（应用数学专业论文）非线性脉冲微分系统的稳定性和有界性.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如没有其他需要特别声 明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 吕珲彳 导师签字磕毒手 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权堂 控可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 占鬻咩 签字同期：2 0 d 7 年妨f 蜩 导师签字： 限t 簪 签字日期：2 0 0 7 年f 碉p 伺 山东师范大学硕士学位论文 非线性脉冲微分系统的稳定性和有界性 吕翠华 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 随着科学技术的飞速发展。人们越来越认识到脉冲微分系统在现代科技各领 域中的重要性及其广泛应用譬如，在航天技术领域中航天器的减震装置卫星轨 道的转换技术；医学领域中神经网络遗传和流行病学的研究；经济领域中利率控 制工业管理，此外还可应用于混沌控制、机密通讯、光学控制等因此脉冲微分 系统的定性研究引起了国内外许多专家学者的重视，并取得了很大进展但到目前 为止，利用比较方法来研究脉冲微分系统定性理论的成果并不多见在这些成果中 用向量l y 印u n o v 函数得出比较结果时，总是要求比较系统的右端函数在r g 中满 足拟单调不减的性质，这一条件对于一个已经具有某些稳定性质的比较系统来说要 求较高，因而向量l y 印u n o v 函数方法有其局限性为了克服这一局限性，本文将 采用锥值变分l y 印u n o v 函数方法来研究非线性脉冲摄动微分系统 f 工7= f ( f z ) ，“， ? 1 ，= k = ( z ) ，= k ， ( 1 ) i t f 学) ：z 。， ：1 2 ， 的稳定性和有界性理论 在第一章中，我们首先介绍了本文前两章的背景和这一问题的研究现状然后 通过引入一种新的方法锥值变分l y a p u n o v 函数方法，同时结合比较原则，最终 在比较定理的基础上研究了脉冲摄动微分系统( 1 ) 关于两个澳4 度的稳定性质，得到 了( o ，1 ) 一稳定，( o ， ) 一实际稳定和( o ， ) 一最终稳定等若干结果最后举例说 明定理的应用性 在第二章中，我们首先给出了一个脉冲微分系统周期解的存在性定理，为了 应用该定理，本章又使用锥值变分l y 印u n o v 函数方法建立了非线性脉冲摄动微分 系统( o ， 卜有界性质的判别准则最后通过实例验证了判别脉冲摄动微分系统 ( o ， ) 一有界性理论的有效性 另外，本文还利用锥值l y 印u n o v 函数方法研究了脉冲积分微分系统 1 山东师范大学硕士学位论文 i 一= ，( ，z ，? ) ，t “， z i ：“= 如0 ) ， = “， ( 4 ) 【z ( 手) = 知， 女= 1 ，2 ， 的严格稳定性理论 在第三章中，我们首先介绍了脉冲积分一微分系统的应用背景。在第二节中 给出了脉冲积分一微分系统( 4 ) 关于两个测度的严格稳定性定义，最后采用锥值 l y 印u n o v 函数与r a z u m i k h m 技巧相结合的思想得到了系统( 4 ) ( _ l o ，h ) 一严格稳定 性的若干直接结果 关键词；脉冲摄动微分系统，锥值变分l y 印u n o v 函数，( o ， ) 一稳定性， 脉冲积分一微分系统， ( ， ) 一严格一致稳定 分类号：0 1 7 5 2 l 2 山东师范大学硕士学位论文 t h es t a b i l i t ya n db o u n d e d n e s sf o rn o n l i n e a ri m p u l s i v e d i 艇r e i l t i a ls y s t e m s l v c u i h u a s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t w i t ht h er 印i dd e v e l o p n l e n to f8 c i e n c ea n dt e 曲n o l o g y i p e o p kg r a d u a l l yr e a l k et h e i m p o r t a i l c eo ft h ei m p i d s i v ed i 伍盯e n t i a ls y s t e 吣，w h i c hi s 