（计算数学专业论文）可积系统与非等谱孤子方程的求解.pdf

2 0 0 6 上海大学博士学位论文 摘要 本文研究的主要内容包括：孤子方程族的生成和l i e 群结构方程，h a m i l t o n 结 构，l i o u v i l l e 可积性，无穷守恒律，l a x 对与共轭l a x 对的双非线性化及可积辛映 射与有限维h a m i l t o n 系统，孤子方程的扩展可积模型利用h i r o t a 方法，v v r o n s k i a n 技巧来研究一些等谱与非等谱孤子方程的多孤子解利用( 2 + 1 ) 维孤子系统的对称 约束生成( 1 + 1 ) 维的孤子方程，并应用g a t e a u x 导数与泛函导数的关系得到位势对 称约束的完全形式 在第二章中，首先从所建立的新谱问题出发导出一族l a x 可积的孤子方程，并 研究它的双h a m i l t o n 结构与l i o u v i l l e 可积性应用l a x 对与共轭l a x 对的双非线 性化方法生成新的可积辛映射与有限维h a m i l t o n 系统由此利用可换流的对合解 给出孤子方程族解的对合表示最后构造新的l o o p 代数0 ，得到该方程族的扩展可 积模型 第三章主要研究三个离散的等谱问题首先从第一离散的谱问题导出一类晶格 孤子方程，并证明它具有离散的h a m i l t o n 结构与l i o u v i l l e 可积性通过双非线性化 方法生成新的有限维h a m i l t o n 可积系统与可积辛映射，并给出它的无穷守恒律 其次，构造新的代数系统，导出与l o t k a - v o l t e r r a 格相关的离散方程族，并研究它的 可积性与可积耦合最后从第三谱问题出发导出离散孤子方程的正负族，并求出位 势函数和特征函数的对称约束，由l a x 对的非线性化产生新的可积辛映射与有限维 h a m i l t o n 系统 第四章首先从l i e 群结构方程导出非等谱a k n s 方程族通过选取l o o p 代数 建立非等谱a k n s 方程族的扩展可积模型利用h i r o t a 方法获得非等谱a k n s 方 程的双线 生导数方程，并给出n 一孤子解的表达式应用w r o n s k i a n 技巧证明非等谱 a k n s 方程具有双w r o n s k i a n 解通过约化获得非等谱s c h r o d i n g e r 方程与它的n 孤子解和w r o n s k i a n 解最后建立非等谱a k n s 方程的广义双w r o n s k i a n 解其所 用的技术可推广到其它非等谱方程 第五章对h i r o t a 方法作直接地推广以修正v a k h l l e n k o 方程为例，求得h i r o t a 形式的新解对于w r o n s k i a l 技巧，引入对参数的求导，以修正b o g o y a v l e n s k i i - s c h i f f 方程为例，得到广义的新w r o n s k i a n 解 第六章主要研究2 + 1 维孤子系统的位势约束问题通过高维孤子系统的位势 约束生成低维的孤子方程族首先由k p 系统的对称约束生成了a k n s 方程族，并 给出其隐形表示进而推广k p 系统的约束，且求得多元的非等谱a k n s 方程族 l i 可积系统与非等普孤子方程的末解 对于m k p 系统，通过位势约束生成非等谱s c h r o d i n g e t 方程族，并证明它具有隐形 表示利用g a t e a u x 导数与泛函导数的关系，得到k p 系统、m k p 系统对称约柬 的完全形式 关键词；离散孤子方程；非等谱方程；h 啪i l o n 结构 积性；无穷守恒律；扩展可积模型；双非线性化方法 巧，精确解；( 2 + 1 1 一维孤子系统；对称约束 l a x 可积性；l i o u v i l l e 可 h i r o t a 方法；w r o l a 【| ；l d 8 i i 技 2 0 0 6 上海大学博士学位论文i i i a b s t r a c t t h em a j o rc o n t e n t si nt h i sd i s s e r t a t i o ni n c l u d e ：t h eg e n e r a t i o no fs o l i t o nh i e r a r c h i e s o fe q u a t i o n sa n dt h es t r u c t u r ee q u a t i o n so fl i eg r o u p ，h a m i l t o n i a ns t r u c t u r e s ，l i o u v i l l e i n t e g r a b i l i t y , i n f i n i t ec o n s e r v a t i o nl a w s ，b i n a r yn o n l i n e a r i z a t i o no fl a xp a i r sa n di d j o i n t l p a i r sa n di n