（计算数学专业论文）混合有限元方法的非标准格式分析.pdf

原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的科研成果对本文的研究作出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明本声明的法律责任由本人承担 学位论文作者：王匆急 日期：2 0 o 年朔孑日 学位论文使用授权声明 本人在导师指导下完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属郑州大 学根据郑州大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留或向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权 郑州大学可以将本学位论文的全部或部分编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或者其他复制手段保存论文和汇编本学位论文本人离校后发表、 使用学位论文或与该学位论文直接相关的学术论文或成果时，第一署名单位仍 然为郑州大学保密论文在解密后应遵守此规定 学位论文作者：王呆久克 日期：鼬年月3 日 摘要 本文主要讨论了两个非标准混合元方法的收敛性及超收敛性分析首先我们讨论了一 个二阶椭圆问题的最小二乘非协调混合元方法的收敛性以及超收敛性分析，针对该格式的 特殊性，我们把真解的逼近空间取成五节点非协调有限元空间，而把流量函数的逼近空间 取为最低阶的r a v i a r t t h o m a s 空间，通过引入新的方法和技巧，我们得到了与传统方法相 同的收敛性结果并且我们通过一些新的技和利用插值后处理方法，得到了真解的整体超 收敛结果 其次，我们又研究了发展方程的非协调h 1g a l e r k i n 混合元方法我们利用和第二章相 同的非协调混合元逼近空间，在不引入r i t z 投影和r i t z - v o l t e r r a 投影的情况下，仍然得到了 与传统方法相同的误差估计结果，并利用插值后处理技巧得到了整体超收敛结果最后我 们讨论了s o b o l e v 方程全离散格式的h 1 一g a l e r k i n 混合有限元方法的超逼近性质 关键词：最小二乘混合有限元方法，日1 一g a l e r k i n 混合有限元方法，各向异性，非协调， 超逼近和超收敛 a b s tr a c t i nt h i sp a p e r ，w ef o c u so nc o n v e r g e n c ea n ds u p e r c o n v e r g e n c ea n a l y s i so ft w on o n s t a n - d a mm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d s f i r s t l y , w ec o n s i d e rt h ea p p l i c a t i o n so fl e a s t s q u a r e s n o n c o n f o r m i n gm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d sf o rt h es e c o n de l l i p t i cp r o b l e m s s i n c et h e s p e c i a l i t yo ft h es c h e m e ，w ed i s c u s st h ec a s et h a tt h ea p p r o x i m a t i o ns p a c eo ft h ee x a c t s o l u t i o ni st h es o - c a l l e df i v e - n o d e sn o n c o n f o r m i n gs p a c ea n do n eo ff l u xi st h el o w e s to r d e r r a v i a r t t h o m a ss p a c e b ym e a n so ft h en o v e lt e c h n i q u e s ，w eo b t a i nt h es a m ec o n v e r g e n c e a st h et r a d i t i o n a lm e t h o d s a n dw ea l s od e r i v et h eg l o b a ls u p e r c o n v e r g e n c eo ft h ee x a c t s o l u t i o nu s i