（运筹学与控制论专业论文）模糊凸分析及其在模糊规划中的应用.pdf

摘要 本文系统地研究了模糊凸分析与模糊优化及其它们之间的联系在研究模糊 向量空间、模糊凸集和模糊凸映射的基础上，我们研究了模糊规划的l a g r 锄g e 对偶和凸模糊规划的k k t 条件，并将有关结果应用到模糊线性规划和模糊二次 规划的研究中 取得的主要结果可概括如下： 1 在第3 章中，从随机落影理论和“模糊直线”的角度研究模糊向量空间：给 出了模糊仿射变换的概念，研究了模糊仿射变换与模糊线性变换之间的关系：引 入了反模糊数的概念，并给出了有关的基本性质；利用三角范数研究了模糊内积 空间；最后，讨论了模糊向量的内积 2 在第4 章中，建立了有关凸模糊映射的理论：建立了关于凸模糊映射的 j e n s e n 不等式、模糊正齐次映射、凸模糊映射的下卷积、右数乘和凸包等概念。利 用模糊数的参数化表示，给出了相应的定理；在反模糊数空间，对凸模糊映射的 共轭也作了探讨，证明了凸模糊映射的共轭集合和共轭映射都是凸的；最后对凸 模糊映射的次梯度、次微分和微分等概念进行了研究，为模糊极值理论打下了 基础 3 在第5 章中，首先，在第4 章所建立模糊凸分析的结构基础上，考虑了凸 模糊映射的极值问题，得到了凸模糊映射取得极值的充分必要条件其次，讨论 了模糊映射的鞍点与极小极大定理，并与模糊规划的l a g r a n g e 对偶联系起来，由 此得到凸模糊规划的姆a n g e 对偶和k k t 条件，并对”受扰”的凸模糊规划也作 了讨论最后，将所得到的结果应用到模糊线性规划与模糊二次规划的研究中 关键词：模糊数，反模糊数，模糊向量空间，模糊凸集，模糊内积，模糊凸映 射，模糊正齐次映射，凸模糊映射的下卷积，凸模糊映射的右数乘，模糊映射的凸 包，凸模糊映射的共轭，凸模糊映射的次梯度，凸模糊映射的次微分，凸模糊映射 的微分，鞍点，极小极大定理模糊规划，凸模糊规划，l a g r a n g e 对偶，k k t 条件， 模糊线性规划，模糊二次规划 a b s t t a c t t h i sd i s s e r t a t i o ns t u d i e ss y s t e m a t i c a l l yf u z z yc o n v e x a n a l y s i sa n d f u z z yo p t i m i z a t i o na n dt h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h e m b a s e do nt h et h e o r y o ff u z z yv e c t o rs u b s p a c e s ，f u z z yc o n v e xs e t sa n df u z z yc o n v e xm a p p i n g s ， t h el a g r a n g i a nd u a l i t yt h e o r yi ss t u d j e da n dk k tc o n d i t i o n sf o rf u z z y p r o g r a m m i n g a r ed e r i v e d t h e r e s u l t so b t a i n e df o r f u z z y c o n v e x p r o g r a n 朋i n ga r ee m p l o y e dt ot h es t u d yo ff u z z yl i n e a rp r o g r a m m i n ga n d f u z z yq u a d r a t i cp r o g r a m m i n g t h em a i nr e s u l t so b t a i n e di n t h i sd i s s e r t a t i o na r es u m m a r i z e da s f o l l o w s ： l f i nc h a p t e r3 ，t h ef u z z yv e c t o rs u b s p a c e sa r ed i s c u s s e df r o mt h e v i e w so fr a n d o m s h a d o w sa n d f u z z yl i n e s ；t h en o t i o no f f u z z y a f f i n e t r a n s f o r m a t i o ni