（运筹学与控制论专业论文）半线性双曲方程的快速精确能控性问题.pdf

半线性双曲方程的快速精确能控性问题 运筹学与控制论专业 研究生李冬莉指导教师张旭 在这篇文章中，我们考虑的是一类具有内部局部变动控制器的半线性双曲方 程，其非线性项f ( 4 满足： 甄揣扎v h 邛，2 ) 我们得到了这类双曲方程的快速精确能控性。为了证明所期望的能控性结果，我 们对线性双曲方程建立了一个关键的显式的能观性估计。 - 关键词：快速精确能控，半线性双曲方程，变动控制器，能观性估计 r a p i de x a c tc o n t r o l l a b i l i t yo ft h es e m i l i n e a rh y p e r b o l i c e q u a t i o n s m a j o r ：o p e r a t i o n a lr e s e a r c ha n dc y b e r n e t i c s g r a d u a t es t u d e n t ：l id o n g l i s u p e r v i s o r ：z h a n gx u t h i sw o r ki sa d d r e s s e dt oas t u d yo ft h e ( g l o b a l ) r a p i de x a c tc o n t r o l l a b i l i t yo fa c l a s so fs e m i l i n e a rh 3 r ：p e r b o l i ce q u a t i o nw i t hal o c a l l ym o v i n gd i s t r i b u t e dc o n t r o l l e r s w h e r et h en o n l i n e a r i t yf ( s ) i sa s s u m e dt os a t i s 印t h eg r o w t hc o n d i t i o n ： # ，。、 面兰= 0 ，v h 【0 ，2 ) s l n “j s f 。 77 a sa k e yp r e l i m i n a r yt op r o v et h i sc o n t r o l l a b i l i t yr e s u l t ，w ee s t a b l i s ha ne x p l i c i to b s e r v a b i l i t ye s t i m a t ef o rt h el i n e a rh y p e r b o l i ce q u a t i o n k e yw o r d s ：r a p i de x a c tc o n t r o l l a b i l i t y , s e m i l i n e a rh y p e r b o l i ce q u a t i o n m o v i n gc o n t r o l l e r ，e n e r g ye s t i m a t e 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的 研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以 标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得四川大学或其它教育机构的 学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 本学位论文成果是本人在四川大学读书期间在导师指导 下取得的，论文成果归四川i 大学所有，特此声明。 新地 作者蠲 二零零七年四月十五日 第一章引言 令t 0 ，q c r , n ( n n ) 是一个给定的有界区域，它的边界f 兰o f t 伊。 记q ；( 0 ，o 。) n ，q r = ( 0 ，t ) q ，= ( 0 ，o o ) r ，以及t = ( 0 ，7 3 r 而且，我们简记5 _ 、和f 分别为f 和5 _ 、。