（理论物理专业论文）基于自组织临界性的细胞生长—灭活的一维模型研究.pdf

硕士学位论文 川a s t e r s 】i i e s i s 摘要 本文设计了一个简单的细胞生长一灭活一维模型，讨论了模型中簇分布的 规律。在这个模型里，引入了簇的概念，簇的大小是指连续被占据的格点数目。 我们记录了具有不同尺寸s 的簇的数目n ( s ) 采用计算机模拟来实现这个模 型，以不同的格点占据几率p 来分析这个模型显然，对于同样一个p 值，簇 会有许多不同的排列情况，但这不影响我们对感兴趣的变量的讨论，因为我们 所关注的并不是哪一个具体的格点被占据与否，以8 和礼( s ) 这两个变量来研 究，考虑的就是模型里一些统计性质模型里所有的格点取值相互独立，采用 随机数来对格点赋值在一定程度上满足了这种独立性 本文详细介绍了b s 模型，并就这个模型的些不同的定义和研究方向做 了对比。我们讨论了在s o c 模型中非常关键的幂次律，分析了真实世界或是模 塑里相互作用对于自组织的意义。另外，文章还就自组织临界性带来的积极意 义和困惑做了讨论，也提出了许多仍然值得继续关注和有待解决的问题文章 介绍了在生物医学领域，“程序性细胞死亡”这开创性工作。它为研究许多 疾病的发病机理和治疗方法带来了新的契机，也是本文工作的一个生物背景。 作为对这个模型中自组织机制的一种探求，我们有意识地采用了双对数图 来分析数据，看看有没有我们所关注的幂次律。我们发现在p = 0 5 的邻域， n ( s ) 与8 在双对数图上有近似的线性关系，但对于其它较大或较小的p 值而 言，两个变量并没有理想的线性关系不可否认，在模型中会存在边界条件的 影响，毕竟我们的研究对象是一个有限尺度的模型对于在p 值较大时呈现的 近似多标度的性质，还需要更进一步的讨论 在进一步分析过程中，由定义我们得到了一个精确的几率方程，它很好地 描述了两个变量的关系并与数字模拟结果非常吻合。最后，通过不同的方式得 1 1 1 硕士学位论文 m a s 7 f e r s t i i e s i s 到p 的某一取值，其簇分布规律差异极小，这使我们相信簇分布几乎不依赖p 的取值过程，p 值本身的大小决定了分布情况 关键词；簇，几率分布，自组织，自组织临界，程序性细胞死亡 硕士学位论文 m a s l e r s t i i e s i s a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ni sc o n c e r n e dw i t ht h ed i s t r i b u t i o nl a wo fc l u s t e r sw i t h d i f f e r e n ts i z e si nas i m p l eo n e d i m e n s i o n a l ( 1 d ) c e l l sg r o w t h d e a t hm o d e l t h et e r m i n o l o g yc l u s t e ri s a p p l i e dt ot h em o d e l t h es i z eso fac l u s t e r i st h en u m b e ro fc o n t i g u o u so c c u p i e dn e i g h b o r i n gs i t e s w er e c o r dt h en u m b e r n ( s ) o ft h ec l u s t e rw i t hd i f f e r e n ts i z e s w ea d o p tt h ec o m p u t e rs i m u l a t i o nt o m i m i ct h i sm o d e l i ti so b v i o u st h e r ea r em a n yd i f f e r e n tp e r m u t a t i o nc a s e sf o r o c c u p i e ds i t e sw h e npt a k e sac e r t a i nv a l u e ，w h i c hd o e s n ta f f e c tt h er e s e a r c h a b o u tt h et w ov a r i a b l e si n t e r e s tu s a f t e ra l l ，o u rc o n c e r ni sn o tw h i c hp o s i t i o n as p e c i a lo c c u p i e ds i t ei sl o c a t e d ，b u tt h es t a t i s t i c a lp r o p e r t ya b o u tt h ec l u s t e r s w i t hd i f f e r e n ts i z e s e a c hs i t ei nt h e1 dm o d e lt a k e si n d e p e n d e n tv a l u e ，a n d t h er