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m a s t e r d i s s e rt a t i o n 摘要 h a m i lt o n 系统在物理、力学、工程、生物、基础和应用数学等领域有广泛的运 用。在许多方面， h a m i l t o n 形式普遍被认为是一个非耗散的物理过程，对其进行数 值处理就显得尤为重要。 h a m i l t o n 系统的一个很重要的性质是p o i n c a r e 和l i u v i l l e 的相 面积守恒。当用数值方法解决这类方程时，我们希望数值方法能保持这种性质，同 时称相应的数值方法为辛方法。 自 我国科学家冯康和美国科学家r u t h 创立辛几何算法以来，由此建立的有限 维h a m i l t o n 系统保结构算法的理论日 臻完善，特别是在保结构算法即辛几何算法方 面。对于无穷维h a m i l t o n 系统保结构算法，仍有许多问题等待人们去研究。 近来， b ri d g e s 和 m a r s d e n 等分别从不同 角 度提出了多 辛 h a m i l t o n 方程的 概念以 及相应的多辛格式，针对一些物理或数学模型讨论了它们的多辛守恒格式。本文 主要针对正则的长波 ( r l w) 方程和k a d o m t s e v - p e t i a s h v i l i ( k p )方程给出了多辛格 式， 并 且 证明了 r u n g e - k u t t a 方 法和块 r u n g e - k u t t a 方 法的 多辛守 恒性。 本文的另一部分是讨论时滞微分方程的数值稳定性。已有大量的工作讨论 了一阶时滞微分方程的渐进稳定性，针对r u n g e - k u t t a 方法和线性多步法等，分 析了它们的数值稳定性。本文针对一种二阶时滞微分方程模型，分析并证明了 用 r u n g e - k u t t a 方法进行数值求解时的 g p - 稳定和g p l - 稳定的充要条件。 第1 页 ma s t e r d i s s e r t a ti o n ab s t r a c t h a m i l t o n i a n s y s t e m s a r i s e w i d e l y i n t h e fi e l d o f p h y s i c s , m e c h a n i c s , e n g i n e e r i n g , p u r e a n d a p p l i e d m a t h e m a t i c s , e t c . i t i s g e n e r a l ly a c c e p t e d th a t a l l re a l p h y s i c a l p r o - c e s s e s w i t h n e g l i g i b l e d i s s ip a t i o n c o u l d b e e x p r e s s e d , i n s o m e w a y , b y h a m il t o n i a n f o r m a l i s m , s o t h a t th e r e s e a r c h w o r k f o r c o r r e s p o n d i n g n u m e r i c a l m e t h o d s i s o f i m p o r - t a n t i n t e r e s t . t h e i m p o r t a n t p r o p e r ty f o r h a m i lt o n i a n s y s t e m s i s t h e p o i n c a r e a n d l i - u v i l l e s c o n s e r v a t i o n l a w o f p h a s e a r e a s . i n n u m e r i c a l l y s o lv i n g t h e s e e q u a ti o n s , w e h o p e t h a t t h e n u m e r i c a l s c h e m e s c a n h o l d t h i s p r o p e rt y , a n d t h e c o r r e s p o n d in g n u m e r i - c a l m e t h o d s a r e c a l le d a s s y n 叩l e c t i c m e t h o d s . s in c e t h e f o u n d i n g o f t h e s y m p l e c t i c a lg o r it h m b y f a m o u s c h i n e s e s c ie n t i s t f e n g k a n g a n d a m e r i c a n s c i e n ti s t r . d . r u t h , t h e re s u l t i n g t h e o r y o f s t r u c t u r e - p re s e r v i n g a l g o r i t h m f o r fi n it e d im e n s io n a l h a m i l t o n i a n s y s t e m h a s b e e n w e l l e s t a b li s h e d . h o w e v e r , m u c h re m a in s t o b e d o n e f o r i n fi n it e d i m e n s i o n a l h a m il t o n ia n s y s t e m ( i d h s ) i s o f g r e a t e r im p o r t a n c e d u e t o i t s w i d e r a p p l i c a t i o n r e c e n t ly , b r id g e s a n d m a r s d e n h a v e p ro p o s e d t h e c o n c e p t s o f t h e m u lti s y m p l e c ti c h a m i lt o n s y s t e m a n d t h e c o r r e s p o n d i n g m u l ti s y n 叩l e c ti c s c h e m e s f o r s o m e p h y s i c a l o r m a t