为了简便起见，我们引用记号 i j = 1 l = lu o 觚暑轨( z ) ；! 磐，这里戤是正p 中点z = ( 善l ，) 的第i 个坐标。类似地，我 们引用记号姚，仇等等来表示w 和 关于乱的偏微分。在本篇文章中，我们用c 代 表一个可能逐行都不同的正常数( 除非另有说明) 。 满足 n u ( z ) = n j ( 。) ， v 茁q 且对某个常数口 0 ， ( z ) 妫删2 ， v ( z ，f ) 豆x ， t j 这里f = 旧，矗) 。接下来，我们固定一个函数，( ) c 1 ( r ) 条件： ( 1 0 1 ) ( 1 0 2 ) ( 1 0 3 ) 它满足下面的 甄揣- o v 【o ，2 ) ( 1 0 4 ) 另外，对于任意的t 【0 ，o o ) ，g ( t ) 是f t g t 的一个子区域。 f 尊。吼砒l 叫白) + x g ( 。h 。 动銎， ig ( o ) ；珈，玑( o ) ：挑 在q 中 在( 1 o 5 ) 中，( y ( t ，) ，y t ( t ，) ) 是系统的状态，7 ( ，) 是系统的控制，它通过q 的子 集g ( t ) 作用于系统。在本文中，我们选取系统( 1 0 5 ) 的状态空间和控制空间分别为 n2l i l j 0 、j c = ，t e l )，l 定 暇 第2 页 雕( n ) l 2 ( n ) 和l 乙( o ，o o ；l 2 ( q ) ) 。对于任意的丁 0 ，任意的( 珈，y 1 ) 础( q ) l 2 ( n ) 和7 l 2 ( q t ) ，在( 1 0 1 ) - ( 1 0 3 ) 并且，( ) c 1 ( r ) 满足( 1 0 4 ) 的条件下，我 们可以证明( 1 0 5 ) 整体存在唯一一个弱解c ( 【o ，卅；硪( q ) ) n c l ( 【o ，卅；2 ( q ) ) 这篇文章的主要目的是研究( 1 0 5 ) 的整体快速精确能控性问题。确切地说， 就是对任意给定的t o 和( u o ，y 1 ) ，( z o ，z 1 ) 拂( n ) l 2 ( n ) ，存在一个控制 器g ( ) 和控制，y l 2 ( ( o ，t ) g ( ) ) 使得系统( 1 0 5 ) 的相应的弱解满足 箩( d = z o ，轨( 即= z l 在q 中 ( 1 0 6 ) 关于变动控制器的分布参数系统已经有了相当清楚的研究( 参见f 1 ，6 1 以及 引用的相关文章) 。当，( ) i0 时，系统( 1 0 5 ) 是具有内部局部变动控制器的受控 的线性波方程。在 5 】中，通过乘子方法得到了线性波方程中( a i j ) 。= j 的快速精 确能控性。而关于半线性系统( 1 0 5 ) 在( ) 。= ，及非线性项，( ) l ”( q ) 的 情况下的更加一般的结果参考 8 | o 至于厂( ) 在无穷远处超线性增长的情形，关于 半线性双曲方程( 1 ，0 5 ) 的快速精确能控性，据作者所知，目前还没有文章讨论， 即使( 一) 。= ，的情形仍然一无所知。在本文中，我们将考虑更为一般的情况， 其g u f ( - ) 满足( 1 0 4 ) ，矩阵( ) 。满足( 1 0 1 ) 一( l 0 3 ) 。在假定非线性项无穷远处 超线性增长的情形下，关于具有固定控制器的半线性偏微方程的能控性的结果我 们可以参考3 ，1 1 1 及其中引用的参考文献。 为了得到( 1 0 5 ) 的所期望的控制结果，通过熟知的对偶理论( 参考 4 ，p 2 8 2 ， l e m m a 2 4 1 和 1 0 ，p 7 1 ，t h e o r e m5 4 】) ，我们只需要考虑线性化系统( 1 0 5 ) 的对 偶系统： i 一( ( 咖h ) j = q w 在q t 中， i t j w = 0 在骄上 ( 1 0 7 ) 1w ( o ) = w 0 ，毗( o ) ) = w l 在q 中， ( 这里状态空间一般是l 2 ( q ) x h - 1 ( n ) 及势q 位于某些空间( 这些空间比l ”( q t ) 大 ) ) 里。