a n d o mn u m b e r st a k e nv a l u et ot h es i t e ss a t i s f yt h ei n d e p e n d e n c ei ns o m e d e g r e e t h eb sm o d e li si n t r o d u c e di nd e t a i l a n ds o m ed i f f e r e n td e f i n i t i o n sa n d r e s e a r c ha b o u tt h em o d e la r ec o m p a r e d ，w ed i s c u s st h ep o w e r - l a wa n di n t e r a c t i o n si n f l u e n c eo nt h es o ci nr e a lw o r l do rm o d e l b e s i d e st h a t ，w ep r e s e n tt h e p o s i t i v em e a n i n ga n dp u z z l e si nt h es o c s o m ep r o b l e mt ob ec o n s i d e r e da n d s o l v e di s p o i n t e do u t i nt h ep h y s i o l o g ya n dm e d i c i n ef i e l d jt h es e m i n a lb r e a k t h r o u g hi no u ru n d e r s t a n d i n go f c e l lp r o g r a m m e dc e l ld e a t hi si n t r o d u c e dt h e i m p o r t a n td i s c o v e r yi sv e r yi m p o r t a n tf o rm e d i c a lr e s e a r c ha n dh a v es h e dn e w l i g h to nt h ep a t h o g e n e s i sa n dc u r eo fm a n yd i s e a s e s ，w h i c hi sa l s ot h eb i o l o g i c a l b a c k g r o u n do ft h i sd i s s e r t a t i o n s e a r c h i n gf o rt h es e l f - o r g a n i z a t i o nm e c h a n i s m ，w ei n t e n dt oa n a l y z et h e v 硕士学位论文 m a s t e r st l i e s i s d a t ai nt h ed u a l 1 0 9 a r i t h mp l o t w ef i n dt h a ti nt h en e i g h b o r h o o do fp = 0 5 ， n ( s ) a n dsi nt h ed u a l l o g a r i t h mp l o th a v ea p p r o x i m a t e l i n e a rr e l a t i o n ，h o w e v e r ， f o rr e l a t i v e l yl a r g eo rs m a l lp ，t h e r ei sn o ti d e a ll i n e a rr e l a t i o n i ti su n d e n i a b l e t h a tt h e r ea r eb o u n d a r ye f f e c t ，b e c a u s eo u ra c t u a lo p e r a t i o ni si nal i m i t e d - s i z e m o d e l f o rs o m el a r g ep ，s e e m i n g l yt h e r ea x em u l t i f r a c t a lp r o p e r t y ，w h i c hi s n e e d e dt ob ed i s c u s s e df o r w a r d i nf u r t h e rc o n s i d e r a t i o n ，b yd e f i n i t i o nw eo b t a i na ne x a c tp r o b a b i l i t ye q u a - t i o n ，w h i c hd e s c r i b e st h er e l a t i o nb e t w e e nt h ea b o v et w oq u a n t i t ya n di s i n a g r e e m e n tw i t ht h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n