（地图学与地理信息系统专业论文）gis空间内插方法与应用研究.pdf

内蒙古师范大学硕士学位论文 中文摘要， 在地理研究中常常需要规则数据，而多数可获得的数据都是呈 离散状态分布的，通常可以应用g i s 空间内插方法把离散数据转换 成规则数据。本文介绍了g is 空间内插方法模型的原理与分类，阐 述了多种常用的g i s 空间内插方法，通过对它们模型算法、精度检 验和g i s 空间内插的原理与步骤进行了详尽的阐述，进而说明g i s 空间内插算法实现是可行的，并在g i s 空间内插基本理论基础之 上，通过m a p x t r e m e 二次开发控件所提供的开发模板、组件、工具， 结合计算机高级语言c # ，编程实现了四种g i s 空间内插计算系统， 它们包括反距离权重法、趋势面法、样条函数法和普通克里金法。 空间内插精度受采样点搜索方法、采样点搜索数目和搜索半 径，以及网格划分大小等。为了进一步对g i s 空间内插的理论进行 分析和验证，将软件中实现的四种g i s 空间内插方法，应用于鄂托 克旗乌兰镇实测的高程数据，从中选出的小块试验区，讨论不同内 插模型的不同参数对g is 空间内插法精度的影响。 通过比较分析，选择普通克里金内插法对所有高程点进行内 插，采样点搜索半径3 0 0 米，每个网格节点搜索6 个采样点，网格大 小5 5 米，得出了乌兰镇的高程信息，内插精度为1 3 6 9 5 ( r m s e ) 。 结合乌兰镇水源地、耗地和防护林地、现有行政辖区范围及其调整 的可能性，确定乌兰镇近期向东大街两侧发展，中、远期以向西发 展为主，适度向南发展的扩展方向。 关键词：g i s 空间内插，原理，应用，乌兰镇 内蒙古师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t u s u a l l yw en e e d e dt h er e g u l a rd a t ai nt h eg e o g r a p h yr e s e a r c h ， b u tt h em o s td a t aw ea c q u i r e di ss c a t t e ro n e s u s u a l l yc a na p p l yt h e g i ss p a t i a li n t e r p o l a t i o nm e t h o d sc o n v e r ts c a t t e rd a t at or e g u l a r t h i sp a p e ri n t r o d u c e dt h em o d e lo fg i ss p a t i a li n t e r p o l a t i o n p r i n c i p l e a n dc l a s s i f i c a t i o n ，e x p a t i a t e dg i ss p a t i a li n t e r p o l a t i o n m e t h o d sw h i c hi si nc o m m o nu s e d ，e x p o u n d e dt h e i ra l g o r i t h m s ，t h e a c c u r a c yv e r i f y ，t h eg i ss p a t i a li n t e r p o l a t i o np r i n c i p l ea n dp r o c e s s d e t a i l e d a n dm o r ee x p l a i nt h eg i ss p a t i a li n t e r p o l a t i o na l g o r i t h m r e a l i z a t i o ni sa v a i l a b l e o nt h ef o u n d a t i o no fg i ss p a t i a li n t e r p o l a t i o n u s i n gm a p x t r e m es e c o n d a r yd e v e l o p m e n tc o n t r o lw h i c hp r o v i d et h e d e v e l o p m e n tt e m p l a t e s ，m o d u l e s ，t o o l s p r o g r a m m e das y s t e mo fg i s s p a t i a li n t e r p o l a t i o nu s i n gc o m p u t e rl a n g u a g ec 捍，t h em a i nf u n c t i o n i n c l u d e si n v e r s ed i s t a n c ew e i g h t e d ，t r e n di n t e r p o l a t i o n ，t h i n p l a t e s p l i n e ，a n dc o m m o nk r i g i n g a c c u r a c yo fg i ss p a t i a