（应用数学专业论文）一类带小参数的竞争方程组的行波解存在性.pdf

摘要 摘要 本文主要研究的是带交错扩散或窘扩散项的拟线性覆寝扩散方程组的行 波解的存在性。如下所示： v 驴t v t 勰茹：主荔掣：g 十( u 嚣 m 【 ( 口2 + 段v + y 2 ) 川船+ ，协 、 其中 f 鲠( 巩u v ) v ) ：= 。( a 2 l 一- 6 b 2 w 一- c l v ) u c 2 v ) v ( 2 ) l 鲠巩v ) = 0 2 6 2 一 。 “，v 分剃震示两种群的群日密度，a ，i ，岛，竹( i = l ，2 ) 都是非负常数，屏是 宴扩散系数，* 是交锩扩散系数。嘶，b bc i 0 ，i = 1 ，2 其主要研究思路是： 利用【1 6 】中的几何奇异摄动理论，通过仔缨分析= o 时的快流，慢漉验证 e = 0 时陕流方程的稳定与不稳定流形横截相交乎奇异异宿轨道，从而得到行 波解酶存在戆 1 第2 章研究无交错扩散项时，在( 2 ) 条件下干亍渡的存在性。郎： f 秘f = e 2 ( 1 + 芦l ；d 甜+ m ，、 一i 砖= ( 1 + 热d v 】砧+ g ( u ，诤 一7 姿非线性项工g 满足穗关缓设及a m a x ( b ，联或孝弱竞争的特臻情掇 c 一 b ) 成立对，存在最大波速，= 2 坼f 巧蕊对任意豳定的 波速c ( 0 ，使得对每一个固定的0 e m a x ( b ，c ) ( 或者弱竞争的特殊情况 c 一 b ) 时，存在最大波速c = 一2 三筹，对任意固定的波速c ( 0 ，使得对每一个固定的0 e i ，系统( 3 o 1 ) 存在连接两平 衡点( o ，尝) 与( 哥，o ) ( 或者平衡点( o ，嚣) 与正常数平衡解( 等薏! 鬻，业e l b 2 - 生c 2 且b l 、：j 的行波解( 矿0 一e c t ) ，矿o e c t ) ) ，其中驴o e c t ) 是带边界层的行波解， 且在边界层上有连接相邻两平衡点的波速为c 的结，鞍行波。 3 在第4 章，当( 1 ) 中第二个方程的交错扩散系数较大时，为简单起见考虑 如下形式： u t = e 2 + ，( ”，m lv ，= ( 1 + 仰) v 】船+ g ( u ，v ) v 当非线性项，g 满足相关假设及强竞争的特殊情况b a 0 和光滑族 c ( e ) ：f 0 ，e i ) ，使得对每一个固定的0 0 ，( i = 1 ，2 ) a p p l y i n gg e o m e t r i cs i n g u l a rp e r t u r b a t i o nm e t h o d st o ( 1 ) a n d ( 2 ) a n db yd e t a i l e da n a l y s i so nt h ef a s ta n ds l o wm a n i f o l d s ，w eo b t a i n e dt h e e x i s t e n c eo f t h et r a v e l l i n gw a v e sf o rd i f f e r e n tc a s e s i i nc h a p t e r2 ，w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gn o n c r o s sd i f f u s i o ns y s t e m s ： 蜥= d o + 岛弦】“十八“，v )f 孔 i = 【( 1 + 芦2 v ) v 】“+ 甙”，v ) v 7 a s s u m e ( a 1 ) 一( a 3 ) a n da m a x ( b ，c ) ( o rc a b ) h o l d , t h e r ee x i s t s am a x i