t e g r a b l es y m p l e c t i cm a pa n df i n i t e d i m e n s i o n a li n t e g r a b l es y s t e m s e x - p a n d e di n t e g r a b l em o d e l so fs o l i t o ne q u a t i o n s ，m u l t i s o l i t o as o l u t i o n so fs o n i ci s o s p e c t r a l a n dn o n i s o s p e c t r a ls o l i t o ne q u a t i o n sa g es t u d i e db yu s i n gh i r o t am e t h o d jw r o n s k i a nt e c h - n i q u e ，s o l i t o ne q u a t i o n si n1 + 1d i m e n s i o n s8 1 - eg e n e r a t e db yu s i n gs y m m e t r yc o n s t r a i n t s o fs o l i t o ns y s t e m si n2 + 1d i m e t m i o n s lc o m p l e t e l yc o n d i t i o n sf o rs y m n r e t r yc o n s t r a i n t so f p o t e n t i a l sa r ec o n s t r u c t e db yn l e s l l so ft h er e l a t i o no ft h eg a t e a u xd e r i v a t i v ea n df u n c a - t i o n a ld e r i v a t i v e i nt h es e c o n dc h a p t e r an e wi s o s p e c t r a lp r o b l e mi sp r e s e n t e da n dah i e r a r c h yo f l a xi n t e 9 1 a b l es o l i t o ne q u a t i o n sa g ed e r i v e df r o mt h es p e c t r a lp r o b l e m i ti ss h o w nt h a t t h eh i e r a r c h yi sc o m p l e t e l yi n t e g r a b l ei nt h el i o u v i l l es e n s ea n dp o s s e s s e sb i h a m i l t o n i a n s t r u c t u r e st h ec o r r e s p o n d i n gl a xp a i r sa n da d j o i n tl a xp a i r sa r en o n l i n e a r i z e di n t o f i n i t e d i m e n s i o n a li n t e g r a b l eh a r u i l t o n i a as y s t e m sa n dan e w i n t e g r a b l es y m p l e c t i cm a p i n v o l u t i v er e p r e s e n t a t i o n so fs o l u t i o n so fs o l i t o ne q u a t i o n si sg i v e nb yi n v o l u t i v es o l u t i o n s o fc o m m u t a t i v ef l o w s f i n a l l y ，e x p a n d i n gi n t e g r a b l em o d e l so ft h eh i e r a r d l ya r e c o n - s t r u c t e db yu s i n gan e wl o o pa l g e b r ag t h r e ed i s c r e t ei s o s p e c t r a lp r o b l e m sa r ei n v e s t i g a t e di nt h et h i r dc h a p t e r f i r s t l y ，a f a m i l yo fl a t t i c es o l i t o ne q u a t i o n sa r ed e r i v e df r o mad i s c r e t ei s o s p e c t r a lp r o b l e m i ti s v e r i f i e dt h a tt h eh i e r a r c h yp o s s e s s e sd i s c r