li n t e r p o l a t i o ni sa f f e c t e db yt h em e t h o d o fs e a r c h i n gs a m p l ep o i n t s ，t h es e a r c h e ds a m p l ep o i n t s ，t h er a d i u so f s e a r c h i n ga n dg r i ds i z ee t c f o rt h es a k eo ff u r t h e rt oa n a l y z e da n d v e r i f i e dt h eg i ss p a t i a li n t e r p o l a t i o nt h e o r y ，u s i n gt h ef o u rk i n d so f g i ss p a t i a li n t e r p o l a t i o nm e t h o dt oc a l c u l a t eap i e c eo ft e s ta r e ao f s u r v e yd a t ai nw u l a nt o w ne t u o k eb a n n e r d i s c u s s i o nd i s s i m i l a r i t yo f d i f f e r e n t p a r a m e t e r o ft h em o d e l ，w h i c hi n f l u e n c et h em e t h o d a c c u r a c yo fg i ss p a t i a li n t e r p o l a t i o n v i ac o m p a r i s o n sa n da n a l y s e s ，s e l e c t i n gc o m m o nk r i g i n gt o i n t e r p o l a t e t h es u r v e yd a t ao fw u l a nt o w n t h es a m p l ep o i n t s s e a r c h i n gr a d i u si s3 0 0m ，e a c hg r i dn o d es e a r c h e d6s a m p l ep o i n t s ， g r i d s i z ei s5 x5 m ，t h er m s ei s 1 3 6 9 5 g e t t i n g t h ee l e v a t i o n i n f o r m a t i o no fw u l a nt o w n c o m b i n e dw i t h w a t e r ss o u r c ea r e a ， c o n s u m e dl a n d ，f e n c ew o o d l a n d ，t h es c o p eo fa d m i n i s t r a t i o nd i s t r i c t a n dp o s s i b i l i t yo fa d j u s t m e n t ，a s c e r t a i nt h ed e v e l o p m e n td i r e c t i o n so f w u l a nt o w n ，w h i c hd e v e l o p m e n tt o w a r d st h es i d e so fd o n ga v e n u e t w os i d e si nt h en e a rf u t u r e ；d e v e l o p m e n tt o w a r d sw e s ta n d t o w a r dt h e s o u t ho fe x p a n d e dd i r e c t i o nm o d e r a t e l ya tm i d d l ea n ds p e c i f i e df u t u r e d a t e k e yw o r d s ：g i ss p a t i a li n t e r p o l a t i o n ，p r i n c i p l e ，a p p l i c a t i o n ， w u l a nt o w n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的 研究工作及取得的研究成果，尽我所知，除了文中特别加一以标 注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果，也不包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机 构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研 究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示感谢。 