si n t r o d u c e d ，a n dt h er e l a t i o n sb e t w e e naf u z z ya f f i n et r a n s f o r m a t i o n a n daf u z z yl i n e a r m a p p i n ga r ed i s c u s s e d t h ec o n c e p to fa n t i - f u z z yn u m b e ri s p r o p o s e d ，a n ds e v e r a lb a s i cp r o p e r t i e sa r ep r e s e n t e d f u z z yi n n e rp r o d u c ts p a c e s a r ei n v e s t i g a t e db yt - n o r ma n dt - c o n o r m ，a n dt h ei n n e rp r o d u c to ff u z z y v e c t o r sisc o n c e r n e d 2 c h a p t e r4e s t a b l i s h e st h et h e o r yo fc o n v e xf u z z ym a p p i n g s ：t h e c o n c e p t s ，s u c ha sj e n s e n si n e q u a l i t y ，p o s i t i v e l yh o m o g e n e o u s i n f i m a l c o n v o l u t i o n ，r i g h ts c a l a rm u l t i p l i c a t i o na n dc o n v e xh u l la r ei n t r o d u c e d t h e c o r r e s p o n d i n gt h e o r e m s a r ed e m o n s t r a t e d b yu s i n gt h ep a r a m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n so ff u z z yn u m b e r s i n a n t i f u z z y n u m b e r s p a c e t h e c o n j u g a t em a p p i n go fc o n v e xf u z z ym a p p i n gi sc o n c e r n e d ，a n dc o n v e x i t i e s o fc o n j u g a t es e ta n dc o n j u g a t e m a p p i n go fc o n v e xf u z z ym a p p i n ga r ep r o v e d t h en o t i o n so f s u b g r a d i e n t ，s u b d i f f e r e n t i a l ，d i f f e r e n t i a lw i t hr e s p e c t t oc o n v e xf u z z ym a p p i n g sa r e i n v e s t i g a t e d ，w h i c hp r o v i d e st h eb a s iso f t h et h e o r yo ff u z z ye x t r e m u mp r o b l e m s 3 c h a p t e r5i sd e v o t e dt h es t u d yo ff u z z yo p t i m i z a t i o ni nf u z z yc o n v e x a n a l y s i s s t r u c t u r e g i v e ni nc h a p t e r4 w ec o n s i d e rt h e p r o b l e m so f m l n l m l z l n g a n dm a x i m i z i n gac o n v e xf u z z ym a p p i n go v e rac o n v e xs e ta n d d e v e l o pn e c e s s a r ya n d o rs u f f i c