f i n a l l y , t h r o u g ht h r e ed i f f e r e n tm e t h o d st ot a k et h es a m e p ，w ef i n dt h a tt h ed i s t r i b u t i o n sa l m o s tm a k e s n od i f f e r e n c e ， w h i c hs h o w st h a tt h ed i s t r i b u t i o no fc l u s t e r sw i t hd i f i e r e n ts i z e sd e p e n dl i t t l e o nt h ep r o c e s so ft a k i n gv a l u et op ，a n dpi t s e l fd e c i d e st h ed i s t r i b u t i o n k e yw o r d s ：c l u s t e r ，p r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n ，s e l f _ o r g a n i z a t i o n ，s e l f - o r g a n i z e d c r i t i c a l i t y , p r o g r a m m e dc e l ld e a t h v 1 硕士学位论文 m a s n ! r sr ij i e s i s 致谢 感谢三年来粒子所的学习与生活，感谢这一段行程带给我的思考和成长。 感谢我的导师蔡勖教授，他让我对为人为学有了新的认识，也教会了我在 困境中的执着与坚持他深邃的思想，活跃的思维，清晰的思路，敏锐的洞察力 为我开启了科研的大门，将一个生动而神奇的自然科学领域圣现在我面前，激 发我的好奇与求知，并带给我一路前行的动力。他的豁达、正直、热情、宽容， 对工作忘我的投入和对学生无私的帮助，让我深刻地体会到了给予和付出的意 义。 感谢周代翠教授和刘连寿教授，他们一直为粒子所的发展而努力，不断改 善着我们的学习环境为这个集体前进的每一步都倾注了大量的心血。 感谢每一位授课的老师，他们让我对物理有了越来越多的了解，也让我对 科研有了越来越深的认识。感谢每一位为粒子所奉献热情与真诚的老师，他们 让我身处一个充满希望而富有凝聚力的团体。 感谢远在美国的王晓荣，在我遭遇挫折时带给我的勇气和信心。感谢吴涛 对我真诚的鼓励与耐心的指导感谢周代梅一直以来的关心和帮助感谢李炜 带来新的研究方向和讨论。感谢冯又层、马科、池丽萍、刘勇这一路走来的相 互学习和思想交流。 感谢几位可爱和给我温暖的室友：杨利建、徐俊、郭盈岑，朝夕相处的生 活让我们学会了分担情绪和分享快乐感谢身边每一位同学，也感谢我们一同 走过的这段美丽的青春岁月。 最后，我借这篇论文表达对父母兄长的深深谢意他们一直为我的求学道 路而默默地付出着，感受着我的进步与转折，支持着我的前行和成长。在我无 助和迷茫的时候，成为我最大的支撑和动力感谢在他们教育和影响下我逐步 硕士学位论文 m a s t e r s t l i e s i s 形成的独立坚强的性格和对生活珍惜感恩的心态 1 l 杨丽平 2 0 0 4 年5 月于桂子山 硕士学位论文 m a s f e r s t i f e s i s 第一章引言 人法地，地法天，天法道，道法自然， 一老子 2 0 世纪7 0 年代以来，自然科学前沿出现了一批像“耗散结构论”( d i s s i p a t i v e ) 、“协同学”( s y n e r g e t i c s ) 、“突变论”( m o r p h o g e n s i s ) 、“超循环 论”( h y p e r c y c l e ) 、“混沌理论”( c h a o t i ct h e o r y ) 和“分形理论”( f r a c t m t h e o r y ) 等新兴学科。这些学科研究的对象尽管不同，但它们同属于非线性的 复杂系统，或具有非线性的自组织形成过程所谓自组织形成过程指的是无需 外界特定指令而能自行组织、自行刨生、自行演化能够自主地从无序走向有序， 形成有结构的系统的过程。 关于自组织临界性( s o c ) 的科学研究表明，复杂系统在远离平衡的临界态 上运作，以阵发的、混沌的、类似雪崩的形式演化，并不像通常以为的那样遵 循一种平缓的、渐进的演化方式。按照耗散结构理论，只有远离平衡态才能使 原来的状态( 即系统形成之前，各部分间相互独立、平等、对称的状态) 失稳， 新结构产生。对系统的整体性“涌现”( e m e r g e n c e ) 来说，前提是原态的失稳 这与普里高津所谈到的“非平衡是有序之源”如出一辙， 在我们周围许多系统是复杂的，为了解他们的性质激发了虽不是全部但也 是许多方面的科学探求不管系统有多大的复杂性和多样性，普遍的规律和现 象对我们的研究和理解仍是必要的所有的物质都由某些基石形成这一思想是 科学的一个基本概念，这对于我们认识科学系统的共同特征是必要的组元的 普遍性补充说明了客观运动规律( 经典或量子) 的普遍性在生物学里，大量 生物体普遍的分子和元胞机制构成我们研究的基础然而，甚至比组成成分更 1 硕士学位论文 m a s l e r s t i i e s i s 普遍的是以某种方式使得生物体进行演化的多样化和选择性的动力学过程。