签名：毯豸 日期：z 钐艿年f 月眉 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解内蒙古师范大学有关保留、使用 学位论文的规定：内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门 或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可 以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并 且本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 萎霎，蒺豸论文在解密后也鬣。李百岁签名：吾长嘱导师签名：弓j j 罗 日期：7 o l , 8 年歹月，6 日 第一章综述 1 综述 1 1 选题背景和研究意义 由已知地理空间的特性探索未知地理空间的特性是许多地理研究的第 一步，也是地理学的基本问题。在地理科学研究中，要面对海量的数据，有 的数据是完整的，有的数据是缺失的，例如气象台站的数目与过去相比，虽 然有了增加，但是在某个具体的研究区域内，数目可能就显得比较少，很大 的范围内依然没有测站的分布，也就无法取得某个点的真实测值，或者是虽 然在研究区有一定的数据，但是这些数据采集的密度无法满足进一步分析的 需要。如何获得我们所需要的数据? 绝大多数的数据都是经采样得来的点数 据，如何把采样点数据转化成研究所需的数据? 由于观测到的数据往往不能满足要求，最理想的方法就是调查地理空间 所有样本的信息，以穷尽样本属性值的方式来获得详尽的地理信息。但这种 方法从时间、经济角度上来说是行不通的，也是不现实的。我们可以从离散 分布的数据开始来构造一个连续的表面，但是问题在于如何构建一个连续的 数据表面。g i s 空间内插方法为实现这个目的提供了有效的手段，它利用有 限的观测数据，估计合理的空间分布、提高数据密度，获得完整空间信息分 布，以填补缺失的数据，得到密集的数据分布。此外，由于数据集的来源、 采样点的数据类型不同，如何选择适当的内插方法成为迫切需要解决的问 题，如若选择了不适当的内插方法将会直接导致对数据的错误内插，从而造 成了对实际情况错误的认识。每种内插方法都有各自的应用范围和优缺点， 它们很大程度上依赖于采样数据原始的数学特征，不同的研究目的对内插的 要求各有千秋。针对某一特定的数据集，如何来选择最有效的内插方法，是 一个重要的、极富挑战性的任务。 本文试图从g i s 空问内插方法的理论基础、实际效果两个方面比较四种 常用的内插方法的优缺点，并对其基本的适用条件有详细的阐述。 1 2 研究进展 常用的g i s 空间内插方法，有最近邻点法、反距离权重法、趋势面法、 多元回归法、径向基函数法、薄板样条函数法、克旱金法、最近邻域法、线 性内插法等多种。 内蒙古师范大学硕士学位论文 1 2 1 国外研究进展 c r e u t i n ( 19 8 2 ) 和t a b i o s ( 19 8 5 ) 2 】将最近邻法与泰森多边形应用于降雨量 的估算，而这在水文学中被广泛地用来估计平均降雨量。c r e u t i n ( 19 8 2 ) 以距 离倒数和距离平方倒数估计降雨量。由于距离反比是在全局范围内的内插， 可以采用不同的方法来区域化。d a l ez i m m e r m a n ( 1 9 9 9 ) t3 】使用合成数据进行 验证，认为在进行距离反比内插时，使用其周围的6 个邻点将优于1 2 个邻 点。c a r u s o ( 19 9 8 ) 4 】认为，距离反比函数的内插效果与计算时选择的参数有 很大的关系，如果在区域内的采样点比较密集，计算时选择较小的半径，就 可以取得较好的效果。t a b i o s ( 19 8 5 ) 2 l 指出，多项式内插与其他内插方法比较， 效果不是很理想。克里金内插由d g k r i g e 于l9 5 1 年首先提出，并在m a t h e r o n 及其研究小组创立的地质统计学中逐步发展而来，现在成为应用最普遍的一 种内插方法。荷兰气象学家a h t h i e s s e n 提出泰森( t h i e s s e n ) 多边形方法， h o f i e r k a 等将泰森规则样条函数应用到降水量的内插中；a n u s p l i 模型也是 在多变量统计分析的基础上引入样条平滑机制，从而达到理想的模拟精度。 1 2 2 国内研究进展 尤淑撑等( 2 0 0 0 ) 【5 】将反向传播网络( b a c k - p r o p a g a t i o n ，简写为b p 网络) 应用于面内插。李军，游松财，黄敬峰( 2 0 0 6 ) 6 】根据青藏高原上气象台站稀 少且高原西北地区无气象台站的事实，提出一种综合方法( 即把气温分解为结 构化分量和随机分量，用气温直减率，借助于数字高程模型( d e m ) 模拟结构 化分量) ，在对青藏高原19 6 1 l9 9 0 年3 0 年平均1 月气温进行空间内插研究。 潘耀忠，龚道溢等( 2 0 0 4 ) 【。7 】提出了一种基于d e m 和智能搜索距离的温度空间 内插方法( s s i ) ，并与反距离平方法( i d s ) 等传统方法进行对比。