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时间序列的变点估计的相合性和收敛速度 摘要 本文主要研究在独立情形下时间序列的变点估计及其相合性和收敛速度。 假设时间序列五，置，以。，以 ，其中f = k n 为未知的变点。 首先考虑正态分布中均值与方差变点问题，给出了变点位置的c u s u m 型估 计为，并且证明了此估计是真实变点位置的强相合估计，随后给出了收敛速 度。对应为：1 均值变化对应变点估计( 方差不变) 。2 方差变化对应变点估计( 均 值不变且均值已知) 。3 方差变化对应变点估计( 均值不变且均值未知) 。对应 变点估计收敛速度均为：0 q i 2 ，则矿i 一f 卜o ，口矗。进一步地，若只有 二阶矩，通过采用截尾方法，我们证明了强相合性，即一f 斗o 口矗。同时也 考虑了负相依( n a ) 情形下均值变点估计，证明了其估计的强相合性，其他的相 依情形均可由此情形类似推出。 关键词：均值与方差变点c u s u m 型估计独立相依矩强相合性收敛速度 c o n s i s t e n c ya n dc o n v e r g e n c er a t eo f c h a n g e p o i n te s t i m a t i o n f o rt i m es e r i e s a b s t r a c t 1 1 1 i sp a p e rm a i n l ys t u d i e s c o n s i s t e n c ya n dc o n v e r g e n c er a t e o fc h a n g e - p o i n t e s t i m a t i o nf o rt i m es e r i e s l e tt i m es e r i e sb e x ，x c ，xc 甜，x 。，- ，i n w h i c h f = ni st h eu n k n o w nc h a n g ep o i n t f i r s t , i ni n d e p e n d e n ts i t u a t i o n ，w ec o n s i d e rt h ec h a n g ep o i n ti nm e a na n dv a r i a n c ef o r n o r m a ld i s t r i b u t i o n ，a n dp r e s e n tc u s u me s t i m a t o ro ft h ec h a n g cp o i n t sl o c a t i o n ，t h a ti s w ep r o v e dt h a tt h i se s t i m a t o ri ss t r o n gc o n s i s t e n c yw i t ht h er e a ll o c a t i o no ft h e c h a n g ep o i n t , a n dt h e nw eg a v et h ec o n v e r g e n c em t e n a m e l y 1 c h a n g e - p o i n te s t i m a t i o n w h e nm e a nc h a n g e s ( v a r i a n c ed o e s n tc h a n g e ) ；2 c h a n g e p o 缸e s t i m a t i o nw h e nv a r i a n c e c h a n g e s ( m e a nd o e s n tc h a n g ea n dk n o w n ) ；3 c h a n g e p o i l i te s t i m a t i o nw h e nv a r i a n c ec h a n g e s ( m e a n d o e s n t c h a n g e a n d u i l i o i o w t l l t h ec o r r e s p o n d i n gc o n v e r g e n c e r a t eo f c h a n g e - p o i n te s t i m a t i o n i s ： 0 q o ) ，即e i 疋一g ( 一) r _ o ，所定义的相合性为，阶矩 相合。 相合性表示：只要取样本量足够大，就可以使估计误差在一定意义下随 心所欲地小。相合性是最基本的、研究得最深入的大样本性质。