（计算数学专业论文）时变种群动力系统解的渐近性态.pdf

摘要 脉冲动力系统是微分方程，动力系统，控制理论等几个主要的数学分支中最年轻 但可能又是目前最有吸引力的几个研究领域之一脉冲微分方程比相应的微分方 程理论丰富，而且它更加精确和实际的刻画了许多自然现象在理论上。我们结 合了离散动力系统，连续动力系统和脉冲动力系统的的相关理论系统的研究所提 出模型的各种动力学行为同时，脉冲动力系统为我们提供许多研究课题在种群 动力学中有许多自然现象( 种群的出生，死亡是季节性的离散性) 和人为因素( 人 类对可更新资源周期性的开发) 的作用可以用脉冲来描述，而脉冲微分方程恰好 是离散干涉的模型的一个自然的一个描述本文以脉冲微分方程的理论为基础， 建立带有脉冲效应的种群动力系统模型，系统地分析了所给出的时变模型的各种 动力学行为，并利用数值模拟的方法研究系统的各种复杂现象 第二章我们提出并研究在时变环境中种群增长，相互作用的时滞效应通过 不等式估计的技巧及构造持续生存泛函给出了非自治的两食饵一捕食者的三种群 系统的正解的最终有界进而，利用不动点定理，m 矩阵理论，对于周期系统 讨论正周期解的存在性和吸引性利用拓扑度的理论给出了具有时变离散时滞的 三种群捕食食物链系统正周期解的存在性，得到了时滞的大小对种群的持续生存 及系统周期行为的影响 第三章我们首先提出并系统地研究了具有脉冲效应的周期l o t k a - v o l t e r r a 两 种群捕食一食饵系统此系统存在三种类型的非负周期解：两种群均灭绝的平凡 周期解，一个分量消失的半平凡周期解和内部正周期解利用脉冲微分方程的比 较定理研究系统的有界性，进一步利用脉冲微分方程的f l o q u e t 的乘子理论得到 了平凡周期解和半平凡周期解的渐近稳定性的条件然后利用拓扑度的理论确定 正周期解的存在性其次。研究具有出生脉冲的两种群功能反应的扩散时滞的竞 争系统。讨论了扩散和时滞对正周期解的存在性的影响 第四章我们建立并系统地分析了脉冲效应对捕食系统持久性和灭绝性的影 响首先，考虑固定时刻综合害虫管理的数学模型，即在固定时刻捕杀一定比例 的害虫或喷洒杀虫剂杀死一定比例的害虫和周期投放一个常数的天敌来控制害 虫我们利用脉冲微分方程的f l o q u e t 理论，比较定理，和分析的方法得到边界 周期解全局稳定性和系统一致持久性的条件，利用脉冲微分方程分支定理建立正 周期解存在性和局部稳定性的条件脉冲综合害虫管理在害虫控制中是十分有效 的其次，对h o l l i n gi v 功能反应的捕食系统的捕食者引入周期脉冲投入得到系 统并研究了一致持续生存和灭绝性由于具有h o ! l i n gi v 功能反应的捕食系统具 有内部周期震荡。用数值分析方法研究脉冲投放量对系统内部周期震荡的影响， 我们发现脉冲带来复杂的现象：拟周期震荡，周期震荡，倍周期分支，混沌，半 周期分支，混沌危机，非唯一动力学等最后，我们讨论具有脉冲的捕食食物链 系统，也揭示了脉冲带来复杂的现象，这些现象为我们观察生态系统中混沌和吸 引子的共存现象提供了一个可操作的方法 关键词：脉冲微分方程，时变种群动力系统。拓扑度理论，周期解，持续 生存，复杂性 i i a b s t r a c t i m p u l s i v ed y n a m i c ms y s t e m i sp o s s i b l eo n eo ft h em o s t y o u n g l y a n dm o s ta t t r a c t i n gf i e l d si nm a i n m a t h e m a t i c a lb r a n c h e ss u c h 踮d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s d y n a m i c a l s y s t e m s ，c o n t r o lt h e o r i e se t c t h et h e o r yo fi m p u l s i v e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sn o t o n l yr i c h e rt h a nc o r r e s p o n d i n gt h e o r yo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb u ta l s or e p r e s e n t s am o r en a t u r a lf r a m e w o r kf o rm a t h e m a t i c a lm o d e l l i n g o f m a n y r e a lw o r l d p h e n o m e n a ，t h e o r e t i c a l l yw eu s eac o m b i n e da p p r o a c ho fd i s c r e t