印p l i e dw i d e l yi ne a c h 丘e l do f m o d e r nt e c h n o l q g y ，s u c h 够t h ee q u i p m e n t sf o rr e d u c i n gq u a k ea i i dt r a l l s l a “n gt e c h n 0 1 一 o g ya b o u ts a t e l u t e0 r b i ti n 舱r o s p a c et e c h n o l o g y t h es t u d yo fn e u r a ln e t ，g e n e t i c sa n d e p i d e m i c si nt h em e d i c a l6 e d ，c o n t r o l l i n gi n t e r e s tr a t ea l l di n d u s t r ym a n a g e m 朗ti nt h e e c o n o m i c a l 右e l d b e s i d e sr t h es y s t e mc a na l s ob ea p p l i e dt oc h a o sc o n t r o l ，c o n 丘d e n t i a lc o 卜 r e s p o n d e n c e ，叩t i c a lc o n t r o ia n ds oo n s ot h eq u a l i t a t i v es t u d yo ft h ei m p u k i v ed i 任e r e n t i a ls y s t e n la t t r a c t sm a n ye x p e r t s 粕ds c h o i a r si na n da b r o a dw h oh d v em a d eg r e a t p r o g r e s s b u ts 0f a r ，t h ea c h i e v e m e n t so fq u a l i t a t i v et h e o r ya b o u tr e s e a r c h i n gt h ei m p u l s i v e 山如r c l l t i a ls y s t c l nw i t hc o m p a r a t i v cl i i c n l o dl l a v 咖 c c ns c e nw i d e l yn i r t h e m l o r e ，i n t h e s ea c h i e v e m e n t sp e o p l ea l w a y sr e q u i r et h a tt h er i g h tf u n c t i 伽i nt h ec o m p a r i s o ns y s t e m s a t j s 丘e st h er e q u i r e m e n to fq u a s i m o n o t o n en o n d e c r e 鹊i n gp f o p e r t yo nr 罕w h e nt h e yg e t t h ec o m p a r a t i v eo u t c o m et h r o u g hv e c t o rl y a p u n o vf u n c t i o n b u tt h i sc o n d i t i o ni sh i g h c o m p a r i n gt oac o m p a r b o ns y s t e mw h i c hh 龉h a ds o m es c a b l ep r o p e r t y t h e r e f o r et l l i s i u d i c a t e st h a tt h em e t h o do fv e c t o rl y a p u n o vf u n c t i o ni sr e s t r i c t i v e i no r d e rt oo v e r c o m e t l l i sl l m i t a t i o n ，w e ，l la d o p tt h em e t h o do fc o n e _ v a l u e dv a r i a t i o n a ll y a p u n o vf u i l c t i o ni n t l i 沁p a p e r ，i nw h i c hw es t u d yt h es t a b i l i t ya n dt h eb o u n d e d n e s so f t h en o l l l i n e a rp e r t u r b e ( 1 d i 骱r p n t i a ls y s f o mw j t hi m p u l s i wp 胁t s i 一= ，( ：z ) ，t 沁 z b 。