i e n to p t i m a l i t yc o n d i t i o n s w ed i s e u s st h e c o n c e p to fs a d d l e p o i n t sa n dm i n i m a xt h e o r e m su n d e rf u z z ye n v i r o n m e n t t h er e s u l t so b t a i n e da r eu s e dt ot h el a g r a n g i a nd u a lo ff u z z y p r o g r a m m i n g u n d e rc e r t a i nf u z z yc o n v e x i t ya s s u m p t i o n s ，k k tc o n d i t i o n sf o r f u z z y p r o g r a m m i n ga r ed e r i v e d ，a n dt h e p e r t u r b e d c o n v e xf u z z yp r o g r a m m i n gi s c o n s i d e r e d f u r t h e r m o r e ，t h ea b o v er e s u l t sa r ea p p l i e dt of u z z y1 i n e a r p r o g r a m m i n ga n df u z z yq u a d r a t i cp r o g r a m m i n g k e yw o r d s ：f u z z yn u m b e r s ，a n t i f u z z yn u m b e r s ，f u z z yv e c t o rs p a c e s ， c o n v e xf u z z ys e t s ，f u z z yi n n e rp r o d u c t s ，c o n v e xf u z z ym a p p i n g s ，f u z z y p o s i t i v e l yh o m o g e n e o u s ，f u z z yi n f i m a lc o n v o l u t i o n ，f u z z yr i g h ts c a l a r m u l t i p li c a t i o n 。f u z z yc o n v e xh u l l o ff u z z ym a p p i n g s ，f u z z yc o n j u g a t e m a p p i n g ，f u z z ys u b g r a d i e n t ，f u z z ys u b d i f f e r e n t i a l ，f u z z yd i f f e r e n t i a l ， f u z z ys a d d l e p o i n t s ，f u z z ym i n i m a xt h e o r e m s ，f u z z yp r o g r a m m i n g ，c o n v e x f u z z yp r o g r a m m i n g ，f u z z yl a g r a n g i a nd u a l ，k k tc o n d i t i o n s ，f u z z yl i n e a r p r o g r a m m i n g ，f u z z yq u a d r a t i cp r o g r a m m i n g 第1 章引胄 第1 章引言 不确定性是决策分析中存在的普遍现象，传统的决策理论在解决不确定问题 时一般运用的数学工具是概率统计分析，因此对不确定性问题所建立的数学模 型都是单一的随机模型这样实际上假定了决策中的不确定事件，不论其性质和 表现的形式如何，都是认为受随机因素影响而产生的结果但是随着对实际问题 深刻认识，特别是在人工智能方面，从上个世纪6 0 年代，人们已经重新认识和 评价概率论的意义，人们也越来越感到这种把不确定性单纯地等同予随机性的 做法是不切实际的在1 9 6 5 年，z a d e h 提出了模糊集合的概念，用隶属函数刻画 元素属于集合的程度，将经典集合的二值逻辑 o ，1 推广n o ，1 】区间内的连续值 逻辑，从而诞生了模糊集合论，提供了对模糊现象进行定量描述和分析运算的方 法从那时起，模糊集理论便应用到运筹学、管理科学、人工智能、控制论等许 多领域概率论的产生，把数学的应用范围从必然现象扩大到偶然现象的领域 模糊数学的产生则把数学的应用范围从清晰现象扩大到模糊现象的领域概率 论研究和处理随机性，模糊数学研究和处理模糊性，二者都属于不确定数学，它 们之间既有深刻的联系，又有本质的不同 广义地讲，决策就是运筹它涉及运筹学的各个方面，如规划、博弈、排队、 库存、网络等问题都是属于决策科学的范畴狭义地讲。