一是因为其 重要性；二是因为，在所有大样本性质的问题中，相合性的要求最低，教易 得出相对深入而彻底的结果。 相合性研究的主要内容，是判定从某种途径得到的估计量是否为相合， 在何种条件下为相合。也可以研究在一给定模型下，是否存在以及在何种条 件下存在相合估计的问题。 1 2 国内外文献综述 1 2 1 国外研究现状 变点统计分析问题是一门较新的课题。最早是在质量工程管理中得到应 用。1 9 5 4 年p a g e 在国际著名的统计杂志b i o m e t r i k a 上发表了第一篇关于变 点统计分析的文章，他研究自动生产线上产品质量检测问题。当产品质量超 过产品质量控制警戒线时，希望能及时预报，以免生产出更多的次品。这个 质量发生质变的时刻，就是我们要研究的变点。从那以后，变点统计问题吸 引了众多统计学家的注意，发表了一系列理论结果和应用成果。 近二十年来，变点问题研究在理论和应用等方面都有了快速的发展。在 理论上，已有了一系列较为成熟的结果，c s o r g oa n dh o r v d t h ( 1 9 9 7 ) 的专著 “l i m i tt h e o r e m si nc h a n g e p o i n ta n a l y s i s ”( 变点统计分析的极限理 论) 在交点统计分析的极限理论方面进行了较为深入地研究，是对这一领 域近二十年来理论研究的总结。但是，上述所涉及的变点都是突变点( a b r u p t c h a n g e p o i n t ) 。实际上，相对于突变点，我们还可以讨论另外两种变点， 即渐近的交点( g r a d u a lc h a n g e p o i n t ) 和流行的交点( e p i d e m i c c h a n g e p o i n t ) 。近几年来，已经有文献进行讨论，h u s k o v d ( 1 9 9 9 ) 对于位置 参数模型，关于渐进式变点问题，提出了变点的最小二乘法的估计，并且讨 论了这种变点估计的渐进性质。g u p t aa n dr a m a n a y a k e ( 2 0 0 1 ) 讨论了指数分 布参数具有线性趋势渐进式变点问题，利用广义似然比检验的思想，给出了 渐进式变点的检测方法，并且对于检验统计量，讨论了其统计性质。这两种 变点问题不仅在理论上进一步丰富了变点统计分析的内容，在实际应用中， 它们也有较强的应用背景。 变点理论是统计推断的中心问题之一，由于变点问题常常涉及到非独立 随机变量的分布的问题，这是非常难以处理的，所以这个问题的研究在理论 上难度很大，更富有挑战性。一些处理变点问题的方法也不断地发展、完善 起来，如：极大似然法，( 加权) 最小二乘法，非参数方法和b a y e s 方法等 等。变点问题的研究内容也呈现多种状况，关于分布参数的交点，常常考虑 总体均值和方差的交化情况，以及交点的统计推断，考虑位置一尺度参数模 型中参数变点的统计推断。关于分不变点，常常利用非参数方法或其他方法， 给出变点的检测和估计( 点估计和区间估计) ，估计量的渐进分布和收敛速 度。就观察值之间的关系来说，研究相互独立的样本或相依样本的变点问题。 总之，交点理论研究涉及了统计理论的众多内容和研究方法。结合了统 计控制理论，估计理论，假设检验理论和b a y e s 等理论，是统计推断中的一 个非常有理论意义的研究分支。在应用方面，变点问题不但在早期的应用领 域一一工业自动控制中有大量的实际应用，现在己发展到在许多领域都有应 用，如经济、金融、医学、农业、海洋学和气象学等方面都有大量的应用背 景。 1 2 2 国内研究现状 我国统计学者在这一领域的研究开始于2 0 世纪8 0 年代。1 9 8 8 年，陈 希儒和缪伯其教授分别用“局部法”，研究了变点问题。这种方法一般有如 下两个优点： ( 1 ) 关于假设检验问题导出的检验统计量，有比较简单的渐进分布。 ( 2 ) 对估计检验的功效和变点的区间估计，提供了方便的做法。 基于时间序列交点的应用还刚起步，仅在较少的领域内获得应用。缪伯 其( 1 9 9 3 ) 做出了关于只有一个变点模型的非参数统计推断：苏召学( 1 9 9 6 ) 从 时间序列具有若干个变点情况下的似然函数出发，并给出了时间序列变点个 数的统计推断方法。杨喜寿、杨洪昌( 1 9 9 6 ) 研究时间序列的变点问题，所给 出的统计方法可用来推断一个时间序列是否存在着变点，存在几个变点以及 变点在什么位置。孙效先( 1 9 9 9 ) 利用讨论了具有共同均值向量的多元正态分 布协方差阵至多有一个交点的检验问题，并且得到了检验统计量的渐进分布。 