ed y n a m i c s ，c o n t i n u o u s d y n a m i c sa n di m p u l s i v ed y n a m i c st og l o b a l l yi n v e s t i g a t ed y n a m i c sb e h a v i o r a t s a m e t i m e ，i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o np r o v i d e s u sw i t h m a n y v a l u a b l er e s e a r c h s u b j e c t s m a n yr e a lw o r l dp h e n o m e n a ( b i r t h sa n dd e a t h so fp o p u l a t i o na r es e a r s o n a lo rd i s c r e t e ) a n dh u m a n a c t i o n ( p e r i o d i ce x p l o i t a t i o n o fh u m a nf o rr e n e w a b l e r e s o u r c e s ) d oe x h i b i ti m p u l s i v ee f f e c t s ，i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sp r o v i d ea n a t u r a ld e s c r i p t i o nd e s c r i p t i o no fm o d e lo fd i s c r e t ep e r t u r b a t i o n s i nt h i sp a p e r ， b a s e do na ni m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h e o r y , w ei n t r o d u e en o n a u t o n o m o u s p o p u l a t i o nd y n a m i c a l m o d e l s t h ev a r i o u sd y n a m i c a lb e h a v i o ro ft h ep o p u l a t i o n m o d e l sa r eg l o b a l l ys t u d i e da n dw ec a r e f u l l ya n a l y z et h ee o m p l e x i t y o ft h eg i v e n s y s t e m s i nt h i sp r o c e s s ，w eu s es o m em a t h e m a t i c a ls o f t w a r e s ，m a p l ea n dm a t l a - b e l 1 i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h en o n a u t o n o m o u st h r e es p e c i e sd y n a m i c a ls y s t e m w i t hd e l a y w eg e tt h eu l t i m a t e l yb o u n df o rt h ep o s i t i v es o l u t i o no fm o d e l sw e c o n s i d e rb ye s t i m a t eo fi n e q u a l i t ya n dc o n s t r u c t i n gs u i t a b l ep e r s i s t e n c ef u n c t i o n s f u r t h e r rb yu s i n gf i x e dp o i n tt h e o r e m ，m m a t r i xt h e o r y ，w eo b t a i nt h ee x i s t e n c e a n da t t r a c t i v i t yo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o nf o rt h ep e r i o d i cs y s t e m f i n a l l y ，b y u s i n gt h em e t h o do ft o p o l o g i c a ld e g r e e ，w eo b t a i nt h ee x i s t e n c e o fp o s i t i v ep c - r i o d i cs o l u t i o no ft h r e