辜智慧，史 培军，陈晋( 2 0 0 6 ) 1 8 1 提出了一种基于地统计学分析，在无站点分布且无周边 站点影响的区域增加模拟站点的方法，对气象观测站点稀疏的地区进行降水 内插。 2 第二章g i s 空间内插方法与算法 2gis 空间内插方法与算法 2 1gls 内插方法原理与分类 2 1 1gis 内插方法原理 空间内插是用采样点的数据来估算其他点的数值过程【9 】。它是地球科学 和相关领域中，具有基础意义并广泛应用的一种空间数据处理类别 1 0 l 。空间 内插的一个基本假设就是估算点的值受临近采样点的影响比较远采样点的 影响更大。 设s 为二维( 或其他维度) 地理空间分布的( 或其他领域的) 变量或属性值 形成的表面。按一定的采样原则在表面s 采样n 个点v i ( i = l ，2 ，以) ，它们是 根据某种关系随地理位置( x ，y ) 在地理空间分布，g i s 空间内插就是要基于已 知采样点v ( ，咒) ( 卢l ，2 ，3 ，玎) ，求取该区域空间变量，分布的某种关系式： y = f ( x ，y ) ；从而可推求区域内其他地点( x ，y ) 处该空间的v ( x ，y ) 的值，生成模 拟表面s 的过程( 图2 一1 ) 。 s 原始表面、采样 、 模拟真实表面 q 孥 图2 1g is 空间内插原理图 2 1 2gis 空间内插的分类 通常依据采样点之问关系“确定或随机”、“点与面”、“全局或局部”以 及采样点选取的方式和空i n 内插的计算方法等原则进行分类。黄含元【1 等依 据采样点和已知分区数据的不同，可将空间数据内插分为点的内插和区域的 3 内蒙古师范大学硕士学位论文 内插，以及局部函数内插和逐点内插方法两种；张超，邬伦1 2 , 1 3 1 等则分为空 间内插和外推两种，其中把空间内插法分为整体内插法和局部内插方法两 类；朱求安，张万昌，余钧辉【1 4 】等从广义的角度把地理信息系统空间数据分 析中的空间数据内插方法分为点的内插和面的内插；李志林1 5 1 等根据空间数 据点和区域的特点将空间内插法分为分块内插、逐点内插和整体内插三种。 2 2gis 空间内插方法 内插的方法是各种各样的，其算法参数条件各不相同的，最后的内插效 果也是优劣有别的。 2 2 1 最近邻点法 又称为泰森多边形法( t h i e s s e n ，又叫d i r i c h l e t 或冯罗诺v o r o n o i 多边形) ， 是荷兰气象学家a h t h i e s s e n 提出的。它采用了一种极端的边界内插方法， 只用最近的单个点进行区域内插。泰森多边形按数据点位置将区域分割成子 区域，每个子区域包含一个数据点，各子区域到其内数据点的距离小于任何 到其它数据点的距离，并用其内数据点进行赋值。连接所有数据点的连线形 d e l a u n a y 三角形，与不规则三角网t i n 具有相同的拓扑结构，它的特点是每 一个采样点都与其最近的点相接，组成三角形并尽量接近于等边【13 1 。 泰森多边形由一组连续多边形组成，多边形的边界是由连接两邻点线段 的垂直平分线组成。d e l a u n a y 三角形是由与相邻v o r o n o i 多边形共享一条边 的相关点连接而成的三角形。d e l a u n a y 三角形的外接圆圆心是与三角形相关 的v o r o n o i 多边形的一个顶点。d e l a u n a y 三角形是v o r o n o i 图的偶图，如图2 2 所剥1 ”。 图2 2 采样点、泰森多边形( 实线表示) 和德疗内二角形( 虚线表示) 4 第二章g l s 空间内插方法与算法 泰森多边形的基本假设就是任何地点的数据均使用距它最近的采样点 的数据。用泰森多边形内插方法得到的结果图变化只发生在边界上，在边界 内都是均质的和无变化的，对均匀间隔的数据进行内插很有用。该方法经常 用于土壤和景观制图，可以通过定义“均质的 土壤单元、景观图斑，来表 达其它的土壤、景观特征属性【13 1 。 2 2 2 反距离权重法 反距离权重法( i n v e r s ed i s t a n c ew e i g h t e d ，简称i d w ) 又被称为距离反比 加权方法，实质是一种加权移动平均方法。它是以内插点与样本点之间的距 离为权重的内插方法，属于确定性的内插方法。反距离权重方法的通用公式 表示为： 击 1 己v i 万 = 等，i = 1 ，2 ， ( 2 一1 ) 善方 式中是未知点的估计值，v 是采样点f 的z 值，d i 是采样点f 与未知点 之间的距离，刀是估算中用到的采样点的数目，足是距离的幂，它显著影响 内插的结果，它的选择标准是最小平均绝对误差。当k = 1 时，点之间数值变 化率为恒定，该方法成为线性内插法；当取k = 2 时，意味着越靠近采样点， 数值变化率越大，远离采样点趋于平稳，该方法成为反距离平方加权法；随 着k 的增大较远采样点的影响逐渐减小，内插结果越具有平滑的效果。 由于加权平均的原因，利用反距离权重法得到的未知点的值既不会超过 邻域采样点数值的最大值，又不会小于这些数值的最小值，数据被平均而无 法表现局部曲面的细节变化。另外，当未知点附近有值很高或很低的采样点 时，未知点的结果易受到极值点的影响，而产生明显的“牛眼”( 或称“鸭蛋”) 现象。