泊松分布.ppt

第8章泊松过程,1、泊松分布的定义2、泊松分布的性质3、非齐次泊松过程4、复合泊松分布,泊松过程及维纳过程是两个典型的随机过程,它们在随机过程的理论和应用中都有重要的地位,它们都属于所谓的独立增量过程.,一、独立增量过程(independentincrementprocess),X(t)-X(s),0st为随机过程在(s,t的增量.如果对,n个增量X(t1)-X(t0),X(t2)-X(t1),X(tn)-X(tn-1)相互,给定二阶矩过程X(t),t0我们称随机变量,任意选定的正整数n和任意选定的0t0t1t2tn,独立,则称X(t),t0为独立增量过程.,直观地说,它具有“在互不重叠的区间上,状态,的增量是相互独立的”这一特征.,的分布所确定.,于时间差t-s(0st),而不依赖于t和s本身(事实上,令h=-s即知).当增量具有平稳性时,称相应的独立,增量过程是齐次的或时齐的.,X(s+h)与X(t)-X(s)具有相同的分布,则称增量具有,特别,若对任意的实数h和0s+ht+h,X(t+h)-,对于独立增量过程,可以证明:在X(0)=0的条件下,它的有限维分布函数可以由增量X(t)X(s)(0st),平稳性.这时,增量X(t)-X(s)的分布函数实际上只依赖,在X(0)=0和方差函数为已知的条件下,独立增量过程协方差函数可用方差函数表示为:,1、泊松过程举例（Poissonprocess）,现实世界许多偶然现象可用泊松分布来描述,大量自然界中的物理过程可以用泊松过程来刻画.,泊松过程是随机建模的重要基石,也是学习随机过程,理论的重要直观背景.著名的例子包括盖格计数器上,的粒子流,二次大战时伦敦空袭的弹着点,电话总机所,接到的呼唤次数,交通流中的事故数,某地区地震发生,的次数,细胞中染色体的交换等等.这类变化过程可粗,略地假定为有相同的变化类型.我们所关心的是随机,事件的数目,而每一变化可用时间或空间上的一个点,来表示.这类过程有如下两个特性:一是时间和空间,上的均匀性,二是未来的变化与过去的变化没有关系.,我们将基于这些性质来建立泊松过程的模型.,1.计数过程:设,为一随机过程,如果N(t)是取非负整数值的随机变量,且满足st时,N(s)N(t),则称,为计数过程(countingprocess).,若用N(t)表示电话交换台在时间0,t中接到,电话呼叫的累计次数,则N(t),t0就是一计数过程.,对电话呼叫次数进行累计的计数过程,这也就是计数,计数对象不仅仅是来到的电话呼叫,也可以是到,某商店的顾客数,到某机场降落的飞机数,某放射性,物质在放射性蜕变中发射的粒子数,一次足球赛,的进球数,某医院出生的婴儿数等等,总之,对某种,过程名称的由来.对0st,N(t)-N(s)就表示在(s,t中,发生的电话呼叫次数.,定义1称随机过程N(t),t0为计数过程,若N(t)表示到时刻t为止已发生的“事件A”的总数,且N(t)满足下列条件:(1)N(t)0(2)N(t)取正整数;(3)若st,则N(s)N(t);(4)当s0,称为过程N(t)的强度.(亦即在充分小,的时间间隔中事件出现一次的概率与时间间隔的长,度成正比),(4)对于充分小的,在泊松过程中,相应的质点流即质点出现的随机时刻称为强度为的泊松流.,定义2如果取非负整数值的计数过程N(t),t0满足：1.N(0)0；2.具有独立增量；3.对任意0st=PX(t)=0=e-t,即,所以T1是服从参数为的指数分布.