m a lw a v es p e e dc = 一2 怕l c , f l + ，f o re a c hf i x e dc ( o ，s u c ht h a tf o re a c hf i x e d0 e m a x ( b ，c ) ( o rc a( 国h o l d ，t h e r ee x i s t sam a x i m a lw a v es p e e d = 一2 错，f o re a c hf i x e d c ( 0 , s u c ht h a tf o re a c hf i x e d0 e l , t h e r e e x i s t st r a v e u i n gw a v es o l u t i o n 矿0 一e e l ) o f ( 2 0 1 ) c o n n e c t i n g ( 0 ，：a 2 ) a n d ( 嚣，0 ) ( o r ( ( o ，警) a n d 必c l b 2 - c 2 b t ，詈爱专磬) ) ，w h e r e 泸。一e c t ) a r et r a v e l l i n gw a v e s w i t ht r a n s i t i o nl a y e r s f l l r t h e r m o r e ，t h e r ee x i s tt r a v e l l i n gw a v e sc o n n e c t i n gt w o a a j a c e n te q u i l i b r i u mp o i n t sa l o n gt h ef a s tm a n i f o l d 3 i nc h a p t e r4 ，i ft h ec r o s s d i f f u s i o np a r a m e t e ri nt h es e c o n de q u a t i o no ft h e s y s t e m ( 1 ) i sn o ts m a l l ，f o rs i m p l i c i t yw ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gc r o s s d i f f u s i o n s y s t e m f2 t = 一z k + f ( u ， 1v ，= ( 1 + 弛“) v 】。+ 默址v ) ( 5 ) a s s u m e ( a 1 ) 一( a 3 ) a n dba 0 。a n da s m o o t hf a m i 母o f 0 ：芒1 0 ，e 1 ) s u c ht h a tf o re a c hf i x e d0 0 其中2 称为慢尺度，f 成为快尺度。穗虚的( 1 0 。1 ) 是慢系统，( 1 0 2 ) 是快 系统。 然后分别在慢尺度下考虑当小参数驭极限时，考查慢流形上稳定流与不 稳定流运动趋势，以及快尺度下奇异极限情形的解的情况，即：分别考虑下面 的约化问题与速舞层闼题 在( 1 0 1 ) 中令f = 0 对，耨刘约铯问题； 漤g 弘( x 篙y0 瓴如洲r 。 ( 1 0 3 ) i ，=、，) c t 如”+ ” 、 引言 在( 1 0 2 ) 巾令= 0 时，得到边界层问题 x 2 f ( x 出w( 1 删0 ) ly = 0( x ，刃r ” 。 其中x , y 分别称为快变量和慢变薰。 通过奇异摄劫问题的不变流形理论，把僚奇异摄动问题( 1 0 。1 ) 与两个极 限同题( 1 0 3 x 1 0 4 ) 联系麓寒，通过京快，慢尺度下的极限闻题豹解来剡翘原 阍题的解，获丽把一个离维的奇异摄动问题分解成了低维闽题。