e t eh a m i l t o n i a ns t r u c t u r ea n di si n t e g r a b l ei nt h e l i o n v i l l es e n s en e wf i n i t e - d i m e n s i o n a li n t e g r a b l eh a n f i l t o n i m ls y s t e m sa n da f ti n t e g v a b l e s y m p l e c t i cm a pa r eg e n e r a t e db yb i n a r yn o n l i n e a r i z a t i o nm e t h o dc o n s e r v a t i o nl a w sa r e e s t a b l i s h e ds e c o n d l y jah i e r a r c h yo fd i s c r e t ee q u a t i o n sa s s o c i a t e dw i t hl o t k a - v o l t e r r aa r e d e r i v e df r o man e w a l g a b r a i cs y s t e m i t si n t e g r a b i l i t ya n di n t e g r a b l ec o u p l i n g sa r es t u d i e d l a s t l y ) p o s i t i v ea n dn e g a t i v eh i e r a r c h i e so fd i s c r e t es o l i t o ne q u a t i o n sa r ed e r i v e df i o ma s p e c t r a lp r o b l e m a ne x p l i c i ts y m m e t r yc o n s t r a i n ti sp r o p o s e dl a xp a i r sa r en o n l i e a r i z e d i n t oan e wi n t e g r a b l es y m p l e c t i cn l a pa n df i n i t e - d i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a ns y s t e m s i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，n o n i s o s p e c t r a la k n se q u a t i o n sa r ed e r i v e df i o mt h es t r u c t u r e e q u a t i o n so fl i eg r o u p b yt a k i n gal o o pa l g e b r a e x p a n d e di n t e g r a b l en m d e l so fn o n i s o s p e e t r a la k n se q u a t i o n sa r ee s t a b l i s h e dt h eb i l i n e a rd e r i v a t i v ee q u a t i o n sa n dt h en 可积系统与非等谱孤子方程的求解 s o l i t o ns o l u t i o n so ft h en o n i s o s p e c t r a la k n se q u a t i o na r ed e r i v e db yu s i n gh i r o t am e t h o d i t i ss h o w nt h a tt h en o n i s o s p e c t r a la k n se q u a t i o np o s s e s s e st h ed o u b l ew r o n s k i a ns o l u t i o nt h r o v l g ht h ew r o n s k i a nt e c h n i q u e b yr e d u c i n g an o n i s o s p e c t r a ls c h r 5 d i n g e re q u a - t i o ni so b t a i n e d ：t h en s o l i t i o na n dw r o n s k i a a as o l u t i o nf o rt h en o n i s o s p e c t r a ls d l r s d i n g e r e q u a t i o na r eg i v e nf i n a l l y , t h eg e n e r a l i z e dd o u b l ew r o n s k i a ns o l u t i o nt ot h en o n i s o