n gt h en o v e ls k i l la n dt h ep o s t p r o c e s s i n gt r i c k s e c o n d l y , w es t u d yt h en o n c o n f o r m i n gh l g a l e r k i nm i x e df i n i t e e l e m e n tm e t h o d s o fe v o l u t i o ne q u a t i o n s s i m i l a r l y , u s i n gt h es a m en o n c o n f o r m i n gm i x e df i n i t ee l e m e n t s p a c e sa so n e so ft h es e c o n dc h a p t e r ，t h es a m ec o n v e r g e n c ea st h et r a d i t i o n a lm e t h o d s i so b t a i n e dw i t h o u tt h er i t zo rr i t z v o l t e r r ap r o j e c t i o n a n dw ea l s od e r i v et h eg l o b a l s u p e r c o n v e r g e n c eo ft h ee x a c ts o l u t i o nu s i n gt h ep o s t p r o c e s s i n gt e c h n i q u e f i n a l l y , w e d i s c u s st h es u p e r c l o s eo ft h ef u l ld i s c r e t es c h e m eo ft h es o b o l e ve q u a t i o nu s i n gt h eh 1 一 g a l e r k i nm i x e d6 1 1 i t ed e m e n tm e t h o d s k e yw o r d s ：l e a s t - s q u a r e sm i x e d f i n i t ee l e m e n tm e t h o d s ；h 1 - g a l e r k i nm i x e d f i n i t ee l e m e n tm e t h o d s ；a n i s o t r o p i cm e s h e s ；n o n c o n f o r m i n g ；s u p e r c l o s ea n ds u p e r c o n - v e r g e n c e 目录 引言1 第一章预备知识3 第二章二阶椭圆问题的最, j 、- - 乘非协调混合有限元分析1 2 第三章发展方程的非协调h 1 一g a l e r k i n , 昆合有限元分析2 6 参考文献3 5 附录个人简历及在学期间发表的学术论文与研究成果3 9 致谢。4 0 u l 引言 有限元方法是一种重要的求解偏微分方程数值解的有效方法它是以古典r i t z - g a l e r k i n 变分原理为基础，以分片多项式为t 具，并随着计算机的发展和推广迅速发展起来的其 数学理论基础可以追溯至u 1 9 4 3 年r c o u r a n t 的工作而真正奠定其数学理论基础，则是在 上世纪6 0 年代中期，由我国计算数学家冯康院士与西方学者各自独立并行地完成的至今 有限元方法不仅广泛地被应用于各种工程力学问题的数值求解上，而且目前已被应用于生 物工程、生物医学等问题的数值求解上，并且已经显示出其强大的优越性和生命力 在实际应用中，椭圆边值问题的解在部分区域中，特别是在窄边区域中，可能会出现 各向异性行为，即该解仅在某一方向上变化剧烈例如带有边界层的发散问题和奇异摄 动对流扩散反应问题等在边界层都会出现这种行为在这种情形下，如果采用正则性剖 分1 1 】计算量将会十分巨大而难以承受，有效的办法就是采用所谓的各向异性剖分【剑但在 这种剖分下，通常的插值理论在误差估计中将不再有效，而且针对非协调有限元行之有效 的传统的误差估计技巧亦不再有效t a p e l 在 3 】中提出了一个检验单元是否具有各向异 性特征的判定定理，并把它应用于l a g r a n g e 型协调元的分析后来又在【4 】中把它应用于一 类c r o u z e i x - r a v i a r t 型非协调单元，通过一定的技巧得到了与传统有限元相同的收敛性结 果但该定理有时很难验证和推广，陈绍春教授和石东洋教授等在 5 ，6 】中对 3 】中的定理进 行了改进，提出了一个容易操作的判定定理，并已经把它应用于许多实际问题，取得了许 