缪伯其和谭智平( 2 0 0 1 ) 基于k o l m o 田l o v 型统计量和k i e f e r 过程，讨论了二阶 随机控制变点的统计推断问题。得到了检验统计量的渐进分布，并证明了变 点的估计是强相合的。对于位置一尺度参数模型参数变点问题，王黎明、王静 龙( 2 0 0 1 ) 和( 2 0 0 2 ) 利用u 一统计量分别给出了变点的检验方法，并且讨论了它 们的大样本性质。关于测量误差模型参数变点问题，王黎明( 2 0 0 2 ) 分别给出 了其参数和非参数检验，对于小样本和大样本情况都给予了讨论。 在我国，变点的应用刚刚起步，仅在较少的领域内获得应用。张丕远、 王铮等( 1 9 9 4 ) 利用变点分析方法，对于我国近2 0 0 0 年来的气候突变进行研 究，得到了与其他研究方法完全吻合的结果。项静恬、解思梅( 1 9 9 5 ) 基于变 点分析方法，通过数据计算和分析，获得灾异事件发生规律与诱导因素之间 的关系。谭智平、缪伯其( 2 0 0 0 ) 给出了关于分布变点问题的非参数统计推断， 并利用变点分析方法讨论了香港股市股票的隐含波动率对股市近期波动的 预测作用；孙军、姜诗意等( 2 0 0 1 ) 对经济序列变点进行了b a y e s i a n 分析， 并用于实证分析，得到结果同其他方法得到的结果基本一致；宿建成、陈洁 ( 2 0 0 3 ) 应用变点模型，结合s i c 信息准则，研究沪深股市波动性突变行为， 并找出股指收益序列中的方差突变点；熊立华、周芬等( 2 0 0 3 ) 利用b a y e sj a n 方法，结合m c m c 抽样理论对水文时间序列进行了交点分析。 随着变点问题应用的愈加广泛，越来越多的学者将投入到这一领域来 理论方面，因为变点分析的复杂性，交点分析在大样本理论方面的内容将更 加完善。由于金融统计分析的迫切需要，关于随机控制变点问题的研究，金 融突变的预警研究将引起人们的注意。对于自回归条件异方差模型a r c h 和 广义自回归条件异方差模型g a r c h 的参数研究将成为一个较为重要的工作。 总之，未来的交点统计分析从理论到应用都将获得更丰富的成果。 1 3 本文研究的主要内容 假设时间序列墨，五，五，五一，其中f ：_ j 玎为未知的变点。若 r 阶矩存在，即e i x l 7 占) 二 厅- 1 其中f 为真实变点位置，为变点位置的估计。 6 本文不仅讨论了均值变点，而且还讨论了方差变点问题。即： 1 均值变化对应变点估计( 方差不变) 2 方差变化对应变点估计( 均值不变且均值已知) 。 3 方差变化对应变点估计( 均值不变且均值未知) 。 对应变点估计收敛速度均为：o q 1 2 ，则h 4i 一f + 卜o ，a s 。 进一步若只有二阶矩，通过采用截尾方法，我们证明了强相合性，即 一f + o 口j 。 同时也考虑了不同相依情形下均值变点估计，其结果均可由独立情形类 似推出。 第二章变点统计分析 2 1 变点统计分析理论的介绍 2 i 1 变点统计分析方法的定义与原理 变点就是“模型中的某个或某些量起突然变化之点”。这种突然变 化往往反映事物的某种质的变化。变点统计分析的任务就是对这种质变 阶段给予客观的划分标准。变点在自然界、社会以及各种领域中很常见 且具有重要性。虽然从统计学发展的角度来看，交点统计分析这个课题 还不能说已经发展得很成熟了( 它迄今只有四十余年的历史) ，但是针 对一些常见的问题，已经发展了若干行之有效的方法。 在变点问题中，有一系列观察值( 样本) ，在多数情况下，这些观 察值按照出现时间的先后顺序排列，在某个未知的时刻，样本的分布或 其数字特征起了突然变化，这个时刻就是变点。也有可能，样本的分布 依赖于某种空间参数，而变点则是空间中的位置或界面，在空间为一维 时这与时间变量无异，但在高维情形下问题复杂得多。 以一个简单而重要的例子出发，然后指出其多方面的推广。 设在一条生产线上，定时地抽出若干个( 每次个数相同) 产品进行 检查，以监测其质量是否发生显著的波动，把时刻i 抽出的产品的质量 指标平均值记为五。设在玎个时刻作观察，则有样本置，以。此处为 确定计，设想五，z 是某一段预定时间( 一天、一周或一月等) 的全 部观测结果，要据以判定在计段时间内产品质量是否有显著的变化，在 何时起的变化，变化幅度如何，姑且假定产品质量至多只起一次变化， 以m ( 未知) 记变化的时刻，且变化前后观测值z 都服从等方差盯2 的 正态分布，只分布的期望值有变化，于是，“是否有变化”的问题，就 归结为在“五， ，k 独立且服从方差2 的正态分布”的前提下的下述假 设检验问题： 原假设h ：e a t = e l - 一e l ( 无变化) 对立假设足：对某个m ，l 此处l 啊 c 具有渐 近水平口。 