（计算数学专业论文）zakharov方程组的fourier谱方法.pdf

中文摘要 中文摘要 本文考虑了一维非线性z a k h a r o v 方程组首先，对此类方程组的初边值问题建立 了半离散的f o u r i e r 谱格式并且证明了半离散f o u r i e r 谱格式具有守恒性质，并利用守 恒性质对其近似解进行了先验估计并且在一定的条件下，在有限时间段【o ，t 】内，证明 了半离散f o u r i e r 谱格式的收敛性 其次，对此类方程的初边值问题建立了全离散的f o u r i e r 谱格式，我们也证明了全 离散f o u r i e r 谱格式的守恒性质，最后利用守恒性质对其近似解进行了先验估计和误 差估计 关键词： z a k h a r o v 方程组；守恒性质；先验估计；f o u r i e r 谱格式 黑龙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t o n e - d i m e n s i o n a ln o n l i n e a rz a k h a r o ve q u a t i o n si sc o n s i d e r e di nt h ep a p e r f i r s t ， as e m i d i s c r e t ef o u r i e rs p e c t r a ls c h e m ef o rt h ee q u a t i o n sw i t hi n i t i a lc o n d i t i o na n d p e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o n si sc o n s t r u c t e d a n dt h ec o n s e r v a t i v ep r o p e r t yo ft h e s e m i d i s c r e t es p e c t r a ls c h e m ei sp r o v e d w eu s et h ec o n s e r v a t i v ep r o p e r t yt og e tt h e p r i o r ie s t i m a t eo ft h ea p p r o x i m a t e s o l u t i o n s a n du n d e rs o m ec o n d i t i o n s ，t h ec o n - v e r g e n c eo ft h es e m i - d i s c r e t ef o u r i e rs p e c t r a ls c h e m eo v e ra f i n i t et i m ei n t e r v a l 0 ，t 】 a r eo b t a i n e d s e c o n d ，ac o m p l e t e l yd i s c r e t ef o u r i e rs p e c t r a ls c h e m ei sc o n s t r u c t e df o rt h e e q u a t i o n sw i t hi n i t i a lc o n d i t i o na n dp e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o n s t h et h ec o n s e r - v a t i v ep r o p e r t yo ft h ec o m p l e t e l yd i s c r e t es p e c t r a ls c h e m ei sp r o v e d ，t o o a tl a s t w eu s et h ec o n s e r v a t i v ep r o p e r t yt og e tt h ep r i o r ie s t i m a t ea n dt h ee r r o re s t i m a t e o ft h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n s k e y w o r d s ： z a k h a r o ve q u a t i o n s ；c o n s e r v a t i v ep r o p e r t y ；p r i o r ie s t i m a t e ；f o u r i e r s p e c t r a ls