多有意义的成果1 7 - - 1 5 另一方面，传统的有限元方法对逼近解的光滑度要求都比较高，这会给实际计算造 成很多困难基于此，人们转向了混合有限元方法的研究和应用，这在很大程度上降低 了上述困难b a b u 吞l 【a 【1 6 】和b r e z z i 1 7 】在2 0 世纪7 0 年代初创立了混合有限元方法的一般理论 f a l k 和o s b o r n 1 s l 又在8 0 年代初提出了一种改进的方法，从而扩大了混合元方法的应用范 围混合元方法与传统有限元方法比较有以下优势1 1 9 1 ( i ) 混合元方法降低了解空间对逼近解光滑度的要求 ( i i ) 用混合有限元方法求解二阶问题是真解u 和其流量函数v 乱同时求解这就避免了 传统有限元方法中先求牡，再用差分方法来求v u 所造成的误差 】 将是 元方 选取 的两 最小二乘混合有限元方法引入了残量最小化，从而使这种方法不再需要所选取的混合 元空间满足l b b 相容性条件，这样使得我们可以更加灵活的选取有利于我们分析与应用的 有限元空间关于最小二乘混合有限元方法在二阶椭圆问题上的研究已有很多【2 3 - - 2 7 但 是它们都是在正则网格下针对协调元的研究本文将把这种方法拓展到各向异性网格下非 协调混合有限元方面的收敛性研究，并利用一些新的技巧得到了真解的超收敛结果 a p a n i 【2 2 l 经过对最小二乘混合有限元方法的分析研究，把这种方法推广应用到发展方 程，这就是h 1 一g a l e r k i n 混合有限元方法这种方法仍然不需要验证所选取的混合元空间满 足l b b 相容性条件，并且已经取得了一系列有意义的结果1 2 2 , 2 s - 3 0 但上述研究都是在正则 网格下对协调元进行的，石东洋教授首先将其应用到各向异性网格下非协调有限元方法的 研究1 3 卜3 3 1 本文我们是在上述结果的基础上，用不同的非协调有限元空间并通过新的技 巧，得到了能量模和真解的l 2 模的最优估计，并通过后处理技巧得到了真解的超收敛结果 本文的写作安排如下： 第一章：预备知识列举本文中运用的记号及定理 第二章：二阶椭圆问题的最小二乘非协调混合有限元分析 第三章：发展方程的非协调h x - g a l e r k i n 混合有限元分析 2 第一章预备知识 1 1 基本记号 本节列出本文中用到的s o b o l e v 空间中的基本记号，主要的公式和定理，参考文献为【3 4 】 设q 为形中的有界区域，其闭包和边界分别记为q 及a q c 酽( q ) = ，；厂在q 上无穷可 微函数且具有紧支集 ，c 台( 彘) = ，；，在q 上的有直到七阶连续偏导数 设上尸( q ) = ，；如l f l p d x o o ( 1 p ) ，j ，”( q ) 表示在q 上本性有界的可测函数 空间对应的范数分别定义为 f l i l p ( n ) = ( 上l ，( z ) i p 如) ；，1 p ， i i f i l l 一( q ) = e s s s u pl ，( z ) i z n 当p = 2 时，l 2 ( q ) 为h i l b e r t 空间，其范数用”| 1 0 表示，其内积定义为 ( 乱，t ，) = 正u ( z ) 钞( z ) d x 如果q = ( q 1 ，a n ) n ”( 通常称为钆重指标) ，我们设川= q l - - t - + q n ，并且定 义俨= 砰丽0 1 , 4 1 万 定义1 1 1设l k ( q ) = f ；f di f l d z 0 0 ，v dcq ) 称9 是，的川阶广义导数，如果 对于，l k ( q ) ，存在9 l k ( q ) ，使得 f d 口l ，o d x = ( - 1 ) 川a g l ，o d x ，v 妒c 矿( q ) ， ( 1 1 1 ) 并用g = d a f 来表示 定义范数 川m 沪2 ( i a l _ m 上i 。，l p 如) ；，1 p o o ， l t f l i m ，2 挑m a x mi i d 口川。缈 3 其中m 为非负整数，q = ( a 1 ，n 付) ， 函数空间w ”，p ( q ) 表示空间c m ( 间由【3 4 】知 w m p ( q ) = ，；d 口 m o 。