。 一般o r 2 未知，在原假设成立时可用下面的估计来代替它： 希2 = s i ( n 一2 l o g l o g n l o g l o g l o g n 一2 4 1 ( 2 - 7 ) 2 2 1 3 检测均值变点的最小二乘法 建立目标函数如下： r = r ( ，嘶，m q ，6 l ，+ 。) = ( 而- 4 ) 2 口+ l ，- i ，。- ，”“ ( 2 8 ) 此处约定= l ，。= 行+ l ，要求出r 的最小值，先固定，则式( z 一8 ) 在l = 巧时达到最小值，其中 弓= ( h + + 一t ) ( m s m j - ) ( 2 9 ) 即第，段内x 观察值的算术平均， 于，m q 的量：州。，一i r ( m ，) = 窆( 置一巧) 2 以次代替式( 2 8 ) 中的屯，得到一个依赖 ( 2 - 1 0 ) 下一步就要在l s m 2 行的范围内使( 2 1 0 ) 式最小化，j d 3 q = l ， 这个最重要的情况留待下面详述。在g = l 时的方法的基础上，用一种逐步调整的方 法，可以对一般的q 处理( 2 1 0 ) 的极小化问题，且程序结构简单，方法如下： 第一步，取定一组初始值铂，( 当然要适合l s 开) 。 第二步，考察( 2 - 1 0 ) 式的前两项和，暂记为w ： 形= 萋( 置一墨) 2 + 萋( 墨一劢2 式中i ，e 是根据初始值帆，按( 2 9 ) 式算出。固定而在1 嘲 埘：的 范围内调整m ，值，记为确。 第三步，以m 代替，l l 而考察( 2 - 1 0 ) 式2 、3 项之和，仍记为： 这里e ，e 由( 2 9 ) 计算，但i n i 换成m ，固定m l ，鸭，而在 m 2 鸭内 调整，使w 达到最小。这仍是q = 1 的情况，使w 达到最小的记为。 以下固定和1 1 1 4 调整鸺，得到硝。这样继续下去，得到一组新值硝，m q 。 把它们作为初始值回到第一步，继续下去得到一组新值嘲，m q 。，在回到第一步， 这个过程一直继续下去，直到无可调整( 新值与上次值完全相同) 时为止，最后所 得的值，记为碗，绣，可作为变点m l 一，m q 的估计。( 2 一l o ) 式的t 的最小值， 即丁( 廊l ，) ，记为。 这种方法亦即在l m t 埘： 的范围内采用逐步调整的方法，目的使 式( 2 1 0 ) 达到最小，具体方法可参考静恬和史久恩的非线性系统中数据处理的 统计方法一书。 1 4 ) 巧 一 薯 ( 艺慨 + rk 一 一( 窆娜 = 矿 2 2 2 局部比较法 在此简要介绍下局部比较法的思想。 在变点附近的“局部”中，某种量有了显著变化，它可以通过适当的估计去显 示出来。在非变点附近的局部中，量保持稳定。这个差别就提供了发现变点的一个 一般性方法：考察某种有针对性的统计量在各个“局部”内的变化，取其最显著之 处作为变点位置的估计。当然，即使某个点非变点，但随机误差可能偶然以一种方 式出现，使人误以为该处显著变化，相反的情况也存在。这就需要通过检验来判定， 那种程度的变化可视为显著的或随机性的，这涉及复杂的分布问题。 局部比较法可以用于种种模型。这里，我们简单介绍下在一个简单模型均 值交点模型下的应用。 设样本五，以独立且 五= q + q ，l f 茎m - l ；= a 2 + q ，m s f 行 ( 2 1 1 ) 随机误差q ，乞，巳独立，有期望值0 且设有公共方差盯2 ，0 盯2 c ( 2 1 3 ) 时，否定“无变点”的原假设日，不然就接受日。 d 的取法具有相当大的重要性。直观上不难想见：d 取得小些时，对i i - m i 稍大一些的，r 即有均值0 ，故“局部效应”突出了，从这方面看d 小些好。 可是d 太小了会使随机误差的作用增大，如d 很小，只要哪怕一、两个置有 较大误差，就可呈现出显著变化的外表，当d 取得太大时优缺点反过来。模 拟上得出的经验是；此情形与跳跃度呸一q 有关，当l 吒一口i j 与误差均方差比 值i 啦一qi 仃较大( 例如，大于1 5 ) ，d 取大或取小一些，影响不很大，而 上述比值小时，d 应该适当取得大一些。 2 2 3c u s u m 方法 关于均值变点的检测大致有两种方法，一是前面提到的局部比较法， 以及c u s u m 方法( c u m u l a t i v es u m 累计和) 。