在这个避稷 中，要科甩反应扩散方程中有关符波解的知识，绘出j # 线性项歹碡潢怼的条传， 丽时在该方法孛还会涉及到阍宿，异宿孰遘及鞔遵横截鞠交酶验证对予梅造 圈窟，异窿孰遂及其存在性的分析是基于不变瀛行理论和两宿，异雍轨道分歧 瑾论的基础上割断稳定流形和不稳定流形焱礴霸还是昴宿孰道上相交，班及 验涯横截相交是几倪奇异摄动法至关熏要的部分因为几秘奇异摄动法把 原问题解的存在性通过其两个极限问题解的存在性表现出来，所以当分析了 f = 0 肄的恢漉，幔流，还爨诞硬e = 0e 重快淡方程的稳定与不稳定漉形横截 褐交子奇异异宿孰道，我秘利用【1 6 】中给出龅引理米验证横截稿交。有了这 一引理，就能保证；在e = 0 畦奇异稳定与不稳定流形分别扰动生成的稳定与 不稳定流形仍然穗交，即e 0 常小时仍存在舅宿轨道，置与e = o 薛异宿 鞔遵只差一个o ( ) 该s i 理是在切察阕申依据维数关系判断糍管横截相交。梗 嚣巽体情况有篓闯题需簧通过改变维数以满足横裁糯交的条件，常用方法就 是添加平凡方程。对于平凡方程中的参数的选择也是蠢一定撬律和技巧的。 本文正是建立在对上述相关内容熟练掌握豹基础上，借助几何奇异摄勘 法鼹决带小参数的反应扩散方程维敬行波解的存在性。下露我粕大致了解一 下有关反应扩散方程组行波解存在性的研究方法以及取得的成栗 早在t 9 7 9 年s h i g e s a d ae ta 1 为描述两竞争生物移群受自身密度疆力及竞 争方密瘦压力影响菰披遣迁徙的现象，在【17 】握跬矮! 一般的带自扩散及交错扩 散的生物竞争模墅，其为如下拟缭陋突错扩散方程组 f 村r 嚣f ( 仃l + 芦l i t + y f v ) 。f 】十厂( 敞v ) 【v t = f ( 扯2 + 屈v 十7 2 u ) v 】+ g ( u ，p ) 、。 其中 f 以虬v ) = ( a l 一6 “一c t v 扣，、 1 甙玑砖= ( a 2 一b 2 群一qv ) v t l u 由j 3 首都师范大学硕士学位论文：一类带小参数的竞争方程组的行波解的存在性 为经典的l o t k a - v o l t e r r a 反应项 ，v 分另g 表示两种群的群口密度，嘶强，y i ( i = 1 ，2 ) 都是非负常数，廖是自扩 散系数，7 ，是交错扩散系数a ，b 。，c 。) 0 ，( f - 1 ，2 ) 当局= 竹= 0 ，( i = 1 ，2 ) ( 1 0 5 ) ( 1 0 6 ) 就是经典的l o t k a - v o l t e r r a 竞争模型， 许多数学家也已经研究过，理论体系也比较完善 当7 l 0 或弛0 ，系统( 1 0 5 ) 就是带交错扩散的强耦合的拟线性系统。 它不再是一般意义上的强抛物系统因此有关强椭圆算子的经典理论和方法 不能直接应用当嘶 0 ，西0 ，y i 0 ( i = 1 ，2 ) 时，可借助a m a n n 的分析半 群理论来解决( 1 0 5 ) ，当( 1 o 5 ) ( 1 0 6 ) 为n u m a t x n 边界条件时，最近的一些研 究工作主要是集中在有交错扩散引起的新的p a t t e r n 形式以及t t w i n g 不稳定现 象由交错扩散引起的非常数正平衡解的存在性方面已有一些结果，特别是某 一交错扩散系数较大时，可能出现带边界层的稳定状态。为解决了解的存在性 后考虑解的稳定性提供了理论保障 对于带小参数的反应扩散方程组行渡解的存在性问题，早期是采用分析 奇异摄动法来解决的。如：h o s o m o 和m i m u r a 7 ，8 】中通过给定非线性项f ，g 某些假设条件，从而证得如下无交错扩散系统带边界层的波速为o ( 0 ，e 0 足 够小时，行渡解的存在性t 潍毅篇娑g + ( u 嚣 们， 【h = 以2 + v ) 川。+，v ) 、7 其中非线性项可以是竞争系统： 也可以是捕食系统 嚣 n o s ， 其中( 1 0 8 ) ( 1 0 9 ) 中的系数均为正常数。 