如图2 3 所示剖面a a ，i d w 拟合的表面是非光滑的曲面，由于 局部极值点和距离加权的作用的双重影响下，拟合的表面在采样点处产生尖 突，在二维空间上表现为“牛眼”现象。 5 内蒙古师范大学硕士学位论文 图2 3 反距离权重法内插结果及剖面图 2 2 3 趋势面法 趋势面法( t r e n di n t e r p o l a t i o n 或称为多项式内插法) 是先用已知采样点数 据拟合出一个平滑的数学平面方程，再根据该平面方程计算未知点上的数 据。这种根据采样点的属性数据与地理坐标的关系，进行分析得到平滑数学 平面方程的方法，称为趋势面法【13 1 。 在数学上，趋势面法问题实际上就是曲面拟合问题，首先通过对数据的 空间分布特征的认识，对于在空间域上具有周期性变化特征的空间分布现 象，选用一个多项式函数作为数学表达式；再次根据空间的抽样数据和这个 多项式函数，拟合一个数学曲面，用该数学曲面来反映空间分布的变化情况 【1 6 】 o 在g i s 内插计算中，数据往往是二维或多维的，在这种情况下，需要用 二元二次或高次多项式。 一七 刀次多项式的通用公式为：吠五j ，) = 一卜订y + g ( 2 2 ) k = of = l 刀次多项式的系数瓯，个数为： s = 塑芈( 2 - - 3 ) 其中，s 是趋势面方程的次数，公式2 3 是趋势面多项式j 下常情况下的 最少项数个数。趋势面部分用一个函数表示，它反映区域特征的总的区域性 的变化规律( 即区域背景) ，可以认为是由大范围的系统性因素引起的；偏差 部分反映了局部性的变化持点，可以认为由局部因素和随机因素引起的，即 区域中的局部异常【17 1 。 6 第二章g i s 空间内插方法与算法 平 面 a b c 图2 4 趋势面法拟合曲面及剖面图 趋势面是一个平滑函数，很难正好通过原始数据点，除非是数据点少且 趋势面次数高才能是曲面正好通过原始数据点，如图2 4 所示：分别使用 一次、二次、三次趋势面法拟合相同采样点生成曲面a 、b 、c ，随着趋势面 次数增加，拟合的曲面逐渐接近采样点，越接近于实际表面。一般说多项式 次数愈高，趋势面与实测数据偏差愈小，但趋势面的方程越来越复杂。 2 2 4 多元回归法 多元回归在数学形式上与趋势面很相似，它的形式和趋势面基本相同： ( 2 4 ) 多元回归实际上不是真正的“内插器( 模型) ”，因为它并不预测未知点的 属性值【1 8 】，它只是根据空间的采样数据，拟合一个数学曲面，用该数学曲面 来反映空间分布的变化情况。 使用多元回归法时要涉及到曲面定义和指定x y 的最高次数设置，在曲 面定义中选择所需的多项式类型，可选用的曲面类型：简单平面( s i m p l e p l a n a rs u r f a c e ) 、双线性鞍( b i l i n e a rs a d d l e ) 、二次曲面( q u a d r a t i cs u r f a c e ) 、 三次曲面( c u b i cs u r f a c e ) 和用户自定义多项式( u s e rd e f i n e dp o l y n o m i a l ) 。参 数设置是指定多项式方程中x 、y 组元的最高次数。 7 y r口 镭 = y x 矿 内蒙古师范大学硕士学位论文 2 2 5 径向基函数法 径向基函数法( r a d i a lb a s i sf u n c t i o n s ，简称r b f ) ，又称为径向基神经 网络，它是人工神经网络方法中的一种【”】，通过它内插所得的表面精确的通 过每一个已知样本点。径向基函数神经网络是以函数逼近理论为基础构建的 一类前向网络【2 0 1 ，是由p o w e l l m j d 于l9 8 5 年提出的。r b f 网络的结构是 一种三层的前向网络，它分为输入层、隐层和输出层，r b f 网络结构如图2 5 所示。 输入层 ， 跨层 输出层 图2 5r b f 神经网络原理图 径向基函数神经网络是一种三层前向网络。输入层由信号源节点组成。 第二层为隐层，单元数视所描述问题的需要而定。第三层为输出层，它对输 入模式的作用做出响应。 从输入层空间到隐层控制的变换是非线性的，而从隐层空间到输出层空 间的变换是线性的，隐层节点的变换函数是径向基函数，它是一种局部分布 的对称中心点径向对称衰减的非负非线性函数。径向基函数神经网络是一种 局部逼近神经网络，隐层节点的径向基函数对输入信号将在局部产生响应， 也就是说，当输入信号接近径向基函数的中心范围时，隐层节点将产生较大 的输出，因此径向基函数神经网络也称为局部感知场网络1 2 0 , 21 】。图2 6 是 径向基函数内插产生的曲面剖面a a ，径向基函数内插法是一种精确的内插 方法，它产生的曲面精确的通过采样点。 图2 6 径向基函数内插结果剖面图 8 第二章g i s 空间内插方法与算法 2 2 6 薄板样条函数法 薄板样条( t h i n p l a t es p l i n e ) 建立一个通过控制点的曲面，并使所有点的 坡度变化最小，即薄板样条函数以最小曲率面拟合控制点。薄板样条函数包 括两部分【9 1 ，t ( x ，y ) 被称为局部趋势函数，它与线性或趋势面函数具有相同 的形式，r ( r ) 是基本函数，通过它获得最小曲率面，r ( x ，j ，) 和r ( r ) 根据不同 类型的样条函数有不同的定义。