h - e m a t i c a l m o d e l i n g s fr o m t h e d i ff e re n t v i e w p o i n t s 玩th i s t h e s i s , w e m a k e s o m e re s e a r c h o n t h e m u l ti s y m p l e c ti c s c h e m e a n d p r o v e t h e c o n s e r v a ti o n l a w i n i m p l i c i t s y m p l e c ti c r u n g e - k u t t a m e t h o d s a n d p a r ti ti o n r u n g e - k u t t a m e t h o d s f o r r e g u l a r i z e d l o n g - wa v e ( r l w) e q u a - t i o n a n d k a d o m t s e v - p e t i a s h v i l i ( k p ) e q u a ti o n a n o t h e r p a rt i n t h i s d i s s e r ta ti o n i s t o s t u d y t h e n u m e r i c a l s t a b i l i t y o f d e la y d i ff e re n - t i a l e q u a t io n s . a c t u a l l y , m a n y r e s e a r c h e r s d i s c u s s e d t h e a p p r o x im a t e s t a b i li ty b e h a v i o r o f r u n g e - k u t t a m e t h o d s o r l in e a r mu lt i - s t e p m e t h o d s f o r fi r s t o r d e r d e la y d iff e re n t i a l e q u a - t i o n , w e w il l s t u d y t h e s ta b i l i t y b e h a v i o r o f n u m e r ic a l s o l u t i o n o f d d e s i n t h i s t h e s i s , a n d g iv e t h e s u ffi c ie n t a n d n e c e s s a ry c o n d it io n o f g p - s t a b i l i ty , g p l - s t a b i l it y o f r u n g e - k u t t a m e t h o d s f o r s e c o n d o r d e r d e l a y d i ff e r e n t i a l e q u a ti o n . 第i i 页 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即:学校有权保 留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅;学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名导师签名; 孟与 王 、 .y- 日期: - n .夕沙1 m a s t e r d i s s e r t a t i o n c h a p t e r 1 i n t r o d u c t i o n 1 . 1 i n t r o d u c t i o n o f r u n g e - k u tt a me t h o d f o r o r d i n a ry d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s m a n y p r o b l e m s i n c h e m i s t ry , e n g i n e e r i n g , b i o l o g y a n d e c o n o m i c s c a n b e m o d e l l e d b y i n i t i a l v a l u e p ro b l e m s ( i v p s ) o f o r d i n a ry d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n s ( o d e s ) a s f o l l o w s : =f ( t , y ( t ) ) ,亡 七亡 。 ， = y o , =a y ( t ) ) , t t o , ( l 1 ) ( 1 .2 ) 二 加 ， w h e r e t h e f u n c t i o n y ( t ) d e n o t e s s o m e q u a n t i ty w h i c h e v o l v e s i n ti m e . i n g e n e r a l , ( 1 .2 ) i s c a l le d a n a u t o n o mo u s s y s t e m. f o r t h i s s y s t e m ( 1 . 1 ) , w e h a v e a n i r k - m e t h o d : (l3)(l4) k . ,; = ， ( : 。 + 。 、 ， 、 + h 艺 a ij k n ,j ) , j =1 、 + : 一 、 + h 艺b ; k, i = 1 , 2 ， 一， 。 二 二1 一一5)6) 、土1.l cji了、 11 w h e re h0 i s t h e s te p s i z e , t=t o +n h , a ij a n d b ; 。 a l l r e a l c o e f fi c ie n t s , 艺b i = i =1 e a ij ,y n v t . ) j =1 f o r s y s t e m ( 1 . 2 ) , t h e c o r r e s p o n d i n g r u n g e - k u t t a m e t h o d m a y b e w r i tt e n a s : k y n +1 一 、 十 t 艺a ij f ( k j ) , j =1 一 、 + a t 艺b i f ( k i ) , 2 二1 ， 二 ， s , 加 = y. 