利用泊松过程的独立,平稳增量性质,有PT2t|T1=s=P在(s,s+t内没有事件发生|T1=s=P在(s,s+t内没有事件发生=PX(t+s)-X(s)=0=PX(t)-X(0)=0=e-t所以T2也是服从参数为的指数分布.,对于任意n0和t,s1,s2,sn-10,有PTnt|T1=s1,Tn-1=sn-1=PX(t+s1+sn-1)-X(s1+s2+sn-1)=0=PX(t)-X(0)=0=e-t所以对任一Tn(n0),其分布是参数为的指数分布.,定理3设N(t),t0是参数为的泊松过程，设N(t),t0是参数为的泊松过程，Wn,n=1,2,为等待时间序列，则Wn(n,)，即概率密度为：,下面用Wn表示第n个顾客的到达时间，则Wn=X1+X2+Xn,n1称Wn为直到第n个顾客出现的等待时间。,证明:因事件Wnt等价于事件N(t)n,在0,t)内事件至少出现n次,所以Wn的分布函数为,于是Wn的概率密度,当ta。由定理2知X2服从参数为,的指数分布，故,等待时间,4到达时间的条件分布,假设在时间0,t内事件A已经发生一次，我们需要确定这一事件到达时间W1的分布。由于泊松过程是一个平稳独立增量过程，因此我们认为W1落在0,t区域的小时间段是服从均匀分布的。事实上,对st有PW1s|N(t)=1,即分布函数为,分布密度函数为,一名服务员,且每人接受服务的时间是独立的并服从均值为20,分钟的指数分布,则到中午12:00为止平均有多少人已经离开,例4:设从早上8:00开始有无穷多的人排队等候服务,设只有,解:由所设条件可知,离去的人数N(t)是强度=3的泊松过程(这里以小时为单位)。设8:00为零时刻，则,其均值为,即到12：00为止，离去的人平均是12名。,已有9个人接受服务的概率是多少?,而有9个人接受过服务的概率是,3非齐次泊松过程,定义4如果计数过程N(t),t0满足下列条件：1.N(0)0；2.N(t),t0是独立增量过程；3.PN(t+t)-N(t)=1(t)t+0(t)；4.PN(t+t)-N(t)20(t)则称N(t),t0为参数(或平均率、强度)为(t)的非齐次泊松过程。特别，当(t)=时，即为齐次泊松过程。,注1：定义中增量仅具有相互独立性，不具有增量平稳性质，所以称为非平稳，或非齐次。此处的强度与时间t有关，意味着这个计数过程一定与时间起点有关系，或者说在等长的时间间隔里，由于时间的起点不同，计数过程的概率特性也有所不同，因此这种计数过程不再具有增量平稳性。,注2：在定义中令，且增加计数过程的增量平稳性，则可以退化为标准泊松过程平稳泊松过程。,定理5若过程N(t),t0是非齐次泊松过程，则在时间间距t0,t0+t)内事件A出现k次的概率为：,式中,m(t)称为非平稳泊松过程的强度，N(t)表示0,t内到达的数量，则m(t)表示0,t内平均到达数量。取t=0得到：,例某镇有一小商店，每日8:00开始营业。从8:00到11:00平均顾客到达率线性增加，在8:00顾客平均到达5人/小时；11:00到达率达最高峰20人/小时。从11:00到13:00平均顾客到达率为20人/小时。从13:00到17:00平均顾客到达率线性下降，17:00顾客到达率为12人/小时。假设在不相交的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，试问在8:30到9:30时间内无顾客到达商店的概率为多少？在这段时间机内到达商店的顾客的均值为多少？,解:设8:00为t=0，11:00为t=3，13:00为t=5，17:00为t=9。于是，顾客到达率是周期为9的函数：,(t)(t-9),根据题意，在0,t)内到达的顾客数N(t),t0是一个非齐次泊松过程。在8:30到9:30无顾客到达商店的概率为,在8:30到9:30到达商店的顾客均值概率为,3非平稳泊松过程的均值和方差设N(t)是强度为m(t)的非平稳泊松过程，由于泊松分布的均值和方差相等，满足：例设N(t)是一个非齐次泊松过程，其强度为求1增量的概率分布2与,解：由定理3.1知：增量的概率分布是其中所以,2因为N(t)服从