c h e m e i i 黑龙江大学硕士学位论文 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨垄堑太堂或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料 学位论文作者签名：羽、璐签字日期湖年丁月) l 日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解墨垄婆太堂有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人 授权墨垄婆盔堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编本学位论文 学位论文作者签名：抽懈导师签名： 搬谚贾 签字同期：m 睥丁月兢扫签字日期：钉月z 乙日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：虢硎学院迈肾院 通讯地址：本泌腻7 曰【兰 电话：l 了弘髟；于碑占2 邮编：咖2 7 第1 章引言 第1 章引言 1 1 谱方法的简介及研究现状 计算数学学科在中国的发展已有6 0 多年的历史这门学科作为研究国防科研的 基础，为国防科研等诸多领域做出了重大的贡献，现在广泛应用予国民经济建设和基 础科学研究 谱方法与有限差分法及有限元素法是求解偏微分方程数值解的三大基本方法，它 的发展为求解微分方程提供了一个强有力的工具目前谱方法已被广泛的应用于求 解各种实际问题，例如，大气环流问题，海流问题，数值湍流模拟，以及孤立子的计算和 研究等等，其数值分析理论正在不断发展和完善已成为计算数学领域中的一类重 要方法 谱方法的来源是经典的r i t z g a l e r k i n 方法，以整体无限光滑的函数系( 例如，三 角多项式、c h e b y s h e v 多项式、j a c o b i 多项式和l e g e n d r e 多项式等，它们都是s t u r m - l i o u v i l l e 问题的谱函数) 作为基底的g a l e r k i n 方法和配置法，分别称为谱方法和拟谱 方法，统称为谱方法向新民在【3 8 】中详细介绍了谱方法的理论， 谱方法是一种既古老又新兴的求解偏微分方程的数值方法它的思想是古老的， 在近几十年来重新引起人们的广泛注意的原因是由于快速f o u r i e r 变换( f f t ) 的出 现和应用由于大大减少了谱方法的计算量，使其有了实用价值其最大的优点就是 具有“无穷阶”收敛性，( 假如原微分方程的解无限可微，则由适当的谱方法所得到 的近似解对原问题解的收敛速度比n _ 1 的任何幂次都更快，这里n 是所取基函数的 个数) 而有限差分法的逼近精度则受到格式本身的限制；有限元法的精度也要受到 取作基函数的多项式的次数的限制而谱方法的精度能随微分方程解的光滑程度的 而提高因此，谱方法日益受到重视众多的数值试验与应用报告证实了谱方法的有效 性，即对谱方法可以适用的情况，它往往能够给出更好的结果【5 】 谱方法的逼近方程可由r i t z g a l e r k i n 方法导出谱方法取整体无限光滑的函数 作为基函数优点是由基函数张成的近似空间具有良好的逼近性质，而且函数本身 的性质越好，逼近阶就越高，而适当的谱方法解的收敛阶也就越高其缺点一是计算 量太大，二是基函数构造困难由于f f t 的出现和应用，计算量大的问题已经得到较为 满意的解决而基函数构造又可分为两个问题第一是难以构造满足一般边界条件的 基函数，这个问题可以采用t a u 方法来解决，即不要求每个基函数都满足边界条件，而 这要求近似解满足边界条件在实际计算中经常使用这种方法第二是对于复杂形状 黑龙江大学硕士学位论文 的求解区域无法构造基函数，对于这个问题现在有下面三种解决办法一是映照法，即 将区域映照成一个规则区域然后求解；二是谱元素法，即将区域划分为若干互不相 迭的相邻子区域联立求解；三是s c h w a r z 交替法，即将区域划分为若干个部分重迭的 子区域然后交替求解在实际计算中往往需要将第一和第二种、或第一和第三种方 法结合起来使用【5 】5 谱方法在粘性不可压缩流动问题的研究不可压缩流动问题研究n a v i e r - s t o k e s 方程、涡度方程和p o i s s o n 方程的解，根据边界条件是否周期，可采用f o u r i e r 谱方法， c h e b y s h e v 谱方法或二者相结合的方法而非光滑边界条件的n a v i e r - s t o k e s 方程， m