= 圪( z ) ，忙“， ( 1 ) 【z ( j ) = z o ， k = l ，2 ， i nt h e 丘r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da b o u tt h ep r o c e e d i n gt w oc h a p t e r sa n dt h ec u f r e n ts i t u a t i o no fs t u d i e si nt l l i s 丘e l d a n dt h e nw ei n t r o d u o ean e w m e m o d c o n e v a l u e dv a r i a t i o na ll y a p u n a vf u n c t i o n ，c o m b i n i n gw i t hc o m p a r i s o np r i n c i p l ea tt h es a r n et i m e a tl 蠲t ，o nt h eb a o fo o m p a r i s o nt h e o r e m ，w es t u d yt h es t a _ b i l i t yj nc c r m so ft w um e a s u r 缁f b rt h cp e r u r b c ( 1d i 丹b r e n i a js y s 胁谢曲j m p u j s j v ee f 山东师范大学硬士学位论文 f e c t s c o r r e s p o n d i n g l y w ea l s oo b t a i nt h ep r a c t i c “s t a b i l i t ya n du l t i m a t e8 t a b i l i t y f i n a u y w ei n t r o d u c et h ea p p l i c a t i o no ft h et h e o r e mt h r o u g ha n 姗p l e i n 也es 。c o n dc h a p t e r ，w ei n t r o d u c ea i le ) ( i s t i n gt h e o r e ma b o u tt h ep e r b ds 0 1 u - t i o n o ft m p u l s i v ed i t f e r e n t i 缸s y s t 咖i no r d e rt 0a p p l yt l l l st h e o r e m ，w ee s t a b l l s ht h e r r i t e r i at 0d e c i d et h a tt h en o n l i n c a rp e r t l l r b e ( 1d i r e n t i ds y s t e mw i t hi n l p u l s i v e 砟 f e c t si s ( ， ) 一b o h n d e du s i n gt h em e t h o do fc o n e v a l u e dv a r i a t j o n a ll y a p u n o yf u n c - t i o n f i n a l l y t a n 麟踟p l ei sg i v e nt od e c i d et h e ( o ， ) 一b o u n d e d n e s so ft h ep e r t u r b e d d i 疗e r e n t i a ls y s t e mw i t hi m p u l s i v ee 任e c t s i na d d i t i o n ，w es t u d y 乞h es t r i c ts t a b i l i t yt h e o r yo ft h ei m p u l s i v ei n t e g r 加d i 疗色r e n t i a l s y s t e m ， l z 7 = ，( t ，z ，t z ) ，t “， z l = k = ( z ) ，t = “， ( 4 ) 【z ( t 吉) = 地 k = l ，2 ， u s i n gt h em e t h o do fc o n e v a l u e dl y a p u n o vf u n c t i o n i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h ea p p l k db a c k g r o u n da b o u tt h ei m p u l s i v e i n f r g r ( 卜d i f b r e n t i a js y s t ( 4 ) ：a n dt h e n 百v eas t r i r ts t a b i e ( 王e 丘n “i o nj nt p r m so ff w o m p a s i i m sf o rc h ei m p t l l 8 i v ei n c e g r o _ d i 竹毒r e n c i a ls y s f p mf i n a l i 孔w eo b t a i ns o m ed i r e c to u t c o m 郫a b o u t ( o ， ) 一s t r i c ts t a b 蹦妒o ft h es y s t 啪( 4 ) b ym a k i n gu 靶o f n e - v a j u e d l y a p u n o vf u n c t i o na n dr a z u m i k h i nt e c h n i q u e k e y w o r d s ：i m p u l s i v ed i 仃e r e l l t 瑚s y s t 哪w i t hi m p u l s i v ee t f e c t 5 ， c o n e v a l u e d v a r i a t i o n a ll y a p u n o vf u n c t i o n ， ( ， ) 一s t a b m y i m p u l s i v ei n t e g r o - d i 髓r e n t i a ls y s t e m ， 【 o ”一s t r i c t l yu n i f o n n l ys t a b k c l a s s m c a t i o n ：0 1 7 5 2 1 4 山东师范大学硕士学位论文 第一章脉冲摄动微分系统的稳定性 1 1引言 脉冲现象作为一种瞬时突变现象，普遍存在于现代科技各领域的实际问题中， 其数学模型往往可归结为脉冲微分系统脉冲微分系统比相应的不带脉冲的微分系 统更能深刻精确地描述某些事物的变化规律，比如，在自然科学中的航天技术、信 息技术、神经网络生态平衡、电路信号等，在社会科学中的利率控制、工业管理 等领域中都充分体现了这一点鉴于脉冲微分系统在现代诸多领域中有着重要的理 论意义和广泛的应用价值，自九十年代以来，国内外许多专家学者都对其进行定性 研究并取得了很大进展l l - 然而，在实际建立脉冲微分系统的过程中，不可避免地要出现某些无法估计的 微小干扰力，这些干扰力在建立系统时并未把它们计算在内，但却可以随时发生作 用，这也就引起了人们对脉冲摄动微分系统的广泛关注目前在研究脉冲摄动微分 系统的稳定性质时，人们主要利用的是变分l y a p u n o v 函数方法，并得到了不少结 果【”1 在这些结果中，用向量l y a p u n o v 函数得出比较定理时，总足要求比较系 统的右端函数在r 型中满足拟单调不减的性质，这一条件对于一个已经具有某些稳 定性质的比较系统来说要求较高为了解决这一问题。本文引入锥值l y a p u no 、函 数l “目我们认为在引入锥值l y a p u n o v 函数的基础上，只要灵活地选择一个适当 的锥来代替标准锥r 垡，就可以减弱对该比较系统的限制，从而也就使得这一问题 迎刃而解 基于以上思想，本章将变分l y a p u n o v 函数方法和锥值l y a p u n o v 函数方法有 机地结合。