在( 1 ，0 7 ) 中，取口。= 1 ，屈= 0 ( i = l ，2 ) 利用c o n l e yi n d e x 方法，在 5 中，g a r d n e r 已经证明了捕食模型的行波解的存在性，它与 7 1 中采用分析奇 异摄动法给出的在非线性项满足条件有所不同对某些具体问题还可以把无 4 玎 y m 眈 一 一 隅 = = 订口m 咖 ，j_，、_l 吣 一 十 嘶 啦 一 一 淝 = 1 | 订0地酏 ；l 言 交错扩散项得到的行波解存在性的结果推广到增加交错扩散项时情况，如在 【1 9 】中，采用了分析奇异摄动法来研究有交错扩散项时反应扩散方程组行波 簿的存在性把【7 1 1 8 】中的结果推广到如下增自# 交错扩散埂盾的系统豹逐亿和 非退化两种情况下， 雠裟m + f l l u + y l 咖芝：贝0 ( 1 o 1 0 ，r z u ) v g ( u ， lv l = ( ( 球2 + v +，+ ，v ) 非退化情形： m a x ( o l ，崩) 0 ，m a x ( o ：t ，) 0 ，m a x ( 口2 ，岛) 0 进一步，若c t 2 = 0 ，释么v + 0 退化情形一 8 l = 柏= 0 ，屈 0 ，m q x ( 口2 ，岛) 0 ， 2 0 且妒) 0 但乖掰该方法橱造解的结构时较复杂在 2 0 】中，利用几何奇异摄动法 考虑【1 9 中典型的非退化交错扩散系统： f 砷。一【( 1 + 霸“+ 柏v ) u x x 巾“辑啦( i o 1 0 【u = ( 1 + e 2 y 2 u 十岛订川盯+ “，v ) ( 1 0 11 ) 巾的系数均为正常数速过构造边界层上的双稳态结构，戮撞象理论 的形式给出了沿快流方向连接相邻两鞍点的行波解，从两得到系统存在连接 两平衡点的唯一行波其中非线性项工g 所满足的条件比【1 9 】中的弱一些，证 赣过程也较筒单， 在【2 2 】中把 1 9 2 0 中的结果推广到了如下更一般的情况： d t ：昶茹：黧翌嚣z g 蒜( u 广 嘲 i= ( 1 + 卢2 v + e y 2 ( e ) ) 订州+，v ) 、 一 璺专o ，鼍( 鬯基c 2 ( 【o ，嘞】) ，i0 弘( ) 一卯，( f 2l ，2 (+0。13)0y l ，y 2g 穗 、 并且卵j 用s t a b i l i t y i n d e x 方法，借助详细的谱分析和拓扑理论证明了( 1 0 1 2 ) ( 1 。0 1 3 ) 带边要瑶的行波解是带乎移的硒帮渐遥稳定豹。 首都师范大学硕士学位论文：一类带小参数的藏争方程组的行渡解的存在性 对下面的无交错扩散项的经典的l o t k a - v o l t e r r a 竞争反应扩散方程组 ：篆i 祭：三? ”v ) v n o iv r = d h ，十r ( i 一口2 一 r 一7 对滚方程组行波鳃的存在性多年来很多学者进行了深入的研究，弗已有很多重 要研究结果如：在f i s ，t a n g 和f i f e 通过构造吸引区域的方法，解决了连接 平凡解( o ，o ) 与正常数平衡解( 。a 。l li a 鬲2 i - 1 ) 的行波解的存在性。 在【1 , 4 】孛，g a r d n e r 和c o n l e y ，利用l e r a y - s c h a u d e r d e g r e e 理论证明了当 其中某一奇点为正常数平衡解( 黯，誉葛) 的行波解的存在性。 在 1 2 】中，k a n e l 秘z h o u ，零j 甩掺靶法寿美理论研究了连接正常数平衡解 ( 杀者，黯) 与平衡点( 1 ，o ) 的波前解的存在性。 