因 而，在或大或小的程度上，所有科学上的努力以普遍性的存在作为基础，普遍 性以各种不同的形式表征系统本身 2 。 大自然是复杂的，但同时也呈现出和谐与美什么是复杂里蕴涵着的简单 规律，什么潜在的机制在影响和调适着自然的演变与进化，一直是许多科研工 作者探索的主题在研究的进程中，复杂性慢慢凸现出一些基本的特性 3 , 4 】 层次性( h i e r a r c h y ) 复杂系统是由大量的予系统或单元组成的，因而形成许多层次。生物系统 有细胞、器官、机体、种群等层次。气候系统由大大小小不同时i 曰尺度层次的 气候组成，上至千百万年，下至月日分秒。人脑有许多由神经元构成的神经元 层次，它们承担不同的功能，对于事物有着不同方面的感知。社会由家庭、乡 县市省、国家等多层次组成，形成有机的整体 鲁棒性( r o b u s t n e s s ) 现在的电脑是串行结构，坏一个元件便无法工作，程序出错就不再计算。但 人脑是并行运算的，每天都有大量神经细胞正常死亡，却并不影响它的记忆和 思维功能：当大脑受到局部损伤时，其功能只会有款款的衰退( g r a c e f u ld e g r a - d a t i o n ) ，但不是突然丧失。鲁棒性是和耗散性( d i s s i p a t i o n ) 相联系的，耗散 性把初始信息全部抛掉，因此任何随机扰动才不致影响鲁棒性。 奇异性( s i n g u l a r i t y ) 宇宙中星星的分布有疏有密，世界各地人口的密度有大有小，地震发生的 等级分布极其不均匀，矿藏储量大小不一湍流能量的耗散几乎集中在空间的 某些点上，这些点耗散掉大部分动能。 在s a n t ef e 研究所，有科学家认为，从物理学到化学、生物学、社会学、 经济学等领域的复杂现象和行为来自于自组织、涌现和适应诸过程，故它们是 2 硕士学位论文 m a s f e r s 】i i e s s 复杂适应系统”( c o m p l e xa d a p t i v es y s t e m s ，或c a s ) g e l l m a n n 5 认为复杂适应系统应具有以下特征：( 1 ) 系统是开放的，即 与其环境有能量和物质交换；( 2 ) 系统能识别其动态过程中的一些规律性；( 3 ) 系统将无规律的信息作为随机信息处理( 大多信息确实如此) ；( 4 ) 系统具有记 忆、学习和产生对策的能力 l e v i n 认为复杂适应系统是一个由多种异质成分组成的聚合体，其结构和 功能来源于两个过程的相对均衡，一是多种力量使系统不断产生组成成分的多 样性，二是系统在局部相互作用主导下对这一多样性进行筛选。复杂适应系统的 主要特征是自组织过程( 即小尺度上的局部相互作用导致大尺度上有序性的产 生) ，而这种自组织过程往往由于不同的历史事件而产生多种不同的结果 6 ，7 】 l e v i n 6 1 指出，复杂适应系统具有四大要素：异质性、非线性、等级结构和 流，它们是系统产生自组织行为的根本原因也就是说，系统通常是通过异质成 分间非线性作用而自组织成等级结构，而这一结构又支配组成成分间的能量、 物质和信息流，同时也受其影响。因此，复杂适应系统最本质的特性是自组织 性。通过自组织，系统的整体属性由局部成分间的非线性相互作用产生，而系 统又能通过反馈作用或增加新的限制条件来影响成分间相互作用关系的进一步 发展因此，自组织过程包括“旧约束”的破除和“新秩序”的建立。在复杂适 应系统中，“破除”引发“重建”，有序出自无序这种自组织性不是系统“自 上而下”的“预定目标”，而是由于组成成分之间相互作用产生的“自下而上 ”的集体效应所不可避免的结果。 复杂性( c o m p l e x i t y ) 是最近几年学术界比较流行的术语，但复杂性本身并 没有一个明确的界定和清晰的定义目前对于复杂性的定义有几十种之多，却 仍然并不完备，没有为大家共同认可的描述。从另一个角度来看，给一个概念 定义得过于严格常常会限制人们的思考，尤其对于一个尚处于发展阶段并不十 3 硕士学位论文 m a s 1 1 e r st 】i e s i s 分充分完备的理论而言，严格定义的结果往往得不偿失。 对于复杂适应系统，什么是它最为本质的作用规律，仍然处于探索阶段 将自组织临界性与复杂性并提，二者的关系也许正如大自然如何工作的作 者巴克所说，自组织临界性不是复杂性的全部，但它或许打开了通向复杂性科 学的一扇大门。 自组织临界性是本文工作的出发点，我们的初衷就是探讨这个富有争议的 概念与生命科学现象的一些关联。在健康的生命机体中，细胞的生生死死总是 处于一个良性的动态平衡中，如果这种平衡被破坏，人就会患病。如果该死亡 的细胞没有死亡，就可能导致细胞恶性增长，形成癌症。如果不该死亡的细胞 过多地死亡，比如受艾滋病病毒的攻击，而不该死亡的淋巴细胞大批死亡，就 会破坏人体的免疫能力，导致艾滋病发作。 “程序性细胞死亡”( p r o g r a m m e dc e l ld e a t h ) 是细胞分子生物学在理论上 的一大突破，这一开拓性的工作为艾滋病、肿瘤和癌症等疾病的治疗提供了寻 找新方法的可能，将在人类战胜疾病的过程中发挥重要作用，鉴于其深远影响 和重大意义，这一工作获得了2 0 0 2 年诺贝尔生理学及医学奖。“程序性细胞死 亡”是一种生理性、主动性行为，对于身体是一种调节性的死亡，很自然地可 以被视为一种自组织过程。 我们首次将巴克等人提出的自组织临界性与生命科学领域的重大发现“程 序性细胞死亡”结合在一起，以一个简单的细胞生长灭活的一维模型作为研 究对象，借用逾渗理论中簇这一概念，探讨模型中簇分布的规律。 簇的大小是点阵模型中连续被占据最近邻格点的数目多少。虽然就相同的 格点占据几率而言，模型中会有很多种不同情况的簇的排列，但我们选取的是 两个统计变量，关心的是其统计性质，某一个具体的格点被占据与否并不影响 我们的研究对于数字模拟带来的结果，我们进行了分析和讨论。本文深入探 4 硕士学位论文 m a s t e r st i i e s i s 讨了自组织临界性，详细介绍了程序性细胞死亡。在最后一个章节里，我们给 出了总结和展望。 5 硕士学位论文 1 a s l 、e r s 1 】i e s s 第二章b s 模型中的对比 b s 模型在1 9 9 3 年一经提出，就迅速波及到许多研究领域，不同的领域相 继出现了各自的极值模型这些模型在s o c 的研究中有着奠基性的意义。许多 科研工作从不同角度考虑了b s 模型，比如模型本身出发，从模型中的变量出 发，以及从其发展方向雪崩机制出发等等。本章着重描述b s 模型中的对比 2 1 模型的两种描述 我们先看一下b s 模型： b s 演化模型【8 , 9 是呈现自组织临界性的经典模型，它以一种非常简单而 极具特色的方式来模拟生物演化，其定义如下： ( 1 ) l 4 个物种依次排布在一个线性尺寸为l ，空间维度为d 的点阵( 具有 周期性边界条件) 上； ( 2 ) 从在( 0 ，1 ) 间的均匀分布p ( f ) 中取个随机数，分别赋给个物 种，作为它们的“适应性”； ( 3 ) 在每一步更新中，适应性最小的物种以及它的2 d 个最近邻物种都要被 变异，这2 d + 1 个物种被赋予p ( f ) 中的2 d4 - 1 个新随机数； ( 4 ) 不断地重复步骤( 3 ) b s 模型、沙堆模型以及许多其它的模型 1 0 一1 3 被统称为极值模型，通过 对整体层次上某一变量极值的更新让系统经由一个长期的自组织过程到达临界 态。这个模型虽然简单，但包含了物理系统的基本框架和生物演化的相互作用 机制，为我们深入分析真实世界打开了一个窗口模型中的更新迭代方便我们 进行编程处理和数据分析，可以获得许多解析的性质，为数学上进一步的定量 6 硕士学位论文 m , a s t e r st i | e s i s 描述提供了可能 随着模型的演化，即在许多步的更新之后，系统到达了一个统计上的稳定 态系统中各个物种的“适应值”都在，c 之上，并且在恢，1 ) 间均匀分布。在 热力学极限下三- 4 o o ，每步更新的极值点岛，。兰五。这个模型表现出如同真 实生态系统演化的断续平衡行为，它是一种对于生物链中物种相互作用及相互 依赖的演化行为的模拟。 该模型最让人关注的特点是系统自组织到临界态，这一临界态有着稳固的 标度无关的突发或雪崩行为的几率分布。雪崩是由局域的动力学相互作用所导 致的一种宏观现象，它也被认为是各种复杂结构和复杂器官形成的潜在机制， 很自然地，雪崩研究被当作是处理复杂系统的一个合适工具 14 。这个模型中 的雪崩呈现递阶结构，大雪崩由小雪崩组成，类似于自然界中被普遍观察到的 分形 在对这个模型的研究中，有一个被定义得相当巧妙的物理量g ( s ) 。由于随 机数的均匀分布，不难想象，对于一个维度是d ，大小尺寸为三的系统，m t 。( s ) 的初始值厶：。( o ) 具有“的量级，对于l 较大的系统，“。( o ) = o 。把 ；。( 0 ) 作为隙距g ( s ) 的初始值，即c ( o ) = ，m 。( 0 ) ，经过时间间隔s ，首次 出现厶，。( s ) 厶，。( o ) ，此时，g ( s ) = 五“。( s ) ，数学表述为： g ( s ) = m a x ，赢。( s ) ，0 s ，ss )( 2 _ 1 ) 也就是说，g ( s ) 记录的是厶，。( s ) 峰值的变化，它作为s 的函数呈现阶梯式的 增长。这个量大大方便了对于雪崩的记录，并保证了雪崩中事件在时空上的高 度关联我们来想象一段横向纵向间距不等的阶梯，一步台阶的横向长度表征 了一个雪崩的尺寸大小a s ，而纵向长度则反映了s 时间段内，最小适应值 的变化，南。这一特性可以用并不复杂的编程处理来得到不同尺寸大小的几 率分布，优于以辅助参数南来记录雪崩 7 硕士学位论文 m a s t e r ls t i i e s i $ g ( s ) 的每一次跳跃都意味着上一个雪崩的结束和下一个雪崩的开始，这一 性质也方便数学推导，得到精确的隙距方程，将雪崩发生的数目与隙距的变化 联系在一起，可得到许多有意义的临界指数g ( s ) 的不再跳变也可以表明系统 到达了一个稳定的临界态，之后对应的便是无穷大的雪崩。 