c u s u m 方法是目前国外常用的 一种变点估计方法，如对于均值交点估计( 方差不变) ，构造一个c u s u m 统 计量u ，讨论变点估计的相合性和收敛速度。c u s u m 方法主要参考著作 c s 6 r g oa n dh o r v d t h ( 1 9 9 7 ) 。目前在二阶矩的条件下。对独立的样本下， 人们大多研究了变点估计的弱相合性，并获得了一些弱收敛速度，这在研 究变点估计的濒进分布无疑是有很大作用的。然而，在实际情况中，我们 还需要考虑变点估计的强相合性，进一步提高估计的结果。 目前局部比较法在国内已经有一些学者进行研究，也产生了一些相关 的论文。但c u s u m 估计国内几乎还没有学者展开研究，本文运用c u s u m 估 计运用于估计正态分布的均值变点和方差交点，得到一些较好的结论。参 考了k o k o s z k aa n dl e i p u s ( 1 9 9 8 ) 的结果，在独立情形下把弱相合结果改进 为强相合，并研究了相依序列中的均值变点，主要考虑负相关( n a ) 序列。 这方面内容我们在后面的章节将较为详细地阐述。 2 3 寻找方差变点的方法 2 3 1 文献综述 许多时间序列，特别是金融时间序列，其方差并不遵从现有多数时间序 列模型所作的均为常数的假设，即具有时变特征。可假设金融时间序列表现 为这样一种行为：从某些时段开始，其方差一直保持不变( 即为一常数) ； 接着，在某一时刻方差突然发生变化，达到另一数值，然后其方差又在这一 水平保持不变；直到又在某一新的时刻，再次发生突变，接着，又保持不 交这里，这些方差发生突变的时刻便称为序列方差的结构性突交点。 1 6 从统计学文献上看，最早对时间序列结构性突变点的研究开始于h s u 。 m i l l e ra n dw i c h e r n ( 1 9 7 4 ) 对方差突变点的研究。 随后，b o o t ha n ds m i t h ( 1 9 8 2 ) 用贝叶斯比率( b a y e sr a t i o ) 来判断时间 序列是否在某一未知时刻存在某一单个方差突变点h s u ( 1 9 8 2 ) 也在其以前 研究的基础上进一步对时间序列单个方差突变点的检测进行的研究 b r o w n ，d u b i na n de v a n s ( 1 9 7 5 ) 首次提出可用累计平方和( c u m u l a t i r e s u m so fs q u a r e s ，c u s u m s q ) 算法来对时间序列中存在的多个结构性突变点 进行测量。i n c l a n ( 1 9 9 3 ) 运用贝叶斯方法研究了股价收益率的多变点问题， 但是廖远苏和刘泓认为她的方法存在两个缺陷。第一个缺陷是计算量大，当 时间序列较长或者变点数量较多时，实用性较差；第二个缺陷是先验分布的 超参数的确定不稳健，突出地表现在变点个数的先验分布上。 i n c l a na n dt i a o ( 1 9 9 4 ) 用改进的累加平方和的方法来研究方差多变点 问题，并给出了i t 检验。他们改进后的算法称为迭代累计平方和算法 ( i t e r a t i r ec u m u l a t i v es u m so fs q u a r e s ，i c s s ) 。然而，也有研究者指出， 将i c s s 算法运用在金融时间序列分析( 特别是条件异方差序列) 时，存在 一些缺陷，即t e s s 算法会引起序列峰度的宽度扭曲( s i z ed i s t o r t i o n ) ，这 种缺陷降低了i c s s 算法的有效性( s a n s o ，h r a g oa n dc a r r i o n ，2 0 0 2 ) 该 方法计算量小，但探测多变点时必须将整个时间序列样本分割，难以保证得 到的变点是在全局意义上具有显著性( 廖远苏，刘泓，2 0 0 3 ) 。b o sa n d h o o n t r a k a l ( 2 0 0 2 ) 用i c s s ：m v 算法改进了i c s s 算法。廖远苏，刘泓借鉴了 i n c l a n ( 1 9 9 3 ) 和i n c l a na n dt i a o ( 1 9 9 4 ) 两篇论文，从两个方面对 i n c l a o ( 1 9 9 3 ) 的贝叶斯方法作了改进。一方面，避免用穷举法求极大似然值， 利用启发式算法提高变点分析的效率；另一方面，综合利用多种统计方法克 服超参数选择的随意性和不稳健。他们利用新算法研究了公共卫生突发事件 s a r s 在北京地区发展的突变情况。 