得到了一种新的研究摄动微分系统的方法锥值变分l y a p u n o v 函数方 法，然后结合比较原则，对非线性脉冲摄动微分系统的稳定性，实际稳定性、最终 稳定性分别进行了讨论 文章第二部分，首先提出了一种与传统的变分l y a p u n o v 函数思想有所区别的 新思想一锥值变分l y 印u n o v 函数思想然后利用该思想论证得出了一个新的比较 定理，以及脉冲摄动微分系统的解与比较系统的最大解之问的关系同时，在定理 的几个推论中，通过取定比较定理中的相关函数，将脉冲摄动微分系统的解与非摄 动微分系统的解通过比较系统的最大解联系起来为方便证明，第三部分首先引入 了一种新的稳定性定义一( _ i l o ， o ) 一稳定性，然后在比较定理的基础上，探讨出判 定脉冲摄动微分系统足否具有相应的( h ，t ) 一稳定性质的一些准则另外，本章还 5 山东师范大学顼士学位论文 举例说明定理的实用性本章第四部分，第五部分采用同样的方法分别讨论了脉冲 摄动微分系统的实际稳定性质和最终稳定性质 1 2预备知识 本章及第二章主要研究如下脉冲微分系统 i 一 = ，( t ，z ) ，t “， z i ：“= 圪扛) ，t = “， ( 1 ) 【z ( t 寺) = z o ， = 1 ，2 ， i = f ( t ，) ， 掣l = “= 疋( 可) ，= k ， ( 2 ) i 口( 亭) 一知， k = 1 2 ， 其中，( ，z ) = f ( z ) + r ( ，z ) ，( z ) = 厶( z ) + 饥( z ) ，r ( ，z ) 与仉( 。) 均为摄动项， 且满足h l ： ( i ) o 如 ，i 2 + “ 一，k 旦翟“= + o c ； ( 哪，q 几胛且“) ，露c d f 舻，矿】，( ，o ) = o ，摈( o ) = o ，堆满足一定 的条件以保证系统( 1 ) 的解整体存在唯一且关于初值具有连续依赖性“，记为 z ( ) = z ( ，o ，王o ) ； ( i i i ) f e 【r + 只“，只“1 ， e 1 【r “，兄”】，f ( o ) = o ，几( o ) = o ，p “满足一定的 条件以保证系统( 2 ) 的解整体存在唯一( i j ，记为9 ( ) = v ( ，t o z o ) ； ( j v ) 一般地，系统( 1 ) ，( 2 ) 的解为具有第一类问断点且在间断点处左连续的分段 连续函数，即： z ( ) = z ( “) 且z ( t ) = ( t ) 一z ( 女) ；，( ) = y ( f t ) 且f ( ) = 掣( c 毒) 一妒( “) 定义1 2 1 称p cr ”( ，) 足一个锥，若满足 ( i ) a pcp a 三o ；( i i ) p + pcp ；( i i i ) p = ；( i v ) p n ( 一p ) = o ；( v ) p 【0 ，其中 ，j d o 分别表示p 的闭包和内部 在锥p 上引入序关系。设z ，秒月，? 骨掣一z 尸；工 萝讳掣一? p 0 对 任意函数，”：r + 一r ，n u 幸争u ( ) su ( ) ，t 且 若p = 妒r r 。：毋( z ) o ，p ) 满足定义1 2 1 ，则称之为p 的伴随锥 $ a p 静对某个毋昂，使得咖( z ) = 0 ，其中曰= 尸。一 o ，a p 表示p 的边 界 6 山东师范大学硕士学位论文 定义1 2 2 称函数f ：r ”一r 关于锥p 足拟单调不减的。 使得当z ”及妒白一z ) = o 时，有妒( f ( ) 一f ( z ) ) 20 特别地，取p = f 掣，则我们可得：z 且q = 们，对某个i 有e 悖) 一e ( 。) o ，即为向量函数的一般拟单调性定义 下面阐述锥值变分l y 印u n o v 函数方法的主要思想 引理1 2 1 【i 】假设 若存在妒昂 l f 时 ( 4 1 ) f ：r + 舻一即，对所有的k ，f 在( “划胛上连续。并且在其上具有连 续偏导数嚣； ( a 2 ) 对每一个z 胛，= l ，2 ，当( t ，y ) 一( “，z ) 时，只筹具有有限极限； ( 如) “：舻一舻连续可微， 令y ( ) = ( t ，o ，z o ) 是系统( 2 ) 的在【t o ，+ o 。) 上的解，则 ( 1 ) 舞化幻，印) 存在且是初值问题 l ( f ) = 冗( ，( ，o j o ) ) z ，t “， z = 游( ( “) ) 互 = “，女= 】，2 ，( ) 【z ( t 吉) ：j ，k ：1 ，2 的解，并使得蔫( t 幻，知) 为单位矩阵； ( 2 ) 舞( t ，o z o ) 存在且是( + ) 的解并满足 舞训一畿化瑚枷孙 对所有的k ，当一( f ，k + 1 1 时，在引理1 2 1 的条件下，籍( ，s ，( s ) ) ，皂( t ，一，( s ) ) 存在并连续 若令c ，( s ) = 可( t ，5 ，卫( s ) ) ，o s t ， 对所有的女，当5 ( i 】时，( s ) 左连续，此时 u 7 d ) = 皇掣+ 璺掣，( ，计圭g ( t 一，( 1 2 1 ) 两边对s 从幻到积分得 ( s ) d s = o ( ，最z ) 出， j 幻j 0 而同时有 b 邮3 = p 如+ f ：u e 如+ + 亡? i 啪汹+ b s 汹 = c 厂0 1 ) 一c ，( f o ) + c ，0 2 ) 一c 厂( f f ) + + ( 厂( n ) 一c ，( 0 1 ) + c ，( f ) 一c ，( ：) = 口( ) 一，( 幻) 一u ( “) ， 7 山东师范大学硬士学位论文 从而有【，( ) = u ( t o ) + 丘g ( ， z ) 如+ u ( “) 由u ( s ) 的取法知 z ( z ) = p ( o + g ( f ，s ，z ) d s + c ，( “) ( 1 2 2 ) 。