当满足h o s o n o 在 6 中提出的自然条件0 翻 1 t 2 时，即；( 1 0 1 4 ) 不存在正常数平衡解情况下，连接两平衡点( o ，1 ) ( 1 ，o ) 的行波存在惶也已经有 一些结果 强；在 1 訇中，m u r r a y 推测满足主述条捧时( 1 0 1 4 ) 最小波速为r = 2 4 i - 一t 1 k a n - o n 在【1 0 】中，用连续的方法，证明了当0 口l 1 ) 和c + 的误 差估计，其中岛。= i n f m 有关这方面的最近结果是n i n gf e i ，j a k ec a n ：乎2 0 0 2 年借助打靶法给出当 满足0 口l l c 1 2 与1 一d lsr ( a 2 1 ) l ，d = 1 时，( 1 0 1 4 ) 存在行渡锦 ( u ( x + c t ) ，v ( x + c ) ) 。 本文我们考虑带小参数的s h i g e s a d a 拟线性生物竞争模型，即方程组 z：=e(2i(+i卢+：z。l+u+ylv)。u。1x+。(+(al-btu-clv，“0015r2u)vffl2 b 2 uc 2 v ) v ) 【= ( i + 卢2 v +- 。+ ( 一一 ， 7 撂我f 】了解当方程组鑫扩散暖或交锘扩散项不为零对，一矗没有关于该模 型的行波解存在性研究结果，其中【2 0 2 l 】 2 2 】中研究的交错扩散模型的反应 埂具有一定的双稳恣形式，不包含l o t k a v o l t c r r a 形式，固此其存在憔研究结象 不能直接猴广到该模型 6 引言 为此我们特别研究当充分小时方程组( 1 0 _ 1 5 ) 艇否存在带边界层的行 波旁取按照从简单到复杂的顺序，利月几何奇异摄动方法分别研究不带交错扩 散硬对 在一定系数条件下的带边界层的行波解存在嬖k 解的结构及波速的存 在范围进而把非交错扩散情形的存在性结果推广到带交错扩散项时，其中证 明过程中发现第二个方程中的交错扩救项充分小对，不羝于e 阶对，可得到类 似非交错扩散情形的行波髁存在性结果而当第二个方程中的交错扩散项不小 h 寸特别是充分火日寸，我们研究是否存在其他类型的行波解，即研究交错扩散是 否导致薪的行渡的存在性，并得至4 相关重要存在性研究绪景 文章的结构如下： 第二露无交错扩散对，系统( 2 0 1 ) 行渡怒躬存在性， 第三章增加交错扩散项后，形成的新系统( 3 0 1 ) 行波解的存在性 第四章交错扩散系数较大时，系统( 4 0 1 ) 行波解的存在性 在第二章我们得到当系数条件分别满足如下两种情况：( i ) 对弱竞争的特 殊情况c b m a x ( b ，o 露，系统只有两个半平凡平衡点，帮：鼹物释不 能共存综合以上两种情况，存在最大波速r = 一2 f 巧再f ，对任意固定的 c ( c + ) ，( 2 f o 1 ) 存在具快慢结构的带边界层的行波癣，且在逸界层上存在连接 相邻两平衡点的结，鞍行波，但由- 于不存在矿，所以和用冗何奇异摄动法不能 得到边界层上的鞍，鞍行波 在第三章中增瓣交错扩教顼经慢整量方稷豹交错扩散系数程小，系数条 件及非线性项f ( u ，甙“，v ) 满足条件与第二章相同，可得到与( 2 0 1 ) 类似的 结果，存在最大波速r = - - 2 、：i 筹，对任意阉定的c ( ) ，( 3 0 1 ) 存在具快 慢结构的带边界穗的行波解，且在边界层上存在连接相邻两平衡点的结，鞍行 波。 第溺章中当授变量方程中交锩扩教系数交大时，非线性项的性质发生 了变化，使得在快流方向原有两奇点问增加了一个奇点，从而使系统出现了新 的波现象：对强竞争的特殊情况b c 时为弱竞争，说明两种群间的稽互竞争比同一种群自身竞争弱， 墨bcc 时为强竞争，说明两种群问的相互竞争比扁一秽群自身竞争强。 设贝轧吩= 0 在送闼 上有正馋，且可表拳为“= ( v ) 由后面的证瞬，我们可以得到在一定系数条件下，非线性项f , g 满足如下抽象假设 时，系统( 2 0 ，1 ) 有行波毹： 弧l ( i ) 对任意的v 山，都有五( + ( v ) ，= ；。