( q ) = 定义半范数 j i m ，p = ( 厶i d 口i p 如) 吉，1 p 0 有 i i f l l u c i l l l v ，v i 矿 其中i i 和”分别表示空间y 与u 的范数 s o b o l e v 嵌入定理删设m 为非负整数，1 p o o ，并设q 是舻为有界区域，且具 有l i p s c h i t z 连续边界，则有 1 如果m ；，则w ”p ( q ) q ( q ) ，；= ；1 一詈， 2 如果m = ；，则彤m p ( q ) ql q ( q ) ，v q 1 ，) ；当p = l 时，口可取， 3 如果； m ；+ 1 ，则m p ( q ) qc o ，m 一詈( q ) ， 4 如果m = ；+ 1 ，n w m 伊( q ) qc o m p ( q ) ，0 0 ，使得 i i , 矽t l o ，踟c | 1 1 q 下面列出本文中常用的不等式 p o i n c a r 6 不等式设qc 舻为有界区域，f oca q 且m e a s r o 0 ，则存在常数c 0 ， 使得 i i u l l , ，n c l v l , ，n ，v v r i d 。( q ) ， 其中珥。( f 1 ) = u h 1 ( q ) ；v l r o = o ) 。 e - c a u c h y ：不等式 a b 。，e 0 ) 5 e 一1 u n g 不等式设l o ) g r o i l w a l l 引理设，( t ) 是 0 ，卅上的连续函数，且满足 f ( t ) 9 ( ) + 乜( 7 - ) ，( 7 - ) d 7 ， ，c ，0 其中a ( 7 - ) 是 o ，t i 上的非负可积函数，则下述不等式成立 ，( ) 9 ( ) e x p ( f o ta ( 丁) 打) 离散的g r o i l w a - 1 1 引理 设数列 u n ) 满足 n - - 1 w n a n + 仇u 奄， 礼1 ， 其中 口竹) 是单调不减数列且 风) 是非负数列，则下述不等式成立 l r t , - - 1 w n o t n e x p ( 凤) k = o 1 3 有限元的基本理论 本节将列出有限元的基本理论，参考文献见 1 】 有限元方法是一种重要的求解微分方程的数值方法，它是建立在传统的变分原理的基 础上的，就是将微分方程边值问题转化为相应的变分问题，然后再利用分片多项式进行离 散 首先是将边值问题化为变分问题：求钍v ，使得 口( u ，u ) = ，( ) ，v 口k 其中y 是h i l b e r t 空间 然后再去离散逼近该变分问题：求u 7 l y h ，使得 a ( u h ，v h ) = f ( v h ) ，v v h v h 6 ( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) 其中k 是y 的一个有限维逼近空间 设兀为区域q 的一个剖分，即q = uk k 称为有限单元，h k = d i a m ( k ) 称为单 元直径，p k = s u p d i a m ( s ) ；sck 是n 维球 ，h = 班擎( k ) 称为剖分直径 定义1 3 1 有限元 k ，p k ，) 和 膏，户，宝 称为仿射等价的，如果存在非退化的仿射 变换f ：岔k z k ，使得 1 k = f ( 霞) ，p = p = 痧of 一1 ，p 户 ， 2 = ：n j 0 , ) - 与岛( p ) 定义形式一致，v 疵) 称一族有限元是仿射等价的，如果其中任一有限元都仿射等价于一个参考有限元 霞，p ， 局部插值逼近定理设 詹，户，) 是参考有限元，且 w k + l ，p ( k ) , - - 9 c s ( 詹) ，s 表示中出现的最高阶偏导数的阶数， w 抖1 ，p ( k ) qwm 4 ( k ) ， r ( k ) cpqw m 9 ( k ) ， 又设 k ，p k 是仿射等价的，如果剖分兀是正则的，则有 一i i k u i m ，口，k c i k l j 一； 铲1 一m i u l 知+ l ，p ，k ， w 七+ 1 p ( k ) ，( 1 3 3 ) 其中n k 是口在k 上的p 插值，c = c ( k ，户，宝) 特别当p = q = 2 时，有 u h k v l m ，k c 铲1 - m i u i 奄+ 1 p k ( 1 3 4 ) 这里和本文后文中，字母c 均表示与h 无关的常数，在不同的地方取值可以不同 整体插值逼近定理在上述定理的条件下，当p = q = 2 时，有 l i 一h u l o ，q + h l l v n h v l l l ，n c h k + li l u i i k + l , f l ，vt ，h k + l ( q ) n 矿 其中h ，l u 是v 在k 中的分片插值 逆估计定理设剖分兀是拟一致的， k ，尸 z k 死是仿射等价的，且 户cw 1 r ( 露) nw m ，9 ( 霞) ， 1 r ，g 。