（概率论与数理统计专业论文）有替换截尾试验可靠性的经验bayes估计和minimax估计.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 在指数分布场合，本文讨论在有替换定时和定数截尾试验下，失效率a 在先验 分布为r 分布时的经验b a y e s 估计和m i n i m a x 估计。 关键词：指数分布；截尾试验；r 分布；经验b a y e s 估计； m i n i ma x 估计 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t h lt l l i sp 印e r ，m ee be s t i 1 a t o r 觚dt h em i i l i m a xe s t 血a t o ro fr e l i a b i l i t ) ru 1 1 d e r t y p e ia l l d 咖e i ic e n s 0 曲g1 i f et e s t sa r ed i s c u s s e d t h ep r e s 耐e dm e t l l o di ss i m p l e a n dc o n v e n i e n t k e yw o r d s ：e x p o n 锄a ld i 蛐u t i o n ；1 卯e ia 1 1 d 聊e c c i l s o 血gl i f et e s t ； 一 i 面矧b l l t j o n ：锄p i r i c a le s t i m a t i o n ：m i i 】j 加a xe 幽a t i o n 硕士学位论文 m a s t e r st h e s is 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 厶 ih jt 殳日期：h 迭年月i 。日 ， 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：问主、嶂 日期：2 肿g 年6 月】pe ； 导师签名： 二 1 日期：扣2 年6 月 | 为历7 0 lo 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。圃意途塞握窒蜃溢蜃! 旦圭生；旦二生；旦三生筮壶! 作者签名：伺主峰 日期：2 0 0 9 年6 月l o 1 日 导师抛。和确 日期：2 o 。s 年、l 月j 口日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 引言 在可靠性的统计分析中，寿命分布的类型与统计分析的办法有很紧密的关系， 不同的寿命分布使用不同的方法来进行统计分析，因此要弄清楚是什么类型的寿命 分布，是很重要的。寿命分布类型有几种，例如指数分布，对数正态分布，f 分布， 威布尔分布等。其中指数分布在可靠性的统计分析中具有很重要的地位。 本文讨论的就是寿命服从单参数指数分布的类型。 传统的寿命试验方法有定时截尾法，定数截尾法，随机截尾法等。 定时截尾法是指有一族预先定下的常数c l ( i = 1 n ) ，分别与】【i 相截，仅观察 到z i ：m i n 瓯c i ) 以及6 i = i 瓴q ) ，这里6 i 是指示函数，即龟= 1 ( 着毽sc i 溅6 i = o ( 觏艺c ；t ) 。这些c i 可以相同。 定数截尾法是指预先确定一个整数r ( 0 )( 1 ) 那么其先验分布选取其共轭分布才合适，取a 的先验分布为r 分布，即 = 志舻一 引理l ：随机抽取n 件样品，进行有替换定数截尾实验，直到r 个样品失效终 止试验。设试验中r 个样品的失效时间分别为 t l t 2 - 则( t l ，t r ) 的联合条件密度函数为 f l ( t l ，t ：2 ，。t r l 分汹) r 冉 x o ( 2 ) 其中 t 1 = n t r 证明：随机抽取n 个样品测试，由于失效后有替换，因此可以看成每个样品 的失效时间组成一个参数为a 的泊松过程，即相邻失效间隔有a 参数的指数分布。由 于n 个样品是独立的，因此这个过程的叠加是参数佩的泊松过程，故 t l ，t 2 一t l ，t r k 1 独立同分布参数为n 入的指数分布 故可得( t l ，) 的联合条件密度函数为 气( t p ，t r l 分o n ) r e 一钿吩= o n ) t 冉 1 a 的b a y e s 估计 对于未知参数蛐勺估计鬟，若取其损失函数为平方损失 l o ，砖= o 一固2 则九的b a y e s 估计为 轰= e 斛t i j i ，t r ) 即为在取得观察值t 耋，岛k 的条件下a 的条件期望，上式又为 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 九2 五地o l t l j ，t r 其中舡 a ：o 0 ( s ) 其中t 2 = 盯 证明：试验有替换，在时t 结束，记( 0 ，雹 中的失效数为k ，由于试验有替换及 泊松过程的性质知，k 是一个有参数n 舫的泊松随机过程，即 f 2 ( t l jt 2 ，l 带q m ) r e 订： 1 元的b a y e s 估计 对于未知参数a 的估计芡，若取其损失函数为平方损失 l o ，固= g 一习2 则丸的b a y e s 估计为 主= e 渊t l ，) 即为在取得观察值k ，k t r 的条件下a 的条件期望，上式又为 夏= j c l 地娥t p ，狮 其中n _ a ：o 天 o 因此瓴，) 的联合边缘密度函数为 g z 奴，t r ) = 譬。