通过半群理论中( 1 7 】) 的标准的插值定理，对于适当的口如q l ”( o ，t ；工尸( q ) ) 第3 页 ，系统( 1 0 7 ) 在空间 7 - i = g ( f 0 ，卅；l 2 ( n ) ) nc 1 ( 【o ，卅；h 一1 ( q ) ) ( 1 0 8 ) 中适定。同 1 0 l 类似，上面的能控性问题可以降低为得到系统( 1 0 7 ) 的一个显式 的能观性估计。就是说，我们期望找到一个常数c ( q ) o 和一个控制器g ( ) 使 得( 1 0 7 ) 的所有弱解 满足 ( t n o ，地) i i 参。胃- l f 固c ( df 上( 日2 如豳 ( 1 o 9 ) v ( t 蛳，t l j l ) l 2 ( n ) h 一1 ( n ) 本文与 8 的主要不同点在于通过g 的适当的l o o ( o ，t ；护( q ) ) 范数得至u c ( q ) o 的 显式估计，其中p f o o 。这个显式估计是本文的关键成分( 回忆 8 中只考虑p = 的情形1 。 这篇文章余下的部分是这样安排的。在第二章，我们叙述文章的主要结果。 第三章，我们做了些准备。最后，我们将在第四和第五章证明我们的主要结果。 第二章主要结果的叙述 首先，不失一般性，我们假定 设t 0 ，且0 仃 t 给定。定义 n = 字，= 沁训( o ，t ) | 0 川n z 。 0 ，可以找到一个控制嚣g ( ) 蛋使得 系统( 1 0 5 ) 在空间硪( q ) l 2 ( n ) 是精确能控的 在前面我们已经提到，定理2 1 的证明可以转化为( 1 0 7 ) 的能观性估计结果。 定理2 2 设似j ，成立，( ) c 1 ( 豆) 满足( 1 0 2 ) 一( 1 0 3 ) ，且g l o o ( 0 ，丁；妒( n ) ) ，这里p 【n ，o o 】那么对任意给定的时间间隔t 0 ，都可以找到g ( ) g 使得 4 如 卸垒 以弋叶 “ 奶，一 研扛 雠懈嚣影k氓氓 专 第5 页 系统( 1 0 7 ) 的所有弱解满足估计( 1 09 ) ，并且能观性常数c ( g ) 0 有下面的形 式 1 c ( q ) = e 唧( g r 砰) ，( 2 2 1 ) 这里 r = ll 口| | l 一( o ，已p ( n ) )( 2 2 2 ) 第三章一些准备工作 在这一部分，我们将给出下面正则性的结果，这些结果在本文的主要结果的 证明中将起到很重要的作用。 首先，我们记系统( 1 0 7 ) 的能量为 e ( t ) 垒；【i j 毗( ，) i | 备一。( 哪+ 1 1 ”( ，) ”乞( 。) 】 ( 3 o 1 ) 我们回忆一下下面已知的一些结果： 引理3 1 ( 【2 】) 4 a l ”( o ，丁；p ( q ) ) ，p k 。o 卜则对于任意的( 撕， t 3 9 1 ) l 2 ( q ) h - 1 ( q ) ，( 1 0 7 ) 的弱解( ) h 满足r 回忆：钾和r 分别由( 1 0 8 ) 和( 2 2 2 ) 给出) e ( ) g e ( s ) e c r 由， v ，s 【o ，丁】 ( 3 1 1 ) 进一步，与【9 ，l e m m a3 4 】的证明类似，我们可以得到下面的结果： 引理3 2 设o 岛 s 2 疋 乃t ，g l 。( o ，r ；l e n ) ) 且p h ，。o 那 么，( 1 0 8 ) 的弱解伽( ) 爿满足 r 耶) d t 0 ，使得对于所有的o e e o ，有 fq f o cs a 垒f ( ，z ) q 丁j 西( ，z ) 。) j 3 3 5 第8 页 令o j 1 印，矿c 铲( 形+ 1 ；1 0 ，1 】) 满足 由( 3 3 5 ) ，我们有 f1 矿( t ，。) = 【0 ( t ，z ) 岛， ( t ，z ) 品 妒5 ( t ，z ) = 0 ， z n ( 3 3 6 ) ( 3 3 7 ) 我们很容易得到 ( 1 一a 2 a 1 1 ) t l ，o e v t v u d x d t j o t = 1 f a ( 1 - - a 2 a n ) 妒i 饥1 2 i o r d x 一；正，( 1 - a 2 a n ) 叭，e v 。