2 3 2 方差多变点研究方法简介 假设时间序列在刚开始的一段时期，其方差保持常数状态，直到某一时 刻突然发生变化，接着，在新的水平保持不变，然后，又在菜一时刻再次发 生突变，如此下去。这样，时间系列就可能存在多个方差突变点。 假设有如下时间序列：随机正态变量序列五，x 2 ，x 。，其对应的参数( 均值 和方差) 分别是( 一，砰) ，( 版，西) ，( 以，一) 。假设“= 鸬= 熊= i t ，且声已知 则关于方差交点的推断可以表示为检验原假设： 矾：砰= 一- 一矿= 盯2 ( 未知) ( 2 1 4 ) 对立假设： 县：砰= = 0 - 。2 ，盯2 “= = 盯b 2 盯：“= = z ( 2 1 5 ) 式( 2 - 1 5 ) 中g 为变点的位置个数，并且，l s 南 屯 玎，气，如， 为需要估计的变点的位置。 为了检测多维随机过程交点的数量，v o s t r i k o v a lj u ( z 9 8 1 ) 在文章 d e t e c t i n gd i s o r d e ri nm u l t i d i m e n s i o n a lr a n d o mp r o c e s s e s 中提出了二 分分段法，运用二分分段法能够同时检测出变点的数量和它们的位置，并能 够节约大量运算时间。这种二分分段法可以表示为如下步骤： 首先在第1 个阶段检测单个变点，如果没有变点，则接受零假设，如果 存在一个变点，则这一点就将这个原始随机变量分成两个序列，对于每个子 序列，按第l 步分别寻找出一个变点，持续这个过程直到每一个子序列中都 找不到变点为止。 利用此方法，仅需检测和估计某一单个变点的位置，然后对每个子序列 持续这一过程，并结合信息标准方法可寻找多个变点。为了寻找多个变点， 仅需检验由式( 2 - 1 4 ) 定义的原假设玩以及相对应的对立假设，即 珥：砰一2 嚷+ l - 一- - v 。2 ( 2 1 6 ) 式中；l 捍，k o 是每个阶段中某一未知变点的位置。 l s 第三章时间序列的交点估计 假设时间序列五，五，五+ i ，以，- ，其中f ：f ，珂为未知的变点。若 r 阶矩存在，即e i x l ，考虑以下情形： 首先考虑在独立情形下，正态分布中均值与方差变点问题，给出了变点 位置的c u s u m 型估计，证明此估计是真实变点位置的强相合估计，与收敛 速度。 具体地，文c h a n g e p o i n ti nt h em e a no fd e p e n d e n to b s e r v a t i o n s ( p i o t rk 。 g e m i g i j u sl 1 9 9 8 ) q 给出了均值转变点的c u s u m 型估计，证明了其弱相合性 并得到了收敛速度。在独立均值变点问题中，变点估计的最快收敛速度阶为 胛一。即如下： ， 尸( i 一f p f ) s - n - 1 其中f 为真实变点位置，为变点位置的估计。 在这里，我们不仅讨论了均值变点，而且还讨论了方差变点问题。即： 1 均值变化对应变点估计( 方差不变) 。 2 ，方差变化对应变点估计( 均值不变且均值已知) 。 3 方差变化对应变点估计( 均值不变且均值未知) 。 对应变点估计收敛速度均为：0 q 占) 导 一 占一 其中f 为真实变点位置，f 为变点位置的估计。文 5 中用w i l c o x o n 秩和统计量检测变点提供了一种非参数方法检测变点。文 6 考虑的是稳定 分布的刻度参数，特征指数和均值变点估计的相合性以及收敛速度。本文目 的主要是提高收敛速度，主要结果如下： 寸f ，a s ，进一步若o q l ，2 ，则酽i 一 i t + 卜o ，口矗。 3 1 2 变点的估计 假设独立正态分布序列五，砟，砟+ l ，瓦，f ：女+ 行为未知的交点， 其中，记贾= 击害一，其中。 磊 等 五 2 ，则 扭l e ( m 。a 。x s k i y 易e i 鼠r ，其中b 只与p 有关 证明参考文【2 0 】。 定理3 1 蟊一，口j ，进一步若o g 占) = p ( 1 丘一k i 万i “一鸬i ，话l h 一心i f ) ，( 五+ 五 打艿i “一肫i 占) s 尸( 五 砸i 麒一心i e 2 ) + p ( t 2 ，万l “一肫i 占，2 ) 由t e h e b y e h e v 不等式 p ( 薯 厅万l “一坞i 占，2 ) e t m 譬i z 生c x , - r _ x , ) l l ( 珊2 ) p ( 气 万l 一一肫i 占7 2 ) 矛玎盖= 瓦万 珊2 ) 由引理3 2 的m z 不等式 c e i ( 五一瓯) r n 8 6 一鸬l e 2 ) 。