s p e c t r a la k n se q u a t i o ni sc o n s t r u c t e d t h eh i r o t ab i l i n e a rm e t h o di sg e n e r a l i z e da n di n v e s t i g a t e di nt h ef i f t hc h a p t e rt i l e n o v e lm u l t i s o l i t o ns o l u t i o n sf o rt h em o d i f i e dv a k h n e n k oe q u a t i o na r eo b t a i n e db yu s i n g h i r o t ad i r e c tm e t h o d b yd e r i v a t i v i u gw i t hr e s p e c tt op a r a m e t e r s ，t h eg e n e x a ls o l u t i o n s i nw r o n s k i a nf o r mt ot h em o d i f i e db o g o y a v l e n s k i i s c h i f fe q u a t i o na r eg i v e nt h r o u g ha g e n e r a l i z e dw r o n s k i a np r o c e d u r e t h es i x t hc h a p t e ri sm a i n l yf o c u s e do ns t u d y i n gs y m m e t r yc o n s t r a i n t so f ( 2 + 1 ) 一 d i m e n s i o n a ls o l i t o ns y s t e n , s l o w e rd i m e n s i o n a ls o l i t o ne q u a t i o n sa r eg e n e r a t e db yt h e s y m n l e t r yc o n s t r a i n t so fh i g h e rd i m e n s i o n a ls o l i t o ns y s t e m s t h ea k n se q u a t i o n sa n d t h e i rc o n t a c tr e p r e s e n t a t i o n sa r ec o n s t u c t e db yt h es y m m e t r yc o n s t r a i n t so fk ps y s t e m s t h ee o n s t r 新n t so fk ps y s t e m sa r eg e n e r a l i z e da n dm u l t i c o m p o n e n tn o n i s o s p e c t r a la k n 8 e q u a t i o n sa r eo b t m n e d t h en o n i s o s p e c t r a ls c h r o d i n g e re q u a t i o n sa r ed e r i v e db yt h ec o n s t r a i n t so ft h em k p s y s t e m s i ti ss h o w nt h a tt h en o n i s o s p e c t r a ls c h r b d i n g e re q u a t i o n s p o s s e s sc o n t a c tr e p r e s e n t a t i o n s t h ec o m p l e t e l yc o n d i t i o n so fs y m m e t r yc o n s t r a i n t sf o r k ps y s t e ma n dm k p s y s t e ma r eo b t a i n e dt h r o u g ht h er e l a t i o nt og a t e a u xd e r i v a t i v e s a n df u n c t i o n a ld e r i v a t i v e s k e yw o r d s ：d i s c r e t es o l i t o ne q u a t i o n s ；n o n i s o s p e c t r a le q u a t i o n s ；h a l n i l t o n i a ns t r u t t u r e ；l m xi n t e g r a b i l i t y ；l i o u v i l l ei n t e g r a b i l i t y ；i n f i n i t ec o n s e r v a t i o nl a w ； e x p a n d e di n t e g r a b