亏 : 二1 h e r e y . , a p p r o x i m a t e s t h e e x a c t s o l u t i o n y ( t ) a t t=n a t , w h e re a t 0 i s t h e fi x e d s t e p - s i z e ,a n d th e 风 扛 : 二 c a ll e d t h e s t a g e - v a lu e s . n o ti c e th a t th e s ta g e - v a lu e s 凡 扛 ， a r e c o m p u t e d fr o m ( 1 .5 ) a n d t h e n u s e d t o o b t a i n y+ 1 f r o m ( 1 .6 ) d i fi n i t i o n 1 . 1 . 1扩 a , j =o d 1 5i 三j ss , t h e r u n g e - k u t ta m e t h o d ( i . 5 ) ( 1 . 6 ) d e f i n e s a m a p o f t h e f o r m ， 几 十 ， 二g ( y n ) , n o =， r p , 第1 页 m a s t e r d i s s e r t a t i o n c h a p t e r 1 i n t r o d u c t i o n 1 . 1 i n t r o d u c t i o n o f r u n g e - k u tt a me t h o d f o r o r d i n a ry d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s m a n y p r o b l e m s i n c h e m i s t ry , e n g i n e e r i n g , b i o l o g y a n d e c o n o m i c s c a n b e m o d e l l e d b y i n i t i a l v a l u e p ro b l e m s ( i v p s ) o f o r d i n a ry d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n s ( o d e s ) a s f o l l o w s : =f ( t , y ( t ) ) ,亡 七亡 。 ， = y o , =a y ( t ) ) , t t o , ( l 1 ) ( 1 .2 ) 二 加 ， w h e r e t h e f u n c t i o n y ( t ) d e n o t e s s o m e q u a n t i ty w h i c h e v o l v e s i n ti m e . i n g e n e r a l , ( 1 .2 ) i s c a l le d a n a u t o n o mo u s s y s t e m. f o r t h i s s y s t e m ( 1 . 1 ) , w e h a v e a n i r k - m e t h o d : (l3)(l4) k . ,; = ， ( : 。 + 。 、 ， 、 + h 艺 a ij k n ,j ) , j =1 、 + : 一 、 + h 艺b ; k, i = 1 , 2 ， 一， 。 二 二1 一一5)6) 、土1.l cji了、 11 w h e re h0 i s t h e s te p s i z e , t=t o +n h , a ij a n d b ; 。 a l l r e a l c o e f fi c ie n t s , 艺b i = i =1 e a ij ,y n v t . ) j =1 f o r s y s t e m ( 1 . 2 ) , t h e c o r r e s p o n d i n g r u n g e - k u t t a m e t h o d m a y b e w r i tt e n a s : k y n +1 一 、 十 t 艺a ij f ( k j ) , j =1 一 、 + a t 艺b i f ( k i ) , 2 二1 ， 二 ， s , 加 = y. 亏 : 二1 h e r e y . , a p p r o x i m a t e s t h e e x a c t s o l u t i o n y ( t ) a t t=n a t , w h e re a t 0 i s t h e fi x e d s t e p - s i z e ,a n d th e 风 扛 : 二 c a ll e d t h e s t a g e - v a lu e s . n o ti c e th a t th e s ta g e - v a lu e s 凡 扛 ， a r e c o m p u t e d fr o m ( 1 .5 ) a n d t h e n u s e d t o o b t a i n y+ 1 f r o m ( 1 .6 ) d i fi n i t i o n 1 . 1 . 1扩 a , j =o d 1 5i 三j ss , t h e r u n g e - k u t ta m e t h o d ( i . 5 ) ( 1 . 6 ) d e f i n e s a m a p o f t h e f o r m ， 几 十 ， 二g ( y n ) , n o =， r p , 第1 页 ma s t e r d i s s e rt a t i o n a n d is s a i d t o b e e x p l i c i t o t h e r w i s e t h e m e t h o d d e f i n e s a m a p o f t h e f o r m h( y . + 1 , y n ) ”0 , y 0 =， e 砂 a n d i s s a i d t o b e i m p l i c i t . h : r ，x r p * r p n o w w e d e a l w i t h t h e d i ff e r e n t i a l s y s t e m w h i c h i s p a r t i t i o n e d a s ( ;) 一 ( f (ph wa m y) ( 1 .7 ) w h e r e t h e s o l u t i o n v e c t o r i s s e p a r a t e d i n t o t w o c o m p o n e n t s y , 9 ， e a c h o f w h i c h m a y i t s e l f b e a v e c t o r a n e x t e n s i o n t o m o re c o m p o n e n t s i s s t r a i g h t - f o r w a r d . f o r e x a m p le , w e c a n r e w r it e s e c o n d o r d e r d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n s ， ， =f ( y , y ) a s a p a r ti t io n e d d i ff e r e n t i a l s y s t e m ( y-) 一 ( 了(y，) lf(y,y) ( 1 .8 ) f o r n u m e r i c a l l y s o l v i n g ( 1 . 