o i n 等采用了半隐格式，即对方程中的压力和粘性项作隐式处理，其余项作显式处 理不可压缩流动谱方法的理论分析也有许多工作h a l d 证明了n a v i e r s t o k e s 方程 的半离散f o u r i e r 谱方法的收敛性m a d a y 等证明了定常n a v i e r s t o k e s 方程的f o u r i e r 谱方法和拟谱方法的收敛性郭本瑜等对二维和三维涡度方程及n a v i e r - s t o k e s 方程 建立了全离散f o u r i e r 谱方法和拟谱方法，严格证明了格式的稳定性，进而得到收敛性 估计b e r n a r d i 等给出了定常n a v i e r - s t o k e s 方程c h e b y s h e v 谱方法和拟谱方法的收 敛性证明【5 】 谱方法在非线性波的数值模拟的研究最好的例子是k d v 等方程的孤波计算 a b e 等用f o u r i e r 谱方法计算了k d v 方程的周期问题对于c a u c h y 问题，利用解的渐进 性质，仍可用f o u r i e r 谱方法和拟谱方法计算，f o r n b e r g 、c a h o s a 等、陈熊山和郭本瑜 在这个方面做了许多工作这些结果都表明谱方法逼近精度高，而且计算较稳定其 中郭本瑜等的工作还解决了方法的稳定性和收敛性问题【5 】5 谱方法计算间断解的尝试也获得一定成功对于线性问题，在离开间断的区域上 仍能得到高精度m a j d a 等证明了对于初始值有间断的双曲型方程组的f o u r i e r 拟谱 方法( 结合采用适当的光滑化方法) ，在真解的光滑区域内的任一给定紧集上仍能 得到无穷阶的收敛速 s 1 近几十年来，谱方法已被用于计算可压缩流动问题c o r n i l l e r 用c h e b y s h e v 拄a 谱方 法计算了守恒方程的激波当函数展开为正交基的n 项部分和时，若函数有直到m 次 的连续导数，其展开式中系数的下降速度一般为d ( n 一( 仃件1 ) ) 对激波，则仅为o ( n _ 1 ) ，其 导数的收敛性更差此外，部分和还会出现所i w g i b b s 现象的振荡为改进收敛性，可 显式或隐式地引进耗散项另一有效的办法是采用适当的光滑和滤波技巧彳艮多学者 也利用谱方法对不同方程进行了研究，向新民在【1 5 l 中对非线性s c h r s d i n g e r 进行了大 时间性态的研究郭本瑜在【2 7 】中对k d v - b u r g e r s 方程利用谱方法进行了误差估计 a l f i oq u a r t e r o n i 在【3 2 】中利用f o u r i e r 谱方法对p s e u d o - p a r a b o l i c 方程进行了研究 一2 一 第1 章引言 1 2 z a k h a r o v 方程组简介 在等离子物理学中，当横电磁波穿过等离子体时，激发l a n g m u i r 波，l a n g m u i r 波 和荷电粒子相互作用，使湍动波的能量向小波数区域转移，形成一种不同于弱湍动的 物理图像，这时会出现调制不稳定性由调制不稳定性所控制的l a n g m u i r 湍动被称 为强l a n g m u i r 湍动z a k h a r o v 方程组就是用来描绘这种系统的不稳定性及其发展演 化的系统这个方程组是z a k h a r o v 于1 9 7 2 年首先提出来的，被认为是描述非线性系统 中低频波与高频波耦合的最完善的模型之一，是等离子体物理中的重要方程组，其中 的高频波与低频波分别描述电子声波和离子声波该方程可以直接从等离子体双流 体力学方程组推得 本文研究如下z a k h a r o v 方程组的周期初边值问题： i e t + 乜z = n e ， 地一虬= ( i e l 2 ) e ( x ，0 ) = 酽( z ) ， n ( x ，0 ) = n o ( z ) ， t ( z ，0 ) = 1 ( z ) ， e ( x + l ，t ) = e ( x ，亡) ，n ( x + l ，t ) = n ( x ，) ， ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) 其中未知复值函数e ( x ，t ) 为高频电场的包络波解，n ( x ，t ) 为未知实值函数是离子数 密度在平衡态附近的扰动 我们很容易证明方程组具有两个守恒量： ，悃，悃 i e ( z ，t ) 1 2 d x = i e ( x ，0 ) 1 2 d x ，( 