要说明的是，图中对应的时间并不是我们日常生活中的时间变量，而是以 更新步数来度量的一种“演化时间”，也可以说是一种时间标度。以后图中出现 的时间变量同样也是计算机模拟中的“演化时间”。 最近邻与随机近邻 在前面介绍的b s 模型属于最近邻模型，每次格点最小值的更新只带来最 近邻格点的重新赋值。作为一种对比，随机近邻 1 5 ，1 6 的特点是随机地在点阵 中挑选k 一1 个物种作为其近邻来变异，即每次更新重新选择k 个随机数来 赋值给这k 个物种，当然可令k = 2 d 。在随机近邻模型中，变异格点选择的 随机性使得模型更富可解性，随机在一定程度上暗示了每个格点的等价性和相 互独立性。这两种s o c 模型具有显著的结构相似性。对于近邻与随机近邻的差 异就可以从相邻的两次更新点的位置关联上入手。 2 2 关联的比较 自组织过程使系统从一个毫无关联的状态到达一个高度关联的末态。这其 中的一个重要研究课题便是时空关联性，它同时也被建议作为系统到达临界态 的重要参数。最近邻描述与随机近邻描述最为本质的差异是对于近邻的挑选 前者是更新中心在点阵中的最近邻被变异，而后者是随机选取格点作为近邻被 变异，显然，在不断更新的过程中，最近邻模型中连续两个极值点在空间上的 关联更大在时间点s 和时间点s + 1 更新位置点之间的空间关联被作为研究 8 硕士学位论文 m a s ，f e r ，st ii f s i s 对象【1 7 - 1 9 】。 对于一维的b s 模型，在更新过程中，最小适应值的格点位置标识为x ( s ) ， 满足1sx ( s ) 5l 对于一维模型的边界，为保证近邻关系，采用周期性边界 条件，将一维链视为从1 到三顺时针排列的圆变量( s ) 为这个圆上x ( s + 1 ) 与x ( s ) 间劣弧的距离。i s j 一1 即圆的劣弧上相邻两个更新中一f l , 间隔的格点 数目，可用如下的式子表示： i , x s l ： f x ( 8 ) 一x ( s 一1 ) l ，f 5 i ，0 ，这个雪崩才算结束，其大小为s 按照这种定义，雪崩的大小就是，( s ) 五期间发生的变异事件的数目，也 就是连续两次出现，( s ) 二其问经历的更薪步数这种定义保证了雪崩的递 1 0 硕士学位论文 m ? , s t e p st li e s i s 阶结构；当五取值变小时，大的雪崩被分成许多小雪崩；当五取值加大时， 多个小雪崩合并成一个大雪崩 辅助参量五的选择有一定的讲究，如果五比五小，l c 雪崩的大小会有 一个有效的截断s 厶，当，0 - + 五时，& 。- 4 o 。从这一点考虑，隙距参量 f ( s ) 定义的雪崩就更加方便，并且记录起来更为简单。即使平均适应性的临界 值五无法预期，也不会有雪崩尺寸截断的可能，因为每一阶平台的长度即为雪 崩的大小，便不再涉及辅助参量与临界值丘的比较问题。 b s 模型在演化过程中，隙距参量f ( s ) 的变化呈阶跃性，这一特点使得它 比辅助参量五描述雪崩更简单方便。文献 1 4 曾就l c 雪崩和p m b 雪崩做过 对比，发现它们都体现了临界性和许多其它结构相似的特性，也讨论和分析了 这两种雪崩之间的联系其结论是前者从整体层次上( 平均适应性) 看雪崩的 变化，而后者从个体的触发事件来观察雪崩。两种雪崩都体现了雪崩结构的最 本质特征t 紧致性和递阶结构，即雪崩的时空关联和分形特征。 不可否认的是，p m b 雪崩虽然是跟踪寻求最小适应值的峰值变化，但由 于模型本身是有相互作用参与其中，并不是一个“冻态”的演化过程，而且挑选 极值本身就是一种置于整体范围中的观察。两种雪崩表现出相似性非常自然， p m b 雪崩加上平均适应性的观点即l c 雪崩，将定义雪崩的变量由矗- + 五， 将临界点的描述由丘- - l ，就完成了从p m b 雪崩到l c 雪崩的过渡。如果 系统足够大，让我们可以忽略边界效应和统计所带来的起伏，考虑到点阵模型 中格点对应的适应值是均匀分布的随机数，我们可以很自然地得到下面的对应 关系： 1 山= 言( 1 + ，o )( 2 5 ) 一 1 = ；( 1 + 上)( 2 6 ) 文献 1 4 还提到了顺时( f o r w a r d ) 雪崩和逆时( b a c k w a r d ) 雪崩，那只是为 1 1 硕士学位论文 m a s t e r s t i i e s i s 了研究极值信号在时间演化或时间反演下的性质，并无本质意义上的不同 当然，对于不同维度的b s 模型，上述的参量随时间演化会有所不同。下 面的三组图是一维和二维情况下的简单对比。 1 2 m 雅a s t e 鞭r s t 做i i e s 。 图2 1 ：一维情况下隙距g ( s ) 随时间s 的变化。 图2 2 ：二维情况下隙距c ( s ) 随时间s 的变化 1 3 硕士学位论文 m a s t e r sr i l i e s i s 图2 3 ：一维情况下平均适应性，随时间的变化 图2 4 ：二维情况下平均适应性，随时间的变化 1 4 -oal -口口0 硕士学位论文 m a s qe p - s t i e s i s 图2 5 ：一维情况下l c 雪崩大小的分布 图2 6 ：二维情况下l c 雪崩大小的分布 1 5 一(ile口。