l em o d e l ；b i n a r yn o n l i n e a r i z a t i o um e t h o d ；h i r o t a m e t h o d ；w r o n s k i a nt e c h n i q u e ；e x a c ts o l u t i o n ；r 2 + 1 1 一d i m e n s i o n a ls o l i t o n s y s t e m ；s y m m e t r yc o n s t r a i n t 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究 工作除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已发表和撰写过的研究成果参与同一工作的其他同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了说明并表示了谢意 签名：丑：! ! 些目目日期： 鲨! ! ：主! 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和 借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容 签名：丑型幽导师签名：童塾日期：墨旦! 鱼：萝- 3 0 第一章绪论 孤立子理论是数学物理领域的重要组成部分近几十年来引起国际上数学界和 物理学界的充分关注，研究工作十分活跃，涉及范围日趋广泛这是因为，一方面孤 立子具有粒子和波的许多性质，在自然界中具有一定的普遍性至今从数值计算、 理论分析和物理实验等方面都已得到证实，并且初步形成比较完整的理论体系，许 多科学领域，如流体力学、等离子体物理、海上冲击波、超导物理、经典场论和量 子场论等等都存在着孤立子以及与孤立子理论密切相关的重要现象，而且利用孤立 子理论已经成功地解释了许多物理上长期用经典理论未能得到解答的问题另一方 面，随着孤立子物理问题的深入研究，孤立子的数学理论也应运而生，并且对无穷 维代数、微分几何、代数几何、拓扑学、动力系统和计算数学等数学分支产生了深 远的影响因此，孤立子理论的研究是数学物理领域的重要课题，也是非线性科学 的前沿课题 1 - 3 1 1 2 可积系统 众所周知，有限维h a m i l t o n 系统优美的几何理论已被建立，其中著名的l i o u v i l l e a r n o l d 定理给出了h a m i l t o n 系统可积的一个充分条件对于无限维h a m i l t o n 系统情 形要复杂的多，无穷多个彼此对合的首次积分的存在，并不足以引出解的显式来 因此。对无穷维h a m i l t o n 可积系统还没有一个确切的定义，通常采用两种可积性定 义呲即l a x 意义下的可积性与l i o u v i l l e 意义下的可积性 可积系理论中的核心问题之一是( a ) 给定一个非线性演化方程，判断它是否 l a x 可积；( b ) 寻找尽可能多的可积系，导出有意义的非线性演化方程 判定一个非线性演化方程的l a x 可积性，就是寻找l a x 对的零曲率表示，迄今 较为成功的方法是延拓结构法1 9 8 3 年，d r i n f e l d 和s o k o l o v 以k a c m o o d y 代数 为工具系统地构造了k d v 方程的l a x 表示1 9 8 5 年，谷超豪、胡和生基于曲面论 中的基本方程提出一类方程的可积性准则，是这一方向上的一项重要进展1 9 8 9 年，曹策问提出保谱发展方程换位表示的新框架，促进换位表示的发展 1 9 8 2 年以来，屠规彰、b o i t i 、p a n p i r e l l i 等提供寻找孤立子方程h a m i l t o n 结构 的简单途径 7 1 1 9 8 8 年，屠规彰又运用约束形式变分技巧给出著名的迹恒等式 4 - 5 ， 运用这一迹恒等式，可以十分有效地建立相应方程的h a m i l t o n 结构，马文秀称这一 格式为屠格式，利用该方法建立了一大批可积的h a m i l t o n 系统 5 6 - 5 7 】胡星标又将 】 2可积系统与非等谱孤子方程的求解 屠格式由l o o p 代数五推广到五。上，给出迹恒等式的推广表示形式，从而扩大屠 格式及其应用范围吵另外，胡星标又成功地把无限维可积系理论中的一些重要结 果( 如屠规彰的生成可积系的方法、迹恒等式等) 推广到现在的超可积情形，给出 一个生成超可积系的计算框架，并构造出一些新的超可积系，进而研究了超可积系 的h a m i l t o n 结构范恩贵等将屠格式与d a r b o u x 变换、孤子解巧妙地结合，做出许 多有意义的工作 研究h a m i l t o n 结构的另一系统的方法是由f h c h s s t e i n e r 、f o l m s 和a n d e r s o n 等 人提出的1 3 t 一35 | 在这一方法中，递推算子l 发挥着关键作用针对具有遗传强对 称性质的递推算子工的等谱发展方程族，他们给出该方程族具有h a m i l t o n 结构的 一个条件：l 