- - t 咖油出( 3 3 固 一；正，( 1 8 2 0 1 1 ) ( 旷坳引础硪 另外，我们有 那么 五，妒荨a s 3 v x , ，揪 2 荨。如卜上一。o e e a i j v x 删t ( 3 s 9 ) 一z q t 斌i 。3 驴蚺抛一上，妒丢氘妣 厶妒等n 玎t 出出；z ，( 矿+ 域等出出 ( 。，。) 因此， 一z ，咖丢( 地弘疵 2 戈，。荨a 。3 v z , 均剃 = z ，t i j ；n 玎。”+ ”。j ；。玎，妒乞) d 。d t 3 3 1 1 2 五， _ 抄善池伯t 荨n 吃灿 望! 墨 由( 3 3 1 1 ) ，我们可以得到 兄，矿饥 2 n 莩0 “+ n 唛饥一( n 玎q 如出 2 乞，。矿仇 n 车( 0 1 锄a + 。口1 t 一( n 甜训) 出巩 = z ，卜；( 魂。懒k 吒汹 p 3 1 2 一口厶。m 泸蝮抛 结合( 3 3 8 ) 和( 3 3 1 2 ) ，有 厶，( 旷+ 。蝶) ( ( 1 一n 2 n “) 坩+ n ”) d x d t 卅工，地荨峨抛q 。白训2 驴噍揪( 3 3 1 3 ) 坳qt 妒t ( q ( x ，t ) 吣，r ) d ， ) d x d t 一2 妒咿恤批 砹扩( 栌( e p ”； 0 ，1 】) 满足 毗班q o ，甸锔， 【1 ，( t ，z ) 曲 同上面类似，用( 7 一) 扩地作为乘予，我们得到 厶 。口一t ) 落) ( h 1 2 + n 玎。) 如出 = 一27 ( t t ) v te a * j v 。矽毛d x d t j qr i + 2 a 厶口一t ) n j 2 0 1 蚝。如出 口r ：一 ” + 。z ，( 丁叫蜘( ，2 咖，m 叩) d t ) d x 出 + 2 正( 丁一) 砂e 巩( 尹) c f 础 j 0 7 假定 s u p pv 旷u s u p p 蝣u s u p pv 扩u s u p p 砂；s e 麒 坳 回 潍 矗 乩 g p & 我们选择萨c 铲( f r + 1 ；【o ，l 】) 使得 唧，垆 ：凛蠢 s 忉 结合( 3 3 5 ) 及极限o e ；e 0 ，我们注意到酽( o ，z ) = 俨( r ，z ) = o ，q 现在，乘p 口以缈) 2 并在n 进行积分，有 ( 俨) 2 口( p v ) d x a t j 0 ：( 俨) 。” ( 1o。11)vtt+2。nli。+口()。，仇j q t 、 tl 。 吖 一( 扛) 。) 。一tq ( l z ) 仉( lz ) 打) 出出 = 一 ( 8 6 ) 2 ( 1 一n 2 。1 1 ) l v t l 2 + 2 0 8 爵 ( 1 一a 2 a 1 1 ) u t d z d j 0 f 、 嘞(嗍；n“训础叫。戈，t尹vvtjqt军纠础t j v t + z z ，酽w 善池吃揪一五，( 旰”( 厶r 一姒f ，蛐) 如d t 一。五，( 吁”军( ) = v t d m d t + 五，( 盼荨魏一d t 因此， 正，( 咿吾跏 一名，俨”否地吃如d t + 2 a 踟t p 岫d t + 上，2 ( 1 一0 2 0 1 1 ) l 仇1 2 + 2 酽即( 1 - a 2 a n h ) 出出 ( 3 3 | 1 9 ) + a a 上，俨啪车n “，出毗+ a 厶( 盼”莩( a “) 捌t + 五，( 酽) 2 ”( ，2a ( r ，z ) 咄r ，z ) d 下) a z 出+ 以，( 明2 ”) d z 兆 第1 1 页 田【1 0 3 ) 2 3 2 s c h w a z z d 、，寺瓦，于臣寻出 口妒) 2 i v 1 2 d x d t j q t c 正，i v 酽1 2 i 开如d t + ：上，( 酽) 2 i v ”1 2 如出 + c 二，p 勺2 h 1 2 d z 出+ 乞，酽尸。一n 0 1 i v t r 2 d x d t ( 3 3 2 。) + 2 厶俨i g ( 1 。d 2 口1 加砘i d x d t + 4 a 叫啪莩吃i j o t 揪 j钉 。 + n z ，( 酽一莩( 。