决策论是研究一类特殊 的博弈活动，它以决策者为一方，以环境为另一方的博弈传统的决策理论按照 事物发展的可能性把决策划分为确定的和随机的两种类型，而完全忽略了决策 中模糊性的存在一般来说，随机性是一种外在因果的不确定性，而模糊性是一 种内在结构的不确定性从信息论来看，随机性只涉及信息的量，而模糊性则关 系到信息的含义所以模糊性是一种比较深刻的不确定性在现实生活中，模糊 性的存在比随机性的存在更为广泛尤其在主观的认识领域，模糊性的作用比随 机性的作用更重要而决策是人们对事物的评价与选择任何决策理论和方法都 是建立在人类的认识和活动的基础上，反映了人类分析和处理问题的思辩过程 因此，决策是门科学，但又是一门艺术盾者涉及到社会、心理、主观意愿和 工作经验等多方面因素，这些因素大都具有模糊特征与动态性质，敌决策问题中 的不确定性虽然包含有随机性的成分但更多地表现为模糊性，或者模糊性与随 机性的同时并存川” 在1 9 7 0 年，b e l l m a n 和z a d e h 在多目标决策的基础上，提出了模期决策的基 本模型1 3 在该模型中，凡决策者不能精确定义的参数、概念和事件等，都被处 理成某种适当的模糊集合，蕴含着一系列具有不同置信水平的可能选择此后， 模糊规划就一直是引人注目的研究领域z i m m e t m a n n1 4 1 将这种思想首先应用到 数学规划研究中，并在众多学者的共同努力下，使得模糊规划，特别是模糊线性 规划得到了迅速的发展，建立了一套求解模糊线性规划的容差法( t o l e r a n c e a p p r o a c h ) ，该法不仅在理论上比较完备，在实际的模糊决策中也获得了广泛的 应用1 2 ，1 5 1 在1 9 7 8 年，z a d e h 进一步提出与模糊集理论相辅相成的可能性理论， 以说明随机性与模糊性的本质区别这一理论的建立也促进模糊规划的进一步 查垄些三查皇堡主兰垡笙壅! 堡塑曼坌堑墨基垄堡塑塑型主塑查旦 发展，关于模糊线性规划的研究状况可见r o m m e l f a n g e r 和s l o w i n s k i 的综述性 的文章1 6 1 清华大学刘宝碇教授对随机规划建立了相关机会规划模型1 7 1 ，并根据随机规 划的建模机理，给出了模糊规划的期望值模型罔，建立了模糊相关机会规划理论 ，根据对随机规划与模糊规划的研究，建立了不确定规划理论邮j 由于决策问 题中的不确定性可能会包含随机性、模糊性等多种成分，刘宝碇又绘出了r o u g h 变量、随机模糊变量、随机r o u g h 变量、r o u g h 随机变量、模糊r o u g h 变量、 r o u g h 模糊变量、b i r a n d o m 变量和b i f u z z y 等，并通过对其研究，建立了不确定 性理论及不确定规划理论”汕头大学的曹炳元教授对模糊几何规划也进行了 深入的研究” 尽管不确定理论与不确定规划取得了丰硕的成果，但此领域仍存在大量的尚 待探索的课题刘宝碇教授在第一届不确定系统年会指出”：从不确定理论内 容延伸来讲，需要更深入的数学理论分析；从不确定规划模型的扩充来讲，需要 进一步研究不确定环境下的动态规划和多层规划从另外一个侧面来看，寻求不 确定规划的最优性条件或建立对偶理论以及如何进行灵敏度分析，都是具有挑 战性课题：从不确定规划的计算效率来讲，需要设计更有效的基于启发式算法的 求解算法；从应用角度来看。可以进一步考虑在模式识别、排队系统、环境保护、 质量控制、风险分析等领域的应用 从而可见，模糊规划理论是不确定规划理论研究的一个重要方面，对模糊规 划的深入研究将进一步丰富不确定规划的理论目前，模糊规划的研究主要是应 用容差法与可能性理论来讨论”l ，仞i 如对于模糊非线性规划模型 m i 百g o ( x ) s t g i ( x ) 丘，f = 1 2 x 0 其中g 。