8 ) , w e c a n u s e t h e s a m e r u n g e - k u t t a m e t h o d s t o d i s c re t i z e t h e t w o c o m p o n e n t s y a n d 了 ， a c t u a l l y , t h e r e a r e m a n y o t h e r s i t u a t i o n s w h e r e t h e p r o b l e m p o s s e s s e s a n a t u r a l p a r t i t i o n i n g . i f w e d i s c re t i z e t h e t w o c o m p o n e n t s ， a n d 了勿d i ff e r e n t r u n g e - k u t t a f o r m u l a s , w e o b t a i n t h e p a r t i t i o n e d r k - m e th o d : k i = 、 十 “ 艺a ii f (k i ) , j 二1 k i = 9 n + 艺a ii f (k i ) , 1 -1 、 十 ， 一 、 十 t 艺 b i f ( k i ) y n 十 1 一 , a n d d ,j , b ; r e p re s e n t tw o d iff e r e n t r u n g e -k u t ta s c h e m e s . t h e fi r s t m e t h o d s o f t h i s t y p e 二 d u e t o ho f e r ( 1 9 7 6 ) a n d g r i e p e n t r o g ( 1 9 7 8 ) w h o a p p l i e d a n e x p l i c i t m e t h o d t o t h e n o n s t i ff p a r t a n d a n i m p l i c i t m e th o d t o t h e s t i ff p a r t o f a d i ff e re n t i a l e q u a t i o n . l a t e r r e n t r o p ( 1 9 8 5 ) m o d i fi e d t h i s i d e a 妙c o m b i n i n g e x p l i c i t r u n g e - k u t t a m e t h o d s w i t h r o s e n b ro c k - t y p e m e t h o d s . r e c e n t i n t e re s t f o r p a r t i t i o n e d m e t h o d s c a m e u p w h e n s o l v i n g h a m i l t o n i a n s y s t e m s . 第2 页 m a s t e r d i s s e rt a t i o n 1 .2 s y m p l e c t i c r u n g e - k u t t a me t h o d s s i n c e t h e f o u n d i n g o f t h e s y m p l e c t i c a l g o r i t h m b y f a m o u s c h i n e s e s c i e n t i s t f e n g k a n g 。 t h e r e s u l ti n g t h e o ry o f s t r u c t u r e - p re s e rv i n g a l g o r i t h m f o r fi n i t e d im e n s i o n a l h a m i l t o n i a n s y s t e m h a s b e e n w e l l e s t a b l i s h e d . h a m i lt o n i a n s y s t e m s a r i s e w i d e l y i n t h e fi e l d o f p h y s i c s , m e c h a n i c s , e n g i n e e r i n g , p u r e a n d a p p l i e d m a t h e m a ti c s , e t c . i t i s g e n e r a l l y a c c e p t e d t h a t a l l r e a l p h y s i c a l p r o c e s s e s w i t h n e g l i g i b l e d i s s ip a t i o n c o u l d b e e x p r e s s e d , i n s o m e w a y , b y h a m i l t o n i a n f o r m a l i s m , s o t h a t t h e r e s e a r c h w o r k f o r c o r r e s p o n d i n g n u m e r i c a l m e t h o d s i s o f i m p o r ta n t i n t e re s t . t h e i m p o r t a n t p r o p e r ty f o r h a m i l t o n i a n s y s t e m s i s t h e p o i n c a r e a n d