es p e c i e sp r e d a t o r p r e ys y s t e mw i t hn o n a u t o n o m o u sd e l a y w ea l s od i s c u s st h ee f f e c to fd e l a yo np e r m a n e n c ea n dp e r i o d i cs o l u t i o n so ft h e s y s t e m i nc h a p t e r3 ，w ei n v e s t i g a t eac l a s s i c a lp e r i o d i cl o k t a - v o l t e r r at w os p e c i e s p r e d a t o r - p r e ys y s t e mw i t hi m p u l s i v e e f f e c t s t h i ss y s t e me x h i b i t st h r e et y p e so ft - p e r i o d i cc o m p o n e n t - w i s en o n n e g a t i v es o l u t i o n s ：t h es o l u t i o n ( o ，o ) ，u s u a l l ya 5t h e t r i v i a lo n e ；t h o s ew i t ho n ec o m p o n e n tv a n i s h i n g ，o f t e nk n o w na st h es m e i - t r i v i a l d o s i t i v es o l u t i o n ；a n dn o n t r i v i a lp e r i o d i cs o l u t i o n s ，w h i c ha r et h es o l u t i o n sw i t h i i i b o t hc o m p o n e n t sp o s i t i v e w eg i v eb o u n d e d n e s so ft h es y s t e mu s i n gc o m p a r i s o n t h e o r e mo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o na n da l s og e ts o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s f o ra s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft r i v i a lp e r i o d i cs o l u t i o na n ds e m i - t r i v i a lp e r i o d i cs o l u t i o n s b yu s i n gt h et h e o r yo ft o p o l o g i c a ld e g r e e ，w es h o w t h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v e p e r i o d i cs o l u t i o n f o l l o w e d ，w es t u d yc o m p e t i n gs y s t e mw i t hd i f f u s i o n ，d e l a y , f u n c t i o n a lr e s p o n s ea n di m p u l s i v ee f f e c t s a n dw ed i s c u s st h ei n f l u e n c eo fd i f f u s i o na n dd e l a yo np e r i o d i cs o l u t i o no ft h es y s t e m i nc h a p t e r4 ，t h ee f f e c t so fi m p u l s e so nt h ep e r s i s t e n c ea n de x t i n c t i o no f p r e d a t o r - p r e ys y s t e m sa r es t u d i e dt h o r o u g h l y f i r s t l y , w ec o n s i d e ri n t e g r a t e d p e s tm a n a g e m e n tm a t h e m a t i c a lm o d e lw i t h f i x e dm o m e n t s ，t h a ti s ，ap r o p o r t i o n a lp e r i