ，n o n - i s o t r o p i ct r a n s f e ri na ni n f i n i t ep l a t e t h e r e f o r e ， w ea l s od i s s c u s st h em i x e d l e g e n d r e h e r m i t ei n t e r p o l a t i o nw i t hi t sa p p l i c a t i o n st on o n i s t r o p i c h e a tt r a n s f e ri na ni n f i n i t ep l a t ei nt h i sw o r k 1 20 u t l i n eo ft h ew o r k t h i sw o r ki s o r g a n i z e da s f o l l o w s i nc h a p t e r2 ，w ed e r i v eaw e a kf o r m u l a t i o no f ( 1 1 ) a n dp r o v et h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dr e g u l a r i t yo fi t ss o l u t i o n ，i nc h a p t e r 3 ，w ee s t a b l i s h s o m er e s u l t so ut h em i x e d l e g e n d r e - h e r m i t ea p p r o x i m a t i o n ，w h i c hp l a yi m p o r t a n tr o l e si nt h e 2 n u m e r i c a la n a l y s i so fs p e c t r a lm e t h o d sf o rv a r i o u sd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n si n a ni n f i n i t e s t r i p t h e nw ec o n s t r u c tt h em i x e d l e g e n d r e - h e r m i t es p e c t r a ls c h e m ea n dp r o v ei t sc o n v e r g e n c e w e p r e s e n ts o m en u m e r i c a lr e s u l t si n d i c a t i n gt h eh i g ha c c u r a c yo fp r o p o s e da l g o r i t h ma to n et i m e i nc h a p t e r4 ，w ee s t a b l i s hs o m eb a s i cr e s u l t so nt h em i x e dl e g e n d r e - h e r m i t ei n t e r p o l a t i o n ， c o n s t r u c tam i x e d l e g e n d r e - h e r m i t ep s e u d o s p e c t r a ls c h e m ef o rh e a tt r a n s f e ri n8 ni n f i n i t ep l a t e a n dp r o v ei t sc o n v e r g e n c e t h e nw e p r e s e n tt h ei m p l e m e n t a t i o no ft h i sn e wa p p r o a c ha n ds o m e n u m e r i c a lr e s u l t s t h ef i n a lc h a p t e ri sf o rs o m ec o n c l u d i n gr e m a r k s 3 c h a p t e r2 w e a kf o r m u l a t i o na n di t ss o l u t i o n i nt h i sc h a p t e r ，w ed e r i v eaw e a kf o r m u l a t i o no f ( 1 1 ) a n dp r o v et h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s a n dr e g u l a r i t yo fi t ss o l u t i o n ， 2 1s o m en o t a t i o n sa n df u n c t i o ns p a c e s i nt h i ss e c t i o n ，w ed e r i v eaw e a kf o r m u l a t i o no f ( 1 1 ) ，w h i c hi ss u i t a b l ef o rn u m e r i c a lc o l n - p u t a t i o n t h ef i r s tp r o b l e mi sh o wt oc h o o s eaw e i g h t e ds o b o l e vs p a c ew h i c ht h es o l u t i o no f ( 1 1 ) b e l o n g st o t od ot h i s ，w ei n t r o d u c es o m en o t a t i o n s l e t ( ) = e 口矿，口0 ，a n d 圪( n ) = ui “i sm e a s u r a b l e o nna n di l u l l 。 