叼 o k 若令u ( s ) = i i9 0 ，5 ，z ( s ) ) 0 2 ，osss ， 对所有的k ，当5 ( 圯t k + l 】时，有 u ，( s ) = 2 口( t ，s ，z ( s ) ) g ( t ，s ， 两边对s 从t o 到t 积分同样可得 ，o ) = c ，( f d ) + 2 挈( ，8 ，z ( s ) ) g ( ， z ) d 5 +【，( “) ， o o 0 t 即 “ oz ( ) 0 2 = | i 甜( t ) 0 2 十2 掣( t ，s ，z ( s ) ) g o ，s ，z ) d s + c ，( t ) ( 12 3 ) o 幻 t o o ，使得当 9 山东师范大学硬士学位论文 o ( c 亭，勘) o 和t = t ( f o ，e ) o ， 使得当b ( f 手，如) o ，使得当( f 亭，z o ) j 时，有 ( ，z ( ) ) o ，有 m ( c ，5 + ) 一m ( t ，8 ) = y 0 + ，掣( ，8 + ，z ( s + ) ) ) 一y ( s ，掣( t ，s ：z ( s ) ) ) = y 0 + ，y ( ，s + ，z 扣+ ) ) ) y 0 + ，y ( t ，s + ，z ( 5 ) + ，0 ，z ( s ) ) ) ) + y ( s + ，可( ，8 + ，z 0 ) + ，( s ，z ( s ) ) ) ) 一y 扣，掣( t ，s ，z ( s ) ) ) 由于对每个( ，s ) ，y ( t ，z ) 及( f ，s ，。) 在锥p 上关于。均满足局部l i p s c h i t z 条件 从而有 d + m ( t ，s ) 9 ( t ，s ，m ( ，) ，s “，t o sst 另一方面，当s = “时， m ( f ，毒) = ，( 主，f 8 ， ，。( ) ) ) = 矿( c ，y ( c ， ，z ( “) + 矗( z ( “) ) ) ) 1 ，f ，( y ( “，y ( t ，“，z ( “) ) ) ) = 妒k ( 小( ，“) ) 从而当s ( o ，t l 】时，由( 126 ) ，( 1 2 7 ) 及比较定理( 【l l 】定理23 ) 知 m ( ，s ) r ( s ，o ，u o ) ，5 假设s ( 女一1 划时，有 m ( ，s ) r ( ，5 ，f 女一h r ( ：+ - l ，f o ，蛳) ) ，s ， 又由仇单调不减及m ( ，“) r ( ，“r ( ，c + _ l ，o u o ) ) 知 ( 1 2 6 ) ( 12 7 ) m ( ，王) 乖k ( 7 n ( t “) ) 妒 ( r ( f ，“一l ，r ( f ，0 l ，o ，u o ) ) ) = r ( ，毒，f o ，u o ) ( 12 8 ) 从而当5 阻，i + 1 1 时，由( 1 2 6 ) 式，( 1 2 8 ) 式及比较定理f i l l 】，定理2 3 ) 同理可 得 m ( ，s ) r ( f s ，缸，r ( f ，毒，t o ，u o ) ) ，s t ， 由数学归纳法知 m ( ，j ) sr ( ，s ，o ，t 0 ) ，o s ， 山东师范大学硬士学位论文 其中 r ( ，5 ，幻，n o ) ， r ( ，s ，l ，r ( ， ，o ，u o ) ) ， r ( ，s ，圯r ( t ， ，t o ，t 1 0 ) ) ， t o s t l ， l o ，使得当q o ) 占时，有q ( u ( ) ) o ，e ，使得当 o ( t ，z ) o ，妒k ，使得当q o ( ) a 对，有 q ( 叫) s 妒( q o ( 埘) ) ， ( 1 32 ) 对任意的( ：o e o o r + ，存在d t = 6 l ( f o ，e ) m i n f a ，妒一1 ( 6 ( ) ) ，舶 ，使得当 q o ( u o ) o ，使得当 o ( t o ，z o ) d 2 时，有 o ( o ，( ) ) 巧l ，t t o ( 1 34 ) 取6 = ( f o ，) m i n ( ，) 0 ，而 ，使得n ( o ，d ) 6 1 当 o ( o ，z o ) 6 时，由( 1 3 1 ) 式及条 件( v ) 得 ( o ，z o ) s 毋( o ，加( o ，2 0 ) ) ( o j ) p ， q o ( y ( t o ，z o ) ) 口( o o ， 0 ( o ，z o ) ) n ( o ，6 ) 吖 a 从而由( v ) 及( 1 3 2 ) 式得 6 ( ( c o ，z o ) ) q ( v ( o ，z o ) ) 妒( q o ( y ( o ，z o ) ) ) 妒( d 1 ) 6 “) ， 1 3 山东师范大学硕士学位论文 即h ( f 0 ，2 d ) 下面证明：当 o ( o ，z o ) 6 时，有 ( ，z ( ) ) ，t o 若不然，则存在系统( 1 ) 的初值满足 0 ( o ，z o ) o o ，使得 ( z ( ) ) f( 1 3 5 ) 下面分两种情况进行讨论， 情况l ：若o t t l 令矿= i n f 0 ： ( ，z ( t ) ) 2 ( ) ，则 ( t z ( ) = e 且 ( ，z ( t ) ) e n t 【c o ，4 ) 从而当f t o ，纠时，( t ，z ( t ) ) es ( ，p ) 取t 1 0 = y ( 幻，( 圮t o ，却) ) ，则由条件( i v ) 及推论12 1 知 y ( 亡，z 0 ，t o ，z o ) ) r o o t o ，y ( t o ，( 矿，t o ，2 0 ) ) ) ，t 【t o ，r 】 ( 1 3 6 ) 所以由条件( v ) 得 6 ( ) = 6 ( ，i ( r ，z 0 + ) ) ) s0 ( v ( r ，z ( r ) ) ) q ( 7 0 ( ，o o ，y ( o ，翦( ，幻，z o ) ) ) ) ( 1 3 7 ) 另一方面，由条件( v ) 及( 1 3 4 ) 式知 q 【l ( y ( o ，0 + ，o ，蜘) ) ) sd ( 抽，丸o ( o ，”( r ，o ，o ) ) ) r ( o ，占1 ) 因此由( 1 33 ) 式得 q ( 相“+ ，幻y ( 如，f ( r ，幻：跏) ) ) ) “f ) ， 很显然该式与( 1 ，3 ，7 ) 式足矛盾的 情况2 ：若存在某个m ，使得“ “+ l _ 则 f ，( ，( r ) ) 且 ( f ，z ( f ) ) f ，r i o ，州 由于，l ( “z ( ) e m i n p o ，a ) ，则由条件( v i ) 知，存在f o ( 叫使得 ( ，i ( 一z ( o ) ) p 且 ( t ，z ( t ) ) p ，【c 0 o j 类似于情况l ，由q 0 ( y ( o ，( o ，t o ，。o ) ) ) 冬o ( t o ，_ f 1 0 ( o ，9 ( o ，t o ，z o ) ) ) d ( o ，j 1 ) 可得 6 ( f ) s “ ( o ，z ( f o ) ) ) q ( y ( o ，z ( o ) ) ) q ( r o ( o o ，y ( f o ，斗( f 0 ：o ，o ) ) ) ) 0 ，使得当 0 ( o ，知) 南时，有 7 ( ，z ( t ) ) o 使得当q o ( “o ) o ，存在如= 如( o o ，6 1 ) ，使 得当 o ( t o ，z o ) 如时，有 o ( o o ，( ，o ，z o ) ) n 。( 6 1 ) ，t o o ( 1 39 ) 取6 = 6 ( o ) m i n 南，6 2 ，下面只需证明：当 0 ( 幻，z o ) o ，使得当 o ( ，z ) 舶时，有 ( f ，r ) ( 0 8 ，善) ) 且( 卢口) 矿 ( 1 3 1 0 ) 对任意的c ：o e o ，存在也= 巩( e ) m i n a ，妒 由于系统( 3 ) 足( 0 0 ，0 ) 一致稳定的，从而 1 ( 6 ( f ) ) ，册 ，使得当。o ( “o ) 6 1 时，有 q ( u ( f ) ) o 存在如= 如( c ) ，使得当 o ( o ，z o ) 6 2 时，有 ( o ，( ，o ，z 。) ) n _ 饥) ，o ( 1 3 1 2 ) 取6 = 6 ( ) m i n 伽，如) ，使得n ( 6 ) 5 l 当 0 ( f o ，。o ) o ，使得当b ( 幻，知) d l 时，有 ( t ，z 0 ) ) o ，对任意的e ：o r o ，使得对于任意的幻肌，当q o ( “o ) o ，使 得当_ 1 1 0 ( t o ，。