和g 是非线性函数可以应用z i m m e r m a n n 的对称模型并根据b e l l m a n 和z a d e h 提出的模糊决策基本模型，将上述问题化为下列等价问题： m a xd s t g d ( x ) sb o - i - ( 1 一c o p o g ，( z ) 4 一( 1 一c o p , ，i = 1 , 2 ，肌 口f o 】，工_ - 2 0 其中，6 j 和p 分别为给定的目标和容差( 这里模糊目标与模糊约束用隶属函数 给予解释，并假设隶属函数是线性的) 第1 章0 l占 但是，对于模糊规划的对偶理论、k k t 条件等的研究尚不多见，甚至还没有 任何进展其原因就是现有的关于模糊向量空间、模糊凸集、模糊凸映射等方 面的理论研究只是从数学角度进行了推广，因此并不能象经典数学中向量及其 有关运算在优化理论中有着广泛的应用，所以单方面的考虑看来是远远不够的 只有在充分理解现有的模糊集理论与模糊优化理论的基础上，系统分析两者之 间的联系，才可能取得理论上与实践上的突破这样如何研究模糊集理论与模糊 规划的联系就是一个重要研究课题本文将模糊集理论与经典的非线性规划理 论相融合，建立了部分主要的模糊凸分析理论及一种模糊规划理论的框架，为科 学决策提供了一定的理论依据，同时也丰富了不确定规划的理论 在本文中，比较系统研究了模糊凸分析与模糊规划理论，并建立了它们之 间的联系首先确定那些核心概念所依存的空间结构：然后在所建立的拓扑向 量空闻中研究凸模糊映射、模糊正齐次映射、凸模糊映射的下卷积、右数乘、 模糊映射的凸包、凸模糊映射共轭和凸模糊映射的次梯度、次微分、微分等，并 建立了相应的定理：从而给出了一种具有主体框架的重要结果在上述研究的 基础上，本文研究了如下形式的模糊规划问题： rainf，(xx)s一。xs(fpstg 0 ) 1 ，( x ) s ，x s 。 其中f ：s _ + r ，g ，：s _ r ( ，= l ，肼) 为模糊映射，s 为向量空间e 的子集， r 为模糊数所组成的集合 通过讨论模糊意义下的鞍点与极小极大定理，并与模糊规划( f p ) 的l a g r a n g e 对偶联系起来，由此得到凸模糊规划( 当f ，g ，为凸模糊映射时的( f p ) ) 的 l a g r a n g e 对偶和k k t 条件，并将所研究的结果应用到模糊线性规划和模糊二次 规划的研究中由此建立了一种模糊规划的基本框架 本文的主要内容如下： 第2 章：模糊数学的预备知识这章涉及到模糊集的概念、运算、三大定理( 分 解定理、表现定理和扩展原理) 和随机集及其落影主要为第3 章的内容，特别 是对模糊向量空间理论、模糊数的表现定理、模糊数的运算和模糊内积空间的 研究打下基础 第3 章：模糊数空间由经典的数学规划理论我们知道，要想完成上述研究， 首先要研究模糊向量空间、模糊凸性等基本概念的定义及运算，也就是要确定 这些概念所依存的空间结构所以本章就是在研究现有的模糊向量空间和模糊 凸性等概念的基础上，确定了本文所需要的拓扑向量空间结构给出了反模糊数 的概念，并研究了有关性质，这为第4 章所研究的凸模糊映射的共轭映射的研究 打下基础 第4 章：凸模糊映射及其微分本章对照经典的凸分析【l ”中关于凸函数的理 论对凸模糊映射进行了系统的研究应该说，凸模糊映射是建立模糊凸规划的理 论基础s n a n d a 等人也对此进行了研究1 ，但在其证明中所作的假设是不合理 的，在本章中弥补了该文证明的不足，并建立了关于凸模糊映射的j e n s e n 不等 大连理工大学博士学位论文：模糊凸分析及其在模糊规划中的应用 式、模糊正齐次映射、凸模糊映射的下卷积、右数乘和凸包等概念给出了相 应的定理对凸模糊映射的共轭也作了探讨，建立了与经典情形相类似的定理 为建立凸模糊规划的k k t 条件，最后给出了关于凸模糊映射的次梯度、次微分 和微分等概念，并给出了相应的定理与例题 第5 章：模糊规划首先，讨论了凸模糊映射的极值问题，得到了有关凸模 糊映射取得极值的充分必要条件其次，讨论了模糊意义下的鞍点与极小极大 定理，并将其应用到模糊规划的l a g r a n g e 对偶理论的研究中，得到了一个点为 l a g r a n g e 模糊映射鞍点的充要条件利用第4 章关于凸模糊映射的微分，由此得 到凸模糊规划的l a g r a n g e 对偶和k k t 条件，并对”受扰”的凸模糊规划也作了讨 论最后，将所得的结果应用到模糊线性规划与模糊二次规划的研究中 参考文献 【1 】1 李荣钧著模糊多准则决策理论与应用，科学出版社，2 0 0 2 【2 】2l a i ，y j a n dc l h w a n g ，f u z z ym a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n