一 硕士学位论文 m a s t e r lst 1 1 e s i s 第三章自组织临界性 寄从巴克等人在1 9 8 7 年提出“自组织临界性”以来，这个概念【2 4 ，2 5 】就 一直被笼罩在激烈的争论气氛之下，与许多领域相联系 2 6 ，2 7 ，概念本身也得 以丰富和发展这一情况的出现有很多原因。一个原因是人们对这一想法所做 出的勇敢而乐观的断言这个断言包含这样一种态度t 现在终于有了一种思想 的方向，可以使得人们把玻尔兹曼和吉布斯创立的统计物理学与令人激动的非 平衡物理的真实世界联系起来，也迎合了“万物同源”的期待。 s o c 这个概念很快渗透到异常广泛的研究领域：岩层与地貌形成，河网与 海湾结构，地震与火山爆发，星震与星云塌陷，黑洞与日辉耀斑，夸克与胶子团 簇，生态与物种灭绝，变异与生命进化，噪声与全球变暖，人e l 与环境污染，大 脑与神经网络，市场与价格波动，股票与金融危机，城市与交通阻塞，等等， 几乎包含自然界的方方面面，这可能也是巴克为其著作命名为“大自然如何工 作”的原因。 一般来说，过于普适的理论经常会遇到来自于工作在各个专门领域的专家 们一定的置疑。而且在普适和专门之闻很难有一个精确的沟通。地震的许多独 特的细节可以借助简单的元胞自动机的数值模拟来理解，在地理学家看来，可 能是不大现实的。对于研究进化物种间广大而复杂的相互作用网络的生物学家 来说，仅仅借助一系列具有最近邻相互作用的随机数来体现进化也可能被当作 一个玩笑 3 1 一些问题 很自然地，我们要问，如果s o c 这个概念不是包罗万象，不是那么地普 1 6 硕士学位论文 m a s i e p 、s 1 l i e s i s 适，那它在哪些方面是有效的呢? 让我们来考虑一些重要的问题【2 8 】 ( 1 ) 我们能够把s o c 作为一种定义清楚的独特现象同其他种类的行为区别 开来吗? 或者我们能否对s o c 给出一种明确的定义? ( 2 ) 我们能够确立一种可以被称为自组织临界系统理论的特定的理论构架 吗? f 3 ) 3 对于这个世界，s o c 能够告诉我们任何在1 9 8 7 年巴克等人的文章发 表以前我们所不知道的事情吗? f 4 ) 4s o c 是可预见的吗? 也就是说，我们能够指出系统体现出s o c 行为的 充分必要条件吗? 并且，假如我们能够建立一个属于s o c 范畴的系统，这能真 正地帮助我们理解这个系统的行为吗? 谨慎点说，对这些问题给予确定的回答 是有意义的。在这一章里，我们将讨论在多大程度上s o c 获得了成功。 最初，自组织临界性被猜测是相互作用的多体系统所具有的典型行为。它 无论是在时间还是空间上都丰富的分形结构被设想成一种与大多数多体系统相 联系的一般趋势的效应一这种趋势是这些系统可以自我发展到一种i 临界的、标 度不变的状态在一定标准上答案是清楚的。当然不是所有能够自组织到特别 状态的系统，在受到逐渐的驱动时，都会在这种自组织状态中体现出标度不变 性。在沙堆上所作的实验是最初的例子，但并不是所有被发现的幂律行为都是 由系统在动力学上自组织到一种j 临界的定态所引起的。即使会有不少的例外， 建立s o c 理论仍然具有可能性。 3 2s o c 可以在哪里出现 我们期待s o c 行为会在缓慢驱动的，相互作用占主导地位的阈值系统中 出现。为了强调这些基本的动力学因素，引进一个新的缩写一s d i d t ( s l o w l y d r i v e n ，i n t e r a c t i o n - d o m i n a t e dt h r e s h o l d ) 也许是有用的。和以前常用的强调系 1 7 硕士学位论文 m a s l r s j | i e s i s 统行为的术语s o c 相比，我们可以把s d i d t 称为一种构造性的定义如果一 个系统不需要明显的外界调节，就能够表现出幂律行为，我们就称它体现出了 自组织l 占界性。从这个意义上说，s o c 更像是一种现象学的定义，而不是一种 构造性的定义 “相互作用占主导地位”这一概念主要聚焦在系统表现出的如下两个特征： 因为有很多自由度的相互作用，系统表现出越来越多的有意思的行为；而且系 统的动力学中必须是这些自由度之间的相互作用占主导地位，而不应当是这些 自由度内在的动力学占主导地位。 举例来说，可以考虑沙堆和米堆行为的区别。沙堆看起来好像演化到了一 种时间上周期分布的状态，而米堆( 至少对于由某些种类的米粒组成的米堆来 说) 则会产生雪崩大小的广泛分布。在沙堆中，作用于每个沙粒的重力相对沙 粒间的摩擦力来说占主导地位，因此阻止了横跨整个系统的沙崩产生的趋势。 在米堆中，单独的米粒由于受重力场作用而下落的趋势，往往很容易被米粒间 的摩擦力所阻止。在这两种系统中，粒子都可以按大量不同的统计结构排列。 而这些亚稳态的存在都可以视作由粒子问摩擦力产生的有限阈值所导致的可 是在沙堆中，下滑沙粒的动能压倒了摩擦力的作用。