它的基本形式为： n v ( y ) = 丁( 工，y ) + 4 r ( n ) i = 1 ，2 ，3 ，刀 ( 2 5 ) 式中：局部趋势函数t ( x ，y ) = a + b x + c y ；。基本函数r ( 厂，) = 印l o g d f ；x , y 是 要未知点的五) ，坐标；，：是未知点与第f 个采样点的距离。 薄板样条的一个主要问题是在数据贫乏地区的坡度较大，经常出现过伸 ( o v e r s h o o t s ) 的情况。针对这种情况，提出了规则样条( r e g u l a r i z e ds p l i n e ) 和 薄板张力样条( t h i n p l a t es p l i n e sw i t ht e n s i o n ) 等修订方案【9 1 。 样条函数是分段函数，每次只用少量数据点，故内插速度快( 图2 7 ) 。 但是，样条内插的误差不能直接估算，同时在实践中要解决的问题是样条块 的定义以及如何在三维空间中将这些“块拼成复杂曲面，又不引入原始曲 面中所没有的异常现象等问题【1 3 】。图2 7 是样条函数拟合结果剖面图，图 中曲面的起伏度与采样点分布情况相接近，通过不同的局部趋势函数可以使 曲面更接近于采样点。 图2 7 样条函数拟合结果剖面图 2 2 7 克里金法 克罩金( k r i g i n g ) 内插由南非采矿工程师d g 克罩会( d 1 3 k r i g e ) - 于1 9 5 1 年首次提出，故命名为“克罩金一法。克罩会内插法考虑采样点问的相互关 系和空间分布位置等几何特征，对每个采样点赋予一定的权重系数，最后用 加权平均法来估计未知的变量值，也可以说，克罩会内插是一种特定的滑动 9 内蒙古师范大学硕士学位论文 加权平均法【2 2 1 。区域化变量和变异函数是克里金内插的基石。当随机函数z 依赖于多个自变量时，称为随机场。所谓区域化变量是指以空间点x 的三个 直角坐标o h ，x ，x w ) 为自变量的随机场r ( x 。，石，工w ) = r ( x ) 。当对它进行了一次 观测后，就得到了它的一个实现，( 石) ，它是一个普通的三元实值函数或空间 点函数。区域化变量的两重性表现在：观测前把它看成是随机场( 依赖于坐标 ( 托，柳，石w ) ) ，观测后把它看成是一个空间点函数( 即在具体的坐标上有一个具 体的值) 。其中一个重要的概念就是半方差，其公式如下： m ) = 寺孙而) 一v ( 五新 ( 2 6 ) 式中，刀为距离为h 的采样点对的数目，采样间隔h 被称为基本滞后，对 应于h 的r ( h ) 的图被称为“半方差图 ，曲线的水平部分成为“基台( s i l l ) 。 曲线从r ( h ) 的低值升到梁为止的范围称为“变程( r a n g e ) ”( 图2 8 ) 。超过基 本滞后采样点便没有空间相关性，所有的方差与距离增减无关，变程描述了 与空间有关的差异是怎样随距离变化的，在变程范围内距离越近的点具有更 相近的特征。数据点和未知点之间的距离大于变程范围，表明该数据点与未 知点距离太远，对内插不起作用。通过对不同半方差模型来拟合，获得基本 滞后、基台、变程等采样点的信息参与克里金内插计算。 佃 粟 | 。? c l 。： 交程 i 。o 图2 8 半方差图 克罩金内插的估计方差的计算公式为： 仃2 = o ( r ，v ) - 2 2 丑e ( y ，k ) + 磊乃o ( k ，巧) ( 2 7 ) 其中p ( v ，y ) 代表当矢量的两个端点各自独立的在待估域y 扫过时的协 方差平均值。其它两个类似。 要求出在无偏条件下，使估计方差达到极小的诸权重系数2 i 0 = 1 ，2 ， 刀j 是个求条件极值的问题，即把最优估值问题理解为在无偏条件约束下求目 标为估计方差为最小的估值。 1 0 第二章g i s 空间内插方法与算法 用拉格朗日乘数法得到普通克里金方程组： ( i = 1 ，2 ，n ) ( 2 8 ) 其中歹为变异函数。在内蕴假设下，上式可写为： ( i = 1 ，2 ，刀) ( 2 9 ) 求出各权重系数，并代入公式2 9 中，可以得到克里金内插的估计值。 不仅克里金法函数的形式多种多样，其应用范围也多种多样：在满足二 阶平稳( 或本征) 假设时可用普通克里金法；在非平稳( 或说有漂移存在) 现象 中可用泛克里金法；在计算可采储量时，要用非线性估计量，就可用析取克 里金法：当区域化变量服从对数正态分布时，可用对数克里金法；当数据较 少，分布不大规则时，对估计精度要求不太高时，可用随机克里金法等。 关于克里金法的几点说明【2 3 】：( 1 ) 克里金的权系数从本质上讲是可正可 负的，这不同于一般的概率系数。这就使得克罩金估值的取值范围很广，可 以超出样本取样的最大最小范围，以达到最优估计的目的，而这点用其他空 间内插方法是无法达到的。( 2 ) 由于克里会权系数可能取负数，那么克里金估 值也可能出现负值。这对只能取正值的变量是不容许的。这种情况下处理的 方法有两种：一种是人为改变权系数，将负权系数规定为0 ，其他权系数按 比例调整，使其总和为1 ；另一种是人为改变其估值，权系数不变，当估值 出现负值时就规定为0 。