“) ，d 如d + 西z ，( 2 + 2 ) ) 2 如d t + 渺) 2 i v ( t v ) p d x d t j 0 t 结合( 3 3 6 ) 和( 3 3 1 4 ) ，有 妒5 0 ，。) + 妒5 0 ，z ) 1 ，a e 0 ，。) q r ( 3 3 2 1 ) 最后，结合( 3 3 6 ) ，( 3 3 1 3 ) - - ( 3 3 1 7 ) 和1 ( 3 3 2 0 ) 一( 3 3 2 1 ) ，利用h 6 l d e r 不等式 我们得至l j ( 3 3 2 ) ，此时6 = 2 e 。 第四章定理2 2 的证明 fq ( t ，。) 如果( t ，z ) q t ， q 2 ( t ，z ) = ( 4 0 2 ) 【0如果( t ，z ) ( ( 一，0 ) u ( t ，o o ) ) n 篆= 誓量吼o s ， ：嗝 叭， = q 2 z 在r q 中，( 4 0 6 ) 在r f 上 毛 磊k扛 2 0 魄” r 心 2 一 卜， k ， 一 托 n o 一 一一 q z 第1 3 页 其中口2 扛，- ) = g 征+ 面1 ，_ ) 。进一步地，对任意给定的s ( 一o o ，o 。) ，记 广 u 仃，i ) = z ( s ，虿) 如+ x ( 动，( 4 0 7 ) 其中) 满足 i ( ( z ) 撬) 而= ( 1 一n 儿n 2 ) 句( s ) + 2 n i l l z z t ( s ) r + n 羲如) 在q 中，( 4 o 8 ) 【x = 0 在i 上 则”f ) 满足 ( 1 一g 2 0 , 1 1 ) 魄+ 2 n 8 “强 + n ( ) 毛吨一( ( z ) 强。) 勘 ：2，i ) 也( 7 - ，- ) 在 n 中，(40q2(r d - rl q 9 ) = f，i ) 也( 7 - ，- ) 在 n 中， 峥。 = 0在i r r 上 v ( s ) = x ，蟾( s ) = z ( s ) 第二步我们需要作一些能量估计。 在n 里 百先，i a 系统( 4 0 3 ) 的能量为 州t ) 垒； i l w d t , - ) 1 1 备1 研+ i i w ( t ，) l 瞄n ) ( 4 0 1 0 ) 由( 3 1 1 ) ，得出 1 1 ( o ， 1 ) 1 12 狮) j = r 叫n ) 22 矽( o ) e e x p ( 毋7 巧) z rf ( r ) d r ( 4 0 1 1 ) 垤( 0 ，1 ) 结合( 3 2 1 ) ，我们得到 i i ( w o 棚川2 2 ( r ) 。h - i ( 。) - - c ( 1 + r ) 唧( 西南) f 咿训2 。( 印“4 0 1 2 ) 第1 4 页 接下来，我们记系统( 4 0 9 ) 的能量为 蹦- ) 垒；上【善? 吨叫1 咖黼j 2 卜( 4 吡。) + r 匆( r ) 慨n ) d t , 其中s 【一2 t ，2 刀。 由( 4 0 9 ) ，及n c r ( 2 2 2 ) 中r 的定义，有 挈= 上( 厂咖川a r ) 调商+ r 舞悒御，( 4 o 1 4 ) 而 i a p ，= 亲生，仡= 害。我1 门注意到；+ 击+ 壶+ = 1 ，赤+ 可南+ ；：1 。由h 6 l d e r 不等式和s o b o l e v 嵌入定理，回忆( 4 0 1 3 ) ，我们可以得出 上( ，2 9 2 ( r ) 也( n d r ) 啦( - ) 由 1 9 2 ( 下) i i 屹盯) i ；1 吨( r ) 1 1 ；1 吨g ) l 撕 r 门k 垆。肛) l - ；，忪牝 = 砖珊咖用。，( r 郗咖计一；卅圳b = r 毒刖咖，峙n ，( r 嘲咖憾沁圳k ， i 力i = 1 琴，。占- ( 7 ) f r 。( - ) 蚋由( ，2 ( r ) d r 坩o ) ) ， 吨2 n ( 4 肌5 ) 结合( 4 0 1 4 ) 和( 4 0 1 5 ) ，我们容易得到 筹鲫南( ，即) ) ， 圻| s ，2 t ( 4 0 1 6 ) 第1 5 页 将( 4 0 1 6 ) 关于i 积分，有 。g ) 4 c s ，+ 西7 _ 霎( z 7 8 c p ，咖+ 5 c f ，) d 7 。， ( s ) + ( 5 = 覃。