在米堆中，摩擦力相对比 较强，则米粒下落的作用只是使系统在不同的亚稳态统计结构问移动。 阈值的一个作用是允许大量统计亚稳态结构的存在。阚值的另一个作用是 和如何达到临界性这一问题联系起来的。从1 8 1 提到的许多自组织临界模型中 可以看出，阈值对系统自组织到临界状态的过程是非常必要的。对类沙堆模型 的重整化群分析可以发现不动吸引点，这意味着不需要良好的参数调节，这些 模型的长程、长时行为就可以体现出标度不变性。相反，森林火灾模型的不动 点，却被发现是推斥性的( 失稳的) ，这就意味着这种模型是有一定的特征尺度 的，这种模型的动力学不是自发演化到临界点的当然，除了阈值问题，森林 1 8 硕士学位论文 1 s f f r st f l e s i s 火灾模型和沙堆模型还有其他不同点由此可以猜想局域阈值的存在是自组织 到临界态的必要条件( 尽管不是充分条件) 我们还可以期望，只有在缓慢驱动的极限下，相互作用才会起主导性的作 用。强驱动将不会允许系统从一个亚稳态分布释放到另一个亚稳态分布。缓慢 的驱动是系统的内部特征能够控制其动力学行为所必须的。如果在b u r r i d g e k n o p o f f 模型中，我们相对表面以非常高的速度拖动弹簧一板块系统，弹簧将 没有时间松弛到平衡结构；系统的行为将完全由外界驱动决定。因此，缓慢地 驱动由于以下两个原因而是必须存在的：首先，在某种意义上，这是和线性响 应理论中常常存在弱驱动的原因是类似的。第二，缓慢因而较弱的驱动是保持 阈值的作用所必须的。 3 3 什么是调节 在多大程度上，调节是必需的呢? 而且，如果调节是必需的，我们所说的 “自组织”还有没有意义呢? 事实上，一定程度的调节是不可避免的。考虑o f c 地震模型，通过数值和解析的研究，我们相信，只有在开边界条件下，模型才 会表现出s o c 行为，而在周期边界条件下，振荡行为就会产生当然有人就会 把这种对于边界条件的限制，看作是一种形式的调节。 类似的，在不守恒情况下，为了获得幂律行为，对开放系统进行各向同性 的驱动好像也是必需的那么，这是否暗示着s o c 行为就和平衡态统计力学中 的f 占界行为一样，不是典型的行为呢? 是否只有在非常独特的条件下，s o c 行 为才会发生呢? 关于调节的问题是非常困难的，因为这牵涉到我们如何正确地 把这个世界划分为子系统和它们的环境的问题继续考虑周期和开边界条件的 问题，真实的系统往往是有限的，因此比起周期边界条件来，开边界条件更具 有现实性 】9 硕士学位论文 m a s 1 e r s t 【i e s i s 但接下来问题又出现了：我们应该采用什么样的开边界条件呢? 当然，只 有在考虑到具体要牵涉到什么现象时，答案才能够正确的给出系统的具体驱 动方式也可以同样地给出到底采用各向同性的还是波动式的驱动方式，需要 根据被检验系统的具体背景来决定了解系统自组织的程度或者临界行为的鲁 棒性是相当重要的。自组织到临界状态的过程必然要在一定的条件下发生；人 们总能够归纳出一个模型，使它足以失去临界行为。由此问题就变为和给定的 背景相关的到底是什么。就是在这一点上，一个特定系统所属的专门学科能够 给过于广泛的理论近似以必要的补充。 再一次考虑平衡临界点问题，如果我们单单考虑一个特定的系统本身，从 理论的观点来看，临界点是非常有意思的，尤其是考虑在临界点或者接近临界 点行为的特征指数时，可以作出非常漂亮的理论来。而当我f f 丁考虑特定温度范 围下的典型行为时，看起来，系统相图中的一些孤立临界点好像是不相关的， 但这样考虑是非常肤浅的。再比如，在细胞生物学中发现，细胞膜一般是工作 在它们临界点的邻域内，这大概是为了利用在接近临界点时越来越高的生物敏 感性。正是生物学系统中的相互作用把系统参数( 温度、压力、浓度等等) 向临 界区域进行调节 以上就是关于问题( 1 ) 我们想说的所有东西。现在让我们转到问题( 2 ) 一 ( 4 ) 尽管对于s o c 来说，还没有一种和平衡系统的正则系综理论类似的完备 的公式体系，但是一些精确的隙距方程和雪崩流方程还是对s o c 有着很好的 刻画和描述。只是对类似平衡系统中自由能和配分函数的等效物的寻找工作仍 在进行之中同时，随着精确解的发展和重整化群技术的成功运用，s o c 研 究，尤其是那些单靠计算机模拟难以解决的问题，又获得了一些分析的途径 问题( 3 ) 问到是否我们从s o c 上面获得了一些真正新的东西可以想象， 我们可以从s o c 中获得的最大的教益就是，在大量的系统中，忽略掉波动的作 2 0 硕士学位论文 m a s t e r s ”j s i s 用会引起错误。这一点在缓慢驱动的，相互作用占主导地位的阈值系统中是格 外正确的。自组织临界性已经激起了人们对阈值动力学和结果具有强波动性， 类似雪崩的时间演化过程的兴趣。 在这些系统中，平滑的渐进的发展已经被长时期的温和的静止状态所取代 了，而这些静止状态又往往被兴奋的活跃状态所打断。波动的巨大使得系统主 要部分的命运往往由一次单独的兴奋爆发所决定恐龙灭绝也许仅仅是一个包 含有大量互相联系，互相作用的种群系统内部的一次波动的结果，也许不需要 借助外来彗星与地球的碰撞来解释恐龙的灭绝。波动在这些系统里是如此的频 繁，以至于由反常现象变成了典型的