o ，zsm ，则存在常数c = c ( 吼以z ，m ，r ，q ) ，使得 ( m 哪q ，k ) i c h 一一0 詈一号一( v h 艮k ) ； k e t hk e t , ( 1 3 5 ) ( 1 3 6 ) 1 4 有限元理论中有用的引理 关于变分问题( 1 3 1 ) 的解的存在唯一性我们有 l a x - m i l g r a m 引理 设y 为h i l b e r t 空间，o ( ，) 是v y 上的双线性型，如果“( ，) 满足： ( 1 ) 连续性：存在常数m 0 ，使得 l a ( u ， ) i m l l u l | | i v l l ，v u ， v ， ( 2 ) 椭圆性：存在常数p 0 ，使得 i a ( v ，u ) i 硎u 忆v ， 且，为y 上的连续线性型，则变分问题( 1 3 1 ) 在y 上有唯一解u v 使得 a ( u ，u ) = ，( u ) ，v v y 有限元分析中的一个重要部分是误差估计和收敛性分析，协调元中的c 6 a 引理，非协 调元中的第：- 2 s t r a n g e 理以及b r a m b l e - h i l b e r ti 理在有限元的误差估计中起着非常蕈要 的作用，这里分别表述如下： c d a 引理 设乱，u h 分别为原问题( 1 3 1 ) 和离散问题( 1 3 2 ) 的解，a ( u ， ) 为满足如上条 件的双线性型，且y hcv 则存在c 0 ，使得 i i u 一乱 | i y c i n f l l 乱一i | y ， ( 1 4 1 ) ”表示y 的模 第- - s t r a n g 引理设h ：为h i l b e r t 空间，y h 和y 为日的子空间，a h ( ，) 是上 的连续双线性型，并且是一椭圆的，h 7 ，u 和u ，1 分别为( 1 3 1 ) 和( 1 3 2 ) 的解，则存 在c 0 ，使得 1iu一乱h队c(intfii乱一vhllh+埘。s垓up。，生生鱼生掣) ( 1 4 2 ) 其中。“) 。磊“) ， 2 ( 菇i | i 班 8 b r a m b l e - h i l b e r t 引理设qcj r n 是有界区域，a q 逐段光滑，满足l i p s c h i t z 连续条 件，( 詹+ 1 ，p ( q ) ) 7 ，k 0 ，p 【1 ，+ 。o ) ，且满足 ，0 ) = 0 ，跏p k ( q ) ， 则对v v 七+ 1 ，p ( q ) 有 i 厂( 口) l c ( 5 2 ) | l 川辞1 ，p ，n i v k + l 积n 其中r ( q ) 表示q 上的次数不超过后的多项式空间，l i ，| i ；+ - ，p ，q2 钉淝。，悬 1 5 各向异性判别准则 本节的记号都来自于 5 ，6 】 设户是参考元露上一个多项式空间，且其维数为m ，并设户是户的共轭空间不妨 把户与户的一对共轭基取为 琬，疡，砩) 及 呶，庇，厩 ，即 设j 为有限元插值算子且满足 易知 且 m ( 岛) = 如，1 i ，j m 疵( 知) = 厩( o ) ，i = l ，2 ，m ，w h 七( 詹) m 知= 疵( o ) 觑，j _ _ 一 、， ，谚= 0 w 3 p 取q = ( 口，o t 2 ，q n ) 为一个n 重指标，从而d a 户也是参考元詹上的多项式空间，不妨令 d i m d a p = r ， 则d a 户的一组基不妨取为 反， = 1 ，2 ，r ) ，定义d a 磊= 喜白， 1 t m ， 则d a ( 知) 可表示为 b 口( 知) = 庇( 移) d = 岛( 移) 白 i = 1 j = x 9 其中 综上我们得到 m 岛( 心) = q 巧疵( o ) t = 1 岛( 移) = 啦疵( 西) = 疵( ) = 岛( j 移) i = lt = 1 下面我们给出一个各向异性有限元的判别准则，它可以在 1 2 ，1 3 】中找到 定理1 5 1 【5 ，6 】：设a 是一个礼重指标，p t ( 誊) cd 。户，：w 川+ m ，p ( 露) - - + 户是上述插值 算子，满足，l ( w i n + 1 ，p ( 詹) ；w i a l + m ，。( 詹) ) 及。+ l ，p ( 疗) qw i n , 9 ( 露) ，如果上述的岛( 移) 可以表示成 岛( 移) = f j ( ) 口痧) ，1sj r ， 其中 乃w 厂l + 1 ，p ( 霞) 7 ，1 j r 则存在常数c ( j ，詹) 满足： d 。 一i o ) 1 1 m ，q ，露c ( i ，霞) i d a 移i l + 。