l i u v i l l e s c o n s e rv a t i o n l a w o f p h a s e a r e a s , i .e . t h e p h a s e fl o w i s a o n e - p a r a m e t e r s y r 叩 l e c ti c t r a n s f o r m a ti o n . i n n u m e r i c a l l y s o l v i n g t h e s e e q u a ti o n s , w e h o p e t h a t t h e n u m e ri c a l s c h e m e s c a n h o l d t h i s p r o p e r t y , a n d t h e c o r r e s p o n d i n g n u m e r i c a l m e t h o d s a r e c a l l e d a s s y m p l e c ti c m e t h o d s . i n t h i s t h e s i s , w e p r e s e n t t h e r e s e a r c h w o r k a b o u t t h e c o n s e r v a ti o n l a w i n i m p l i c i t s y m p l e c ti c r u n g e - k u t t a m e t h o d s f i r s t , w e g iv e t h e d e fi n i t i o n o f h a m i l t o n i a n a s f o l l o w s : d e fi n it io n 1 .2 . 1 il i a h a m ilto n ia n is a f u n c tio n h e c 2 (r 2 1 , r ) of th e 2 n v a r ia b le s p i , q i , i = 1 , 2 , ， n. t h e a s s o c i a t e d h a m i l t o n i a n s y s t e m is g i v e n b y t h e 2 n o r d i n a r y d iff e re n t i a l e q u a t i o n s d p i s h d q i 8 h a t =可 d t =- a i i 二1 , 2 , , n( 1 . 1 3 ) a l t e rn a t i v e l y t h i s s y s t e m m a y b e w ri tt e n i n t h e f o r m 。 ， =j o h( u ) ,( 1 . 1 4 ) w h e r e u =伽 t , q 勺, j i s a s k e w - s y m m e t ri c m a t r i x j 一 ( p t = ( p i , p 2 , , p n ) , 0 一 肠 . n i n . n 、 o / ( 1 . 1 5 ) a n d q t =( q r , q 2 ， 二， q n ) f o r c o n s id e ri n g t h e l i n e a r , c o n s t a n t - c o e ffi c i e n t h a m i l t o n p r o b l e m s , u , 二l u ,u ( 0 ) =u .( 1 . 1 6 ) w e n o w s t u d y a re a -p r e s e r v i n g m a p p in g s fr o m砂in to 畔w h i c h p r e s e r v e t h e a r e a o f a g iv e n r e g i o n in r i u n d e r t h e e v o lu t io n s e m i g ro u p . w e t h e n g e n e r a li z e t h is i d e a t o c o n s i d e r s y m p le c t i c m a p p i n g s i n 矿性th e s e a r e m a p s w h ic h p re s e r v e t h e s u m s o f p r o j e c t io n s o f a re a s o n t o n p a r tic u la r c o o r d i n a t e p l a n e s d e fi n e d t h ro u g h a p a r t i c u l a r p a i r i n g o f 2 n v a r i a b l e s . w e w o r k in s p a c e s o f e v e n d im e n s i o n , d e n o t e d r , a n d s o w e m a y w r it e t h e m a p p in g ( 1 . 1 6 ) , n a m e l y u . + ， 二g ( 氏) ，u o =u , ( 1 . 1 7 ) i n t h e f o r m p 4 + 1 =a ( p . , q , . ) , 第3 页 p o =只( 1 . 1 8 ) m a s t e r d i s s e r t a t i o n q n + t =b ( p , q . ) , q 0 二q h e re p n , q n e r n a n d， le t u t = ( p t , q t ) , 叮= ( 1 . 1 9 ) ( 叮， q n ) a n d g ( u ) t = ( a ( p , q ) t , b ( p , q ) t ) d e fi n i t io n 1 .2 .2 y t h e m a p p in g ( 1 . 1 8 ) ( 1 .1 9 ) is s a i d to b e s y m p le c t ic if ( d g ( u ) ) t j ( d g ( u ) ) = j ,( 1 .2 0 ) f o r a ll u e r 2 n h o l d s, w h e re d g is a j a c o b i m a t r i x o f g , j i s a s k e w - s y m m e t r i c m a t r i x g i v e n b y ( 1 . i 习 f o r l i n e a r h a m i l t o n i a n p r o b l e m s , w e h a v e t h e f o ll o w i n g t h e o re m t h e o r e m 1 .2 .3 11 1 ( s y m p le c t i c r u n g e - k u ttaa s s u m e t h a t t h e c o n s i s t e n t r u n g e - k u t ia m e t h o d ( 1 . 