o d i ci m p u l s i v ec a t c h i n go rp o i s o n i n gf o rt h ep e s tp o p u l a t i o na tf i x e d m o m e n t sa n dac o n s t a n tp e r i o d i cr e l e a s i n gf o rt h ep r e d a t o r c o n d i t i o n sf o rt h e g l o b a ls t a b i l i t yo fb o u n d a r yp e r i o d i cs o l u t i o na n dp e r m a n e n c eo f t h es y s t e ma r e o b t a i n e db yu s i n gf l o q u e tt h e o r ya n dc o m p a r i s o nt h e o r e mo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o na n da n a l y s i sm e t h o d c o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c ea n dl o c a ls t a b i l i t y o f p o s i t i v ep e r i o d i c s o l u t i o na r ee s t a b l i s hv i ab i f u r c a t i o nt h e o r yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s e c & d l y , t h ef u n c t i o n a lr e s p o n s eo fh o l l i n gt y p ei v i si n t r o d u c e d t ot h ep r e d a t i o na n dp e r m a n e n c ea n de x t i n c t i o no ft h es y s t e ma y es t u d i e d s i n c e t h es y s t e mw i t hf u n c t i o n a lr e s p o n s eo fh o l l i n gt y p ei vm a yi n h e r e n t l yo s c i l l a t i n g ，t h ee f f e c t so ft h ea m o u n t o fi m p u l s i v e l ya d d i n go nt h ei n h e r e n to s c i l l a t i o n a r es t u d i e dn u m e r i c a l l yw ed i s c u s sh e r em a n yc o m p l e x i t yp h e n o m e n a a r ed o m i n a t e di m p u l s e ：q u a s i p e r i o d i co s c i l l a t i n g ，p e r i o d i co s c i l l a t i n g ，p e r i o d i cd o u b l i n g c a s c a d e ，c h a o s ，p e r i o d i ch m f i n gc a s c a d e ，c h a o t i cc r i s i s ，n o n u n i q u ed y n a m i c s e t c f i n a l l y , w ed i s c u s st h r e es p e c i e sp r e d a t o r - p r e yc h a i ns y s t e mw i t hi m p u l s i v ep e r - t u r b a t i o n s ，a n dd i s c u s sh e r em a n yc o r n p l e x i t yp h e n o m e n a a r ed o m i n a t e di m p u l s e t h u sam o r ee x e c u t a b l ew a yf o rw a t c h i n gt h ep h e n o m e n a o fc h a o sa n dc o e x i s t e n c e o fa t t r a c t o r si ne c o l o g i c a ls y s t e m si ss u g g e s t e d k e y - w o r d s ：i m p u l s i v