1 6 ) j j 止( 吲2 + 扣霉1 2 + n 2 ) + n i e z l 2 ) d x = c ， ( 1 7 ) 其中u 霉霉= y t 由于z a k h a r o v 方程组是一个非线性偏微分方程组，其精确解极难 求得，我们的任务是寻找一个近似的系统来模拟z a k h a r o v 方程组r t g l a s s e y 利 用差分法证明- z a k h a r o v 方程的守恒差分格式【2 】 z h a n gf a y o n g ，x i a n gx i m i n 用拟谱方法对z a k h a r o v 方程组进行过数值分析n p o l ，马书清，常谦顺等利用差分法 对z a k h a r o v 方程组进行过数值分析 4 1 在本论文中，我们用f o u r i e r 谱方法来离散问题( 1 1 ) 一( 1 6 ) ，从而生成原动力系统 的一个离散系统，这个离散系统是有穷维动力系统 一3 一 黑龙江大学硕士学位论文 本论文结构如下： 在第2 章，我们给出一些记号和引理在第3 章，我们首先对z a k h a r o v 方程组的 初边值问题( 1 1 ) 一( 1 6 ) 建立了半离散f o u r i e r 谱格式( 3 1 ) ( 3 5 ) ，对其解进行了先验估 计，并证明了半离散f o u r i e r 谱格式( 3 1 ) ( 3 5 ) 的稳定性，收敛性及误差估计在第4 章， 我们对z a k h a r o v 方程组的初边值问题( 1 1 ) ( 1 6 ) 建立了全离散f o u r i e r 谱格式( 4 1 ) ( 4 2 ) ，对其解进行先验估计对全离散f o u r i e r 谱格式( 4 1 ) ( 4 2 ) 进行误差估计 1 3 本章小结 在本章中，首先，对谱方法进行了介绍，并分别阐述了谱方法及z a k h a r o v 方程组 近年来的研究状况，其次对z a k h a r o v 方程组进行了简要介绍，介绍了其动力学性质最 后，给出了本论文的整体结构 一4 一 第2 章一些记号和引理 第2 章一些记号和引理 设j = 【0 ，l j ，p ( 州p 1 ) 为，上所有p 次幂l e b e s g u e 可积的函数全体，其范 数为：i i 训p = ( 竹l 妒i p 如) ；特别地，当p ：2 时，l 2 ( i ) ；为h i l b e r t 空间，其内积与范数为： ( 妒，妒) = 竹c p c d x ，i i 妒i l = ( 竹例2 如) 并记m 。= ( 片忱1 2 “以，1 以l 为周期的m 阶s o b o l e v 空间记为上学( ，) ，其范数定义为： | | m = 良斟如r 又设l o 。( ) 为在，上本性有界的函数全体，其范数记为：l l 训泸，简记为i | 它由 设n 为正整数，定义： 风嘶n 居叶) 设p i n 为l 2 到的正交投影算子： p n ：l 2 ( ，) 一曲， ( p n 妒，) = ( 妒，) ，w s n ， 所确定 不难验证， ( p n 妒) 7 = p n 妒7 ， v 妒珥( n 成立 关于正交投影算子p n ，我们有如下结果： ( 2 1 ) ( 2 2 ) 引理2 1 【3 8 】对于妒巧( ，) ，0 肛盯，存在不依赖于妒和n 的常数g ，使得 i i 妒一p n 妒l | p c n p 一仃i 妒| 口 引理2 2 【3 剐( 逆不等式) 对于妒，0 肛盯，存在不依赖于妒和n 的常 数c ，使得 i l 妒| i 口c n a - # l 妒i 肛 ；墨磐垄墼些垒垡；i 一 在本文的理论分析中，我们还用到如下的s o b 0 1 e v 不等式和g r 6 i l w a l l 不等式 引理2 3 【1 】( 舶的f e 环等式) v u 日1 ( ，) ，有 删一。2 邑i 乱( z ) 1 - i i 乱忡i “i ，+ z 1 i i ) 引理2 4 ( g r i 礼伽口2 环等式) 设可( t ) 为【o ，明上的非连续函数，且可( t ) 在【o 。明上 可微若存在常数a ，b 0 ，使得对任意的【o ，卵，有 ( 亡) a + b z 。