( 3 ) 克里金估计往往是在滑动邻域内实施的，并且每 一个估计所根据的数据均局限于此邻区内的数值。这种实施方法的合理性在 于：在多数情况下，这些数据邻区有效地屏蔽较远处数值的影响：平稳性假 设或关于漂移形式的假设往往限制在滑动邻区数量级的距离内。 屹 一c = 一 吩 一c = l t 数卢孰川 u = 0 “ 一7 = 乃 t 拟川孰闩 内蒙古师范大学硕士学位论文 2 2 8 最近邻域法 最近邻域法( n e a r e s tn e i g h b o r ) 是应用比较简单的一种内插方法，选取距 离待定点最近的数据点的值作为待定点的值，公式表示为： 屹= ， ( 2 10 ) 其中匕表示待定点变量值，v 表示i 点的变量值。另外，i 点必须满足如下 条件： d 酊= m i n ( d 小d 咖d 。) ( 2 11 ) 其中d 扩= b 一_ ) 2 + ( y ，一y j 户( 2 - 1 2 ) 表示点f ( x i ，y i ) 与点，( 力，”) 间的欧几里德距离。 p p 图2 9 最近邻域法原理图 如图2 9 所示点p 3 距离p o 的距离最近，因此直接将点p 3 的值赋给p o ， 即：= 。 最近邻域法内插的优点是不需其他前提条件，就可以从采样点的变量值 来估计未知的变量值，方法简单，效率高。正是由于不经过运算直接转换采 样点的值到未知点的特点决定了它不会像其他内插方法那样有淹没采样点 极值信息的问题，特别适合于在生成不连续数据( 唯一值的数据，土壤图，植 被图等) 的表面的计算【24 1 。但是网格的大小对该方法影响较大，网格划分较 大时，一些数据值会丢失，随着网格划分的逐渐精细，数据值的丢失的现象 转变为数据的大量冗余，对于生成连续数据表面( 如高程的内插计算) 来说， 它内插的精度不是十分理想【25 1 。该方法对空间因素考虑太少，只考虑距离因 素，对其他空问因素和变量所固有的某些规律没有过多地考虑，存在梯度效 应的影响，容易产生不光滑表面，常用于图像的重采样上，以及应用在图像 的缩放、旋转等几何操作。 1 2 第二章g i s 空间内插方法与算法 2 2 9 线性内插法 根据线性方程的次数，它又可以分为线性内插法、双线性内插法、双三 次多项式内插法三种。 ( 1 ) 线性内插 线性内插( l i n e a ri n t e r p o l a t i o n ) 是一种比较简单的内插方法。在一个网格 内选取在靠近它的3 个数据点组成线性平面。线性内插函数为： 匕= a o + a l x + a z y ( 2 13 ) 图2 1 0 线性内插法原理图 如图2 10 设未知点p o 高程为z 口。得到距离p o 最近的3 个点p l 、p 3 、 p 4 ，将3 个数据点的坐标值代入方程，联立求解出系数a d 、a ，和a 2 ，待定点 在给予平面坐标( 却，即) 之后，即可求出内插高程z p 。它的长处在于算法简单 容易实现，运算速度快，它的缺点也是十分明显的即内插精度较差，但较最 近邻域法要好，容易受到临近点的极值影响较大。线性内插拟合是不连续的、 非光滑的平面。 ( 2 ) 双线性内插 双线性内插( b i l i n e a ri n t e r p o l a t i o n ) 选取距离它最近的4 个数据点( 或网格 单元的4 个顶点) 直接拟合曲面，属性屹与坐标j f 或坐标y 呈线性关系，故称 其为“双线性 ，计算方程为： 匕= ( x ，y ) = y = 口+ 口i 。x + 口o l 】，+ 口i i 邪 = a o + a j x + a z y + a 3 x y ( 2 14 ) 1 3 内蒙古师范大学硕士学位论文 p p 图2 1 1 双线性多项式内插法原理图 如图2 一1 1 设未知点p d 高程为和。得到距离p o 最近的4 个点p ，、n 、 乃、n ，将4 个数据点的坐标值代入方程，联立求解出系数a 口、a 卜a 2 和a j ， 待定点在给予平面坐标( 却，即) 之后，即可求出内插高程z p 。 双线性内插方法的优点是数据重采样后的结果较为平滑，没有阶跃效 应，同时具有较高的精度。缺点是在计算过程中采样点被平均化，带有低通 滤波的效果；边缘被平滑，有些极值丢失了【2 6 1 。 ( 3 ) 双三次多项式内插 双三次多项式内插( b i c u b i cp o l y n o m i a l si n t e r p o l a t i o n ) 又被称为立方卷积 法( c u b i cc o n v o l u t i o n ) 。双三次多项式是一种样条函数，对于n 次多项式， 在边界处其n 1 阶导数连续。可用于精确的内插，可以保留局部微特征，可 用于平滑处理。双三次多项式内插的多项式函数为： 33 咋= 厂( 五y ) = 一y 7 = ( 1x x 2 ，) a o o 口0 i a l oa i i a 2 0a 2 i a 3 0a 3 i a 0 2a 0 3 a t 2a 1 3 a 2 2a 2 3 a 3 2a 3 3 图2 1 2 双二次多项式内插原理图 1 4 1 y y 2 少3 ( 2 15 ) 第二章g i s 空间内插方法与算法 如图2 一l2 设未知点p o 高程为z p 。