( f ) 打， 【s ，2 卅 因此由g r o n w a u 不等式，我们得到 - c e c , 2 - - b ；e ( s ) ，v s ，i - 2 t , 2 t ( 4 o 1 8 ) 最后 一( i ) ，吨f ) ) l l 础( n ) 。l 。( n ) g e 西由i i 扣( s ) ，班( s ) ) i i 础( n ) 。弘( n ) ( 4 o 1 9 ) 取口= v ( z ，) ，则p = 0 。置 那么我们有 垂( t ，。) = 一口z 1 一；， o ，z ) q t ( 4 o 2 0 = s 4 2 = d o ， 0 盯 t f 4 0 2 1 ) 结合( 3 3 2 ) 和( 4 0 1 8 ) ，我们得到 厕) 眦。q 鲰西由m 孙( 铡纛明哟 ( 4 毗z ) g ( 1 + ，) 。c r 鸯。( j 嵋1 2 + m z ) 据西， - 2 t ，2 t j 0j n 第1 6 页 令q ( ，z ) = 1 2 ( a z ) 2 。然后结合( 4 0 9 ) ，并分布积分，得到 z 。上卅 ，啦c r ，动吨c l 动打) 旃出 = j ( 4 上铡 ( 1 - 棚镛拙车 m - 名协咖a q a 矗”- f 0 5 1 - a 2 a n 黼”舷婵。0 2 3 砌z 4 上讹车n “肋一n z 9 上御车c 。1 毛胁 + j 氍如托艋 考虑( 1 0 3 ) 和( 4 ，0 2 3 ) ，通过h s l d e r 不等式，我们发现 最后，我们得到 8 | | 1 l v v l 2 缸茈 - 口0 9 胁i1 2 撒+ 所上批i 1 2 腑( 4 毗t ) + c o + r ) i 陇j 2 舷 0 4 l , 砰肋g ( ，+ r ) z 4 l i 啦1 2 翮 ( t o 。s ) 因此，由( 4 0 2 2 ) 和( 4 0 2 5 ) ，有 i i ( v ( 7 ) ，吨g ) ) 喙( n ) 口( o ) e 妙由( 1 + r z ) 厂4 蕊 g ( 1 + r 2 ) e c r 专厂。似珊。d _ (4026)1,2 g ( 1 +”，l 坼) 慨d _ ( 4 u _ c e c r 专，4 懈) 峨压， v z 一2 t ，2 t 第1 7 页 i u j 0 | | ：( n ) + i l 1 i i 备一t ( n ) g ( 1 + r ) e c r ”7 ，( i ，) i 参( n ) d _ j 一2 r g ( 1 + r ) e 西卜f 1 1 吨o ，) 1 1 2 ：( n ) 斫 击。嚣( 4 0 2 7 ) g ( 1 + r ) e 西由厂灯懈，) 诈呲。( n ) 面 h j 一2 t ；1 r ，口 o ，初值和终值( v o ，y 1 ) ，( z 0 ，z 1 ) 硪( q ) x 2 ( n ) 。对任意 给定的z ( ) l 。( 0 ，t ；l 2 ( n ) ) ，借助于对偶理论和定理2 2 ，我们可以知道存在一 个控制器g ( ) 舀和控制，y l 2 ( ( 0 ，t ) g ( ) ) ，使得下面方程的解 强一 l d y = 0 v ( o ) = y o n 巧( z ) 玑) j = f ( 名( + ) ) 可+ ，( o ) + x c ( t ) ( z ) ，y ( t ，z ) 在q t 中 y d 0 ) = y l 在t 上， ( 5 0 2 ) 在n 中 满足 v ( t ) = z o ，玑( f ) = z l ； ( 5 0 3 ) 进一步，我们有 孙肌g ) c 。, p ( c i i f ( 删l l 蒜删办 ( 5 假定( 1 0 4 ) 成立，我们得到 e ) c p ( e i f ( z ( ) ) i ) c ( 1 + 1 z ( ) h 讹帕) ( 5 0 5 ) n 1 0 ，t h e o r e m6 1 】中的证明类似，结合( 5 0 5 ) ，有 怒删，sc 唧( c 忆( ) ) f 窿丁，) ，v e ( o , 4 j 邛o s ) 第1 9 页 结合( 5 0 5 ) 和( 5 0 6 ) ，我们得到 则我们有 1 i | ：；譬尚。