( s ) d s ， 则有， v ( t ) sa e m ，t 【o ，明 证明：设( 亡) = a + bf oy ( s ) d s ，则有 印) = b y ( t ) 联( t ) 即有， 而1 蜓( t ) b 如 两边从0 到t 积分得， 1 1 l ( ) 一l n ( o ) sb t 解得， ( 幻( o ) e b 又由于， 印) = a + b z 0 小) d s = a 所以， ( 亡) 墨a e 戤 从而， v ( t ) a e 成，t 【o ，t i 证毕 一6 一 第3 章半离散f 洲r 把r 谱方法 第3 章半离散f o u r i e r 谱方法 3 1 半离散f o u r i e r 谱方法及其能量等式 使得 问题( 1 1 ) 一( 1 6 ) 的半离散f o u r i e r 谱格式为：求映射瓦( 亡) ，n ( 亡) ：【o ，卅_ 氏， t ( 目t ，x ) + ( 瓦x ) = ( n 瓦，x ) ， v x & ( n 托，x ) 一( n x ) = ( 1 瓦匕x ) ， v x & ( 风( o ) ，x ) = ( e o ，x ) ， v x & ( _ n ( o ) ，x ) = ( n o ，x ) ， v x & ( n # ( o ) ，x ) = ( 1 ，x ) ， vx & ， ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 半离散f o u r i e r 谱格式( 3 1 ) 一( 3 5 ) 口- f f j 看成为一个非线性常微分方程组的初值问 题，由常微分方程组理论，其局部解存在下面我们证明其整体解存在 考虑如下位势问题：求u h i ( ，) ，使得 u z x = n t 对于半离散f o u r i e r 谱格式( 3 1 ) 一( 3 5 ) 的解氐，n ，我们有守恒定理如下： 定理3 1 设风，n 为半离散f o u r i e r 谱格式( 3 1 ) 一( 3 5 ) 的解，则半离散f o u r i e r 谱格式( 3 1 ) 一( 3 5 ) 拥有下面两个守恒量? l e vi 2 d x = c ， j 0 工 j 2 + 批1 2 + 吧) + n i e n l 2 d x 以 证明：( ( 3 6 ) 的证明) 在( 3 1 ) 中令x = 瓦取虚部得， i m _ l 风t e n 如+ i m z l 目z z 瓦如= i m f o l n r 。e n e n d z ， 由于 兰i 风1 2 = ( 风雨产瓦t 瓦+ _ t 瓦= 2 r e ( 风c 瓦) ， t t b 考虑( 3 8 ) 式等号左端第一项，有 h瓦如=h瓦如=“en毫dximi rej0j oj 0 ，瓦t 瓦如= 昧t 瓦也= 去i 目璧， 二 ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) 黑龙江大学硕士学位论文 ( 3 8 ) 式等号左端第二项，利用周期性，分部积分得， i m z l 风z z 聊z = i m o l 瓦瓦霉如= 4 m z l i 瓦坪如= 。， ( 3 8 ) 式等号右端， “山，i 厶 i m o n 瓦瓦如= i m zn i e 1 2 如= o ，j 0 从而有， 圻础如- 0 ， 即召， l nl e v i - g ， 所以( 3 6 ) 成立5 ( ( 3 7 ) 的证明) 在( 3 1 ) 中令x = 瓦取实部得， r e i o 瓦t 瓦如) + r ez 风正z e n t d z = r e o n 瓦瓦如， ( 3 9 ) 一l，i ll 由于 。 旦d ti 瓦z1 2 = ( 风瓦) t _ 目霉t 瓦+ 瓦。目茁= 2 r e ( 风z t 瓦) ， ( 3 9 ) 式等号左端第一项，有 rei(l风。_t如)=imzl酣dx=0d00 ， 风c _ t 如)风t 1 2 = ， ， ( 3 9 ) 式等号左端第二项，分部积分得， r l 风z z 瓦如= 舶“l 民茹瓦。司= 一丢z l 面dl 坪如= 一瓢l i 瓦罐如， ( 3 9 ) 式等号右端， r e o l n , , , e n e n t d x = 折n 面d 刚2 如= 折n i e n i ；d x ， 从而有， 一甜驯；如= 折n n i e ni ；d x ，( 3 1 0 ) 对n ，由于u 嬲= n n t ，在( 3 2 ) 中令x = p n 仳得， ：z l n 托p n u 如一o l n p n 溅= o l i 风巳p n 钍如， ( 3 1 1 ) 弟3 草丰禺散f 讹州e r 惜力泫 ( 3 1 1 ) 式等号左端第一项：利用p n 的性质，霉= m 叮t 及周期性，分部积分得， z 工r 钍如= o 工u 如= o l 札如= 一o 工刚z 如= 一躲吼红 ( 3 1 1 ) 式等号左端第二项，利用p l n 的性质，z = n t 及周期性，分部积分得， 一z k 嚣凡戚z = 一z k 钍如= 一z k 疵= 一z k 虬廊= 一瓢k 脚z ， ( 3 9 ) 式等号右端，利用周期性及p n 的性质，分部积分得， z l i 瓦巳p n u 如= o l l e vi 2 ( p n u = d x - o l l e v i 2 p n 乱石如 = l i e n l 2 p n n t 如= o l l e v i 2 n t 如， 从而有， 一云1 以l ( 幢) 。