得到距离岛最近的1 6 个点p 卜1 6 ， 将数据点的坐标值、属性值代入方程，联立求解出系数a o 、a 卜a 2 和a ，待 定点在给予平面坐标( 石p ，y p ) 之后，即可求出内插高程z p 。 双三次多项式内插法是精确的局部内插。它的优点是采样结果的统计信 息( 均值和方差) 与原数据的相似程度比其他采样方法高。缺点是数据值被改 变，因此不能用于类型数据( 专题图) 的内插。特别适宜于显著改变了网格尺 寸，但要保持原数据统计特性的数据内插，如数字高程数据的重采样。由于 采用了分块技术，每次只采用少量已知数据点，故内插运算速度很快，而且 由于保留了局部微特征，在视觉上也有令人满意的效果【2 4 1 。 2 2 1o 其他内插方法 空间内插方法多种多样，针对某一特定内插方法的改进方法，如改进谢 别德法；根据一个或多个空间参量的经验方程进行整体空间内插的变换函数 法；遥感影像分析方面常用的傅立叶级数和小波变换法；根据边界内的变化 是均匀的，同质的，即在各方向都是相同的特性，在土壤和景观制图中常用 到的边界内插法【13 1 。 通常g i s 空间内插也是指点内插( p o i n ti n t e r p o l a t i o n ) ，即已知研究区域 中某些点的值来估计未知点的值，但从广义的角度讲，空间内插法还应该包 括面内插( a r e a li n t e r p o l a t i o n ) ，它是指在一个研究区域内，已知在一种分区 系统中各统计单元的值，求同一研究区内在另一种分区系统下各统计单元的 值，在两种分区系统中各统计单元的边界一般是不兼容的【27 1 。 这两种分区系统分别称为源区( s o u r c ez o n e s ) 和目标区( t a r g e tz o n e s ) 。如 图2 一l2 所示，实线表示一种分区系统i ，虚线表示另一种分区系统l i 。例 如：己知分区系统i 中各单元的人口，求分区系统l i 中各单元的人口，这便 是面内插问题【2 8 1 。 1 5 内蒙古师范大学硕士学位论文 图2 1 3 面内插概念示意图 面内插的应用范围没有点内插广泛，所以不为多数人熟知，随着社会经 济统计数据在地理信息系统中的广泛应用，随着地理信息系统的空间分析功 能的不断增强【2 9 , 3 0 】，面内插的应用会越来越广泛。 白面内插问题出现以来，很多学者用许多不同的方法对其进行了研究， 也有学者对这些方法从不同角度进行了系统性的总结。f i s h e r 等【31 】将面内插 方法划分为三类：面积比重法、回归分析法和表面生成法。l a m 【3 2 】根据统计 变量值在源区和目标区传递过程中是否保持一致把面内插分为两类：变量值 保持一致的面内插法( v o l u m ep r e s e r v i n gi n t e r p o l a t i o n ) 和变量值保持不一致 的面内插法( n o n v o l u m ep r e s e r v i n gi n t e r p o l a t i o n ) 。o k a b e 等【3 3 】根据在内插过 程中是否采用辅助数据将其分为两类：无辅助数据的面内插法和有辅助数据 的面内插法。 2 3gis 空间内插的精度检验 为了使计算结果更为可靠，当找到了合适的内插理论模型以后，需要对 内插模型的最优性进行检验。 在数据点的疏密程度相同的情况下，通常采用交叉验证方法( c r o s s v a l i d a t i o n ) 来验证某一内插方法的效果。对不同的内插方法，它可以准确的 验证不同内插方法之间的相对精度【7 l 。交叉验证的原理：首先假定某一采样 点的属性值未知，用周围采样点的值通过内插来估算，然后计算所有数据点 的实际观测值与估计值之间的误差值。一般情况下，采用均差( m e a ne r r o r ， m e ) 、均方差( m e a ns t a n d a r d i z e de r r o r ，m s e ) 平均绝对误差( m e a na b s o l u t e e r r o r ，m a e ) 、平均相对误差( m e a nr e l a t i v ee r r o r ，m r e ) 和平方根误差( r o o t 1 6 第二章g i s 空间内插方法与算法 m e a ns q u a r e de r r o r ，r m s e ) 评价指标作为评估不同内插方法的标准【3 4 6 1 。 l s0 j 口。l v o 、 o 。 。 。 口 。磊磊鬃箨篓未：，j ，i 、”o ；。 。 。 。 口i 搜索到的采样点 o 口 d j 咒力 yuj h 。1 1j 而 。 。 。 _。l? 采样点 oo l 。口 。 口 9 ：g搜索方法 o “ 图2 1 3 交叉验证原理图 2 4gis 空间内插一般步骤 空间内插一般包括如下五个过程如图2 14 所示： ( 1 ) 空问数据的探索分析，以获得采样点的空间分布特征和数学特征，包 括对数据的范围、极值、均值、方差、协方差、独立性和变异函数等的估算。 ( 2 ) 内插区域的网格化，根据采样点的范围确定网格的范围，根据采样点 的数学特征来确定网格的划分的形式和大小。 ( 3 ) 内插方法( 模型) 的选择，根据空自j 数据的探索分析的结果在多种内