具有逆辛一辛分解陈登远为便于应用发展这一结果【3 】 3 9 】张大军 也对f u c h s s t e i n e r 、f o k a s 和a n d a r s o n 等人的结论进行改进，利用隐型表示理论证 明了在很自然的条件下，( 1 + 1 ) 一维l a x 可积系统的递推算子存在且一定是其相应 的等谱发展方程的遗传强对称，相关结论被推广到离散孤子系统p s i 孤子方程可积的另一重要特征就是拥有无穷守恒律，自从m i u r a 、g a r d n e r 和 k r u s k a l 发现k d v 方程的无穷守恒律以后，先后出现了一系列的构造方法，其中 w a d a t i 等人做出相当的贡献 6 2 - “1 9 9 8 年，t s u e h i d a 和w a d a t i 又给出一个描述 多元系统守恒律的重要的迹恒等式张大军、陈登远、朱佐农等针对一些离散系统 也给出了一种直接从l a x 对出发构造守恒律的方法1 7 1 】m j 从高维可积系统生成低维可积系统是扩大可积系的重要方法1 9 8 9 年以来， 曹策问、耿献国提出在位势函数和特征函数的适当约束下，由l a x 对的非线性化产 生有限维可积h a m i l t o n 系统的思想i n - 1 5 由此利用可换流的对合解给出孤子方程 族解的对舍表示( 】2 】 曾云波、李翊神进一步发展非线性化方法，提出在高阶对称约束条件下，从无 穷维h a m i l t o n 系统导出有限维h a m i l t o n 系统的分解，在零曲率表示理论框架内， 将无穷维h a m i l t o n 系统分解为两个可交换的z 和t 。的有限维h a m i l t o n 系统p v - 2 1 1 马文秀将单非线性化方法推广为双非线性化方法，通过将谱问题的i a x 对与共 轭谱问题的l a x 对的双非线性化，获得有限维h a m i l t o n 结构的对称约束流 2 42 7 马文秀、李翊神进而又研究了非对称约束流【“徐西祥对离散系统的双非线性化做 过许多富有启发性的工作陋“ 程艺、李翊神、张友金通过基于s a t o 理论的拟微分算子的k 一约束构造出k p 可积系统的约束系统，其中包括经典的a k n s 系统 4 , l - 4 s 陈登远将k 一约束的概念 推广到m k p 系统，获得低维的非线性s c h r s d i n g c r 系统此外，陈登远、朱宁生、 朱敏直接利用g a t e a u x 导数与泛函导数的关系，给出并证明k p 系统的对称约束与 2 0 0 6 上海大学博士学位论文 3 非对称约束的完全形式m 陈登远、曾云波与李翊神还引入转换算子，研究了方程 族之间的等价关系 4 s 一5 1 3 孤立子方程的求解 在孤立子理论中，求解孤子方程是古老而又非常重要的研究课题寻找孤子方 程的精确解不仅有助于进一步了解孤子方程的本质属性和代数结构，而且还可以合 理地解释相关的自然现象，其意义不言而喻孤子方程的解除了可以用数值计算和 计算机模拟进行研究外，主要是寻求其显式的精确解表示随着孤子理论的蓬勃发 展，_ 些行之有效的求解方法应运而生，如反散射变换方法、d a r b o u x 变换方法、 b g c k l u n d 变换方法、h i r o t a 方法、w r o n s k i a n 技巧等等每一种方法都产生了很丰 富的数学理论 1 9 6 7 年，g a r d n e r ，g r e e n e ，k r u s k a l 和m i u r a ( 简称g g k m ) 发现用s c h r 6 d i n g e r 方 程的反散射理论求解k d v 方程的初值问题i s l - s 3 j 在m i u r a 变换u = 一( + v 2 ) ，中，令”= 也膨并引入谱参数a ，m i u r a 变换线性化 为一维定态的s c h r 6 d i n g e r 方程 砂。+ u ( x ，t ) 妒= a 妒( 1 32 ) 如果方程( 1 32 ) 的势函数( 。，t ) 按照k d v 方程( 13 1 ) 随时间t 演化，那么谱参数 a 就是与时间无关的，并且本征函数咖随时间的演化必满足方程 母t + 峨啪：。一3 ( a 一“) “k = 0( 1 33 ) 于是他们利用量子力学中的s c h r 6 d i n g e r 方程的正散射方法得到= 0 时刻的势函 数u ( z ，0 ) 的散射数据s ( o ) ，再通过( 1 33 ) 构造出散射数据随时问演化的常微分方程 组，解得t 时刻的散射数据s ( t ) ，由此还原出s e h r 6 d i n g e r 方程的势函数u ( x ，t ) ，即得 k d v 方程的解 g g k m 等人提出的反散射方法已被成功地应用到其它的非线性发展方程中， 并使得逐渐形成为一种系统的求解方法这一方法有其严格的物理背景和数学严 谨性，而且可以求出与同一谱问题相联系的整个等谱发展方程族的多孤子解一般 说来，如果给定谱问题的位势，求此谱问题的本征函数及所对应的离散谱，连续谱 等散射数据称为正散射问题，反之给定散射数据，要求恢复谱问题的位势称为反散 