( 虹( v ) ，v ) h + ( v ) 0 ( i i ) 存在逸闻上= 西，瓦) ，其中0 0 ， 联板+ ) ，芦) ( 0 ( 妊) 对任意的v ( n ，芦。j ，至 0 氆i ) 函缸，磅| 臼v ) ：，b ) 0 “( o ，k 拶+ ) ) 由上述条件我们可以得到本章的主要结果： 定理2 ，1 假设( a 1 - ( a 3 ) 成立，则存在最大波速，= 一2 f = i 歹，对任意 固定的波速c ( 0 ，使得对每一个固定的0 o ( i = 1 ，4 ) 存在很小的句 0 ，使得( 厂，西c 2 ( m x ( - e o ，c o ) ，其中朋= ( 一亿工1 ) ( 一2 ，l 2 ) ( - 8 ，岛) x ( - l 4 ，l 4 ) 2 1 约化问题 令f = 0 ，则奇异摄动系统( 2 05 ) 变为约化问题 即 w 220 二鲨二翌1 + 1 2 ：l 3 1 丛w l 型：生= 0 w 3 。w 4 讥= 堂群 定义在二维流形了1 与j l 上，其中 了i = ( 0 ，0 ，w 3 ，w 4 ) ：w 3 上，w 4 ( 一厶，l 4 ) 1 2 ( 2 1 1 1 ( 2 1 2 ) 业 唑加舞 栅m 塑 砷 第2 章无交错扩散项时，系统的行渡解的存在性 和 3 2 = ( + ( ) ，0 ，m ，w 4 ) ：w 3 五，( - l 4 ，厶) 注意到 1 = m ，0 = ( 。，o ，扎，o ) c 3 1 2 = m p = 渺。( v + ) ，0 ，h ，o ) c 斑 包含约化闼题( 2 1 1 ) 的所有乎衡点，且 = d i m n l = 0 灰= d i m a r z = 0 ( 2 1 3 ) 记r l 嵋为满足( 2 1 ，2 ) 的出l 出发的不稳定流形，m 为满足( 2 1 2 ) 的进 入 ，2 的稳定流形，因此 叶嵋= f ( o ，o ，地，w 4 ) jc 强 哪譬= f ( 以( 地) ，o ，w 3 ，w 4 ) c m 恳( 哟，岫) 满足 f 她2 砩： 忱= 曼1 蚴+ 2 f 1 2 w ， l ( m ，w 4 ) ( - o o ) = ( 扎，o ) 记 铡删，= 卜涨00 1 】 瞧图( 1 ) 图( 2 ) 知： 国，( 一o o ) = ( o ，丝) g m ( o ，n ) = 一啦 0 所以z g 一旺，o ) 分别有一个芷特征根个负特征根，因此 同联 d i m 拶? ) = 1 ( 2 1 7 ) f 地2w 4 瓿= 塑锶券必 ( 2 l 固 l ( 均，w 4 ) ( + 0 0 ) = ，o ) 1 3 $ l l l 犯 姣 强 蔓叠堕薹查兰堕主堂垡笙壅! 二壅堂! ! 叁墼盟童至查墨望笪堑鎏蟹盟壹垄丝 z g + ( v + ，o ) = l“，( ) “) 1 + 2 卢2 v + 由图( 1 ) ，图( 2 ) 知：奇点 如有两类即：分别由 m 耋2 暑： 和 ( 孑野卜。 决定 下面分别对上述两种情况进行考虑： 当奇点 r 2 由( 1 ) 来决定时，可得： fu = 丑c l b 生z - ：c 丝2 b l lk ( v + ) 2 垡c l b z 出- c ：b l 当 far 成立日寸，g w , ( h ( v + ) ，v + ) o 所以对( 1 ) 来讲z g + ( ( v + ) ，v + ) 有一个正特征根一个 负特征根，因此 d i m ( w ；) = 1 当奇点 r 2 由( 2 ) 来决定时，可得： rv + = 0 1 “帆) = 导 所以当( 2 ) 满足如下条件时 b 0 ， 因此f _ ( o ，o ) 宥两个正特征根，对任意的p 1em 彳，1 删是( 2 