5 ) ( 1 . 6 ) h a s s ta b i l i ty f u n c t i o n r ( z ) 二 1 + z b t ( 1 一 : a ) 一 。( 1 .2 1 ) w h ic h s a tisf i e s r ( z ) r ( 一 二 ) 二 1 f o r a l l c o m p le x z w i th j z i s uff ic i e n t ly s m a l l, a n d a =( a ij ) a x s , b t = ( b i , b 2 , . . . ， b , ) t , e =( 1 , 2 , - , s ) t . t h e n th e r u n g e - k u tta 二 th o d is s y m p l e c tic w h e n a p p l ie d t o a l i n e a r h a m i l t o n o r d i n a r y d iff e r e n t i a l e q u a t i o n , n a m e ly e q u a t i o n ( 1 . 1 6 ) w i t h l=j a a n d a s y m m e t - r王 c. n o w w e s t u d y r u n g e - k u t t a m e t h o d s a n d c l a s s i f y t h e m a c c o r d i n g t o w h e t h e r t h e y g iv e r i s e t o a s y m p l e c t i c m a p p 吨 w h e n a p p l i e d t o a n o n l i n e a r a u t o n o m o u s h a m i l t o n i a n s y s t e m . w e h a v e t h e o r e m 1 .2 .4 13 1 if t h e s x s m a tr i x m w it h e le m e n ts r n i j =b i a i j 十句 a j 一 饭 句 i , j=1 ， 一 ， ，( 1 .2 2 ) s a t i n 卢 e s m =0 , t h e n t h e r u n g e - k u t t a m e t h o d i s s y m p l e c t i c . t h e f o l l o w i n g t h e o r e m , d i s c o v e r e d i n d e p e n d e n t l y 勿a t l e a s t t h r e e a u t h o r s ( fl a s a g n i 1 9 8 8 , j . m. s a n z 一 s e r n a 1 9 8 8 , y b . s u r i s 1 9 8 9 ) c h a r a c t e r i z e s t h e c l a s s o f a l l s y m p l e c t i c p a r t i t i o n r u n g e - k u tt a m e t h o d s : t h e o r e m 1 .2 .5 13 1 ( s a n z - s e rn a 1 9 9 2 b , s u r is 1 9 9 0 ) . a .) if t h e s x s m a t r ix mw i t h e l e m e n ts m ilbi =b i a ij +b l a i 、 一b ; b i =b i i , j二1 . . . ， ， (1.23)(1.24) s a t i sf i e s m=0 , t h e n t h e p a r t i t i o n r u n g e - k u t t a m e t h o d i s s y m p l e c t i c . b .) if t h e h a m i l t o n i s s e p a r a b l e ( i . e . h ( p , q ) =t ( p ) +u ( q ) ) t h e n t h e c o n d i t i o n ( 1 . 1 3 ) a l o n e i m p l i e s s y m p l e c t i c i ty o f t h e m e t h o d 第4 页 ma s t e r d i s s e r t a t i o n 1 . 3 i n t rod u c t i o n o f d e l a y d i f f e re n t i a l e q u a t i o n s a c t u a l ly , i n m a n y r e a l i s t i c m o d e l s , w e s h o u l d k n o w s o m e p a s t s t a t e s o f t h e s e s y s t e m s . t h u s ( 1 . 1 ) i s c o n v e rt e d i n t o t h e f o l l o w i n g f o r m y,(t)- 、yl )= f ( t , y ( t ) , y ( t 一二 ) ) ， t t o , ( 1 .2 5 ) 0 ( t ) , 忿 三云 。 w h e r e r0 d e n o t e s t h e c o n s t a n t d e l a y , 叻 ( t ) i s a g i v e n i n i t i a l f u n c t i o n . t h i s s y s t e m ( 1 .2 5 ) i s c a l l e d a d e l a y d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n s ( d d e s ) . l o n g t i m e 叩。 ， p e o p l e a l w a y s b e l i e v e 吐 以t h e r e i s n t a n y d i ff e r e n