如一互1 厶l l 。v n 2 ) 。如= o l j 瓦j 2 n t 如， ( 3 1 2 ) ( 3 1 0 ) 2 + ( 3 1 2 ) 整理得， 成旧| 2 + 弘12 + 吧) + l e v i 2 n n d x _ 0 z l i 瓦坪+ 1 2 + 蛇) + l e v i 2 n ) 如= g 证毕 引理3 2 设存在一个常数c ，使得半离散f d u n e r 谱格式( 3 1 ) - ( 3 5 ) 的解互k ， k 满足? l | 瓦1 1 2 + i e n l ；+ l u 懵+ l l n l l 2 c ， ( 3 1 3 ) 进而有， i | 风怯c 证明：考虑( 3 7 ) 式左端最后一项，由不等式，令= ，得 l n i 瓦阳z i z 气蝶2 + 石1l 瓦1 4 ) 如互1 i i n i | 2 刊瓦眭t ，( 3 “) 由引理2 3 ，( 3 6 ) 式及e 不等式，我们有， ，l，d l i 风协= - i 风1 2 i 瓦1 2 d z o 瓦慨瓦1 2 如= l l 瓦心l 目1 1 2 j 0，0 si i e n i i ( 2 1 e , , , 1 1 + i l i e n i i ) i e , , , 1 2 _ 2 c i i e i i e n l l + c 三i 风1 2 。十互1 ( 2 c ) 2 i i e n i l 2 = 三i e n i + c ， ( 3 1 5 ) 黑龙江大学硕士学位论文 m ( 3 7 ) ，( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 式可得， l 瓦i ；+ 丢川；+ 丢l l n 1 l = c + l n i e 1 2 d x 扣n i l 2 + 丢l 风i + a 从而有， 三i 风1 2 + 扣；+ 三1 1 n 1 1 2 g ， 调整左端项系数可得， 丢i e i ；+ 刊12 。十到1 n l l 2 c ， 从而有， l 瓦l ；+ l 训；+ i i n i l 2 c 再由( 3 7 ) 式，即得：i i 瓦i j 2 + i 瓦瑶+ l 钍r + i i _ n i l 2 c ，证毕 由( 3 1 3 ) 式可得， i i 目1 1 2 c ， i 氐曙c ， 再由引理2 3 即得：1 1 风i i c 由一致有界性可知整体解存在 3 2半离散f o u r i e r 谱格式的收敛性及误差估计 现在对半离散f d w 匏r 谱格式的近似解瓦( z ，亡) ，n ( z ，亡) ，做误差估计问题( 1 1 ) 一 ( 1 6 ) 所对应的弱解形式为： t ( 毋，x ) + ( 玩2 ，x ) = ( n e ，x ) ， ( ，x ) 一( 虬霉，x ) = ( ( i e l 2 ) 骝，x ) ， ( e ( x ，o ) ，x ) = ( e o ，x ) ， ( g ( x ，o ) ，x ) = ( n o ，x ) ， ( t ( z ，o ) ，x ) = ( 1 ，x ) ， 在这里，我们定义误差： e = e 一瓦= 弭e n ， 叩= n 一n = 石+ ， 一1 0 一 v x 珥( ，) v x 砗( ，) v x 珥( ，) v x 珥( ，) v x q ( ，) ， 第3 章半离散f o u r i e r 谱方法 这里虿= e p n e ，石= 一p n n ，e n = p n e 一目，= p n 一n ， 用p n 作用到弱解形式，利用( 2 1 ) 式及( 2 2 ) 式可得， ( ( p n e ) t ，x ) + ( ( p n e ) 拍x ) = ( n e ，x ) ，取氏 ( ( p n ) t t ，x ) 一( ( p n ) 鼢x ) = ( i e i ；霉，x ) ，呶& ( p n e ( o ) ，x ) = ( p n e o ，x ) ，取氏 ( p n ( o ) ，x ) = ( p n n o ，x ) ，比氏 ( p n m ( o ) ，x ) = ( p n 1 ，x ) ， v x ， 方程组( 3 1 6 ) 至u ( 3 2 0 ) 减去( 3 1 ) 至l j ( 3 5 ) , - 7 得， t ( e n t ，x ) + ( e n z z ，x ) = ( n e 一n ，) ( ) ，魄& ( 叩n t t ，x ) 一( ? 