2 2 ) 的正则 双曲不变流形且 d i m ，7 i ) = 2 ，v p l 1 蝶( 2 2 4 ) 阍理可以得到m 驾是( 2 2 2 ) 的正剥双曲不变流形，且 d i m 贯0 2 ) = l ，v p 2 嘲( 2 2 5 ) 记 m = u 胃妇) ，婀= u 珂慨) ( 2 2 6 ) p l 口吖p 2 “嵋 由( 2 1 ，7 ) ，( 2 1 1 8 ) ，( 2 ，2 4 ( 2 2 6 ) 可知 d i m ( n i ) = 3 ，a i m ( i v ) = 2 ( 2 2 7 ) 注意到：五= 固g ( 一e 0 ，旬) ) 是a i 上的c 2 向量场族，且l ，2 ，m ，? ，m 名 满足以下条伟： ( h 1 ) l 是约化闷题0 维紧的不稳定的不变流形，有1 维局部不稳定流形 m 1 ， 是约化问题0 维紧的稳定的不变流形，寄1 维局部稳定流形1 帔 ( h 2 ) ，i 嵋，1 嵋魁边界层问题的正则双曲不变流形。由不变漉形定理( 定 理2 2 【1 6 】) ，立即可得： 引理2 2 1 设丘忙e ( 一旬，旬) ) 是i v 上的c 2 向量场族，且流形1 ，m ，r ，瞅 满足( h 1 ) ( h 2 ) ，则存在e l 0 ，使得( i ) 存在一次可微的流形族 0 ：e 第2 章无交错扩散项时，系统的行波解的存在性 ( 一e l ，日) 0 = 1 ，2 ) ( i i ) 存在一次可徽的3 维流形族 簟。：g ( 一日，日) 及2 维流 形族 噬；：e 鼻( 一e 1 ，峨) ，使得当f 0 且很小时，奇异不稳定流形 掣以c 的方式扰动为1 ，。的不稳定流形 ，奇异稳定流形 g 以c 的方式扰动为 2 ，。的稳定流形 星。 2 3 奇髯异宿轨道及定理2 1 的证明 考虑以下边值问题 僻 ( 1 + 咖f l l w l ) 啦w 力w “ l ( + 嵋o o ) z 搿卜。 犯。 1w l 一o 。) = o ，= 缸( 城) 。 上式存在最大波速矿。一2 、扣l q 螺其中( 螺= 黟+ ) ，对圈定的 c 4 ) 上式存 在唯一连接相邻两平衡点的结，鞍行波解，记为嵋( t ) 【相关证明见附录】 最然嵋( 丁) ，嵋) c m ，( 嵋( 丁) ，嵋) c 蟑所以 与婀沿异寤轨道p o ( r ) = ( 嵋( f ) ，鹕，螺，蛾) 褶交。 记* = ( w i ，w 2 ) ，y = ( w 3 ，w 4 ) ，且0 ，力满足奇异摄动系统( 2 0 5 ) ，那么 p o ( f ) = ( 确( 丁) ，如) 其中粕= ( 醒( 砷，醒 0 及9 0 + ( 嵋) ，川) 0 使得奇异摄动系统( 2 0 5 ) ：摹在连接流彩l ，。2 。 0 c f e 1 ) 的e 的异宿孰遭 2 0 3 增加交错扩散项詹，系统行波解的存在性 前一章我们剩用几何奇异摄动法得到了无交错扩散系数时系统沿快流方向存 在结鞍型静褥波艇，本章我魍接着考虑系统增杰l 交镶扩散系数后是否仍然存在行渡 解其行波勰的类型是相同还是出现新的波现象这就是我们这一章所要考虑的主 安内容其解决方法不变，綦本思路也与第= 章类似，所以在此不再详细论述，只 给出主要结果以供参考考虑系统 ，u t = e o + ，l ( e ) 川掣+ 八“，v ) 【畸= 【( 1 + q 吃( 0 砷嵋。+ g ( u ， ff ( u ，v ) = ( a l 一6 l “一c 1 v ) “ lg ( 轧v ) = 眺一如“一c 2 v ) v 边值条件； “( 一) = ( 虬，v - ) ( 地( + o o ) = ( ，u ) 定义在霹= 国，力，l ，皂0 ，v 急o ，虽翘关系数投致滩主一牵且有 “e ) ec 2 ( 【o ：旬】) e l0 ，竹( 0 - + 卯， - y , 0 ，y 2e r 令 = ( 1 + ，l ( ) v ) “妒= ( 1 + q ( e ) 吣v 定义 “呈，妒，e )2 4 , = ：= # = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ，- - 一 v ( 1 + y l 鞲妒啪( f 辩4 啦( e 渺l + 斡绀# 一矬( 啪 ”量! 