射问题它的主要步骤是先从与方程相联系的线性问题出发，将所求的位势归结为 4 可积系统与非等谱孤子方程的求解 g e l f a n d l e v i t a n m a x c h e n k o ( g l m ) 线性积分方程，并建立散射数据与时间的关系； 然后由g l m 积分方程的解来获得初值问题的解反散射方法利用大量的分析技巧 和算子谱理论分析的有关知识i s 6 - s v l ，已被大家认为是非线性方程的f o u r i e r 分析方 法 a b l o w i t z ，k a u p ，n e w e l l 和s e g u r ( a k n s ) 则建立了更一般的反散射框架包括了 k d v ，m k d v ，耦合k d v ，s i n e g o r d o n 和n l s 等方程【8 n 8 甚至已推广到了高维和 离散情形1 8 7 - 8 8 目前，仍有许多学者对其作各种推广，例如：b o i t i 等考虑了二维 不衰减势非静态s c h r 6 d i n g e r 方程的反散射理论f 8 9 】，曾云波、林润亮和马文秀成功地 运用反散射方法求解了具自容源的方程族1 9 0 l 在求孤子解的方法中，b g c k l u n d 变换是一种重要而有效的求解方法1 8 8 3 年 几何学家b i c k l u n d 在研究负常曲率曲面时，发现了s i n e g o r d o n 方程的一个有趣的 性质，即由s i n e g o r d o n 方程的一解u 通过变换得到另一解“7 以后人们又发现其它 的孤子方程也有类似的变换，后人为纪念他的发现称这种变换为b f , c k l u n d 变换因 此b i i c k l u n d 变换是指给定方程的一组解到同一方程的另一组解或者是另外方程解 之间的一种变换，它反映的是两个方程之间的联系i ”l 刚 利用b i i c k l u n d 变换，可从孤子方程的已知解出发求出新的孤子解，并可进一步 以新解作为已知解，求出更新的解，周而复始即可生成方程一系列的解如果直接 从两个解u 与u 满足偏微分方程出发，消去这些解的高阶导数所得的u 与，z 的微 分方程组称为w a h l q u i s t e s t a b r o o k ( w e ) 形式的b i c k h m d 变换i i - a 如果在某些限 制下非线性偏微分方程可以成为一对线性问题( 谱问题与时间发展式) 的相容性条 件，这时借助于线性问题化为自身的规范变换能得到不同位势” t t 与线性问题的 本征函数所满足的方程，它即为d a r b o u x 形式的b i c k l u n d 变换 另外，非线性叠加公式给出方程解之间的代数运算，可由已知解出发得到新解 与线性方程不同的是在孤子方程中没有统一的b g c k h m d 变换和非线性叠加公式， 因此每一类非线性方程都有自身的b h c k l u n d 变换和非线性叠加关系胡星标在这 方面作了深入和广泛的研究，取得丰硕的成果 1 0 0 l d a r b o u x 变换法的基本思想是：利用非线性方程的一个解及其l a x 对的本征函 数，仅用代数及微分运算来获得非线性方程的新解，计算过程可以反复进行，这种 协变性质为求非线性发展方程的多孤子解提供了可能d a r b o u x 变换的优越性在于 其求解时，只需要对给定的种子解求解完全可积的线性方程组d a r b o u x 变换已被 应用于求解各种不f 司类型的孤子方程m a t v e e v 等在d a r b o u x 变换方面做了很多开 创性工作| 1 ：2 5 】谷超豪、胡和生、周子翔从d a r b o u x 阵出发构造了k d v 族及a k n s 族的b i c k l u n d 变换，从而给出高维时空的孤立子对高维时空情形，他们还提出广 义的自对偶y a n g - m i l l s 流的可积系统【9 8 】李翊神等研究了水波方程1 9 , - 9 5 曾云波 2 0 0 6 上海大学博士学位论文 5 等运用二元d m b o u x 变换求解具自容源的k d v 方程、k a u p n e w e l l 、a k n s 方程 族 上面提及的w e 和d a r b o u x 这两种形式的b g c k l u n d 变换在求解时都要涉及到 求解微分方程组，因此在求多孤子解时可能会遇到困难在1 9 7 4 年，h i r o t a 利用 双线性导数的优势提出了一种双线性导数的形式b ；i c k l u n d 变换，即对于与非线性 偏微分方程相联系的一对线性问题，其能通过位势u u7 及本征函数中的适当分式 变换化归为双线性导数方程，这就使得求多孤子解变得简单、明了可以证明w e 形式、d a r b o u x 形式以及双线性导数形式的b g e k l u n d 变换是相互等价的，都可化 归为形式相对比较简洁的双线性形式的b ；i c k l u n d 变换 1 9 7 1 年，h i r o t a 创造性地提出了一种获得孤子解的直接方法一h i r o t a 双线性 导数方法 1 0 1 】在这种方法中，首先通过引入位势u 的适当变换，将孤子方程化为 