7 n 茁z ，x ) = ( i e i i z i 目i ：，x ) ，敬氏 ( e n ( o ) ，x ) = 0 ，呶氏 ( 叩n ( o ) ，x ) = 0 ，取& ( t ( o ) ，x ) = 0 ，溉& 下面我们对半离散谱格式进行误差估计 引理3 3 ( e n 的l 2 模估计) 设存在一个常数c ，使得 ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) 知e n 1 1 2 c ( 1 l e n1 1 2 + 1 1 1 1 2 ) + c l l 司1 2 + c l i 万1 1 2 ( 3 2 6 ) 证明：在( 3 2 1 ) 中令x = 百取虚部得， i m i 0 l e n t 百讹+ i m z l e n 霉正写如= i m 气e 一n 取) 百协， ( 3 2 7 ) 我们考虑( 3 2 7 ) 式等号左端第一项， i m t z l e n 。百d x = r e o l e n 。百如= 丢z 三磊d l e n1 2 如= 互l 面d 忙n1 1 2 ，( 3 2 8 ) ( 3 2 7 ) 式等号左端第二项，利用周期性，分部积分得， i m z l e n 船虿= 一o l e n z 瓦如= - - i m f o l i e n 坪如= 。， 一1 1 黑龙江大学硕士学位论文 ( 3 2 7 ) 式等号右端， i m | o n e - n n e n ) t ：n d x = i ml ( 、n e n e n + n e n n n e o 烁d ，l = i m ( 弭e n ) + ( 科) 日) 驰 ，l = i m ( 孙诧i + e n 百+ 万瓦百+ 瓦写) 如 = i m ( 虿n - d - f f n d x + n e n1 2 如+ 砜融+ 风写) 如 = i m o l 柳融+ i m o l 砜_ d z + i m o l r i n e , , 写d z ，( 3 2 9 ) ( 3 2 9 ) 式第一项的估计如下， i m z l 哪l 弧如l o l 刚i i 百l d x i i n i i o l 嗍如 c 旺i 司2 蚺上i e n l 2 d x ) c ( i i 司1 2 + 1 1 e n i t 2 ) ，( 3 3 0 ) 这里c = i i n i i 。， 利用引理3 2 ，( 3 2 9 ) 式第二项得， i m o l 砜_ d z l 砜写如i o l 吲l 风| l 瓦i 如i i e n l l 。o l 同l 瓦i 如 c 开如+ 口e n l 2 如) c ( 1 1 碉1 2 + i i e n 1 1 2 ) ，( 3 3 1 ) 这里c = i i 目i | ， ( 3 2 9 ) 式第三项， i m 厶e 融协刚z | 言( i i 玩i 玩i i ) + l l 驯o o 川以| | 2 + l | e n 川2 ) i i e n x l l 2 + ( 4 + 圭) i i e n i l 2 + 1 1 8 1 1 2 i i u z l l i i e l l ( 1 l v z l l 2 + 1 1 e n 1 1 2 ) 第3 章半离散f o u r i e r 谱方法 s ( 1 + 1 1 e l l 。) 1 1 e n 霉1 1 2 + ( i i e z i l 2 + i i e i i ) i l u z i l 2 + ( 4 + ) l i e n i l 2 c ( 1 l e n z l l 2 + l l u 。1 1 2 + l i e n1 1 2 ) ， 这里c = m a x i + i i e i i 。，l i e 1 1 2 + i i e i i ，4 + 圭) ， ( 3 3 7 ) 式等号右端第三项， - r e e n n d i n t d x = - r e ( 巩葡+ 砜t 百一 n t - ) d x = - r e o l 双n 写) 。如+ r e o l n 。百如 = _ r e z 气砜_ ) 。如+ r ez l 瓦n 百如+ r e o l g n n 。百如 = 一d te o l n _ d x + r e l e t n , , , 百n d x + r ez l n 。