，p ，露， w w 川+ h 1 p ( 詹) 1 6 混合有限元理论 本节我们来列出混合有限元的基本理论，参考文献见【1 9 ，e o 设日和m 是两个分别具有范数为i | “日和”i l m 的h i l b e r t 空间，n ( ，) 是h h 上的有界 双线性型，6 ( ，) 是hxm 上的有界双线性型，f ( ) 和g ( ) 分别是日和m 上的有界线性型 抽象问题的混合变分形式为：求( u ，p ) h m ，满足 ， 以舶扣印) - 兀们， 虮e ( 1 6 1 ) 、 工u o ， i 6 ( u ，g ) = g ( g ) ，v 口m ， 关于混合变分问题( 1 6 1 ) 的解的存在唯一性我们有 定理1 6 1 如果混合变分形式( 1 6 1 ) 满足 ( 1 ) 口( ，) 在z z 上强制，即存在常数a 0 ，使得n ( u ，t ，) q f 备，z ， 其o z = u 日；b ( v ，g ) = 0 ，v q m ) ( 2 ) 6 ( ，) 在h m 上满足连续的b b 条件，即存在常数卢 0 ，使得 】0 b ( v ，q ) 溜币祷 p | l q i m ，v q m 则变分问题( 1 6 1 ) 存在唯一解( 让，p ) h m 设日 与m h 分别为日与m 的有限元逼近空间，则变分问题( 1 6 1 ) 的混合有限元格式为： 求( u ，l ，p h ) h hxm h ，满足 v h h ， ( 1 6 2 ) 其中( ，) = o ( ，) 和b h ( ，) = 6 ( ，) k e ! 瓦k e t h 定理1 6 2 ( b r e z z i 定理) 设连续问题( 1 6 1 ) 满足定理1 6 1 的条件如果离散问题( 1 6 2 ) 还 满足 ( 1 ) a h ( ，) 在玩x 玩上连续，在磊上强制，即存在常数a 0 ，使 a h ( v h ，u ，1 ) ( l l v h l l k ，v 磊， 其中磊= v h h h ；b h ( v h ，q h ) = 0 ，v q h 慨) ( 2 ) b h ( ，) 在风慨上满足离散的b b 条件，即存在常数厉 0 ，使 眯s u 玩p 糕湘圳慨 则离散问题( 1 6 2 ) 存在唯一解( u ，p h ) h hxm h ，且有如下的误差估计 l u 一钍 | | 日 + l l p p h l l m h 讲0 嘎l l u u 圳玩+ 其中”i i = ( i i i i v ) ，v = h j m ， k e 靠 尬= s u p v h e h h n 7 l ( u ，v h ) + b h ( v h ，p ) 一f ( v h ) i v h h h 1 1 i n f q h e m hi p q h m a + 尬+ ) ，( 1 6 3 ) ，= s u p q h e m h k ( u ，吼) 一a ( q h ) i i i 鼽i i 地 吼慨 h 卜 鼽 h g + = m ，、l 第二章二阶椭圆问题的最小二乘非协调混合有限元分析 2 1 引言 针对二阶椭圆问题的混合有限元方法最早由p a t l u v i a r t 和j m t h o m a s 提出【3 5 1 后来， 【3 6 ，3 7 】通过对该方法的深入研究，成功地得到了该方法的超收敛性结果，大大提高了求解 的效率但传统的混合元空间都要求满足l b b 相容性条件，而且它们是在正则性网格下针 对协调元讨论的本章我们讨论一种非标准混合有限元方法，即最小二乘非协调混合有限 元方法这种方法不需要所选取的混合元空间满足l b b 稳定性条件因此，我们选取了一 对非协调混合有限元空间，并在各向异性网格下得到了与传统方法相同的收敛性结果，并 且通过插值后处理技巧得到整体超收敛性的结果 考虑下列二阶椭圆问题 r l - d i v ( a v u ) + 优= f i nq ， “= 0 o nf d ，( 2 1 1 ) l i ( - a v u ) 钆= 0 o nr 其中4 = ( a i j ( x ) ) r 2 2 是充分光滑，对称正定的，且其系数( ( z ) ) 是有界的，即存在两 个正数0 0 ( 2 2 1 4 ) ( 2 2 1 5 ) ( 2 2 1 6 ) ( 2 2 1 7 ) 定理2 2 1 双线。陛型- a h ( ；) 是强制的，即存在一个不依赖于 的正常数c o ，使得对 任意的v h v h ，q j l x h ，有 证由( 2 2 1 3 ) 得， v h , q ；v h , q ) c ( i | u h i l 2 + i i q _ l i i 备( d i v ；哟) ( 2 2 1 8 ) a h ( v h ，q h ；v h ，q h ) =( d i v q + c y h ，d i v q ，l + 伽l 1 ) + ( q + a v h v h ，q h + a v h v h ) = ( d i v q ，l ，d i v q ) + 2 ( d i v q ，i ，c v h ) + c 2 ( ，v h ) + ( q _ i l ，q ) + 2 ( q ，a v h v h ) + ( a v h v h ，a v h v h ) + 2 p ( q ，v h v n ) 一2 了( q 舢v h v h ) ， 其中口 0 是一个常数利用引理2 2 2 并化简得 口，i ( 口l l ，q _ h ；v h ，q ) = ( d i v q ，l ，d i v q ) 一2 ( 卢一c ) ( ，d i v q h ) + ( 卢一c ) 2 ( v h ，v h ) 1 6 + ( q | i l ，g ，i ) + 2 ( q ，l ，( a 一3 e ) v h v h ) 十( ( 月一p e ) v h v h ，( a p e ) v h v h ) 一卢( 卢一2 c ) o , h ，u l i ) + 2 p ( a v 0 h ，v h v h ) 一p 2 ( v h v h ，v h v h ) = ( d i v q ，l 一( 一c ) v h ，d i v q h 一( 卢一c ) v h ) 其中e 是单位矩阵 因此 由( 2 1 2 ) ，得 + ( q h + ( a 一卢e ) v h v h ，q _ l + ( a p e ) v h v h ) 一p ( 卢一2 c ) ( u ，l ，v h ) + 2 卢( a v 钞h ，v h v h ) 一卢2 ( v h v ，弋t h v h ) 一( p 一2 c ) ( _ i l ，v h ) + 2 f l ( a v h v h ，v t 饥) 一2 ( v h v h ，v h v h ) ，( 2 2 1 9 ) 2 p ( a v h v h ，v ) 再利用( 2 1 4 ) 和( 2 2 1 6 ) ，有 - z ( z 一2 c ) ( ，v h ) 合并( 2 2 1 9 ) 一( 2 2 2 1 ) ，得 a h ( v h ，q h ；v h ，q h ) 2 p a ：( v h v h ，v ) 一z ( z 一2 c ) 啡( v h v h ，v h v h ) 一z ( z 一2 c o ) 睇( v h v h ，v h v h ) z ( 2 a 1 一( 卢+ ( 卢一2 c o ) 睇) ) ( v h v h ，v h v h ) s u 厍i ( 2 2 1 7 ) ，令卢= ( q 1 + c o c ；) 0 + 睇) 0 我们得到 胁邓w 一2 g 熵) = 絮 。 n j l ( ，q h ；v h ，q ) c ( v h v h ，v h v h ) = c l l v 1 l ： 显然，从( 2 2 1 3 ) 可以看出 n _ l ( ，q h ；v h ，q _ 1 1 ) c | i q + a v h v hj g ， a h ( v h ，口 ；，q _ 7 1 )c l l d i v q + c 晤 合并( 2 2 1 6 ) 禾1 ( 2 2 2 4 ) 一( 2 2 2 6 ) 并利用三角不等式，得 o _ i l ( h ，q _ l ；移，l ，q ) c i i q i i ； 1 7 ( 2 2 2 0 ) ( 2 2 2 1 ) ( 2 2 2 2 ) ( 2 2 2 3 ) ( 2 2 2 4 ) ( 2 2 2 5 ) ( 2 2 2 6 ) ( 2 2 2 7 ) o _ l ( u ，q h ；钞 ，q | 1 ) c i i d i v q l i ： 合并( 2 2 2 4 ) ，( 2 2 2 7 ) 和( 2 2 2 8 ) ，我们得到( 2 2 1 8 ) 定理证毕 因此，利用l 觚- m i l g r 锄引理和上述定理有 定理2 2 2 如果f l 2 ( f o ，那么问题( 2 2 1 2 ) 存在唯一解u h u h ，p l h x _ 1 1 而且，下面的正交性仍然成立 引理2 2 4 设札以p x 和u h u h ，p h x l l l 分别是( 2 1 9 ) 和( 2 2 1 2 ) ，则 ( 2 2 2 8 ) a h ( u u h ，p p h ；u h ，q _ 1 ) = 0v v n u h ，q ，l x h ( 2 2 2 9 ) 证利用( 2 1 9 ) ，( 2 1 1 0 ) ，( 2 2 1 2 ) 和( 2 2 1 3 ) ，对任意的? 3 h u h ，口 x 有 a h ( u ，p ； u h ，口_ f i ) = ( d i v p + c z t ，d i v q _ i l + c v h ) + 佃+ a v u ，q + a v h v h ) = ( f ，d i v q + c v h ) = a h ( u h ，p h ；v h ，q _ 1 ) 引理证毕 下面我们给出收敛性结果 定理2 2 3 设u u , p x 是问题( 2 1 9 ) 的真解，l z h u h ，p x 是问题( 2 2 1 2 ) 的 有限元解，则 i i 乱一u h l l h + l i p p h i l 日( d i v q ) c h ( 1 l u l l = + i l p l