gm e t h o d sa n d a p p l i c a t i o n s ，s p f i n g e v v e d a g ，b e r l i nh e i d e l b e r g ，1 9 9 2 f 3 】r e b e l l m a na n dl a z a d e h ，d e c i s i o nm a k i n gi n af u z z ye n v i r o n m e n t , m a n a g e m e n t s c i e n c e1 7 b ( 1 9 7 0 ) ，1 4 1 - 1 6 4 【4 h z i m m a r m a n n ，f u z z yp r o g r a m m i n ga n d l i n e a r p r o g r a m m i n gw i t h s e v e r a l o b j e c t i v ef u n c t l o n s f u z z y s e 括a n d s y s t e m s , 1 ( 1 9 7 8 ) ，4 6 5 1 【5 】5 方述诚，汪定伟，模糊数学与模糊优化，科学出版社，1 9 9 7 年 【6 】r o m m e l f a n g e r , h a n dr s l o w i n s l d “f u z z yl i n e a rp r o g r a m m i n g w i t hs i n g l eo r m u l t i p l eo b j e c t i v ef u n c t i o n s ”i nr s l o w i n s k i ( e d ) ，f u z z y s e t si nd e c i s i o n 爿，嘏舾趣 o p e r a t i o n sr e s e a r c ha n ds t a t i s t i c s t h eh a n d b o o k so ff u z z ys e t s s e r i e s b o s t o n - d o r d r e c h t l o n d o n ：k l u w e ra e a d e m i cp u b l ，( 1 9 9 8 ) ，1 7 9 - 2 1 3 ( 7 1l i u ，b ，d e p e n d e n t - c h a n c ep r o g r a m m i n g ：ac l a s s o fs t o c h a s t i cp r o g r a m m i n g , c o m p u t e r m a t h e m a t i c sw i t h a p p l i c a t i o n ，3 4 ( 1 9 9 7 ) ，n o 1 2 ，8 9 - 1 0 4 【8 】l i u 。b a n dl i u ，y - k ，e x p e c t e dv a l u eo ff “r z yv a r i a b l ea n df u z z ye x p e c t e dv a l u e m o d e l s i e e et r a n s a c t i o n so nf u z z ys y s t e m s ，1 0 ( 2 0 0 2 ) ，n o 4 ，4 4 5 4 1 0 【9 】l i u 。bd e p e n d e n t c h a n c ep r o g r a m m i n g w i t hf u z z yd e c i s i o n s ，i e e et r a n s a c t i o n s o n f u z z ys y s t e m s ，7 ( 19 9 9 ) ，n o 3 ，3 5 4 3 6 0 【1 0 】l i u ，b ，u n c e r t a i np r o g r a m m i n g ，w i l e y , n e wy o r k , 1 9 9 9 【11 】l i u 。