e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，n o n a u t o n o m o u sp o p u l a t i o nd y n a m i c a ls y s t e m ，t h e o r yo ft o p o l o g i c a ld e g r e e ，p e r i o d i cs o l u t i o n ，p e r m a n e n c e ， c o m p l e x i t y i v 记号 本文采用如下通用记号： n ，r ，分别表示正整数集合，实数集 r “表示n 维的实欧氏空间 r + 表示非负实数集 = 盖 ( q ，所表示任意( 开，闭，半开半闭) 区间 v 第一章绪论 在自然界中有许多现象具有周期性，比如：季节的变更，食物的供给，侯鸟 的迁徙等等我们通过建立非自治种群动力系统，并研究系统的持续生存和周期 解的存在性以及全局吸引性 在经典的微分方程中，系统本身的状态是依时间而连续的，但是，自然界的 许多实际问题常常受到系统以外的干涉，尽管这些干涉是瞬时的与整个发展过程 的时间相比较可以忽略不计，可是它可以改变系统的状态这种变化过程广泛存 在于各种应用领域中，如理论物理，生物技术，经济控制，药物动力学，种群生 态学等等对于瞬时的扰动用连续动力系统去描述是不太合理和不够精确，而描 述这种现象需要研究解不连续的动力系统，这样的解不连续的动力系统称为脉冲 微分方程系统由于这种系统的状态在瞬时的发生变化，导致系统的解不连续， 所以研究脉冲微分方程系统比连续微分方程系统更加困难 近年来，由于应用上的需要，脉冲微分方程系统研究不断深入，形成了一套 基本理论文献【3 ，7 ，47 】给出了”鞭打”现象存在和不存在的条件，文f 9 3 】研 究解的存在性，唯性和连续性，文 4 ，8 4 ，9 2 】研究了解对初值和参数的连续依 赖性和可微性，文献【8 ，1 4 ，3 0 ，3 5 ，4 4 ，7 6 ，7 7 研究解的振动性，文献【9 1 给出 了极限环的存在性，文f 3 2 ，3 3 ，5 0 ，5 1 ，5 2 ，5 3 ，5 4 研究了周期解的存在性和稳定 性，除此之外还有许多作者对脉冲微分方程系统的理论进行总结f 9 ，1 0 ，5 9 ，6 0 1 但是，这些研究往往平移一些连续动力系统的一些结果，在实际中很难应用，所 以，尽管许多学者为脉冲微分方程系统在各领域应用做了许多工作，但脉冲微分 方程在种群动力系统的应用的研究结果较少，主要代表性的研究工作有：疾病的 免疫接种【2 ，5 ，6 ，8 5 ，8 6 ，9 4 】，种群生态学【2 0 ，2 l ，2 2 】，癌细胞的化学治疗 2 3 ， 6 1 ，7 81 ，生育脉冲 1 1 ，2 4 ，9 8 】，脉冲收获【97 l ，脉冲控制【9 6 】和资源的脉冲 输入【3 7 】 种群动力学中有很多自然现象或人为因素都是脉冲的，如，某些鱼类，鸟类 和动物的产卵或生育是季节性的1 2 4 ，一些物种的迁移等在可更新资源的开发和 利用中，在农业和林业的病虫害的防治中，用定期喷洒杀虫剂或定期投放天敌的 方法防治害虫，把连续的变成离散的脉冲行为所以，本文根据种群动力学中一 些脉冲现象和脉冲在种群动力学中实际意义，建立带脉冲效应的种群动力系统， 系统地研究脉冲效应对两种群捕食系统和三种群捕食系统i 约种群的持续生存，灭 绝性以及动力系统的复杂性 下面给出本文所用到的基础知识 大连理工大学博士学位论文 1 1 脉冲微分方程 考虑下列微分方程系统描述的一个变化过程： ( 1 ) 一系列微分方程 z ( t ) = ，( t ，z ( t ) )( 1 1 1 ) 其中f ：r + xq 彤，nc 口。是开集 ( 2 ) 集合m ( t ) ，n ( t ) cn ，t r + 以及 ( 3 ) 算子a ( t ) ：m ( t ) 一( t ) ，t r 十 令z ( t ) = z ( t ，t o ，z o ) 表示系统( 1 1 1 ) 过初值( t o ，? o ) 的解则演变过程如下： 点只= ( t ，z ( t ) ) 从它的起点p t 0 = ( t o ，z o ) 沿着曲线 ( t ，z ( f ) ) it t o 运动到时 刻t l ( f - t o ) ，点a 碰到集合m ( t ) 此对，算子a ( t ) 将点r 。= ( t ，z ( 1 ) ) 作用到 p t + = ( t t ，z ) n ( t 1 ) ，其中z j - = a ( t 1 ) x ( t 1 ) 接下来，点b 精着系统( 1 1 1 ) 过初 值最。= ( t 。