f 2 心，t r ，萄n = 盎蔫产( _ 书 1 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 剥a 的条件密度函数为 1 1 2 捌，啦= 错= 譬c 。舻卜重一) m 于是得a 的b a y e s 估计 夏= e 例，k ) = c 。a1 1 2 例，) 积 = 是等生= 等 ( 6 ) 一o 。o 。一l 一一 r tl “t 置) r ( 件b )毫+ 毛 7 2 旯的经验b a y e s 估计 由上面式子知，的取值只与样品的失效数r 和总失效时间t 2 有关系，而与 单个样品的失效时间t 耋，k 无关。因此只需要记录试验的失效数和总失效时间就 可以了。要想得到j 【的徨还要估计参数a 和b 。 经验b a y e s 方法就是利用历史上曾经处理过的数据对现有的参数进行估计的方 法。假设样品以前进行过n 次相同总试验时间为t 的有替换定时截尾试验，那么各 批样品的失效率天都服从f 分布，各批样品的失效数r 服从泊松分布，有 p ( r l 对= 一譬 【r = o 舱) ( 7 ) 则 ，r ) 的联合分布密度函数为 f z 轨o = p ( r l 枷= 一譬志扩t 一 则r 的边缘密度函数为 ： 9 2 ( r ) = 譬。f z a r ) n = 譬。一譬- 志舻一玉 一p1 f r 一r 觚d ，r r j r c b ) 靠+ 童) r + 6r r c b ) 臼伟1 ) + 囊 一o o 。 o o o o o o 。 = 黜- r ( 1 一书b 一o o 。o _ _ _ 一 t 口c b )了+ a 、t + 这是一个负二项分布，其期望e ( r ) 2 兰t ，方差d 鼢兰t ( t + a ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 由过往的数据，样本的均值 = 三牮l q ，样本的方差s2 = 警 由矩估计法可得到方程组e ( r ) = 亍，d ( r ) = s 2 解之得鑫= 虽，6 = 刍 其对应的经验b a y e s 估计f = 蒜= 南 3 兄的m i n i m a x 估计 m i n i m a x 估计就是使s u p r ( a ，谚达到极小的估计，通常在先验分布a 的b a y e s 估 计中得到。若关于先验分布a 的b a y e s 估计歌的风险函数是一个常数，则 蛀是个极，卜极大佶李t 口 有替换定时截尾试验的b a y e s 估计为五= 老 而毛的分布密度函数为 | o ，r ) = 高x h 。p 一触 估计的极大极小性依赖于损失函数的选取。这里取损失函数为平方损失，因此 霉麴风险函数为 r 篱，的= e 氍一的z _ f 4 ( 兰一4 z 出 = 互+ 。( 耋一岭2 矗x 卜l e - 奴d x 掣降+ 篆翻+ 铲 一1 2。2 “b ) j 一 现在确定上式中的a ，b ，使上式作为参数入的函数是一个常数，为此将上式展成入 的二次三项式，然后确定a ，b 的值，使入的一次项和二次项的系数为0 ，由此得到 方程 ( r + b ) a 2 + 4 r = 0 ， a 一如一4 b = o 解之得a ：2 掭，b 晏一r 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 故当a = 2 佰，b = 芋一r 时 其对应的b a y e s 估计为 = 再罴 其相应的风险函数为 r 阮砷= 莩( r 2 一r ) 是一个常数， 因此是个极，j 、极大估计口 1 7 硕士学住论文 m a s t e r st h e s i s 参考文献 【1 】戴树森关于寿命试验的某些统计分析( i ，i i ) 啊数学的认识与实践， 1 9 8 2 ：第1 _ 2 期 【2 】陈希孺数理统计引论【m 】科学出版社1 9 8 1 【3 】郑忠国高等统计学嘲北京大学出版社 1 9 9 8 硌】李贤平概率论基础蜜蛭】高等教育出版社1 9 8 7 【s 】方连娣截尾试验下指数分布可靠度的b a y e s 估计豳安庆师范学院学报 2 0 0 7 ： l 一 【6 】李建军朱宁定时截尾指数分布的b a y e s 推断翻河南师范大学学报2 0 0 6 ；第 4 期 【7 】魏玲祁建军定数截尾试验下双参数指数分布刻度参数的朗估计羽 应用数学2 0 0 1 ；1 4 弱】顾嘉麟郭建英截尾数据下威布尔分布的参数估计问题羽哈尔滨理工大学 学报2 0 0 5 ；第2 期 扫】郑祖康关于寿命试验羽应用概率统计1 9 9 9 ；8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 致谢 三年的研究生生活即将结束，回望走过的紧张忙碌岁月，自己感到庆幸、欣慰。 庆幸的是在学习生活最困难的时候得到过这么多老师同学的帮助；欣慰的是这几年 的求学时光没有浪费，在专业学习、综合素质锻炼各方面都作出了努力并有了回报。 值此毕业之际，我非常感谢曾经给予我帮助和提醒的老师和同学们! 没有你们， 我不会有今天的进步。 首先，我要由衷的感谢我的导师谢民育教授。这三年来，老师精益求精的治学 精神让我深受启发，对我们的学习和写作方面的指导等方面都是一丝不苟、精心指 导。在学术上，老