0 ，w ed e f i n et h es p a c e 王匕( q ) a n di t sn o r m “u b ys p a c ei n t e r p o l a t i o na si n 【1 】f u r t h e r m o r e ，l e t 懿u ( n ) b et h ec l o s u r ei n 月：( n ) o f t h es e t c o n s i s t i n go fa l li n f i n i t e l y d i f f e r e n t i a b l ef u n c t i o n sw i t hc o m p a c ts u p p o r ti nq f o rr 0 ，t h el a s tt e r mo ft h ea b o v ef o r m u l am i g h tb el e s st h a n - l i 吼w ( t ) l l ：，a n ds ot h e b i l i n e a rf o r m ( 吼( ) ，岛( ( t ) u ) ) l o s e st h en o n - n e g a t i v i t y t h i sf a c tb r i n g sd i f f i c u l t i e si nt h e a n a l y s i so fe x i s t e n c eo fs o l u t i o na n dt h ee r r o re s t i m a t eo fn u m e r i c a l s o l u t i o n i no r d e rt of i n das u i t a b l ew e a kf o r mo f ( 1 1 ) ，w ef o l l o wt h ei d e ao f 【8 ，1 1 】t om a k et h e s i m i l a r i t yt r a n s f o r m a t i o n z = _ 产兰亍景， s = l n 0 + 1 ) ( 2 2 ) 2 p 0 + 1 ) 7 、7 a c c o r d i n g l y ， v ( x ，。，s ) = w 扛，y ，t ) ，u o ( z ，z ) = w o ( x ，) ，( 2 ，2 ，s ) 一( t + 1 ) f ( x ，y ，t ) ad i r e c tc a l c u l a t i o ng i v e st h a t 岛( z ，可，t ) = e - 8 ( 岛u ( 2 9 1 z ，8 ) 一互1 石巩u ( 茁，z ，s ) ) ( z ，g ，t ) = 1 2 办e - s 2 以u ( z ，。，s ) ， a l w ( z ，t ) = 五1e 一5 磋u ( 茹，z ，8 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) f o rs i m p l i c i t y ，i nt h e f o r t h c o m i n gd i s c u s s i o n s ，w eu s et h e n o t a t i o n sa sr = z l e o z e o a n d n = i r ，w i t ht h eb o u n d a r yf = ( z ，z ) il z i = 1 ) a l s o ，s e ts = l n ( t + 1 ) b y ( 2 3 ) ( 2 5 ) ，t h eo r i g i n a le q u a t i o ni n ( 1 1 ) i sn o wc h a n g e dt o 蟊矿( z ，z ，s ) + a e s 如u ( 2 7 1 z ，8 ) + 杀矿归晚u ( 。，z ，s ) 一；z 晚c ，( x sz ，8 ) 、p 5 一p e 。醒，( 。，2 ，s ) - - 。1 a ；u c x z , 8 ) = m ，。，8 ) ，( 。，z ) n ，o s s ( 2 6 ) w e8 e ef r o mt h ea b o v et h a tt h em a i nt r o u b l ec o m e sf r o mt h et e r m 一 z o z u ( x ，。，s ) ，s i n c e2 v a r i e sf r o m o 。t oo o h o w e v e r ，w em a yt a k en = 1t or e m o v et h i sd e f i c i e n c y t os h o wt h i s ，w e l e t “( z ，z ) e 嘲。( q ) a n du ( = ) = = e 。2 ，m u l t i p l y ( 2 6 ) b yu ( z ，z ) p ( z ) ，a n di n t e g r a t et h er e s u l t i n g e q u a t i o nb yp a r t s s i n c e 一2 ( o z u ( 8 ) ，z u ) 。一( 鲤矿0 ) ，t ) 。= ( o z u ( s ) ，吼u ) 。 ( 优矿( s ) ，t k + a e s ( o x u ( s ) ，“k + 麦羞8 ( 以u ( s ) ，“k + e 8 ( 以u ( s ) ，巩u k o v p + i ( 巩u ( s ) ，以u l = ( ，( s ) ，u ) u ， v t 硪，u ( n ) ，o 8 s ( 2 7 ) d i m e n s i o n a ls u b s p a c eo fh o u ( q ) ，w h i c hi sac o n s i s t e n ta p p r o x i m a t i o nt ot h es p a c e 础u ( n ) i n f ( 仇( s ) ，u l + a e 8 ( 如( s ) ，让) u + i 而b e ( s ) ，t l + u e 8 ( 岛l ，( s ) ，如u k + ( 包，( s ) ，岔“) 。= ( ，( 8 ) ，u ) 。，0 s s ， ( 2 8 ) i ( 0 ) 一v n 0 b yt a k i n gu = 啊i n ( 2 8 ) a n di n t e g r a t i n gt h er e s u l tb yp a r t s ，w ed e d u c et h a t 驯哳( s ) 忆+ 历be ( 晚( s ) ，( s ) h + 2 v e 8 1 1 0 。u n ( s ) 幢+ ；慨( s ) 惦 i 。、，伍| i 晚u ( 2 9 ) o , i i u n ( s ) 惦+ 2 u e s i l o 。u n ( s ) 屺+ 知晚( s ) 眩si 4 b 2 e s i i u ( s ) 惦+ 1 6 i i - 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