，z ) 的解血线继续运动，直到下一时刻t 2 t l 又遇到了集合m ( t ) 于 是点只：= ( t 2 ，( 如) ) 又被作用到点只，= ( t 2 ，工手) ( t 2 ) ，其中z = a ( t 2 ) x ( t 2 ) 点只又同样沿着系统( 1 1 1 ) 过初值( t 2 ，t ) 的解z ( t ) = z ( t ，z 2 ，z ) 继续运动 只要系统( 1 1 1 ) 的解存在，这一演变过程就能继续下去 利用( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 所描述的一个演变过程被称为脉冲微分方程系统，点p t 的 运动所描述的曲线和由此所定义的曲线函数分别称为这个脉冲微分方程系统的积 分睦线和解 脉冲微分方程系统与连续微分方程系统有很大的不同，它的解可以是： ( 1 ) 连续可微函数，如果积分曲线与m ( t ) 不交或算子a ( t ) 的不动点； ( 2 ) 2 有有限个第一类间断点的分段连续可微函数，如果积分曲线与m ( t ) 交 有限个a ( t ) 的非不动点； ( 3 ) 有可数个第一类间断点的分段连续可微函数，如果积分曲线与m ( t ) 交 可数个a ( t ) 的非不动点 点r 碰到集合m ( t ) 的时刻称为脉冲时刻，并且规定脉冲微分方程系统的 解在脉冲时刻是左连续的，即：z ( 蝠) = l i mz ( “一) = z ( “) h 自由选取描写脉冲微分方程系统的三大关系( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 可得到较为常用的三 种脉冲微分方程系统； i 固定时刻脉冲的脉冲微分方程 集合m ( t ) 表示一系列平面t = 圮且“是满足“、。，_ o 。的时间序 列算子a ( t ) 只有在t = t k 有定义，算子序列a ( k ) 满足： a ( k ) ：q _ n ，z _ + a ( k ) x = 3 3 + ( z ) ， ， 第一章t 绪论 其中厶：q _ q 相应地，集合n ( t ) 在时刻t = t 有定义，因此n ( k ) = a ( k ) m ( ) 在这种情况下，固定时刻发生脉冲的脉冲微分方程系统的数学模型表 示为： 憾a z ( t 暑渊拦t 譬m ， 1) = ( 工( t ) ，= “ 、 7 其中a x ( t a ) = z ( t 毒) 一。( “) ，z ( t ) = ! 姆z ( “+ ) i i 脉冲时刻变化的脉冲微分方程 曲面序列瓯是由鼠：t = n ( 石) ，k = 1 ，2 ，组成的，其中仉( z ) 满足 r k ( x ) + l ( z ) ，1 i m 珏( z ) = 。则有下列的脉冲微分方程系统t j 一( t ) = ，( f ，z ( ) ) ，t 强扛) ，k n ，r 11 啪 la z ( t ) = 厶( z ( t ) ，t = n ( z ) 、 7 脉冲时刻变化的脉冲微分方程系统( 1 1 3 ) 相对于固定时刻脉i 申的系统( 1 1 2 ) 要 复杂一些，其脉冲时刻要依赖方程t = 仉( z ( “) ) ，k n 的解因此，不同初始 位置出发的解可能具有不同的不连续性；一个解可能碰到同一曲面& ，称之为” 鞭打现象”；不同的解还有可能从某一时刻重台在一起，这称为”合流现象” i i i 自治脉冲系统 假设集合m ( t ) = m ，n ( t ) = n ，及算子a ( t ) = a 都与时间t 无关 a ： m h 定义为a x = z + ，( 引，其中i ：n 卜q 则脉冲系统为： 一( t ) 。巾，茹( t ) ) ，t 毛m ，叭4 ) ia z ( t ) = ，( z ( t ) ) ，t m 、 当任何解x ( t ) = x ( t ，0 ，。o ) 在某一时刻t 碰到集合m 时，算子a 将m 上的 点z ( t ) 作用到上的点z ( p ) = z ( t ) + j ( z ( t ) ) 由于系统( 1 1 4 ) 是自治系统， 点。( ) 的运动可沿着系统( 1 1 4 ) 的轨线在集合q 中来考虑 本文描述时变生态种群系统解的渐近性态，所涉及到脉冲系统均为固定时刻 的脉冲微分方程系统 1 2 脉冲微分方程解的存在性，唯一性，延拓性 本节，我们给出脉冲微分方程解的存在性，唯一性，延拓性的一些结果，这 些结果主要引自文献f l o ，59 】 3 大连理工大学博士学位论文 对于具有初始条件的咏冲微分方程系统： lz 7 ( t ) = f ( t ，。( t ) ) ，t t k ( z ) ，b n ， a x ( t ) = ( z ( t ) ) ：t = ( z ) ( 1 21 ) i 。( t j - ) = 孤 其中，：r q 一印，厶：q 时r ”，n ：n r ，r ( z ) o 使- 5 巧( 毋( s ) ) ，t s 0 ，使得当o t t 1 ( y ) 时有有限极限 ，( s ，v ) 注释1 2 5 ：如果初值问题( 1 21 ) 所对应的连续系统 z 7 ( t ) = ，0 ，z ( t ) ) ，z o o ) = z o 的解是唯一的，则初值问题( 1 2 1 ) 的解也是唯一的例如：当，在( t o ，。