o ) 如时，有 o ( o ，可( ，t o ，z 。) ) n 一1 ( 而) ，t2o o 取6 h l i n m ，如) ，当( f o ，。o ) 6 时，类似于定理1 3 1 中的讨论得 厶( ，l ( ，工( t ) ) ) sq ( y ( ，z ( ) ) ) sq ( r 0 0 ，o ，y ( o ，( ) ) ) ) 6 ( ( ) ，t o + r ， 即h ( ，z ( ) ) e ，o + t 所以系统( 1 ) 足( o ， ) 一一致吸引的 综上所述，系统( 1 ) 足( ，f 0 ，7 t ) 一一致渐近稳定的 以上足根据比较定理结合比较系统( 3 ) 的稳定性质，最终得到了系统( 1 ) 相应 的稳定性质，下面我们再给出几个不需要比较系统就能得到系统( 1 ) 稳定性质的若 干结果 推论1 3 2 在定理i3 1 中，若g ( ，s ，“) ；o ，机( “) = “，= l ，2 ，即条件 ( i v ) 改为 ( i v + ) d + v 0 ( ，s z ) ) so ，s “，0 ，z ) s ( ，p ) ， y ( s ，可( ，s ，+ ( z ) ) ) sy 0 ，v ( ，s ，z ) ) ，s = “，0 ，z ) s ( ，p ) ，七= l ，2 ， 则由系统( 2 ) 的( o ，i o ) 一稳定性质可推得系统( 1 ) 相应的( o ：，t ) 一稳定性质 证明l o 首先证明：由系统( 2 ) 的( o ，元0 ) 一稳定性质可推得系统( 1 ) 足( 0 ， ) 一 稳定的 类似于定理i 3 1 ，同样可由条件( i ) ( i i ) 得出( 1 3 1 ) 式和( 1 3 2 ) 式 对任意的e ：o f o ， 使得当b ( o ，( t ) ) o ，使得当 ( o ，。o ) 6 l 时，有 b ( o o ，( t ) ) 己t t o ( 1 3 1 4 ) 取6 = 6 ( o ，e ) ，使得口( 2 0 ，6 ) 母一1 ( b ( e ) ) 且d ( t o ，6 ) ，则当 o ( t o z o ) 6 时，由( i i ) ，( v ) 类似于定理1 3 1 得 ( o o ，z o ) e ，t t o 下面证明：当_ 1 1 0 ( 2 0 ，z o ) 6 时，有 ( t ，z ( ) ) ( ，t 2 幻 若不然，则存在系统( i 的初值满足 o ( 瓴跏) t o ，使得 ( c z ( ) ) 2 f 下面分两种情况进行讨论； 情况l ：若o t o l t 则类似于定理1 3 1 可得 ( ，z ( ) ) s ( p ) ，【o ，】 则由条件( i v + ) 及推论l2 2 得 ，( f ，。( ) ) s 矿( o ，y ( f ) ) ， o 州( 1 3 1 5 ) 从而由条件( i i ) ( v ) 及( 1 31 3 ) 式，( 1 3 1 5 ) 式得 6 ( e ) = 6 ( “，f o 。) ) ) 口( y ( r ，f ( f ) ) ) sq ( v ( o o ，9 0 ) ) ) 曼妒( 0 0 ，h ( o o ，9 0 ) ) ) ) “驴。( 6 ( f ) ”= 6 ( f ) 显然这足一个矛盾 情况2 ：若存在 ，+ ，使得“ i + j ，则类似于定理l ，3 1 可知，存在 一( i ，c 1 ，使得 cs ( f o ，z ( o ) ) p 且 ( t ，z ( ) ) p t 【o ，0 j ， 类似于情况l ，由条件( 沁+ ) 及推论1 2 2 可得 矿( f z ( f ) ) sy ( f o ，y ( f ) ) ，f p o f o j ， 从而 6 “) = 6 ( ( 一，z ( o ) ) ) s 口( 矿( o ，z ( o ) ) ) 0 ( 矿( o o ，掣( o ) ) ) 妒( n ( o ，m ( o ，p ( o ) ) ) ) o ，使得当 o ( o o ，。o ) 而时，有 ( c ，z ( j ) o a 2 o 对任意的e ：o o ，丁= 玎如，f ) o ，使得当 0 ，z o ) 酊 时，有 o ( 2 0 ，掣( ) ) 乇f2c o + r 取6 = 6 ( o ) m i n 6 0 ，酊) ，下面只需证明；当 o ( o ，z o ) 6 时，有 ( ，工( ) ) ，t2 幻+ t ( 1 31 6 ) 若不然，则存在序列 t ( “) ) ，小) o + l 使得e ( ( m ，z (