o 。由b c 引理可得矗一f ，4 j n = l ( 3 5 ) 黝取脱( 1 _ 2 9 ) ，则薹篙 a 。，类锕得砉p ( n q l t 耶小o 。， 由b c 引理可得it f + i o ，a 8 定理3 2 乞j ，口矗，进一步若o g k + 西 西 砰 砰 慧一 其余证明类似于定理1 的证明。 定理3 3 蟊斗f ，口j ，进一步若o 矿 疗充分大时， i e i i e i 1 k k i j l 砰一正l 2 。 仿照( 3 3 ) 式有 i i i i 矿 ( 3 7 ) ( 3 - 9 ) ( 3 1 0 ) 去渤f 喜( 蜀一牙) 2 一e ( 置一牙) 2 i + i 1 燃i 墨n 。( 墨一j ) 2 一e ( 五一牙) 2 i 皇+ 1 2 ( 3 - 1 1 ) 若证出斗o , a s ，则l 寸o ，a s 类似可得。现证- * 0 ，n 。 麓 抓巾如 ) ) 。习”习栉 ( ( d 0 + + o o 砰 砖 ，j、l = ，pn仁月 霹 砖 研 筮栉 s 丹i - - m 。a 。x i 面圭( x , 一) 2 一e ( 五一) 2 i + 刀l - - m 。a 。x i 面圭( x , 一牙) 2 一( 五一) 2 i + 丢n 觚i 喜e ( 墨一) 2 一e ( 五一j ) 2 卢 。+ 五：+ ( 3 - 1 2 ) 由定理3 1 的证明可知： i 斗o ，0 3 。 铋扣刊渤嘻( 2 置一j 刊i 护一i ( 2 黝i 善( 置一) m i j 一川) 1 ( 3 - 1 3 ) 由定理3 1 的证明可知去戮l 妻( 蜀一) 卜。，口j ，所以：= 。( i x 一川) ，口j 由强大数定律i 牙一卜o ，口j ， 故 2 一o ，口卫 由( 3 7 ) 式可知e ( 置一) 2 一e ( 墨一j ) 2 = d 白， 仃 1 因此，= d - ) ，于是厶- 9 0 。 综合上述可得幺一f 寸o ，a 8 由定理3 1 的证明可知，珂4 i o ，口 ， 由m a r c i n k i e w i c z 强大数定律可知 ”9 2 一o ，伽 又由矿七一o ，故矿i 乞一f 卜o ，觚。证毕。 3 2 二阶矩存在下的均值变点 在二阶矩存在下，对于独立序列，我们考虑了均值交点的c u s u m 型 估计，证明了估计是强相合的，改进了变点估计的弱相合结果。进一步， 对于负相关( n a ) 序列，也证明了强相合性。 3 2 i 相关定义和引理 定义3 1 称随机变量x l ，以0 2 ) 为n a ，如果对于 1 ，) 的任何两 个非空子集4 和4 ，都有 c o v “( 五，i e 4 ) ，五( 一，j e 4 ) ) o 其中z 和五是任何使上述协方差存在的对每个变元均非降( 均非 升) 的函数。称随机变量序列k ，n l 是n a 的，如果对任何自然数 n 2 ，五，以都是n a 的。 引理3 3 ( r o s e n t h a l i n e q u a li t y ) 若五是独享的且期望李0 ，r 2 ，。则 e i 五r c ，( ( 皤2 ) “2 + e i 五r ) ，l l，越s u l 证明可参考r o s e n t h a l ( 1 9 7 0 ) 引理3 4 若置是零均值的n a 序列，r 2 ，厉= s u p e i x ，r o ，使对任何 自然叛乞和n ，有 e l m 。a 。x 彰峰c ，( 孵+ ( 鹕) “2 证明可参考苏淳e ( x 2 ) a 。 考虑均值不变的序列( 置) “假设( 巧) 。是对应的有均值变化 的序列，定义为： 巧_ 占瓣 其中0 7 1 f 7 2 l ( r = f n ) 是变点的位置。( r ) m 。，变点f + 的 c u s u m 估计为， = m i n ( a r g m a x iu i | ) ) = j ；c 栉( 3 - 1 5 ) 其中 以= 4 学峨喜r 一忑l ，扣 其中，满足o ， 1 2 从以上可以看出最快的速度为n 一，对应为， 0 定理3 4 若序列墨，独立，且e l r l 2 c c o ，则一f ，a d 证明：。? l u i _ l 乩i 蚓u e u , i + 1 以一e u , + l + i e u , | _ i e u i 2 m a x l u k e u , i + 1 e 以i i e u , i ( 3 1 8 ) 把j | 换成，并且注意到( 3 - 1 5 ) 式，于是 i e 以| - i e 喀2 蹬l 以一e 以i s 2 蹬i 善嘶一e r ) l + 2 m a ) 【1 x 。