o ) 的某 个邻域关于o ( 局部) l i p s e h i t z 连续，结果成立 如果初值问题( 1 2 1 ) 有唯一解，我们就将其记为x ( t ，t o ，x 0 ) ，下面更为详细 考虑固定时刻脉冲的微分系统： 第一章：绪论 _ 巾侧) ，辟圮肛m ( 1 1 2 ) l ( = i k 扛壮) ，t = 靠 定理1 2 6 ：假设函数，在集合( “，t k + 1 n ( k n ) 上是连续的，并且对于 所有n 和z f 2 ，当( t ，y ) _ ( t 女，z ) ，t “时，( t ，y ) 存在有限极限则对于每 一个点( t o ，茁o ) r + n ，存在声 t o 使初值问题( 1 2 1 ) 有解。：( t o ，卢) 一r f l 如果，在矗+ q 的关于z ( 局部) l i p s c h i t z 连续，则解是唯一的 给定脉冲微分系统( 1 1 2 ) 的解( t ) ，下面给出其延拓性 定理1 2 7 r ：假设下列条件成立 1 假设函数，在集合( k t 川 a ( k n ) 上是连续的，并且对于所有n 和z n ，当( t ，y ) _ ( t k ，。) ，t “时，( t y ) 存在有限极限； 2 ，函数咖：( a ，p ) h 郧是系统( 1 1 2 ) 的解； 3 ( a ) 对每一个k n ，有卢t k ，( b ) 对某些n ，q + ( q ) ，有声= k 条 件( a ) ，( b ) 有一个成立 则曲( f ) 解可以延拓到卢的右边当且仅当存在极限 。骧2 q 定理1 2 8 ：假设下列条件成立： 1 ，定理1 2 7 中条件1 成立； 2 函数，关于z 在r + n 上局部l i p s c h i t z 连续； 3 对所有k n 和r l n ，有口+ 厶( 口) n 则对任何点( t o ，z o ) ，初值伺题( 1 2 1 ) 在某区间( t o ，) 上存在唯一解且不能延拓 到u 的右边 如果定理1 2 8 的条件成立，给定( t o ，z 。) 凡n ，则解z ( t ，t o ，z o ) 有定义 的形如( t o ，u ) 的最大区间，记为j + = 3 + ( t o ，z o ) 定理1 2 9 ：假设下列条件成立： 1 定理1 2 8 的条件成立； 2 咖( d 是初值问题( 1 2 1 ) 的解； 3 存在紧集q c n 使得t j + ( t o ，2 7 0 ) ，有西( t ) n ， 则了+ ( t o ，2 7 0 ) = ( t o ，。) 在种群动力学中，解的最大区间是( t o ，。) 大连理工大学博士学位论文 1 3 脉冲微分方程解的仅性 i f l j 另u 和稳定性的概念 设jc 丘记p c ( j , r ) 是满足以下条件的函数集合：函数1 ；f r ：j - r 在 t z t a 处连续，点j 是函数的第一类不连续点且该点处的左极限存 在记p c i ( 工r ) 是满足妒：j - - 9r 且导数警p c ( j , r ) 的函数集合t 周 期函数构成b a n a c h 空间如下； p c t 。 咖p c ( j 0 ，t i ，r ) l 妒( o ) = 妒( t ) ) ( u 币l i p g = s u p i 妒( t ) l ：t ( 0 ，t i ) p c 拿= 妒p c i ( o ，t i ，r ) i 砂( o ) = 妒( 丁) ( | | 妒f | p c = m o 茹 j | 妒l i pc _ ，0 妒t i p 衅) ) 我们用c 表示连续的t 周期函数的空间下面我们给出集合的仅性的判 定 定义1 3 1 ( 9 ，1 0 】集合a 在【0 ，t 】上是拟等度连续的，如果对任意 0 ， 存在d o 使得当z a ，k m t l ，t 2 h 一1 ，仉】n 【0 ，t i ，且lt l t 2j 0 ，i = l ，2 ，一，n ) 系统( 1 1 2 ) 在r + x n 上满 足解的存在唯性条件且解的最大存在区间为 t o ，。) 设。( t ) = z ( t ，t o ，z o ) 一( t ) = 。( ，t o ，z ；) p c ( n + ：n ) 分别为系统( 1 1 2 ) 的任意解和一个固定解，满足z ( ) = z o ，o ( t 亭) = ； 定义1 3 3 若对任意初值z o 存在正常数m m 0 ( 与x o 无关) ，使得当 时间t 充分大时有 m ( t ) m ， 则系统( 1 1 2 ) 称为是一致持续生存的 定义1 3 4 若对任意初值o o 和某1 i n ， 基恐q ( t ) 3 0 ， 则。，( t ) 称为是灭绝的 定义1 3 5 若对任意初值。