融，( 3 4 3 ) ( 3 4 3 ) 式等号右端第二项，利用c a u c h y 不等式，引理2 3 及引理3 2 得， r e z l 玩n 石如v o l 瓦n 百如i z l 吲i n 石恤 忙n 怯旺l i 瓦i i n n l d x ) 1 1 e n | i ( 2 l | e n 川+ 挑n 1 1 ) h 训n i i s ( | l n 胪扯一1 2 + ( 4 + z 1 川e 州2 ) 壶) ( | i n 一) i i n n i i ( i i e n x i l 2 + ( 4 + ) i l e n i l 2 ) + i i n i i i i 苞, 1 1 2 c ( 1 l e n 茁| | 2 + l f e n1 1 2 + 1 1 苞, 1 1 2 ) ，( 3 4 4 ) 这里c = ( 4 + 圭) i i n i i ， ( 3 4 3 ) 式等号右端第三项，分部积分， r e l - 虿n n 。驰比l 砜融l = 比l 砒z 和l = | z 气乱z 瓦 + 札z 藕) 如弧忆i i i l 百x l l 刊e ni i 。i i 仳$ i i1 1 瓦1 1 i l u z i l l l 司i ( 2 i i 瓦i l + 圭i l 司i ) ) 专i | e n z o + i l u z i l i i e n ( 2 i l e n 茹i i + 圭i i e n l | ) ) 专i i 砭i i - i i u z l l 1 1 砭1 1 2 + 园耕) + i i 乱z 1 1 1 1 e 洲i i + i l u x l l l e n z i l 2 + 阱挑n l i 夸+ i i u z i i l l 砭1 1 2 这里c = ( 4 + 圭) 0 i l ， 黑龙江大学硕士学位论文 一三z l n | e n 曙如= 一丢z 工 n i e n l ；+ n t | e n l 2 一n 水n 1 2 ) 如 = 一拼n | e n | 2 + 折n t | 甜i 如 = 一三掰n | e n l 2 蚺玎划e n l 2 如， ( 3 4 6 ) ( 3 4 6 ) 式等号右端第二项，分部积分，利用引理2 3 ，引理3 2 ) j 乏c a u c h y 不等式，可得 掰n t i 甜i 如= 三o o l 一瓦如= 一折嘶而+ e n 引如 ，厶 = 一r e ( u z e n 茁- g n ) d x i i e nl l i l u 。l il l e n 霉i i j 0 i i e n i i ( 2 i e n z i i + 圭i i e n ) 1 1 ) 毒i i 钍z i e n z i i i l u x l l i i e n $ 1 1 2 + ( 4 + z 1 ) l l e n | 1 2 ，+ i l u z l l l l e n 1 1 2 这里c2 ( 4 + z i u 霉l i ， 令， ，一z l e 百如， = 折n | e n l 2 虹 i l i = l e 砥如， = | j 琶n 焉如， ， 综合( 3 3 4 ) 至( 3 4 7 ) 式，适当调整右端项的系数，可樽 d - d ( 1i i 1 1 2 + z + + 仍+ ) c ( 1 l e n l l 2 i i 帆圳2 + i i u z l l 2 + i i 1 1 2 ) 证毕 引理3 5 ( 叩n 的能量模) 设存在一个常数c ，使得 三磊dj | 巩j j 2 + 三爰j j j j 2 c ( 1 l e n l j 2 + j i e n 川2 + j | i j 2 + i j 叼n i j 2 ) + c ( 1 l 司1 2 + l l 苞, 1 1 2 ) ，( 3 4 8 ) 第3 章半离散f o u r i e r 谱方法 一z 工“p n u 如+ o l p n u 如= 一z l ( 吲2 一l e v i 2 k p n u 如，( 3 4 9 ) ( 3 4 9 ) 式等号左端第一项，利用p n 的性质，u x 霉= n n t ，分部积分得， i 乞托p n u 如= 乞如= i 镜如= o 二以。如= d l l u z l l 2 ，( 3 s o ) ( 3 4 9 ) 式等号左端第二项，利用p n 的性质，分部积分得， z 乞z p n u 如= o l ( p n u ) z 霉如= o l p n 以z 如= o l 以茁如 = l t 如= 甄dl | i | 2 ，( 3 5 1 ) 一z ( i e l 2 一l e