嘶一e 驯 = 2 燃l 善置i + 2 麟l 磊x , i = a 五十瓦 ( 3 1 9 ) 处理上述不等式的左边 由 e o k = 七 矿 ：0 f + ，培影) s 粥 吉嘶) + 以三，研) ( 3 - 2 2 ) 互= 置圳五阵栉) l 1 ：( z ： 吉嘶) u t - i ( i 五p 一) u ( 嬲i 善乙p 专嘶) - 一 l l 1 咽 吉嘶) e d i j 。( i x , i 咖p ( 燃i 壹s f f i lz ，| 蜊) 由 i i - 一 1 垒+ 厶 功 ( 3 - 2 3 ) v i ， n p ( i 五p ) s 栉e i ( k 1 x , i ( _ j + 1 ) ) 月- ih _ lk = u l 日( | 司五i + 1 ) ) 厅 k f f i ln f f i l - e c k 2 e ，( t 司蜀i ( _ i + 1 ) ) c e i z , 1 2 l ( k i x ，l + 1 ) ) - i c e i 置1 2 o o 善”哗( i 五p ) 厶- p ( 黝i 喜( 乙一e z , + e z , ) i 丢卿) 叫燃l 喜( 互一e z , ) l 守1 卿) + p ( n m a x l e z , i ；嘶) v i , e x , = 0 ，e 配2 2( 3 2 6 ) ( 一z 6 ) 2 7 由m a r c i n k i e w i c e z y g m u n d 不等式， ls c e ( 互一必) 由引理3 3 以及c - r 不等式 ，t 2 ( 钇2 ) “2 + e f 互| ， 厶c j = l 7 l 一，t 2 ” c ( n 。”+ m 学e i z , r ) 因为t 2 ， i t - t ” 0 0 ( 3 - 2 7 ) ( 3 - 2 8 ) ( 3 - 2 9 ) v i ， ”“e i 互i = 疗”e i 墨i ，z ( i x , l 一) t m l 胆i = e i 五i fl ( k 五i 后+ 1 ) 肛lk l l = e l 五fj ( _ j q 五l t + 1 ) 厅“ k - im = k 露2 。e i 五i ，( _ i 嗣置l _ 】 + 1 ) i i i e l 五1 2 ，( 后q 墨i t + 1 ) k = l c e i z1 2 占) o o 由b - c 引理，# 一f ，口j 伽寸) ( 3 - 3 1 ) ( 3 3 2 ) ( 3 - 3 3 ) 定理3 5 若序列i ，是n a 的，且e i z l 2 c 吉蜊卯( u 。( i x ! i 咖p ( 燃i i - i 珈 嘶) o ，- i 由( 3 - 2 3 ) 一( 3 - 2 5 ) ， 尸( u ( i 五j ) ) 2 l ； ) 由( 3 - 2 4 ) ，( 3 - 2 9 ) ，( 3 - 3 0 ) ， 因此 类似可证 因此 善p ( 黝嘻咖 嘶舯 ( s 讲， 砉朋磅蜊 o oh l 二 p ( t 2 三月卿) o 。 n # 1 z ( 3 - 3 8 ) 川 衢 p ( i - r 占) 。o 枷l 则由b - c 引理， 斗f ，口j 一o o ) 。 3 4 不同相依情形下参数变点估计的比较 ( 3 4 1 ) 以上考虑了独立条件下，正态分布中均值与方差变点问题；以及二阶 矩条件下均值变点的c u s u m 型估计，并证明了其强相合性，其中也考虑了 n a 条件下的变点估计下面简单考虑在其它的一些不同相依情形下参数变 点估计的比较。这方面国外有几篇文章做了研究。具体地， 文【3 】中，证明了相依情形下均值变点的c u s u m 估计的相合性及收敛速 度。假设样本五，以具有形式： 噩：j 篓矿1 ，胚 ( 3 - 4 2 ) 以2 1 墨2 ) i fk 七玎 q 川 其中 墨1 ) z 1 ) ， 墨2 x ( z c 2 ) ) 且1 ”，矿为未知的变点。 令k + = f * n ，0 ， 1 。 k 的估计j i 定义为： 拈m i n k ：l u ki _ - m 。a 。x l u ji(3-43) 其中 以= 掣，l - y 哇害_ 一击耋。_ ) 其中，满足0 ， 1 条件a ：假设由( 3 - 4 2 ) 定义的观测值 五，l 七s 一) 满足 定理。 m 哳 c ( m - k + 1 ) 4 其中l k