双线性导数方程，然后将扰动展开式代入到双线性导数方程中，在一定条件下该展 开式可以截断至有限项，并可得到线性指数函数形式的单孤子解，双孤子解和三孤 子解等具体表达式，并由此猜测出多孤子解的一般表达式对于一般表达式可利用 数学归纳法验证其成立，但过程比较复杂值得一提的是在实际应用中h i r o t a 方法 所引入的位势u 的变换，往往以反散射变换的结果或者p a i n l e v 6 截断展开为基础 由于h i r o t a 双线性方法以双线性导数为工具，且仅与求解方程有关，而不依赖于方 程的谱问题或l a x 对，具有简捷、直观的鲜明特点，其使用范围几乎涵盖了所有反 散射变换可解的方程；h i r o t a 等还考虑了带有损耗和非均匀项的k d v 方程，得到 其多孤子解 1 s t i ，最近陈登远、张大军、邓淑芳等对某些非等谱方程利用双线性方法 求得其解的具体表达式；并且双线性方法还可推广到方程族情形和一系列较复杂的 离散、半离散的链孤子系统胁】【“ 另一种直接方法是w r o n s k i a n 技巧，这是一种应用广泛且高效的方法 1 2 6 - 1 3 1 ，其 得益于w r o n s k a i n 行列式本身良好的性质孤子解可以表示成w r o n s k a i n 行列式基 于d a r b o u x 变换，a d l e r ，m a t v e e v ，s a t s u m a 分别独立地获得k d v 方程的w r o n s k i a n 解f r e e m a n 和n i m m o 则将w r o n s k i a n 表示与孤子方程的双线性形式有机地联 系起来，建立起一种以双线性方程为平台称之为w r o n s k i a n 技巧的孤子方程的求解 方法该方法以h i r o t a 双缉 生方法为基础，即首先要得到孤子方程的双线性形式 或双线性b i i c k l u n d 变换，然后选择适当的函数，构成w r o n s k i a n 形式的行列式 ( 机，2 ，如) ，再代入到双线性方程或双线性b a c k l u n d 变换中利用w r o n s k i a n 行 列式的性质和线性代数中的l a p l a c e 定理进行验证在w r o n s k i a n 解的验证中最终都 化归为p l f i c k e r 关系式或j a c o b i 恒等式等行列式等式，其证明过程非常简洁能够进 行解的直接验证，这恰是w r o n s k a i n 技巧的优势所在，因此w r o n s k i a n 是一种应用广 6可积系统与非等涪孤子方程的求解 泛且高效的孤子求解方法f t e e r n a a 和n i m m o 应用w r o n s k i a n 技巧获得了一系列发 展方程和方程的b f i c k l u n d 变换w r o n s k i a n 形式的解 1 2 7 - 1 3 0 在离散情形，n i m m o 、 h i r o t a 、i t o 、k a k o 等提出用c a s o r a t i 行列式解替换w r o n s k i a n 解另外，n i m m o 、 f r e e m a n 、刘启明、胡星标等分别尝试用w r o n s k i u n 表示k d v 方程和经典b o u s s h m s q 方程族的有理解旧】 1 a s ，c a r s t e a 、o r e c u 、张大军等分别通过w r o n s k i a a 求得了离 散孤子系统的有理解岫】和附加项方程的解 1 0 8 - u 0 1 一些非常重要的精确解也可以 写成w r o n s k i a n 形式，如p o s i t o n 解，n e g a t o n 解及其p o s i t o n - s o l i t o n ，n e g a t o n - s o l i t o n 解的广义w r o n s k i a n 表示，利用双w r o n s k i a n 结构构造的a k n s 和经典b o u s s i n e s q 等谱发展方程族解的推广 1 a s ，马文秀提出k d v 方程的c o m p l e x t o n 解 ” 当然，精确求解孤子方程的方法远不止于此，并且不断有新的方法出现比 如，n a k a m u r a 利用矩阵代数中的j a c o b i 等式得到一些孤子方程的解h i r o t a 利 用p f a f f k m 技术得到b k p 方程的解曹策问、耿献国等提出的l a x 对非线性化方法 1 0 - 1 5 】l a x 对非线性化方法不仅将高维可积系统的精确求解问题转化为低维可积系 统的求解，还建立了连续可积系统与离散可积系统之间的联系1 1 7 - 2 1 1 楼森岳将这 种方法推广应用到一些不可积模型，并取得重大的进展 1 4 91 5 0 】另外，楼森岳等建 立了多线性分离变量法1 1 5 1 1 和形变映射方法旧j 曾云波等提出通过约束流来构造 一孤子解的方法韩文亭和李翊神提出一种构造孤子方程解的矩阵方法1 1 4 3 1 王 明亮、李志斌提出构造非线性