bt h e o r y a n d p r a c t i c e o fu n c e r t a i n p r o g r a m m i n g , p h y s i c a - v e r l a g ， h e i d e l b e r g ，2 0 0 2 【1 2 】b i n g y u a nc a o ，f u z z yg e o m e t r i cp r o g r a m m i n g ，k t u w e r a c a d e m i cp u b l i s h e r s ， h a r d b o u n d ，2 0 0 2 【1 3 】刘宝碇，彭锦，不确定理论及其公理体系，第一届不确定系统年会论文集， 大庆，2 0 0 3 年8 月1 6 - 1 9 日，l - 1 1 r 1 4 1r t r o c k a f e l i a r , c o n v e xa n a l y s i s , p r i n c e t o nu n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 7 2 【15 】s n a n d a ，k k a r ，c o n v e xf u z z ym a p p i n g ，f u z z ys e t sa n d s y s t e m s ，4 8 ( 1 9 9 2 ) ， 1 2 9 13 2 第2 章模糊数学的预备知识 第2 章模糊数学的预备知识 本章是以后各章节有关模糊数学的必备知识，内容包括模糊集含的概念与运 算，t - 范数与t 余范数，模糊关系，分解定理，表现定理，扩展原理以及随机集的 落影理论 2 1 模糊集简介 本节绘出了模糊集合及其运算的定义。并讨论了有关的代数性质 定义2 1 1 i l l 设z 为一个集合，1 - _ o ，1 】，称映射彳：z - ，为上的一个模 糊子集用f ( x ) 表示上的所有模糊子集的集合( 也称，( 柳为模糊幂集) 若用p ( x ) 表示石的幂集，则显然有f ( x ) p ( x ) ，即模糊子集是经典子集 的推广 定义2 1 2 m 设a ，b e ，( x ) ，称一包含b ( 记作a j 口) 当且仅当对任意x x ， 恒有彳( x ) 口( x ) 称a 与口相等( 记作a = 口) 当且仅当对任意x 爿，恒有 爿0 ) = b ( x ) 定义2 1 3 设爿，e 4 f ( x ) ( f r ) ，定义运算a u b ，“n 占，a ，u 4 ， ，e r n 爿，分别如下： t e t 爿u b ：( 4 u 8 ) e ) = m 积0 g x 口g ) l = 一g ) v 四g ) ，v x e x a n b ：( a n 口) = m 加臼g l 口g ) ) = 爿g ) ，、b e ) ，v x x 一：0 。k ) = l 一爿b ) ，v x e 并 u a , i e r f u 4 肛) = s u p 扣，g l ，) = 善4 g ) ，垤z ，e r 厂 4 ：l n 4 ， g ) = i n f 0 ，o 淞r = ，各4 ( x ) ，x i t r t e ，- 。 不难验证，定义2 1 3 所定义的运算具有如下性质： ( 1 ) 幂等律：a u a = a ，a n a = 爿； 大连理工大学博上学位论文：模糊凸分析及其在模糊规划中的应用 ( 2 ) 交换律：a u b = b u a ，a n b = b n 爿； ( 3 ) 结合律：0 u 8 ) u c = 一u p u c xo n m c = a n ( b n c l ( 4 ) 吸收律：a u 0 n 曰) = a ，a n ( a u e ) = 爿； ( 5 ) 分配律：4 u p n c ) = ( a u s ) n ( , w c ) , a n 忙u c ) = ( a n b ) u 扭n c l ( 6 ) 0 - i 律：a u x = x ，a n x = x ；d u 0 = d ，爿n o = o ； ( 7 ) 复原律( 对合律) ：0 r = a ； ( 8 ) d e m o r g a n 律：( a u b ) 。= a n b 。，乜n b ) 。= a 。u b 。， lu 4l = n 彳；，ln 4l = u 群； l r ，自r r e r ，e r ( 9 ) 无限分配律： a n iu 一，l = u 0 u a f e rt e t a u in 爿，| _ n ( 彳u 爿，) ，e r- e r 模糊子集的运算与经典集合的运算相比，模糊子集的z a d e h 运算仅仅是补余 律不成立p ( x ) 构成为一个布尔代数，f ( x ) 构成一个优软代数 在f ( x ) 中除了z a d e h 定义运算u n 外，还可以定义其它运算 ( 1 ) 有界和与有界积( l u k a s i e w i c z ) 算子： 口忡= m i n