竺些l 上 一。= = ；= = = ；= = = = = = = = z z z = = 2 = ! ? - - - - - - - - - - 一 v ( 1 + 竹：( 嘶叶| ( 2 + 4 如渺+ l 竹和冲一r l ( 2 ( 3 0 1 ) ( 3 0 2 ) ( 3 0 3 ) ( 3 0 4 ) 首都师范大学硕士学位论文：一类带小参数的竞争方程组的行波解的存在性 ( 3 0 1 ) 就可以写成 饿嚣嚣黜乌麓翟掣 n ”， l 【 2 ( 妒，妒，) 】f = u r 。+ g ( l ( 妒，沙，e ) ， 2 ( ，咿，) ) 、7 当妒，砂0 0 e e 0 时，有 l ，以) 0 ，h 2 似，以e ) 0 ，并且 h l ，h 2 c 2 似+ x r + x 0 旬】) 设f ( u ，d = o 在上有正解，且可表示为u = + ( v ) 通过后面的证明我们得到在一定的系数条件下，非线性项， g 满足如下 抽象假设时，系统( 3 0 1 ) 存在行波解 ( a 1 ) ( i ) 对任意的v ej + ，都有 ( k ( v ) v ) = 。( + ( v ) ，o h + ( 帕 0 ( 娃) 存在区间上= 晒，p 4 ) ，其中0 0 g ( h + ( 矿) 矿) 0 ( 娃) 对任意的v ( u 。矿】，似v ) 0 o u ) 毋( v ) l ( 。：。l 。u ) 0 t i ( o ， + 6 b ) ) 由上述条件我们可以得到本章的主要结果： 定理3 l 假设( a 1 ) - ( a 3 ) 成立，则存在最大波速c t = 一2 ；j 二蒂，对任意固 定的波速c ( 0 ，使得对每一个固定的0 e 日系统( 3 o 1 ) 有如下结果： ( i ) 当c a m a x ( b ，c ) 时，存在连接( o ，詈) 与( 嚣，o ) 的行波解( u f 一 e c t ) ，酽“一口f ) ) 第3 章增如交错扩散项后，行渡解的存在健 其中矿o e c t ) 是带边界层的行波解，且在边界层上有连接相邻两平衡点的 波速为c 的结鞍行波。 当c a m a x ( b ，c ) 时，如图犯) g l = 嗡 c i j 令 0 专 o 嚣 m 五 g l 2 吃 、 a = 哙 啦、 、 一广 o 髓昔 l y 匿( 2 ) 下蠢铮对上述两稽情况进行详细分析：令( 驴缸一删，舻讧一酬) ) 是( 3 0 1 ) 连接一o 。处的平衡点n = ( “一，n ) 和+ * 处的平衡点p + = ( ”+ ，u ) 的行波馋 记z = z e c t ，且 垂( z ) = ( 1 + 0 由( a i ) 可知对任意固定的厶 o ( i = 1 ，4 ) 存在很 小的岛 o 使得抗西c z ( mx ( 一讯岛) ，其中m = ( - f l ，l ) x ( 一2 ，l 2 ) x ( 一，3 ，l 3 ) x ( - l 4 ，j l 4 ) 3 1 约化问题 令e = 0 ，则奇异摄动系统( 3 0 9 ) 变为约化问题 妒2 = 0 f ( h i ( 国，甲，o ) ，h 2 ( m ，甲，o ) ) = o 籼：妒2 ( 3 l t l ) 班2 = 一反l ( 巾。，甲6 ，0 ) ， 2 ( 中，f ，o ) ) 2 4 蔓! 塑壁垫窒堕芏墼堑星：塑堕堡塑壹垄丝 记 m = 1 0 = ( o ，0 ，v - ，o )