o ，均有 熙旧( t ) 一z 1 2 0 ，i21 州2 ，n 6 第一章：绪论 则o ( t ) 称为是全局吸引的 注释1 3 6 ：关于种群系统持久性的定义还有更多可见 2 5 ，2 6 ，2 7 ，脉冲微 分方程的稳定性的定义可见f 3 l ，3 4 ，3 6 ，6 3 脉冲微分方程在讨论系统的稳定往时的一个有效的方法是l i a p u n o v 函数 由于脉冲微分方程的解是分段连续的，所以脉冲微分方程要求其l i a p u n o v 函数 是分段连续的即可为此，我们定义函数集 v o = y ：r + n 时r + ，v 在( t ，k + l 】xq 上是连续的并且y ( t ，2 7 ) = ( t ，”m l i r a 翻舢m ) 存在) 定义1 3 7 设v ，则对( t ，x ) ( t ，t k + - 】xq 关于系统( 1 1 2 ) 的右上导 数定义为： 1 d + y ( t ，z ) 2 l i m + s u p h v ( t + h ，。+ 6 f ( t , x ) ) 一v ( ，2 ) 】 1 4 拓扑度理论与脉冲微分方程解的比较定理 1 拓扑度理论 m a w h i n 拓扑度理论中的连续定理在证明系统周期解的存在性中起到了非常 重要的作用，并且得到很好的应用在对脉冲系统的研究中，我们也将试图利用 这一重要结论来研究脉冲系统周期解的存在性为此，先叙述该结论，该结论的 更详细的论述见文献 3 8 ，4 1 】- 定义1 4 1 设x ，z 是赋范向量空间l ：d o t a lc x z 为线性映射， n ：x - z 为连续映射，如果d i m k e r l = c o d i m l m l 0 ， “( 靖) ；z ( t k ) + g k ，t = “ 0 ，( 1 4 1 ) i ( o + ) s5 0 0 其中，( t ) ，g ( t ) p c ( o ，o 。) ，月) ， 0 ，g k 和u o 是常数( k = 1 ，2 ，) 则对t 0 有 u ( t )u ( o ) 1 - i p ( 詹f ( t ) d s ) o 仉 + 姥n k e z p t f ( r ) d r ) g ( s ) d s j f k ( 1 + 墨，卫乃e 印( 最f ( s ) d s ) g k o “( n 兰q 0 我们有 u 0 ) u ( 0 ) n e x 。tf ( t ) d s ) + j ； 兀 e 印( rf ( r ) d r ) g ( s ) d s 5 s n + ，n ，f ：x p ( 丘f ( s ) d s ) g k o , r k t h j t 考虑系统( 1 1 2 ) ，并且假设它满足下列条件： 0 t l t k t k 时，f ( t ，y ) 存在有限极限； i k ：融一冰 设g ：r + 舻卜r + 满足， ( h ) ：g 在( t k ，t k + 1 胛上是连续的并且对每一个2 7 聊，k n ，极限 l i m ，y)=9(f，2)存在g(t v ) h l i 圳 定理1 4 4 1 1 0 1 假设v y o ，假设下列不等式成立 d + y ( t ，。) g ( t , v ( 。，z ) ) “，七， ( 1 删 ly ( f ，z 0 + ) ) 以。( y ( ，z ) ) t = t k ，k n ， 7 8 第一章：绪论 其中夕：风月+ 卜且满足) 且如：冗+ hr + 是非减的，令r ( ) 是下面标 量脉冲微分方程在【0 ，+ 。) 的最大解 iu = g ( t ，u ( t ) ) ，“， u ( t + ) = t f l 。( ( t ) ) ， t = “ iu ( o 十) = o ， 则v ( o + ，z o ) “o ，进而 y 0 ，z ( t ) ) sr ( t ) ，t 0 ， 其中z ( t ) = z ( t ，o ，z o ) 系统( 1 1 2 ) 的任意解 定理1 4 3 中的vg 均是标量函数，若它们是向量函数， 的函数对，也有类似的结论( 见文献f 1o 】定理3 1 2 ) 1 5 本文的主要工作 ( 1 4 3 ) 当g 是拟单调不减 本文主要从以下几个方面展开： 第二章研究在时变环境中种群增长，相互作甭和对滞效应首先，通过不等式 技巧和构造持续生存泛函证明非自治的两个食饵一个捕食者三种群的一致持续生 存，并利用m 一矩阵理论讨论在周期的情况下周期解的存在性和唯一性其次， 我们又研究了非自治周期三种群捕食食物系统的正周期解的存在性 第三章建立并且讨论具有脉冲效应的周期l o t k a - v o l t e r r a 系统首先，给出 了两种群周期捕食食饵脉冲系统，此系统存在三种类型的非负周期解：两种群 均灭绝的平凡周期解，一个分量消失的半平凡周期解和内部正周期解我们得到 了平凡周期解和半平凡周期解的渐近稳定性其次，研究了具有出生脉冲的扩散 的两种群竞争系统 第四章系统分析脉冲效应对捕食系统持久性和灭绝性的影响对l o t k a - v o l t e r - l a 捕食系统的捕食者引入周期脉冲投放，对食饵引入周期脉冲捕获建立周期脉冲 的捕食系统其生物意义是非常广泛的，如：人为的保护濒危物种或理解为物种 的定期迁移，引入天敌控制害虫或喷洒杀虫剂控制害虫等我们利用脉冲微分方 程的比较定理和f l o q u e t