l 2 ) ， ( 2 2 3 0 ) 证由( 2 2 1 8 ) 得 i i t , h 一厶“i l z + i l p h 一l l p i i 刍( d i v ，q ) c a h ( u h i h u ，p h i i h p ；u h i h u ，p _ l i i h p ) = c a h ( u i h u ，p i i h p ；u h 一厶乱，p h l i h p ) = c ( ( d i v ( p y i h p ) ，d i v ( p h i i h p ) ) + ( c ( u 一厶乱) ，d i v ( p h i i h p ) ) + ( d i v ( p i i h p ) ，c ( u h 一厶u ) ) + ( c ( u 一厶缸) ，c ( u h 一厶u ) ) 十( p i i h p ，p h y l h p ) + ( p i x h p ，a v h ( u h 一厶u ) ) 1 8 从而 利用 样的收敛性结果 注2 2 2 从定理2 2 3 的证明可以看出，我们并不需要传统的非协调元的证明方法这 是由于本文的最小二乘混合元格式的特殊性造成的，证明中并没有出现相容误差项，因此 这就大大简化了定理的证明过程从此也可以看出本文的格式是值得推荐的 2 3 超逼近和超收敛性分析 在这一节中，我们首先给出几个重要的引理 引理2 3 1 设心h 2 ( q ) ，p ( h 2 ( q ) ) 2 ，并设厶是由( 2 2 8 ) 定义的插值算子，则 ( v a ( u 一厶u ) ，v a v h ) = 0 ，帕 v h ， 仳一厶训i o c h 2 i - i 2 ，i i u i , , - l l h c h l u 2 ， 磊。厶黜钆d s c 2 l p l z l i h l l ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 证( 2 3 1 ) 和( 2 3 2 ) 的证明见 7 】( 2 3 3 ) 的证明完全类似于【7 】中的定理4 1 ，此处从略 1 9 有 引理2 3 2 设p ( h 2 ( q ) ) 2 ，n 是由( 2 2 1 1 ) 定义的插值算子，则在各向异性网格下 i i d i v ( p n h p ) l l o c h l l p l l 2 证f 1 3 1 3 4 1 得，d i v i i h p = p o d i v p ，其中r 是l 2 投影，则 引理证毕 引理2 3 3 ( 2 3 4 ) d i v ( p 一1 - i h p ) l 0 = i i d i v p p o d i v p l o c h l i p l l 2 ( 2 3 5 ) ( d i v ( p i i h p ) ，d i v q ) = 0v q h x h 证由i i h p 的定义并利用g r e e n 公式，容易得到( 2 3 6 ) 引理2 3 4 一厶u ，d i v q h ) c h 2 i l u l l 2 1 1 d i v q _ h i i ov q ，l x ，1 ( 仳一厶u ，v h ) c h 2 i l u l l 2 l l v h l l ov v h u h 证利用c a u c h y 不等式和b r a m b l 争h i l b e r t 引理得证 引理2 3 5 设，l 是由( 2 2 1 1 ) 定义的插值算子，则对任意的v h 魄有 ( p h p ，v v h ) c h 2 i l p l l 2 i v h l ， l ( d i v ( p i i h p ) ，v h ) i c h 2 i l p i | 2 i l v h l l h ， 证首先我们利用b r a m b l e - h i l b e r t 弓i 理来证明( 2 3 9 ) 考虑双线性函数 b ( 殖，讥) 2 厶 1 一多1 ) 。k 容易看出 i b p l ，以) i c 1 1 痧11 1 2 , 霞i o k i o 霞，v 玩 令多1 = r ，考虑到插值算子血的定义，我们得到面l = 0 则直接计算可得 b 慨，讥) = 0 ，坳1 p 1 ( k ) ，? j h v h ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) ( 2 3 1 0 ) ( 2 3 1 1 ) ( 2 3 1 2 ) ( 2 3 1 3 ) b r a m b l e - h i l b e r t 引理。 b ( p l ，讥) isc i 痧1 1 2 。露i 西k l o 。霞， v v h u n ( 2 3 1 4 ) 那么 i b ( p l ，v h ) i c h 2 i p l l 2 ，k l v h 。