a + b , 1 ) ，叫i b = m a x 0 ，a + b 一1 爿u b ：( 爿u 丑) ( x ) = m i n a ( x ) + b g x l ； a n b ：( 彳n b x x ) = m a x o ，一g ) + b g ) 一1 ) ( 1 i ) 概率和与积算子： 口；6 ：口+ b - i 口b = a b a u b ：0 u 口x x ) = 一b ) + b 0 ) 一一g 净0 ) ； 彳n 口：0 n b x x ) = 4 g 归b ) ( 1 1 1 ) 基丁卜范数( 卜n o r m ) 和卜余箍数( 卜c o n o r m ) 上的运算： 第2 章模糊数学的预备知谌 定义2 1 4 设t ：，j 斗j 满足： ( 1 ) 交换律：r g ，y ) = r 【y ，x ) ； ( 2 ) 结合律：r 仃g ，y lz ) = 7 1 g ，r ( y ，z ) ) ( 3 ) 单调性：薯x 2 ，y l y ：j r g ，y ，) ，g 2 ，y ：) ； ( 4 ) 边界条件：v ( o ，y ) = 0 ，r ( 1 ，y ) = y 则称r 为一个t 一范数 例如，只( z ，y ) = m i n x ，y ) ，乙( x ，y ) = m a x x + y l ，0 ) ，l ( x ，y ) = x y 显然它们都是f 一范数，分别记为a 一范数，一范数，瓦一范数 若s ：i x l 斗【0 ，1 】满足交换律结合律，单调性和边界条件： s ( o ，y ) = y ，s 0 ，y ) = 1 则称s 为一个，余范数 若 t ( 1 一x ，1 一y ) = 1 一s ( x ，y ) ，s 0 一五l y ) = 1 一r ( x ，y ) 则称r 与s 为对偶的 例如，v 一，、，h 一，；一- 均为对偶的 利用，一范数和t 一余范数可定义模糊集的运算u 与n ： a u b ：( a u 却( z ) = s 口o ) ，口o ) ) ，v x x ； 彳n 占：( 彳n 聊( 功= ，( 彳( x ) ，联砷) ，v x 工 注；在上述定义中，若爿( x ) ，口( x ) 0 ，1 ) ，v x x ，即a ，b 为经典子集时， 上述运算与经典集合运算一致 定义2 1 5 设爿，( 肖) ，则称 = 扛e x i 爿( x ) 五 为模糊集a 的九一截集； 称d = x e x f a ( x ) a 为模糊集_ 的n 强截集；4 为一的支集，记作i s u p p a ； a ，为爿的核，记作：k e r a 定义2 1 6 1 1 1 给定论域x ，r ，称x 】，上的一个模糊子集rx y _ ，为x 到y 的一个模糊关系 模糊关系的合成定义为 大连理工大学博士学位论文：模糊凸分析及其在模糊规划中的应用 ( r 。s ) ( t = ) 2 。v ( r ( w ) n s ( y ，z ) ) 模糊关系的投影与截影分别定义为 r x ( x ) = 。v 。，r ：x , y ) ， ( rj ，) ( y ) = = j z ( x ，y ) 设a f ( x ，) ( 汪1 ，哟，则模糊子集一1 ，一，一。的笛卡尔积定义为 ( 4 4 ，) ( 气，靠) = 垒一( 蕾) 2 2 分解定理、表现定理和扩展原理 模糊集是经典集的扩充，本节将阐明如何用经典集来表现模糊集，并阐明如 何将经典集合间的映射扩充成模糊集合间的映射下面的分解定理、表现定理 和扩展原理就是说明上述问题的，它们是模糊数学理论基础，在模糊数学的著作 中都有详细的论述，下文主要选自文献【3 】 定义2 2 1 设a e f ( x ) ，且e ，规定z , i f ( x ) ，其隶属函数为 纠( 砷：= 旯 一( 砷 符号“：= ”表示“被定义为”，以下同 定理2 2 1 ( 分解定理) 设a f ( ) ，则 ( 1 ) a = u 丑 ； e ， ( i i ) a = u a 一； e ， ( 1 1 1 ) 设h ：，寸p ( x ) ，五h ( 五) ，并且满足 a ( a ) a t 则 a = u a h ( a ) 且 ；r 、h ) ， = u h ) ，口 ) e 写 证( 1 ) 等( 2 ) 设h 是e 的模糊子空间，则由定义3 1 3 知，存在艉r z “d ，使得 第3 章模糊空婀 h = u 。埘( 丑) 且( 五) es ( 切( v ( o ，1 ) ) e f 以t 。 于是由表现定理2 2 2 知，h 。= n ) r u 定3 ( 3 1