g ( t ) ) g ( 1 + z i l 2 。( 0 疋铲( n ) ) ) ( 5 0 7 ) 7 各( ( 。，即。g ( t ) ) c ( 1 + 1 1 2 i i 赢。m l 2 n ”) ( 5 o 8 ) 应用经典的能量方法，我们可以证明 l y | i 。( 1 0 q ；目( n ) ) n 。，( 1 0 ，q ；p ( n ) ) c ( 1 + i i z i | 蠹。，；口( 。) ) ) ，v e ( o ，4 】 ( 5 o 9 ) 最后，在( 5 0 9 ) 中取g - = 4 ，类似于1 8 ，利用s c h a u d e r 不动点定理，我们即得定 理2 1 。 参考文献 1 a g b u t k o v s k i i ，m o b i l ec o n t r o lo fd i s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e m s ，e l l i sh o r w o o d l t d ，c h i e h e s t e r ，u k ，1 9 8 7 ， 【2 t d u y c k a e r t s ，x z h a n ga n de z u a z u a ，o nt h eo p t i m a l i t yo ft h eo b s e r a b i l i t y i n e q u a l i t i e sj o rp a r a b o l i cs y s t e m sw i t hp o t e n t i a l s , a n n i n s t h p o i n e a r da n 面， n o nl i n g a i r e , i np r e s 8 f 3 】x f u ，j y o n ga n dx z h a n g ，e x a c tc o n t r o l l a b i l i t y o rt h em u l t i d i m e n s i o n a ls e m i - l i n e a rh y p e r b o l i ce q u a 缸o n s ，s i a mj c o n t r o lo p t i m ，i np r e s s 1 4 x l ia n dj y o n g ，o p t h n a lc o n t r o lt h e o r yf o ri n f i n i t e - d i m e n s i o n a ls y s t e m s ，s y s t e m s & c o n t r o l ：f o u n d a t i o n s & a p p l i c a t i o n s ，b i r k h n s e rb o s t o n ，i n c ，b o s t o n ，m a ， 1 9 9 5 【5 】k l i ua n dj ，y o n g ，r a p i de x a c tc o n t r o l l a b i l i t yo yt h ew a v ee q u a t i o nb yc o n t r o l s e l i 8 t r u b t e do nat i m e v a r i a n ts u b d o m a i n ，c h i n a n n m a t h s e t ，b ，2 0 ( 1 9 9 9 ) ， 6 5 7 6 【6 6j r m c l a u g h l i na n dm s l e m r o d ，s c a n n i n gc o n t r o lo ，口v i b r a t i n gs t r i n g ，a p p l m a t h o p t i m ，1 4 ( 1 9 8 6 ) ，2 7 - 4 7 吲a p a z y , s v m i g r o u p so fl i n e a ro p e r a t o r sa n da p p l i c a t i o n s 幻p a r t i a jd i f f e r